Ejercicios de Tele 2

Frecuencia relativa y frecuencia absoluta 1.

La frecuencia de los los alumnos que miden 1.60 m es 1; la frecuencia de los los alumnos que miden miden 1.55 m es 2, etcétera. Estatura

Frecuencias

1.60 m

1

1.55 m

2

1.50 m

10

1.45 m

15

1.40 m

2

1.35 m

3

1.30 m

1

1.25 m

1

Total

35

Después de analizar la información de los resultados, podemos responder las siguientes preguntas:

¿Cuál es la frecuencia de los alumnos que miden 1.45? R = 15 ¿Cuál es la frecuencia de los alumnos de 1.30? R=1 ¿Cuántos integran el grupo? R = 35 ¿Cuántos miden menos de 1.40? R=5 ¿Cuál es la diferencia de estatura entre el más alto y el más bajo? R = 3.5 m 2. Un representante del gobierno recopiló los datos respecto a una votación para elegir al jefe de manzana: Rodolfo, 6 votos; Carolina, 8 votos; Guillermo, 10 votos; Pedro, 7 votos; Carmen, 5 votos, y Sandra, 4 votos. Luego registró los datos correspondientes a cada uno de los candidatos en una tabla de frecuencias, como se muestra a continuación. Personas

Frecuencias

Frecuencias relativas

Rodolfo

6

6/40

0.15

15 %

Carolina

8

8/40

0.20

20 %

Guillermo

10

10/40

0.25

25 %

Pedro

7

7/40

0.175

17.5 %

Carmen

5

5/40

0.125

12.5 %

Sandra

4

4/40

0.1

10 %

Totales

40

40/40

1.00

100.0 %

Después de interpretar la tabla se pueden responder las siguientes preguntas: ¿Qué porcentaje de votos obtuvo Rodolfo? R = 15 % ¿Quién ganó las elecciones? R = Guillermo porque obtuvo el 25 % ¿Cuántas personas votaron en total? R = 40 ¿Qué porcentaje de votación obtuvo Pedro? R = 17.5 % ¿Quién quedó en segundo lugar? R = Carolina

3. La siguiente información es acerca de los goles anotados por cada país en los octavos de final del Campeonato Mundial de Futbol. Francia 2 goles, España 1, Alemania 3, Italia 2, Brasil 3, Nigeria 3, Holanda 1 y Argentina 2. Se ordenan los datos en la tabla. Se obtienen las frecuencias absoluta y relativa de los goles anotados por cada país y se anotan en el cuadro correspondiente. País

Goles anotados

Frecuencia relativa

 Alemania

3

3/18

 Argentina

3

3/18

Brasil

3

3/18

España

1

1/18

Francia

2

2/18

Holanda

1

1/18

Italia

2

2/18

Nigeria

3

3/18

----

Total de goles 18

Total de frecuencias 18/18

En la tabla anterior encontramos respuesta a preguntas como las siguientes: ¿Cuántos goles en total se anotaron?

R =18 ¿Qué países anotaron menos gole R = España y Holanda ¿Cuál es la suma de las fracciones de los países que anotaron 3 goles? R = 12 18

2.

En el grupo 6 "A" se hizo una encuesta sobre el periódico que compran los niños. Los datos se ordenaron en una tabla, y se obtuvieron las frecuencias absoluta y relativa. Se presenta la frecuencia relativa en fracciones, decimales y porcentaje. Periódico

Frecuencias

Frecuencias relativas

El Universal

10

10/50

0.2

20 %

Excélsior 

20

20/50

0.4

40 %

La Prensa

15

15/50

0.3

30 %

No compran

5

5/50

0.1

10 %

Totales

50

50/50

1.0

100 %

Después de revisar los datos de la tabla, respondemos: ¿Qué porcentaje compra El Universal ? R = 20 % ¿Qué porcentaje no compra periódico? R = 10 % ¿Qué periódico es el más leído por los alumnos del 6 "A"? R = Excélsior 

Cálculo del promedio, moda y mediana. Representación en tablas y gráficas Promedio El promedio entre varias cantidades se obtiene dividiendo la suma de estas cantidades entre el número de ellas. Ejemplo: Un comerciante tuvo las siguientes ventas: lunes, $ 750; martes, $ 600; miércoles, $ 720; jueves, $ 680; viernes, $ 840, y sábado $ 910. ¿Cuál fue el promedio de las ventas en la semana?

750 + 600 + 720 + 680 + 840 + 910 6

Promedio =

=

4500 6

750

Promedio = $ 750 diarios

E jemplo 1: En una cena, 19 personas tomaron leche, 23 café, 14 té, 12 atole y 7 chocolate. Poner los datos en una tabla. ¿Cuál es la moda? La bebida que tuvo la mayor frecuencia durante la cena correspondió al café.

Bebida

Frecuencias

Leche

19

Café

23

Té

14

 Atole

12

Chocolate

7

Total

75

Moda = café

También por medio de la mediana se puede estimar un promedio. La mediana representa el dato que se encuentra a la mitad de los valores mínimo y máximo de los datos. Dicho de otro modo, es el dato donde arriba de él se halla 50% del total y abajo se encuentra el otro 50%. Cuando el número de casos resulta par, la mediana se determina dividiendo la suma de las frecuencias entre 2, y cuando el número de casos es non, se le suma 1 a la suma de las frecuencias.

E jemplo 2: De acuerdo con los sueldos que ganan mensualmente los trabajadores de un taller, calcular la mediana. Ya que se trata de 26 trabajadores, se divide entre 2. La mediana se localiza contando 13 frecuencias de arriba abajo o de abajo hacia arriba. Sueldos

Frecuencias

$ 7 000

1

$ 6 750

2

$ 6 250

6

$ 5 000

8

$ 4 000

4

$ 3 500

3

$ 2 000

2

Total

26

Mediana = $ 5 000 

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y NO EXCLUYENTES ENTRE SI (EJERCICIOS)

MUTUAMENTE EXCLUYENTES

1.-Si A y B son dos sucesos mutuamente excluyentes y la probabilidad de A es 0,2 y la de B es 0,5. Entonces, la probabilidad de que ocurran ambos sucesos es: Solución: La probabilidad pedida es P(A∩C). Como son eventos mutuamente excluyentes, ambos no pueden suceder a la vez, P(A∩C) = 0. 2.-Se tienen cinco libros de distintas materias: Matemática, Biología, Química, Física y Lenguaje. Si se toma uno de ellos, ¿cuál es la probabilidad de que este sea de matemática o de física? Solución: Sean los eventos A ≡Tomar el libro de Matemáticas. B ≡Tomar el libro de Física. La probabilidad pedida es: P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B) Como A y B son eventos mutuamente excluyentes, P(A∩B) = 0. Por lo tanto, la probabilidad pedida nos queda: P(A∩B) = (1/5)+(1/5)-0= 2/5 3.-En la tabla adjunta, X representa e l númerode hijos por familia en un grupo de 20 familias seleccionadas al azar. Si de este grupo se elige al azar una familia, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga uno o dos hijos? Solución: El total de familias con uno o dos hijos son 6 + 3 = 9 de un total de 20 familias. La probabilidad pedida es P=9/20 p =0,45 4.-En una bolsa se tienen 3 bolitas verdes, 2 amarillas y 4 naranjas, ¿cuál es la probabilidad de que al sacar una bolita esta sea naranja o verde? Solución: Hay 4 bolitas naranjas y 3 verde s, esto es, 7 casos favorables a lo pedido. Aplicando la definición de Laplace: casos favorables 7 P= casos favorables/ casos totales =7/9 5.-En una bolsa se tienen 3 bolitas rojas, 2 blancas y 4 azules. Se saca una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja o azul? Solución: P(roja o azul) =casos favorables/ casos totales P = (cantidad de bolas rojas + cantidad de bolas azules)/ cantidad total de bolas en la bolsa P =(3 + 4 )/( 3 + 2 + 4 ) P =7/9 6.-En una caja hay tarjetas numeradas correlativamente del 1 0 al 30 (es decir 10, 11, 12,..., 27, 28, 29 , 30). La probabilidad de que al sacar una tarjeta al azar, la suma de los dígitos sea 3 ó 4 es: Solución: Hay 21 tarjetas numeradas (se incluye la tarjeta 10). Las tarjetas cuya suma de dígitos da 3 ó 4 son: 12, 13, 21, 22 y 30. Cinco casos favorables en total. La probabilidad pedida=casos favorables /casos totales P= 5/21 7.-Una caja contiene 8 bolitas rojas, 5 amarillas y 7 verdes. Se extrae una al azar. La probabilidad de que la bolita

extraída sea roja o verde es Solución: Sea R≡extraer una bolita Roja. V ≡extraer una bolita Verde. Juntas suman 15 bolitas de un total de 20 ,lo cuál representa el 75% del total. Por lo tanto: P(R∪V) = 0.75. Lo cual representa el 75% 8.-Si escojo una carta de un mazo de 52, ¿cuál es la probabilidad de escoger un corazón o un diamante? Solución: Sean A ≡extraer una carta corazón. B ≡extraer un diamante. Hay 13 cartas de cada pinta, luego: P(A) = 13/52=1/4 = 0,25 P(B) = 13/52=1/4 = 0,25 La probabilidad de escoger un corazón o un diamante corr esponderá a: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) P= 0,25 + 0,25 – P(A∩B) P(A∩B) = 0,5 Mientras que A∩B ≡{extraer una carta que sea corazón y diamante} = ∅ entonces P(A∩B) = 0 Luego, queda únicamente en 0,5. 9.-En una bolsa hay 5 bolas azules, 7 blancas, 3 rojas. Se mete la mano una sola vez. ¿C uál es la probabilidad de sacar una azul o una blanca? Solución: Sea A= Obtener una bola azul. B=Obtener una bola blanca El espacio muestral es de 15 bolas en total. P(A∩B) =0 porque no hay bolas azules y blancas a la vez P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) P(A∪B) = (5/15)+(7/15) P(A∪B)=12/15 P(A∪B)=4/5 10.-Se tiene una tómbola con bolitas numeradas del 10 al 25. ¿Cuál esla probabilidad de extraer dos bolitas, sin reposición, de modo que la suma de los números obtenidos sea par? Solución: Se tienen 16 números en total, de los cuáles 8 son pares y 8 impares. Los modos de obtener números cuya suma sea par, solo puede ocurrir de dos formas: i) A ≡Extraer dos bolitas pares. ii) B ≡Extraer dos bolitas impares. Aparte de ser cada uno de los eventos sin reposición, son también mutuamente excluyentes entre sí. No puede ocurrir simultáneamente, que las bolitas sean pares e impares, así que P(A∩B) = 0 Por lo tanto, la probabilidad pedida, que puede ocurrir de dos formas por separado A∪B, es: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) donde P(A∩B) = 0 P(A∪B)= (8/16)(7/15)+ (8/16)(7/15) P(A∪B)=2 ((1/2)(7/15)) P(A∪B)= 7/15 11.-¿Cuál es la probabilidad de obtener la suma de 5 ó 7 al lanzar simultáneamente dos dados? Solución: La base del espacio muestral son los resultados otorgados por e l lanzamiento de un dado. E’ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒#E’=6 Para n dados, el número de casos es #E = (#E’ ^n). Y para n = 2 dados: #E = (#E’^2)= 6^2=36 El espacio muestral está formado por 36 e lementos, a los que hemos asociado un par ordenado de números, que

indican los resultados del primer y segundo dado. Sea S la variable aleatoria que indique la suma de los puntos en una sola tirada. La probabilidad pedida viene dada por: P(S = 5) + P(S = 7) Veamos el número de casos favorables para obtener cada suma y su respectiva probabilidad. S =5 = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} ⇒P(S = 5) =4/36 S = 7 = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} ⇒P(S = 7) =6/36 Finalmente 46105 P(S = 5) + P(S = 7) =4/36 +6/36 =10/36 =5/18 12.-Se lanzan simultáneamente dos dados. La probabilidad de obtener dos números cuya suma sea 5 ó 12 es Solución: Se trata de la probabilidad de una unión de eventos mutuamente excluyentes, pues no hay dos números cuya suma sea 5 y 12 a la vez. Por lo tanto, se utiliza la expresión: P(A∪B) = P(A) + P(B) Donde: A ≡obtener dos números cuya suma sea 5; B ≡obtener dos números cuya suma sea 12; Los casos favorables a obtener suma 5 son: A = {(1,4); (2,3); (3,2); (4,1)}. Así, P(A) =3/36 . Mientras que el evento B solo puede suceder con {(6,6)}. Así, P(B) =1/36 . Finalmente, reemplazamos los valores de P(A) y P(B) obteniendo: P(A∪ B) =4/36 + 1/36 =5/36 13.-Al lanzar un dado rojo y uno azul, ¿cuál es la probabilidad de que el puntaje sea menor que 4 ó mayor que 11? Solución: Sean A =Obtener un número menor que 4. B=Obtener un número mayor que 11. La tabla de doble entrada de la derecha nos muestra que hay 3 c asos favorables a A y 1 a B. Como los eventos son mutuamente excluyentes: P(A∪ B)= P(A)+ P(B) P(A∪ B)= (3/36)+(1/36) P(A∪ B)=4/36 P(A∪ B)=1/9 14.-Al lanzar dos dados comunes, ¿cuál es la probabilidad de obtener 10, como mínimo, en la suma de los puntos de una sola tirada? Solución: Consideremos los resultados posibles tras lanzar un par de dados. Asociando un par ordenado de v alores que represente los resultados posibles del primero y segundo dado respectivamente. El espacio muestral o todos los casos posibles tras lanzar dos dados viene dado por: En este caso el espacio muestral está formado por 36 elementos. Sea S la variable aleatoria que indique la suma de los puntos en una sola tirada. P(S ≥10) = P(S = 10) + P(S = 11) + P(S = 12) Veamos el número de casos favorables para cada suma. S=10 = {(4,6), (5,5), (6,4) } ⇒P(S = 10) =3/36

S=11 = {(5,6), (6,5)} ⇒P(S = 11) =2/36 S=12 = {(6,6)} ⇒P(S = 12) =1/36 Finalmente, P(S≥ 12) =(3+2)/36=6/6 = 1 15.-En una carrera de 100 metros planos, compiten cuatro atletas: A, B, C y D. Si A tiene el doble de probabilidad de ganar que B; C tiene la mitad que B de ganar y la probabilidad de D es igual a la de A. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La probabilidad de ganar C es 2 /11 II) La probabilidad de que A no gane es de 7/11 III) La probabilidad de que A o C ganen es de 5/11 Solución: La menor probabilidad de ganar la tiene C. Sea P(C) = x ⇒P(B) = 2x ⇒P(A) = 4x ⇒P(D) = 4x. Los eventos A, B, C y D son mutuamente excluyentes. ∑Pi=1 ⇒x+2x+4x+4x=1 ⇒11x = 1 ⇒x=1/1 ⇒P(C)=1/11;P(B)=3/11;P(A)=4/11;P(D)=4/11 I)Es falsa. II)La probabilidad de que A no gane es: 1-P(A)=1-(4/11) =7/11 Es verdadera. III) La probabilidad de que A o C gane es: P(A∪C) = P(A) + P(B) – P(A∩C) Como los eventos son mutuamente excluyentes, P(A∩C) = 0. Por lo tanto, la probabilidad de la unión de eve ntos queda: P(A∪C) = P(A) + P(C) =(4/11)+(1/11)=5/11 Es verdadera. Sólo II) y III) son verdaderas. 16.-Según cierta información de prensa del año 2002, el tenista nacional Fernando González tenía un 45% de probabilidad de ganar al “Chino” Ríos y del 60% de ganar al “Nico” Massú. Si en un torneo de aquél año hubiese enfrentado a ambos, ¿Cuál es la probabilidad de que hubiese ganado sólo a uno de ellos? Solución: Para satisfacer lo pedido, hay dos casos a considerar: Que venza a Ríos y pierda con Massú; Con probabilidad 45%•40% =(45/100) •(40/100) =(45/100)•(4/10) =180/(100•10) = = 18% Donde hemos utilizado sucesivas simplificaciones. O bien: Que venza a Massú y pierda con Ríos. Con probabilidad 60%•55% = (60/100)•(55/100)=(6/10)•(55/100)=330/(10•100)= 33/100=33% Donde hemos utilizado sucesivas simplificaciones. La probabilidad de ganar a uno solo de ellos se presenta así como dos opciones posibles y la probabilidad final viene dadapor la suma de estas: 18% + 33% = 51%

MUTUAMENTE NO EXCLUYENTES 17.-Se elige al azar un número entero positivo del 1 al 19. ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea múltiplo de 3 ó de 5? Solución: Como son 19 números, la cantidad de elementos del espacio muestral es #E = 19. Sean los eventos: A ≡Obtener un número múltiplos de 3 B ≡Obtener un número múltiplos de 5. Si podemos identificar la cantidad de elementos del espacio muestral A∪Blo resolvemos directamente como sigue: A∪B = {3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18} ⇒# A∪B = 8 ⇒P(A∪B)= #(A ∪B)/ #E =8/19 18.-Se escoge un número del 1 al 50, ¿cuál es la probabilidad de que dicho número sea múltiplo de 3 y menor que 20? Solución: Los casos totales de ser escogidos son 50. Y los números menores que 20 que son múltiplos de 3 son [19:3]= 6 casos favorables. Donde los corchetes []: Indican la parte entera de la división. Luego la probabilidad pedida es P=6/50=3/25 19.-Se lanza un dado normal. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par o menor que 5? Solución: Sea los siguientes eventos tras el lanzamiento de un dado. Sean A ≡obtener un número par ⇒A = {2, 4, 6} B ≡obtener un número menor que 5 ⇒B = {1, 2, 3, 4} A∪B = {1, 2, 3, 4, 6} ⇒# A∪B = 5 ⇒P (A∪B) =#(A B)/#E=5/6 20.-Desde una tómbola con 36 bolitas numeradas del 1 al 36 se extrae una al azar. La probabilidad de que resulte un número par o número menor que 10 es: Solución: Al extraer una bola, tenemos 36 casos posibles o totales. Y Los casos favorables a extraer un número par, o menor que 10 son: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14,16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36} La probabilidad pedida es P= casos favorables/ casos posibles =23/36 21.-De un naipe inglés de 52 c artas se extrae una alazar, ¿cuál es la probabilidad de que resulte 8 o trébol? Solución: La probabilidad de que uno de los dos eventos A o B ocurran es: P(A∪C) = P(A) + P(B) – P(A∩C) A ≡Obtener un 8 ⇒P(A) = 4/52 Pues existen 4 ochos en el naipe. B ≡Obtener un trébol ⇒P(B) = 13/52 Pues existen 13 tréboles en el naipe. A∩C ≡Obtener un 8 trébol ⇒P(A∩C) = 1/52 Pues existe un solo ocho trébol. Reemplazando estos valores obtenemos: P(A∪C) = (4+13-1)/52=16/52=8/26

22.-Se elige al azar un número entero entre los 30 primeros enteros ¿positivos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea primo o múltiplo de 5? Solución: Es claro que al escoger un número al azar, tenemos 30 números posibles o totales. Como nos piden uno u otro evento, usamos el teorema de la unión de eventos: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) A ≡escoger un número primo entre los 30 primeros enteros positivos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} Luego, # A = 10 ⇒P(A) = 10 /30. B ≡escoger un múltiplo de 5 = {5, 10, 15, 20, 25, 30} Así, #B=6 ⇒P(B) = 6 /30. A∩B ≡escoger un número primo y múltiplo de 5 a la vez = {5} Luego, # (A ∩B) = 1 ⇒P(A∩ B) = 1 /30. Reemplazando las probabilidades de la derecha en el teorema: P(A∪ B) = (10/30)+(6/30)-(1/30)=(10+6-1)/30=15/30=1/2 23.-Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un 2 ó un 3? Solución: Sea A ≡Obtener un 2. B ≡Obtener un 3. La probabilidad pedida es: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) ---------- (I) Ambos son eventos mutuamente excluyentes, por lo tanto P(A∩B) = 0. P(A) = P(B) = 1/6 Con lo que la expresión (I) se transforma en: P(A∪B) = 1/6)+(1/6)-0= 2/6= 1/3 24.-Una ruleta tiene 36 sectores circulares iguales,numerados del 1 al 36. Los 12 prime ros son rojos, los 12 siguientes azulesy los 12 restantes negros. En est e juego gana el número que sale indicado después de girar la r uleta. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número impar o un número de color rojo? Solución: Los 36 números son todos los elementos del e spacio muestral o números posibles de ser extraídos. Entonces, #E = 36. Sean los eventos: A ≡sale un número impar; entonces: P(A) =18/36 B ≡sale un número pintado de color rojo, entonces: P(B) =12/36 A∩ B= números impares y de color rojo = {1, 3, 5,7, 9,11} ⇒ #(A∩ B)= 6⇒ P(A∩ B) =6/36 Se solicita: P(A ∪B) = P(A) + P(B)- P(A ∩B) = (18/36) +(12/36) –(6/36) =24/36.

PROBABILIDAD CONDICIONAL Sea un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E) 0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que también es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina como se muestra;

Donde: p(A E) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrió p(A E) = probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempo p(E) = probabilidad de que ocurra E Luego;

Por tanto:

Donde: A E = número de elementos comunes a los eventos A y E E = número de elementos del evento E Luego entonces podemos usar cualquiera de las dos fórmulas para calcular la probabilidad condicional de A dado que E ya ocurrió.

EJERCICIOS RESUELTOS

Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A

1

2

3 4

5

6

7

8 9

B)= 1/4. Determinar:

10

11

12 En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la  probabilidad de que sea chica?

 p(chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69

13 De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que: 14 Las dos sean copas. 15Al menos una sea copas. 16 Una sea copa y la otra espada.

17 Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

19 Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa. 1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés?

20 ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

EJ EMPLO 1

En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar. a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.  b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.  SOLUCI ÓN:

Se definen los sucesos: Suceso H : seleccionar una niña. Suceso V : seleccionar un niño. Suceso M : infante menor de 24 meses.

En los ejercicios de probabilidad total y teorema de bayes, es importante identificar los sucesos que forman la  población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. Estos serán los sucesos condicionados. a. En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que sean menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:

 b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de bayes, hay que partir de reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la característica común de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña una infante menor de 24 meses será:

EJ EMPLO 2

Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el 20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Se sabe además, que son de genero masculino el 25% de los que se realizan correcciones faciales, 15% implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se selecciona un paciente al azar, determine: a. Determine la probabilidad de que sea de género masculino  b. Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se haya realizado una cirugía de implantes mamarios.  SOLUCI ÓN:

Se definen los sucesos: Suceso F : pacientes que se realizan cirugías faciales Suceso M : pacientes que se realizan implantes mamarios Suceso O: pacientes que se realizan otras cirugías correctivas Suceso H : pacientes de género masculino a. La probabilidad de que sea de género masculino se refiere a un problema de probabilidad total, ya que es el suceso condicionado y las cirugías los condicionantes. Dicho valor será:

 b. Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de bayes, luego, el valor de la  probabilidad será:

EJ EMPLO 3

Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.  SOLUCI ÓN:

Se definen los sucesos: Suceso P : seleccionar el primer aparato Suceso S : seleccionar el segundo aparato Suceso T : seleccionar el tercer aparato Suceso E : seleccionar un resultado con error Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examen errado sea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de bayes. Claro está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que los aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:

COMBINACIONES Ejercicio 1 resuelto

En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? No entran todos los elementos. No importa el orden: Juan, Ana. No se repiten los elementos.

Ejercicio 2 resuelto

¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

Ejercicio 3 resuelto

A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

Ejercicio 4 resuelto

En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro  botellas? No entran todos los elementos. Sólo elije 4.. No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís. Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.

Ejercicio 5 resuelto

¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

Ejercicio 6 resuelto

¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices? Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices. No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

Son

, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.

Ejercicio 7 resuelto

Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si: Soluciones:

1Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

2Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

3Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

Ejercicio 8 resuelto

Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

Ejercicio 9 resuelto

Resolver las ecuaciones combinatorias: Soluciones:

1

2

3

27 no es solución porque el número de orden en las combinaciones es menor que el número de elementos.