Ejercicios de sistemas vibratorios con y sin amortiguación

TALLER 1. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y VIBRACIONES LIBRES VIBRACIONES Y ONDAS 2014

1.

Una masa al extremo de un muelle oscila con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 1 Hz (ciclos por segundo). Para t = 0, la masa está en su posición de equilibrio (x = 0).

a.

b.

Obtener la ecuación de la coordenada x del punto en función del tiempo, en la forma x = A cos (t + ), conocidos los valores numéricos de A,  y . Hallar los valores de x,

dx d 2 x y para t = 8/3 seg. dt dt 2

5 3   A = 5 cm,  =2 s-1 ,    ; b) para   , x  cm , 2 2 2 dx cm d 2 x 2 cm   10 3  , .  5 dt sg dt 2 seg 2

Respuesta:

2. Un cuerpo pesa 2 lb estira un resorte 6 plg. Dicho cuerpo se suelta en t=0, desde un punto quee está 8 plg bajo la posición de equilibrio, con una velociadad dirigida hacia arriba de 4/3 pies/s (negativa). Determine la función x(t) que describe el movimiento libre resultante de forma general y de la forma x = A cos (t + ). Tenga en cuenta que los ángulos se darán en radianes. 2

1

Respuesta: 𝑥(𝑡) = 3 cos 8𝑡 − 6 𝑠𝑒𝑛 8𝑡 ; 𝑥(𝑡) =

√17 𝑠𝑒𝑛 6

(8𝑡 + 1.816)

3. Una masa m cuelga de un muelle uniforme de constante k, como lo muestra la figura 3(a), encuentre (a) el periodo de oscilación del sistema To. (b) Cuál sería el periodo en terminos del inicial, si la masa m se colgase de modo que estuviese sujeta a dos resortees idénticos (k igual), situados uno paralelo al otro. (c) Estuviese sujeta al extremo inferior de dos muelles idénticos conectados uno a continuación del otro.

(a)

(b)

(c)

4. Una masa m sujeta un muelle uniforme de constante k como lo muestra la figura 1. a. ¿Cuál sería el período si la masa m se ubicara de modo que estuviese sujeta a dos muelles idénticos situados uno junto al otro? b. ¿Cuál sería el período si la masa m se ubicara de modo que estuviese sujeta al extremo inferior de dos muelles idénticos conectados uno a continuación del otro? Respuesta T  2

5.

m(k 1  k 2) m y T  2 k 1k 2 k1  k 2

Una varilla uniforme de longitud L se sujeta por un clavo a un poste ¿Cuál es el período 1

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de las oscilaciones pequeñas de la varilla? Respuesta T  2

2L 3g

6. La figura muestra un gran bloque P ejecuta un M.A.S. horizontal deslizándose sobre una superficie sin fricción con una frecuencia f. Un bloque B descansa sobre él, como lo muestra la figura, y el coeficiente de fricción estática entre ambos es e. Qué amplitud máxima de oscilación puede tener el sistema si el bloque no se desliza?. R/

e g 4 2 f 2

7. Una esfera sólida (radio=R) rueda sin deslizar en un canal cilíndrico (radio=5R) como se indica en la figura. Demuestre que para desplazamientos pequeños desde el punto de equilibrio perpendicular a la longitud del canal, la esfera ejecuta un movimiento armónico simple con un período T  2

28 R 5g

8. La cuerda mostrada en la figura está bajo una tensión T, la cual se puede suponer que permanece constante para pequeños desplazamientos. Para oscilaciones pequeñas demuestre que la frecuencia natural de la vibración vertical de la cuerda es



TL ma ( L  a ) L T

T z

m a a

9. Una masa m está conectada a dos ligas de hule de longitud L, cada una bajo una tensión T, como lo muestra la figura 6. La masa se desplaza verticalmente una distancia y. Suponga que la tensión no cambia, demuestre que a) la fuerza restauradora es –(2T/L)y, b) que el sistema efectúa un M.A.S. con una frecuencia angular  

2T . mL

2

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10. La masa de la varilla delgada de sección uniforme, que se muestra en la figura, es pequeña comparada con la masa que tiene colocada en su extremo. Calcule la frecuencia natural de oscilación de la masa, suponiendo que la oscilación es pequeña.

mgL  ka 2  mL2

11. La masa M, fijada en el extremo de la cuerda de un péndulo cónico, está girando alrededor del eje vertical, como se muestra en la figura. El plano de la trayectoria circular es horizontal y ascenderá cuando aumente la velocidad de rotación. Demuestre que la frecuencia del sistema es  

g . Qué condiciones se deben tener para llegar a L cos 

la expresión obtenida para la frecuencia de un péndulo simple.

12. Una masa M está unida al extremo de una barra uniforme de masa M y longitud L que puede girar en su parte superior como lo muestra la figura. a) Determine las tensiones en la barra en el pivote y en el punto P cuando el sistema está estacionario. b) Calcule el periodo de oscilación para desplazamientos pequeños desde la posición de equilibrio, y determine este periodo para L=2.00 m. (Sugerencia: suponga que la masa en el extremo de la barra es una masa puntual)

13. Un disco más pequeño de radio r y masa m, está unido rígidamente a la cara de un segundo disco más grande de radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del disco pequeño está situado en el borde del disco grande. El disco grande está montado en su centro sobre un eje sin fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la expresión para la rapidez del centro del disco pequeño cuando para por la posición de equilibrio.

3

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14. Solucionar el sistema mostrado en la figura, y determinar el periodo de oscilación del mismo. Descripción: se tiene un resorte unido a una polea que rueda sin deslizar (pequeños desplazamientos), y este a su vez a través de una cuerda mueve una polea compuesta por 2 radios R2 y R3 y momento de Inercia I, de donde cuelga una masa m1 que está en capacidad de oscilar.

M3 R3

R1 R2

m2

1

15. Determine la frecuencia natural de los sistemas, encuentre la expresión del periodo para los sistemas. k

3k

k

k

k

2k

2k

2k

2k

I

x k

4

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