Ejercicios de Razón de Cambio

 

1

CAPITULO 4

Razone azones s de Cambi Cambio o Relaci elacionada onadas  s  M.Sc. Sharay Meneses R.

Instituto Tecnol´ o ogico gico de Costa Rica Escuela de Matem´ a atica tica ···

Revista Revist a digita digitall Matem´ a atica, tica, educaci´ on on e inte internet rnet (www.cid (www.cidse.itc se.itcr.ac.cr) r.ac.cr)

 

2 Cr Cr´ ´ edi ed ito tos s

Primera edici´ on o n (MS (MS W Word ord)) Edici´ on o n LaTeX: LaTeX:

M. Sc Sc.. Shara Sharay y Menese Menesess R., 2 2005 005.. M.Sc. M.Sc. W Walte alterr M Mora ora F.

 

Contenido 4.1 Introdu Introducci cci´´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Problemas de Razones Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Ejercicios Complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Respuestas de los ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Practica ´actica adicio adicional nal de de razon razones es rela relacio cionad nadas as (M.S (M.Sc. c. Luis Carre Carrera ra R., R., M.Sc. M.Sc. Sharay Sharay Mene Meneses ses R.) 4.4.1 4.4 .1 Respue Respuesta stass a la pr´ actic cticaa ad adic icio iona nall de ra razzon onees rela relaci cion onaada dass . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1 4. 1

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

3 4 9 11 12 15 16

In Intr trodu oducc cci´ i´ o on n

on   y   =   f ( f (t). As´ As´ı, por ejemplo, Se ha estudiado la regla de la cadena para obtener, impl´ıcitamente, ıcitamente,   dy   de una funci´on  dt   dy d  .   (  y n ) =   n y n − 1 dt dt Otra aplicaci´on on importante de lo anterior es el c´alculo alculo de razones de cambio de dos o m´as as variables que cambian con el tiempo; o sea, ¿qu´e ta tan n r´  apido var var´ ´ıa una cantidad en el tiempo? Por ejemplo, suponga que se tiene un recipiente c´oonico nico con agua agua,, como el que se muestra muestra en la figura. Cuando el agua sale del recipiente, el  volumen V , el radio r  y  y la  altura h  del   del nivel del agua son,  las tres,  funciones que dependen del tiempo t .

Recipiente lleno

Recipiente vaciandose ´andose

Estas tres variables   est´ a an n relacionadas  entre s´ı, por la ecuaci´on on del   volumen del cono; a saber:

V   V   =

 π 2  r h 3

  3

(∗)

 

4 Por otra parte,   d deri erivando vando impl´ i mpl´ ııcitam ci tamente ente  ambos lados de (*) respecto del tiempo  t,  t , se obtiene la siguiente   ecuaci´ on on de razones relacionadas:   π dV    = 3 dt



 dh   dr   +   r2 2rh dt dt



Se puede observar que la raz´on on de cambio del volumen, est´a ligada a las razones de cambio de la altura y del radio, en donde: dV    es la raz´ on on o rapidez a la cual var´ var´ıa el volumen con respecto al tiempo dt dr   es la la ra raz´ z´ oon n o rapidez a la cual var´ var´ıa el radio con respecto al tiempo dt dh   es la la rraz´ az´ on on o rapidez a la cual var´ var´ıa la altura con respecto al tiempo dt   dV    = 10 m3 /seg   significa significa que el el volumen volumen est´ est´ a aumentando 10 m3 cada segundo; mientras mientras que, As As´´ı, por ejemplo, ejemplo , dt dV    =   −10 m3 /seg   significa significa que el volumen volumen est´ a disminuyendo 10 m3 cada segundo. dt

4.2

Pro Proble blemas mas de Razone Razoness Rela Relacio cionad nadas as

De acuerdo con lo expuesto anteriormente, en todo problema de  razones relacionadas   (o  tasas relacionadas ), ), se calcula la rapidez con que cambia una cantidad en t´ erminos erminos de la raz´on on de cambio de otra(s) cantidad(es).

Estrategia para resolver problemas de razones relacionadas

(1) De ser posible, posible,  trazar un diagrama  que   que ilustre la situaci´on on planteada. (2) Designar con s´ımbolos todas to das las  cantidades dadas  y   y las  cantidades por determinar  que   que var´ var´ıan con el tiempo. tiempo . (3) Analizar Analizar el enunciado enunciado del problema problema y disti distinguir nguir cu´ ales ales  razones  de   de cambio se  conocen  y   y cu´al al es la  raz´  on  de   de cambio que  se requiere . (4) Plantear Plantear una ecuaci´  on que relacione las variables  cuyas   cuyas razones de cambio est´an an dadas o han de determinarse. (5) Usando la regla de la cadena, derivar impl´ impl´ıcitamente ambos miembros de la ecuaci´on on obtenida en (4), con respecto al tiempo t tiempo  t,, con el fin de obtener la  ecuaci´  on de razones relacionadas . (6)  Sustituir en la ecuaci´  on resultante  del   del punto (5), todos  los valores conocidos  de   de las variables y sus razones de cambio, a fin de   deducir  (despejar)   (despejar) la  raz´  on de cambio requerida . (Nota: (Nota: Es hasta hasta en este momen momento, to, que se hacen las sustituciones de acuerdo con los datos del problema)

 

5 Ejemplo 1

Un recipiente c´onico onico (con el v´ ertice ertice hacia abajo) aba jo) tiene 3 metros metros de ancho ancho arriba y 3,5 metros de hondo. hondo. Si el agua fluye hacia el recipiente a raz´on on de 3 metros c´u ubicos bicos por minuto, encuentre la raz´on on de cambio de la altura del agua cuando tal altura es de 2 metros.

Soluci´ on. on.   Sea V  Sea  V    el volumen del recipiente,  r  el radio de la superficie variable en el instante  t  y  h  el nivel del agua en el

instante t instante  t..

Recipiente llen´andose

Relacion ´on de Thales

3,5

Dato: Rapidez con que  aumenta  el volumen del agua; o sea,

  dV    = 3 m3 /min /min.. dt

  dh Encontrar: Rapidez con que  sube  el nivel del agua cuando la profundidad es de 2 metros; es decir, dt La ecuaci´ ecuaci´ on on que relaciona las variables es el volumen del cono:   V   V   =

  π 3

  r2 h

 

(*)

 

 h

=2 m

Ahora bien, como el volumen consta de dos variables ( r (  r y  y h  h ),  ), conviene,  en este caso , expresarlo unicame u ´ni camente nte en e n t´erminos ermi nos  3   h. de la altura  altura   h, para lo cual se usar´a la relaci´on on que existe entre las variables citadas (Thales); a saber,   r   = 7 Sustituyendo en (*) se tiene que:   V   V   =

 π

 3

2

 7   h h   =

⇒

  V   V   =

  3π

  h3

3 49 La ecuaci´oon n de razones razones relac relacionada ionadass se obtiene obtiene derivando derivando impl´ impl´ıcitament ıcitamente, e, respecto respecto del tiempo, a ambos lados de la   3π 3 ecuaci´ on V  on  V    =   h , lo cual nos conduce a: 49   9π 2   dh dV   h  = dt 49 dt

 

(∗∗)

Finalmente, como se desea encontrar la variaci´on on de la profundidad del agua en el instante en que que   h  = 2, y dado que dV    = 3, sustituimo sustituimoss estos valore valoress en (**) para para obtener obtener que: dt 3 =

  dh   9π   (2)2 dt 49

 

⇐⇒

  49   3 · 49 dh  =  = 12 π 4 · 9π dt

 

⇐⇒

dh ∼ =   1, 2998 dt

 

6

Por lo tanto, el nivel del agua aumenta a una raz´on on aproximada de 11,, 3 m/min m/min..

Ejemplo 2

Un hombre se aleja de un edificio de 18 metros de altura, a una velocidad de 1,8 metros por segundo. Una persona en la azotea del edificio observa al hombre alejarse. ¿A qu´ e velocidad var´ var´ıa el angulo ´angulo de depresi´on on de la persona en la azotea hacia el hombre, cuando ´este este dista 24 metros de la base de la torre?

Soluci´ on. on.   Sea   x   la distancia recorrida por el hombre en el instante   t. Sea   α   la medida, en radianes, del ´ angulo angulo de depresi´ on on en el instante t instante  t..

Representaci´ on del problema

Situacion ´on cuando x cuando  x  = 24

Dato: Rapidez con que el hombre se  aleja  del edificio; o sea,

  dx   = 1 ,  8m/seg  8 m/seg.. dt

Encontrar: Variaci´ on on del   angulo angulo   de  depresi´ ´ on on  cuando el hombre se encuentra a 24 metros de distancia del edificio; es   dα decir, dt  x = 24   m

 

  18

La ecuaci´ ecuaci´ on on que relaciona las variables est´a dada por la raz´on: on: tan α tan  α   = x   (*) La ecuaci´ ecuaci´ on on de razones relacionadas se obtiene derivando impl´ impl´ıcitamente a ambos lados de (*), con respecto del tiempo, lo cual nos conduce a:

 sec α   dα   =  18    dx −

2

dt

x2

dt

 

⇐⇒

dα   = dt



18 cos2 α x2

−

   dx dt

  (∗∗)

Finalmente, para determinar la variaci´on on del   ´ angulo   de   depresi´ on on   en el instante en que   x   = 24,   primero   se debe calcular el valor para el cos   α  en ese mismo instante. Ahora bien, dado que: tan  tan   α   =

 4  3   18   18   =⇒   cos cos α  α   =  =   =⇒   tan α tan  α   = 5 4 24 x

 

7 Por lo tanto, sustituyendo cos α cos  α   = dα   = dt

 9   4   dx  en (**) se obtiene que:   = 1 ,  8 =  y 5 dt 5

18 · 16 · 9 242 ·   25 · 5

  −

 

⇐⇒

dα   = dt

9 250

dα ∼ 036.. =   − 0, 036 dt

  −

 

⇐⇒

Se concluye que, el ´aangulo ngulo de depresi´on on  disminuye  a una velocidad de 0,036 radianes cada segundo.

Ejemplo 3

La altura de un tri´angulo angulo disminuye a raz´on on de 2 cm/min cm/min mientr  mientras as que q ue el e l ´area area del mismo mism o dismi di sminuye nuye a raz´on on de d e 3 cm2 /min /min.. 2 ¿A qu´e ritmo cambia la base del tri´ angulo angulo cuando la altura es igual a 20 cm cm y  y el ´aarea rea es de 150 cm ? Soluci´ on. on.   Sea A Sea  A  el ´aarea rea ,, b  b  la base y h y  h  la altura del tri´angulo, angulo, en el instante t instante  t..

Representaci´ on del problema

Situacion ´on cuando h cuando  h  = 20, A 20,  A  = 150

Datos: Rapidez con que  disminuye  tanto la altura, como el ´area area del tri´angulo; angulo; es decir,   dA dh   =   −3 cm2 /min.   =   −2 cm/min cm/min y  y dt dt Determinar: La   variaci´ on on  de la  base  del  tri´ angulo angulo  cuando la altura mide 20 cm cm y  y el ´aarea rea es de 150 cm2 ; o sea, db dt

 

h =

20  cm

A =

150   cm2

´ Ecuaci´ on on que relaciona las variables:   Area del tri´angulo; angulo; por lo que:   A   =

  1   dA   = respecto del tiempo, a ambos lados de (*) , se obtiene que: 2 dt



  bh   (*) 2

  db   dh   + h  b dt dt



  (**)

De la ecuaci´on on anterior, de acuerdo con los datos que se tienen, se puede observar que para poder encontrar la variaci´on on de la base del tri´angulo angulo en el instante en que h que  h =  = 20 y A y  A  = 150, falta calcular el valor de b de  b,, en ese mismo

 

8 instante, el cual lo podemos obtener de la ecuaci´oon n dada en (*).   bh  , entonces 150 = 10 b   ⇐⇒   b  = 15 cm cm.. 2   dh   dA   =   −2, 2, h  h =  = 20 y b y  b =  = 15 en (**) , nos conduce a:   =   −3, La sustituci´on on de dt dt Por lo tanto, como A como  A   =

3 =

−

 1 2

15 (−2) + 20



  db dt

 



⇐⇒

6 =   −30 + 20

−

  db

 

⇐⇒

dt

db dt

 =

  24 20

 =

 6 5

En conclusi´on, on, la base del tri´angulo angulo  aumenta  a raz´on on de 1, 1, 2 cm/min cm/min..

Ejemplo 4

Un controlador a´ereo ereo sit´ua ua dos aviones (A (A  y  B ) en la misma altitud, convergiendo en su vuelo hacia un mismo punto en ´angulo recto. El controlador detecta que el avi´on A angulo on A viaja  viaja a 450 kil´ ometros ometros por hora y el avi´on B on B,, a 600 kil´ometros ometros por hora. a. ¿A qu´ e ritmo var´ var´ıa la distancia entre los dos aviones, cuando   A   y   B   est´aan n a 150 kil´ometros ometros y 200 kil´ometros, ometros, respectivamente, del punto de convergencia? b. ¿De cu´ anto anto tiempo dispone el controlador para situarlos en trayectorias distintas?

Soluci´ on. on.   Sea  Sea   x  la distancia recorrida por el avi´on  on   A,   y  la distancia recorrida por el avi´on  on   B   y   z  la distancia entre los

dos aviones, en cualquier instante  instante   t. Representaci´ on on del pro proble blema ma

Sit Situac uaci´ i´ on on cuando  cuando   x  = 150, y 150,  y  = 200

  dx   =   −450 km/hr   y Datos:   Velocidad  con que los dos aviones se dirigen al punto de convergencia; a saber, dt dy   =   −600 km/hr km/hr.. (Not (Nota: a: Las velocidades velocidades son ambas ambas negativas negativas ya que la distancia de los aviones aviones al punto de dt convergencia conver gencia disminuye)

Determinar:

 

9 (a) La  variaci´ on on  de la  distancia  entre los dos aviones cuando el avi´on A on  A est´  est´a a 150 km km del  del punto de convergencia x = 150 km   dz y el avi´on B on  B   est´a a 200 km km de  de dicho punto; o sea , . dt y = 200 200 km

 

(b) El tiempo requerido por el controlador para cambiar la tray trayectoria ectoria de los aviones, con el fin de evitar que ´estos estos colapsen. 2

2

2

Ecuaci´ on on que relaciona las variables: Por “Pit´agoras”, agoras”, se tiene:   z =   x +   y

(*)

Ecuaci´ on on de razones relacionadas: Deriva Derivando ndo impl´ıcitamente ıcitamente a ambos lados de (*), respecto del tiempo, obtenemos que:

z

  dy   dx   dz   + y   = x dt dt dt

 

(∗∗)

Con base en los datos que se tienen, de la ecuaci´oon n anterior se puede observar que para poder encontrar la variaci´on de la distancia entre los dos aviones, en el instante en que x que  x =  = 150 y y y  y  = 200, falta calcular, en ese mismo instante, el valor de  de   z , el cual se puede obtener de la ecuaci´oon n dada en (*). Dado que z que  z 2 =   x2 +   y2 , entonces z entonces  z 2 = (1 (150 50))2 + (200) (200)2 = 62 500

La sustituci´on on de

 

⇐⇒

  z  = 250 km km..

  dy   dx   =   −600, 600, x  x  = 150, y 150,  y  = 200 y z y  z  = 250 en (**), nos conduce a:   =   −450, dt dt

  150 · (− 450) 450) + 200 200 · (− 600) dz   =   250 dt

⇐⇒

dz   =   −750. dt

Respuesta (a): La distancia entre los dos aviones  disminuye  a raz´on on de 750km/hr 750km/hr..

Respuesta (b): El controlador dispone de 20 minutos para cambiar la trayectoria de los aviones puesto que, en ese tiempo, tiemp o, los l os dos d os aviones avio nes estar e star´´ıan llegando llegand o al mismo punto y colapsar colapsa r´ıan. Justificaci´ on: on: Usando la relaci´on on   d   =   v · t,  se tiene que:

4.3

Para el avi´on on   A: 1150 50 = 45 4500 · t

 

⇐⇒

  t   = 1/3 hr (20 hr  (20 minutos)

Para el avi´on on   B : 200 200 = 60 6000 · t

 

⇐⇒

  t   = 1/3 hr (20 hr  (20 minutos

Eje Ejerci rcicio cioss Com Comple plemen mentar tarios ios

Plantear y resolver los siguientes problemas.

 

10 1. Un ni˜ no no usa una pajilla para beber agua de un vaso c´onico (con el v´ ertice ertice hacia abajo) a raz´ on o n de de 3 cm3 /seg. Si la altura del vaso es de 10 cm y si el di´aametro metro de la parte superior es de 6 cm, ¿con qu´e rapidez ba ja el nivel del agua cuando la profundidad es de 5 cm? ¿Cu´al al es la variaci´on on del radio en ese mismo instante? 2. La longitud longitud del largo de un rect´ rectangulo ´angulo disminuye a raz´on on de 2 cm/seg, mientras que el ancho aumenta a raz´on on de 2 cm/seg. Cuando el largo es de 12 cm y el ancho de 5 cm, hallar: a. la variaci´on on del ´area area del rect´angulo angulo b. la variaci´on on del per´ımetro ımetro del rect´angulo angulo c. la variaci´on on de las longitudes de las diagonales del rect´angulo angulo 3. Dos lados de un tri´ angulo angulo miden 4 m y 5 m y el ´aangulo ngulo entre ellos aumenta con una rapidez de 0,06 rad/seg. Calcule la rapidez con que el area ´area y la altura del tri´angulo angulo se incrementan cuando el ´angulo angulo entre los lados es de de π  π /3. 4. Una luz luz est´ esta´ en el suelo a 45 metros de un edificio. Un hombre de 2 metros de estatura camina desde la luz hacia el edificio a raz´on on constante de 2 metros por segundo. ¿A qu´e velocidad est´ a disminuyendo su sombra sobre el edificio en el instante en que el hombre est´a a 25 metros del edificio? 5. Un glo globo bo est´ est´a a 100 metros sobre el suelo y se eleva verticalmente a una raz´on on constante de 4 m/seg. Un autom´ovil ovil pasa por debajo viajando por una carretera recta a raz´on on constant constantee de 60 m/seg. m/seg. ¿Con qu´e rapidez rapidez cambia cambia la distancia entre el globo y el autom´ovil ovil   1/2  se  segund gundoo despu´ desp u´es? es? 6. Considere Considere un dep´ deposito ´osito de agua en forma de cono invertido. Cuando el dep´osito osito se descarga, su volumen disminuye 3 a raz´on on de 50 π   m /min. Si la altura del cono es el triple del radio de su parte superior, ¿con qu´e rapidez var´ var´ıa el nivel del agua cuando est´ a a 5 m del fondo del dep´osito? osito? 7. Un globo asci asciend endee a 5 m/seg desde desde un punto punto en el sue suelo lo que dista 30 m de un observ observado ador. r. Calcul Calcular ar el rit ritmo mo de cambio del angulo ´angulo de elevaci´on on cuando el globo est´a a una altura de 17,32 metros. 8. Considere Considere un tri´ triangulo ´angulo rect´angulo angulo de catetos a catetos  a  y  b.  b . Si el cateto a cateto  a  decrece a raz´on on de 0,5 cm/min y el cateto b cateto  b  crece a raz´on on de 2 cm/min, determine la variaci´on on del ´area area del tri´angulo angulo cuando a cuando  a  mide 16 cm y b y  b  mide 12 cm. 9. Dos lados paralelos paralelos de un rect´ angulo angulo se alargan a raz´oon n de 2 cm/seg, mientras que los otros dos lados se acortan de tal manera que la figura permanece como rect´aangulo ngulo de ´area area constante igual a 50 cm2 . ¿Cu´al al es la variaci´on on del lado que se acorta y la del per´ per´ımetr ımetroo cuando cuando la longitud del lado que aumenta aumenta es de 5 cm? 10. Un tanque tanque c´ onico onico invertido de 10 m de altura y 3 m de radio en la parte superior, se est´a llenando con agua a raz´on on constante. ¿A qu´e velocidad se incrementa el volumen del agua si se sabe que cuando el tanque se ha llenado hasta la mitad de su capacidad, la profundidad del agua est´a aumentando a raz´oon n de un metro metro por minuto? minuto? ¿Cu´ ¿Cuanto ´anto tiempo tardar´a el tanque en llenarse? 11. Se vierte vierte arena arena en el suelo suelo a raz´ razon ´on de 0,4 m3 por segundo segundo.. La arena arena forma en el suelo suelo una pila en la for forma ma de un cono cuya altura es igual al radio de la base. ¿A qu´e velocidad aumenta la altura de la pila 10 segundos despu´es es de que se empez´o a vertir la arena?

 

11 12. Un rect´ rect´ aangulo ngulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados positivos p ositivos y su v´ertice ertice opuesto al origen est´a sobre la curva de ecuaci´on y on  y  = 2x , seg´ un un se muestra en la figura adjunta. En este v´ ertice, ertice, la coordenada y coordenada  y  aumenta a raz´on on de una unidad por segundo. ¿Cu´al al es la variaci´on on del area ´area del rect´angulo angulo cuando  cuando   x  = 2?

4.3.1

Respuest Respuestas as de los ejerci ejercicios cios complem complement entarios arios

1. El nivel del agua disminuy disminuyee a raz´ on on de 4/ 4/3π  cm/seg y el radio disminuye a raz´on on de 2/ 2/5π  cm/seg. 2. (a) El ´area area aumenta a raz´on on de 14 cm2 /seg. (b) El per pe r´ım ımetr etroo no var´ııa. a. (c) Las diagonales disminuyen a raz´oon n de 1,08 cm/seg. 3. El area ´area aumenta a raz´on on de 0,30 m2 /seg. La altura aumenta aumenta a raz´ on on de 0,12 m/seg, cuando la base del tri´angulo angulo es de 5 m, y a raz´on on de 0,15 m/seg, cuando la base es de 4 m. 4. La sombra del hombre hombre disminuye disminuye a una velocidad de 0,45 m/seg. 5. La distancia distancia entre el globo y el auto aumenta aumenta a una velocidad velocidad de 20,77 m/seg. 6. El nivel del agua disminuy disminuyee a raz´ on on de 18 m/min. 7. El angulo ´angulo de elevaci´on on aumenta a un ritmo de 0,125 rad/seg. 8. El area ´area aumenta a una velocidad de 13 cm 2 /min. 9. El lado y el per´ per´ımetro disminuyen, ambos, a raz´ on on de 4 cm/seg. 10. El volumen volumen aumenta aumenta a raz´on on de 17,81 m3 /min. El tanque se llena en 5,29 minutos. 11. La altura aumenta aumenta a una velocidad velocidad aproximad aproximadaa de 0,052 0,05211 m/seg.

 

12 12. El ´area area del rect´angulo angulo aumenta a raz´oon n de 3,443 unidades cuadradas por seg.