Ejercicios de Programacion Lineal

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LOS LIBERTADORES INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES SEMESTRE I DE 2014 PREPARACIÓN PARCIAL I PROFESOR: ING. ANDRÉS R. PRIETO B. MSc. Presentado por: Karen Rico Estrada Codigo: 201129159603 Los siguientes ejercicios tienen como propósito reforzar en el estudiante los conceptos vistos en clase, así como promover el perfeccionamiento en la modelación de problemas de carácter lineal. Su entrega es de carácter voluntario; no obstante si el estudiante decide realizarlos, debe resolverse el taller en su totalidad y ser entregados antes de iniciar el parcial acordado. NOTA: En los problemas que solicitan solución por SOLVER, se aclara que pueden ser resueltos utilizando cualquier software que el estudiante considere pertinente. 1. En el plano cartesiano se presentan cuatro cuadrantes, en donde se localizan las parejas ordenadas (x,y), cada una de ellas con su respectivo signo (+ ò ) que son los que determinan su localización. ¿En qué cuadrantes las variables (x,y) tienen diferentes signos? a. I y II e. IV y I

b. II y IV

c. III y I

d. I y III

2. Dos rectas en el mismo sistema de coordenadas rectangulares en un plano, se pueden relacionar de una de tres maneras: 1.Tienen una única solución; 2. No tienen solución; solución; ó 3. Tiene infinitas infinitas soluciones. soluciones. ¿Cuando se dice que las rectas tienen infinitas soluciones es por qué? a. Las rectas son perpendiculares paralelas c. las rectas se intersecan solo una vez coincidentes

b.

Las

rectas

son

d.

Las

rectas

son

3. Al trazar una recta en el plano cartesiano cuyos puntos A y B tiene las siguientes coordenadas, A ( -X,Y ) y B ( -X,-Y ), podemos decir que: a. b. c. d. e.

La línea está en La línea está en La línea está en La línea está en La línea está en

los cuadrantes I y II y es perpendicular al eje X los cuadrantes I y II los cuadrantes II y III los cuadrantes II y III y es paralela al eje X los cuadrantes II y III y es perpendicular al eje Y

4. En programación lineal se presenta un número (M) de ecuaciones y número (N) de variables, en donde por ser un modelo de programación lineal de cumplir con ciertos criterios. ¿Cuál de las siguientes expresiones es una ecuación lineal? a. y = ax+b

b. y = 3x2+2

c. y = x2+2 d. y = x2

e. y = 3x2+1

5. Resolver por el método gráfico y comprobar el siguiente sistema de ecuaciones x + y = 10 x – y = 6

6. Cierto problema expresado matemáticamente en un formato de programación lineal, en donde se busca Maximizar U (utilidad), sujeto a las restricciones dadas. Se pide Graficar. Max U = 5X + 5Y Sujeto a: 12x + 8y ≤ 96 6x + 12y ≤ 72 x ≥ 2 y y ≥ 0

Rta: El máximo punto se encuentra ubicado en (6,3) como se observa en la gráfica anterior. 7. RMC es una empresa pequeña que produce diversos productos químicos. En un proceso de producción en particular se utilizan tres materia primas para elaborar dos productos: un aditivo para combustible y una base disolvente. El aditivo para combustible se vende a empresas petroleras y se utiliza en la producción de gasolina y otros combustibles relacionados. La base disolvente se vende a varias empresas químicas y se utiliza tanto para productos de limpieza para el hogar como industriales. Para formar el aditivo para combustible y la base de disolvente de mezclan tres materia primas, según apara ce en la siguiente tabla: NECESIDADES DE MATERIA PRIMA POR TONALADA Materia Prima Producto 1 2 3  Aditivo para 2/5 0 3/5 combustible Base ½ 1/5 3/10 disolvente Utiliza ½ toneladas de materia prima 1 en cada tonelada de base de disolvente. La producción de RMC está limitada por la disponibilidad de las tres materia primas. Para el período de producción actual, RMC tiene disponibles las cantidades siguientes de cada una de las materias primas Materia Prima

Cantidades disponibles

Materia prima 1 Materia Prima 2 Materia prima 3

para la producción 20 toneladas 5 toneladas 21 toneladas

Debido al deterioro y la naturaleza del proceso de producción, cualquier materia prima que no se utilice para producción actual resulta inútil y debe descartarse. El departamento de control de calidad ha analizado las cifras de producción, signando todos los costos correspondientes, y para ambos productos llegó a precios que resultarán en una contribución a la utilidad de 40 dólares por tonelada de aditivo para combustible producida y de 30 dólares por cada tonelada de base disolvente producido. La administración de RMC, después de un análisis de la demanda potencial, ha concluido que los precios establecidos asegurarán la venta de todo el aditivo para combustible y de toda la base disolvente que se produzca. El problema de RMC es determinar cuántas toneladas de cada producto deberá producir para maximizar la contribución total de la utilidad. Si Ud. Estuviera a cargo de la programación de la producción para RMC. ¿Qué decisión tomaría? Esto es, ¿Cuántas toneladas de aditivo para combustible y cuántas toneladas de base disolvente produciría usted para el período actual de producción? Escriba sus decisiones abajo y encuentre sus resultados Rta. De acuerdo con el análisis efectuado, las toneladas que se deben producir para maximizar la contribución total de la utilidad son 24.86 toneladas de aditivo para combustible y 20.11 toneladas de base para disolvente. Variables:

X= Aditivo para combustible Y= Base para disolvente

F.O=> Max Z = 40 x +30 y Restricciones: Materia prima 1 => 0,4 X +0,5 Y < 20 Materia prima 2 => +0,25Y < 5 Materia prima 3 => 0,6 X +0,3 Y < 21 X, Y> 0

8. Innis Investments administra fondos de empresas y clientes pudientes. La estrategia de inversión se adecua a las necesidades de cada cliente. Para un cliente nuevo, a Innis se le ha autorizado invertir hasta 1’200.00 dólares en

fondos de inversión: un fondo de acciones y un fondo del mercado de dinero. Cada unidad del fondo de acciones cuesta 50 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 10%; cada unidad del fondo de mercado de dinero cuesta 100 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 4%. El cliente desea minimizar el riesgo, pero quiere tener un ingreso anual sobre la inversión de por lo menos 60.000 dólares. De acuerdo con el sistema de medición del riesgo del Innis, cada unidad adquirida en el fondo de acciones tiene un índice de riesgo del 8, y cada unidad adquirida en el fondo de mercado de dinero tiene un índice de riesgo de 3. El índice de riesgo más elevado con el fondo de acciones indica, simplemente que se trata de una inversión más riesgosa. El cliente de Innis también ha especificado que se inviertan por lo menos 3.000 dólares en el fondo de mercado de dinero. ¿Cuántas de cada uno de los fondos deberá adquirir Innis para el cliente, si el objetivo es minimizar el índice de riesgo total para esa cartera? Variables:

X= Unidad adquirida en el fondo de acciones Y= Unidad adquirida en el fondo de mercado

F.O=> Min el riesgo Z = 8x +3y Restricciones: Fondos de inversión => 50 x +100 y < 1.200.000 Tasa de rendimiento => 10 x + 4y > 60.000 Inversión FM => 100 y > 3.000

X, Y> 0

Rta: Para minimizar el índice de riesgo total para esa cartera Innis debe adquirir 2.340 unidades en el fondo de acciones y 30 en el fondo de mercado. 9. PAR es un pequeño fabricante de equipo y accesorios para golf cuyo distribuidor lo convenció de que existe un mercado tanto para la bolsa de golf de precio medio, conocida como modelo estándar, como para una bolsa de golf de precio elevado, conocida como modelo deluxe. El distribuidor tiene tanta confianza en el mercado que si PAR puede fabricar las bolsas a un precio competitivo, el distribuidor está de acuerdo en adquirir todas las bolsas que PAR pueda fabricar en los siguientes tres meses. Un análisis cuidadoso de los requerimientos de fabricación dieron como resultado la tabla siguiente, que muestra las necesidades de tiempo de producción para las cuatro operaciones de manufactura requeridas y la estimación por parte del departamento de contabilidad de la contribución a la utilidad por bolsa. Tiempo de producción Producto

Corte y teñido

Estándar Deluxe

7/10 1

Costura

Terminad o

Inspección y empaque

1/2 5/6

1 2/3

1/10 ¼

Utilidad por Bolsa $10 $9

El director da manufactura estima que durante los siguientes tres meses estarán disponibles 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de tiempo de costura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspección y empaque para la producción de las bolsas de golf. a) Si la empresa desea maximizar la contribución total a la utilidad, ¿Cuántas bolsas de cada modelo deberá fabricar?

b) ¿Qué contribución a la utilidad puede obtener PAR de estas cantidades de producción? c) ¿Cuántas horas de producción se programarán para cada operación? d) ¿Cuál es el tiempo de holgura de cada operación? Variables: x = Cantidad de unidades de bolsas de golf estandar y = Cantidad de unidades de bolsas de golf de lujo F.O. Z max = 10x + 9y Restricciones: Horas de Corte y teñido 0.7x + y ≤ 630 Horas de Costura 0.5x + 0.8334y ≤ 600 Horas de Terminado x + 0.6667y ≤ 708 Horas de Inspección y Empaque 0.1x + 0.257y ≤ 135 X1; X2 ≥0

Calculo de horas a usar y tiempos de holgura. Horas de Corte y teñido 0.7(539,98) + (252,01) = 630 378 +252 =630 630=630 Horas de Costura 0.5(539,98) + 0.8334(252,01) = 600

 

270+210=630 480=630 Diferencia 630-148=120 Horas de Terminado (539,98) + 0.6667(252,01) = 708 540+168 =708 708=708 Horas de Inspección y Empaque 0.1(539,98) + 0.257(252,01) = 135 54 +63 =135 117=135 Diferencia 135-117=18 a) Si la empresa desea maximizar la contribución total a la utilidad, ¿Cuántas bolsas de cada modelo deberá fabricar? La empresa debe fabricar 540 bolsas de golf estándar y 252 bolsas de golf deluxe. b) ¿Qué contribución a la utilidad puede obtener PAR de estas cantidades de producción? La contribución total es de 7.670, 42 dólares. c) ¿Cuántas horas de producción se programarán para cada operación? Se programarán 630 horas de Corte y Teñido, 480 horas de Costura, 708 horas de Terminado y 117 horas de Inspección y Empaque. d) ¿Cuál es el tiempo de holgura de cada operación? Los tiempos de holgura son de 120 para Costura y 18 horas para Inspección y Empaque. Las operaciones de Corte y Teñido, y Terminado no tienen holgura. 10. Kelson Sporting Equipment fabrica dos modelos de guantes de béisbol: uno normal y una manopla de catcher. La empresa tiene disponibles 900 horas de tiempo de producción en su departamento y corte y costura, 300 horas disponibles en el departamento de terminado y 100 horas disponibles en el departamento de empaque y embarque. Los requerimientos de tiempo de producción y la contribución a la utilidad de cada uno de los productos es: Tiempo de producción(horas) Modelo

Corte y costura

Normal Catcher

1 3/2

Terminado

Empaque y embarque

Utilidad por Guante

1/2 1/3

1/8 1/4

$5 $8

Suponga que la empresa está interesada en maximizar la contribución total de la utilidad. a) ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema?

b) Encuentre la solución óptima. ¿Cuántos guantes de cada modelo deberá fabricar Kelson? c) ¿Cuál es la contribución total a la utilidad que puede ganar Nelson con las cantidades de producción arriba citadas? d) ¿Cuántas horas de producción serían programadas en cada departamento? e) ¿Cuál es el tiempo libre de cada departamento? Variables:

x = Guante normal y = Guante catcher

F.O. Z max = 5x + 8y 1x + 1,5y ≤ 900 Restricciones: Corte y costura 0.5x + 0.333y ≤300 Terminado 0,125x + 0,255y ≤ 100 Empaque y embarque X;Y≥0

Corte y costura

1x + 1,5y ≤ 900

503,60 +145,56 =900 721,94=900 Diferencia 900-721,94=178 Terminado

0.5x + 0.333y ≤300

251,8+48,51=300 300=300 0,125x + 0,255y ≤ 100 Empaque y embarque 62,95 +37,11 =100

 

100=100

b) ¿Cuántos guantes de cada modelo deberá fabricar Kelson? Se deben fabricar 503 guantes normales y 146 guantes de cátcher. c) ¿Cuál es la contribución total a la utilidad que puede ganar Nelson con las cantidades de producción arriba citadas? La contribución total es de 3692,56 dolares. d) ¿Cuántas horas de producción serían programadas en cada departamento? Se programarán 722 horas de Corte y costura, 300 horas de terminado y 100 horas de empaque y embarque. e) ¿Cuál es el tiempo libre de cada departamento? Los tiempos de libres son de 178 horas parara corte y costura. 11. George Johnson heredó recientemente una gran suma de dinero; desea utilizar parte de este dinero para establecer un fideicomiso para sus dos hijos. El fideicomiso tiene dos opciones de inversión: (1) un fondo de bonos y (2) un fondo de acciones. Los rendimientos proyectados durante la vida de las inversiones son 6% para el fondo de bonos y 10% para el de acciones. Independientemente de la porción de la herencia que finalmente decida comprometer al fideicomiso, desea invertir por lo menos 30% de dicha cantidad en el fondo de bonos. Además, desea seleccionar una combinación que le permita obtener un rendimiento total de por lo menos 7.5%. Variables:

x = fondo de bonos y = fondo de acciones

F.O. Z max = x + y Restricciones: Rendimientos 6x + 10y > 7.5 Inversión x >30 x+y ≤ 100 Rendimiento total X;Y≥0

a) Formule un modelo de programación lineal que pueda utilizarse para determinar el porcentaje que debe asignarse a cada una de las posibles alternativas de inversión. b) Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica y por solver. c) Plantee y resuelva el problema DUAL d) Determine el valor de los precios de sombra.

12. El propietario de Sea Warf Restaurant desearía determinar cuál es la mejor forma de asignar un presupuesto mensual de publicidad de 1.000 dólares entre periódicos y la radio. La administración ha decidido que por lo menos 25% del presupuesto debe utilizarse en cada uno de estos dos tipos de medios y que el monto del dinero gastado en publicidad en periódicos locales debe tener por lo menos el doble de los que se gaste en radio. Un asesor de mercadotecnia ha desarrollado un índice que mide la exposición del auditorio por dólar de publicidad en una escala de 0 al 100, donde valores más elevados del índice indican mayores exposiciones al auditorio. Si el valor del índice para publicidad en los periódicos locales es de 50, y para el anuncio de radio es de 80, ¿Cómo debería asignar la administración el presupuesto de publicidad, a fin de maximizar el valor de exposición total en el auditorio? a) Formule un modelo de programación lineal que se pueda utilizar para determinar la manera en que la administración debe asignar el presupuesto de publicidad a fin de maximizar el valor de la exposición total del auditorio. b) Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica y por solver. c) Plantee y resuelva el problema DUAL d) Determine el valor de los precios de sombra. Formulación del modelo: 1. Definición de variables X1 = Cantidad de dólares asignados a periódicos X2 = Cantidad de dólares asignados a radio 2. Función Objetivo Max z = 50X1 + 80X2 3. Restricciones X1 ≥ 0.25(X1 + X2) mínimo para periódicos X2 ≥ 0.25(X1 + X2) mínimo para radio X1 ≥ 2X2 relación periódicos y radio X1 + X2 ≤ 1000 presupuesto

No negatividad Xi ≥0; i=1,2

13. Invesment Advisors es una empresa de corretaje que administra carteras de valores para clientes. Un cliente nuevo ha solicitado que la empresa maneje una cartera de inversiones de $80.000. Como estrategia inicial de inversión, el cliente desea restringir la cartera a una combinación de las acciones siguientes:  Acción

Precio por  Acción

U.S. OIL Hub Properties

$25 $50

Rendimiento anual estimado por acción $3 $5

Índice de riego 0.50 0.25

El índice de riesgo por acción es una clasificación del riesgo relativo de dos alternativas de inversión. Para los datos dados, se piensa que U.S. OIL es la inversión sujeta a más riesgo. Al restringir el riesgo total de la cartera, la firma de inversiones evita colocar cantidades excesivas de la cartera en inversiones potencialmente de rendimiento alto y riesgo elevado. Para la cartera actual se ha establecido un límite superior a 700 para el índice de riesgo total de todas las inversiones, también la empresa ha establecido un límite superior de 1.000 acciones para los valores U.S. OIL más . ¿Cuántas acciones de cada uno de estos valores deben ser adquiridos a fin de maximizar en rendimiento anual total?

Formulación del modelo:

Definición de variables X1 = Cantidad de acciones en U.S.Oil X2 = Cantidad de acciones en Hub Properties Función Objetivo Max Z = 3X1 + 5X2 Restricciones 0.50X1 + 0.25X2 ≤ 700 por riesgo X1 ≤ 1000 inversión en U.S. OIL

25X1 + 50X2 = 80.000 inversión en acciones No negatividad Xi ≥0; i=1,2

14. Tom’s  produce varios productos alimenticios mexicanos y los vende a Western Foods, cadena de tiendas de abarrotes localizada en Texas y Nuevo México. Tom’s fabrica dos salsas: Western Foods Salsa y México City Salsa.

Esencialmente, ambos productos son mezclas de tomates enteros, 30% de salsa de tomate y 20% de pasta de tomate. La México City Salsa, que tiene una consistencia más espesa y troceada, está elaborada con 70% de tomates enteros, 10% de salsa de tomate y 20% de pasta de tomate. Cada tarro de salsa producida pesa 10 onzas. Para el período de producción actual, Tom’s puede adquirir hasta 280 libras de tomates enteros, 130 libras

de salsa de tomate y 100 libras de pasta de tomate, el precio por libra de estos ingredientes es $0.96, $0.64 y $0.56 respectivamente. El costo de las especias y de los demás ingredientes es de aproximadamente $0.10 por recipiente. Tom’s compra tarros de vidrio vacíos a $0.02 cada uno, y los

costos de etiquetado y llenado se estiman en $0.03 por cada tarro de salsa producido. El contrato de Tom’s con Western Foods resulta en ingresos por ventas de $1.64 por cada tarro de Western Foods Salsa y de $1.93 por cada tarro de México City Salsa.

a. Desarrolle un modelo de programación lineal que le permita a Tom’s determinar

la mezcla de salsa que maximice la contribución total a la utilidad. b. Haga una gráfica de la región factible. c. Resuelva las ecuaciones lineales simultáneas apropiadas a fin de determinar las coordenadas de cada punto extremo. d. Encuentre la solución óptima Formulación del modelo:

Definición de variables X1 = Cantidad de tarros de salsa Western Foods X2 = Cantidad de tarros de salsa México City Función Objetivo Max Z = (1.64(0.10 + 0.02 + 0.03 + 50%(10)(0.96)/16 + 30%(10)(0.64)/16 + 20%(10)(0.56)/16))X1 + (1.93 – 0.10 + 0.02 + 0.03 + 70%(10)(0.96)/16 + 10%(10)(0.64)/16 + 20%(10)(0.56)/16)) X2 Max Z = (1.64  – (0.15 + 0.3 + 0.12 + 0.07))X1 + (1.93  – (0.15 + 0.42 + 0.04 + 0.07))X2 Max Z = 1X1 + 1.25X2 Restricciones 5X1 + 7X2 ≤ 4480 libras de tomates enteros 3X1 + 1X2 ≤ 2080 libras de salsa de tomate 2X1 + 2X2 ≤ 1600 libras de pasta de tomate

No negatividad Xi ≥0; i=1,2

15. El editor de producción de Rayburn Publishing Company tiene 1.800 páginas de manuscrito que debe ser revisadas. Debido al poco tiempo involucrado, sólo hay dos revisores disponibles Erhan Mergen y Sue Smith. Erhan tiene diez días disponibles y Sue doce días. Erhan puede procesar 100 páginas de manuscrito por día, y Sue 150 páginas diarias. Rayburn Publishing Company ha desarrollado un índice para medir la calidad general de un revisor en una escala de 1 (peor) a 10 (mejor). La calidad de Erhan es 9 y la de Sue es 6, además, Erhan cobra 3 dólares por página de manuscrito revisado, Sue cobra 2 dólares por página. Se ha asignado un presupuesto de $4.800 para la revisión, ¿cuántas páginas deben ser asignadas a cada revisor para completar el proyecto con la calidad más elevada posible? Cuál es el problema DUAL, qué significan los precios de sobra para el problema y a cuánto ascienden? Formulación del modelo:

Definición de variables X1 = cantidad de páginas revisadas por Erhan X2 = cantidad de páginas revisadas por Sue Función Objetivo Max Z = 9X1 + 6X2

Restricciones 3X1 + 2X2 ≤ 4.800 presupuesto X1 + X2 = 1.800 número de páginas X1/100 ≤ 10 días disponibles de Erhan X2/150 ≤ 12 días disponibles de Sue No negatividad Xi ≥0; i=1,2

16. Car Phones vende dos modelos de teléfono para automóvil: X y Y Los registros muestran que se utilizan 3 horas de tiempo de ventas por cada modelo de teléfono X vendido, y 5 horas de tiempo de ventas por cada teléfono de modelo Y. Están disponibles un total de 600 horas de venta para el siguiente período de cuatro semanas. Además, las políticas de planeación de la administración exigen metas mínimas de ventas de 25 unidades, tanto para el X como para el Y. a. Muestre la región factible b. Si la empresa obtiene una contribución a la utilidad de 40 dólares por cada modelo X vendido y una contribución a la utilidad de 50 dólares por cada modelo Y vendido. ¿Cuál es la meta óptima de ventas para la empresa durante el período de 4 semanas? c. Desarrolle una restricción y muestre la región factible si la administración agrega la restricción que Car Phones debe vender por lo menos tantos teléfonos Y como teléfonos X.

d. ¿Cuál es la nueva solución óptima si al problema se le agrega la restricción del inciso (c)? e. Plantee y resuelva el problema DUAL f. Determine el valor de los precios de sombra Formulación del modelo:

Definición de variables X1 = Número de unidades de teléfonos modelo X X2 = Número de unidades de teléfonos modelo Y Función Objetivo Max Z = 40X1 + 50X2 Restricciones 3X1 + 5X2 ≤ 600 horas de venta disponibles X1 ≥ 25 meta mínima de venta X2 ≥ 25 meta mínima de venta No negatividad Xi ≥0; i=1,2

17. Greentree Kennels proporciona alojamiento por una noche para mascotas. Una característica particular en Greentree es la calidad del cuidado que reciben las mascotas, incluyendo una excelente alimentación. La comida para perros de la perrera se elabora mezclado dos alimentos de marca para perros a fin de obtener lo que la perrera identifica como una “dieta para perros bien balanceada”. Los datos para las dos comidas con las siguientes:

Comida Bark Bits Canine Chow

Costo/onza 0.06 0.05

Proteínas % Grasa % 30 15 20 30

Si Greentree desea asegurarse de que los perros reciban por lo menos 5 onzas de proteínas y como mínimo 3 onzas de grasas cada día, ¿Cuál es la mezcla de costo mínimo de los alimentos para perros? Formulación del modelo:

Definición de variables X1 = Cantidad de onzas de comida Bark Bits X2 = Cantidad de onzas de comida Canine Chow Función Objetivo Min Z = 0.06X1 + 0.05X2 Restricciones 0.3X1 + 0.2X2 ≥ 5 contenido de proteínas 0.15 X1 + 0.3 X2 ≥ 3 contenido de grasas No negatividad Xi ≥0; i=1,2

18. La New England Cheese Company produce dos quesos crema mezclando quesos chedar tanto suave como extrafuerte. Los quesos crema se empacan en recipientes de 12 onzas, que después se venden a distribuidores en todo el noroeste. La mezcla Regular contiene 80% de chedar suave y 20% de extrafuerte y la mezcla Zesty contiene 60% de chedar suave y 40% de extrafuerte. Este año, una cooperativa lechera local ha ofrecido entregar hasta 8.100 libras de queso chedar a $1.20 por libra y hasta 3.000 libras de queso chedar extrafuerte a $1.40 por libra. El costo de mezclar y empacar estos quesos crema, excluyendo el costo del queso mismo, es de $0.20 por recipiente. Si cada recipiente de Regular se vente a $1.95 y cada recipiente Zesty se vende a $2.20. ¿Cuántos recipientes deberá producir New England Cheese de Regular y Zesty? Formulación del modelo:

Definición de variables X1 = Cantidad (en miles) de recipientes de queso Regular X2 = Cantidad (en miles) de recipientes de queso Zesty Función Objetivo Max Z = (1.95 – 0.20 - 0.80*0.75*1.20 – 0.60*0.75*1.40)X1 + (2.20 – 2.0 – 0.20 * 0.75 *1.20 – 0.40*0.75*1.40)X2 Max Z= 0.40X1 + 1.40X2 Restricciones 0.80*0.75X1 + 0.60*0.75X2 ≤ 8,1 queso chedar suave 0.20*0.75X1 + 0.40*0.75X2 ≤ 3,0 queso chedar extrafuerte No negatividad

Xi ≥0; i=1,2

19. Los administradores de Healthtech Foods están considerando desarrollar un nuevo bocadillo bajo en grasas. Se trata de una mescla de dos tipos de cereales, cada una de ellos con distintas características en fibras, grasas y proteínas. La tabla siguiente muestra estas características por onza de cada tipo de cereal. Cereal  A B

Fibra dietética (gramos) 2 1.5

Grasas (gramos)

Proteínas (gramos)

2 3

4 3

Note que cada onza de cereal A proporciona dos gramos de fibra dietética y que cada onza de cereal B da 1.5 gramos de fibra dietética, por lo que si Healthtech fuera a desarrollar el nuevo producto utilizando una mezcla formada de 50% de cereal A y 50% de cereal B, una onza de éste contendría 1.75 gramos de fibra dietética. Los requisitos nutricionales de Healthtech exigen que cada onza del nuevo alimento tenga por lo menos 1.7 gramos de fibra dietética, no más de 2.8 gramos de grasa y no más de 3.6 gramos de proteínas. El costo del cereal A es de $0.02 por onza y el del B es de $0.025 por onza. Healthtech desea determinar cuánto de cada cereal es necesario para producir una onza del nuevo producto al menor costo posible. a. Formule el modelo de programación lineal para esta situación b. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica c. ¿Cuáles son las variables de holgura y de excedente d. Si Healthtech pone en el mercado el nuevo cereal en un paquete de 8 onzas. ¿Cuál sería el costo del paquete?

Formulación del modelo:

Definición de variables X1 = Cantidad de onzas de cereal A X2 = Cantidad de onzas de cereal B Función Objetivo Min Z = 0.02X1 + 0.025X2 Restricciones 2X1 + 1.5X2 ≥ 1.7 por fibra dietética 2X1 + 3X2 ≤ 2.8 por grasas 4X1 + 3X2 ≤ 3.6 por proteínas X1 + X2 = 1 onzas No negatividad Xi ≥0; i=1,2

20. para empresas fabricantes de jabones para baño, detergentes para lavandería y otros productos de jabón. Apoyándose en un análisis de los niveles actuales de inventarios y de la demanda potencial para el mes de los productos 1 y 2 combinados debe ser de por lo menos 350 galones.  Además debe cumplir con un pedido de un cliente de importancia de 125

galones del producto 1. El tiempo de procesado del producto 1 requiere dos horas por galón, y del producto 2 requiere de una hora; para el mes siguiente, hay disponibilidades de 600 horas de proceso. Los costos de producción son 2 dólares por galón del producto 1 y 3 dólares del producto 2. a. Determine las cantidades de producción que satisfagan los requisitos especificados al costo mínimo. b. ¿Cuál es el costo total del producto? c. Identifique la cantidad de cualquier producción excedente. Formulación del modelo:

Definición de variables X1 = Cantidad de galones del producto 1 X2 = Cantidad de galones de producto 2 Función Objetivo Min Z = 2X1 + 3X2 Restricciones X1 + X2 ≥ 350 galones producidos X1 ≥ 125 pedido de un cliente 2X1 + 1X2 ≤600 horas de proceso No negatividad Xi ≥0; i=1,2