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Max Z = x 1 + x2 …….(1) Sujeto a: x1 > 300…... (2) (al menos) x2 > 400 ......(3) x1 + x2 < 1200 .......(4) x1, x2 > 0 Problema 18:
(Esa!"o #e $lma!enam"ento) En el eje%!"!"o ante%"o%, suon&amos 'ue los asos #el %"me% tamao o!uan * "n 2 #el ana'uel los #el se&un#o "n 2. El -%ea total #e ana' ana'ue uele less #"s #"son on" "le less a%a a%a alma alma!e !ena na%% es a lo sumo sumo #e 2./ 2./ t2. ete ete%m %m"n "ne e las las !ant"#a#es os"les #e los asos must%elo !on una &%-"!a. Solu!"n: a%"ales: x1 = la 5ant"#a# #e asos #e %"me% tamao x2 = la 5ant"#a# #e asos #e se&un#o tamao Max Z = x 1 + x2 …….(1) Sujeto a: x1 > 300…... (2) (al menos) x2 > 400 ......(3) x1 + x2 < 1200 .......(4) *x1 + x2 < 2./ .......(6) x1, x2 > 0 Problema 19:
(7lanea!"n (7lanea!"n "ett"!a) "ett"!a) 8na e%sona est- ensan#o ensan#o %eemla9a% en su #"eta #e la !a%ne o% %"joles #e soa. 8na on9a #e !a%ne !ont"ene un %ome#"o #e !as" #e &%amos #e %ote;na m"ent%as 'ue una on9a #e %"joles #e soa (e%#e) !ont"ene !as" 3 &%amos #e %ote;na. S" %e'u"e%e 'ue s" !onsumo #e %ote;na #"a%"a 'ue ot"ene #e la !a%ne #e los %"joles #e soa !om"na#os #ee se% al menos #e 60 &%amos. u !om"na!"n #e stos nut%"entes o%ma%-n un #"eta a!etale Solu!"n: a%"ales: x1 = la 5ant"#a# #e 5a%ne x2 = la 5ant"#a# #e ?%"joles #e Soa M"n Z = x 1 + x2 …….(1) Sujeto a: x1 + 3x2 > 60 .......(6) x1, x2 > 0
Problema 20:
(E!olo&;a) 8n estan'ue #e e!es los aaste!en !a#a %"mae%a !on #os ese!"as #e e!es S @. Aa #os t"os #e !om"#a ? 1 ?2 #"son"les en el estan'ue. El eso %ome#"o #e los e!es el %e'ue%"m"ento #"a%"o %ome#"o #e al"mento a%a !a#a e9 #e !a#a ese!"a est- #a#o en el !ua#%o s"&u"ente: Ese!"es S @
?1 2 8n"#a#es 3 8n"#a#es
?2 3 8n"#a#es 1 8n"#a#es
7eso 7%ome#"o 3 l"%as 2 l"%as
B tCe%e a%e s"x Cun#%e# o ? 1 an# tC%ee Cun#%e# o ? 2 ee%#a. AoD #o ou #e"t sul tCe ool o% DCat tCe total De"&Ct o "sCes a%e at least 400 oun#s Solu!"n: u es lo 'ue amos a Max"m"9a% x1 = la 5ant"#a# #e aaste!"m"ento #e 7e!es (ES7E5BE S) en 7%"mae%a en 8n"#a#es x2 = la 5ant"#a# #e aaste!"m"ento #e 7e!es (ES7E5BE @) en 7%"mae%a en 8n"#a#es Max Z = x 1 + x2 …….(1) Sujeto a: 2x1 + 3x2 < 00 …….. (2) 3x1 + 1x2 < 300 ……….(3) 3x1 + 2x2 > 400 lo 'ue 'ue#a 7lantea#o x1, x2 > 0 Problema 21:
8n &%anje%o t"ene 200 !e%#os 'ue !onsumen *0 l"%as #e !om"#a ese!"al to#os los #;as. El al"mento se %ea%a !omo una me9!la #e ma;9 Ca%"na #e soa !on las s"&u"entes !omos"!"ones: "%as o% "%a #e $l"mento $l"mento 5al!"o 7%ote;na ?"%a 5osto (FGl) Ma;9 0.001 0.0* 0.02 0.2 Aa%"na #e Soa 0.002 0. 0.0 0. os %e'u"s"tos #e al"mento #e los !e%#os son: 1. 5uan#o menos 1H #e !al!"o 2. 7o% lo menos 30H #e %ote;na 3. M-x"mo 6H #e "%a ete%m"ne la me9!la #e al"mentos !on el m;n"mo #e !osto o% #;a
Solu!"n: u es lo 'ue amos a M"n"m"9a% x1 = la 5ant"#a# #e Ma;9 "%a o% l"%a #e $l"mento x2 = la 5ant"#a# #e Aa%"na #e Soa "%a o% l"%a #e $l"mento M"n Z = 0.2x 1 + 0.x2 …….(1) Sujetos a: 0.001x1 + 0.002x 2 < (*0)(0.01) …….. (2) 0.0*x1 + 0.x2 < (*0)(0.3) ……….(3) 0.02x1 + 0.0x2 > (*0)(0.06) .......... (4) lo 'ue 'ue#a 7lantea#o x1, x2 > 0 Problema 22:
8n e'ueo an!o as"&na un m-x"mo #e F20,000 a%a %stamos e%sonales a%a autom"les #u%ante el mes s"&u"ente. El an!o !o%a una tasa #e "nte%s anual #el 14H a %stamos e%sonales #el 12H a %stamos a%a autom"l. $mos t"os #e %stamos se sal#an en e%"o#os #e t%es aos. El monto #e los %stamos a%a autom"l #es#e se% !uan#o menos #e #os e!es mao% 'ue el #e los %stamos e%sonales. a exe%"en!"a asa#a Ca #emost%a#o 'ue los a#eu#os no !u"e%tos !onst"tuen el 1H #e to#os los %stamos e%sonales 5mo #een as"&na%se los on#os Solu!"n: u es lo 'ue amos a Max"m"9a% x1 = la 5ant"#a# ?on#os #e %stamos e%sonales x2 = la 5ant"#a# on#os #e %stamos a%a autom"l M"n Z = 0.2x 1 + 0.x2 …….(1) Sujetos a: (0.14)(20,000)x1 + (0.12)(20,000)x2 < 20000 …….. (2) x2 > (2)(0.14)(20,000) ……….(3) x1 > (0.01)(0.12)(20,000) .......... (4) lo 'ue 'ue#a 7lantea#o x1, x2 > 0 Problema 23:
8na lanta a%ma#o%a #e %a#"os %o#u!e #os mo#elos A"?"I1 A"?"I2 en la m"sma l;nea #e ensamle. a l;nea #e ensamle !onsta #e t%es esta!"ones. os t"emos #e ensamle en la esta!"ones #e t%aajo son:
Esta!"n #e @%aajo 1 2 3
M"nutos o% 8n"#a# #e A"?"I1 6 4
M"nutos o% 8n"#a# #e A"?"I2 4 6
5a#a esta!"n #e t%aajo t"ene una #"son""l"#a# m-x"ma #e 4/0 m"nutos o% #;a. S"n ema%&o, las esta!"ones #e t%aajo %e'u"e%en manten"m"ento #"a%"o, 'ue !ont%"ue al 10H, 14H 12H #e los 4/0 m"nutos totales #e 'ue se #"sone #"a%"amente a%a las esta!"ones 1, 2 3 %ese!t"amente. a !oma;a #esea #ete%m"na% las un"#a#es #"a%"as 'ue se ensamla%-n #e A"?"I1 A"?"I2 a "n #e m"n"m"9a% la suma #e t"emos no usa#os ("na!t"os) en la t%es esta!"ones. Solu!"n: u es lo 'ue amos a M"n"m"9a% x1 = la 5ant"#a# #e 8n"#a#es "a%"as #e A"?" I 1 x2 = la 5ant"#a# #e 8n"#a#es "a%"as #e A"?" I 2 M"n Z = x 1 + x2 …….(1) Sujeto a: x1 + 4x2 < (0.1)(4/0) …….. (2) 6x1 + 6x2 < (0.14)(4/0) ……….(3) 4x1 + x2 > (0.12)(4/0) .......... (4) lo 'ue 'ue#a 7lantea#o x1, x2 > 0 Problema 24:
8na !oma;a #e %o#u!tos ele!t%n"!os, %o#u!e #os mo#elos #e %a#"o, !a#a uno en una l;nea #e %o#u!!"n #e olumen #"e%ente. a !aa!"#a# #"a%"a #e la %"me%a l;nea es #e 0 un"#a#es la se&un#a es #e 6 %a#"os. 5a#a un"#a# #el %"me% mo#elos ut"l"9a 10 "e9as #e !"e%tos !omonente ele!t%n"!os, en tanto 'ue !a#a un"#a# #el se&un#o mo#elos %e'u"e%e o!Co "e9as #el m"smo !omonente. a #"son""l"#a# #"a%"a m-x"ma #el !omonente ese!"al es #e /00 "e9as. a &anan!"a o% un"#a# #e mo#elos 1 2 es F30 F 20, %ese!t"amente. ete%m"ne la %o#u!!"n #"a%"a t"ma #e !a#a mo#elo #e %a#"o. Solu!"n: u es lo 'ue amos a Max"m"9a% x1 = la 5ant"#a# #e %o#u!!"n #el mo#elo 1 #e Ja#"o x2 = la 5ant"#a# #e %o#u!!"n #el mo#elo 2 #e Ja#"o
Max Z = 30x 1 + 20x2 …….(1) Sujeto a: x1 < 0 …….. (2) 10x1 + /x2 < /00 ……….(3) x2 < 6 .......... (4) lo 'ue 'ue#a 7lantea#o x1, x2 > 0 Problema 25:
os %o#u!tos se elao%an al asa% en o%ma su!es"a o% t%es m-'u"na. El t"emo o% m-'u"na as"&na#o a los %o#u!tos est- l"m"ta#o a 10 Co%as o% #;a. El t"emo #e %o#u!!"n la &anan!"a o% un"#a# #e !a#a %o#u!to son: M"nutos 7o% 8n"#a# 7%o#u!to M-'u"na 1 M-'u"na 2 M-'u"na 3 Kanan!"a 1 10 / F2 2 6 20 16 F3 Lota: ete%m"ne la !om"na!"n t"ma #e los %o#u!tos. Solu!"n: u es lo 'ue amos a M"n"m"9a% x1 = la 5ant"#a# #e 8n"#a#es #el 7%o#u!to 1 x2 = la 5ant"#a# #e 8n"#a#es #el 7%o#u!to 2 M"n Z = 2x 1 + 3x2 …….(1) Sujeto a: 10x1 + 6x2 < 10 …….. (2) x1 + 20x2 < 10 ……….(3) /x1 + 16x2 < 10 .......... (4) lo 'ue 'ue#a 7lantea#o x1, x2 > 0 Problema 26:
8na !oma;a ue#e anun!"a% su %o#u!to me#"ante el uso #e esta!"ones #e %a#"o tele"s"n lo!ales. Su %esuuesto l"m"ta los &astos #e ul"!"#a# #e F1000 o% mes !a#a m"nutos #e anun!"o en la %a#"o !uesta F6 !a#a m"nuto #e ul"!"#a# en tele"s"n !uesta F100. a !oma;a #esea%;a ut"l"9a% la %a#"o !uan#o menos #os e!es m-s 'ue la tele"s"n. a exe%"en!"a asa#a muest%a 'ue !a#a m"nuto #e ul"!"#a# o% tele"s"n &ene%a%- en t%m"nos &ene%ales 26 m-s enta 'ue !a#a m"nutos #e ul"!"#a# o% la %a#"o. ete%m"ne la as"&na!"n t"ma #el %esuuesto mensual o% anun!"os o% %a#"o tele"s"n. Solu!"n: u es lo 'ue amos a Max"m"9a%
x1 = la 5ant"#a# #e %esuuesto mensual a%a el Ja#"o
x2 = la 5ant"#a# #e %esuuesto mensual a%a el @ele"so% Max Z = x 1 + x2 …….(1) Sujeto a: 6x1 + 100x2 < 1000 …….. (2) x2 > (2)(x1) x1 > (26)(x2) ……….(3) x1, x2 > 0 Problema 27:
8na !oma;a elao%a #os %o#u!tos: $ . El olumen #e entas #el %o#u!to $ es !uan#o menos el 0H #e las entas totales #e los #os %o#u!tos. $mos %o#u!tos ut"l"9an la m"sma mate%"a %"ma, !ua #"son""l"#a# #"a%"a est- l"m"ta#a a 100 l. os %o#u!tos $ ut"l"9an esta mate%"a %"ma en los ;n#"!es o tasas #e 2 lGun"#a# 4 lGun"#a#, %ese!t"amente. El %e!"o #e enta #e los %o#u!tos es F20 F40 o% un"#a#. ete%m"ne la as"&na!"n t"ma #e la mate%"a %"ma a los #os %o#u!tos. Solu!"n: u es lo 'ue amos a Max"m"9a% x1 = la 5ant"#a# #e 8n"#a#es #el 7%o#u!to $ x2 = la 5ant"#a# #e 8n"#a#es #el 7%o#u!to Max Z = 20x 1 + 40x2 …….(1) Sujeto a: 2x1 + 4x2 < 100 …….. (2) x1 > (0.)(0) ……….(3) x1, x2 > 0 Problema 28:
8na !oma;a elao%a #os t"os #e som%e%os. 5a#a som%e%o #el %"me% t"o %e'u"e%e #os e!es m-s t"emo #e manos #e o%a 'ue un %o#u!to #el se&un#o t"o. S" to#os los so%e%os son ex!lus"amente #el se&un#o t"o. a !oma;a ue#e %o#u!"% un total #e 600 un"#a#es al #;a. El me%!a#o l"m"ta las entas #"a%"as #el %"me%o se&un#o t"os a 160 200 un"#a#es. Sun&ase 'ue la &anan!"a 'ue se ot"ene o% %o#u!to es F/ o% el t"o 1 F6 a%a el t"o 2. ete%m"ne el nNme%o #e so%e%os #e !a#a t"o 'ue #ee elao%a%se a%a max"m"9a% la &anan!"a. Solu!"n:
u es lo 'ue amos a Max"m"9a% x1 = la 5ant"#a# #e 8n"#a#es #el Som%e%o @B7O 1 x2 = la 5ant"#a# #e 8n"#a#es #el Som%e%o @B7O 2 Max Z = /x 1 + 6x2 …….(1) Sujeto a: 160x1 + 200x2 < 600 …….. (2) x1 > (2)(200) ……….(3) x1, x2 > 0 Problema 29:
8na em%esa e'uea, !uenta !on #os m-'u"na a%a elao%a% #os %o#u!tos. 5a#a %o#u!to t"ene 'ue asa% o% la m-'u"na $ #esus o% la m-'u"na . El %o#u!to 1 %e'u"e%e 3 Co%as #e la m-'u"na $ 2 #e la m-'u"na , m"ent%as 'ue el %o#u!to 2 %e'u"e%e 1 Co%a #e la m-'u"na $ 2 Co%as #e la m-'u"na . a !aa!"#a# #e las m-'u"na $ son 600 60 Co%as semanales %ese!t"amente. El %o#u!to a #eja 360 esos el se&un#o %o#u!to #eja 00 esos o% ut"l"#a#es. $nal"!e uste# la s"tua!"n #e la oe%a!"n #e esta, #a#o 'ue o% es!ase9 #e mate%"a %"ma no ue#e %o#u!"% m-s #e 21 un"#a#es #el %o#u!to. Solu!"n: u es lo 'ue amos a Max"m"9a% x1 = la 5ant"#a# #e 8n"#a#es #el 7%o#u!to $ x2 = la 5ant"#a# #e 8n"#a#es #el 7%o#u!to Max Z = 360x 1 + 00x2 …….(1) Sujeto a: 3x1 + 1x2 < 600 …….. (2) 2x1 + 2x2 < 60 …….. (3) x1 + x2 < 21 ……...….(4) x1, x2 > 0 Problema 30:
El &%uo PBM7EQ$R, #esea Ca!e% ul"!"#a# a%a su %o#u!tos en t%es #"e%entes me#"os: %a#"o, tele"s"n %e"sta. El ojet"o %"n!"al es al!an9a% tantos !l"entes !omo sea os"le. Aan %eal"9a#o un estu#"o el %esulta#o es: u%ante el #;a u%ante la no!Ce Ja#"o Je"stas LNme%o #e !l"entes 460,000 /00,000 6,000 200,000 oten!"ales 'ue ue#e
al!an9a% o% un"#a#es #e ul"!"#a# 600,000
1,000,000
60,000 260,000
PBM7EQ$R no 'u"e%e &asta% m-s #e F1,200,00. $#em-s en ul"!"#a# o% tele"s"n no #esean &asta% m-s #e 60 m"l esos. Se #esean !om%a% t%es un"#a#es #e tele"s"n #u%ante el #;a 2 un"#a#es #u%ante la no!Ce. 7lantee el %olema !omo un mo#elo #e %o&%ama!"n l"neal. Solu!"n: u es lo 'ue amos a M$QBMBZ$J x1 = la 5ant"#a# #e !l"entes 7oten!"ales o% #;a x2 = la 5ant"#a# #e !l"entes 7oten!"ales o% no!Ce x3 = la 5ant"#a# #e !l"entes o% Ja#"o x4 = la 5ant"#a# #e !l"entes o% %e"stas Max Z = x 1 + x2 + x3 + x4…….(1) Sujeto a: (JES@JB55BOLES E $$L5E) x1 + x2 + x3 + x4 < 1,200,000 x1 + x2 < 60,000 x1 > 460,000 x1 < 600,000 x2 > /00,000 x2 < 1,000,000 x3 > 36,000 x3 < 60,000 x4 > 200,000 x4 < 260,000 3x1 < 2x2 Problema 31:
a seo%a Mo%ales t"ene una #"eta a se&u"%, la !ual %eNne los s"&u"entes %e'u"s"tos al"ment"!"os. $l menos 4 m&. #e "tam"na $ $l menos m&. #e "tam"na $ lo m-s 3 m&. #e "tam"na $s; m"smo, la #"eta est- o%ma#a o% an, 'ueso, ueo, !a%ne. a tala s"&u"ente nos #a los %e'ue%"m"entos o% "tam"na en m&. as; !omo el !osto: 5onten"#o en m& o% &%amo #e %o#u!to 7JO85@O 7$L
5OS@O 40
B@$MBL$ $ 0.20
B@$MBL$ 0.1/
B@$MBL$ 0.10
8ESO 8EOS 5$JLE
31 1* 63
0.16 0.16 0.30
0.10 0.40 0.36
0.14 0.16 0.1
Solu!"n: u es lo 'ue amos a M"n"m"9a% x1 = la 5ant"#a# a !om%a% #e 7$L x2 = la 5ant"#a# a !om%a% #e 8ESO x3 = la 5ant"#a# a !om%a% #e A8EO x4 = la 5ant"#a# a !om%a% #e 5$JLE M"n = 40x 1 + 31x2 + 1*x3 + 63x4…….(1) Sujeto a: 0.20x1 + 0.16x2 + 0.16x3 + 0.30x4 > 4 0.1/x1 + 0.10x2 + 0.40x3 + 0.36x4 > 0.10x1 + 0.14x2 + 0.16x3 + 0.1x4 > 3 x1, x2, x3, x4 > 0 Problema 32:
(Bne%s"ones) $ Tul"o 'ue es aseso% #e "ne%s"ones, se le %esentan 4 %oe!tos !on sus %ese!t"os !ostos en un e%;o#o #e t%es aos, as; !omo la ut"l"#a# total. El %e'u"e%e max"m"9a% la ut"l"#a# total #"son"en#o #e F60,000U F24,000U F30,000 en !a#a uno #e los aos s"&u"entes: 7JOVE5@O 8@BB$ 5OS@O 5OS@O 5OS@O @O@$ $WO 1 $WO 2 $WO 3 Q1 100 14 6 Q2 *0 2 / 14 X 6 * 1* 1/ Q4 /0 6 2 * 3
Solu!"n: u es lo 'ue amos a M"n"m"9a% x1 = la 5ant"#a# #e Ma;9 "%a o% l"%a #e $l"mento x2 = la 5ant"#a# #e Aa%"na #e Soa "%a o% l"%a #e $l"mento M"n Z = 0.2x 1 + 0.x2 …….(1) Sujeto a: 0.001x1 + 0.002x 2 < (*0)(0.01) …….. (2) 0.0*x1 + 0.x2 < (*0)(0.3) ……….(3) 0.02x1 + 0.0x2 > (*0)(0.06) .......... (4) lo 'ue 'ue#a 7lantea#o x1, x2 > 0
"son""l"#a#: as !ant"#a#es #"son"les o% ao se as"&nan a las #"e%entes a%"ales o %oe!tos ajo estas %est%"!!"ones a%a ot"m"9a% o max"m"9a% la ut"l"#a# total.
Problema 33:
Sun&ase 'ue el an!o #e 5%#"to al 5ames"no t"ene #os lanes #e "ne%s"n a sae%: El %"me%o en el %o&%ama #e t"e%%as #e %"e&o, el se&un#o en el %o&%ama #e t"e%%as #e temo%al. El %"me% %o&%ama %e&%esa un 30H #e la "ne%s"n al "n #el ao, m"ent%as 'ue el se&un#o lan %e&%esa un 6H #e la "ne%s"n, a%a el t%m"no #e #os aos. os "nte%eses %e!""#os en amos lanes son %e"ne%t"#os #e nueo en !ual'u"e%a #e amos lanes. ?o%mule el %o&%ama l"neal 'ue le e%m"ta al an!o max"m"9a% la "ne%s"n total en un sexen"o, s" la "ne%s"n es #e F 100 m"llones. Solu!"n: u es lo 'ue amos a M$QBMBZ$J x"J = la 5ant"#a# #e "ne%s"n #e %"es&o a una ao " x"@ = la 5ant"#a# #e "ne%s"n @emo%al en 2 aos " #on#e " = 1, 2, 3, 4, 6, . Max Z = x 1 + x2 + x3 + x4…….(1) Sujeto a: (JES@JB55BOLES E $$L5E) x1J + x1@ < 100,000 x2J + x2@ < 1.30x1J x3J + x3@ < 1.30x2J + 1.6x1@ x4J + x4@ < 1.30x3J + 1.6x2@ x6J + x6@ < 1.30x4J + 1.6x3@ xJ < 1.30x6J + 1.6x 4@ x1@, xJ > 0 Problema 34:
8na !oma;a #e e%umes ue#e anun!"a% su %o#u!to me#"ante el uso #e esta!"ones #e %a#"o tele"s"n. Su %esuuesto l"m"ta los &astos #e ul"!"#a# a F1,600 o% mes. 5a#a m"nuto #e anun!"o en la %a#"o !uesta F16 !a#a m"nuto #e ul"!"#a# en tele"s"n !uesta F*0. a !oma;a #esea%;a ut"l"9a% la %a#"o !uan#o menos #os e!es m-s 'ue la tele"s"n. os #atos C"st%"!os muest%an 'ue !a#a m"nuto #e ul"!"#a# o% tele"s"n &ene%a%- en t%m"nos &ene%ales 30 e!es m-s entas 'ue !a#a m"nuto #e ul"!"#a# o% %a#"o. ete%m"ne la as"&na!"n t"ma #el %esuuesto mensual a%a anun!"os o% %a#"o tele"s"n. Solu!"n:
u es lo 'ue amos a Max"m"9a% x1 = la 5ant"#a# #e %esuuesto mensual a%a el Ja#"o x2 = la 5ant"#a# #e %esuuesto mensual a%a el @ele"so% Max Z = x 1 + x2 …….(1) Sujeto a: 16x1 + *0x2 < 1600 …….. (2) x2 > (2)(x1) x1 > (30)(x2) ……….(3) x1, x2 > 0 Problema 35:
8na @"en#a #e an"males Ca #ete%m"na#o 'ue !a#a A-mste% #ee%;a %e!""%la menos 0 un"#a#es #e %ote;na. 100 un"#a#es #e !a%oC"#%atos 20 un"#a#es #e &%asa. S" la t"en#a en#e los se"s t"os #e al"mentos most%a#os en la tala. u me9!la #e al"mento sat"sa!e las ne!es"#a#es a un !osto m;n"mo a%a la t"en#a $l"mento $ 5 E ?
7%ote;nas 5a%oC"#%atos (8n"#a#es G On9a) (8n"#a#es G On9a) 20 30 40 40 46 30
60 30 20 26 60 20
K%asa (8n"#a#es G On9a) 4 * 11 10 * 10
Solu!"n: u es lo 'ue amos a M"n"m"9a% x1 = la 5ant"#a# a me9!la% #e $ x2 = la 5ant"#a# a me9!la% #e x3 = la 5ant"#a# a me9!la% #e 5 x4 = la 5ant"#a# a me9!la% #e x6 = la 5ant"#a# a me9!la% #e E x = la 5ant"#a# a me9!la% #e ? M"n = 2x 1 + 3x2 + 6x3 + x4 + /x6 + /x…….(1) Sujeto a: 20x1 + 30x2 + 40x3 + 40x4 + 46x6 + 30x < 0 ......... 7JO@EXL$ 60x1 + 30x2 + 20x3 + 26x4 + 60x6 + 20x < 100 IIIIII 5$JOABJ$@OS 4x1 + *x2 + 11x3 + 10x 4 + *x6 + 10x < 20 IIIIIIIIII KJ$S$ x1, x2, x3, x4 > 0
5osto (On9a) 2 3 6 / /
Problema 35:
8na !oma;a manua!tu%e%a lo!al %o#u!e !uat%o #ee%entes %o#u!tos met-l"!os 'ue #een ma'u"na%se, ul"%se ensamla%se. a ne!es"#a#es ese!;"!as #e t"emo (en Co%as) a%a !a#a %o#u!to son las s"&u"entes: 7%o#u!to B 7%o#u!to BB 7%o#u!to BBB 7%o#u!to B
Ma'u"na#o 3 2 2 4
7ul"#o 1 1 2 3
Ensamle 2 1 2 1
a !oma;a #"sone semalmente #e 4/0 Co%as a%a ma'u"na#o, 400 Co%as a%a el ul"#o 400 Co%as a%a el ensamle. as &anan!"as un"ta%"as o% %o#u!to son F, F4, F F/ %ese!t"amente. a !oma;a t"ene un !ont%ato !on un #"st%"u"#o% en el 'ue se !om%omete a ent%e&a% semanalmente 60 un"#a#es #el %o#u!to 1 100 un"#a#es #e !ual'u"e% !om"na!"n #e los %o#u!tos BB BBB, se&Nn sea la %o#u!!"n, e%o slo un m-x"mo #e 26 un"#a#es #el %o#u!to B. !u-ntas un"#a#es #e !a#a %o#u!to #ee%;a a%"!a% semanalmente la !oma;a a "n #e !uml"% !on to#as las !on#"!"ones #el !ont%ato max"m"9a% la &anan!"a total 5ons"#e%e 'ue las "e9as "n!omletas !omo un mo#elo #e 7%o&%ama!"n "neal. Solu!"n: u es lo 'ue amos a M"n"m"9a% x1 = la 5ant"#a# a a%"!a% #el %o#u!to B x2 = la 5ant"#a# a a%"!a% #el %o#u!to BB x3 = la 5ant"#a# a a%"!a% #el %o#u!to BBB x4 = la 5ant"#a# a a%"!a% #el %o#u!to B M"n = x 1 + 4x2 + x3 + /x4…….(1) Sujeto a: 3x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 < 4/0 1x1 + 1x2 + 2x3 + 3x4 < 400 2x1 + 1x2 + 2x3 + 1x4 < 400 x1 > 60 x2 + x3 > 100 x4 < 26 x1, x2, x3, x4 > 0 Problema 36:
Se %o!esan !uat%o %o#u!tos su!es"amente en #os m-'u"na. os t"emos #e manua!tu%a en Co%as o% un"#a# #e !a#a %o#u!to se taulan a !ont"nua!"n a%a las #os m-'u"nas:
M-'u"na 1 2
7%o#u!to 1 2 3
7%o#u!to 2 3 2
7%o#u!to 3 4 1
7%o#u!to 4 2 2
El !osto total #e %o#u!"% una un"#a# #e !a#a %o#u!to est- asa#o #"%e!tamente en el t"emo #e m-'u"na. Suon&a 'ue el !osto o% Co%a a%a las m-'u"na 1 2 es F10 F16. as Co%as totales %esuuesta#as a%a to#os os %o#u!tos en las m-'u"na 1 2 son 600 3/0. s" el %e!"o #e enta o% un"#a# a%a los %o#u!tos 1, 2, 3 4 en F6, F0, F66 F46, o%mule el %olema !omo mo#elo #e %o&%ama!"n l"neal a%a max"m"9a% el ene"!"o neto total. Solu!"n: u es lo 'ue amos a Max"m"9a% x1 = la 5ant"#a# a a%"!a% #el %o#u!to 1 x2 = la 5ant"#a# a a%"!a% #el %o#u!to 2 x3 = la 5ant"#a# a a%"!a% #el %o#u!to 3 x4 = la 5ant"#a# a a%"!a% #el %o#u!to 4 Max = 6x 1 + 0x2 + 66x3 + 46x4…….(1) Sujetos a: 2x1 + 3x2 + 4x3 + 2x4 < 600 3x1 + 2x2 + 1x3 + 2x4 < 3/0 x1, x2, x3, x4 > 0 Problema 37:
a !oma;a elta t"ene ma'u"na%"a ese!"al"9a#a en la "n#ust%"a #e l-st"!o. a !oma;a se #"sone a "n"!"a% oe%a!"ones el %x"mo mes #e ene%o !uenta !on F300,000 #"e9 m-'u"nas. a oe%a!"n #e !a#a m-'u"na %e'u"e%e #e F4,000.00 al "n"!"o #e un mes a%a %o#u!"% al "n #el mes la !ant"#a# #e F*,000.00 s"n ema%&o, a%a !a#a #os m-'u"nas se ne!es"ta un oe%a#o% !uo suel#o mensual es #e F3000.00 a&an#o al %"n!""o #el mes. a !oma;a se %oone lanea% su %o#u!!"n, emleo #e oe%a#o% !om%a #e ma'u"na%"a 'ue #ee tene%, al %"n!""o #el mes s"ete, al m-x"mo nNme%o #e m-'u"na en oe%a!"n. $l %"n!""o #e !a#a mes la !oma;a t"ene #"son"les t%es alte%nat"as a%a a#'u"%"% ma'u"na%"a. En la %"me%a alte%nat"a ue#e !om%a% m-'u"na #e F20,000.00 !a#a una !on un e%"o#o #e ent%e&a #e una mes. Esto es, s" al %"n!""o #e !a#a mes PtR se "#e a&a la ma'u"na%"a, est- se ent%e&a%- al %"n!""o #el mes t + 1. En la se&un#a alte%nat"a, se ue#e !om%a% en F16,000.00 !a#a ma'u"na%"a, e%o el e%"o#o #e ent%e&a es en #os meses. a Nlt"ma alte%nat"a s !om%a% en F10,000.00 !a#a m-'u"na !on un e%"o#o #e ent%e&a en t%es meses.
?o%mule un mo#elo #e %o&%ama!"n l"neal 'ue e%m"ta #ete%m"na% la ol;t"!a #e !om%a #e ma'u"na%"a, %o#u!!"n a&o #e oe%a#o%es en !a#a mes, #e mane%a tal 'ue al %"n!""o #el mes s"ete ten&a el m-x"mo nNme%o #e m-'u"na en oe%a!"n. Solu!"n: u es lo 'ue amos a M"n"m"9a% x1 = la 5ant"#a# a a%"!a% #el %o#u!to B x2 = la 5ant"#a# a a%"!a% #el %o#u!to BB x3 = la 5ant"#a# a a%"!a% #el %o#u!to BBB x4 = la 5ant"#a# a a%"!a% #el %o#u!to B M"n = x 1 + 4x2 + x3 + /x4…….(1) Sujeto a: 3x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 < 4/0 1x1 + 1x2 + 2x3 + 3x4 < 400 2x1 + 1x2 + 2x3 + 1x4 < 400 x1 > 60 x2 + x3 > 100 x4 < 26 x1, x2, x3, x4 > 0 Problema 38:
8na !oma;a #e %o#u!tos 'u;m"!os 'ue lao%a las 24 Co%as #el #;a t"ene las s"&u"entes ne!es"#a#es #e e%sonal t!n"!o ese!"al"9a#o 7e%"o#o
Ao%a #el #;a
7e%sonal t!n"!o
1 2 3 4 6
Y 10 10 Y14 14 Y 1/ 1/ Y22 22 Y 02 02 I 0
20 40 /0 46 26 10
7e%sonal Ese!"al"9a#o / 12 16 * 3 2
Ose%e 'ue el e%"o#o 1 s"&ue al e%"o#o . 5ons"#e%e 'ue !a#a e%sona en la !oma;a lao%a / Co%as !onse!ut"as. Suon&a 'ue Q t Zt, #enotan el nNme%o #e e%sonas t!n"!as ese!"al"9a#as, %ese!t"amente, 'ue em"e9an a t%aaja% al "n"!"o #el e%"o#o t en !a#a #;a. En esta !oma;a, el a!ue%#o s"n#"!al estale!e 'ue en to#o momento #ee Cae% o% lo menos t%es e!es el nNme%o #e e%sonal t!n"!o 'ue #e e%sonal ese!"al"9a#o. Estale9!a un mo#elo #e %o&%ama!"n l"neal ata #ete%m"na% el m;n"mo nNme%o #e e%sonal t!n"!o ese!"al"9a#o a%a sat"sa!e% las ne!es"#a#es #"a%"as #e t%aajo en el !oma;a. Solu!"n:
x"J = la 5ant"#a# #e e%sonal t!n"!o x"@ = la 5ant"#a# #e e%sonal"#a# ese!"al"9a#o #on#e " = 1, 2, 3, 4, 6, . M"n Z = x 1 + x2 Sujetos a: 20x1 + /x2 > 0 40x1 + 12x2 > 120 /0x1 + 16x2 > 240 46x1 + *x2 > 3(46) 26x1 + 3x2 > 6 10x1 + 2x2 > 30 Problema 39:
?e%%o!a%%"les La!"onales #e Mx"!o t"ene al "n"!"o #el %x"mo ao la s"&u"ente #eman#a #e lo!omoto%as #"esel a%a o!ua% su s"stema en to#o el a;s: @%"mest%e o!omoto%as "esel
1 60
2 /00
3 /0
a &e%en!"a #e e%%o!a%%"les ue#e sat"sa!e% su #eman#a me#"ante la !om"na!"n #e las s"&u"entes alte%nat"as: a) )
8so #e la ex"sten!"a #e lo!omoto%as #"esel en esta#o #e t%aajo 5om%a #e lo!omoto%as al ext%anje%o las !uales ue#en ent%e&a%se al %"n!""o #e !ual'u"e% t%"mest%e !) Jea%a% lo!omoto%as en los talle%es na!"onales !on !a%-!te% no%mal. El t"emo %e %ea%a!"n es #e meses. #) Jeo%ta% lo!omoto%as en los talle%es na!"onales !on !a%-!te% u%&ente. El t"emo #e %ea%a!"n es #e 3 meses. a alte%nat"a t"ene un !osto #e F6,000,000 o% lo!omoto%a a alte%nat"a ! t"ene un !osto #e F100,000 o% lo!omoto%a a alte%nat"a # t"ene un !osto #e F260,000 o% lo!omoto%a Se est"ma 'ue al %"n!""o #el ao se ten#%-n 60 lo!omoto%a en esta#o #e t%aajo el %esuuesto #e oe%a!"n a%a ese ao es #e F100,000,000 ent%e&a#o en a%t"#as t%"mest%ales #e 40, 30, 20 10 m"llones %ese!t"amente. Se suone 'ue al "nal #e !a#a t%"mest%e el 6H #e las lo!omoto%as #ee mantene%se a %ea%a!"n el 6H 'ue#an ue%a #e se%"!"o. ?o%mule un %olema #e %o&%ama!"n l"neal 'ue e%m"ta #ete%m"na% la !om"na!"n #e ol;t"!as 'ue #ee toma% en !uenta la &e%en!"as #e ?.?.5.5. a%a m"n"m"9a% !ostos sat"sa!e% la #eman#a #e lo!omoto%as.
Solu!"n: u es lo 'ue amos a M"n"m"9a% x1 = la 5ant"#a# #e eman#a en el t%"mest%e 1 x2 = la 5ant"#a# #e eman#a en el t%"mest%e 2 x3 = la 5ant"#a# #e eman#a en el t%"mest%e 3 M"n = 6,000,000x 1 + 100,000x 2 + 260,000x 3 …….(1) Sujeto a: x1 + x2 + x3 < 100,000,000 60x1 + /00x2 + /0x3 > 60 x1 > (0.06)(60) x2 > (0.06)(/00) x3 > (0.06)(/0) x1, x2, x3, x4 > 0 Problema 40:
8na !oma;a %o#u!e a9N!a% mo%ena, a9N!a% lan!a, a9N!a% ule%"9a#a mela9as !on el ja%ae #e la !aa #e a9N!a%. a !oma;a !om%a 4000 tonela#as #e ja%ae a la semana t"ene un !ont%ato a%a ent%e&a% un m;n"mo #e 26 tonela#as semanales #e !a#a t"o #e a9N!a%. El %o!eso #e %o#u!!"n se "n"!"a a%"!an#o a9N!a% mo%ena mela9as !on el ja%ae. 8na tonela#a #e ja%ae %o#u!e 0.3 tonela#as #e a9N!a% mo%ena 0.1 tonela#as #e mela9as. esus el a9N!a% lan!a se elao%a %o!esan#o a9N!a% mo%ena. Se %e'u"e%e 1 tonela#a #e a9N!a% mo%ena a%a %o#u!"% 0./ tonela#as #e a9N!a% lan!a. ?"nalmente, el a9N!a% ule%"9a#a se a%"!a #e la a9N!a% lan!a o% me#"o #e un %o!eso #e mol"#o ese!"al, 'ue t"ene *6H #e e"!"en!"a #e !one%s"n (1 tonela#a #e a9N!a% lan!a %o#u!e 0.*6 tonela#as #e a9N!a% ule%"9a#a). as ut"l"#a#es o% tonela#a #e a9N!a% mo%ena, a9N!a% lan!a, a9N!a% ule%"9a#a mela9as son #e 160, 200, 230, 36 #la%es, %ese!t"amente. ?o%mule el %olema !omo un %o&%ama l"neal. Solución:
a %o#u!!"n #e !a#a t"o #e a9N!a% #e a!ue%#o al %o!eso #e %o#u!!"n se #etalla a !ont"nua!"n o% !a#a tonela#a #e mate%"al emlea#o. Producción por tn.
Ta%ae (1tn) $9. Mo%ena (1tn) $9. lan!a (1tn)
a9.mo%ena 0.3
mela9a 0.1
a9.lan!a
a9.ule%"9a#a
0./ 0.*6
ete%m"namos las a%"ales #e #e!"s"n: Q" = %o#u!to oten"#o (tonela#as o% semana), #on#e ": 1, 2, 3, 4U %e%esenta los #"e%entes t"os #e %o#u!tos. 1: a9N!a% mo%ena, 2: mela9a, 3: a9N!a% lan!a, 4: a9N!a% ule%"9a#a.
as %est%"!!"ones: Q1 G 0.3 + Q2 G 0.1 =26000 (Jest%"!!"n a%a tn. #e a9N!a% mo%ena) Q3 G 0./ >= 26000 (Jest%"!!"n a%a tn. #e a9N!a% lan!a) Q4 G 0.*6 >=26000 (Jest%"!!"n a%a tn. #e a9N!a% ule%"9a#a) Q1, Q2, Q3, Q4 >=0 (Jest%"!!"n #e no ne&at""#a#) a un!"n ojet"o a%a max"m"9a% las ut"l"#a#es: .o: max. 9 = 160Q1 + 200Q3 + 230Q4 + 36Q2 a est%u!tu%a #el mo#elo es la s"&u"ente: Q" = %o#u!to oten"#o (tonela#as o% semana) ": 1, 2, 3, 4 ?.O Max 9 = 160Q1 + 200Q3 + 230Q4 + 36Q2
S.a: Q1 G 0.3 + Q2 G 0.1 =26000 Q3 G 0./ >= 26000 Q4 G 0.*6 >=26000 Q1, Q2, Q3, Q4 >=0
(Jest%"!!"n a%a tn. #e ja%ae) (Jest%"!!"n a%a tn. #e a9N!a% mo%ena) (Jest%"!!"n a%a tn. #e a9N!a% lan!a) (Jest%"!!"n a%a tn. #e a9N!a% ule%"9a#a) (Jest%"!!"n #e no ne&at""#a#)
Problema 41:
5uat%o %o#u!tos se %o!esan en se!uen!"a #e #os ma'u"nas. a s"&u"ente tala %oo%!"ona los #atos e%t"nentes al %olema. Máquina 1 Precio de %enta Por unidad (#)
Tiempo de fabricación por unidad (hora) Costo Prod. 1 Prod. Prod. ! Prod. " (#) $ hora
10 6
2 3 6
3 2 0
4 1 66
2 2 46
Capacidad (hora)
600 3/0
?o%mula% el mo#elo !omo un mo#elo #e %o&%ama!"n l"neal. Solución:
ete%m"namos las a%"ales #e #e!"s"n: Q"j: un"#a#es %o#u!"#as o% t"o #e %o#u!to j: 1, 2, 3, 4. ut"l"9an#o !a#a ma'u"na ": 1, 2. as %est%"!!"ones: 2Q11+ 3Q12 + 4Q13 + 2Q14 = 4 Q1 + Q2 >=/ Q2 + Q3 >=10 Q3 + Q4 >= Q4 + Q6 >=12
12
20:00 I 24:00
Q6 Q 4
Q6 + Q >=4 a un!"n ojet"o a%a m"n"m"9a% la !ant"#a# #e e%sonal M"n 9 = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q4 + Q6 + Q a est%u!tu%a #el mo#elo es la s"&u"ente: Q" = 5ant"#a# #e e%sonal o% !a#a tu%no " = 1, 2, 3, 4, 6, . ? :O M"n 9 = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q4 + Q6 + Q S.a: Q1 + Q >= 4 Q1 + Q2 >= / Q2 + Q3 >= 10 Q3 + Q4 >= Q4 + Q6 >= 12 Q6 + Q >= 4 Q1, Q2, Q3, Q4, Q6, Q >= 0 (Jest%"!!"n #e no ne&at""#a#)
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