Ejercicios de Programación Lineal Prueba
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ejercicios resueltos...
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Problema 11:
(Decisiones sobre producción) En el ejercicio 5, suponga que el fabricante es forzado por la competencia a reducir el margen de utilidad del producto B. ¿u!nto puede bajar la utilidad de B antes de que el fabricante deba cambiar el programa de producción" (El programa de producción siempre debe elegirse de modo que ma#imice la utilidad total). $olución% &'D* 1
+ '$ -/01 2 3
+'$ -/01 3 6
+'$ -/01 4 4
B 5 2 ¿u< es lo que =amos a a#imizar"
3
*//D1D 7899 &' :/ 7 ; &' :/
#2 > la antidad de producción de 1 en unidades #3 > la antidad de producción de B en unidades pero pero en la antidad de producción del &'/E' */L en acre pies #3 > la antidad de producción del $EM0D */L en acre pies a# @ > 299# 2 A 659#3 .(2) (El programa de producción siempre debe elegirse de modo que ma#imice la utilidad total). $ujeto a% 5#2 A 39#3 C 2459... (3) 39#2 A 69#3 C 4999 ......(4) lo que queda &lanteado #2, #3 9 Problema 15:
K K
(&laneación diet la antidad mas Barata del producto 1 #3 > la antidad mas Barata del &roducto B a# @ > # 2 A #3 .(2) $ujeto a% 9.3#2 A 9.9N#3 9.5... (3) (al menos) 299#2 A 259#3 259 ......(4) lo que queda &lanteado #2, #3 9 Problema 16:
(&urificación del mineral) na compaOJa posee dos minas, & H . En el cuadro siguiente se muestra la producción de los elementos por cada tonelada producida por ambas minas respecti=amente% /01$
B'E
@/0
/BDE0
&
59 lb
6 lb
2 lb
$* &' *0. DE B*E0/P0 DE /0E'1 7 59
K K K
25 lb
N lb
4 lb
7 89
a compaOJa debe producir cada semana, al menos las siguientes cantidades de los metales que se muestran a continuación% NQ,599 libras de cobre 28,999 libras de zinc 5,999 libras de molibdeno ¿u!nto mineral deber! obtenerse de cada mina con objeto de cumplir los requerimientos de producción a un costo mJnimo" $olución% Lariables% #2 > la antidad de ineral de la /01 & en libras #3 > la antidad de ineral de la /01 en libras a# @ > 59# 2 A 89#3 .(2) 59#2 A 25#3 C NQ,599 ......... (3) (B'E) 6#2 A N#3 C 28,999... (4) (@/0) #2 A 4#3 C 5999 ......(6) (/BDE0) #2, #3 9 lo que queda planteado Problema 17:
(Espacio de 1lmacenamiento) a bodega de un depa, de quJmica industrial, almacena, al menos 499 =asos de un tamaOo H 699 de un segundo tamaOo. $e ?a decidido que el nImero total de =asos almacenados no debe e#ceder de 2399. Determine la cantidades posibles de estos dos tipos de =asos que pueden almacenarse H mu la antidad de =asos de primer tamaOo #3 > la antidad de =asos de segundo tamaOo a# @ > # 2 A #3 .(2) $ujeto a% #2 499... (3) (al menos) #3 699 ......(4) #2 A #3 C 2399 .......(6) #2, #3 9 Problema 18:
(Espacio de 1lmacenamiento) En el ejercicio anterior, supongamos que los =asos del primer tamaOo ocupan in 3 del anaquel H los del segundo 8 in 3. El !rea total de anaqueles disponibles para almacenar es a lo sumo de 83.N ft3. Determine las cantidades posibles de los =asos H mu la antidad de =asos de primer tamaOo #3 > la antidad de =asos de segundo tamaOo a# @ > # 2 A #3 .(2) $ujeto a% #2 499... (3) (al menos) #3 699 ......(4) #2 A #3 C 2399 .......(6) #2 A 8#3 C 83.N .......(5) #2, #3 9 Problema 19:
(&laneación Diet la antidad de aJz ibra por libra de 1limento #3 > la antidad de +arina de $oHa ibra por libra de 1limento in @ > 9.3# 2 A 9.8#3 .(2) $ujetos a% 9.992#2 A 9.993# 3 C (9)(9.92) .. (3)
9.9#2 A 9.8#3 C (9)(9.4) .(4) 9.93#2 A 9.98#3 (9)(9.95) .......... (6) lo que queda &lanteado #2, #3 9 Problema 22:
n pequeOo banco asigna un m!#imo de 739,999 para pr la antidad de presupuesto mensual para el 'adio
#3 > la antidad de presupuesto mensual para el *ele=isor a# @ > # 2 A #3 .(2) $ujeto a% 5#2 A 299#3 C 2999 .. (3) #3 (3)(#2) #2 (35)(#3) .(4) #2, #3 9
Problema 27:
na compaOJa elabora dos productos% 1 H B. El =olumen de =entas del producto 1 es cuando menos el 89G de las =entas totales de los dos productos. 1mbos productos utilizan la misma materia prima, cuHa disponibilidad diaria est! limitada a 299 lb. os productos 1 H B utilizan esta materia prima en los Jndices o tasas de 3 lbSunidad H 6 lbSunidad, respecti=amente. El precio de =enta de los productos es 739 H 769 por unidad. Determine la asignación óptima de la materia prima a los dos productos. $olución% ¿u< es lo que =amos a a#imizar" #2 > la antidad de nidades del &roducto 1 #3 > la antidad de nidades del &roducto B a# @ > 39# 2 A 69#3 .(2) $ujeto a% 3#2 A 6#3 C 299 .. (3) #2 (9.8)(89) .(4) #2, #3 9 Problema 28:
na compaOJa elabora dos tipos de sombreros. ada sombrero del primer tipo requiere dos =eces m!s tiempo de manos de obra que un producto del segundo tipo. $i todos los sobreros son e#clusi=amente del segundo tipo. a compaOJa puede producir un total de 599 unidades al dJa. El mercado limita las =entas diarias del primero H segundo tipos a 259 H 399 unidades. $upóngase que la ganancia que se obtiene por producto es 7N por el tipo 2 H 75 para el tipo 3. Determine el nImero de sobreros de cada tipo que debe elaborarse para ma#imizar la ganancia. $olución% ¿u< es lo que =amos a a#imizar" #2 > la antidad de nidades del $ombrero */& 2 #3 > la antidad de nidades del $ombrero */& 3 a# @ > N# 2 A 5#3 .(2) $ujeto a% 259#2 A 399#3 C 599 .. (3) #2 (3)(399) .(4) #2, #3 9
Problema 29:
na empresa pequeOa, cuenta con dos m!quina para elaborar dos productos. ada producto tiene que pasar por la m!quina 1 H despu la antidad de clientes &otenciales por dJa #3 > la antidad de clientes &otenciales por noc?e #4 > la antidad de clientes por 'adio #6 > la antidad de clientes por re=istas a# @ > # 2 A #3 A #4 A #6.(2) $ujeto a% ('E$*'//0E$ DE B110E) #2 A #3 A #4 A #6 C 2,399,999 #2 A #3 C Q59,999 #2 659,999 #2 C 599,999 #3 N99,999 #3 C 2,999,999 #4 4Q5,999 #4 C 859,999 #6 399,999 #6 C 359,999 4#2 C 3#3 Problema 31:
a seOora orales tiene una dieta a seguir, la cual reIne los siguientes requisitos alimenticios. 1l menos 6 mg. de =itamina 1 1l menos 8 mg. de =itamina B 1 lo m!s 4 mg. de =itamina D 1sJ mismo, la dieta est! formada por pan, queso, buebo, H carne. a tabla siguiente nos da los requerimientos por =itamina en mg. asJ como el costo% ontenido en mg por gramo de producto &'D* &10 E$ BEB$ 1'0E
$* 69 42 2 54
L/*1/01 1 9.39 9.25 9.25 9.49
$olución% ¿u< es lo que =amos a inimizar" #2 > la antidad a comprar de &10 #3 > la antidad a comprar de E$
L/*1/01 B 9.2N 9.29 9.69 9.45
L/*1/01 D 9.29 9.26 9.25 9.28
#4 > la antidad a comprar de +EL #6 > la antidad a comprar de 1'0E in V > 69# 2 A 42#3 A 2#4 A 54#6.(2) $ujeto a% 9.39#2 A 9.25#3 A 9.25#4 A 9.49#6 6 9.2N#2 A 9.29#3 A 9.69#4 A 9.45#6 8 9.29#2 A 9.26#3 A 9.25#4 A 9.28#6 4 #2, #3, #4, #6 9 Problema 32:
(/n=ersiones) 1 Wulio que es asesor de in=ersiones, se le presentan 6 proHectos con sus respecti=os costos en un perJodo de tres aOos, asJ como la utilidad total. El requiere ma#imizar la utilidad total disponiendo de 759,999X 736,999X H 749,999 en cada uno de los aOos siguientes% &'YE* *//D1D $* $* $* **1 1Z 2 1Z 3 1Z 4 ;2 299 8 26 5 ;3 9 3 N 26 Q5 2 2N X ;6 N9 5 3 3
$olución% ¿u< es lo que =amos a inimizar" #2 > la antidad de aJz ibra por libra de 1limento #3 > la antidad de +arina de $oHa ibra por libra de 1limento in @ > 9.3# 2 A 9.8#3 .(2) $ujeto a% 9.992#2 A 9.993# 3 C (9)(9.92) .. (3) 9.9#2 A 9.8#3 C (9)(9.4) .(4) 9.93#2 A 9.98#3 (9)(9.95) .......... (6) lo que queda &lanteado #2, #3 9 Disponibilidad% as cantidades disponibles por aOo se asignan a las diferentes =ariables o proHectos bajo estas restricciones para optimizar o ma#imizar la utilidad total.
Problema 33:
$upóngase que el Banco de r la antidad de in=ersión *emporal en 3 aOos i donde i > 2, 3, 4, 6, 5, 8. a# @ > # 2 A #3 A #4 A #6.(2) $ujeto a% ('E$*'//0E$ DE B110E) #2' A #2* C 299,999 #3' A #3* C 2.49#2' #4' A #4* C 2.49#3' A 2.85#2* #6' A #6* C 2.49#4' A 2.85#3* #5' A #5* C 2.49#6' A 2.85#4* #8' C 2.49#5' A 2.85# 6* #2*, #' 9 Problema 34:
na compaOJa de perfumes puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio H tele=isión. $u presupuesto limita los gastos de publicidad a 72,599 por mes. ada minuto de anuncio en la radio cuesta 725 H cada minuto de publicidad en tele=isión cuesta 79. a compaOJa desearJa utilizar la radio cuando menos dos =eces m!s que la tele=isión. os datos ?istóricos muestran que cada minuto de publicidad por tele=isión generar! en t la antidad a fabricar del producto 2 #3 > la antidad a fabricar del producto 3 #4 > la antidad a fabricar del producto 4 #6 > la antidad a fabricar del producto 6 a# V > 85# 2 A Q9#3 A 55#4 A 65#6.(2) $ujetos a% 3#2 A 4#3 A 6#4 A 3#6 C 599 4#2 A 3#3 A 2#4 A 3#6 C 4N9 #2, #3, #4, #6 9 Problema 37:
a compaOJa Delta tiene maquinaria especializada en la industria de pl!stico. a compaOJa se dispone a iniciar operaciones el pró#imo mes de enero H cuenta con 7499,999 H diez m!quinas. a operación de cada m!quina requiere de 76,999.99 al inicio de un mes para producir H al fin del mes la cantidad de 7,999.99 sin embargo, para cada dos m!quinas se necesita un operador cuHo sueldo mensual es de 74999.99 pagando al principio del mes. a compaOJa se propone planear su producción, empleo de operador H compra de maquinaria que debe tener, al principio del mes siete, al m!#imo nImero de m!quina en operación. 1l principio de cada mes la compaOJa tiene disponibles tres alternati=as para adquirir maquinaria. En la primera alternati=a puede comprar m!quina de 739,999.99 cada una con un periodo de entrega de una mes. Esto es, si al principio de cada mes TtU se pide H paga la maquinaria, est! se entregar! al principio del mes t A 2. En la segunda alternati=a, se puede comprar en 725,999.99 cada maquinaria, pero el periodo de entrega es en dos meses. a Iltima alternati=a s comprar en 729,999.99 cada m!quina con un periodo de entrega en tres meses. Formule un modelo de programación lineal que permita determinar la polJtica de compra de maquinaria, producción H pago de operadores en cada mes, de manera tal que al principio del mes siete tenga el m!#imo nImero de m!quina en operación. $olución% ¿u< es lo que =amos a inimizar" #2 > la antidad a fabricar del producto /
#3 > la antidad a fabricar del producto // #4 > la antidad a fabricar del producto /// #6 > la antidad a fabricar del producto /L in V > 8# 2 A 6#3 A 8#4 A N#6.(2) $ujeto a% 4#2 A 3#3 A 3#4 A 6#6 C 6N9 2#2 A 2#3 A 3#4 A 4#6 C 699 3#2 A 2#3 A 3#4 A 2#6 C 699 #2 59 #3 A #4 299 #6 C 35 #2, #3, #4, #6 9 Problema 38:
na compaOJa de productos quJmicos que labora las 36 ?oras del dJa tiene las siguientes necesidades de personal t35999 ('estricción para tn. de azIcar morena) ;4 S 9.N > 35999 ('estricción para tn. de azIcar blanca) ;6 S 9.5 >35999 ('estricción para tn. de azIcar pul=erizada) ;2, ;3, ;4, ;6 >9 ('estricción de no negati=idad) a función objeti=o para ma#imizar las utilidades% f.o% ma#. z > 259;2 A 399;4 A 349;6 A 45;3
a estructura del modelo es la siguiente% ;i > producto obtenido (toneladas por semana) i% 2, 3, 4, 6 F. a# z > 259;2 A 399;4 A 349;6 A 45;3
$.a% ;2 S 9.4 A ;3 S 9.2 C> 6999 ;2 >35999 ;4 S 9.N > 35999 ;6 S 9.5 >35999 ;2, ;3, ;4, ;6 >9
('estricción para tn. de jarabe) ('estricción para tn. de azIcar morena) ('estricción para tn. de azIcar blanca) ('estricción para tn. de azIcar pul=erizada) ('estricción de no negati=idad)
Problema 41:
uatro productos se procesan en secuencia de dos maquinas. a siguiente tabla proporciona los datos pertinentes al problema. Máquina 1 Precio de %enta Por unidad (#)
Tiempo de fabricación por unidad (hora) Costo Prod. 1 Prod. Prod. ! Prod. " (#) $ hora
29 5
3 4 85
4 3 Q9
6 2 55
3 3 65
Capacidad (hora)
599 4N9
Formular el modelo como un modelo de programación lineal. Solución:
Determinamos las =ariables de decisión% ;ij% unidades producidas por tipo de producto j% 2, 3, 4, 6. utilizando cada maquina i% 2, 3. as restricciones% 3;22A 4;23 A 6;24 A 3;26 C> 599 ('estricción de capacidad de la maq. 2) 4;32 A 3;33 A 2;34 A 3;36 C>4N9 ('estricción de capacidad de la maq. 3) a función objeti=o para ma#imizar las utilidades% a# z > 85(;22 A ;23) A Q9(;23 A ;33) A 55(;24 A ;34) A 65(;26 A ;36) K 29 (3;22 A 4;23 A 6;25 A 3;26) K 5(4;32 A 3;33 A 2;34 A 3;36) $implificando% ma# z > 65;22 A 59;32 A 69;23 A 89;33 A 25;24 A 59;34 A 35;26 A45;36 a estructura del modelo es la siguiente% ;ij% unidades producidas por tipo de producto j% 2, 3, 4, 6. tilizando cada maquina i% 2, 3. F% a# z > 65;22 A 59;32 A 69;23 A 89;33 A 25;24 A 59;34 A 35;26 A45;36 $.a% 3;22A 4;23 A 6;24 A 3;26 C> 599 ('estricción de capacidad de la maq. 2)
4;32 A 3;33 A 2;34 A 3;36 C>4N9 ('estricción de capacidad de la maq. 3) ;22, ;23, ;24, ;26, ;32, ;33, ;34, ;36 >9 ('estricción de no negati=idad) Problema 42:
on rubJes H zafiros un empresario produce dos tipos de anillos. n anillo tipo 2 requiere 3 rubJes, 4 zafiros H 2 ?ora de trabajo de un joHero. n anillo tipo 3 requiere 4 rubJes, 3 zafiros H 3 ?oras de trabajo de un joHero. ada anillo tipo 2 se =ende a 699 dólares, H cada anillo tipo 3, a 599 dólares. $e pueden =ender todos los anillos producidos. 1ctualmente, se dispone de 299 rubJes, 239 zafiros H Q9 ?oras de trabajo de un joHero. $e puede comprar m!s rubJes a un costo de 299 dólares el rubJ. a demanda del mercado requiere de una producción de por lo menos 39 anillos del tipo 2 H por lo menos 35 anillos del tipo 3. Formular el problema para ma#imizar la ganancia.] $olución% &equerimiento por unidad
*ipo de anillo *ipo 2 'ubJes (unid) 3 @afiros (unid) 4 +rsK?ombre 2 &recio (7Sunid) 699 Demanda (unid) 39
Disponibilidad *ipo 3 4 3 3 599 35
Q9
Determinamos las =ariables de decisión% ;i% cantidad de anillos de tipo i > 2, 3 as restricciones% 3;2 A 4;3 \ ;4 C> 299 ('estricción para la cantidad de rubJes) 4;2 A 3;3 C> 239 ('estricción para la cantidad de zafiros) ;2 A 3;3 C> Q9 ('estricción de ?oras de trabajo de un joHero) ;2 > 39 ('estricción para la demanda del tipo 2) ;3 > 35 ('estricción para la demanda del tipo 3) a función objeti=o para ma#imizar las utilidades% a# z > 699;2 A 599;3 K 299;4 a estructura del modelo es la siguiente% ;i% cantidad de anillos de tipo i > 2, 3 F.% a# z > 699;2 A 599;3 \ 299;4 $.a% 3;2 A 4;3 \ ;4 C> 299 ('estricción para la cantidad de rubJes) 4;2 A 3;3 C> 239 ('estricción para la cantidad de zafiros) ;2 A 3;3 C> Q9 ('estricción de ?oras de trabajo de un joHero) ;2 > 39 ('estricción para la demanda del tipo 2) ;3 > 35 ('estricción para la demanda del tipo 3) ;2, ;3, ;4 >9 ('estricción de no negati=idad)
Problema 43:
&ara una jornada de 36 ?oras un ?ospital esta requiriendo el siguiente personal para el !rea de enfermerJa, se define 8 turnos de 6 ?oras cada uno. 'mero mnimo de personal
Turno
3%99 K 8%99 8%99 K 29%99 29%99 K 26%99 26%99 K 2N%99 2N%99 K 39%99 39%99 K 36%99
6 N 29 Q 23 6
os contratos laborales son de N ?oras consecuti=as por dJa. El objeti=o es encontrar el nImero menor de personas que cumplan con los requerimientos. Formule el problema como un modelo de programación lineal. Solución:
Determinamos las =ariables de decisión% ;i > antidad de personal por cada turno i > 2, 3, 4, 6, 5, 8. 'ecesidades de personal por horario
+oras &ersona l
3%99 K 8%99 8%99 K 29%99 ;2 ;2 ;3
29%99 K 26%99 ;3 ;4
26%99 K 2N%99 ;4 ;6
2N%99 K 39%99
;6 ;5
;8 6
N
29
Q
as restricciones de personal por turno son% ;2 A ;8 > 6 ;2 A ;3 >N ;3 A ;4 >29 ;4 A ;6 >Q ;6 A ;5 >23 ;5 A ;8 >6 a función objeti=o para minimizar la cantidad de personal in z > ;2 A ;3 A ;4 A ;6 A ;6 A ;5 A ;8 a estructura del modelo es la siguiente% ;i > antidad de personal por cada turno i > 2, 3, 4, 6, 5, 8. F % in z > ;2 A ;3 A ;4 A ;6 A ;6 A ;5 A ;8 $.a% ;2 A ;8 > 6
23
39%99 K 36%99
;5 ;8 6
;2 A ;3 > N ;3 A ;4 > 29 ;4 A ;6 > Q ;6 A ;5 > 23 ;5 A ;8 > 6 ;2, ;3, ;4, ;6, ;5, ;8 > 9 ('estricción de no negati=idad)
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