Ejercicios de Probabilidad Politecnico

Ejercicio 1: Un ejecutivo bancario recibe 10 solicitudes de crédito. Los perfiles de los solicitantes son similares, salvo que 4 pertenecen a grupos minoritarios y 6 no. Al final el ejecutivo autoriza 6 de las solicitudes. Si estas autorizaciones se eligen aleatoriamente del grupo de 10 solicitudes Se desarrolla por Hipergeométrica: Hipergeométrica:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de la mitad de las autorizaciones sean de solicitudes de personas que pertenecen a grupos minoritarios? b. Cuantas solicitudes se espera que sean autorizadas para grupos minoritarios

a) Notación C(n,k) = n! / [k! (n-k)! ] es el número combinatorio "n sobre k", es decir número de maneras de tomar k objetos de n disponibles

Como son 6 solicitudes aprobadas, la mitad es 3. Entonces menos de la mitad es menos de 3, es decir 0, 1 o 2 solicitudes.

i) Nº de maneras de tomar 6 solicitudes de 10 disponibles es C(10,6)

ii) Nº de maneras de tomar 0 solicitudes minoritarias y por lo tanto 6 no minoritarias C(4,0)*C(6,6)

iii) Nº de maneras de tomar 1 minoritaria y 5 no minoritarias C(4,1)*C(6,5)

iv) Nº de maneras de tomar 2 minoritarias y 4 no minoritarias C(4,2)*C(6,4)

Entonces la probabilidad pedida es

[C(4,0)*C(6,6) + C(4,1)C(6,5) + C(4,2)*C(6,4)] / C(10,6) =[1 + 24 + 90] / 210 = 115/210 = 0,5476

b) Nº esperando = E(X) = esperanza de x Para una hipergeométrica n * d /N = Sumatoria desde 0 hasta 4 de X*Probabilidad(X) = 0*1/210 + 1*24/210 + 2*90/210 + 3*80/210 + 4*15/210 = [0 + 24 + 180 + 240 + 60] / 210 = 504 / 210 = 2,40 Se esperan alrededor de 2 solicitudes sean autorizadas

Ejercicio 2 Un estudio de las filas en las cajas de una entidad bancaria reveló que durante un cierto periodo en la hora más pesada, el número de clientes en espera, era en promedio de cuatro. Cuál es la probabilidad de que:

a.) En la próxima hora no haya clientes esperando. b.) En la próxima hora dos clientes estén en espera. c.) En un cuarto de hora dos o más clientes estén en espera.

1. Identificación de la variable: La variable X es el número de clientes en espera, en las filas de la entidad bancaria. 2. Identificación de la distribución de probabilidad y sus parámetros En este caso es una distribución Poisson, y el parámetro de una Poisson es    3. Solución del problema (considere el desarrollo usando las funciones de Excel) Cuál es la probabilidad de que:

En la próxima hora no haya clientes esperando.

Para calcular esta probabilidad usamos la función en Excel, dada como lo siguiente: “=POISSON(X,media,acumulado)”. Donde X e s el valor que se desea para la probabilidad,

la media es el valor    y el acumulado viene “0” ya que no es acumulada. Entonces para calcular (   ) usamos: “=POISSON (0;4;0)”

Y este valor nos da que

(   )   

En la próxima hora dos clientes estén en espera.

Para calcular (   ) usamos: “=POISSON(2;4;0)”

Y este valor nos da que

(   )   

En un cuarto de hora dos o más clientes estén en espera.

Para calcular (   )  en un cuarto de hora, entonces nuestro     cambia, en este caso nuestro    que es el promedio de personas que esperan en la fila de entidad bancaria en un cuarto de hora, por tanto calcularemos la (   ) pero en complemento, es decir:

(   )    (   )    ((   )  (   )) Entonces usamos el siguiente comando en Excel “=1-(POISSON(1;1;1)

Y este valor es:

(   )   

Ejercicio 3

Un supervisor de seguridad en una empresa cree que el número esperado de accidentes laborales por mes es de 3.4 a. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo mes o curran exactamente dos accidentes

x=2

3.4

2

p(x) = e-  (3.4)  / 2! = 0.1928 = 19.28%

np = 3.4 Respuesta: 19.28% b. Cuál es la probabilidad de que ocurran 4 accidentes laborales en los próximos 2 meses.

x=4

6.8

4

p(x) = e-  (6.8) / 4! = 0.099 = 9.92%

np = 3.4 * 2 (2 meses) = 6.8

Respuesta = 9.92%