Ejercicios de Potencial Eléctrico

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS

FÍSICA III AÑO 2015

GUÍA Nº 4 DE DISCUSIÓN (Para Discusiones 5 y 6)

POTENCIAL ELÉCTRICO

A. Definir, explicar o comentar los siguientes conceptos. (Este literal es necesario que el estudiante lo conteste antes de recibir la discusión ya que servirá para contestar los literales (B) y (C). 1) Campo conservativo

7) Voltio

Guía de Discusión. Potencial Eléctrico 2) 3) 4) 5) 6)

Trabajo en un campo eléctrico Agente externo Cambio de energía potencial eléctrica Energía potencial eléctrica Potencial eléctrico en un punto

Ciclo II/2015 8) Electrón voltio 9) Potencial cero 10) Línea equipotencial 11) Superficie equipotencial 12) Gradiente de potencial

B. Dadas las siguientes preguntas de opción múltiple, señale la respuesta correcta: 1) Movemos una carga puntual negativa desde a hasta varios puntos finales posibles b en la figura. ¿Cuál trayectoria requiere la máxima cantidad de trabajo externo para mover una partícula?

2) Se libera un electrón del reposo en una región del espacio con un campo eléctrico no cero. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero? A) El electrón empezara a moverse hacia una región de potencial más alto. B) El electrón empezara a moverse hacia una región de potencial más bajo. C) El electrón empezara a moverse en una línea de potencial constante. D) No se puede llegar a una conclusión, al menos que se conozca la dirección del campo eléctrico. 3) En condiciones electrostáticas, dentro de un conductor cargado, A) V = 0 B) C) D) E)

 V/  x = 0  2V/  x2 = 0 Dos de a), b) o c) deben ser verdaderos. Los tres deben ser verdaderos.

4) Las líneas del campo eléctrico están más juntas cerca del objeto A que el objeto B. Podemos concluir que: A) El potencial cercano a A es mayor que el potencial cercano a B. B) El potencial cercano a A es menor que el potencial cercano a B. C) El potencial cercano a A es igual al potencial cercano a B. D) Nada sobre los potenciales relativos cercanos a A o a B. 5) La figura muestra las líneas del campo eléctrico alrededor de tres cargas puntuales

A, B, C. 2

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A) ¿Qué punto corresponde al potencial más alto? a. P b. Q c. R d. Los tres puntos tienen el mismo potencial. B) ¿Qué punto corresponde al potencial más bajo? a. P b. Q c. R d. Los tres puntos tienen el mismo potencial.

6) Una carga positiva q se halla situada como se muestra en la figura y el potencial en el punto P es V0 (con V = 0 en el infinito). A) A una segunda carga q’= + q equidista del punto P como se ve en la figura. Ahora el potencial en P es: a) 4V0

b) 2V0

c)

2 V0

d) V0/2

e) 0

B) En vez de una carga positiva, una carga negativa q’ = -q esta situada como se ve en la figura. Ahora el potencial en P es: a) 4V0

b) 2V0

c)

2 V0

d) V0/2

e) 0

7) Se requiere 1mJ de trabajo para mover del infinito dos cargas positivas idénticas + q para que las separe una distancia a. A) ¿Cuánto trabajo se requiere para mover desde el infinito tres cargas idénticas + q de modo que estén en los vértices de un triangulo equilátero con una longitud de lado a? 3

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a) 2 mJ b) 3 mJ c) 4 mJ d) 9 mJ B) ¿Cuánto trabajo se necesita para mover desde el infinito cuatro cargas positivas idénticas + q, de modo estén dispuestas en los vértices de un tetraedro con longitud de lado a? a) 3 mJ

b) 4 mJ

c) 6 mJ

d) 16 mJ

8) Una carga puntual + q se halla en el origen y otra carga puntual + 2q se encuentra en x = a, donde a es positiva; aquí V() = 0. A) ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero? a. Cerca de las cargas el potencial eléctrico puede ser cero fuera del eje x. b. La magnitud del potencial eléctrico será máxima en el eje x. c. El potencial eléctrico puede ser cero en la región entre las cargas. d. El potencial eléctrico puede ser cero solo en el eje x. B) ¿En cual de las siguientes regiones sobre el eje x pudiera existir un punto donde el potencial eléctrico sea cero? a. -  < x < 0 b. 0 < x < a c. a < x <  d. V no se cancela en la región -  < x <  9) Una carga puntual + q se encuentra en el origen y otra carga puntual - 2q se halla en x = a, donde a es positiva; aquí V() = 0. A) ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero? a. Cerca de las cargas, el potencial eléctrico puede ser cero fuera del eje x. b. Cerca de las cargas, la magnitud del potencial eléctrico puede alcanzar un máximo fuera del eje x. c. El potencial eléctrico puede ser cero solo entre las cargas. d. El potencial eléctrico puede ser cero solo en el eje x. B) ¿En cuál región o regiones siguientes pudiera existir un punto donde el potencial eléctrico sea cero? a. -  < x < 0 b. 0 < x < a c. a < x <  d. V no se cancela en la región -  < + <  . 10) Considere el potencial eléctrico V(z) en el eje de un anillo uniforme de carga positiva; aquí V() = 0. A) V(z) tendrá su valor mas grande cuando a. z=0 b. 0<  z v f  2 2) En el sistema de la figura, suponga que:

2K f m2

 240 m s

r12  r13  r23  d  12 cm

y que

q1  q , q2   4q y

q 3   2q , donde q  150 nC . ¿Cuál es la energía total del sistema? Suponga que U = 0

cuando una distancia infinita separa las cargas.

U Sustituyendo valores en la ecuación:

1 q1 q2 1 q1 q3 1 q2 q3   4 0 r12 4 0 r13 4 0 r23

Obtenemos, U = -17 mJ. Hay que realizar un trabajo de + 17 mJ para desmantelar el sistema por completo.

3) Una partícula alfa

 q   2e 

en un acelerador nuclear pasa de una terminal con un potencial

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Va   6.5  10 V a otra con un potencial Vb  0 . a) ¿Cuál es el cambio en la energía potencial del sistema? b) Suponiendo que las terminales y sus cargas no se mueven y que tampoco fuerzas externas operan sobre el sistema, ¿qué cambio de energía cinética presenta la partícula?

U  qV  U b  U a  q  Vb  Va 



U   2 1.6  10 19 E U  K

  0  6.5  10 6    2.1  10 12 J

Es constante

E  U  K  0 , entonces K   U  2.1  10 12 J 4) ¿Cuál debe ser la magnitud de una carga puntual positiva aislada para que el potencial eléctrico a 15 cm de distancia de la carga sea de  120 V ? Suponga que V  0 en el infinito.

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V De la ecuación

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1 q 4 0 r

q  4 0 rV  2.0  10 9 C  2.0 nC

5) Un disco de radio R = 4.8 cm tiene una carga total q = +2.5 nC que se distribuye uniformemente en su superficie y se sostiene en sitios fijos (imagine que la superficie se comporta como un aislante). Un electrón se halla inicialmente en reposo a una distancia d= 3.0 cm del disco sobre su eje. Cuando lo liberamos es atraído hacia el disco. ¿Cuál es su velocidad cuando choca contra el centro del disco? Densidad de carga del disco:

σ=

q =3.45× 10−7 C/ m2 . 2 πR

Diferencia de potencial entre los puntos z = 0 y z = d: ΔV = V(0) – V(d)

∆V=

σR σ ( 2 2 − √ R + d −d )=417 V 2 ε0 2 ε0

.

El cambio de energía potencial del electrón, de ecuación 3.11:

∆ U =q ∆ V =−6.67× 10−17 J Conservación de la energía:

∆ U + ∆ K=0 ó

v=

√

.

∆ K =−∆ U=+6.67 ×10−17 J .

2K =1.21× 107 m/ s m

6) Considere dos esferas conductoras muy separadas 1y 2, la más pequeña de radio R1 y con una carga positiva q, la segunda de radio R2 = 2 R1 e inicialmente descargada. En seguida las conectamos por medio de un alambre largo y delgado. ¿Cómo se relacionan los potenciales finales V1 y V2 de las esferas? ¿Cuáles son las cargas finales q1 y q2 de las esferas? Solución: Al conectar las esferas por el alambre conductor largo, la esfera 1 le transfiere carga a la esfera 2 hasta que los potenciales de las esferas son iguales. V1 = V2, como la carga se conserva, las cargas finales de las esferas 1 y 2 cumplen la relación, q = q1+ q2 antes y después de conectar el alambre. De la relación de los radios y el potencial final de las esferas obtenemos: q2 = 2q1 y sustituyendo en la relación de conservación de la carga: q1 = q/3 ; q2 = 2q/3 y V1 =V2 = q/3R1 La esfera más grande cuyo radio es el doble que el de la esfera pequeña, adquiere el doble de la carga que la esfera de radio menor. D. Problemas para Discusión 5

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1) Las cargas mostradas en la figura están fijas en el espacio. Determine el valor de la distancia x de modo que la energía potencial eléctrica del sistema sea cero.

2) Obtenga una expresión para el trabajo requerido por un agente externo para juntar cuatro cargas como se indica en la figura.

3) Un electrón es proyectado con una velocidad inicial de 3.44 x 10 5 m/s directamente hacia un protón que está esencialmente en reposo. Sí el electrón está inicialmente a una gran distancia del protón, ¿a qué distancia del protón es su velocidad instantáneamente igual al doble del valor inicial? 4) Una partícula de carga q se mantiene en una posición fija en un punto P y una segunda partícula de masa m, que tiene la misma carga q, se mantienen inicialmente en reposo a una distancia r1 de P. Luego se suelta la segunda partícula y es repelida por la primera. Determine su velocidad en el instante que se encuentre a una distancia r2 de P. Sea q = 3.1 C,, m = 18 mg, r1 = 0.90 mm, y r2 = 2. 5 mm. 5) Una carga puntual q1 = 1.0C tiene posición fija y una segunda carga q2 = 1.0 nC con masa m = 1.0 x 10-5 kg. Se mueve directamente hacia la primera, desde una gran distancia con una velocidad Vo = 3 x 105 m/s. ¿Cuál es la distancia del máximo acercamiento? 6) Un electrón moviéndose paralelo al eje “x” tiene una velocidad inicial de 5 x 106 m/s en el origen. La velocidad del electrón se reduce hasta 2 x 105 m/s en el punto x = 4 cm. Determinar la diferencia de potencial entre los puntos. ¿Cuál de los puntos está a mayor potencial? 7) Dos superficies conductoras paralelas y planas de espaciado d = 1.0 cm tienen una diferencia de potencial ΔV de 10.3 kV. Se proyecta un electrón de una placa hacia la segunda. ¿Cuál es la velocidad inicial del electrón si se detiene exactamente en ola superficie de esta última? No tenga en cuenta los efectos relativistas. 8) Es un relámpago típico, la diferencia de potencial entre los puntos de descarga es de unos 1.0 X 109 V y la carga transferida es de 30 C aproximadamente a) ¿Cuánta energía se libera? b) Si toda la que se libera pudiera usarse para acelerar un automóvil de 1200 kg a partir del reposo, ¿cuál sería su velocidad final? c) Si pudiera usarse para derretir hielo, ¿cuánto se derretiría a 0oC? 9) La diferencia de potencial entre cargas puntuales durante una tormenta es 1.23 X 10 9 V. ¿De qué magnitud es el cambio en la energía potencial eléctrica de un electrón que se desplaza entre ellos? Exprese su respuesta en a) joules y b) en volts. 10

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10) Calcular el trabajo necesario para trasladar cuasiestáticamente una carga qp = 1 x 10-5 C desde un punto A (2,3) m a un punto B (-1, -2) m en un campo generado por las cargas q1 = 2x 10-5 C en P (0,0) y q2 = -5x 10-5 C en P2(3, -1) m. Explicar en relación al signo (+ ó -) cuál es el trabajo realizado por el campo y cuál por el agente externo. 11) En el rectángulo mostrado en la figura, los lados tienen una longitud de 5.0 cm y 15 cm. q1 = -5.0 C y q2 = +2.0 C. A) ¿Cuáles son los potenciales eléctricos en la esquina B y en la esquina A? B) ¿Cuánto trabajo externo se requiere para mover una tercera carga q3 = +3.0 C desde B hasta A a lo largo de una diagonal del rectángulo? C) En este proceso, ¿se convierte el trabajo externo en energía potencial electrostática o viceversa? Explique.

12) Dos grandes placas conductoras paralelas están separadas por una distancia de 12.0 cm y tienen cargas iguales pero opuestas en sus superficies frontales. Un electrón colocado a la mitad entre ellas experimenta una fuerza de 3.90 X 10 -15 N. a) Calcule el campo eléctrico en la posición del electrón. b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas? 13) Una gota esférica con una carga de 32.0 pC tiene un potencial de 512V en su superficie: A) Determine el radio de la gota B) Si dos de tales gotas de la misma carga y radio se combinan para formar una sola gota esférica. Determine el potencial en la superficie de esta gota así formada. 14) Una carga eléctrica de –9.12 nC esta distribuida uniformemente alrededor de un anillo de 1.48 m de radio que se encuentra en el plano YZ con su centro en el origen. Una partícula que tiene una carga de –5.93 pC está ubicada en el eje X en x = 3.07 m. Calcule el trabajo realizado por un agente externo para mover la carga puntual hasta el origen. 15) Considere una carga puntual con q = 1.5 X 10-8 C. a) ¿Cuál es el radio de una superficie equipotencial que tiene un potencial de 30 V? Suponga que V = 0 en el infinito. b) ¿Están espaciadas uniformemente las superficies cuyo potencial difiere en una cantidad constante (digamos 1.0 V)? 16) En la siguiente figura cualitativamente a) las líneas del campo eléctrico y b) las intersecciones de las superficies equipotenciales con el plano de la figura. (Sugerencia: considere el comportamiento cercano a las cargas puntuales y a gran distancia del par de cargas.)

17) Al moverse desde A hasta B a lo largo de una línea de un campo eléctrico este realiza un trabajo de 3.94 x 10-19J sobre un electrón en el campo ilustrado en la figura. ¿Cuáles son las diferencias en el potencial eléctrico (a) VB – VA , (b) VC – VA , (c) Vc – VB. 11

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18) Considérese una carga puntual con q = 1.5 x 10-8 C. (a) ¿Cuál es el radio de una superficie equipotencial de 30.0 V?, (b) ¿estarán uniformemente espaciadas las superficies cuyos potenciales difieren en una cantidad constante, (digamos, de 1.0 V). D. Problemas para Discusión 6 19) Considérese un cascaron esférico aislado, delgado y conductor que se carga uniformemente a una densidad  (C/m2) constante de carga. ¿Cuanto trabajo implicaría mover una pequeña carga de prueba positiva q0.? A) B) C) D)

Desde la superficie de la esfera al interior, a través de un pequeño orificio. De un punto a otro sobre la superficie independiente de la trayectoria. Desde un punto a otro dentro de la esfera. Desde cualquier punto P fuera de la esfera sobre cualquier trayectoria, ya sea que atraviese o no a la esfera, de regreso a P?, E) Para las condiciones dadas ¿importa o no que la esfera sea conductora? 20) Dos esferas conductoras idénticas de 15.0 cm de radio están separadas por una distancia de 10.0 m. ¿Cuál es la carga sobre cada esfera si el potencial de una es de +1500V y el de la otra es de -1500V? ¿Qué suposiciones ha hecho Usted? 21) Considérense dos esferas conductoras 1 y 2 separadas por una gran distancia, teniendo la segunda el doble del diámetro que el de la primera. La esfera más pequeña tiene inicialmente una carga positiva q y la más grande esta inicialmente sin carga. Se conectan ahora las esferas con un alambre delgado y largo: A) ¿Cómo se relacionan los potenciales V1 y V2 de las esferas? B) Halle las cargas finales q1 y q2 sobre las esferas en términos de q. 22) Sean R1 = 1.0 cm. y R2= 2.0 cm., los radios de dos esferas sin carga. Se coloca una carga de 2.0x 10-7 C sobre la esfera pequeña y posteriormente se conecta mediante un alambre delgado muy largo a la esfera grande. Determinar para cada esfera, luego de conectarse una con otra: A) La carga B) La densidad superficial C) El potencial eléctrico 23) Un cilindro metálico de radio “R” posee una densidad de carga uniforme . Suponiendo que la longitud “L” del cilindro es mucho más grande que su radio, determinar una expresión para la diferencia de potencial entre dos puntos ubicados a una distancia radial r 1 y r2 en la parte interna del cilindro, tal que r2 > r1 > R.

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24) En una varilla, de longitud L, que se encuentra a lo largo del eje X con uno de sus extremos en el origen (x = 0), como se muestra en la figura, existe una distribución de carga por unidad de longitud dada por  = kx, donde k es una constante: A) Si se considera que el potencial en el infinito sea cero, encuentre V en el punto P sobre el eje Y. B) Determine la componente vertical Ey del campo eléctrico en P, a partir del resultado de la parte (a). C) ¿Por qué no puede determinarse Ex, la componente horizontal del campo eléctrico en P, usando el resultado de la parte (a)? D) ¿A qué distancia de la varilla, a lo largo del eje Y, el potencial es igual a la mitad del valor en el extremo izquierdo de la varilla?

25) Determine una expresión para el potencial eléctrico en el punto p sobre el eje de la corona que se muestra en la figura. Esta tiene un radio interior a y un radio exterior b y una densidad superficial de carga  .

V

q 4 

R2  z2

0 26) De la ecuación (anillo de carga), encuentre una expresión para E en los puntos axiales de un anillo cargado uniformemente.

27) El potencial eléctrico V en el espacio entre las placas de cierto tubo al vacío, y que ahora está en desuso, esta dado por V = 1530x 2, donde V esta dado en volts, si x, la distancia desde una de las placas, está en metros. Calcule la magnitud y la dirección del campo eléctrico en x = 1.28 cm. 28) Dos placas conductoras paralelas y grandes están separadas a una distancia d = 1.48 cm y contienen cargas iguales pero de signos contrarios sobre sus superficies enfrentadas. La placa negativa hace tierra y se considera que su potencial es cero. Si el potencial a la mitad de entre las placas es de +5.52 V, determinar: A) El campo eléctrico entre las placas. B) La magnitud de la densidad superficial de carga . C) La diferencia de potencial entre las placas. 13

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29) En un segmento de longitud L se densidad lineal :

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encuentra uniformemente distribuida una carga con

A) Determinar el potencial eléctrico en el punto p que se indica en la figura (considerar que es cero en el infinito). B) Utilizar el resultado obtenido en a para calcular la componente del campo eléctrico en p en la dirección x a lo largo de la línea. C) Determinar la componente del campo eléctrica en p, perpendicular a la dirección de la línea.

30) El potencial eléctrico en una cierta región viene dado por V(x)= C 1 – C2X2, con unidades V(x) en volt, X en metros y C1 y C2 son constantes positivas. A) ¿Cuál es el significado de C1? B) Hallar el campo eléctrico en E (x) en esta región 31) El potencial eléctrico en una cierta región viene dado por: V= 2x + y 2 –7. Determinar el E , y la dirección del eje “x” positivo en un punto “p” ángulo entre el campo eléctrico ⃗ cuyas coordenadas son (1, 2, 0) en metros.

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