Ejercicios de Optimizacion y Tasas Relacionadas

5.6 Problemas de optimización y de tasas relacionadas. Problemas de Optimización Una de las aplicaciones más comunes del cálculo implica la determinación de los valores mínimo y máximo. Por ejemplo: utilidad (beneficio) máximo, mínimo costo, tiempo mínimo, voltaje máximo, forma óptima, tamaño mínimo, máxima resistencia y máxima distancia. Introducción Los problemas de optimización de funciones se estudian como una aplicación del cálculo diferencial. Generalmente este tipo de problemas suelen estar contextualizados, por lo que nos sirven de ejemplo para mostrar, una vez más, la utilidad que tienen las matemáticas. En general, las dificultades que surgen en este tipo de problemas son por un lado la comprensión del enunciado y su planteamiento matemático y por otro la interpretación de los resultados en el contexto del problema. La resolución de los problemas de optimización de funciones con Derive ayuda a mejorar las dificultadas antes mencionadas. Así, la utilización de varios métodos (algebraico y gráfico) para la resolución de un problema ayuda a su comprensión. Además resolver gráficamente estos problemas permite observar de forma conjunta el comportamiento de la función así como el de su función derivada para diferentes valores de la variable independiente y distinguir entre el valor de la variable que optimiza la función y el valor óptimo de la función. Asimismo, el modo gráfico favorece la comprensión de los conceptos extremo relativo y extremo absoluto de una función. Estrategia para resolver problemas aplicados de mínimos y máximos. 1. Identificar todas las cantidades dadas y las que se van a determinar. Si es posible, elaborar un dibujo. 2. Escribir una ecuación primaria para la cantidad que se va a maximizar o minimizar. 3. Reducir la ecuación primaria a una que tenga una sola variable independiente. Esto quizá implique el uso de ecuaciones secundarias que relacionan las variables independientes de la ecuación primaria. 4. Determinar el dominio admisible de la ecuación primaria. Esto es, determinar los valores para los cuales el problema planteado tiene sentido. 5. Determinar el valor máximo o mínimo deseado mediante las técnicas de cálculo estudiadas en el subtema anterior.

LA CAJA Tenemos dos piezas cuadradas de 36 cm de lado. Les cortamos a cada una, una esquina cuadrada de lado x, doblamos los bordes, para unir las dos piezas y formar una caja. ¿Cuánto debe valer x, el lado del cuadradito que recortamos, para que el volumen de la caja sea máximo?

La función que nos da el volumen de la caja será: V=x(36-x)2 Donde el dominio de la función será 0