Ejercicios de Modelo PL

 

 

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PROBLEMAS DE APLICACIÓN PARA FORMULAR MODELOS MATEMÁTICOS DE PL  PL  1. Una compañía manufacturera, produce cuatro diferentes tipos de productos metálicos que deben maquinarse, pulirse y ensamblarse. Las necesidades específicas de tiempo (en horas) para cada producto son las siguientes: Tipo de producto Producto I Producto II Producto III Producto IV

Maquinado 3 2 2 4

Pulido 1 1 2 3

Ensamble 2 1 2 1

La compañía dispone semanalmente de 480 horas para maquinado, 400 horas para el pulido y 400 horas para el ensamble. Las ganancias unitarias por producto son $6, $4, $6 y $8 respectivamente. La compañía tiene un contrato con un distribuidor en el que se compromete a entregar semanalmente; por lo menos 50 unidades del producto 1; 100 unidades como mínimo de cualquier combinación de los productos II y III, según la producción; pero entregar sólo un máximo de 25 unidades del producto IV. Formule el Modelo matemático que permita determinar las unidades de cada producto que debería fabricar semanalmente la compañía a fin de cumplir con todas las condiciones del contrato y optimizar su ganancia total. Formule un nuevo modelo si los tiempos de fabricación en cada proceso se incrementan en 10% y las horas disponibles por proceso disminuye en 5%. Solución: A. Formulación de Modelo Producto I

Producto II

Producto III

Producto IV

Maquinado

3

2

2

4

Pulido

1

1

2

3

2

1

Ensamble

2

1

B. Definición de Variables

X1 = Producto 1 X2 = Producto 2 X43 =   = Producto X  = Producto 3 4 Página | 1   INVESTIGACI N OPERATIVA I

 

 

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X1 

X2 

X3 

X4 

Hora

Maquinado Pulido

3 1

2 1

2 2

4 3

480 400

EnsambleI Producto Producto II y III Producto IV Utilidades

2 1

1

2

1

1

1

400 50 100 25

10

6

8

1 2

C. Función Objetivo Matemáticamente la función objetivo es  = 10 + 6 + 8 + 12  

D. Definición de Restriccione Restriccioness Maximizar    = 10 + 6 + 8 + 12   = 3 + 2 + 2 + 4  ≤ 480   =  +  + 2 + 3  ≤ 400   = 2 +  + 2 +   ≤ 400   =   ≤ 50   =  +   ≤ 100   =   ≤ 25    ,  ,  ,   ≥ 0 

Función Objetivo

Restricciones

No Negatividad

E. Grafica

Página | 2   INVESTIGACI N OPERATIVA I

 

 

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Solución X1 = 50 X2 = 0 X3 = 145 4 10   ZX= =1250

F. Interpretación

Fabricamos 50 unidades del producto 1, 0 unidades del producto 2, 145 unidades del  producto 3 y 10 unidades unidades del producto producto 4. Obtendremos una utilidad de 1190 $

2. A fábrica de muebles “La Moderna” produce dos tipos de modelos de muebles: modelo Virginia y modelo Mónaco; utilizando dos procesos, de construcción y pintado. La utilidad unitaria del modelo Virginia es de $ 200 y del modelo Mónaco es de $ 240. La tabla t abla siguiente, proporciona los datos básicos del problema. Con la información indicada se pide: PROCESOS Construcción

Tiempo de Fabricación por modelo Modelo Virginia Modelo Mónaco 6 12

Pintado

8

4

Capacidad horaria disponible 120 64

a) Formular el modelo matemático de programación lineal que optimice las utilidades. b) Con el modelo formulado, simule las siguientes soluciones factibles:   Suponga que se desea producir 3 muebles del modelo Virginia y 4 del modelo



Mónaco. ¿Cuál sería la utilidad total?   Si por restricciones de capital, la fábrica se restringe a producir un solo tipo de modelo. ¿Qué modelo de mueble elegiría? ¿Por qué?  qué? 



Solución: A. Formulación de Modelo Construcción

Pintado

Modelo Virginia

6

8

Modelo Mónaco

12

4

Página | 3   INVESTIGACI N OPERATIVA I

 

 

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B. Definición de Variables X1: Cantidad a producir de muebles modelo Virginia X2: Cantidad a producir de muebles modelo Mónaco X1 

X2 

Hora

Modelo Virginia

6

8

120

Modelo Mónaco

12

4

64

Construcción

1

Pintado

1

C. Función Objetivo Matemáticamente la función es  = 200 + 240  

Restriccioness  D. Definición de Restriccione Maximizar:  = 200 + 24 240 0   Sujeto a: 6 + 12  ≤ 120  8 + 4  ≤ 64 

Función Objetivo

  ,   ≥ 0 

No Negatividad

Restricciones

Con el modelo formulado, simule las siguientes soluciones factibles:   Suponga que se desea desea producir 5 muebles de cada cada modelo. ¿Cuál sería la utilidad total de la fábrica?



C = 200 + 240   C =200(5) +240(5) C =1000+1200

C = S/.2200   Si por restricciones de capital, la fábrica se restringe a producir un solo tipo de modelo. ¿Qué modelo de mueble elegiría? ¿Por qué?



Elegiría el modelo de tipo Mónaco, porque su costo es superior al del modelo tipo Virginia, el cual es de 240 dólares, y sea cual sea la cantidad la utilidad será mayor.  = S/ S /.240  

Página | 4   INVESTIGACI N OPERATIVA I

 

 

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3. Una empresa, cuenta con dos máquinas para elaborar dos tipos de producto productos: s: 1 y 2. Cada producto tiene que pasar por la máquina A y después por la máquina B. El producto 1 requiere3 horas de la máquina A y 2 de la máquina B, mientras que el producto 2 requiere 1 hora de la máquina A y 2 horas de la máquina B. La capacidad de las máquinas y B sonproducto 50 y 65 horas respectivamente. El producto A deja 350 $ y el A segundo B dejasemanales 600 $ por utilidades semanalmente. Por escasez de materia prima, la empresa no puede elaborar más de 21 unidades en total. Formule el modelo de Programación lineal que optimice la utilidad. Solución: A. Formulación Modelo Proceso

3 h/unid.

Producto A

50 h/ semanales

3 h/unid.

Producto B

65 h/ semanales

El producto A 350 $ y B 600$ por utilidades

B. Definición de Variables X1 = Cantidad de unidades del producto A X2 = Cantidad de unidades del producto B

C. Función Objetivo

Unidad semanal semanal del del producto producto B A= = 600 350 X X 1 $ $ Unidad 2 Matemáticamente la función objetivo es  = 350 1 +  600 2  

D. Definición de Restriccione Restriccioness Maximizar:  = 350 1  +  600 2   Sujeto a:

Función Objetivo 3 1 +  1 2   ≤ 50  2 1 +  2 2   ≤ 65    +   ≤ 21      ≥ 0,

  ≥ 0 

Restricciones No Negatividad Página | 5 

 INVESTIGACI N OPERATIVA I

 

 

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E. Grafica

Solución

X1 = 0  X2 = 21 Z = 12 600

F. Interpretación Fabricamos 0 del producto1 y 21 del producto2 y obtenemos una utilidad de 12 600 $

4. Una empresa fabrica dos tipos de productos: A y B, ca cada da producto debe pasar por un proceso de Ensamblaje y por un proceso de Terminado, antes de salir a la venta. El producto A se vende a $ 60 y el p producto roducto B a $ 50 cada unidad respectivamente. respectivamente. La siguiente tabla muestra el tiempo unitario requerido por cada producto utilizado en cada proceso; y el tiempo disponible por proceso. Producto 

Proceso de Ensamblaje 

Proceso Terminado 

 A

2 horas

3 horas

B

4 horas

2 horas

Tiempo disponible por proceso

48 horas

36 horas

Represente el problema usando un ordenador gráfico o esquema. Formule el modelo matemático optimice laoventa total debásicas los productos, indicando paso a paso la definición deque los elementos condiciones del modelo Página | 6   INVESTIGACI N OPERATIVA I

 

 

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Solución: A. Formulacion de Modelo

Proceso Producto A

2h

4h

Producto B

3h

2h

El producto A 60 $ y B 50$ por utilidades

B. Definición de variables X − 2 horas  horas  3 X  − 4 horas  horas  2

C. Función Objetivo Matemáticamente la función es  = 601 + 50 50 2 2 

D. Definición de Restriccione Restriccioness 50 2 2  Maximizar a:  = 601 + 50 Sujeto a:

Función Objetivo 2 + 4  ≤ 48 

Restricciones

3 + 2  ≤ 36 

Página | 7   INVESTIGACI N OPERATIVA I

 

 

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E. Grafica

Solución: X1 = 6 X2 = 9 Z = 810

F. Interpretación Fabricamos 6 unidades del producto 1 y 9 unidades del producto 2. Obtenemos una utilidad de 810 $

5. Una Fábrica procesa 4 tipos de productos en dos máquin máquinas as dif diferentes: erentes: M1 y M2. La siguiente tabla proporcio proporciona na la información requer requerida ida de tiempo de fabricación por producto, la utilidad por producto y su disponibilidad máxima de tiempo en horas por cada máquina.  Máquina M1 M2 Utilidad

Tiempo de fabricación por producto (horas) Disponibilidad Producto A Producto B Producto C Producto D de tiempo (hr.) 2 3 65

3 2 70

4 1 55

2 2 45

600 390

Represente el problema ayudándose de un gráfico o esquema. Formule el Modelo matemático que permita determinar la cantidad óptima a producir por cada producto y maximizar la utilidad total de los l os productos.

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Solución: A. Formulación de Modelos Producto A

Producto B

Producto C

Producto D

2

3

4

2

3

2

1

2

M1

M2

B. Definición de Variables X1 = Producto A X2 = Producto B X3 = Producto B X4 = Producto B

C. Función Objetivo Z = 65 X1 + 70 X2 + 55 X3 + 45 X4  Minimizar las ganancias de los productos 

D. Definiciones de Restricciones Maximizar: Sujeto a:

Función Objetivo 

Z = 65 X1 + 70 X2 + 55 X3 + 45 X4 

4 2 + 32 X22+ +41XX3 + 3 X11 + 390    3 +22XX4≤≤600

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, X3 ≥ 0, X4 ≥ 0 

Restricciones No Negatividad 

E. Grafica

Página | 9   INVESTIGACI N OPERATIVA I

 

 

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Solución X1 = 0 X2 = 192 X3 = 6 X413770  = 0 Z=

F. Interpretación Fabricamos 0 unidades del producto A, 192 unidades del producto B, 6 unidades del  producto C y 0 unidades unidades del producto producto C. Obtenemos Obtenemos una utilidad utilidad de 13 770 $

6. Una empresa, cuenta con dos máquinas para elaborar dos tipos de producto productos: s: 1 y 2. Cada producto tiene que pasar por la máquina A y después por la máquina B. El producto 1 requiere 3 horas de la máquina A y 2 de la máquina B, mientras que el producto 2 requiere 1 hora de la máquina A y 2 horas de la máquina B. La L a capacidad de las máquinas A y B son 50 y 65 horas semanales respectivamente. El producto A deja 350 $ y el segundo producto B deja 600 $ por utilidades semanalmente. Además, por escasez de materia prima, la empresa no puede elaborar más de 21 unidades en total. Formule el modelo matemático de programación lineal que optimice la utilidad. Solución: A. Formulación Modelo Proceso

Producto A Producto B

3 h/unid.

50 h/ semanales

3 h/unid.

65 h/ semanales

El producto A 350 $ y B 600$ por utilidades

B. Definición de Variables X1 = Cantidad de unidades del producto A X2 = Cantidad de unidades del producto B

C. Función Objetivo Unidad semanal del producto A = 350 X 1 $ Unidad semanal del producto B = 600 X 2 $

Página | 10   INVESTIGACI N OPERATIVA I

 

 

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Matemáticamente la función objetivo es  = 350 1 +  600 2  

D. Definición de Restriccione Restriccioness Maximizar:  = 350 1  +  600 2   Sujeto a:

Función Objetivo 3 1 +  1 2   ≤ 50  2 1 +  2 2   ≤ 65    +   ≤ 21 

E. Grafica

Solución

    ≥ 0,

  ≥ 0 

Restricciones No Negatividad

X1 = 0  X2 = 21 Z = 12 600

F. Interpretación Fabricamos 0 del producto1 y 21 del producto2 y obtenemos una utilidad de 12 600 $

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7. Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petr petróleo óleo crudo: crudo crudo ligero con un costo de35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero la refinería produce 0.3 barriles de gasolina (G), 0.2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0.3 barriles de combustible para turbinas (T). Mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0.3 barriles de G; 0.4 barriles de C y 0.2 barriles de T. La refinería tiene programado vender por lo menos 900,000 barriles de G; 800,000 barriles de C y 500,000 barriles de T. Formular el modelo matemático de programación lineal que permita hallar las cantidades de crudo ligero y pesado p esado que debe comprar la refinería, para poder cubrir sus necesidades optimizando su costo. Solución: A. Definición de Variables Variables   X1 = Cantidad de barriles comprados de crudo ligero. X2 = Cantidad de barriles comprados de crudo pesado.

B. Función Objetivo Z = 35 X1 + 30 X2  Maximizar los costos

C. Definición de Restriccione Restriccioness Maximizar: Z = 35 X1 + 30 X2 Sujeto a: 0,3 X1 + 0,3 X2 ≤ 900 000  0,2 X1 + 0,4 X2 X 2 ≤ 800 000  0,3 X1 + 0,2 X2 X 2 ≤ 500 000  X1 ≥ 0 , X2 ≥ 0  

Función Objetivo  Restricciones No Negatividad 

D. Grafica 

Página | 12   INVESTIGACI N OPERATIVA I

 

 

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Solución: X1 = 0 X2 = 3 000 000 Z = 90 000 000

E. Interpretación Producimos 0 Cantidades de barriles comprados de crudo ligero y 3 millones de Cantidades de barriles comprados de crudo pesado Obtenemos una utilidad de 90 millones $  

8. Un ganadero utiliza dia diariamente, riamente, por lo menos 800 kg de alimento es especial, pecial, el cual es una mezcla de maíz y soya, con las siguientes composiciones: Componente del Kg. de nutrientes por kg. de alimento Costo del componente alimento especial ($/kg) Fibra Proteínas MAIZ SOYA

0.09 0.60

0.02 0.06

0.30 0.90

Los requerimientos dietética diario del componente especial, requieren por lo menos un 30% de proteínas; y a lo mucho un 5% de fibra. Formule el modelo matemático de programación lineal, que permita al ganadero determinar la cantidad en la kgmezcla. de los componentes del alimento especial, a fin de optimizar el costo diario de Página | 13   INVESTIGACI N OPERATIVA I

 

 

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Solución:

A. Formulación de Modelos Proteínas

Fibra Maíz

0.09

0.02

Soya

0.60

0.06

El Maiz 0.30 $ y B 0.90$ la soya

B. Definición Variables X1: kilogramo de maíz. X2: kilogramo de soya. 

C. Función Objetivos Minimizar el costo por kilogramo de la mezcla Z=0.3 x1+ 0.9 x2

Restriccioness  D. Definición de Restriccione 

  Restricción de alimento especial X1+X2 ≥ 800 



  Requerimiento de fibra 0.09X1+0.60X2 ≤ 0.05(X1+X2)



  Requerimiento de proteína 0.02 X1+ 0.06 X2 ≤ 0.3(X1+X2)

Condición de no negatividad Nuestras variables deben ser mayor o igual a cero X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 

Página | 14   INVESTIGACI N OPERATIVA I

 

 

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9. La señora Mo Morales rales tien tienee una dieta a seguir, compuesto por los siguientes productos: pan, queso, huevos y carne; los cuales reúnen los siguientes requisitos alimenticios: al menos 4 mg. de vitamina A; al menos 6 mg. de vitamina B y a lo más 3 mg. de vitamina D. La tabla siguiente nos da los requerimientos por vitamina en mg. así como el costo; así como el contenido en mg por gramo de cada producto: PRODUCTO COSTO Vitamina A Vitamina B Vitamina D PAN  40.0  0.20  0.18  0.10  QUESO 31.0  0.15  0.10  0.14  HUEVOS 19.0  0.15  0.40  0.15  CARNE 53.0  0.30  0.35  0.16  Formule el modelo matemático de programación lineal, que optimice el costo de la dieta que consume la señora Morales. Solución: A. Formulación de Modelo

Vitamina A

0.20

0.15

0.15

0.20

Vitamina B

0.18

0.10

0.40

0.35

0.14

0.15

0.16

0.10

Vitamina C

B. Definición de Variables X1= La Cantidad a comprar de Pan X2= La Cantidad a comprar de Queso X3= La Cantidad a comprar de Huevo X4= La Cantidad a comprar de Carne

C. Función Objetivo Min W = 40x1 + 31x2 + 19x3 + 53x4… (1)  Minimizar  el costo por kilogramo de cada producto

Página | 15   INVESTIGACI N OPERATIVA I

 

 

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D. Definición de Restriccione Restriccioness W = 40x1 + 31x2 + 19x3 + 53x4…

Función Objetivo 

Sujetos 0.20x1 + a: 0.15x2 + 0.15x3 + 0.30x4 ≥ 4  0.18x1 + 0.10x2 + 0.40x3 + 0.35x4 ≥ 6  0.10x1 + 0.14x2 + 0.15x3 + 0.16x4 ≥ 3 

Restricciones

No Negatividad X1, X2, X3, X4 > 0

E. Grafica

Solución  La solución óptima es Z = 506.66666666667 X1 = 0 X2 = 0 X3 = 26.666666666667 X4 = 0

F. Interpretación Tendríamos que comprar 0 kg de pan, carne. 0 kg. De queso, 26.7 kg de huevos y 0 kg de Obteniendo la utilidad de 506.67 soles

10. El Departamento de Promoción de una Empresa Consultora tiene que planear para el mes siguiente, una estrategia de publicidad para lanzar un nuevo producto. Los estudios del mercado muestran los siguientes resultados:   La publicidad en periódicos llega al 3% de las familias de ingresos altos y al



6% de las familias de ingresos medios, por anuncios en periódicos   La publicidad por televisión llega al 2% de las familias de ingresos altos y al 3% de las familias de ingresos medios, por comercial puesto en TV.   La publicidad en periódico tiene un costo de 500$ por anuncio, y en televisión





tiene un costo de 2000$ por comercial. La meta de la empresa es obtener al Página | 16   INVESTIGACI N OPERATIVA I

 

 

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menos una presentación al 36% de las familias de ingresos altos, al 60% de las familias de ingresos medios, siendo su objetivo superarlos. Formular el modelo de programación lineal que optimice los costos de publicidad. Solución: A. Formulación de Modelos

 Alto

2% 

Medio

3% 

3%  6% 

B. Definición de Variables X1 = anuncios para las familias de ingreso alto X2 = anuncios para las familias de ingreso medio

T.V Periódico total

Alto

Medio

Condición

2%

3%

500

3% 36%

6% 60%

2000

C. Función Objetivos Minimizar los costos de publicidad. Z = 2000X1 + 500 X2

D. Definición de Restriccione Restriccioness Minimizar Sujeto a  a 

Z = 2000X1 + 500 X2 2 X1 + 3 X2 ≤ 36 3 X1 + 6X2 ≤ 60 X1, X2 ≥ 0 

Función Objetivo  Restricciones No Negatividad

Página | 17   INVESTIGACI N OPERATIVA I

 

 

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E. Grafica

Solución X1=18 X2=0 Z=36000

Página | 18   INVESTIGACI N OPERATIVA I

 

 

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PROBLEMA DE LÍNEAS DE PRODUCCIÓN 1. Un empresar empresario io tiene 80 kg de acero y 1120 20 kg de aluminio, y quiere fabricar dos modelos de bicicletas: bicicletas de paseo y bicicletas de montaña, para venderlas en el mercado a S/. 200 y S/. 150 respectivamente cada modelo, a fin de obtener el máximo beneficio. Para la bicicleta de paseo empleará 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para la bicicleta de montaña usará 2 kg de ambos metales. Formular el modelo matemático de programación lineal, que permita optimizar las bicicletas a producir, para obtener el mayor beneficio económico. Si el consumo de material para fabricar las bicicletas de paseo se incrementa en 10% y el consumo de material para la fabricación de las bicicletas de montañas disminuye en 15%; ¿En qué porcentaje aumenta o disminuye la fabricación de las bicicletas? Solución: Formulación de Modelos PROCESO 1   

PROCESO 2

1 Kg/unid

3 Kg/unid

Precio venta /. 200 

2 Kg/unid

2 Kg/unid

Precio venta/. 150 150 

Bicicleta de paseo    

Bicicleta de montaña

Disponibilidad de 80 kg. de acero

Disponibilidad de 120 kg. De aluminio

Definición de variables    = cantidad de bicicletas de paseo a fabricar     = cantidad de bicicletas de montaña a fabricar

Modelo de Bicicleta

Acero

Aluminio

Paseo

1 kg.

3 kg.

Montaña

2 kg.

2 kg.

Disponibilidad de materia prima

80 kg.

120 kg. Página | 19 

 INVESTIGACI N OPERATIVA I

 

 

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Función Objetivo Precio de venta de venta de la bicicleta de paseo = S/. 200 Precio de venta de la bicicleta de montaña = S/. 150 Beneficio económico = Precio de venta unitario x cantidad a fabricar Beneficio económico total de bicicleta de paseo = 200 x1 Beneficio económico total de bicicleta de montaña = 150 x2 Luego la Función objetivo será: Maximizar: Z = 200 x1 + 150 x2

Definición de restricción: Restricción del consumo de Acero en la fabricación de bicicletas: 1 + 2  < 80  Restricción del consumo de Aluminio en la fabricación de bicicletas: 3 + 2  < 120  Modelo matemático de programación lineal será: Maximizar a:  = 200  + 15 150 0    Sujeto a:   + 2  ≤ 80  3 + 2  ≤ 120 

No Negatividad   ,  ≥ 0  

Página | 20   INVESTIGACI N OPERATIVA I