Ejercicios de Mecánica de Fluidos 1

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles

CIV – 241 Mecánica de Fluidos 2do Semestre 2013

Ayudantía N°2 Mecánica de Fluidos Jueves 10 de octubre de 2013

1. La temperatura T del agua de un lago en el sur de Chile disminuye linealmente en profundidad, según la ecuación: T  z   T0   z

donde T0 denota la temperatura superficial (z= 0), α es un coeficiente constante positivo y z es una coordenada vertical hacia arriba. Suponga una ecuación de estado para la densidad del agua en función de la temperatura de la forma:  T   0 1   T 

donde  denota una densidad de referencia y β es un coeficiente constante positivo. a) Determine una expresión para la variación de la presión del agua con z considerando el efecto de la temperatura en la densidad. Determine el error que se comete en la estimación de la presión al despreciar la variación de la densidad del agua. Evalúe el error a una profundidad de 30 [m]. b) Considere un buzo que nada a una profundidad h bajo la superficie. Si el buzo genera burbujas de gas de radio r0 , determine una ecuación que permita calcular la variación del radio de las burbujas con z, r(z), a medida que ellas se elevan hacia la superficie. Para este análisis suponga que el agua tiene una tensión superficial  constante y que la temperatura del gas al interior de las burbujas es en todo momento igual a la temperatura del agua externa (es decir el flujo de calor necesario para equilibrar las temperaturas se ajusta para que dicho equilibrio sea instantáneo). c) Si en la superficie del lago se observan burbujas de radio R, a qué profundidad h se encuentra el buzo? Datos: T0  17[C ];   0.2[C / m]; 0  1001 [kg / m3 ];   0.00013 [1/  C]; patm  101293 [ Pa];

  1.63[N/ m]; r0  5[mm]; R  8[mm]

Indicación: Recuerde que en la ecuación de estado del gas tanto la presión como la temperatura deben ser absolutas ( Kelvin  C  273)

Solución: a) Del enunciado se tienen las siguientes relaciones Variación de la temperatura con la profundidad:

T  z   T0   z

(1)

Variación de la densidad con la temperatura:  T   0 1   T  ,   0

(2)

Remplazando (1) en (2)

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1

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 (z)  0 (1   (T0   z ))  0 (1   T0 )  0  z

(3)

Además, recordando que la presión satisface p   f b

En este caso,  p   (0, 0,  g) , así considerando el gradiente de presión en profundidad y usando la variación de  (z) descrita en (3): dp    g    0 (1   T0 )  0  z  g dz   0 g(1   T0 )  0 g  z

(4)

Luego, integrando (4) entre la superficie y un valor z cualquiera: P( z )



Patm

z

dp     0 g (1   T0 )  0 g  z  dz 0

P( z )  Patm   0 g (1   T0 ) z  P( z )  Patm  0 g (1   T0 ) z 

0 g  2

0 g  2

z2

z2

(5)

Por otro lado, si se desprecia la variación de la densidad  ( z )   0 P(z)  Patm  0 gz

(6)

Así, el error queda definido por:   P(  variable)  P(  constante)  g  2     Patm  0 g (1   T0 ) z  0 z    Patm  0 gz  

 0 g  T0 z 

2

0 g  2



z2

    0 g   T0 z  z 2  2  

(7)

A 30 m de profundidad (z=-30): P(  variable)  395062.5 [ Pa]

P(  constante)  395598.6 [ Pa]

  535.6 [ Pa]

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2

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b) P int

r(z)

P ext =P(z)

Figura N° 1. Esquema burbuja. Por un lado, se tiene la ecuación de estado del gas contenido en la burbuja: PintV  nR0T

4 3  r ( z )  nR0Tint ( z ) 3

(8)

Tint ( z )  T  z   T0   z [C ]  T0  273   z [ K ]

(9)

3 nR0Tint ( z ) 4 r 3 ( z )

(10)

3 nR0 (T0  273   h) 4 ro3

(11)

Pint

Supuesto:

Así, despejando P int en (8): Pint ( z ) 

Evaluando (10) en z=-h y usando (9): Pint 0 

Por otra parte, se tiene la ecuación de Young-Laplace: Pint ( z )  Pext ( z ) 

2 r ( z)

(12)

Evaluando (12) en z=-h: Pint 0  Pext (h) 

2 r0

Pint 0  Patm  0 g (1   T0 )h 

0 g 2

h2 

2 r0

(13)

(11)=13:  g 2 2 3 nR0 (T0  273   h)  Patm  0 g (1   T0 )h  0 h  3 4 2 r0 ro

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3

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

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  g 2 2  ro3 3 nR0   Patm  0 g (1   T0 )h  0 h   4 2 r0  (T0  273   h) 

(14)

Reemplazando (14) en (10), se obtiene:   g 2 2  ro3 Tint ( z ) T ( z) Pint ( z )   Patm  0 g (1   T0 )h  0 h   A int3  3 2 r0  (T0  273   h) r ( z ) r ( z) 

(15)

Pero dado que conocemos a través de la ecuación (5) de la presión afuera de la burbuja, podemos obtener de (12) que: Pint ( z )  Pext ( z ) 

2 r ( z)

Pint ( z )  Patm  0 g (1   T0 ) z 

0 g 2

z2 

2 r ( z)

(16)

Así, igualando (15) y (16) A

Tint ( z )  g 2 2  Patm  0 g (1   T0 ) z  0 z  3 2 r ( z) r ( z)

(17)

La constante A depende de h, pero si evaluamos (17) en z=0, donde r ( z )  R : A

R3  2   Patm   T0  273  R 

(18)

Finalmente, remplazando (18) en (17), se obtiene:  g 2 2 R3  2  Tint ( z )  Patm  0 g (1   T0 ) z  0 z   r ( z)  Patm   T0  273  R  r 3 ( z) 2 r ( z)

(19)

c) Calcular h Evaluando la ecuación (19) en z=-h y r=r0 :  g 2 2 R3  2  (T0  273   h)  Patm  0 g (1   T0 )h  0 h   Patm   T0  273  R  2 r0 r03

(20)

Reordenando (20):   2   R3 2 R3  2    0 g  2   h   g (1   T )  P  h  P   3  Patm     0 0 atm atm     0 3  2  R  T0  273 r0  r0 R  r0       a

c

b

ah  bh  c  0 2

(21)

(21) es una ecuación de segundo grado, con soluciones: h

b  b 2  4ac 2a

(22)

Así, considerando:

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4

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T0  17[C ];   0.2[C / m]; 0  1001[kg / m3 ];   0.00013 [1/  C]; patm  101293 [ Pa];

  1.63[N/ m]; r0  5[mm]  0.005[m]; R  8[mm]  0.008[m]; g  9.81[m/ s 2 ] se evalúan los coeficientes a, b y c 0 g 1001 9.81 0.2  0.00013 a

2



 0.1277

2

2   R3 2 1.63  0.2  (0.008)3   b  0 g (1   T0 )   Patm   1001  9.81  (1  0.0001  17 )  1012 9 3   10085    R  T0  273 r03 0.008  17  273  0.0053   c  Patm 

2 R3  2  3  Patm  r0 R r0 

2 1.63 0.0083  2 1.63    10129 3   101293     -314620 3  0.005 0.005  0.008  

Asi, evaluando (22) y considerando que h>0, se obtiene: h

b  b 2  4ac 10085  100852  4  314620  0.1277   31.18 [m] 2a 2  0.1277

0

0

-10

-10 Profundidad [m]

Profundidad [m]

Para finalizar, se presentan gráficos esquemáticos de la evolución de la presión, densidad, temperatura y radio de las burbujas.

-20 -30 -40

-20 -30 -40

Densidad Variable Densidad Constante

0

2

4

6

8 10 12 Temperatura [°C]

14

16

18

-50 998

20

0

0

-10

-10

-20 -30 -40

998.5

999

999.5

1000

1000.5

1001

1001.5

1002

Densidad [kg/m3]

Profundidad [m]

Profundidad [m]

-50

-20 -30 -40

Densidad Variable Densidad Constante

-50

0

1000

2000

3000 4000 Presión [HPa]

5000

6000

-50

7000

0

1

2

3

4 5 6 Radio Burbuja [mm]

7

8

9

10

Figura N° 2. Gráficos esquemáticos.

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2. Considere una esfera de radio unitario, sumergida parcialmente en agua. Se conoce que, en la posición de equilibrio, el punto de tangencia del casquete esférico que sobresale del líquido con el eje de abscisas (eje x) que pasa por el centro de la esfera forman un ángulo de 45 grados. Determine: a) La densidad del material del que está compuesta la esfera. b) Si la esfera se sumerge en mercurio (  Hg  13.6  H O ), determine el nivel de mercurio respecto al eje central de 2

la esfera.

Figura N° 3. Esquema de la esfera parcialmente sumergida. Solución: a) El elemento diferencial de superficie empleado para determinar el empuje queda esquematizado en la figura

Figura N° 4. Esquema elemento diferencial empleado. De esta forma, el empuje queda definido por: E   dFy  dF  sen( )  P(y)  dA  sen( )   gy  2 r  Rd  sen( ) s

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s

s

s

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Puesto que:

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r  R cos( )   y  h  Rsen( ) 

E     g  h  Rsen( )   2  R cos( )  R  sen( )d 



2



E     gh  2 R 2 cos( ) sen( )d  





  g 2 R sen 3



2

2

( ) cos( )d

2





3  sen ( )  3  sen ( )  E    gh2 R 2    g 2  R     2   3  2

2

para   45 

 ; 4

2

1 1       E    gh2 R 2  sen2 ( )  sen2       g 2 R3  sen3 ( )  sen3     2 3  2   2    h  Rsen   4 1 1           E    gh2 R 2  sen 2    sen 2       g 2 R3  sen3    sen3     2 3 4  2  4  2 

(1)

11  1 E    gh2 R 2   1   g 2 R3  0.353553  (1)  22  3  Rsen  / 4  1.353553  1.353553  h E   g 2 R 2   R   g 2 R 2  R   3 4 3 4    E   g 2 R3  0.62796  1.2559  g R3

El peso de la esfera debe ser igual a su empuje, por lo que se debe cumplir: 4 W  e g  R 3  E  1.2559  H 2O g R 3 3  H 2O 1.2559 1000 1.2559  kg  e    941.93  3  4 4 m  3 3

Como era de esperar, la densidad de la esfera es inferior a la del agua. b) Si la esfera se sumerge en el mercurio, y dado que la densidad del mercurio es 13.6 veces la densidad del agua, se puede realizar una estimación inicial calculando si la mitad de la esfera quedará o no cubierta por el mercurio. Para ello, se debe comparar el peso de la esfera con el empuje producido para esa situación: 4  W  e g  R 3  1  3   e   Hg 14 2 E   Hg g  R3   23 

Por lo tanto, seguro que únicamente un pequeño casquete esférico quedará sumergido en el mercurio. Dado que el elemento diferencial de empuje es el mismo que en a), se llega a la misma expresión (1), aunque ahora la densidad de fluido es la del mercurio.

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7

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CIV – 241 Mecánica de Fluidos 2do Semestre 2013 



3  sen 2 ( )  3  sen ( )  E    Hg gh2 R 2     Hg g 2 R    2   3  2

2

de donde: R     h      E    Hg g 2 R 2   sen3 ( )  sen3       sen2 ( )  sen2      3 2 2    2     

(2)

Con el fin de comprobar la bondad de la ecuación encontrada, se comprueba que para θ=0 y h= 0 el empuje debería sea el equivalente al de media esfera. h R  E   Hg g 2 R 2  (0  1)  (0  1)  3 2   R h   E   Hg g 2 R 2     3 2 E   Hg g 2

R3 4 1   Hg g R 3 3 3 2

La determinación de θ se obtendrá de igualar el peso de la esfera a la ecuación del empuje en función de dicho ángulo. El peso de la esfera viene dado por: 4 4 W  e g  R3  941.93  9.8   13  38666.77[N] 3 3

(3)

Considerando además, que para el ángulo de tangencia se cumple que: h  Rsen( )

Se tiene que: W E R      Rsen( )  2 2     38666.77[N]    Hg g 2 R 2   sen3 ( )  sen3       sen ( )  sen      3 2 2    2      1      1  sen( )  2 2     38666.77[N]  1000  9.8  2 12   sen3 ( )  sen3       sen ( )  sen      2  2   2    3     42.7

Por lo tanto, el nivel de mercurio respecto al eje central de la esfera es: h  1 sen(42.7)  -0.6784[m]

UTFSM, Vivian Aranda

8

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