Ejercicios de Markov

 

1.-

La cervecería más grande del mundo (Guiness) ha contratado a un analista de investigación de operaciones para analizar su posición en el mercado. Están preocupados en especial por su mayor competidor (Heineken). El analista piensa que el cambio marca se puede modelar como una cadena de MarKov incluyendo tres estados, los estados G y H representan a los clientes que beben cerveza producida por las mencionadas cervecerías y el estado I representa todas las demás marcas. Los datos se toman cada mes y el analista ha construido la siguiente matriz de transición de los datos históricos: G 0.7 0.2 0.1

G H I

H 0.2 0.75 0.1

I 0.1 0.05 0.8

¿Cuáles son los porcentajes de mercado en el estado estable para las dos cervecerías grandes? G

H

I

G H

0.7 0.2

0.2 0.75

0.1 0.05

I

0.1

0.1

0.8

T

  = 0.7 + 0.2 + 0.2 + 0.1 Z  Y= 0.2 0.2  + 0. 0.75 75  + 0.1 Z  Z= 0.1 0.1  + 0. 0.05 05  + 0.8 Z  1=     +   Z   + 0.3 0.3 − 0.2 0.2  - 0.1 Z=0  -0. 0.2 2 + 0.25 0.25  - 0.1 Z=0  −0.1 −0 .1  − 0. 0.05 05  + 0.2 Z=0    +

  +  

Z=1 

0.3

-0.2

-0.1

1

-0.2

0.25

-0.1

1

-0.1

-0.05

0.2

1

1

1

1

1

1.42307692

-0.5 -1.26923077 0.34615385

-0.64102564

1.66666667 -1.41025641 0.38461538

-1.11538462

-1.5

0.33333333

0.33333333

2.34615385 0.26923077 0.33333333

  = .  % 

Y = 38.41 %  Z = 26.92 % 

0

INVERSA

 

2.-

En una comunidad hay tres supermercados (S1, S2, S3) existe la movilidad de un cliente de uno a otro. El 1 de septiembre, ¼ de los clientes va al S1, 1/3 al S2 y un 5/12 al S3 de un total de 10 000 personas. Cada mes el S1 retiene al 90% de sus clientes y pierde el 10% que se va al S2. Se averiguó que el S2 sólo retiene el 5% y pierde el 85% que va al S1 y el resto se va al S3, el S3 retiene solo el 40%, pierde el 50% que va al S1 y el 10% va al S2. a) Establecer la matriz de transición

b) ¿Cuál es la proporción de clientes para que los supermercados el 1 d de e noviembre? c) Hallar el vector de probabilidad estable. a)

S1

S2

S3

S1

0.9

0.1

0

S1

0.85

0. 0.05 05

0.1

S1

0.5

0.1

0.4

S1

S2

S

S1

0.895

0.095

0.01

S2

0.8575

0.0975

0.045

S3

0.735

0.095

0.17

b)

0.25

0.417

0.33

0.814054

0.09554

T

T2

0.895

0.095

0.01

0.8575

0.0975

0.045

0.737

0.095

0.17

0.08824

     ..  %  ,  . %    . % . 

c)

0.1 -0.1

-0.85 0.95

-0.5 -0.1

1 1

0

-0.1

0.6

1

1

1

1

1

0.6296296

-0.4814815

-1.0370370

0.8888889

-0.3492063

0.6031746

-0.3492063

0.0952381

-0.6137566

-0.4550265

1.0529101

0.0158730

0.3333333

0.3333333

0.3333333

0.0000000

 X=0.8888   Y=0.0952  Z=0.0158   

INVERSA

 

  3.-

Los consumidores de café en el área de Pontevedra usan tres marcas A, B, C. En marzo de 1995 se hizo una encuesta en la que se entrevistó a las 8450 personas que compran café y los resultados fueron: TOTALES Compra Marca A Marca B Marca C actual Marca 507 845 338 1690  A=1690 Marca B= 676 2028 676 3380 3380 Marca 845 845 1690 3380 C=3380 TOTALES 2028 3718 2704 8450 a) Si las compras se h hacen acen mensualmente, ¿Cu ¿Cuál ál será la distribución del mercado de café en Pontevedra en el mes de junio? b) A la larga, ¿Cómo se distribuirán los cl clientes ientes de café? c) En junio, ¿Cuál es la proporción de clientes lleales eales a su marca de café? a)

b)

A

B

C

A

0.3

0.5

0.2

B

0.2

0.6

0.2

C

0.25

0.25

0.5

A

B

C

A

0.24

0.5

0.26

B

0.23

0.51

0.26

C

0.25

0.4

0.35

A

B

C

A B

0.2376 0.2375

0.479 0.4791

0.2834 0.2834

C

0.2395

0.469

0.2915

  = 0.3 + 0.2 + 0.2 + 0.25 Z  Y= 0.5  + 0.25 Z  0.5 + 0.6 0.6 + Z= 0.2  + 0.5 Z  0.2 + 0.2 0.2 + 1=     +   Z    + 0.7 0.7 − 0.2 0.2  - 0.25 Z=0  -0.5  - 0.25 Z=0  0.5 + 0.4 0.4  + 0.5 Z=0  −0.2 −0 .2  − 0. 0.2 2 + Z=1    +     +

T

T2 T2

T4

 

 

0.7

-0.2

-0.25

1

-0.5

0.4

-0.25

1

-0.2

-0.2

0.5

1

1

1

1

1

0.63492063 0.47619048

-0.3968254 0.23809524 -0.3968254 0.71428571 0.79365079 0.47619048 -0.57142857 0.57142857 0.85714286 0.28571429 0.33333333 0.33333333 0.33333333

0

X=0.238095; Y=0.476190; Z=0.285714 

c) (2028/8450)= 0.24 (3718/8450)= 0.44 (2704/8450)= 0.32

0.24

0.44

0.3

0.5

0.2

0.2

0.6

0.2

0.25

0.25

0.5

0.32

0.24

0.464

0.296

   %    , ,   .. %     .. %  .  4.-

Definir la matriz de transición correspondiente a cada caso: a) 

1 2 3

1 0 0.3 0

2 0.4 0.6 0

3 0.6 0.1 1

 

b) 

5.-

1 2

1 0.5 0

2 0.5 0

3 0 0.67

4 0 0.33

3 4

1 0

0 0.5

0 0.25

0 0.25

Dada la matriz de transición P y un vector inicial de distribución, v; calcular:   P=

0. 2

0. 8

0. 8

0. 2

,

v =

100

0

a) Probabilidad de ir del estado 2 al 1 en dos pasos b) El vector de distribución después de dos pasos 1

2

1

0.2

0.8

2

0.8

0.2

1

2

1

0.68

0.32

2

0.32

0.68

a)

T

T2

               . 

b) 1

1

2

68

32

EL VECTOR DE DISTRIBUCION DEPUES DE 2 PASOS ES (68,32)  

V

100

0

 

6.-

Dada la matriz de transición P y un vector inicial de distribución, v; calcular:

1/2 P=

0

1

1/2

a) b) c) d)

1/ 4

1/4 0

1/ 2

,

v =

0

160

0

0

La matriz de transición de dos pasos La matriz de transición de cuatro pasos La probabilidad de iirr del estado 3 al estado 1 en cuatro pasos El vector de distribución después de cuatro pasos

1 a)

2

1

0.375

0.5

0.125

2

0

1

0

3

0.25

0.625

0.125

1

0.171875

0.765625

0.0625

2

0

1

0

3

0.125

0.828125

0.046875

1 b)

3

c)

2

T2

3 T4

1

2

3

1

0.171875

0.765625

0.0625

2

0

1

0

3

0.125

0.828125

0.046875

T4

                  . . . 

d) 1

1

2

3

0

160

0

 

El departamento de estudios de mercado de una fábrica estima que el 20% de la gente que compra un producto un mes, no lo comprará el mes siguiente.  Además, el 30% de quienes no lo compren un mes lo adquirirá al mes siguiente.  a) Dibujar el gráfico b) Definir la matriz de transición c) En una población de 1000 individuos, 100 compraron el producto el primer mes. ¿Cuántos lo comprarán al mes próximo? ¿Y dentro de dos meses? 7.-

a)

←0.3 

NO COMPRAN

0.8 ↘ COMPRAN

↙ 0.7 

0.2→ 

COMPRAN

NO COMPRAN

COMPRAN

0.8

0.2

NO COMPRAN

0.3

0.7

100

900

b)

c)

350

T

0.8

0.2

0.3

0.7

650

        . 

100

0.7

0.3

0.45

0.55

900

475

T2

0.7

0.3

0.45

0.55

525

        . 

 

En una población de 10,000 habitantes, 5000 no fuman, 2500 fuman uno o menos de un paquete diario y 2500 fuman más de un paquete diario. En un mes hay un 5% de probabilidad de que un no fumador comience a fumar un paquete diario, o menos, y un 2% de que un no fumador pase a fumar más de un paquete diario. Para los que fuman un paquete, o menos, hay un 10% de probabilidad de que dejen el tabaco, y un 10% de que pasen a fumar más de un paquete diario. Entre los que fuman más de un paquete, hay un 5% de probabilidad de que dejen

8.-

el tabaco y un 10% de que pasen a fumar un paquete, o menos. ¿Cuántos individuos habrá de cada clase el próximo mes?  5000

2500

2500

NF

FC

FCC

NF

0.93

0.05

0.02

FC

0.1

0.8

0.1

FCC

0.05

0.1

0.85

5025

2500

2475

V

T

 =  ,    =           =      . 

        ,                      . 

 

Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A, B y C. Para evitar desplazamientos innecesarios está todo el día en la misma ciudad y allí pernocta, desplazándose a otra ciudad al día siguiente, si no tiene suficiente trabajo. Después de estar trabajando un día en C, la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella al día siguiente es 0.4, la de tener que viajar a B es 0.4 y la de tener que ir a A es 0.2. Si el viajante duerme un día en B, con probabilidad de un 20% tendrá que seguir trabajando en la misma ciudad al día siguiente, en el 60% de los casos viajará a C, mientras que irá a A con probabilidad 0.2. Por último si el agente comercial trabaja todo un día en A, permanecerá en esa misma ciudad, al día siguiente, con una probabilidad 0.1, irá a B con una probabilidad de 0.3 y a C con una probabilidad de 0.6. a) Si hoy el viajante está en C, ¿cuál es la p probabilidad robabilidad de que también tenga que que trabajar en C al cabo de cuatro días? b) ¿Cuáles son los porcentajes de días en los que el agente comercial está en cada una de las tres ciudades?

9.-

a)

A

B

C

A

0.1

0.3

0.6

B

0.2

0.2

0.6

C

0.2

0.4

0.4

T

0.19

0.33

0.48

0.18

0.34

0.48 T2

0.18

0.3

0.52

0.1819

0.3189

0.4992

0.1818

0.319

0.1818

0.3174

0.4992 T4 0.5008

LA PROBABILIDAD DE QUE TAMBIEN TENGA QUE TRABAJAR EN C AL CABO CABO DE CUATRO DIA ES 0.5008  

b) X= 0.1X + 0.2Y + 0.2Z Y= 0.3X + 0.02Y + 0.4Z  Z= 0.6X + 0.6Y + 0.4Z  1= X + Y + Z  0.9X - 0.2Y - 0.2Z = 0  -0.3X + 0.8Y - 0.4Z = 0  -0.6X - 0.6Y + 0.6Z= 0  X + Y + Z = 1 

 

 

0.9

-0.2

-0.2

1

-0.3

0.8

-0.4

1

-0.6

-0.6

0.6

1

1

1

1

1

0.54545455 0.36363636 0.36363636 0.18181818 -0.43434343 0.47474747 0.35858586 0.31818182 -0.44444444 0.44444444 0.38888889 0.5 0.33333333 0.33333333 0.33333333

INVERSA

0

X= 0.1818 Y= 0.3182  Z= 0.5  EN PORCENTAJES SERIAN EL 18.18% PARA LA CIUDAD A, EL 31.82% PARA LA CIUDAD B Y EL 50% PARA LA CIUDAD CIUDAD C. 

Suponga que toda la industria de refresco produce dos colas: Coca Cola y Pepsi Cola. Cuando una persona ha comprado Coca Cola hay una probabilidad de 90 %de que siga comprándola la vez siguiente. Si una persona compró Pepsi, hay 80 % de que repita la vez siguiente. Entonces: a) Si una pe persona rsona actualmente es comprado compradorr de Pepsi. ¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas dos compras a partir de hoy? b) Si en la actualidad una persona es comprador de Coca Coca Cola. ¿Cuál es la la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas tres compras a partir de ahora? 10.-

c) Supongamos que el a60partir % dedetoda la gente hoy Coca y el 40 % Pepsi. A tres compras ahora, ¿Quétoma fracción de losCola compradores estará tomando Coca Cola? a)

CC

PC

CC

0.9

0.1 T

PC

0.2

0.8

0.83

0.17 T2

0.34

0.66

             . . . 

 

  b)

0.781

0.219

0.438

0.562

 

 

 

 

 

 

                    . .      . 

c)

0.6

0.4

0.6438

0.3562

V

         ..  %     .  11.- 

La vendedora Phyllis Pauley vende periódicos en la esquina de la avenida Kirkwood y la calle Indiana, y todos los días debe determinar cuántos periódicos pedir. Phyllis paga a la compañía $ 20 por cada ejemplar y los vende a $ 25 cada uno. Los periódicos que no se venden al terminar el día no tienen valor alguno. Phyllis sabe que cada día puede vender entre 6 y 10 ejemplares, cada uno con una posibilidad equiprobable. Demuestre cómo se ajusta este problema en el modelo del estado del mundo. OFERTA

DEMANDA

6

7

8

9

10

VME

6

30

30

30

30

30

30

7 8

30 30

35 35

35 40

35 40

35 40

34 37

9

30

35

40

45

45

39

10

30

35

40

45

50

40

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

a) BAYES-LAPLACE = 10 b) CRITERIO DE MAXIMIN DE WALO = INDECISION c)CRITERIO DE MAXIMAX DE BAUMOL = 10 d) CRITERIO DE HURWICS

 

 

6

7

8

9

10

6

30

30

30

30

30

7

10

35

35

35

35

8

-10

15

40

40

40

9

-30

-5

20

45

45

10

-50

-25

0

25

50

PESIMISTA

OPTIMISTA

6

30

30

7

16.25

28.75

8

2.5

27.5

9

-11.25

26.25

10

-25

25 e) CRITERIO DE SAVAGE MATRIZ DE ARREPENTIMIE ARREPENTIMIENTO NTO

6

7

8

9

10

6

0

5

10

15

20

7

0

0

5

10

15

8

0

0

0

5

10

9

0

0

0

0

5

10

0

0

0

0

0