Ejercicios de Maquinas Hidraulicas

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA NUCLEAR Y MECÁNICA DE FLUIDOS

INGENIARITZA NUKLEARRA ETA JARIAKINEN MEKANIKA SAILA

MÁQUINAS HIDRÁULICAS COLECCIÓN DE PROBLEMAS Curso 2010-2011

Profesores:

Aitor Barinaga Gabriel Ibarra Igor Peñalva Kontxi Olondo Natalia Alegría

Andoni Larreategui Martín Garay

Índice - 2

ÍNDICE

Tema 1: Mecánica de Fluidos en Máquinas Hidráulicas.............................................. 3 Tema 2: Triángulos de Velocidades y Ecuación de Euler............................................ 9 Tema 3: Bombas......................................................................................................... 12 Tema 4: Turbinas........................................................................................................ 54 Exámenes: 2004-2005 ................................................................................................ 67 Exámenes: 2005-2006 ................................................................................................ 78 Exámenes: 2006-2007 ................................................................................................ 87 Exámenes: 2007-2008 ................................................................................................ 98 Exámenes: 2008-2009 .............................................................................................. 108 Exámenes: 2009-2010 .............................................................................................. 116 Ejercicios resueltos ................................................................................................... 126

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Tema 1: Mecánica de Fluidos en Máquinas Hidráulicas - 3

Tema 1: Mecánica de Fluidos en Máquinas Hidráulicas 1.1. Con objeto de verificar las características de una bomba centrífuga se procede a realizar un ensayo según el esquema de la Figura 1.1.a. Para un caudal de 0,1 [m3/s] el manómetro diferencial de columna de mercurio indica una diferencia ∆z de 700 [mm Hg]. Los diámetros de las secciones de entrada y de salida son D1 = 0,20 [m] y D2 = 0,15 [m]. Dichas secciones se sitúan a las cotas 4,3 [m] y 5,0 [m] respectivamente. Se pide: a) b)

Determinar la energía hidráulica másica suministrada al agua por la bomba. Determinar el valor de la potencia hidráulica de la bomba.

Hipótesis: • • •

Aceleración de la gravedad. Densidad del agua Densidad del mercurio

g = 9,81 ρw = 1000 ρHg = 13480

[m/s2] [kg/m3] [kg/m3]

Figura 1.1.a. Esquema del ensayo

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Tema 1: Mecánica de Fluidos en Máquinas Hidráulicas - 4

1.2. Se está proyectando un nuevo tipo de camión para bajar madera del monte una vez sea cortada. A fin de prevenir la propagación de incendios fortuitos, el camión deberá incluir un equipo para apagar incendios en el monte. Para ello, se pretende que se pueda acoplar un rodete de bomba al eje del camión de forma que sea el motor el que con el camión arrancado pero sin movimiento, transmita el giro al rodete centrífugo. El agua se captaría de algún riachuelo que se encuentre aproximadamente a 3,5 [m] por debajo del nivel de la carretera. A la salida de la bomba, la impulsión se bifurca en 2 mangueras de aproximadamente 50 [m] de longitud en cada una de las cuales se producen unas pérdidas de carga de aproximadamente 4 [m C.A.] cuando el equipo está en operación. En las boquillas situadas a la salida de las mangueras, las pérdidas de carga son de 0,8 [m C.A.] y se espera que el personal del camión esté capacitado para manejar las mangueras con sus manos, de pie sobre la carretera y sosteniendo la boquilla a una altura de 1,5 [m] sobre el nivel de la carretera. La potencia del motor del camión es de 150 [C.V.] y el rendimiento del rodete, para el punto de máximo rendimiento en el que se supone va operar es de 0,8 [-]. Sabiendo que las pérdidas en la aspiración son despreciables y que el caudal que sale a gran velocidad por cada una de las 2 mangueras es de 50 [L/s], calcular el diámetro de las boquillas a acoplar a la salida de las mismas.

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Tema 1: Mecánica de Fluidos en Máquinas Hidráulicas - 5

1.3. Se está procediendo a la realización de un ensayo de características de una bomba axial sumergible emplazada en una cántara o foso de aspiración conectado directamente a un río. Desde el citado foso se bombeará el agua a un canal dotado de un vertedero de pared gruesa por medio de una tubería de impulsión cuyo diámetro interior es 400 [mm]. El diámetro interior de la sección de impulsión, donde se alojan las tomas de presión es también de 400 [mm]. Las principales cotas altimétricas en [m] (s.n.m.) de la instalación son: • • • •

Solera del foso de aspiración: Boca de aspiración : Sección de tomas de presión en la impulsión: Piso de armarios eléctricos de la caseta de bombas:

zsol zboca ztomas zpiso

= 450,00 = 450,50 = 452,69 = 454,00

Para medir la altura de impulsión se ha dispuesto un manómetro de Bourdon cuyo plano de referencia se sitúa a 1,5 [m] por encima del piso de armarios y un caudalímetro de ultrasonidos con sondas de inserción en la tubería de impulsión. En el momento de realizar las lecturas, el nivel en el foso de aspiración correspondía a un calado de 3 [m] respecto de la solera. Las lecturas obtenidas en la bomba, han sido: • •

lectura en el caudalímetro: lectura en el manómetro de impulsión:

0,300 [m3/s] 2055 [Pa] (relativa)

Datos de cálculo: • •

densidad: aceleración gravedad:

1000 [kg/m3] 9,81 [m/s2]

Se pide: a) b)

Determinar la energía específica de impulsión y la altura de impulsión de la bomba. Determinar la potencia hidráulica generada por la bomba.

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Tema 1: Mecánica de Fluidos en Máquinas Hidráulicas - 6

1.4. Se está ensayando una bomba centrífuga cuyos datos para las respectivas secciones de referencia son: •

Entrada:

cota z1 = 35,0 [m] diámetro sección entrada: D1 = 0,3 [m]

•

Salida:

cota z2 = 35,5 [m] diámetro sección salida: D2 = 0,2 [m]

A la entrada de dispone de un manómetro de columna de mercurio de dos ramas: la rama de baja presión va conectada a la sección de tomas de presión. La otra rama va conectada a la atmósfera. El cero del manómetro está situado en el mismo plano que la sección de referencia. A la salida se dispone de un transductor de presión absoluta de fondo de escala 6 [bar] con salida 4 [mA] ÷ 20 [mA]. El plano de referencia del transductor está situado a la misma cota que la sección de referencia en la salida. En el punto actual de ensayo las lecturas son: • • •

Transductor: 16,78 [mA] Manómetro Hg: 650 [mm] (rama de baja: sección de tomas de presión) 350 [mm] (rama de alta: lado atmósfera) Caudal: 200 [L/s] Determinar la energía específica aplicada por la bomba al agua.

Datos: • • • • •

densidad del agua en el momento del ensayo: densidad del mercurio en el momento del ensayo: densidad del aire en el momento del ensayo: aceleración de la gravedad: presión barométrica actual:

ρw = 998,5 [kg/m3] (cte) ρHg = 13450 [kg/m3] (cte) ρaire = 1,20 [kg/m3] (cte) g = 9,81 [m/s2] pb = 101300 [Pa] (cte)

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Tema 1: Mecánica de Fluidos en Máquinas Hidráulicas - 7

1.5. Una central hidroeléctrica dispone de un embalse superior de otro inferior y de cuatro grupos hidroeléctricos dotados de bombas-turbinas y sus correspondientes motores-alternadores. El nivel máximo de explotación del embalse superior se sitúa a la cota 684,0 [m] (s.n.m.) y la carrera del embalse es de 20 [m]. En el embalse inferior la cota mínima es la 602 [m] (s.n.m.) y la cota máxima, en avenidas, la 616 [m] (s.n.m.). La tubería forzada es de acero laminado soldado de diámetro 5 [m] y rugosidad absoluta 0,1 [mm] y tiene una longitud equivalente de 450 [m]. La galería de aspiración o desagüe consiste en una tubería de hormigón de sección circular y de diámetro 7 [m] con rugosidad absoluta de 1 [mm] y longitud equivalente 150 [m]. En su cálculo no se han considerado las pérdidas singulares en la conducción hasta la máquina. La maquinaria se ha dispuesto en caverna, y es de ejecución horizontal (no habitual). El eje se sitúa a la cota 589,2 [m] (s.n.m.). La embocadura de la tubería forzada arranca en la cota 640 [m] (s.n.m.) y es vertical en su primer tramo hasta llegar a la cota del eje de máquinas en que pasa a ser horizontal. El acuerdo entre ambas se realiza por medio de un codo R = 10 ⋅ D de modo que el coeficiente de pérdidas es igual a ξ = 0,05 [-]. En la galería de desagüe no existen elementos singulares a considerar, pero en el cálculo de pérdidas de carga secundarias sí se debe tener en cuenta la conexión “depósito-entrada a tubería” (ξ = 0,5 [-]) así como la conexión “tuberíaentrada a depósito” (ξ = 1 [-]). Para simplificar el problema se asume (nada realista) que las pérdidas de carga en el repartidor para los cuatro grupos son nulas y que el tramo recto de cada una de las tuberías individuales es suficientemente corto como para ser despreciable. Esto es válido tanto para el lado de alta presión como para el de baja. El caudal nominal total es el siguiente: • •

Bombeo: Turbinado:

40 [m3/s] 49 [m3/s]

En un momento determinado de los cuatro grupos existentes únicamente uno se encuentra en operación. Determinar en este caso la curva resistente en cada sentido de funcionamiento (bombeo y turbinado), en los cuatro casos posibles de embalse. Determinar asimismo las pérdidas de carga para los correspondientes caudales nominales (bombeo y turbinado).

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Tema 1: Mecánica de Fluidos en Máquinas Hidráulicas - 8

1.6. Se dispone de un depósito de agua de gran sección y 10 [m] de profundidad en cuya parte inferior existe una conducción. A la salida de dicha conducción existe una bomba centrífuga en cuya impulsión hay otra tubería que asciende hasta una cota igual al nivel superior del depósito de gran sección (ver Figura 1.6). A la salida de la tubería se dispone de una boquilla cuya sección es de 3,6 [cm2], teniendo el agua, entonces, una velocidad de 9,8 [m/s]. Si la bomba tiene un rendimiento de 0,7 [-] y está accionada por un motor eléctrico cuyo rendimiento es 0,8 [-], se pide calcular la potencia eléctrica absorbida de la red por el grupo. Nota.- suponer despreciables las pérdidas de carga.

Figura 1.6. Esquema de la instalación

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Tema 2: Triángulos de Velocidades y Ecuación de Euler - 9

Tema 2: Triángulos de Velocidades y Ecuación de Euler 2.1. Una bomba centrífuga suministra un caudal de 2,4 [L/s] impulsando agua a 27 [m C.A.]. Su rendimiento manométrico es del 75 [%]. Se admite que las pérdidas energéticas tienen un valor 5 veces superior a la energía cinética relativa a la salida del rodete. El diámetro de salida del rodete es D2 = 0,2 [m] y la sección de salida correspondiente S2 = 0,2 ⋅ (D2)2. Calcular el ángulo β 2 y la velocidad de rotación N (en [r.p.m.]), si se supone que el flujo penetra en el rodete sin prerrotación. 2.2. Una turbina Francis gira a una velocidad de rotación de 600 [r.p.m.] y absorbe un caudal de 1,0 [m3/s]. Los diámetros de entrada y salida (para filete medio) son conocidos, así como sus secciones de paso correspondientes: • •

D1 = 1,0 [m] D2 = 0,45 [m]

S1 = 0,14 [m2] S2 = 0,09 [m2]

El ángulo de salida del distribuidor es αd2 = 15 [º] y el ángulo de salida en el rodete es β2 = 45 [º]. Sabiendo que el rendimiento manométrico es igual a 0,78 [-], calcular la energía hidráulica másica y la potencia hidráulica efectiva suministrada a la máquina. Suponer que no existe variación en el entrehierro, de manera que α1 ≈ α2d. 2.3. Una bomba centrífuga que gira a 750 [r.p.m.] debe suministrar un caudal de 0,56 [m3/s] a una energía específica de Euler o teórica de 120 [J/kg]. El rendimiento manométrico es de 0,8 [-] y las pérdidas energéticas totales en la bomba son iguales a 0,54 veces la energía cinética a la salida. La entrada en los álabes se efectúa sin prerrotación. La componente meridiana de la velocidad absoluta en los álabes, a la salida, es constante e igual a 2,7 [m/s]. Se pide: a) b) c)

el radio de salida de los álabes, la sección de salida, y el ángulo de salida β 2.

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Tema 2: Triángulos de Velocidades y Ecuación de Euler - 10

2.4. El rodete de la bomba centrífuga esquematizado en la Figura 2.4, es arrastrado a 1470 [r.p.m.] y suministra un caudal de 100 [L/s]. La energía específica ganada por el fluido al atravesar la bomba es de 400 [J/kg]. Se pide: representar gráficamente los triángulos de entrada y salida, asumiendo un valor del rendimiento hidráulico de 0,78 [-] y la inexistencia de prerrotación en la entrada. Figura 2.4. Esquema del rodete (cotas en [mm])

2.5. El rodete de la máquina axial representado en la Figura 2.5 gira a una velocidad de rotación de 45 [rad/s]. Funcionando como bomba el agua tras atravesar la máquina gana 120 [J/kg], mientras que funcionando como turbina el agua pone a disposición de la máquina esa misma cantidad de energía específica. Representar los triángulos de velocidades para ambas situaciones: bombeo y turbinado, asumiendo una velocidad axial de 12 [m/s]. Hipótesis: • • •

Suponer un rendimiento hidráulico de 0,85 [-] para funcionamiento en bomba y de 0,87 [-] para rendimiento en turbina. Asumir entrada sin prerrotación en funcionamiento en bomba y salida sin torbellino en turbina. Para simplificar realizar los cálculos con el diámetro medio.

Figura 2.5. Esquema del rodete (cotas en [mm])

2.6. Una turbina Pelton que funciona bajo un salto de 750 [m] posee uno o varios inyectores con chorros iguales cuyo diámetro es: dj = 180 [mm]. Calcular el esfuerzo a que se ve sometida cada cuchara cuando el chorro impacta por completo sabiendo que la velocidad de las cucharas es aproximadamente igual a la mitad de la velocidad del chorro. Nota.- suponer que el ángulo β2 ≈ 0 [º] y que no hay pérdidas de carga.

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Tema 2: Triángulos de Velocidades y Ecuación de Euler - 11

2.7. Una bomba multicelular (multietapa) está constituida por 8 rodetes dispuestos en serie, de diámetros exterior e interior iguales a 0,4 [m] y 0,2 [m] respectivamente que giran a 3000 [r.p.m.]. El difusor se ha trazado para que sean iguales en módulo, las velocidades absoluta y relativa a la salida de los rodetes y para que la entrada a los rodetes se produzca sin prerrotación. En este caso, el rendimiento manométrico es del 90 [%]. a)

Calcular la altura de impulsión generada.

Sabiendo que la anchura de canal del rodete a la salida (anchura de paso de agua, B) es de 0,02 [m] y que los álabes ocupan un 10 [%] de la sección de salida, se pide: b)

Calcular el caudal circulante y la potencia de la bomba suponiendo que el rendimiento manométrico citado es el global.

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Tema 3: Bombas - 12

Tema 3: Bombas 3.1. En una instalación se necesita impulsar un caudal de 19,2 [m3/h] de agua. Para ello se requiere de un acoplamiento que proporcione una altura manométrica de 50 [m C.A.]. Se dispone para el uso en el acoplamiento de 3 bombas centrífugas iguales que tienen por curva característica, (con Q en [m3/h]): H = 71,0 − 0,3501⋅ Q 2

[m C.A.]

Se pide determinar, de todos los acoplamientos posibles que se pueden configurar con las 3 bombas, aquel que permita trabajar más cerca del punto de funcionamiento deseado. 3.2. Un depósito situado a 25 [m] de altura sobre una bomba que gira a 740 [r.p.m.], es alimentado por ésta con un líquido de densidad 850 [kg/m3]. El depósito, cilíndrico, se encuentra presurizado a 1,26 [kg/cm2] y tiene unas dimensiones de 16 [m] de diámetro y 6 [m] de altura. La alimentación al depósito se efectúa por la parte superior de forma que la altura de salida del líquido es constante. Se desea llenar el depósito en 2 horas. Se pide: a) b)

c)

d) e)

Caudal que debe dar la bomba. Calcular la altura manométrica y la potencia que debe aportar el motor si la conducción de alimentación tiene un coeficiente de pérdidas K = 1800 [m C.L./(m3/s)2] y el rendimiento hidráulico de la bomba es del 80 [%]. Si el tiempo de llenado deber reducirse a la mitad para las mismas condiciones anteriores, qué acoplamiento y cual será el número mínimo de bombas a instalar, si se dispone de un modelo básico cuya curva característica es H = 45 – 80 ⋅ Q – 508 ⋅ Q2 [m C.L.], con Q en [m3/s]. ¿Qué potencia será necesaria considerar en cada motor si el rendimiento de éstos es del 85 [%]? Como funcionamiento alternativo a la pregunta c), determinar a qué velocidad de rotación debe girar una sola bomba para poder doblar, asimismo el caudal inicial y cuál pasa a ser la potencia que debe aportar el motor si el rendimiento hidráulico pasa a ser del 78 [%].

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Tema 3: Bombas - 13

3.3. En un proceso industrial se dispone una instalación de elevación de agua dotada de una bomba axial con su circuito según el esquema de la Figura 3.3.a. Las curvas características de la bomba en función del caudal se incluyen en las Figuras 3.3.b (altura de impulsión y rendimiento). El circuito hidráulico está constituido por tres tramos A, B y C, cuyas características se adjuntan en la Tabla 3.3. En el circuito principal se dispone de una válvula de guarda y regulación de tipo compuerta y diámetro 800 [mm]. En el by-pass la válvula es del mismo tipo pero de diámetro 400 [mm]. El caudal del proceso según cálculos realizados previamente deberá ser siempre de 0,7 [m3/s]. Se pide: a) b)

c) d)

Determinar el grado de apertura de la compuerta cuando el by-pass se encuentra cerrado para trabajar en el caudal de diseño. Si la válvula de la rama principal se encuentra completamente abierta y el by-pass está habilitado, determinar los caudales que circulan por los tramos A y C, del circuito debiendo alcanzarse el caudal de diseño en la rama principal. Determinar en relación a la pregunta anterior, la apertura de la válvula del bypass para garantizar estos caudales. ¿Cuál de las dos soluciones es más ventajosa en términos de costes de operación?

Figura 3.3.a. Esquema del bombeo Tramo Longitud equivalente (*) [m] Rugosidad [mm] Diámetro int [m]

A 20 0,32 0,8

B 100 0,32 0,8

C 40 0,16 0,4

(*) Incluye todas las pérdidas salvo las debidas a las válvulas

Tabla 3.3. Características de los tramos

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Tema 3: Bombas - 14

Característica H-Q de bomba axial. 30,0 6

25,0

H [m C.A.]

5

4

3

H = -140,403878*Q + 616,343545*Q - 1005,125353*Q + 715,365299*Q 2 184,972493*Q - 13,972666*Q + 24,937616

20,0

15,0

10,0

5,0

0,0 0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

1,40

1,50

3

Q [m /s] Característica η-Q de bomba axial. 0,9 0,8 0,7

η [-]

0,6 0,5 0,4 0,3 4

0,2

3

2

η = -0,8542*Q + 1,5757*Q - 1,2446*Q + 1,3659*Q - 0,0005

0,1 0,0 0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

3

Q [m /s]

Figura 3.3.b. Curvas características de la bomba

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1,20

1,30

Tema 3: Bombas - 15

3.4. Se necesita transvasar agua de un embalse inferior a otro superior por medio de una bomba de cámara partida de doble aspiración con eje horizontal y un circuito hidráulico. Cada embalse tiene su carrera correspondiente con niveles mínimo (vacío) y máximo (lleno). Las cotas principales (en [m] (s.n.m.)) se muestran en la Tabla 3.4. Embalse Inferior Superior

Solera Nivel mínimo Nivel máximo 1000,0 1010,0 1040,0 1240,0 1254,0 1295,0 Cota eje de bomba: 1000,5 Tabla 3.4. Niveles de los embalses

La tubería de aspiración tiene un diámetro de 1,5 [m] con una rugosidad de 0,3 [mm] y una longitud equivalente de 100 [m]. La tubería de impulsión tiene un diámetro de 1,2 [m], una rugosidad idéntica y una longitud equivalente de 800 [m]. Se asume que estos valores incluyen la pérdida de carga por entrada y salida en las tuberías. Para estas condiciones de funcionamiento se ha seleccionado un diseño de bomba que se basa en los resultados de ensayos en un modelo de trazado homólogo pero realizado en su versión de simple aspiración. Los datos obtenidos del ensayo en modelo, con un rodete cuyo diámetro de entrada era de 150 [mm] y el de salida 416 [mm], bajo una velocidad de rotación constante de 1480 [r.p.m.], han aportado las características que se indican en forma numérica y gráfica (ver Figuras 3.7.a y 3.7.b, con Q en [m3/h]). En principio se ha seleccionado una máquina cuyo diámetro de entrada es de 500 [mm], para un caudal nominal de funcionamiento (a modo de orientación), establecido en 7,0 [m3/s], aproximadamente. Se asume que no se producen mermas en las prestaciones de la máquina prototipo respecto al modelo, por el hecho de tener que disponer del eje atravesando el aspirador: en todo caso se produce un efecto de escala positivo, de forma que el rendimiento en prototipo (en su versión de simple aspiración) resulta superior al del modelo según la fórmula empírica: Q η P = η M + 0,004 ⋅ η M ⋅ P [-] subíndices P: prototipo; M: modelo QM

Se pide: a) b) c)

Asumiendo que el motor de arrastre de la bomba es síncrono, determinar la velocidad de rotación adecuada al funcionamiento del grupo. Velocidad específica (ns y nq) de la máquina en el nominal y en el punto de óptimo rendimiento. Representación gráfica de las curvas características (H-Q; η-Q y NPSHr-Q), así como de las curvas del circuito hidráulico, etc., marcando los puntos límite de funcionamiento para cada característica, y realizando un análisis de las condiciones de funcionamiento.

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Tema 3: Bombas - 16

Con el fin de evitar excesivos arranques y paradas en el grupo se plantea ahora la posibilidad de aumentar la carrera de los embalses estableciendo nuevos niveles límite. En el embalse superior, el nivel superior será de 1300,5 [m] y en el embalse inferior, el nivel inferior será de 1005,0 [m]. Se pide ahora: d)

Nuevos puntos límite de funcionamiento y análisis de las condiciones de funcionamiento.

Notas:

• • •

curvas características modelo (I) H = 1,2902E-09*Q4 - 1,9734E-06*Q3 + 9,0765E-04*Q2 1,4813E-01*Q + 6,6578E+01 Rend = 1,314E-09*Q3 - 5,663E-06*Q2 + 4,133E-03*Q

80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

100

200

300

400

500

600

Q [m3/h]

Figura 3.4.a. Curva característica del modelo

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1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 700

Rendimiento [-]

•

Considerar un valor único (promedio) del coeficiente de fricción para el conjunto del circuito hidráulico y de caudales. La presión de vapor, Hv, expresada en [m C.A.] se considera constante e igual a 0,24 [m C.A.] La densidad del agua, ρ, se considera igual a 1000 [kg/m3] y la aceleración de la gravedad, g, igual a 9,81 [m/s2]. La viscosidad cinemática del agua, ν, se asume como constante e igual a 1 ⋅ 10-6 [m2/s]. La expresión del NPSH es válida entre 320 [m3/h] y 600 [m3/h].

H [m C.A.]

•

Tema 3: Bombas - 17

curvas características modelo (II) 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

100

200

300

400

500

600

Q [m3/h]

Figura 3.4.b. Curva característica del modelo

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8 7 6 5 4 3 2 1 0 700

NPSHr [m C.A.]

H [m C.A.]

NPSH = 3,555E-05*Q2 - 1,944E-02*Q + 3,881E+00

Tema 3: Bombas - 18

3.5. Se proyecta un grupo motobomba para elevar 0,7 [m3/s] de agua a una altura de 88,2 [m] a través de una tubería de impulsión cuyo coeficiente de pérdida de carga es K = 196,2 [J⋅s2/(kg⋅m6)]. Para ello, se construye un modelo reducido a escala, de tamaño 5 veces menor que el prototipo, que gira a 3000 [r.p.m.] suministrando un caudal de 0,014 [m3/s] para E = 240,4 [J/kg] cuando la potencia mecánica es de 5,145 [kW]. Se pide:

a) b) c) d)

Comprobar si es correcta la escala del modelo. Rendimiento hidráulico suponiendo que es el mismo en el prototipo y modelo. Potencia a aplicar y revoluciones del grupo (prototipo). Ecuación de la curva característica del grupo suponiendo que el máximo de altura de impulsión H corresponde a cierre completo y que dicho máximo es 1,5 veces la altura manométrica del punto de funcionamiento.

Arrancando de la impulsión del grupo se montan 2 tuberías en paralelo, para impulsar el agua distribuyendo el caudal de 0,7 [m3/s] a dos depósitos. El primero a una altura de 73 [m] siendo el coeficiente de pérdidas K’= 100 [m C.A.s2/m6] y el segundo a una altura de 92 [m] y un coeficiente de pérdidas con pérdidas K’’= 150 [m C.A.s2/m6]. Se pide: e)

Calcular los caudales impulsados a cada uno de los depósitos.

Como variante de instalación se proyecta montar una única una tubería de impulsión pero con tres tramos de diferente diámetro. El coeficiente de pérdidas en cada tramo es ahora K1 = 50 [m C.A.s2/m6], K2 = 100 [m C.A.s2/m6] y K3 = 150 [m C.A.s2/m6]. Se pide: f)

Calcular el caudal circulante para elevar el agua a una altura geométrica 47 [m].

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Tema 3: Bombas - 19

3.6. Dos depósitos muy profundos y muy altos contienen agua. Ambos depósitos están unidos por una tubería por lo que inicialmente el agua en ambos alcanza el mismo nivel. El depósito 1 tiene una sección de 10 [m2] y el 2 de 20 [m2].

En la tubería que conecta ambos depósitos se instala una bomba para trasvasar agua del 1 al 2 con lo cual los niveles de agua cambian significativamente según avanza el bombeo. La bomba instalada tiene unas curvas características de la forma: H = A + B ⋅ Q2

[m C.A.]

η = E ⋅ Q + F ⋅ Q2

[-]

siendo A = 60 B = – 2000

E = 18,476

F = – 106,6

con Q en [m3/s]. La tubería que conecta ambos depósitos tiene una constante de pérdidas de valor K = 5000 [m C.A.s2/m6]. Se pide: a)

b) c)

¿Qué desnivel se alcanzará entre ambos depósitos a los 10, 20 y 30 minutos de bombeo? Para ello, plantear la ecuación diferencial que rige la evolución del desnivel Z en función del tiempo, sabiendo que en t = 0 el desnivel vale 0. Caudal y alturas de funcionamiento a los 600, 1200 y 1800 segundos de iniciado el bombeo. Equivalente energético de la instalación [kW-h/m3] en esos tres mismos instantes, suponiendo un rendimiento del motor constante de valor 80 [%].

Notas: •

Antes de integrar, se recomienda realizar las siguientes sustituciones: C 0 = (B − K )

−1

C1 = − A ⋅ (B − K ) •

−1

Este modelo de integral se da a título orientativo, pudiendo resolverse el problema sin su empleo e integrando directamente:

∫ (z

du 1/ 2 = 2 ⋅ z0−1 ⋅ ( z0 ⋅ u + z1 ) 1/ 2 0 ⋅ u + z1 )

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Tema 3: Bombas - 20

3.7. Se quiere construir un ventilador centrífugo con un rodete de 500 [mm] de diámetro que, girando a 900 [r.p.m.], impulse un caudal de 3,1 [m3/s] de aire de densidad absoluta ρ = 1,2 [kg/m3].

Para ello se fabrica primero un modelo con un rodete de 250 [mm] de diámetro. Se prueba con aire, a una velocidad de rotación de 2810 [r.p.m.], obteniéndose los siguientes resultados:

• • • •

Punto 1: altura manométrica de 100 [mm C.Agua.] para un caudal de 35 [L/s] Punto 2: altura manométrica de 150 [mm C.Agua.] para caudal nulo. Punto 3: altura manométrica nula para un caudal de 360 [m3/h] Rendimiento global en el punto 1: 80 [%] Se pide:

a)

Expresión de la curva característica del ventilador modelo cuya expresión genérica es:

H m = A − B⋅Q − C ⋅Q2 b) c) d) e)

f)

con Q en [m3/s] y Hm en [Pa]

Punto de funcionamiento del modelo semejante al que se quiere conseguir en prototipo. ¿Sería posible conseguir el caudal de diseño (prototipo) con el ventilador modelo, girando este último a 2810 [r.p.m.]? Razonar la respuesta en 3 líneas. Considerando en el modelo el punto de 35 [L/s] y la altura de 100 [mm C.A.], ¿cuál sería el punto de funcionamiento del prototipo (diámetro 500 [mm] y N = 900 [r.p.m.]), homólogo (semejante) a éste? Obtener la potencia mecánica en el acoplamiento del rodete (no se consideran las pérdidas mecánicas por fricción en cojinetes y juntas) para el punto de funcionamiento en prototipo citado en el apartado d), si se asume como hipótesis que los rendimientos globales en las dos máquinas son iguales. En relación al apartado anterior, es bien sabido que el rendimiento global en modelo y en prototipo no es igual. Indicar cuál será mayor y razonar la respuesta en dos líneas.

Nota.- considérese el aire como un fluido incompresible

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Tema 3: Bombas - 21

3.8. Se ha diseñado un bombeo entre dos depósitos cuyos niveles máximos y mínimos se indican en la Figura 3.8, expresados en [m] (s.n.m.).

La bomba seleccionada es de cámara partida, de doble aspiración acoplada a un motor con variador de velocidad que gira inicialmente a 500 [r.p.m.]. Las curvas características de la bomba en estas condiciones son:

Q-H:

H = 0,26 ⋅ Q 4 − 4,09 ⋅ Q 3 + 15,82 ⋅ Q 2 − 20,9 ⋅ Q + 83 con Q en [m3/s]

[m C.A.]

Q-NPSHr:

NPSH r = 9,7 ⋅ Q 2 − 62,2 ⋅ Q + 104 con Q en [m3/s]

[m C.A.]

Se pide: a) b)

Determinar, por construcción gráfica los puntos extremos de funcionamiento (Q, H, NPSH) indicando los valores numéricos y analizar sus condiciones de operación. Se debe plantear alguna objeción al diseño realizado (bomba o circuito hidráulico).

Una vez determinadas las condiciones de operación del primer apartado, se decide que es necesario incrementar el caudal del bombeo, pasando la velocidad de rotación de 500 [r.p.m.] a 600 [r.p.m.]. c)

Determinar los nuevos puntos y valorar las nuevas condiciones de funcionamiento.

Notas:

•

La presión de vapor, Hv, expresada en [m C.A.] se considera constante e igual a 0,24 [m C.A.].

•

La densidad del agua, ρ, se considera igual a 1000 [kg/m3] y la aceleración de la gravedad, g, igual a 9,81 [m/s2].

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Tema 3: Bombas - 22

Tuberías del circuito hidráulico Tuberías K [m C.A. ⋅ s2/m6] Aspiración 0,5 Impulsión, primer tramo 0,75 Impulsión, segundo tramo 0,25

Figura 3.8. Esquema del bombeo

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Tema 3: Bombas - 23

3.9. Un circuito tiene una tubería con pérdidas de carga cuya expresión es ∆e = 98100 ⋅ Q2 [J/kg] (con Q en [m3/s]) y una bomba que suministra un caudal de 0,06 [m3/s] de agua empleado en llenar un depósito a 30 [m] de altura y con una sobrepresión de 0,1 [bar]; el depósito se llena en 2 horas. Se pretende llenarlo en 30 minutos a través de la misma tubería. Se dispone como dato de los siguientes puntos de la curva característica:

•

Q=0

[m3/s]

E = 686,7

[J/kg]

•

Q = 0,3

[m3/s]

E=0

[J/kg]

¿Cuántas bombas hacen falta y qué tipo de conexionado o acoplamiento se necesita? 3.10. Una instalación de producción de vapor consta, entre otros elementos de una caldera cuya presión absoluta es de 1,06 [bar] y una bomba de alimentación de caldera, de tipo centrífugo que impulsa agua desde un depósito de aspiración cuya presión absoluta es 95000 [Pa] (ver Figura 3.10). El eje de la bomba está situado a 6 [m] por debajo del la acometida de la tubería de impulsión a la caldera y 1 [m] por encima del nivel del depósito de aspiración. En la tubería de impulsión entre la bomba y la caldera se dispone de una válvula de bola. La llegada del agua a la caldera se realiza por encima de ésta.

Como datos adicionales se tienen:

• • • • • • • • • •

Diámetro de la tubería de aspiración: 400 [mm] Diámetro de la tubería de impulsión: 350 [mm] Pérdida de energía en la aspiración: 4,9 [J/kg] Temperatura del agua: 90 [ºC] Presión de vapor del agua a 90 [ºC]: 71500 [Pa] Caudal de diseño para la caldera: 600 [m3/h] Rendimiento de la bomba en el punto de diseño: 0,8 [-] Rendimiento del motor: 0,87 [-] NPSE requerido en el punto de diseño: 9,81 [J/kg] HMAX = 1,6 ⋅ Hactual. Siendo HMAX la altura de impulsión a válvula cerrada.

Se realizan ahora unas medidas de la energía hidráulica másica en la bomba, empleando para ello un manómetro de presión diferencial de columna de mercurio, cuyas ramas van conectadas a las secciones de referencia de entrada y salida de la bomba. La diferencia de cotas entre las secciones citadas es 350 [mm]. La medida ha resultado ser de 1587 [mm Hg]. Se pide: a) b) c) d) e) f)

Altura de impulsión y energía hidráulica másica de la bomba para el punto de funcionamiento correspondiente a las medidas. Potencia mecánica suministrada a la bomba y eléctrica demanda por el motor. Pérdidas de carga en la tubería de impulsión y totales Determinar la máxima altura de aspiración a que podría colocarse la bomba sin que se produzcan problemas de cavitación ¿Qué sucederá si se desea arrancar la bomba con la válvula de bola abierta? ¿Cuál será, en relación a al pregunta anterior, la altura a la que se eleva la columna de agua en la aspiración respecto del depósito de aspiración? Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Tema 3: Bombas - 24

zII – zr

Figura 3.10. Esquema de la instalación 3.11. Se proyecta un grupo motobomba que eleva un caudal de 0,2 [m3/s] a una altura de 50 [m] a través de una tubería cuyas pérdidas tienen la siguiente expresión:

∆ = 200 ⋅ Q2. Dicho grupo consta de una bomba centrífuga que gira a 400 [r.p.m.] y consume 147 [kW]. La curva característica resulta estable, con un máximo a válvula cerrada de 62 [m C.A.]. Se pide: a) b)

Rendimiento global si el rendimiento del motor es de 0,9 [-]. Curva característica de la bomba.

Se desea obtener, ahora, un 20 [%] más de caudal y elevarlo a una altura superior, de valor 60 [m]. c)

¿A qué velocidad deberá girar, entonces, la bomba?

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Tema 3: Bombas - 25

3.12. Una bomba centrífuga que gira a 1400 [r.p.m.], suministra un caudal de 240 [L/min] a una altura manométrica (o de impulsión) de 8 [m C.L.]. La curva característica de la bomba pasa por los puntos:

• •

H = 8 [m C.L.] H = 7 [m C.L.]

Q=0 Q = 300

[L/min] [L/min]

La curva de rendimientos de la bomba, contiene a su vez los puntos:

• • •

η = 0 [%] η = 50 [%] η = 68 [%]

Q = 0 [L/s] Q = 2 [L/s] Q = 4 [L/s]

El circuito es cerrado y por tanto, no existe desnivel geométrico a vencer. Se pide: a)

Determinar la potencia mecánica demandada al motor y coeficiente K de pérdidas de carga de la curva resistente del circuito cuando la densidad del líquido es 880 [kg/m3].

Ahora se realizan dos modificaciones en el funcionamiento sin que los efectos de escala sean apreciables: por un lado se cambia de líquido pasando a agua fría y por otro se introducen pérdidas de carga suplementarias de forma que se duplica el valor original de éstas. Se pide: b)

Nueva velocidad de rotación si se desea que el caudal de funcionamiento siga siendo constante.

c)

Potencia y rendimiento en las nuevas condiciones de funcionamiento.

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Tema 3: Bombas - 26

3.13. El modelo básico de bomba SV60 admite entre 2 y 8 rodetes según las curvas características de la gráfica mostrada en la Figura 3.13. Se trata de elegir el número de etapas para un bombeo de 50 [m3/h] entre dos depósitos separados por 24 [m] de desnivel y a través de una tubería cuya constante de pérdidas es K = 0,0148 [m C.A. ⋅ (m3/h) -2]. Calcular el rendimiento, potencia hidráulica, potencia mecánica y equivalente energético de la instalación, expresado en [kW-h/m3]. Suponer que el rendimiento del motor vale 0,8 [-].

Figura 3.13. Curvas características de la bomba

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Tema 3: Bombas - 27

3.14. La figura muestra un esquema de una instalación de bombeo de agua. Las bombas B1 y B2 son iguales. Los tramos 1 y 2 tienen unas pérdidas de carga, cuyos coeficientes de pérdidas de carga valen: tramo 1, K1 = 2 [m C.A. ⋅ (L/s)-2] y tramo 2, K2 = 5 [m C.A. ⋅ (L/s)-2]. Se facilitan las curvas características de la bomba:

•

Bombas B1 y B2:

H = 49 – Q2

η = 0,42 ⋅ Q – 0,06 ⋅ Q2

•

Bomba B3:

H = 25 – 0,5 ⋅ Q2

η = 0,88 ⋅ Q – 0,24 ⋅ Q2

Donde las unidades son:

H [m C.A.] Q [L/s] η [-]

Si el nodo B tiene 70 [kPa] más de presión que el nodo A, se pide: a) b)

Determinar cuáles son los puntos de funcionamiento de las bombas B1, B2 y B3 (H, Q y η) suponiendo que los 3 motores eléctricos que accionan las bombas funcionan prácticamente al mismo rendimiento de valor 0,8 [-]. Calcular el equivalente energético de la instalación y de cada bomba.

Nota.- Suponer que en A y en B la velocidad del agua por la tubería es la misma.

Figura 3.14. Esquema de la instalación 3.15. Se dispone de la familia de bombas cuyas características se adjuntan (Figura 3.15). Al poner cualquiera de ellas a bombear agua entre dos depósitos, la constante de pérdidas desde el depósito inferior hasta la entrada de la bomba es 2 ⋅ 10-6 [m C.A. ⋅ (m3/h)-2]. Si los valores de HS que sugiere el fabricante hacen referencia a la altura geométrica de la bomba sobre el depósito inferior y dichos valores ya incluyen un margen de seguridad de 1 [m C.A.], se pide:

a) b)

Calcular la expresión de la altura neta positiva de succión requerida sabiendo que ésta es de segundo grado. Calcular el equivalente energético de cada rodete cuando el caudal es 700 [m3/h], considerando constante e igual a 0,9 [-], el rendimiento del motor.

Nota.- Suponer los datos habituales de presión atmosférica y presión de vapor del agua.

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Tema 3: Bombas - 28

Figura 3.15. Curvas características de la bomba

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Tema 3: Bombas - 29

3.16. La bomba cuya curva característica se adjunta (Figura 3.16), tiene 4 etapas y se emplea para elevar a la superficie, 16 [m3/h] desde un pozo cuyo nivel de agua se encuentra a 15 [m] de profundidad. Se pide:

a)

Calcular la constante K de pérdidas de la conducción.

b)

Calcular la potencia hidráulica en [kW]

c)

Calcular la potencia mecánica en [kW].

d)

Si el rendimiento del motor es de 0,65 [-], calcular el equivalente energético del bombeo.

Figura 3.16. Curvas características de la bomba

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Tema 3: Bombas - 30

3.17. Se dispone de una instalación de bombeo, con una bomba centrífuga y un circuito hidráulico. El líquido que se trasiega tiene una densidad de 2000 [kg/m3]. La bomba, cuyo rendimiento se considera constante e igual 0,9 [-], es arrastrada por un motor eléctrico. Se han previsto dos modalidades de trabajo, pero en ambos casos empleando el mismo circuito y la misma bomba:

•

En la primera condición de funcionamiento la bomba trabaja en un campo gravitatorio (g) normal con una velocidad de rotación N, dada. El caudal de trabajo para esta condición es de 0,4 [m3/s].

•

En la segunda condición el campo gravitatorio es doble que el anterior y la velocidad de rotación 4 veces menor que la anterior. Además se conocen dos puntos de la curva característica, el primero es el punto de funcionamiento con una altura de impulsión de 80 [m C.L.], cuando circula un caudal de 324 [m3/h] y el otro correspondiente a caudal nulo con un máximo de altura de impulsión 1,5 veces la del punto de funcionamiento. Además la expresión de la pérdida de carga en el circuito en este caso tiene la forma:

∆H = 4 ⋅ Q 2

con Q [m3/s] y ∆H [m C.L.]

Se pide: a) b) c) d)

Curva característica de la bomba en la segunda condición. Altura de impulsión de la bomba en la primera condición de funcionamiento. Altura (geométrica) a la que se elevará el líquido en ambas condiciones de funcionamiento. Potencia eléctrica consumida en ambas condiciones. Suponer rendimiento del motor 1 [-].

3.18. Calcular las características de un grupo motobomba destinado a elevar agua a un depósito a 150 [m] de altura a través de una tubería de 0,5 [m] de diámetro con una velocidad de 3 [m/s] con un coeficiente de fricción de 0,02 [-] y una longitud de 1000 [m]. La curva característica incluye los dos puntos siguientes: (H = 220, Q = 0) y (H = 0, Q = 1,5), con H en [m C.A.] y Q en [m3/s]. Hay que poner otro grupo idéntico al anterior en paralelo sobre la misma tubería, con lo que ahora el líquido circulará a 5 [m/s]. La tubería no cambia.

Se pide: a) b) c) d) e)

Caudal que circula por la bomba en el primer caso. Pérdida de carga correspondiente al primer caso. Constante K de pérdidas de la conducción acorde a la expresión ∆H = K ⋅ Q2. Curvas características en ambos casos. Velocidad de rotación de las dos bombas en paralelo, si se sabe que la velocidad de rotación en el primer caso es de N = 600 [r.p.m.]

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Tema 3: Bombas - 31

3.19. El modelo de bomba cuya curvas se adjuntan (Figura 3.19), corresponde a una bomba multietapa que puede incluir entre 5 y 8 rodetes. Las curvas de la figura corresponde al caso de un solo rodete. Se pretende trabajar con un caudal de 190 [L/min] elevando agua entre dos depósitos cuyo desnivel es de 58 [m].

Las pérdidas en la aspiración son despreciables; la presión de vapor se considera igual a 0,2 [m C.A.]; el rendimiento del motor eléctrico de arrastre es 0,85 [-]. Se pide: a) b)

Altura de succión máxima admisible par aun buen funcionamiento de la bomba. Elegir el número de etapas o escalones que deberá incorporar la bomba en base a criterios de eficiencia energética para cumplir con las especificaciones operativas requeridas.

Figura 3.19. Curvas características de la bomba

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Tema 3: Bombas - 32

3.20. Se desea bombear un caudal de 200 [m3/h] de resina de pino entre dos depósitos a nivel constante de modo que la diferencia de cotas es 50 [m], por medio de una tubería de impulsión (pues la brida de aspiración de la bomba está directamente conectada al depósito inferior) de acero inoxidable, de diámetro interior 200 [mm], de rugosidad despreciable y longitud equivalente, contando todas las pérdidas, de 100 [m].

Los datos de la resina de pino a 37,8 [ºC], que es la temperatura prevista de bombeo, son:

• •

Viscosidad: Densidad:

ν = 559 ρ = 1059

[cSt] [kg/m3]

Se pide, a) b)

c) d)

Seleccionar hoja y curva de entre las indicadas en el catálogo de bombas Dibujar en papel milimetrado adjunto las curvas H – Q, η – Q y P – Q, los cuatro puntos de funcionamiento previstos en el ábaco, para funcionamiento con agua y con la resina (es decir para Q^ y para 0,6⋅Q^; 0,8⋅Q^ y 1,2⋅Q^). Incluir una tabla con los valores numéricos obtenidos. Recomienda alguna actuación mecánica especial en la bomba o en el circuito. Retomando las bombas y curvas rechazadas en la primera pregunta, determinar los diámetros de rodete que hubieran podido cumplir las especificaciones de caudal establecidas

Se modifica ahora la temperatura de la resina, pasando a ser de 55,6 [ºC], con lo que la viscosidad cinemática desciende hasta 108 [cSt]; la densidad permanece prácticamente invariable. Se pide (no considerando las bombas de la pregunta d)): e)

Rehacer las curvas de la pregunta b).

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Tema 3: Bombas - 33

3.21. Un sistema de riego por aspersión es alimentado a partir de una acequia con una bomba accionada por el cigüeñal de un tractor. La bomba alimenta una tubería con 5 aspersores alineados a lo largo de 132 [m] y sostenidos por sendos tubos portaaspersores a 1 [m] del nivel de la tubería inferior de distribución que es alimentada por la bomba (ver Figura 3.21). Las pérdidas en los tubos porta-aspersores son de 0,45 [m] y las pérdidas en los propios aspersores son de 4 [m C.A.] Ambas son prácticamente iguales para los 5 aspersores. El primer aspersor se encuentra sobre la conexión con la manguera proveniente de la acequia. El segundo aspersor se encuentra a 12 [m] y el tercero, cuarto y quinto se encuentran separados 40 [m] entre sí estando, por tanto, el último aspersor a 132 [m] de la conexión con la manguera (ver Figura 3.21). Al ser el caudal variable en cada tramo, el proveedor ha proporcionado al agricultor una expresión simplificada para calcular las pérdidas de carga en [m C.A.] a lo largo de los 132 [m] de la tubería que sostiene los 5 aspersores:

∆H = 0,03106 ⋅ L – 0,000117654 ⋅ L2

[m C.A.], con L en [m]

La boquilla de los aspersores tiene un diámetro de 5 [mm] y la tubería que sostiene a los aspersores se encuentra 2 [m] por encima de la acequia de donde se extrae el agua. Como referencia para realizar el riego de manera correcta se calcula que a la salida del 5º tubo portaspersor (entrada del 5º aspersor) se requiere una presión de 24,66 [m C.A.]. Para realizar el bombeo se dispone de una familia de bombas cuyas curvas a 2900 [r.p.m.], para el modelo de 125 [mm] son (Q en [m3/h]):

H = 71,01 – 0,3501 ⋅ Q2

[m C.A.]

η = 0,148 ⋅ Q – 0,011412 ⋅ Q2

[-]

Además del modelo de rodete de 125 [mm] se dispone de otros tres modelos de 120 [mm], 115 [mm] y 110 [mm], cuyas curvas características se deducirán a partir de la teoría del recorte al no disponer de datos de las mismas.

Figura 3.21. Esquema del bombeo Despreciando sólo en la manguera, tubería y tubos portaspersores los términos cinéticos, se pide: Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Tema 3: Bombas - 34

a) b) c)

Calcular el caudal arrojado por cada aspersor y la velocidad a la que lo hace. Presión necesaria a la salida de la manguera para satisfacer las necesidades descritas. Selección del rodete y velocidad a la que girará para trabajar en el punto señalado con el criterio de rendimiento máximo.

3.22. En el esquema de la Figura 3.22, las bombas B1 y B2 elevan agua de los depósitos 1 y 2 al 3 sin que sus desniveles H1 = 30 [m] y H2 = 25 [m] varíen significativamente en el bombeo. Los tramos I, II y III tienen como constantes de pérdidas en [m C.A. ⋅ (m3/h)-2]: KI = 7 ⋅ 10-5, KII = 8 ⋅10-5 y KIII = 9 ⋅ 10-5.

En este sistema, se necesita aportar al depósito 3 un volumen de 3000 [m3] diarios y hay que seleccionar las bombas B1 y B2 que van a impulsar el agua. Por simplificar las operaciones de mantenimiento, B1 y B2 deberán ser del mismo tipo. Para su elección, se dispone de dos tipos de bombas candidatas: BOMBA TIPO A y BOMBA TIPO B. Bomba y motor serán comprados al mismo suministrador por separado, por lo que habrá que elegir ambos. La información que se tiene de ellas es la curva H-Q, curva η-Q y sus precios (Q en [m3/h]): BOMBA TIPO A:

H = 35,187 – 0,000916 ⋅ Q2

[m C.A.] 2

η = 0,01591 ⋅ Q – 0,00008124 ⋅ Q

[-]

bomba + motor = 1510 [€] BOMBA TIPO B:

H = 90,78 – 0,001374 ⋅ Q2

[m C.A.]

η = 0,013068 ⋅ Q – 0,00005088 ⋅ Q2

[-]

bomba + motor = 6200 [€] Se pide: a) b)

c) d) e)

Puntos de funcionamiento de las bombas B1 y B2 y caudales circulantes por los tramos I, II y III cuando estas sean del tipo A o del tipo B. Elección de los motores adecuados para ambos tipos de bomba, de entre los de la Tabla 3.22. Para ello, sobredimensionar el motor en relación a la potencia mecánica en los puntos de funcionamiento, un 10 [%] si dicha potencia mecánica es mayor de 10 [kW] y un 20 [%] si es menor. El fabricante de motores recomienda elegir el motor inmediatamente superior después de sobredimensionar. Cálculo de las potencias eléctricas consumidas y número de horas de funcionamiento diario del sistema para ambos tipos de bombas. Energía específica o equivalente energético de la instalación con bombas TIPO A y con bombas TIPO B. Selección del tipo de bomba a instalar y justificar por qué.

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Tema 3: Bombas - 35

Figura 3.22. Esquema del bombeo

Pm [kW] 9 11 15 18,5 22 25 30 37 45

Rendimiento del motor [%] Factor de carga [-] 4/4 3/4 2/4 83 81 79 86 85 83 86 85 83 86 85 84 88 86 84 88 86 84 89 88 86 89 88 87 90 89 88

Tabla 3.22. Rendimientos del motor

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Tema 3: Bombas - 36

3.23. El abastecimiento de agua a los municipios del Duranguesado arranca del acuífero de Aramotz en Mañaria. En este acuífero existen 2 pozos, llamados Iturrieta y Amantegi, desde los cuales se realiza el bombeo conjunto de un caudal de 290 [L/s] hasta la depuradora.

Desde el pozo Iturrieta, con una profundidad de 50 [m] se bombean 100 [L/s] que son llevados por una conducción de 850 [m] hasta la confluencia con el pozo Amantegi, que también tiene una profundidad de 50 [m] pero aporta 190 [L/s]. Desde la confluencia de ambos aportes existe una conducción de 842 [m] que lleva el caudal total de 290 [L/s] hasta la entrada de la depuradora donde, por necesidades de operación, el agua debe entrar a 19,3 [m C.A.]. Las conducciones en los tramos L1 y L2 se eligen con el criterio de diámetro óptimo que resulta ser respectivamente de 0,25 [m] y 0,4 [m]. Se ignorarán las pérdidas en las conducciones del pozo hasta cota 0 [m]. Para el cálculo de las pérdidas de carga en los tramos L1 y L2 se empleará la siguiente expresión empírica: ∆H = L ⋅ Q2 ⋅ 10 (15,784116 – 5,2429092 ⋅ log D) con:

L: longitud Q: caudal ∆H: pérdida de carga D: diámetro tubería

[km] [m3/s] [m C.A.] [mm]

Para la realización del bombeo en ambos pozos, se dispone de un modelo básico de bomba con 4 tipos de rodetes de distintos diámetros, llamados A, G, L y N. A su vez, el fabricante ofrece para cada diámetro distintos modelos que resultan ser bombas multietapa de los tipos anteriores, hasta un máximo de 4. Las curvas características de las bombas se pueden ajustar genéricamente a:

H = A + B ⋅ Q + C ⋅ Q2 η = G ⋅ Q + H ⋅ Q2 En la Tabla 3.23, el fabricante adjunta puntos de las curvas H-Q y Pm-Q correspondientes a los 4 tipos de rodete básico, todo a 2950 [r.p.m.]:

Q [L/s] 117 133 167 183 200

H 1-N

28 25 21 16 11

H 1-L H 1-G [m C.A.] 33 39 31 37 27 32 23 29 18 25

H 1-A

Pm 1-N

45 42 38 35 31

46 47 46 45 39

Pm 1-L Pm 1-G Pm 1-A [kW] 56 68 78 57 69 80 60 72 85 58 72 86 55 70 85

Tabla 3.23. Puntos H-Q y Pm-Q de los rodetes básicos Se pide determinar para los 2 pozos el tipo de rodete, número de etapas, y velocidad de giro de las bombas elegidas con el criterio de rendimiento máximo. Se dispone de un inversor de frecuencia por lo que deberán seleccionarse aquellas soluciones con velocidades menores de 2950 [r.p.m.].

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Tema 3: Bombas - 37

L1=850 m

L2=842 m DEPURADORA

POZO ITURRIETA

POZO AMANTEGI

BOMBA B1 H = -50 m

BOMBA B2 H = -50 m

Q = 100 l/s

Q = 190 l/s

Figura 3.23. Esquema de la instalación

3.24. Se dispone de una bomba centrífuga clásica de eje horizontal y rodete simple, modelo IN-300-400 (ver Figura 3.24), con diámetro de rodete (impulsión) 430 [mm], que gira a 1485 [r.p.m.]. La bomba trabaja a velocidad constante en el rango de caudales comprendido entre 800 [m3/h] y 1400 [m3/h]. Respecto a las características indicadas el fabricante recomienda adoptar 0,5 [m C.A.] como margen de seguridad a la hora de establecer el NPSHd.

A la hora de su instalación se plantean dudas acerca de la elección de la cota más conveniente para la implantación de la máquina. Vistas las importantes dimensiones de la bomba se debe analizar el comportamiento en cavitación no sólo frente a la pérdida de prestaciones sino frente al riesgo de erosión. Esto plantea la necesidad de realizar una comparación de nuestra máquina frente a la literatura disponible. Por tanto, se pide: a) b) c)

Realizar un estudio comparativo del NPSHr indicado por el fabricante frente a las distintas estadísticas disponibles (criterios de pérdidas de prestaciones y de erosión). Definir la cota de implantación con ambos criterios. Obtener algunas conclusiones.

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Tema 3: Bombas - 38

Curvas características para bombas Characteristics curves for pumps Courbes caractéristiques pour pompes

1485

IN-300/400

R.P.M. 0100.12016/40/01

70

m.

65

Ø 430

Qmin

Ø 420

60

50

60

65

70

Ø 410

55

74

77

79

Ø 400

50

79,9 79

Ø 390

77

Ø 380

45

50

74

60

40

70 65

35 60

60

30 25 0 240

200

400

600

800

1000

1400 m3/h. 1600

1200

kW Ø 430

220 Ø 420

200

Ø 410 Ø 400

180

Ø 390

160

Ø 380

140 120 100 0 12

200

400

600

800

1000

1200

m.

1400 m3/h. 1600 Ø 430

Ø 380

8 4 0 0

200

400

600

800

1000

1200

Figura 3.24. Curvas características de la bomba

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

1400 m3/h. 1600

Tema 3: Bombas - 39

3.25. Se dispone de una bomba centrífuga clásica de eje horizontal y rodete simple, modelo IN-300-400 (se trata de la misma bomba que el problema 3.24, ver Figura 3.24), con diámetro de rodete (impulsión) 430 [mm], que gira a 1485 [r.p.m.]. La bomba trabaja a velocidad constante en el rango de caudales comprendido entre 800 [m3/h] y 1400 [m3/h].

El fabricante ha entregado, por otro lado las gráficas (Figura 3.25) que muestran la evolución del coeficiente de cavitación de Thoma en función del caudal para los criterios normalmente empleados, a saber:

• •

Criterio de erosión (σad). Criterio de pérdida de prestaciones (σ3%). Se pide: Definir la cota de implantación con ambos criterios. Valorar las soluciones obtenidas

0,6 3% admisible

0,5

0,4 sigma [-]

a) b)

0,3

0,2

0,1

0 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Q [m3 /h] Figura 3.25. Coeficiente de cavitación de Thoma, bomba IN-300/400

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Tema 3: Bombas - 40

3.26. El esquema de la Figura 3.26 representa un modelo patentado de planta desalinizadora. Está diseñada para tratar 450000 [m3] diarios de agua de mar. Para su funcionamiento hay contratadas dos tarifas horarias con los siguientes precios:

• •

DIURNA: vigente durante 16 [h] en la que el [kW-h] vale 9 [c€]. NOCTURNA: vigente durante las 8 [h] nocturnas con el [kW-h] a 5 [c€].

En esta planta, el agua de mar pasa por una fase A de pretratamiento químico para lo cual la BOMBA 1 absorbe el agua del mar de manera continua durante las 24 [h] del día, elevándola hasta el primer depósito donde el agua alcanza 1 [m] (s.n.m.). En la fase B, aprovechando las 8 [h] de tarifa nocturna, por medio de la BOMBA 2, se eleva el agua de mar hasta una altura de 61 [m] (s.n.m.) donde se almacena en un depósito de elevación. El agua de mar tiene un peso específico de 10045 [N/m3] y el agua dulce 9800 [N/m3]. Cuando empieza la tarifa diurna, la BOMBA 2 se detiene y el agua fluye por gravedad (fase C) del depósito de elevación a un pozo situado a 640 [m] de profundidad respecto al nivel del mar y en cuya parte inferior se logra crear por gravedad una presión en torno a 70 [atm]. A esta presión, por el efecto de ósmosis inversa se produce, en unas membranas, la separación del agua dulce que fluye por un lado a presión atmosférica y el agua salada concentrada o salmuera por otro a alta presión que permite su retorno al mar. La proporción de desalinización es de 0,45 [L] de agua dulce por cada litro de agua salada introducido en la planta. De esta manera y en esta proporción, durante las horas de tarifa diurna, el depósito superior se vacía y se llena con agua dulce el aljibe subterráneo situado a una profundidad de 640 [m]. Cuando entra en vigor la tarifa nocturna, arranca la BOMBA 3 que eleva el agua del depósito inferior al tanque de agua potable superior cuyo nivel es de 5 [m] (s.n.m.) lista para su distribución y posterior consumo (fase D). Igualmente, durante estas horas, la BOMBA 2 funciona para llenar el depósito de elevación con agua de mar. La BOMBA 1, la BOMBA 2 y la BOMBA 3 funcionan a un rendimiento global, incluyendo el eléctrico de 0,7 [-]. Para estas bombas se dispone de un modelo a escala cuya curva motora a 1450 [r.p.m.], con Q en [m3/h] es:

H = 0,078125 – 2,9127 ⋅ 10– 6 ⋅ Q2

[m C.A.]

Se considera que la viscosidad del agua marina y dulce es muy similar. La BOMBA 1 es realmente un acoplamiento compuesto de bombas de tamaño cuatro veces el del modelo y girando a 1450 [r.p.m.]. La BOMBA 2 es un prototipo de tamaño 16 veces el del modelo. La BOMBA 3 es un acoplamiento de 10 bombas en serie girando a 2900 [r.p.m.] y cuyo tamaño también es de 16 veces el del modelo. Sin embargo, en este último caso, para ajustar el punto de funcionamiento es necesario recortar el diámetro externo del rodete a las 10 bombas del acoplamiento. Considerando que las pérdidas de carga en todos los circuitos son despreciables, todos los depósitos se encuentran a presión atmosférica y que al ser de base muy ancha sus niveles se mantienen prácticamente constantes a lo largo del ciclo de 24 [h], calcular:

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Tema 3: Bombas - 41

a) b) c) d)

¿Cuántas bombas y de qué manera hay que acoplarlas para formar el acoplamiento ‘BOMBA 1’? ¿Cuál será la velocidad de giro de la BOMBA 2? ¿En qué porcentaje hay que recortar los rodetes del acoplamiento ‘BOMBA 3’? ¿Cuánto cuesta el [m3] producido de agua dulce en [є/m3]?

Figura 3.26. Esquema de la instalación de desalación

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Tema 3: Bombas - 42

3.27. Se dispone de 3 bombas iguales, cuya curva característica es:

H = 20 + Q – Q2 Se necesitan elevar 6 [m3/s] a una altura de 10 [m]. ¿Qué configuración deberá tener el acoplamiento si la conducción tiene unas pérdidas cuya expresión es ∆H = 0,2 ⋅ Q2? 3.28. Se desea instalar una bomba centrífuga en un proceso industrial, en una planta al nivel del mar (presión atmosférica 101 300 [Pa]), en el cual se impulsa el líquido desde un recipiente situado en la aspiración de la citada bomba, a presión atmosférica, hasta otro recipiente en vacío, cuya presión ambiente absoluta es 65 000 [Pa]. La diferencia de cotas entre los niveles libres de ambos depósitos es de 23 [m].

El circuito hidráulico consiste una tubería de aspiración cuyas pérdidas son despreciables, una válvula de regulación que en posición totalmente abierta, también supone pérdidas de carga despreciables, y una tubería de impulsión de acero inoxidable de 20 [”], DN500, cuyo diámetro exterior es de 508,0 [mm] y cuyo espesor es de 7,92 [mm]. La longitud equivalente de la tubería incluyendo codos y accesorios o singularidades hidráulicas es de 50 [m]. La rugosidad absoluta de la tubería es ε = 0,1 [mm]. La bomba se ha seleccionado pensando en un tipo concreto cuyas prestaciones se deducen a partir ensayos realizados en un modelo a escala con agua fría como fluido de ensayo. Los principales datos de dichos ensayos han sido:

• • • •

Velocidad de rotación: 2365 Diámetro de referencia del rodete: 196 Curva característica (Q en [m3/s]): H = 46,1 – 1710,94 ⋅ Q2 [m C.A.] 3 Curva de rendimiento (Q en [m /s]): η = 22,7 ⋅ Q – 151,1 ⋅ Q2 [-]

[r.p.m.] [mm]

El proceso en que se ha de implantar la bomba incluye el trasiego alternativo de dos líquidos bien diferentes: aceite de oliva y bromuro de etileno, cuyas características a sus respectivas temperaturas de operación, se incluyen a continuación:

•

Aceite de oliva:

•

Bromuro de etileno: densidad: viscosidad cinemática:

densidad: viscosidad cinemática:

915 43,200

[kg/m3] [cSt]

2180 0,787

[kg/m3] [cSt]

El caudal másico fijado, por el cliente para el proceso es, en ambos casos, de 1250 [kg/s]. El proceso es continuo, con semanas alternadas para cada fluido. Con estas premisas se ha elegido para ambos procesos un tamaño de bomba con diámetro de referencia de 600 [mm], y cuyo impulsor va accionado por un motor eléctrico, cuyo rendimiento en función de la potencia mecánica, P expresada en [MW] tiene la expresión siguiente:

ηa = 0,7882 + 0,25 ⋅ P – 0,138 ⋅ P2

[-]

En todos los casos, considerar que g = 9,81 [m/s2]

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Tema 3: Bombas - 43

Determinar: a) b) c)

d) e) f)

El punto de funcionamiento (Q, H) para cada fluido, donde Q en [m3/s] y H en [m C.A.]. La velocidad de rotación cuando el fluido de operación es el bromuro de etileno, si se asume que no existen efectos de escala de ningún tipo con este fluido. La velocidad de rotación cuando el fluido es aceite de oliva, asumiendo que existen efectos de escala (en este caso variación de la viscosidad) que se traducen en reducciones de caudal volumétrico, de altura de impulsión y de rendimiento de la bomba respecto a un fluido con viscosidad cinemática similar a la del agua. Estos efectos de escala para puntos de funcionamiento homólogos resultan ser, respectivamente, de 3,75 [%] para el caudal, de 6,94 [%] para la altura de impulsión y de 8 [%] para el rendimiento, en la zona de interés. Las potencias mecánica y eléctrica en cada caso, expresadas en [kW]. El equivalente energético (o energía específica) global de la máquina, expresado en [kW-h/m3] y [W-h/kg] para el punto de funcionamiento en ambos casos. El coste de la factura eléctrica semanal en el bombeo de cada fluido si se aplican dos precios diferentes para el [MW-h]: 92,59 [€] entre las 7 [h] de la mañana y las 11 [h] de la noche y 25,85 [€] para el resto del tiempo. En función de los datos obtenidos deducir cuál es el proceso más caro.

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Tema 3: Bombas - 44

3.29. En un abastecimiento de agua para consumo humano se ha previsto instalar la captación desde un río mediante un bombeo de baja cota para ser equipado con 8 bombas axiales directamente montadas cada cual en su cántara en el foso de aspiración. De esta forma será posible captar más o menos caudal de acuerdo con las necesidades del municipio y de disponibilidad de agua en el río. El caudal de diseño del conjunto de bombas, especificado por el cliente, es de 2,4 [m3/s].

Desde el citado foso se bombeará el agua a un canal dotado de un vertedero de pared gruesa, común a todas las bombas por medio tuberías de impulsión idénticas, cuyo diámetro interior es 400 [mm] y la rugosidad 0,24 [mm], equipadas todas ellas con su válvula de mariposa correspondiente de diámetro interior 300 [mm]; para instalar dichas válvulas se ha previsto un juego de reducción – expansión sin especificar. Con el fin de optimizar al máximo el consumo energético del bombeo se ha procedido a la instalación de dos bombas de un mismo fabricante pero de características diferentes: bomba tipo HE300, curva nº5 y bomba HE380, curva nº4; donde el número que sigue a las letras HE, denota el diámetro del rodete (ver Figuras 3.29.a y 3.29.b). Por otro lado, se han respetado siempre las características: longitudes y diámetros en las tuberías de impulsión, diámetros y características de válvulas, etc. El diámetro interior de la sección donde se alojan las tomas de presión es 350 [mm] para la bomba HE300 y de 400 [mm] para la bomba HE380. Se asume que las pérdidas de carga en la expansión que sigue a la sección de tomas de presión en la bomba HE300, son despreciables. Se incluyen, como documentación adicional, las curvas de funcionamiento de ambas bombas (ver Figuras 3.29.a y 3.29.b); no se empleará la información relativa a NPSH, ni a potencias en el eje. Respecto de las válvulas el fabricante presenta la Tabla 3.29 de coeficientes de pérdida de carga en función del grado de apertura de la mariposa, en la cual 0 [º] corresponde a válvula completamente abierta Grado de 0 5 10 15 20 25 30 40 50 60 65 70 90 apertura [º] Coeficiente 0,19 0,24 0,52 0,90 1,54 2,51 3,91 10,8 32,6 118, 256, 751, ∞ ξ [-] Pérdida de carga

∆H = ξ ⋅

v2 2⋅ g

[m C.A.]

Tabla 3.29. Pérdidas de carga de la válvula de mariposa Las principales cotas altimétricas en [m] (s.n.m.) de la instalación son:

• • • • • •

Solera del foso de aspiración: Boca de aspiración (en ambas bombas) Sección de tomas de presión en la impulsión (bomba HE300): Sección de tomas de presión en la impulsión (bomba HE380): Piso de armarios eléctricos de la caseta de bombas: Labio de vertido en el canal:

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

zsol = 450,00 zboca = 450,50 ztomas = 452,50 ztomas = 452,69 zpiso = 454,00 zlabio = 453,80

Tema 3: Bombas - 45

Sobre dichas bombas se han realizado unas mediciones de caudal y energía hidráulica específica (o, lo que es lo mismo, su equivalente altura de impulsión) con la válvula totalmente abierta. Para medir la altura de impulsión se ha dispuesto un manómetro de Bourdon cuyo plano de referencia se situaba a 1,5 [m] por encima del piso de armarios y un caudalímetro de ultrasonidos con sondas de inserción en la tubería de impulsión. En el momento de realizar las lecturas, el nivel en el foso de aspiración correspondía a un calado de 3 [m] respecto de la solera. En el canal a la salida de las tuberías de impulsión el nivel en el vertedero se situaba a 0,20 [m] sobre el labio de vertido (se ha comprobado que este nivel era constante e independiente del caudal). Las lecturas obtenidas en la bomba HE380, han sido:

• •

lectura en el caudalímetro: lectura en el manómetro de impulsión:

0,300 [m3/s] 2055 [Pa] (relativa)

Datos de cálculo:

• • •

densidad: viscosidad cinemática: aceleración gravedad:

1000 1,2 ⋅ 10-6 9,81

[kg/m3] [m2/s] [m/s2]

Se pide: a) b) c) d) e)

Determinar el punto de funcionamiento de la bomba HE380, tanto por cálculo como gráficamente en la figura anexa. Determinar la longitud equivalente de cada tubería, sin que se incluya en esta la pérdida de carga correspondiente a la válvula. Determinar el punto de funcionamiento y la presión en la impulsión leída en el manómetro para el caso de HE300. Determinar las expresiones de las curvas de rendimiento global en función del caudal y la potencia mecánica para cada bomba. ¿Cuál de las dos bombas resulta más atractiva económicamente, si se asume que el coste del motor es similar (precio de la bomba y coste de la factura eléctrica)? Razonar la respuesta. Considerar el punto actual de funcionamiento en cada bomba.

Es evidente que la bomba HE 300 suministra mayor caudal que el especificado por el cliente. Respecto de esta bomba, exclusivamente, se pide: f) g) h)

Enunciar las soluciones que se pueden proponer para cumplir especificaciones (caudal igual a 300 [L/s]). Determinar entre que grados de apertura se debe situar la lenteja de la mariposa para obtener el caudal especificado por el cliente. Como alternativa a la anterior determinar la nueva velocidad de rotación para obtener el citado caudal especificado

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Tema 3: Bombas - 46

Figura 3.29.a. Curvas características de la bomba HE300

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Tema 3: Bombas - 47

Figura 3.29.b. Curvas características de la bomba HE380

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Tema 3: Bombas - 48

3.30. Un dique seco para reparación de buques de cabotaje dispone de 3 grupos de bombeo sumergibles de aguas cargadas instalados según el esquema de la Figura 3.30.a (disposición nº 1). Cada bomba extrae agua del dique por un circuito independiente del resto. El dique tiene forma de paralelepípedo con 80 [m] de longitud; 20 [m] de anchura y 14,5 [m] de profundidad útil.

Cada circuito (disposición nº1) consta de la propia bomba sumergible cuya característica hidráulica se adjunta en la curva nº4 de la Figura 3.30.b, un codo en la brida de impulsión de ésta, la tubería que asciende, otro codo en la superficie y un pequeño tramo recto final, realizándose el vertido hacia la ría, descargando a la atmósfera. La longitud total equivalente de la tubería (contabilizando todas las pérdidas) es de 122 [m], el diámetro interior de 0,700 [m] y el coeficiente de fricción a considerar es f = 0,013 [-]. Suponer que la aceleración de la gravedad es 9,81 [m/s2]. El vaciado se suele realizar en la bajamar. El dique se considera lleno a la cota +7 [m] y vaciado cuando se llega a la cota (en el interior del dique) –7,5 [m]. En ese momento una boya de fin de carrera provoca el disparo de cada bomba y su parada automática. Se pide: a)

Calcular las curvas resistentes del circuito y representarlas en la gráfica de la curva característica de la bomba. Obtener gráficamente los puntos de funcionamiento inicial y final del proceso de achique.(ENTREGAR LA GRÁFICA JUNTO CON EL RESTO DEL PROBLEMA).

b)

Calcular el tiempo que se tarda en el achique, en el supuesto de que el caudal medio en el bombeo corresponda a la media de los puntos inicial y final. A su vez todas las bombas arrancan y paran al mismo tiempo.

Un técnico del astillero decide mejorar el proceso de bombeo colocando desde la actual sección de salida un tramo de tubería hasta sumergirse en la ría llegando a la cota +1 [m] (ver Figura 3.30.a, disposición nº 2). Se supone que la longitud equivalente del circuito hidráulico de cada bomba sigue siendo prácticamente igual a la disposición original. También permanecen constantes el diámetro y el coeficiente de fricción. Se pide: c)

Calcular ahora el tiempo que tarda el bombeo en achicar el dique, adoptando los mismos criterios que en la configuración anterior. Para simplificar el problema se supondrá que el nivel en la ría es constante a la cota +5 [m] (media de pleamar y bajamar).

d)

Tiene que realizar alguna crítica a favor o en contra de la nueva disposición adoptada respecto de la original (1 línea por comentario). Proponer, en su caso nuevas actuaciones (dos líneas) para eliminar los posibles problemas.

Luego de un fallo de aislamiento se estropean los motores de las 3 bombas. Como solución de emergencia, se buscan 3 bombas centrífugas clásicas montadas sobre bancada y con motores no sumergibles (ver Figura 3.30.a, disposición nº 3). Para simplificar el problema se supone que las curvas características (alturas - caudales, potencias, NPSH) de las bombas siguen siendo iguales a las anteriores. Se aprovechan asimismo las tuberías de la disposición nº2, debiendo instalarse en la aspiración, una válvula de pie para evitar el descebado. Permanecen constantes el diámetro y el coeficiente de fricción. Se pide:

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Tema 3: Bombas - 49

e)

Calcular el nuevo tiempo de vaciado asumiendo el mismo nivel en la impulsión que en la disposición nº2. Tiene que hacer alguna crítica a la nueva disposición (nº3) adoptada.

Figura 3.30.a. Las 3 disposiciones posibles de la instalación

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Tema 3: Bombas - 50

Figura 3.30.b. Curvas características de la bomba BF-75

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Tema 3: Bombas - 51

3.31. Se desea realizar un bombeo industrial de agua fría. El punto de funcionamiento deseado es aquel que tiene una altura de impulsión de 15,5 [m C.A.] y un caudal de 65 [L/s] (ver Figura 3.31).

a)

Seleccionar de entre el catálogo de los ábacos la bomba más adecuada, justificando comparativamente la respuesta (2 líneas).

b)

Determinar el diámetro de impulsión del rodete correspondiente.

Asimismo se ha previsto que la misma bomba se emplee para inyectar un líquido de densidad 950 [kg/m3] y viscosidad 65 [cSt]. c)

Determinar los 4 puntos característicos de funcionamiento de la bomba con el nuevo producto. Es decir H, Q, P, η para el 100 [%], 120 [%], 80 [%], 60 [%] del punto nominal de funcionamiento. Se indicarán dichos puntos en la hoja milimetrada adjunta.

d)

¿Cuál será la lectura del manómetro de impulsión, en [Pa], si se asume que las pérdidas en la aspiración (y en la impulsión hasta el propio manómetro) son nulas? La tubería es de 5 [”] y su diámetro interior de 127 [mm].

Figura 3.31. Esquema de la instalación

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Tema 3: Bombas - 52

3.32. Dadas las curvas correspondientes a una bomba que gira a 1450 [r.p.m.]:

H = C1 + C2 ⋅ Q2 η = C3 ⋅ Q + C4 ⋅ Q2 donde C1 = 80, C2 = - 4000, C3 = 25 y C4 = - 176,77, con caudales expresados en [m /s], se pide: 3

a)

Dibujar las gráficas de H - Q, η - Q, potencia en el eje-Q y potencia útil-Q.

b)

Calcular analítica y gráficamente las parábolas de isorrendimiento por cambio en la velocidad de giro para rendimientos crecientes desde η = 40 [%], con incrementos del 10 [%] (40 [%], 50 [%], 60[%],…). A partir de ellas, dibujar aproximadamente las curvas de colina de isorrendimiento reales que tendría esta bomba.

c)

Buscar la combinación serie-paralelo que permita trabajar a 1450 [r.p.m.] en las inmediaciones del punto Q = 0,12 [m3/s] y H = 65 [m] con el criterio de menor número de bombas y mejor rendimiento.

3.33. Se considera una bomba del catálogo (ábacos) tipo IN 80-250-aF tanto a 1450 [r.p.m.] como a 2970 [r.p.m.]. Se trata de verificar las relaciones de semejanza hidráulica en el punto de óptimo rendimiento.

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Tema 3: Bombas - 53

3.34. En un balneario se quiere adquirir una partida de bombas para bañeras de hidromasaje. En cada bañera, va acoplada una bomba que absorbe de una piscina que contiene aguas con propiedades termales. La impulsión de la bomba se bifurca, dividiéndose el caudal en dos, para ser impulsado a través de dos boquillas, situadas a ambos lados de la bañera y a una profundidad de 0,7 [m] respecto al nivel de la misma. Las boquillas tienen un diámetro de 1 [cm] y las pérdidas en cada una de ellas tienen una constante de valor 624021,2 [m C.A./(m3/s)2]. Para lograr un adecuado efecto de masaje, la velocidad del agua al salir por las boquillas debe ser superior a los 10 [m/s]. La bomba funciona prácticamente todo el tiempo con la bañera llena. El nivel de la piscina es 30 [cm] inferior que el de los chorros y las pérdidas en todo el circuito (excepto boquillas) se pueden considerar despreciables. Se dispone de 3 modelos correspondientes a la familia de bombas TIPER marca ESPA con distintos diámetros. Los 3 modelos son bombas monoblock, es decir, con motor incorporado que va incluido en el precio. De dichos modelos, se conocen los puntos de sus curvas características mostrados en la Tabla 3.34 (H-Q y Pm-Q) y motores acoplados. Tipo de bomba

TIPER 75 TIPER 50 TIPER 30

Caudal [L/min]

Altura [m C.A.]

60 150 240 60 150 240 60 150 240

13 6,1 12 4,1 11 2

Potencia mecánica [kW]

0,52 0,68 0,80 0,48 0,58 0,62 0,42 0.49 0,52

Potencia nominal del motor [kW]

Rendimiento Rendimiento del motor al del motor al 100 [%] 50 [%] η [-] η [-]

Precio [€]

0,75

0,69

0,65

190

0,75

0,69

0,65

198

0,55

0,68

0,64

202

Tabla 3.34. Puntos conocidos de las curvas características y del motor Las curvas características son de la forma siguiente:

H = A + C ⋅ Q2 Pm = D + E ⋅ Q + F ⋅ Q2 Las bombas tienen una vida útil estimada (n) de 8 años y el tipo de interés vigente (t) es del 5 [%]. El factor de amortización del coste total para el primer año es

A.F. = t ⋅ (1 - (1 + t) - n) -1 Este primer año el [kW-h] tiene un precio de 0,09 [€] y cada bañera funciona una media de 2 horas diarias en temporada baja (120 días), 3 horas diarias en temporada media (120 días) y 4 horas diarias en temporada alta (120 días). El resto de días el balneario cierra. Elegir el modelo óptimo de bomba desde el punto de vista de mínimo coste conjunto de inversión y explotación.

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Tema 4: Turbinas - 54

Tema 4: Turbinas 4.1. Se tiene una máquina que gira a 500 [r.p.m.], cuyo diseño corresponde al período 1965-1969. Se dispone de la colina de rendimientos de los ensayos en modelo de dicha máquina, que se muestra en la Figura 4.1.

Se pide: a) b) c) d)

Determinar las condiciones de funcionamiento en el punto de óptimo rendimiento y en el nominal. Cota de implantación (eje del rodete) Saltos brutos característicos y coeficiente de pérdidas de carga de la tubería Dimensionar la máquina.

Nota.- para determinar las condiciones del punto de funcionamiento nominal se recomienda considerar un caudal nominal aproximadamente un 15 [%] superior al caudal óptimo y utilizar la curva resistente de la instalación para calcular el salto neto nominal correspondiente.

Figura 4.1. Colina de rendimientos del modelo

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Tema 4: Turbinas - 55

4.2. Un aprovechamiento hidroeléctrico dispone de 6 grupos turbina-alternador iguales. Para este tipo de turbinas, un estudio estadístico realizado sobre múltiples máquinas en todo el mundo, sugiere la siguiente relación estadística entre el ns y el salto neto nominal (de diseño) H:

ns = 2959 ⋅ H–0,625 [*]

(H en [m C.A]).

A plena apertura de distribuidor, se recoge en el canal de fuga un total de 690 [m /s], provenientes de los seis grupos. En estas condiciones, atraviesa las turbinas un caudal 1,25 veces el caudal circulante en el punto de funcionamiento óptimo. El rendimiento de las turbinas varía según el punto de funcionamiento, tal y como se muestra en las curvas de colina adjuntas facilitadas por el «Bureau of Reclamation» (ver Figuras 4.2.a y 4.2.b), mientras que los alternadores funcionan a un rendimiento eléctrico constante de 0,97 [-]. La potencia que cada una de las 6 turbinas transmite al alternador es, en el punto de funcionamiento óptimo, de 104,892 [MW]. Calcular: 3

a) b) c) d)

Grado de apertura del distribuidor en el punto de funcionamiento óptimo. Salto neto nominal en cada conducción hasta la entrada de las turbinas, expresado en [m C.A.], si se realiza la hipótesis de que las pérdidas de carga son despreciables. Potencia total en el nominal y máxima que puede dar el aprovechamiento. Número de pares de polos del alternador y valor de ns.

Nota.- suponer que las maniobras de regulación no modifican sustancialmente el salto neto.

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Tema 4: Turbinas - 56

Figura 4.2.a. Curva de colina H-Q

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Tema 4: Turbinas - 57

Figura 4.2.b. Curva de colina P-Q

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Tema 4: Turbinas - 58

4.3. Se ha previsto la instalación de 2 bombas turbina en un aprovechamiento hidroeléctrico entre dos embalses. Los valores de niveles y saltos brutos se indican en la Tabla 4.3. Los grupos son alimentados por dos tuberías forzadas independientes de 195 [m] de longitud y diámetro variable entre 7 [m] y 4,5 [m] y vierten por una única conducción de aspiración primero de 49 [m] de longitud, y 6,9 [m] de diámetro y luego de 884 [m] de longitud con un área de 154 [m2].

Las máquinas prototipo tiene un diámetro de referencia de 3,860 [m] y giran a 200 [r.p.m.]. La potencia límite del alternador es de 230 [MVA] y el rendimiento de éste, que se puede considerar constante, es de ηa = 98,75 [%]. El caudal nominal en turbina es de 170 [m3/s] Las máquinas hidráulicas a instalar se basan en un diseño ensayado en laboratorio cuya colina se muestra en las Figuras 4.3.a y 4.3.b, tanto en turbina como en bomba. Los coeficientes de semejanza aplicados son los tradicionales. Las ensayos fueron realizados en agua fría, a salto constante de 20 [m C.A.] para funcionamiento en turbina y a 25 [m C.A.] para funcionamiento en bomba. El diámetro de rodete de referencia (aspiración) era de 250 [mm]. Las pérdidas mecánicas externas entre máquina hidráulica y máquina eléctrica se pueden considerar despreciables, así como las pérdidas de carga en el circuito hidráulico tanto en bomba como en turbina. Se pide, siempre para funcionamiento de una sola máquina: a)

Marcar los límites de funcionamiento en ambas colinas.

b)

Determinar gráficamente, en la hoja adjunta la colina parcial de rendimiento en turbina entre las aperturas de distribuidor 16 [º] y 40 [º], con y sin revalorización para el funcionamiento de la turbina con salto bruto nominal. La fórmula de revalorización a aplicar es la de Hutton. Indicar en una tabla los valores numéricos obtenidos de caudales y rendimientos. Determinar gráficamente, en la hoja adjunta la característica H-Q y la colina parcial de rendimiento en bomba entre los saltos brutos de operación sin revalorización de rendimientos. Indicar en una tabla los valores obtenidos de caudales y rendimientos. Determinar la cota de implantación del rodete. Comparar el resultado del apartado anterior con las estadísticas existentes. ¿Tiene alguna crítica que realizar al funcionamiento previsto?

c)

d) e) f)

Salto bruto /Altura de impulsión bruta [m] nominal máximo mínimo turbina 137,83 145 126 bomba 137,83 145 112 Cotas de los embalses [m] (s.n.m.) superior 328 318 inferior 206 183

Tabla 4.3. Saltos brutos y cotas de los embalses

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Tema 4: Turbinas - 59

Figura 4.3.a. Funcionamiento del modelo como turbina

Figura 4.3.b. Funcionamiento del modelo como bomba

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Tema 4: Turbinas - 60

4.4. Se han instalado 9 turbinas Francis en un aprovechamiento hidroeléctrico a pie de presa situado en la Baie James (Canadá). Los valores de saltos brutos se indican en la Tabla 4.4. Los grupos son alimentados por nueve tuberías forzadas independientes de 100 [m] de longitud y 7 [m] de diámetro, pudiendo asumirse como nulas las pérdidas de carga de éstas.

Las máquinas prototipo tiene un diámetro de referencia de 5,550 [m], van acopladas a un alternador síncrono de 28 pares de polos, cuya potencia límite es de 315 [MVA] y cuyo rendimiento, que se puede considerar constante, es de ηa = 99,00 [%]. Las turbinas funcionan con aperturas de distribuidor comprendidas entre 133,4 [mm] y 333,5 [mm]. La cota de implantación del rodete, para el plano medio del distribuidor es la 253,4 [m] (s.n.m.). El diseño de las turbinas se ha basado en los resultados de ensayos modelo, cuya colina se muestra en la Figura 4.4. Las condiciones del ensayo han sido: agua fría a 26 [ºC], a salto constante de 15 [m C.A.] para funcionamiento en turbina; diámetro de rodete de referencia (aspiración) era de 416 [mm]. Suponer viscosidad fluido prototipo de valor 1 ⋅ 10-6 [m2/s]. La fórmula de revalorización de rendimientos a aplicar es la de Hutton. Las pérdidas mecánicas externas entre máquina hidráulica y máquina eléctrica se pueden considerar despreciables, así como las pérdidas de carga en el circuito hidráulico de la turbina. Los valores del coeficiente de cavitación de Thoma previstos para esta central (σpl) oscilan entre 0,13 [-] (máximo salto) y 0,17 [-] (salto mínimo). Suponer σadmisible = 0,10 [-]. Suponer T = 10 [ºC]. Se pide, siempre para funcionamiento de una sola máquina: a)

Marcar en la colina adjunta, los límites de funcionamiento previstos en prototipo.

b)

Número de Reynolds en modelo y en prototipo.

c)

Velocidad de rotación y caudal durante el ensayo en modelo para los puntos extremos de la colina parcial Am= 22,5 [mm].

d)

Determinar gráficamente, en la hoja adjunta la colina parcial de rendimiento en turbina entre las aperturas de distribuidor con y sin revalorización para el funcionamiento de la turbina con salto bruto nominal. Indicar en una tabla los valores numéricos obtenidos de caudales y rendimientos.

e)

Determinar el nivel de desagüe.

f)

Comparar el resultado de la pregunta anterior con las estadísticas existentes Energía bruta [J/kg] nominal máximo mínimo 1144 1163 1133

Tabla 4.4 Energías brutas de la instalación

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Tema 4: Turbinas - 61

Figura 4.4. Colina obtenida en los ensayos con el modelo

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Tema 4: Turbinas - 62

4.5. La colina de la Figura 4.5 corresponde a una turbina Kaplan de diámetro 2850 [mm], acoplada a un generador síncrono de 750 [r.p.m.] mediante un multiplicador de velocidad de relación de transmisión 1/5,77. Se pide:

a)

Calcular las diferentes expresiones de velocidad específica en el óptimo (nq, ns y ν).

b)

Calcular QnD, EnD, φ y ψ. Comprobar la relación entre ν, φ y ψ.

Se quiere utilizar los mismos moldes del rodete para otro aprovechamiento en el que el salto neto nominal (que en este caso coincide con el óptimo) es de 3,75 [m], por lo que se decide que las máquinas sean exactamente iguales. c)

Calcular la velocidad de rotación de la nueva máquina y la nueva relación de transmisión del multiplicador, si el generador gira a la misma velocidad.

d)

¿Cuál será el caudal en el punto óptimo?

e)

Aplicando la fórmula de revalorización de Hutton para este tipo de máquinas, determinar cuál será el rendimiento en el óptimo para esta nueva turbina.

f)

Calcular la potencia máxima eléctrica del nuevo generador sabiendo que el caudal máximo es 1,25 veces el caudal óptimo, que el rendimiento del multiplicador es del 96 [%] y el rendimiento del generador del 97 [%].

Figura 4.5. Colina de la turbina Kaplan

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Tema 4: Turbinas - 63

4.6. Una turbina Francis que gira a 600 [r.p.m.] tiene un salto neto nominal de 200 [m C.A.] y un caudal nominal de 13,5 [m3/s]. Desde el punto de vista de cavitación se ha detectado que la situación más desfavorable se produce cuando, debido a las oscilaciones estacionales del depósito de extremidad, el salto neto vale 250 [m C.A.], ya que en esta situación el caudal a distribuidor plenamente abierto alcanza los 21 [m3/s].

El rendimiento volumétrico es constante y de valor igual a 0,975 [-] y la sección a la salida del tubo de aspiración es de 8,65 [m2]. Las pérdidas de fricción y choque (sin contar el posible efecto torbellino) en el tubo de aspiración valen el 0,5 [%] del salto neto y el nivel del canal de desagüe se mantiene prácticamente constante a lo largo del año. Calcular: a)

nq y ν (velocidad específica científica) para la turbina, dimensiones básicas (D2e, D1i, D1e) y la cota de implantación de la máquina, calculados a partir del punto de funcionamiento nominal, al nivel del mar y en base a los datos estadísticos más recientes.

b)

Si en el punto nominal, la salida del agua de la rueda es sin torbellino, calcular en estas condiciones las fracciones del salto neto

•

contenidas en la energía cinética del agua a la salida de la rueda, y

•

la pérdida a la salida del tubo de aspiración, así como la presión absoluta a la salida del rodete.

c)

Si la presión de vapor a temperatura ambiente para el agua es 0,24 [m C.A.], calcular el margen de seguridad en metros con respecto al nivel del canal de desagüe con el que cuenta la turbina para no entrar en cavitación en la situación más desfavorable, con H = 250 [m C.A.] y Q = 21 [m3/s]. En estas condiciones, el ángulo α2 a la salida de la rueda vale 85 [º].

d)

Calcular el incremento de pérdidas producidas en el tubo de aspiración debido a la aparición de la componente tangencial de la velocidad absoluta cu2 a la salida del rodete.

Nota.- σ = 35,29 ⋅ 10 –5 ⋅ nq 1,41

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Tema 4: Turbinas - 64

4.7. El esquema de la Figura 4.7.a representa tres tramos de tubería de fibrocemento, estando dichos tramos en el mismo plano. Los tramos I y II derivan del III y proveen de agua a dos urbanizaciones. Debido a las necesidades de consumo, en condiciones normales en el punto 2 debe existir una presión de 15 [m C.A.] para un caudal de 5 [L/s] y en el punto 1 el caudal debe ser también de 5 [L/s]. La presión en 1 deberá ser mayor o igual a 15 [m C.A.]. Las longitudes y diámetros de los tramos son:

• • •

LI = 1000 LII = 1500 LIII = 3000

[m]; [m]; [m];

DI = 100 DII = 100 DIII = 150

[mm] [mm] [mm]

En la Tabla 4.7.a aparecen las pérdidas de carga en [mm C.A.] por metro lineal de tubería para diferentes caudales y diámetros en conducciones de fibrocemento. Para otros caudales, interpolar. El sistema está alimentado por una bomba accionada directamente por una turbina Pelton de 1 inyector por el que circula un caudal de 10 [L/s], de manera que el nivel del depósito se mantenga constante (ver Figura 4.7.b). El desnivel hasta el punto 3 de enganche a la conducción es de 5 [m], siendo en este pequeño tramo despreciables las pérdidas por fricción. Los datos de las máquinas se muestran en la Tabla 4.7.b. Se pide: a) b) c) d) e) f) g) h)

Presión en [m C.A.] en los puntos 1 y 3. Potencia mecánica entregada a la bomba. Salto neto bajo el que opera la turbina. Acción del chorro y par producido. Rendimiento manométrico y mecánico de la turbina. Velocidad de giro del conjunto turbina-bomba. Dibujar los triángulos de velocidades de la turbina. Comprobar que realmente se trata de una turbina Pelton. D [mm] 70 80 100 125 150

2 4,75

4 16,68 8,69 2,95

Caudales [L/s] 6 8 35,16 60,01 18,24 31,02 6,14 10,38 2,08 3,50

10

12

46,96 15,64 5,25 2,17

21,90 7,33 3,02

Tabla 4.7.a. Pérdidas de carga por unidad de longitud de las tuberías de fibrocemento de acuerdo con la fórmula de Colebrook DATOS DE LAS MÁQUINAS PELTON BOMBA ηglobal = 0,7 [-] ηglobal = 0,7 [-] ηvol = 1,0 [-] Ku1 =0,435 [-] Kc1 =0,97 [-] dj/Dp =0,141 [-] β2 =15 [º] ratio w2/w1: m = 0,96 [-]

Tabla 4.7.b. Datos de las máquinas Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Tema 4: Turbinas - 65

Figura 4.7.a. Esquema de la instalación

Figura 4.7.b. Grupo turbina-bomba

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Tema 4: Turbinas - 66

4.8. Un aprovechamiento hidroeléctrico con un salto bruto medio anual de 139,83 [m], dispone de 6 grupos turbina-alternador iguales, alimentados individualmente cada uno por una tubería forzada. Para este tipo de turbinas, un estudio estadístico realizado sobre múltiples máquinas en todo el mundo, sugiere la siguiente relación estadística entre el ns y el salto neto nominal (o salto neto de diseño) H:

ns = 2959 ⋅ H – 0,625 [*]

(H en [m C.A.])

A plena apertura de distribuidor, se recoge en el canal de desagüe un total de 690 [m3/s], provenientes de los seis grupos. En estas condiciones (nominales), atraviesa las turbinas un caudal 1,25 veces el caudal circulante en el punto de funcionamiento óptimo. El rendimiento de las turbinas varía según el punto de funcionamiento, tal y como se muestra en las curvas de colina mostradas en las Figuras 4.2.a y 4.2.b facilitadas por el «Bureau of Reclamation», mientras que los alternadores funcionan a un rendimiento eléctrico constante de 0,97 [-]. La potencia que cada una de las 6 turbinas transmite al alternador es, en el punto de funcionamiento nominal, de 123,402 [MW]. Calcular: a)

Salto neto en el nominal y pérdidas en la conducción hasta la entrada de las turbinas, expresadas en [m C.A.].

b)

La potencia total de cada máquina en el óptimo y el salto neto en el óptimo.

c)

Si cada alternador se ha diseñado con una limitación de potencia (eléctrica) de 137,655 [MW] dibujar la curva límite de potencia en ambas gráficas: colinas H-Q y H-P.

d)

Dibujar y resaltar el conjunto de curvas límite en la colina H-Q: apertura de distribuidor, potencia del alternador, frontera de salto neto.

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Exámenes: 2004-2005 - 67

Exámenes: 2004-2005 04-05-FEB.1.

(35 minutos)

El salto bruto nominal (o de diseño) de una turbina Francis es 145 [m]. Las curvas características o de colina correspondientes al diseño de Francis seleccionado son las que se adjuntan. En el eje de abscisas se representan potencias de la turbina y en el eje de ordenadas saltos netos, ambos expresados en términos porcentuales en relación al salto neto nominal y potencia asociada a distribuidor abierto respectivamente. El caudal nominal en dicha instalación, se corresponde para el salto neto nominal con un grado de apertura del distribuidor del 80 [%]. Por otra parte, a salto neto nominal la turbina da una potencia máxima de 150692,093 [kW]. Debido a las oscilaciones estacionales el salto bruto alcanza un máximo anual de valor 179,075 [m]. Calcular a)

Potencia máxima en [kW] que puede dar la turbina.

b)

nq de la turbina en el punto nominal sabiendo que el alternador conectado tiene 14 pares de polos.

Se construye otra máquina del mismo diseño pero con un tamaño un 50 [%] mayor. En este caso, el rendimiento con respecto a la máquina anterior experimenta una revalorización en todo el rango de funcionamiento de aproximadamente un 1 [%]. Dicha máquina se sitúa en una central donde el salto bruto alcanza un máximo anual de 90,123 [m C.A.]. c)

En estas condiciones, para un grado de apertura del distribuidor del 70 [%], calcular potencia y caudal de esta turbina si el alternador conectado tiene 28 pares de polos. Los puntos nominales en ambas máquinas son homólogos.

En ambas instalaciones hidroeléctricas, las pérdidas en la conducción hasta entrada de turbina son despreciables para los distintos grados de apertura del distribuidor.

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Exámenes: 2004-2005 - 68

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Exámenes: 2004-2005 - 69

04-05-FEB.2.

(60 minutos)

Se pretende alimentar a una población mediante dos bombas en paralelo dotadas de motores de velocidad variable desde un canal en el que se supone un nivel constante. A la entrada de la población, que se encuentra en la cota 10 respecto al nivel en el canal, se requiere una presión que es función del consumo de la población según la siguiente expresión:

p = 3 + 4 ⋅ Q2

(p en [bar] y Q en [m3/s])

Las bombas son del tipo 150/400.b, el rodete es de 418 [mm] y pueden girar entre 1000 [r.p.m.] y 2000 [r.p.m.]. Las ecuaciones deducidas de las curvas suministradas por el fabricante con Q en [m /s] son para 1480 [r.p.m.]: 3

H = 59,56 + 150 ⋅ Q – 1406,25 ⋅ Q2

[m C.A.]

NPSHr = 2,125 – 37,5 ⋅ Q + 312,5 ⋅ Q2

[m C.A.]

a)

Calcular la velocidad de giro de una bomba funcionando en solitario cuando tiene que suministrar el caudal mínimo de consumo estimado en 50 [L/s].

b)

Calcular el caudal máximo que puede ser suministrado con este bombeo.

c)

Suponiendo que la del punto anterior es la peor condición de funcionamiento desde el punto de vista de cavitación, calcular en estas condiciones la cota de implantación de las bombas.

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Exámenes: 2004-2005 - 70

04-05-FEB.3.

(60 minutos)

Se va a equipar una planta de desalación de agua de mar, por ósmosis inversa, con las bombas de alta presión correspondientes (ver Figura 1). El tipo elegido, solución clásica, consiste en una bomba centrífuga multietapa, de la cual se posee la información sintetizada en la Figura 2, que contiene datos relevantes de los ensayos en modelo realizados en dicha máquina. Para el prototipo se ha pensado en un diámetro de rodete (salida en bomba) D2e = 380 [mm] y una velocidad de rotación de 2980 [r.p.m.]. Este método de desalación de agua de mar, se suele realizar inyectando el agua salada a alta presión sobre la batería de membranas, de forma que una cierta cantidad de agua dulce pasa al otro extremo de éstas membranas, permaneciendo en el lado de alta presión el resto, denominado salmuera. La presión que permite la separación de la sal, y la cantidad de agua desalada, suelen variar con el grado de envejecimiento de las membranas, teniéndose típicamente los siguientes valores:

• • • •

Temperatura del proceso: Densidad del agua de mar: Presión de trabajo membranas: Producción agua dulce:

θ = 20 [ºC] ρmar = 1023 [kg/m3] 65 ≤ pII 75 [bar] 40 ÷ 45

[%]

Para evitar problemas de cavitación, tanto en pérdida desde prestaciones como en riesgo de erosión se ha previsto una contrapresión, constante, en la aspiración p1 de 140 000 [Pa] (relativa). Se asume, como hipótesis simplificadora la inexistencia de pérdidas de carga de carga en el circuito hidráulico y la nulidad del término cinético a la entrada. Se pretende el estudio exclusivo del punto de funcionamiento medio, en que la energía hidráulica másica (expresada como presión total relativa ptII) será de 70 [bar] en la cámara de entrada a las membranas y la producción de éstas, como media, será del 42,5 [%] del agua inyectada. Se pide. a)

Número de etapas de la bomba prototipo. Caudal de agua salada a inyectar y caudal de agua dulce.

b)

Rendimiento del punto de funcionamiento si se considera no afectado por el número de etapas, pero debiendo revalorizarlo por medio de la fórmula CEI (asumir que la viscosidad del agua salada igual a la del agua dulce). Potencia mecánica.

c)

¿Es adecuada la contrapresión en la aspiración para evitar la cavitación erosiva? Razonar la respuesta, aplicando, por ejemplo, el método de implantación de Sulzer. Se supondrá que la presión de vapor del agua salada es la misma que la del agua dulce.

Vista la importante potencia consumida y el remanente de energía que posee la salmuera, se ha pensado aprovecharla disponiendo en el mismo árbol de bomba y motor, una turbina Pelton, insertada entre ambos. Se pide ahora, considerando que la presión para el punto de diseño (nominal) y óptimo en la turbina, es la misma y coincide con la presión media de inyección en las membranas:

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Exámenes: 2004-2005 - 71

d)

Determinar la potencia mecánica que se ahorra en el motor eléctrico por el hecho de insertar esta turbina en el eje, asumiendo un valor dado en el rendimiento. Velocidad específica de la turbina.

e)

Si los rodetes de la bomba giran a izquierdas vistos desde la aspiración (antihorario), y la brida de aspiración se sitúa en el extremo opuesto del lado motor, donde se deberá colocar en la turbina, el inyector situado por debajo del eje, para que el chorro impacte adecuadamente sobre las cucharas? A la izquierda ó a la derecha? Razonadlo con un croquis.

f)

Ventajas e inconvenientes que se tienen en la nueva situación frente a la inicial.

Figura 1. Esquema de la instalación

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Exámenes: 2004-2005 - 72

Figura 2. Resultados de los ensayos en modelo

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Exámenes: 2004-2005 - 73

04-05-JUN.1.

(30 minutos)

Una turbina Francis lenta tiene un Kc2 de valor 0,18 [-]. El ángulo α2 vale 85 [º] y el salto neto bajo el que trabaja vale 100 [m C.A.]. La presión atmosférica es de 10,33 [m C.A.] y la rueda se encuentra 3 [m] por encima del nivel del canal de fuga. Las pérdidas por fricción en el interior del tubo de aspiración y las pérdidas por ensanchamiento brusco a la salida del mismo son despreciables. Calcular: a)

La fracción del salto neto total que se ha recuperado por la implantación del tubo de aspiración en relación a una situación en que no hubiera tubo de aspiración.

b)

¿Qué fracción de la energía cinética total a la salida de la rueda no se puede recuperar?

c)

¿Que proporción del salto neto representa?

d)

¿Cuál es la presión del agua a la salida de la rueda?

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Exámenes: 2004-2005 - 74

04-05-JUN.2.

(45 minutos)

Un constructor de bombas hidráulicas ha recibido un pedido de una bomba cuyo punto de funcionamiento debe ser:

• • •

altura de elevación: 30 [m], caudal: 72 [t/h], y velocidad de rotación: 1800 [r.p.m.].

La bomba debe aspirar agua a 20 [ºC] de un depósito abierto. El nivel de la superficie libre del agua en el depósito se mantiene constante e igual a 4 [m] por debajo del eje de la bomba. Las pérdidas de carga en la tubería de aspiración son de 0,25 [m] para un caudal de 10 [L/s]. La presión atmosférica es de 1013 [mbar]. El constructor dispone de una instalación para el ensayo de sus fabricados. En la Figura se ha esquematizado la citada instalación. El nivel del agua en el depósito es de 1 [m] por encima del eje de la bomba. La presión en el depósito es regulable. El motor de accionamiento de la bomba gira a 1500 [r.p.m.]. La temperatura del agua durante el ensayo es de 20 [ºC]. En este banco de ensayo las pérdidas de carga del conducto de aspiración son de 1,44 [m] para un caudal de 20 [L/s].

Admitiendo que en las condiciones reales de funcionamiento la altura neta positiva de aspiración debe tener un margen de seguridad de 0,5 [m], calcular la presión que debe reinar en el depósito del banco de ensayo para poder controlar las características del punto nominal de funcionamiento de la bomba. Datos: 1000 [kg/m3]

•

densidad del agua:

•

presión de vapor del agua a 20 [ºC]: 2337 [Pa]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2004-2005 - 75

04-05-SEP.1.

(20 minutos)

Una turbina Pelton funciona con un caudal de 80,7 [L/s] y un salto neto de 113 [m C.A.]. Para este tipo de turbinas, el fabricante ha establecido una relación entre el coeficiente de velocidad de la velocidad periférica de la rueda (Ku1) y el Nsj (potencias en [kW]) que es

Ku1 = 0,5445 – 0,0039 ⋅ Nsj La turbina está funcionando en el punto óptimo con un rendimiento de 0,89 [-] y se sabe que las pérdidas en el inyector representan un 4 [%] del salto neto. La rueda gira acoplada a un alternador de 3 [pares de polos]. Se pide:

a)

Potencia de la turbina.

b)

Número de inyectores.

c)

Diámetro medio de la rueda.

d)

Rendimiento manométrico y mecánico, si el rendimiento volumétrico es ~ 1 [-], la fricción en el interior de la cuchara es despreciable y el ángulo de salida de cuchara es ~ 0 [º].

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2004-2005 - 76

04-05-SEP.2.

(60 minutos)

Se dispone de un bombeo, según el esquema de la figura, equipado con una máquina que gira a 2960 [r.p.m.], modelo IN-100-200.bF y rodete de 214 [mm] de diámetro. El circuito hidráulico tiene unas pérdidas de carga globales de acuerdo a las condiciones de diseño de la instalación en su conjunto, que se puede asumir, se encuentran concentradas en el circuito de impulsión y que responden a la expresión: ∆H = 1000 ⋅ Q2

[m C.A.], Q en [m3/s]

Como instrumentación para el monitorizado de la máquina se dispone de un manómetro de Bourdon presión absoluta en la aspiración, de un manómetro del mismo tipo, pero de presión relativa en la impulsión y de un caudalímetro electromagnético, también en la impulsión. El caudalímetro suministra una señal eléctrica entre 4 [mA] ÷20 [mA], proporcional al fondo de escala del equipo que es de 150 [L/s]. En el momento actual, con válvula de regulación en la impulsión abierta a tope, se han realizado unas mediciones que aportan los siguientes datos:

•

Lectura de caudal:

LQ = 13,4815

[mA].

•

Desnivel geométrico:

zII – zI = 32

[m]

Se ha comprobado que, efectivamente, tanto el diámetro de rodete como la velocidad de rotación son correctos, así como los valores aportados de las cotas de altimetría correspondientes y los cálculos que han llevado a determinar la expresión de la curva resistente. El funcionamiento del caudalímetro también ha sido verificado llegando a la conclusión de que es, asimismo, correcto. Además, se ha verificado la apertura de la válvula de regulación, que se sitúa efectivamente en el 100 [%]. Se pide, entonces: a) b) c) d) e)

Determinar el punto de funcionamiento actual de la bomba: caudal y altura de impulsión. ¿Aprecia usted alguna anomalía de funcionamiento digna de reseñar? Explicar razonadamente y con ayuda de una gráfica, las causas. ¿Cuál será aproximadamente la altura de aspiración a la que se encuentra trabajando actualmente la máquina? Determinar el caudal de diseño previsto inicialmente en el circuito y la altura de aspiración máxima necesaria para lograrlo. Determinar las lecturas aproximadas en [Pa], de los manómetros de aspiración e impulsión para las condiciones de funcionamiento actuales.

Suponer ρw = 998,5 [kg/m3] y g = 9,81 [m/s2].

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2004-2005 - 77

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2005-2006 - 78

Exámenes: 2005-2006 05-06-FEB.1.

(35 minutos)

Se necesita seleccionar una bomba para regar la huerta de un caserío. Para disponer de agua para riego, el dueño ha construido un depósito de hormigón donde se recogen las aguas de lluvia. El nivel del agua en este depósito se sitúa a 1 [m] por debajo del suelo. La huerta se riega con una manguera que en toda su extensión tiene 6 [mm] de diámetro. Debido a su avanzada edad, el dueño suele regar sentado, sosteniendo con su mano la boquilla de la manguera por donde sale el agua a 1 [m] de altura sobre el suelo. A fin de poder llegar a todos los extremos de su huerta, necesita que el agua salga a gran velocidad. Para ello, se dispone de un modelo de bomba de 250 [mm] cuyas curvas características a 2900 [r.p.m.] son de la forma:

H = C0 + C1 ⋅ Q2 η = E0 ⋅ Q + E1 ⋅ Q2 En esas expresiones los caudales están en [L/min], la altura en [m C.A.] y el rendimiento en [-] para los coeficientes según la siguiente Tabla: DIÁMETRO [mm] 250

C0 54,27

C1 – 0,0107

E0 0,0339

E1 – 0,00047348

El motor eléctrico que acciona la bomba tiene un rendimiento de 0,8 [-] y se pretende que la velocidad del agua sea de 10 [m/s]. A tal fin se manejan tres opciones: a) b) c)

Regulación con una válvula en la impulsión. Instalar un by-pass. Cambiar la velocidad de giro de una bomba que con el mismo diseño está construida a escala siendo el diametro del rodete de 300 [mm].

Las válvulas en la impulsión y en el by-pass son del mismo tipo de compuerta con guillotina circular y en caso de estar presentes, son los únicos elementos que generan pérdidas de carga. Calcular los puntos de funcionamiento e indicadores energéticos de la instalación en [kW-h/m3] con cada solución y selección de la más eficiente.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2005-2006 - 79

05-06-FEB.2.

(40 minutos)

Se dispone una instalación de turbinado T1 con las siguientes características: Caudal: 10 [m3/s] Nivel depósito superior: 700 [m] (s.n.m.) Nivel desagüe: 0 [m] (s.n.m.) Coeficiente pérdidas de carga tramo AC: 0,03 [m C.A./(m3/s)2] Coeficiente pérdidas de carga tramo CD: 0,04 [m C.A./(m3/s)2] Rendimiento conjunto turbina – generador: 0,95 [-]

• • • • • •

700

[m s.s.m.]

A

500

C

[m s.n.m.]

B

b) D a)

0

[m s.n.m.])

T1 T2

En la cota 500 [m] se dispone de una aportación de 500 [L/s] de agua no aprovechada. Existen dos posibilidades de utilización de esta aportación.

•

Construir una minicentral T2 que recoja esta agua y la turbina hasta la cota 0 [m], por medio de una tubería con una pérdida de carga de 5 [m] y un grupo turbina – generador de rendimiento global 0,95 [-].

•

Inyectar el agua por medio de un grupo motobomba B de rendimiento 0,90 [-] y una tubería de coeficiente de pérdidas 2 [m C.A./(m3/s)2] en el punto intermedio C de la tubería forzada del primer aprovechamiento.

Calcular a) b) c) d) e) f)

Potencia eléctrica de la instalación inicial (T1). Potencia eléctrica de la instalación nueva (T2) en caso de adoptarse la solución a). Potencia eléctrica de la bomba B en caso de adoptarse la solución b). Nueva potencia eléctrica que genera la turbina original (T1) en el caso de adoptarse la solución b). Potencia global del aprovechamiento (B+T1) en el caso b). ¿Qué solución le parece la más apropiada? Enumere ventajas e inconvenientes de cada una de ellas.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2005-2006 - 80

05-06-FEB.3.

(60 minutos)

Se ha diseñado una instalación de bombeo entre dos depósitos, cuyos niveles permanecen prácticamente constantes, y que va equipado con una bomba, una válvula de regulación de caudal, una válvula de pie y un caudalímetro de ultrasonidos. La bomba seleccionada por la Ingeniería gira a 2970 [r.p.m.] y es del tipo IN 100-250.bF, con diámetro de rodete 266 [mm]. El caudal de diseño es de 0,1 [m3/s]. Algunos datos e informaciones adicionales del presente bombeo son:

• • •

•

Las cotas de niveles e implantación de máquina se han obtenido por medios topográficos. La válvula de regulación es de tipo mariposa, familia B. La tubería (aspiración e impulsión) tienen un diámetro interior de 200 [mm]. El coeficiente de pérdidas de carga en función del caudal ha sido calculado por la Ingeniería para todo el circuito, con la salvedad de la válvula de mariposa, y ha resultado ser de Ktotal = 1505,156 [m C.A. ⋅ s2/m6]. El caudalímetro suministra una salida 4 [mA] ÷ 20 [mA] para un span (rango) de velocidad de 0 [m/s] ÷ 6 [m/s].

En la puesta en marcha se ha realizado una medición con el caudalímetro obteniéndose un valor de 11,0736 [mA]. El caudal correspondiente no cubre las expectativas previstas, por lo que se procede a investigar que anomalía se puede estar produciendo. a)

Enunciar, con una breve explicación (2 líneas y alguna gráfica si se considera oportuno), cuáles pueden ser los diferentes motivos de que la instalación, aparentemente, no funcione con corrección.

Estudiando ahora varias de las posibles causas, cada una por separado (y haciendo abstracción del resto de posibles problemas en cada caso), se pide: b)

Causa: error en el torneado del rodete. ¿Cuál sería el diámetro real de rodete en caso de que se hubiera torneado, por error, el original? Explicar ayudándose de una gráfica.

c)

Causa: funcionamiento en condiciones de cavitación desarrollada. ¿Cuál sería la altura de aspiración si el coeficiente de pérdidas de carga en la aspiración, incluyendo la válvula de pie es de Kasp = 200 [m C.A. ⋅ s2/m6]? Explicar ayudándose de una gráfica.

d)

En el mismo caso de la pregunta 3, ¿cuál sería la lectura en [mA] de un transductor de presión absoluta conectado coaxialmente a la tubería de impulsión, antes de la válvula? El span de éste transductor es de 0 [bar] ÷ 10 [bar] para una señal de 4 [mA] ÷ 20 [mA]. Nota: suponer que la tubería de impulsión aquí, se encuentra a la misma cota que la de referencia de la máquina.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2005-2006 - 81

Figura. Instalación de bombeo

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2005-2006 - 82

05-06-JUN.1.

(15 minutos)

Se necesita seleccionar una bomba para regar la huerta de un caserío. Para disponer de agua para riego, el dueño ha construido un depósito de hormigón donde se recogen las aguas de lluvia. El nivel del agua en este depósito se sitúa a 1 [m] por debajo del suelo. La huerta se riega con una manguera que en toda su extensión tiene 6 [mm] de diámetro. Debido a su avanzada edad, el dueño suele regar sentado, sosteniendo con su mano la boquilla de la manguera por donde sale el agua a 1 [m] de altura sobre el suelo. A fin de poder llegar a todos los extremos de su huerta, necesita que el agua salga a gran velocidad. Para ello, se dispone de un modelo de bomba de 250 [mm] cuyas curvas características a 2900 [r.p.m.] son de la forma:

H = C0 + C1 ⋅ Q2 η = E0 ⋅ Q + E1 ⋅ Q2 En esas expresiones los caudales están en [L/min], la altura en [m C.A.] y el rendimiento en [-] para los coeficientes según la siguiente Tabla: DIÁMETRO [mm] 250

C0 54,27

C1 – 0,0107

E0 0,0339

E1 – 0,00047348

El motor eléctrico que acciona la bomba tiene un rendimiento de 0,8 [-] y se pretende que el caudal sea de 37,38 [L/min] para lo cual es necesario recortar la bomba. Calcular el grado de recorte necesario para lograrlo, el punto de funcionamiento y el indicador energético en [kW-h/m3] de la instalación.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2005-2006 - 83

05-06-SEP.1.

(45 minutos)

Se asume que la variación de la curva de NPSHR en función del caudal, de una bomba dada, se ajusta razonablemente bien a una expresión de segundo grado. Se conocen 3 puntos de dicha curva:

•

NPSHr = 2

[m C.A.],

para

Q = 1300

[L/h],

•

NPSHr = 3

[m C.A.],

para

Q = 3000

[L/h], y

•

NPSHr = 4

[m C.A.],

para

Q = 3600

[L/h].

La citada bomba se ha dispuesto en una instalación con el fin de elevar un caudal de 1500 [L/h]. Para la conducción de aspiración se ha seleccionado una tubería de PVC de 35 [mm] de diámetro y cuya longitud equivalente es de 10 [m], la pérdida de carga que se genera es 1,42 [m C.A.]. El depósito de aspiración se encuentra abierto a la atmósfera cuya presión se estima es 10,33 [m C.A.] y la presión de vapor a considerar es de 0,24 [m C.A.]. La bomba se sitúa a 7,5 [m] por encima del nivel del depósito de aspiración. En estas condiciones, se pide determinar si la bomba trabaja en cavitación o no, razonando la respuesta.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2005-2006 - 84

05-06-SEP.2.

(60 minutos)

En un proceso industrial se dispone una instalación de elevación de agua dotada de una bomba axial con su circuito según el esquema de la Figura A. El motor de la bomba es asíncrono girando a 980 [r.p.m.] aproximadamente. Las curvas características de la bomba en función del caudal se incluyen en la Figura B (altura de impulsión, rendimiento y altura neta positiva de succión requerida: 3 [%]). La máquina puede trabajar a cualquier caudal de los indicados en las gráficas de la Figura B. El circuito hidráulico está constituido por tres tramos A (común), B (principal) y C (by-pass), cuyas características se adjuntan en la Tabla. En el circuito principal se dispone de una válvula de guarda y regulación de tipo compuerta sin reducción y diámetro 600 [mm]. En el by-pass la válvula es del mismo tipo pero de diámetro 300 [mm]. Las cotas de altimetría se indican en la Figura A. Como instrumentación del proceso se tiene un caudalímetro en la línea principal y un manómetro de Bourdon instalado en el eje de la tubería horizontal, en el tramo común (cota zT). Dicho manómetro está conectado a las tomas de presión z2. La máquina se encuentra funcionando en la actualidad en las siguientes condiciones de proceso:

• • •

Caudal del proceso en la línea principal: 0,7 [m3/s]. Presión leída en el manómetro: 93600 [Pa]. Temperatura del agua 12 [ºC] Se pide:

a)

b)

c)

Determinar el punto de funcionamiento de la bomba y la potencia mecánica. Nota.- Para el cálculo de la altura de impulsión suponer, en primera aproximación, que el término cinético en la rama común es doble que en la rama principal. Seleccionar el motor adecuado para la bomba, de entre los indicados en los ábacos, razonando la respuesta. Determinar la potencia eléctrica consumida por la bomba y el equivalente energético en el punto actual de funcionamiento. Determinar el grado de apertura de la compuerta del by-pass.

Un incidente provoca un descenso de 2 [m] en el nivel en el pozo de aspiración, lo que aconseja proceder al cierre del by-pass, dejando a su vez la válvula en el circuito principal a la apertura de 24 [%]. Se pide ahora, d) Determinar, razonadamente, el caudal en las nuevas condiciones de operación.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2005-2006 - 85

Figura A. Instalación de bombeo

Tramos longitud equivalente (*) [m] rugosidad [mm] diámetro interno [m] coeficiente K de pérdidas [m C.A. / (m3/s)2]

A 20

0,6

B 100 0,24 0,6

0,34428

1,721416

C 40 0,15 0,3

(*) Considerando todas las pérdidas de carga salvo las corresponientes a las válvulas

Tabla. Características de cada tramo

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2005-2006 - 86 Característica H-Q de bomba axial. 30,0 28,0 26,0 24,0

H [m C.A.]

22,0 20,0 18,0 16,0 14,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

1,20

1,30

1,40

1,50

1,20

1,30

1,40

1,50

3

Q [m /s] Característica η-Q de bomba axial. 0,9 0,8 0,7

η [-]

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

3

Q [m /s] Característica NPSHr-Q de bomba axial. 15,0

NPSHr [m C.A.]

14,0 13,0 12,0 11,0 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

3

Q [m /s] Figura B. Curvas características de la bomba

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2006-2007 - 87

Exámenes: 2006-2007 06-07-FEB.1.

(60 minutos)

Una Estación de Bombeo equipada con tres bombas iguales conectadas en paralelo aspira agua del depósito de agua filtrada a la salida de una planta potabilizadora y la inyecta en un sistema hidráulico. La superficie libre en el depósito está a una cota de 2,85 [m] por debajo del eje de las bombas. El régimen de funcionamiento de la estación de bombeo varía en función del consumo, de tal manera que, a lo largo del día pueden llegar a funcionar una, dos o las tres bombas simultáneamente. Dado el desconocimiento del sistema hidráulico se han realizado una serie de medidas en la Estación de Bombeo a fin de caracterizarlo. De esta manera se han medido el caudal inyectado por el conjunto de bombas en diferentes instantes del día, la presión en el colector de aspiración y en el de impulsión de las bombas en paralelo y la potencia consumida por cada una de ellas, observándose los siguientes valores: Bomba1 Bomba2 Bomba3 Caudal [m3/s] pasp [m C.A.] pimp [m C.A.] Potencia [kW] Abierta Abierta

Abierta Abierta

Abierta Cerrada

0,431 0,394

-4,15 -3,94

50,72 46,35

112,7 125

Se pide: a) Obtener la curva resistente de la instalación supuesta del tipo Hr = Hg + k ⋅ Q2, calculando la característica resistente del tramo de aspiración y del de impulsión. b) Curvas H-Q (supuesta del tipo H = A – B ⋅ Q2) y η-Q (supuesta como η = E ⋅ Q – F ⋅ Q2) de cada una de las bombas. Durante la noche, en que los consumos caen, sólo está en marcha una de las bombas. Los técnicos que están a cargo de la estación de bombeo han notado que en este periodo los equipos producen un ruido parecido a un martilleo metálico que les hace sospechar que algo no funciona correctamente. Es por ello que han vuelto a medir observando los siguientes valores: Bomba1 Bomba2 Bomba3 Caudal [m3/s] pasp [m C.A.]pimp [m C.A.] Potencia [kW] Abierta

c) d)

e)

Cerrada

Cerrada

0,25

-3,29

33,08

139,3

Justificar cuál es la causa del martilleo y calcular el rendimiento registrado en la bomba en estas condiciones. Sabiendo que en el caso anterior el Salto Neto de Succión Requerido tiene la siguiente expresión: NPSHr = 4,145 + 41,06 ⋅ Q2, establecer la nueva velocidad de giro de la bomba para que no se produzca el fenómeno de cavitación, sabiendo que la velocidad nominal es de 1450 [r.p.m.]. Determinar la relación λ de recorte de rodete a aplicar para que, girando a la velocidad nominal, no se produzca cavitación.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2006-2007 - 88

06-07-FEB.2.

(35 minutos)

Se tiene la bomba centrífuga cuyas curvas características a 1490 [r.p.m.] son respectivamente: H = 21,15 + 2,23 ⋅ Q – 0, 538 ⋅ Q2 Pmecánica = 0,6091 – 0,0114 ⋅ Q + 0,0045 ⋅ Q2

H viene en [m C.A.], los caudales en [m3/h] y la potencia en el eje (potencia mecánica) en [kW]. Se pretende trabajar en un circuito cerrado – sin desniveles – que alimenta de agua a un pequeño intercambiador de calor y las pérdidas en el circuito son de la forma K ⋅ Q2. A válvula abierta, la bomba funciona 3000 [h/año] a una velocidad en torno a 1490 [r.p.m.], con K de valor 0,1 [m C.A./(m3/h)2]. El resto de los distintos puntos de funcionamiento se regulan por cambio en la velocidad de rotación de la bomba a válvula abierta para lo cual se pone un inversor de frecuencia que presenta un rendimiento constante de valor 0,93 [-]. Estos caudales de trabajo adicionales son 6 [m3/h], 8 [m3/h], 10 [m3/h], 12 [m3/h] y durante un año medio la bomba trabaja 100 horas a 6 [m3/h], 125 a 8 [m3/h], 250 a 10 [m3/h] y 500 a 12 [m3/h]. A partir de la pareja siguiente de números π: π1 = Q/(D3⋅N), a) π2 = g⋅H/(D2⋅N2), obtener el número π correspondiente a la relación de potencias entre dos puntos semejantes. b) Calcular a partir de las curvas H(Q) y Pm(Q) dadas a 1490 [r.p.m.], las curvas H(Q,N) y Pm(Q,N) de esta misma bomba a cualquier velocidad de giro N. c) Seleccionar el motor a acoplar al rodete con potencias nominales y rendimientos señalados en la tabla adjunta (N = 1490 [r.p.m.]) para distintas fracciones de carga. El criterio para la selección del motor es sobredimensionar respecto a la potencia en el eje requerida a válvula abierta en un 20 [%] y elegir a continuación el motor más cercano de la tabla. d) Determinar los puntos de funcionamiento y la energía específica de la instalación. potencia Factor de carga [-] VÁLVULA mecánica 4/4 3/4 2/4 INTERCAMBIADOR nominal rendimiento [%] [kW] 0,18 64 60 52 0,25 66 63 56 0,37 69 67 59 0,55 70 70 65 0,75 72 72 65 1,1 75 75 72 1,5 75 74 73 2,2 80 80 78 3 81 81 79 4 83 82 81 5,5 85 84 80 NOTA 1.- Como los distintos puntos de funcionamiento, se suceden continuamente, el inversor está conectado todo el tiempo. NOTA 2.- Para los rendimientos del motor, interpolar o extrapolar según proceda.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2006-2007 - 89

06-07-FEB.3.

(40 minutos)

La Central Hidroeléctrica de Aschach (Austria) se construyó entre los años 1959 y 1964, constituyendo la segunda central austriaca ubicada en el río Danubio. Consta de un total de 4 turbinas iguales, detallándose a continuación los datos relacionados para una única turbina. En condiciones normales de funcionamiento, cada turbina dispone de un salto neto de H = 17,5 [m], y el caudal que circula a su través es de Q = 455 [m3/s], desarrollando una potencia de 73 [MW]. La turbina se encuentra acoplada a un alternador de 44 pares de polos que tiene una potencia límite de 85 [MVA] y un rendimiento (de alternador) que se puede considerar constante e igual a ηa = 98,75 [%]. Se pide, siempre para un único grupo: a) b) c) d) e)

f)

Calcular el rendimiento de la turbina y la potencia eléctrica, para los datos facilitados en el párrafo anterior. Si en las condiciones de funcionamiento el salto bruto es de 18,5 [m] y el conducto de alimentación a la turbina tiene una longitud 5 [m], calcular el coeficiente K de pérdidas de dicho conducto. Calcular nq (velocidad específica de Brauer) y ν (velocidad específica científica). Determinar el tipo de turbina y dimensiones básicas: diámetro(s) del rodete, altura del distribuidor y número de álabes. Si el modelo reducido empleado en la fase de diseño para los ensayos de laboratorio era 4 veces más pequeño que la máquina prototipo final y los ensayos llevados a cabo entonces se realizaron a la misma velocidad de giro que en las condiciones de prototipo, determinar el rendimiento de dicho modelo en el punto de funcionamiento semejante al descrito en el segundo párrafo (utilizar la fórmula de revalorización actual propuesta por CEI). La cota de implantación real del rodete se encuentra 3,5 [m] por debajo del nivel de restitución (canal de desagüe). Comentar la idoneidad de dicha implantación de acuerdo con las estadísticas relevantes.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2006-2007 - 90

06-07-JUN.1.

(40 minutos)

Los turistas que se acercaron a mediados de abril a conocer de cerca el Palacio Euskalduna se llevaron una pequeña decepción al comprobar que el estanque que bordea el gran edificio no está unido a la Ría, tal y como se aprecia en la Figura 1. Dicho estanque se encontraba vacío ya que se limpia de forma periódica y le ha tocado esta primavera.

Figura 1. Estanque del palacio Euskalduna En efecto, para poder limpiar todas las paredes del estanque adecuadamente se procede en primer lugar al vaciado del mismo y cuando las tareas de limpieza finalizan se vuelve a llenar. El estanque ocupa un área aproximada de 7000 [m2] y, cuando se encuentra lleno, tiene una profundidad de 1,40 [m] más o menos constante en toda su extensión. Para que el proceso de vaciado sea rápido se propone el uso una bomba, modelo BF-75 con rodete de 711 [mm] girando a 485 [r.p.m.], cuyas curvas características se adjuntan. La bomba dispone de un circuito hidráulico que vierte el agua directamente a la ría descargando a la atmósfera (ver Figura 2). Las pérdidas de carga en la tubería de aspiración se pueden calcular, en cualquier instante del bombeo, mediante una constante de pérdidas de carga de valor Kasp = 1,2 [m C.A./(m3/s)2] y, de igual forma, las de la tubería de impulsión mediante Kimp = 0,5 [m C.A./(m3/s)2]. Ambos conductos tienen un diámetro interior de valor Dint = 0,7 [m]. Suponiendo que el nivel del estanque permanece constante para cada uno de los instantes estudiados, se pide: 1. Determinar gráficamente los puntos extremos de funcionamiento de la bomba, es decir: al principio del proceso de vaciado con el estanque completamente lleno, z = 1,4 [m], y al final del mismo con el estanque prácticamente vacío, z ≈ 0 [m]. Definir en cada caso H, Q y η. (ENTREGAR LA GRÁFICA) 2. Calcular el tiempo necesario para vaciar el estanque, suponiendo que el caudal medio del bombeo se corresponde con la media entre los caudales correspondientes a los puntos extremos calculados en el apartado anterior.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2006-2007 - 91

3. Calcular el equivalente energético de la instalación en [kW-h/m3], tomando nuevamente valores medios para la altura de impulsión y el rendimiento hidráulico, si en el rango de operación el motor acoplado tiene un rendimiento medio de valor 92 [%]. 4. Comprobar el correcto funcionamiento de la bomba en los dos puntos extremos, dando credibilidad a los datos proporcionados por el fabricante para la altura de succión neta positiva requerida por la bomba. 5. Si se quisiera reducir el tiempo de vaciado a la mitad, ¿bastaría con colocar en paralelo otra bomba idéntica a la anterior con su circuito hidráulico correspondiente? Responder razonadamente sin realizar ningún cálculo. 6. Calcular la velocidad específica de la bomba a partir de los valores de H y Q del punto óptimo de funcionamiento de la bomba para el diámetro de 711 [mm]. 7. Si se diseñara una máquina 1,4 veces más grande semejante a la anterior y se hiciera girar a 1000 [r.p.m.], ¿qué altura y qué caudal se obtendrían en el punto óptimo de funcionamiento de la nueva bomba? Calcular la velocidad específica de la nueva bomba en ese punto. Datos.-

g = 9,81 [m/s2]

pbarométrica = 101300 [Pa]

ρw = 1000 [kg/m3]

0,6 [m]

psaturación = 2339 [Pa]

0,8 [m]

ESTANQUE

RÍA

1,4 [m]

Figura 2. Esquema del bombeo

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2006-2007 - 92

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2006-2007 - 93

06-07-JUN.2.

(40 minutos)

En una central hidroeléctrica rehabilitada en 1985, se instala una turbina Francis. El salto bruto disponible es de 105 [m] y el caudal de equipamiento es de 20 [m3/s]. La turbina está directamente acoplada a un alternador síncrono y las pérdidas en la conducción hasta la entrada de la turbina son de 5 [m C.A.]. El coeficiente de velocidad Kcm2, obtenido a partir de mediciones directas en planta tiene un valor de 0,255 [-]. 1. Calcular el diámetro D2 (D2e) a la salida del rodete.(2 ptos) 2. En base a las estadísticas disponibles, estimar la velocidad de giro de la turbina bajo la condición de sincronismo.(2 ptos) 3. Recalcular los valores reales (no estadísticos) de Ku2 y u2 .(2 ptos) 4. Si el ángulo a la salida α2 vale 85 [º], calcular la fracción de la energía cinética contenida en el agua a la salida de la rueda que no se recupera y se invierte en generar un remolino.(2 ptos)

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2006-2007 - 94

06-07-JUN.3.

(40 minutos)

Una bomba centrífuga toma agua de un depósito de aspiración y a la impulsa hasta otro depósito, a través de un circuito resistente cuya curva característica es del tipo Hr = Hg + r ⋅ Q2. Para modificar el punto de funcionamiento de la bomba se dispone de dos válvulas reguladoras a la salida, una en serie, A, y la otra en derivación, B, que devuelve el agua al depósito de aspiración, según muestra la Figura mostrada a continuación:

El conjunto bomba-válvula está equipado con un medidor de caudal a la salida y con tres manómetros, ubicados en las posiciones mostradas en la figura. Asimismo es posible medir la potencia absorbida por la bomba en cada punto de trabajo por diferencia de lecturas en el vatímetro de activa durante un tiempo determinado. Estando la válvula B cerrada se ensaya la instalación, primero con la válvula A abierta y luego con la válvula A parcialmente cerrada, obteniendo los siguientes resultados: Q1 = 70 [L/s]

pe1 / γ = -1,4 [m]

ps1 / γ = 35,6 [m]

pv1 / γ = 34,6 [m]

∆E1 = 0,564 [kW.h/min]

Q2 = 40 [L/s] pe2 / γ = +0,2 [m] ps2 / γ = 49,3 [m]

pv2 / γ = 29,7 [m]

∆E2 = 0,493 [kW.h/min]

Se sabe además que en las cercanías del punto de trabajo, la curva característica de la bomba se puede ajustar mediante una función del tipo Hb = C – D ⋅ Q2, y su curva de rendimientos mediante una función del tipo η = E ⋅ Q – F ⋅ Q2, se pide determinar: a) La altura de impulsión desde el eje de la bomba hasta el nivel de descarga y la altura de dicho eje respecto al nivel de aspiración. b) Los coeficientes de resistencia del tramo de aspiración, y del tramo de impulsión a válvula abierta. c) La curva característica de la bomba y su punto óptimo de trabajo.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2006-2007 - 95

06-07-SEP.1.

(40 minutos)

Se dispone de la bomba ACUARIA 30 con 6 etapas y girando a 2900 [r.p.m.], con curvas características según la figura adjunta, siendo rendimientos y potencias los correspondientes a una sola etapa. 1. Determinar el rendimiento con el que funciona el motor eléctrico que acciona la bomba en el punto de máximo rendimiento (2 ptos). 2. Determinar el equivalente energético de la instalación cuando extrae agua de un pozo venciendo un desnivel de 68 [m] a través de una conducción sin practicamente fricción (2 ptos). 3. Si el diámetro externo de cada rodete es 145 [mm], calcular el coeficiente óptimo de velocidad de la velocidad lineal de la rueda a la salida U2 (2 ptos). 4. Si la anchura de boca del rodete es de 2 [cm] y los álabes ocupan el 15 [%] de la sección de salida, calcular el coeficiente óptimo de velocidad para la componente meridiana a la salida Cm2 (2 ptos).

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2006-2007 - 96

06-07-SEP.2.

(40 minutos)

Desde principios del siglo XX se comenzaron a contemplar las posibilidades hidroeléctricas del cañón del Duero. Hoy en día, uno de los aprovechamientos más importantes lo constituye la Central Hidroeléctrica de Aldeadávila (Salamanca). El 30 de diciembre de 1963 entraba en funcionamiento el último de los 6 grupos idénticos de la primera fase denominada Aldeadávila I. En condiciones normales de funcionamiento, estas 6 turbinas disponen de un salto bruto de Hb = 139,83 [m], y el consumo de agua total de la instalación a plena carga asciende a 615,5 [m3/s], desarrollando una potencia mecánica total (nominal) de 750220 [kW]. Cada turbina se encuentra acoplada a un alternador y cada alternador consta de 16 pares de polos con 119700 [kW] de potencia nominal. El suministro de agua a las turbinas se hace a través de 6 tuberías forzadas excavadas en roca de 5 [m] de diámetro y 184 [m] de longitud cada una con un coeficiente de fricción de valor f ≈ 0,04 [-] más menos constante. Las pérdidas de carga secundarias en cada una de esas tuberías pueden estimarse considerando una longitud equivalente de 55 [m]. Se pide, en las condiciones descritas y siempre para un único grupo: 1. Calcular el salto neto. 2. Calcular la potencia hidráulica, el rendimiento de la turbina, el rendimiento del alternador y el rendimiento global del grupo. 3. Calcular nq (velocidad específica de Brauer) y ν (velocidad específica científica). 4. Determinar el tipo de turbina y estimar las dimensiones básicas: diámetro(s) del rodete y altura del distribuidor. 5. Si el modelo reducido empleado en la fase de diseño para los ensayos de laboratorio era 3 veces más pequeño que la máquina prototipo final y los ensayos llevados a cabo entonces se realizaron a 375 [r.p.m.], determinar el rendimiento de dicho modelo en el punto de funcionamiento semejante al descrito (utilizar la fórmula de revalorización actual propuesta por CEI). 6. La cota de implantación real del rodete se encuentra aproximadamente 7,5 [m] por debajo del nivel de restitución (canal de desagüe). Comentar la idoneidad de dicha implantación de acuerdo con las estadísticas relevantes. Datos: g = 9,81 [m/s2]

pb = 101300 [Pa] Agua: νW = 1 ⋅ 10 -6 [m2/s]

pv = 2339 [Pa] Vista panorámica de la presa de Aldeadávila

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2006-2007 - 97

06-07-SEP.3.

(50 minutos)

Una bomba, cuyas curvas características a la velocidad de giro nominal N = 2900 [r.p.m.], y en el rango útil de operación, son las siguientes:

H = 50 + 31,25 ⋅ Q – 312,5 ⋅ Q2 Peje = 30 + 150 ⋅ Q + 2000 ⋅ Q2 Con H en [m], Q en [m3/s] y P en [kW], eleva agua desde el depósito inferior A hasta el depósito superior B, desde el que se suministra el caudal Qd. A la salida de la bomba se dispone de un manómetro M, una válvula de by-pass V1 que retorna el agua al depósito de aspiración, una válvula de regulación V2, y una válvula de retención VR, por este orden, como muestra la Figura.

Se pide: a) Obtener las curvas resistentes de la tubería de impulsión y del by-pass a partir de las siguientes lecturas del manómetro M, realizadas para diferentes posiciones de las válvulas V1 y V2: Punto Válvula V1 Válvula V2 Lectura en M [kp/cm2] P1 Abierta Cerrada 5 P2 Cerrada Abierta 5 P3 Abierta Abierta 4.7 Nota: Se despreciarán las pérdidas en la aspiración

b) Determinar el par absorbido por la bomba y su velocidad de giro en el momento en que se abra la VR, para el caso de un arranque con la válvula del by-pass cerrada, y para el caso de un arranque con la válvula del by-pass abierta. c) Determinar el modo de funcionamiento del sistema si del depósito B se extrajera un caudal constante de Qd = 10 [L/s], estando la válvula V1 cerrada y la V2 abierta. Nota.- se supondrá que el nivel del depósito B puede fluctuar en cualquier rango requerido sin desbordar. En cuanto al depósito A se supondrá que su nivel es invariable.

d) ¿Sería posible, actuando sobre la válvula V1, suministrar desde el depósito cualquier caudal Qd con un funcionamiento estable de la bomba? Justificar la respuesta y determinar en caso afirmativo la posición de la válvula que garantizaría esta condición.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2007-2008 - 98

Exámenes: 2007-2008 07-08-FEB.1.

(30 minutos)

Una turbina Kaplan tiene las curvas de colina que se adjuntan expresadas en función de los coeficientes científicos de caudal ф y de energía Ψ. El desnivel geométrico característico o nominal del aprovechamiento es de 10 [m] y el caudal nominal asociado es de 0,1 [m3/s]. Hasta entrada de turbina las pérdidas tienen una constante K = 30 [m C.A. ⋅ (m3/s)-2] y el alternador conectado tiene un par de polos. El diámetro del rodete es de 16,93 [cm]. Se pide: 1. Para el salto bruto nominal, determinar los saltos netos (1 pto), rendimientos (1 pto), grados de apertura del distribuidor (α) (1 pto) y orientación de las aletas del rodete (β) (1 pto) correspondientes a unos caudales de valor 0,05 [m3/s], 0,1 [m3/s] y 0,15 [m3/s]. 2. Para un caudal fijo de 0,12 [m3/s] calcular con qué desniveles geométricos aprovechables ocurre que se trabajará con rendimientos de exactamente el 91 [%] (4 ptos).

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2007-2008 - 99

07-08-FEB.2.

(45 minutos)

Se está diseñando el sistema contra incendios de un caserío situado en un monte, el cual está constituido por un depósito a presión, una bomba, una tubería de impulsión horizontal, y 6 aspersores conectados mediante una tubería como se muestra en la figura.

KII 0,2 [kg/cm2]

KII 32 [m] KII KI

KI

KI

B

Al final de la tubería de impulsión se coloca el primer aspersor y formando un ángulo recto con esta tubería se coloca la tubería que conecta con el resto de los aspersores. Se puede considerar que cuando el sistema está en funcionamiento, por los 6 aspersores sale el mismo caudal. La diferencia de cotas entre el aspersor más alto y el nivel del depósito es 32 [m], estando el depósito presurizado a la presión de 0,2 [kg/cm2]. La parte de la tubería que conecta el aspersor más alto y los dos siguientes tienen una constante de pérdidas igual a K II = 50000 [m C.A./(m3/s)2] en cada tramo, mientras que tanto la tubería de impulsión horizontal como el resto de los tramos de los aspersores tienen unas pérdidas proporcionales a la constante 3 2 K I = 21650 [m C.A./(m /s) ]. El diámetro de la boquilla de salida del aspersor es 5 [cm]. Las pérdidas secundarias pueden considerarse despreciables.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2007-2008 - 100

Existen varias posibilidades para acometer la instalación que garantizan que se apague el incendio: a) Colocar una única bomba cuyas curvas características son: Q [m3/s] 0 0,028 0,014

H [m] 50 0 35

η [%] 0 0 75

b) Colocar dos bombas iguales en serie, siendo las características de una de ellas:

H = 26,20 − 4808,16 ⋅ Q 2

η = 93,6 ⋅ Q − 2293,92 ⋅ Q 2

y

(H [m], Q [m3/s] y η [-])

c) Colocar dos bombas iguales en paralelo, siendo las características de una de ellas: (H [m] y Q [m3/s])

H = 40 − 19440 ⋅ Q 2 y la gráfica η-Q

1 0,9

rendimiento

0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

3

Q (m /s)

Teniendo en cuenta la siguiente tabla en la que se indican los costes de energía y de agua y que el sistema funciona en cada incendio un promedio de 2 horas, ¿cuál es el coste en cada una de las opciones? ¿Cuál es la opción más rentable sin tener en cuenta el coste inicial de las bombas? [kW-h] [m3] de agua

Coste [€] 0,20 0,15

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2007-2008 - 101

07-08-JUN.1.

(40 minutos)

La figura muestra la colina de rendimientos de una turbina de acuerdo con los coeficientes unitarios tradicionales n11-Q11, (velocidad unitaria-caudal unitario). La turbina se encuentra acoplada a un alternador de 25 pares de polos de forma que el punto de funcionamiento óptimo se corresponde con un salto neto de 45 [m]. a) Calcular el diámetro de la turbina, así como el caudal y la potencia mecánica en el punto de funcionamiento óptimo. b) Indicar el tipo de turbina. c) Determinar gráficamente la colina parcial de rendimiento para el salto neto del punto óptimo. d) Si el punto de funcionamiento nominal tiene el mismo salto neto que el punto de funcionamiento óptimo y un caudal un 10 [%] superior a éste, determinar la potencia mecánica nominal desarrollada por la turbina. Los ensayos previos en modelo se han realizado con una máquina 5 veces más pequeña que el prototipo girando a 300 [r.p.m.] con agua aproximadamente a la misma temperatura. e) Determinar el salto neto y el caudal del punto de funcionamiento óptimo en modelo. f) Verificar que el modelo y el prototipo son máquinas semejantes.

Nota.- NO considerar en ningún caso los posibles efectos de escala.

1,0

0,9

0,8

Q11 [m0,5 ⋅ s–1]

0,7

0,6 0,5 70

80

90 0,5

n11 [m

⋅ r.p.m.]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

100

Exámenes: 2007-2008 - 102

07-08-JUN.2.

(30 minutos)

La instalación de la figura nos muestra una estación de bombeo en una instalación existente. Por defecto de proyecto, la instalación dispone de una tubería de aspiración de diámetro insuficiente. Además, dispone de una válvula de regulación situada antes de la bomba por lo cual las probabilidades de que en la bomba aparezca el fenómeno de cavitación son elevadas.

Se sabe que las características de la bomba son (en [m C.A.]):

Hb = 60 – 5208 ⋅ Q2 (Q en [m3/s]) NPSHr = 5 – 600 ⋅ Q + 30208 ⋅ Q2 (Q en [m3/s]) De la instalación se sabe que la tubería de aspiración tiene un diámetro de 80 [mm], y una longitud de 14 [m], la tubería de impulsió tiene 951 [m] de longitud y un diámetro de 250 [mm], y ambas dos tuberías tienen un factor de fricción f = 0,02 [-]. Además, se sabe que la válvula no introduce pérdidas cuando está completamente abierta. Se pide: a) Determinar el punto de funcionamiento de la instalación cuando la válvula de regulación está totalmente abierta. b) Determinar el grado de cierre de la válvula (a través de la k de pérdidas en la misma) para que no se produzca cavitación en la instalación. c) Calcular el diámetro de la tubería de aspiración para que no se produzca cavitación a válvula abierta. Nota.- suponer que la tensión de vapor del agua a la temperatura de trabajo es de – 10 [m C.A.]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2007-2008 - 103

07-08-JUN.3.

(20 minutos)

Un salto bruto de 270 [m] es utilizado para una central hidroeléctrica, y es entregado a una sala de máquinas a través de 3 tuberías de 2,4 [km] de longitud (colocadas en paralelo), en cada una de las cuales las pérdidas por fricción son de 24 [m C.A.]. Se decide instalar un número determinado de rodetes Pelton de chorro simple, con una velocidad específica dimensional Ns, que no exceda de 38 [*] cuando la potencia está en [C.V.], para producir una potencia total en el eje (potencia mecánica) de 18000 [C.V.] y cada rodete va acoplado a un eje. El alternador conectado tiene 5 pares de polos y la relación entre la velocidad del álabe y la del chorro es 0,46 [-]. Suponer que el rendimiento global de los rodetes es 0,87 [-] y que las boquillas tienen un coeficiente de velocidad cv = 0,97 [-]. Determinar: a) El número de ruedas Pelton a instalar y la velocidad específica. (2,5 puntos) b) El diámetro de la rueda. (1,75 puntos) c) El diámetro del chorro. (1,75 puntos) d) El diámetro de las tuberías de suministro. (2 puntos) NOTA.- suponer que el coeficiente de fricción f = 0,006 [-] y que las pérdidas secundarias en toda la instalación son despreciables.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2007-2008 - 104

07-08-SEP.1.

(40 minutos)

“Tras las líneas vanguardistas que han hecho famosa y reconocible la bóveda de una estación subterránea del metro de Bilbao, se esconde una compleja red de conducciones que hacen circular el agua procedente de acuíferos y de las abundantes lluvias. Este caudal de agua limpia es bombeado y reconducido a la red principal del Consorcio de Aguas a través de un potente sistema de drenaje que cuenta con 44 pozos y 88 bombas, distribuidos a lo largo de los 17,5 kilómetros de túnel. (…) En lugar de impermeabilizar totalmente el túnel, se optó por reconducir el agua. Unas pequeñas perforaciones en el hormigón permiten que el líquido circule por unas conducciones interiores alojadas entre las distintas capas de hormigón y el material aislante. Un canal central, situado bajo la plataforma de la vía, recoge esta agua para conducirla a uno de los pozos desplegados en el tramo subterráneo. Una vez en los depósitos, las bombas impulsan el agua hasta la red general del Consorcio de Aguas.”

Metroberri 48, diciembre de 2007

Supóngase que uno de los pozos existentes en el tramo subterráneo del metro de Bilbao está dotado de tres bombas idénticas conectadas tal y como aparecen en la figura. En un momento determinado el nivel de agua alcanzado en dicho pozo activa automáticamente el dispositivo de encendido y las tres bombas se ponen en marcha simultáneamente para expulsar el agua almacenada en el interior del pozo. Las curvas características con Q en [m3/s] de una única bomba girando a 2900 [r.p.m.] se ajustan razonablemente bien a las siguientes expresiones:

H = 100 – 6 ⋅ 104 ⋅ Q2

[m C.A.]

η = 73,49 ⋅ Q – 1800 ⋅ Q2

[-]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2007-2008 - 105

El circuito hidráulico está diseñado de forma que debe vencer los 50 [m] de desnivel existentes entre el pozo subterráneo de grandes dimensiones que se encuentra a presión atmosférica y la conexión a la red general. El agua bombeada debe incorporarse a dicho punto de conexión con una presión relativa de 4,905 ⋅ 104 [Pa], siendo el término cinético en dicho punto despreciable. Las pérdidas de carga secundarias del circuito y las pérdidas de carga primarias de las tuberías de impulsión de cada bomba son despreciables. Así, las pérdidas de carga del circuito se concentran básicamente en la tubería común que se incorpora a la red general y se pueden estimar utilizando el caudal total bombeado mediante constante K = 3500 [m C.A./ (m3/s)2].

Se pide: a) Calcular el caudal desalojado del pozo. b) Si el rendimiento de los motores que accionan las bombas se puede considerar constante y de valor 90 [%], calcular el equivalente energético de la instalación en [kW-h/m3]. Accidentalmente se estropea una de las tres bombas. Si se desea evacuar el mismo caudal del pozo mediante las dos bombas que quedan operativas: c) Calcular la velocidad de giro a la que habría que hacerlas girar. d) Calcular el nuevo equivalente energético suponiendo que el rendimiento de los motores se mantiene constante.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2007-2008 - 106

07-08-SEP.2.

(30 minutos)

Hacer el dimensionado aproximado de la turbina Pelton con cuatro inyectores de la figura, correspondiente a la central de CUBATAO (Brasil).

Los datos para la potencia normal de funcionamiento son los siguientes:

H = 684

[m]

Pe* = 60000

[C.V.]

N = 450

[r.p.m.]

Se estima un rendimiento del 86 [%].

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2007-2008 - 107

07-08-SEP.3.

(45 minutos)

Un circuito de refrigeración está constituido por una bomba de circulación, con intercambiadores de 150 tubos en paralelo de 10 [mm] de diámetro interior y la tubería de unión entre ambos equipos. En el intercambiador el agua a refrigerar circula a 4 [m/s] y la longitud de los tubos es de 2 [m]. La tubería de unión bomba-intercambiador tiene una longitud equivalente de 200 [m], la velocidad del agua es de 3 [m/s] y el material de los tubos del intercambiador y de la tubería es acero comercial (ε = 0,040 [mm]). La curva característica de la bomba es tal que Hm, MAX = 58,8 [m] con Q = 0 [m3/s] en su punto máximo. Todo el circuito está situado en un plano horizontal y los términos cinéticos y de presión se pueden considerar despreciables.

Se pide: a) Altura manométrica, caudal de la bomba y potencia del motor para el rendimiento óptimo del 72,5 [%]. (2 puntos) b) Coeficiente K de la curva de pérdida de carga en la tubería ∆H = K ⋅ Q2. (1 punto) c) Se colocan 2 circuitos iguales en paralelo alimentados por la misma bomba. Hallar la velocidad de rotación de la bomba si la actual es de N = 500 [r.p.m.] para mantener la velocidad del fluido en el intercambiador. (2 puntos) d) Si en el circuito inicial se reemplaza el agua del intercambiador por un aceite que tiene un peso específico de 850 [kgf/m3] y una viscosidad cinemática de 12 [cSt]. Calcular el nuevo punto de funcionamiento (altura, caudal y potencia del motor) teniendo en cuenta los efectos viscosos. (3 puntos)

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2008-2009 - 108

Exámenes: 2008-2009 08-09-FEB.1.

(15 minutos)

Una turbina Francis cuyo diámetro a la salida es de 1,9 m funciona en un emplazamiento con un caudal de 14,134 m3/s y salto neto de 300 m C.A. en el punto óptimo. Las pérdidas en la conducción hasta entrada de turbina son despreciables. Este punto se corresponde con un grado de apertura del distribuidor del 75 %, estando la rueda conectada a un alternador de 5 pares de polos. La curva de colina adjunta (potencia (%) Eje X – salto neto (%) Eje Y) se corresponde a las turbinas de velocidad específica igual la del emplazamiento según el Bureau of Reclamation. Se pide: 1. Velocidad específica de Cammerer (potencia en kW) (1 punto), Brauer (1 punto) y notación científica de la turbina (1 punto). 2. Para el mismo salto neto, expresar por medio de los coeficientes científicos de caudal (2,5 puntos) y energía (2,5 puntos) el valor del punto correspondiente a un grado de apertura del 85 %.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2008-2009 - 109

08-09-FEB.2.

(20 minutos)

Se está evaluando la posibilidad de llevar a cabo un proceso químico delicado que se sabe será más eficiente en condiciones de gravedad reducida. Por ello, de manera prospectiva, se está realizando un diseño preliminar de lo que quizás en un futuro será una planta de esas características en una base lunar donde la gravedad es aproximadamente 6 veces inferior a la de la Tierra. Uno de los elementos de dicha planta es un sistema de refrigeración. Para ello, se piensa emplear un refrigerante de densidad 600 kg/m3 que se mueve en un circuito cerrado accionado por una bomba. Las condiciones de operación lunares requieren que la bomba instalada en dicho circuito cerrado, girando a 990 r.p.m. impulse un caudal de 80 m3/h proporcionando una altura manométrica de 234,64 m C.L.. Para tal fin, se dispone de una bomba centrífuga construida en base a un modelo cuyo rodete tiene un diámetro de 200 mm. Los ensayos en este modelo se han realizado en la Tierra a 2900 r.p.m. usando el mismo refrigerante (densidad 600 kg/m3) que se ha pensado utilizar en su día en la base lunar. La bomba modelo se ensaya en laboratorio, existiendo un vacuómetro en la aspiración y un manómetro en la impulsión. Las tuberías de impulsión y aspiración tienen el mismo diámetro y las cotas a la entrada y salida de la bomba son prácticamente iguales. Las mediciones para los distintos caudales de funcionamiento son las de la tabla adjunta. Q m3/h 1,8 2,4 3 3,6 4,2 4,8 5,4 6 6,6 7,2 7,8 8,4 9

Vac. m C.L. 0,9 1,1 1,3 1,6 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,5 2,7 2,9

Man. m C.L. 54,1 53,4 52,2 50,4 49,2 47,6 46,0 43,9 42,3 40,2 38,0 35,8 33,1

Por su parte, la curva de rendimiento de la bomba modelo es:

η = 0,1956 ⋅ Q – 0,0123 ⋅ Q2

, con Q en m3/h

La máquina que basada en este modelo se deberá construir e instalar en la base lunar es un prototipo cuyo rodete tiene un diámetro de 600 mm. Se pide: 1. El punto semejante al de funcionamiento del prototipo en la Luna correspondiente a la máquina modelo funcionando en la Tierra. 2. Se considera trabajar en un segundo punto en la Luna correspondiente a caudal 72 m3/h y H = 764,13 m C.L.. A tal fin, se modifica la característica del circuito, pero no se considera oportuno modificar la velocidad de giro del prototipo anterior y se decide realizar un acoplamiento de bombas en serie. ¿Cuántas bombas será necesario acoplar y con qué rendimiento funcionará el acoplamiento?

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2008-2009 - 110

08-09-FEB.3.

(40 minutos)

Una turbina Francis gira a 600 [r.p.m.] y en el punto de funcionamiento óptimo circula un caudal de 1 [m3/s]. En dicho punto de funcionamiento el ángulo de salida del distribuidor es de 12 [º] siendo despreciable la distorsión producida en el entrehierro existente entre el distribuidor y el rodete. El ángulo de salida del rodete es β2 = 45 [º]. Los diámetros medios de entrada y salida del rodete son de 1 [m] y 0,45 [m] respectivamente y a su vez, las secciones de paso entre álabes correspondientes a la entrada y a la salida del rodete son 0,14 [m2] y 0,09 [m2]. Si el rendimiento manométrico de la turbina es del 85 [%] y se admite que éste coincide prácticamente con el rendimiento global de la turbina, se pide calcular: a) Triángulos de velocidad a la entrada y a la salida del rodete. b) Salto neto. c) Par y potencia sobre el eje. d) Velocidad específica de Brauer. ¿Es correcta la elección de una turbina Francis para este aprovechamiento hidráulico? Para el diseño de la turbina en cuestión se han realizado ensayos en un modelo a escala 4 veces más pequeño que el prototipo y con una velocidad de giro de 3000 [r.p.m.]. Asumiendo efectos de escala entre los rendimientos obtenidos para modelo y prototipo, se pide: e) Estimar el rendimiento del modelo en el punto de funcionamiento óptimo de acuerdo con la fórmula de CEI tomando como referencia el diámetro a la salida del rodete.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2008-2009 - 111

08-09-JUN.1.

(45 minutos)

Se desea bombear agua desde un embalse inferior a uno superior, ambos de grandes dimensiones y a presión atmosférica. El nivel del embalse inferior oscila entre 100 [m] y 115 [m] sobre el nivel de mar, mientras que el embalse superior tiene un nivel mínimo de 130 [m] sobre el nivel de mar con la misma carrera que el embalse de aspiración inferior. El circuito hidráulico tiene las siguientes constantes de pérdidas de carga definidas para la tubería de aspiración y para la tubería de impulsión:

 m C.A.  K asp = 200  3 2   (m /s) 

y

 m C.A.  K imp = 800  3 2   (m /s) 

Se ha seleccionado la bomba a emplear y el fabricante ha facilitado las siguientes curvas características válidas para N = 1400 [r.p.m.] con Q en [m3/s]:

H = 60 − 1500 ⋅ Q 2

[m C.A.]

η = 16 ⋅ Q − 80 ⋅ Q 2

[-]

NPSH R = 5 − 140 ⋅ Q + 1000 ⋅ Q 2

[m C.A.]

Además el fabricante recomienda adoptar un margen de seguridad de 0,5 [m] a la hora de seleccionar la cota de implantación. a) Determinar los puntos de funcionamiento (H, Q, η) para los niveles extremos de los embalses. b) Determinar la cota de implantación de acuerdo con la información facilitada por el fabricante y compararla con las estadísticas existentes. Para las estadísticas, emplear el punto óptimo de funcionamiento. c) Determinar si en algún caso pueden producirse problemas de inestabilidad de bombeo. Se decide aumentar el caudal bombeado por el sistema. Se toma como referencia la situación en la que se tiene la mínima diferencia de cota entre los embalses, es decir, embalse superior vacío y embalse inferior lleno. En dicha situación se plantean dos posibilidades:

•

OPCIÓN A: colocar dos bombas iguales en paralelo sin variar la velocidad de giro. En este caso el rendimiento de los motores se puede estimar en 70 [%].

•

OPCIÓN B: elevar la velocidad de giro de una única bomba hasta obtener el mismo punto de funcionamiento (H, Q) que para el caso de la OPCIÓN A. En este caso el rendimiento del motor se puede estimar en 90 [%].

d) Determinar dicho punto de funcionamiento y la velocidad de giro necesaria para la segunda opción. e) Calcular la eficiencia energética del proceso para ambas opciones. f) Analizar si existe riesgo de cavitación en ambas opciones de acuerdo con la cota de implantación establecida en el apartado c). g) Seleccionar una de las dos opciones razonando la respuesta.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2008-2009 - 112

08-09-JUN.2.

(40 minutos)

Desde un pozo abierto a la atmósfera situado a una cota de – 5 [m] se quiere suministrar agua a una fuente instalada en un jardín, a una cota de 5 [m] por la que, en esta situación, sale agua en continuo a una velocidad 2 [m/s] mediante una bomba centrífuga. La constante de pérdidas de carga para la aspiración es Kasp = 2000 [m C.A./(m3/s)2] y la correspondiente para la impulsión Kimp = 8000 [m C.A./(m3/s)2], siendo el diámetro de ambas tuberías igual a 150 [mm]. El fabricante ha proporcionado la siguiente información: 35 30

H [m C.A.]

25

2

H 1 = -2000 Q - 200 Q + 32

20

H1 H2

15 2

H 2 = -1500 Q - 150 Q + 25

10 5 0 0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

3

Q [m /s]

De las bombas proporcionadas por el fabricante seleccionar la más adecuada, indicando el punto de funcionamiento. (3 puntos) Tras observar el correcto funcionamiento de la fuente se está planteando instalar otra fuente más. Esta nueva fuente tendría la tubería de alimentación en la mitad de la tubería de impulsión del sistema anterior, siendo ahora la Kimp = 4000 [m C.A./(m3/s)2], tanto para la parte de la tubería de impulsión anterior y posterior a la bifurcación como para la tubería que lleva agua a la nueva fuente. El caudal que se pretende que llegue a la nueva fuente será un tercio del que llegue a la fuente ya instalada (en este nuevo caso se desconoce el caudal que sale por la primera fuente). Con la bomba elegida anteriormente, obtener la cota a la que se debe instalar la nueva fuente y el punto de funcionamiento en esta nueva situación. (5 puntos)

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2008-2009 - 113

08-09-SEP.1.

(30 minutos)

Se tienen que instalar turbinas en un salto de 130 [m] de altura bruta y 16 [m3/s] de caudal total en condiciones normales de funcionamiento. Discutir el tipo de turbina, número y tamaño de las mismas (dimensionamiento) para: a) Un generador con 24 pares de polos (50 [Hz]). b) Un generador con 4 pares de polos (50 [Hz]). Conviene utilizar al menos dos turbinas. Dibujar la instalación y las turbinas. Justificar cada decisión o supuesto tomado. Notas:

• Las pérdidas de carga en la tubería de alimentación de entrada a las turbinas se pueden estimar en un 8 [%] del salto bruto. • Si fuera necesario presuponer un rendimiento de la turbina tomar como valor de referencia 90 [%]. • Para el dimensionamiento de las turbinas se pueden utilizar las relaciones estadísticas que se estimen oportunas, entre ellas, las propuestas en el libro ábacos de la asignatura (apartados 10, 11, 12 y 13).

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2008-2009 - 114

08-09-SEP.2.

(15 minutos)

Una bomba trabaja impulsando un líquido de peso específico de valor 870 [kg/m3] en un circuito cerrado de constante de pérdidas 19110 [m C.L. ⋅ (m3/s)-2]. El caudal de trabajo en ese punto es de 0,05 [m3/s] con un rendimiento de 0,675 [-]. Se pide: 1. Calcular el indicador energético de la instalación en [kW-h/m3] en su punto de funcionamiento.

(3 puntos) 2. Se reduce la velocidad de giro en un 10 [%]. Calcular el nuevo indicador energético.

(5 puntos) Nota.- suponer el rendimiento del motor de valor 0,7 [-] en ambos casos.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2008-2009 - 115

08-09-SEP.3.

(40 minutos)

Se desea obtener una potencia eléctrica máxima de 800 [kW] por medio de un alternador de velocidad síncrona de N = 1500 [r.p.m.] arrastrado por una turbina Francis que funciona bajo un salto bruto constante de 100 [m]. El rendimiento del conjunto turbina-alternador se puede considerar constante de valor 0,813 [-]. La conducción que alimenta a la turbina tiene una longitud de 600 [m] y su coeficiente de fricción, prácticamente constante, es f = 0,022 [-]. a) Obtener una expresión de la potencia eléctrica del tipo P = A ⋅ Q + B ⋅ Q 3 , relacionando el caudal, el salto bruto y las pérdidas de carga en el conducto de alimentación que tiene un diámetro D conocido. (2 puntos) b) Para la situación de potencia máxima calcular el valor del caudal, la constante K de las pérdidas de carga, la altura de la turbina y verificar que es una turbina Francis. (3 puntos) c) Representar la curva Potencia – Caudal.

(1 punto)

d) Si tanto en el triángulo de entrada como en el de salida la velocidad absoluta no tiene componente periférica, el diámetro de la salida es 20 [%] superior que a la entrada, el espesor de los álabes resta un 4 [%] al área útil tanto a la entrada como a la salida, siendo b1 = b2 = 50 [mm] y c1 = 36,15 [m/s], calcular dichos triángulos. (2 puntos)

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2009-2010 - 116

Exámenes: 2009-2010 09-10-FEB.1.

(30 minutos)

Una bomba que habitualmente trabaja con agua fría se usa para impulsar pulpa de papel refinada con consistencia del 5 [%]. Las curvas características de la bomba con agua y pulpa se encuentran graficadas en la figura adjunta, con lecturas en unidades inglesas (abajo Q, izquierda Hm) y métricas derivadas (arriba Q, derecha Hm).

1. Obtener la curva de potencia en el eje [kW] – caudal [L/s] para agua (3 puntos) y para pulpa (γpulpa = 10200 [N/m3]) (3 puntos). Para ello, elegir dos puntos hacia los extremos de la gráfica y ajustar las dos curvas pedidas, Peje (Q), a una recta. 2. Razonar, a la vista de la forma de las curvas de potencia, de qué tipo de bomba se trata. (2 puntos)

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2009-2010 - 117

09-10-FEB.2.

(25 minutos)

En 1998 se finalizó la obra de la Central Hidroeléctrica de pie de presa del Embalse de Undurraga que permite el aprovechamiento energético previo de las aguas procedentes del Sistema del Zadorra y destinadas al abastecimiento.

La central consta de 2 turbinas semi-Kaplan de eje horizontal para un caudal de 6 [m3/s] cada una, con un salto neto de 17,44 [m C.A.], siendo la velocidad de rotación N igual a 600 [r.p.m.]. Se pide, para una única turbina: 1. Calcular el Nq (1 punto) y comentar si las turbinas Kaplan se corresponden con el valor obtenido (1 punto). 2. Calcular la potencia hidráulica. (1 punto) 3. Calcular la potencia mecánica si el rendimiento global es del 80 [%]. (1 punto) 4. Considerando la fórmula de Hutton para turbinas Kaplan, calcular el rendimiento del modelo que se usó para los cálculos, conociendo que el diámetro del modelo es la mitad que el del prototipo y que la altura de prototipo es cuatro veces la del modelo. (2 puntos) 5. Dibujar los triángulos de velocidades tanto a la entrada como a la salida del rodete, conociendo que la velocidad meridiana en ambos casos es de 7 [m/s], que el diámetro medio es de 1 [m] y que

α1 = 3 , siendo β 2 = 45 [º]. (3 puntos) α2

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2009-2010 - 118

09-10-FEB.3.

(40 minutos)

La figura muestra el esquema simplificado de una instalación de suministro de agua a dos depósitos a diferentes alturas para el abastecimiento de dos poblaciones. Todos los depósitos son de grandes dimensiones y se encuentran a presión atmosférica salvo el depósito de aspiración, que se encuentra en depresión. Los datos altimétricos y de presión se muestran en la misma figura.

100 [m]

c – 0,03 [MPa] 30 [m] B 2 [m]

B

d

B

0 [m]

b a

Las pérdidas de carga en los tramos a, b y d mostrados en la figura se pueden calcular a partir de las siguientes constantes: TRAMO

a

b

d

K [m C.A./(m3/s)2]

12

80

250

El bombeo se realiza utilizando un modelo de bomba con las siguientes curvas características facilitadas por el fabricante con el caudal expresado en [m3/s] para una velocidad de giro de N = 1500 [r.p.m.]:

H = 70 – 120 · Q2

[m C.A.]

η = 4 · Q – 5,5 · Q2

[-]

NPSHR = 2 – 3 · Q + 16 · Q2

[m C.A.]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2009-2010 - 119

El fabricante, además, recomienda contemplar un margen de seguridad de 0,5 [m C.A.] para establecer la cota de implantación de la bomba. Se utilizan un total de tres bombas iguales. El bombeo principal se realiza a través de una conexión de dos bombas en serie y se dispone de una tercera bomba adicional para ayudar al bombeo del depósito más elevado. Se pide: 1. Calcular la distribución de caudales en la instalación, la constante de pérdidas del tramo c y los puntos de funcionamiento de cada una de las bombas en régimen permanente para las condiciones descritas, teniendo en cuenta que se extraen 0,528 [m3/s] del depósito de aspiración. 2. Calcular el equivalente energético de la instalación expresado en [kW-h/m3] suponiendo un rendimiento de los motores de valor constante 0,8 [-]. 3. Comprobar si alguna de las bombas corre el riesgo de trabajar en condiciones de cavitación. En caso afirmativo, calcular estas tres posibles soluciones de forma independiente para evitar la aparición de dicho fenómeno en la(s) bomba(s) afectada(s): a. Nueva cota de implantación. b. Nueva presión del depósito de aspiración. c. Nueva velocidad de rotación. 4. Calcular el rendimiento y la velocidad específica de una única bomba en el punto óptimo de funcionamiento.

(8 puntos)

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2009-2010 - 120

09-10-JUN.1.

(30 minutos)

Dimensionar de forma aproximada una turbina Francis para la potencia nominal de funcionamiento: H = 402,5 [m C.A.], Pe* = 78000 [C.V.], N = 600 [r.p.m.]. Nota.- C1 = 0,66 [-], U1* = 0,72 [-], α1* = 13 [º]

(8 puntos)

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2009-2010 - 121

09-10-JUN.2.

(30 minutos)

En el balneario de Gastein en Austria, se realizan tratamientos con radón, que se encuentra tanto en el agua como en el aire. Se pretende instalar una nueva instalación de bombeo para un nuevo tratamiento, definida por su ecuación característica,

hm = 50 + 1,4 · 10–5 ⋅ Q2

en [m C.A.] y Q en [m3/h].

Para esta instalación se ha pensado instalar una bomba comercial que a su velocidad nominal de 1500 [r.p.m.] tiene estas curvas características:

hB = 75 – 3,5 · 10–4 ⋅ Q2

en [m C.A.] y Q en [m3/h],

y cuya “altura neta positiva de succión” es:

NPSHR = 0,5 + 4,1 ⋅ 10–5 ⋅ Q2

en [m C.A.] y Q en [m3/h],

La cota de implantación es 2 [m]. La altura de pérdidas en la aspiración, hasta la entrada de la bomba, es 5 ⋅ 10–6 ⋅ Q2 en [m C.A.] y Q en [m3/h]. El agua bombeada está a 17,5 [ºC], cuya carga de vapor es hps = 0,21 [m C.A.] y siendo la presión atmosférica el valor habitual. a) Calcular el punto de funcionamiento, comprobando si cavita o no. (2 puntos) Si se modifica la velocidad de rotación a 1600 [r.p.m.], b) Obtener las nuevas curvas hB y NPSHR. (2 puntos) Si a su vez se introducen más pérdidas de carga en la aspiración que responden al término 2,5 · 10–6 ⋅ Q2 en [m C.A.] con Q en [m3/h], y se eleva la cota de implantación 3 [m] más, c) Calcular el nuevo punto de funcionamiento. (4 puntos)

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2009-2010 - 122

09-10-JUN.3.

(40 minutos)

Una turbina Pelton de un único inyector se elige para mover un alternador de 3 [pares de polos]. El chorro de agua tiene un diámetro de 85 [mm] y una velocidad de 110 [m/s]. El chorro se desvía 165 [º] tras el impacto con la cuchara y a la entrada del rodete la relación de la velocidad tangencial del álabe a la velocidad del chorro es 0,48 [-]. Debido a la fricción, la velocidad relativa a la salida del rodete se ve reducida un 10 [%] con respecto a la de entrada. Las pérdidas de carga en el inyector pueden considerarse como un 3 [%] del salto neto en el punto de funcionamiento descrito. Las pérdidas mecánicas y las volumétricas se consideran despreciables. Se pide: a) b) c) d)

Calcular los triángulos de velocidades a la entrada y la salida del rodete. Calcular el diámetro medio del rodete. Potencia desarrollada por la turbina y par motor. La altura neta y el rendimiento manométrico en el punto de funcionamiento descrito. e) Comprobar que se trata de una turbina Pelton y dimensionar estadísticamente la cuchara. Los ensayos previos realizados con el modelo se han realizado con una turbina más pequeña geométricamente semejante a la anterior, con relación de semejanza λ = 2 [-], girando a 3000 [r.p.m.]. Para el punto de funcionamiento semejante al descrito en el primer párrafo, se pide: f) Calcular la altura neta y el caudal de ensayo con el modelo, así como su velocidad específica. g) Estimar el rendimiento en el modelo de acuerdo con la siguiente fórmula de revalorización:   Re ∆η = (1 − η M ) ⋅ 0,6 ⋅ 1 −  M   Re P

con Re =

B⋅ 2⋅ E

ν

  

0, 2

  

, siendo B la anchura de la cuchara.

(8 puntos)

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2009-2010 - 123

09-10-SEP.1.

(30 minutos)

Se dispone de un conjunto de grupos motobomba iguales, siendo la curva característica de cada grupo la siguiente: Hm = 40 – 4 ⋅ Q – 100 ⋅ Q2

[m C.A.] (con Q en [m3/s])

Con dichas bombas se debe de suministrar un caudal de 1 [m3/s], elevándose hasta una altura de 30 [m] por una tubería cuya curva de pérdidas es la siguiente: ∆H = 60 ⋅ Q2

[m C.A.] (con Q en [m3/s])

Se pide: 1. ¿Qué tipo de acoplamiento será necesario efectuar para cumplir las exigencias? 2. ¿Cuál será el número mínimo de bombas a utilizar? 3. Si el suministro sólo se puede efectuar con 2 bombas acopladas en paralelo, ¿cuál debe ser la nueva velocidad de rotación de las mismas si la actual es de 500 [r.p.m.]?

(8 puntos)

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2009-2010 - 124

09-10-SEP.2.

(30 minutos)

La turbina hélice de la figura adjunta se corresponde al emplazamiento de CHAYEDIVI en la India. Su punto nominal de funcionamiento se corresponde con un caudal de 48,26 [m3/s] y salto neto de 29 [m C.A.].

A la salida, el tubo de aspiración tiene sección rectangular de valor 2,85 [m] (alto) x 7,30 [m] (ancho). Para el Hn nominal de 29 [m C.A.] (coincide con el Hn óptimo), el rendimiento (EJE Y, [%]) varía con el caudal (EJE X, [m3/s]) según la curva adjunta.

En el punto de funcionamiento óptimo, la energía cinética asociada a la componente tangencial de la velocidad absoluta a la salida del rodete es 0,05 [m C.A.]. Determinar en el punto óptimo: a) El ángulo α2 de la velocidad absoluta del agua a la salida de la rueda ≡ entrada tubo de aspiración, considerando que para el cálculo de l sección efectiva de paso hay que descontar la sección del bulbo donde van montados los álabes. (4 puntos) b) La energía cinética que se pierde entre la salida del tubo de aspiración y el final de la turbina por pérdidas de Borda-Carnott. (4 puntos)

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Exámenes: 2009-2010 - 125

09-10-SEP.3.

(20 minutos)

La dirección y magnitud de la velocidad del agua a la salida del impulsor de una bomba centrífuga se miden con una sonda de velocidad especial. Los resultados se indican en la Figura. A la entrada del impulsor la velocidad del agua no tiene componente tangencial. Suponiendo flujo ideal y número infinito de álabes, determinar:

a) b) c) d)

Par motor que impulsa el rodete. Ángulo de salida de los álabes, β2. Potencia consumida. Altura proporcionada por el rodete. Nota.- suponer b1 = b2 = 3 [mm]

(8 puntos)

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 126

Ejercicios resueltos EJERCICIO 1.1.

a) Entre 1 (entrada de la bomba) y 2 (salida de la bomba) (Figura 1.1) se puede plantear la ecuación de la energía, si se considera que no hay pérdidas entre 1 y 2: H2 = Hmanométrica + H1 La energía total en 1 H1 es: H1 = (p1 γ (-1))+ (c12 (2g) (-1)) + z1 La energía total en 2 H2 es: H2 = (p2 γ (-1))+ (c22 (2g) (-1)) + z2 En ambos ramales del manómetro la presión debe ser la misma a la misma cota. Eligiendo como referencia la cota correspondiente a la interfaz agua-mercurio del ramal 2 (Figura 1.1.b) se puede plantear la siguiente ecuación:

p2 + γ agua h2 = γ agua (h1 – ∆z)+ γ Hg ∆z + p1 (p2 – p1)= –γ agua (h2 – h1+∆z)+ γ Hg ∆z Siendo

γ agua = 9,81 ⋅ 1000 = 9810 [N ⋅ m-3] γ Hg = 9,81 ⋅ 13480 = 132238,8 [N ⋅ m-3] h2 – h1 = 0,7 [m] ∆z = 0,7 [m] Figura 1.1.b p2 – p1=78832,6 [Nm-2]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 127

Por otra parte, si Q es dato (Q = 0,1 [m3s-1]) y S2 y S1 son las secciones a la salida y la entrada se pueden calcular C2 y C1: S2 = 0,25 π D2 2 = 0,01767 [m2] S1 = 0,25 π D1 2 = 0,03142 [m2] c2 = Q ⋅ S2 -1= 5,658 [ms-1] c1 = Q ⋅ S1 -1= 3,183 [ms-1] Por su parte: z2 – z1 = 0,7 [m] A partir de aquí, Hm = H2 – H1 = (p2 – p1 ) ⋅ γ agua (-1) + (c22 – c12 )(2g) (-1) + (z2 – z1 ) Sustituyendo: Hm = 9,853 [m C.A.] Expresado en forma de energía hidrúalica másica E = Hm g = 96,6 [J kg-1] b) La potencia hidráulica: Ph = γ agua Q Hm = 9665,8 [W] ≈ 9,7 [kW]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 128

EJERCICIO 1.2.

Se plantea la ecuación de continuidad a la salida de una de las boquillas. En ese punto el caudal es de 50 [L/s], de forma que: Q=v⋅S

⇒

Q2 = v2 ⋅ (π ⋅ D22 / 4)

⇒

50 ⋅ 10-3 = v2 ⋅ (π ⋅ D22 / 4)

[m3/s]

(1)

Por lo tanto, para poder obtener el diámetro de la boquilla se debe calcular previamente la velocidad a la salida de la misma. Para ello se plantea la ecuación de conservación de la energía (Bernoulli) entre la superficie libre del riachuelo y la salida de una de las boquillas: z1 +

v12 p1 v2 p + + H b = z 2 + 2 + 2 + hR12 [m C.A.] 2g γ 2g γ

(2)

En este caso, z2 – z1 = 3,5 + 1,5 = 5 [m] v1 ≈ 0 [m/s] (suponiendo que el nivel del riachuelo apenas varía) p1 = p2 = 0 [Pa] (presión atmosférica en ambos casos) hR12 = 5 + 0,8 = 5,8 [m C.A.] Hb y v2 desconocidos Para poder despejar el valor de la velocidad a la salida de la boquilla (v2) es necesario conocer la altura de impulsión de la bomba (Hb). Dado que se conocen el rendimiento y la potencia mecánica de la bomba, la potencia hidráulica resulta ser: Y como

PH = Pm ⋅ η = (150 ⋅ 735,5) ⋅ 0,8 = 88260

[W]

PH = ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ Q ⋅ H

[W]

se tiene que: 9810 ⋅ Q ⋅ H = 88260

[W]

(3)

Finalmente, la bomba debe aportar el caudal total del sistema, es decir, 2 [mangueras] ⋅ 50 ⋅ 10-3 [(m3/s)/manguera] = 100 [m3/s] Sustituyendo en (3):

H = 89,97 [m C.A.]

Llevando a (2):

v2 = 39,66 [m/s]

Y finalmente, llevando este valor a (1):

D2 = 0,04 [m]

⇒

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

D2 = 40 [mm]

Ejercicios resueltos - 129

EJERCICIO 1.3.

455,5 punto 2´

Armarios eléctricos

453 punto 1 452,69 punto 2

M

B

450,5

450

D = 0,4 [m] Q = 0,3 [m3/s] ⇒

v = 0,3 / (π ⋅ 0,42/4) = 2’38 [m/s]

Balance entre 1 y 2: H1 + Hm = H2

453 = H1 ya que

p1 / γ = 0 (es la atmosférica) v12 / 2g = 0 (está parado) z1 = 453 [m]

Entre 2 y 2’ la cota piezométrica se mantiene: p2 / γ + z2 = p2’ / γ + z2’

p2 / γ = 3,02 [m C.A.]

H2 = p2 / γ + v22 / 2g + z2 = 456 [m C.A.] Altura de impulsión de la bomba:

Hm = H2 – H1 = 456 – 453 = 3 [m C.A.]

Energía específica:

Hm g = 29,42 [J/kg]

Potencia hidráulica generada por la bomba: Ph = γ Q Hm = 9810 · 0,3 · 3 = 8,83 [kW] O bien:

Ph = ρ · Q · E = 1000 · 0,3 · 29,42 = 8,83 [kW]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

454

Ejercicios resueltos - 130

EJERCICIO 1.4.

Aplicando Bernoulli entre 1 y 2. p1

γ

v12 p v2 + z1 + hB = 2 + 2 + z 2 + hR1−2 2⋅ g γ 2⋅ g

+

Por el principio de conservación de la masa Q = v ⋅ A y despejando la velocidad v1 =

v2 =

Q Q 4 ⋅ 0,2 = = = 2,83 [m/s] 2 2 A π⋅D π ⋅ (0,3) 4 Q Q 4 ⋅ 0,2 = = = 6,37 [m/s] 2 2 A π⋅D π ⋅ (0,2) 4

Trabajando con presiones relativas p A = p B = 0 [Pa] 0 = p1 − 0,65 ⋅ 9,81 ⋅ 998,5 + 0,3 ⋅ 9,81 ⋅ 13450

p1 = −33216,42 [Pa]

En el transductor de presión 4 [mA] Æ 0 [bar] 20 [mA] Æ 6 [bar] 7 6

bar

5 4 3 2 1 0 0

4

8

12

16

20

mA

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

24

Ejercicios resueltos - 131

Como la lectura en el punto actual de ensayo es de 16,78 [mA] mediante un ajuste lineal se obtiene la presión de ese punto. 20 − 4 6−0 = 16,78 − 4 x − 0 x = 4,7925 [bar] p2 (abs) = 4,7925 [bar] = 4,7925 ⋅10 5 [Pa]

p2 ( rel ) = p2 ( abs ) − Patm = 4,7925 ⋅ 10 5 − 101300 = 377950 Pa De manera que al introducir los datos en la ecuación de Bernoulli: − 33216,42 2,832 377950 6,37 2 + + 35,0 + hB = + + 35,5 + 0 998,5 ⋅ 9,81 2 ⋅ 9,81 998,5 ⋅ 9,81 2 ⋅ 9,81 − 33216,42   6,37 2 2,83 2   377950  + (35,5 − 35,0 ) = 41,98 + 1,66 + 0,5 hB =  − −  +   998,5 ⋅ 9,81 998,5 ⋅ 9,81   2 ⋅ 9,81 2 ⋅ 9,81 

hB = 44,14 [m C.A.] EB = hB ⋅ g = 433,01 [J/kg]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 132

EJERCICIO 1.5.

Se calcula en primer lugar la curva resistente para el caso de BOMBEO. Se aplica para ello la ecuación de Bernoulli en el sentido del flujo, entre la superficie libre del embalse inferior y la superficie libre del superior: z1 +

v12 p v2 p + 1 + hB = z 2 + 2 + 2 + hR12 2⋅ g γ 2⋅ g γ

[m C.A.]

hB = ∆z + hR12

Simplificando, se tiene que:

[m C.A.]

Para obtener la curva resistente, se deben calcular las pérdidas de carga en función del caudal circulante. Se consideran siguientes pérdidas de carga: pérdidas de carga primarias en los tramos depósito inferior-bomba y bomba-depósito superior y las pérdidas de carga secundarias de entrada a tubería, codo y entrada a depósito: 1 1 2 2 2 hR12 = hRI + hRII + hRT + hRC + hRD

•

Pérdidas de carga primarias en el tramo I DI = 7 [m];

εI = 1 [mm]; LeI = 150 [m]

La rugosidad relativa εI´ = εI / DI = 0,00014 [-] La sección de la tubería SI = 0,25 ⋅ π ⋅ DI2 = 38,49 [m2] En bombeo (QB = 40 [m3/s]), la velocidad en la tubería: vIB = QB/SI = 1,04 [m/s]

con lo que el número de Reynolds resulta ser: ReIB = vIB ⋅ DI/ν = 7,3 ⋅ 106 [-] y leyendo la f en el ábaco de Moody:

fIB ≈ 0,013 [-]

De forma que para calcular las pérdidas en los tramos I y II se aplica la expresión genérica de Darcy-Weissbach: 1 hRI = f IB

Operando se tiene que: •

2 LeI vIB 8 ⋅ f IB LeI = ⋅ QB2 = K IB ⋅ QB2 DI 2 ⋅ g g ⋅ π 2 DI5

1 hRI = 9,59 ⋅ 10 −6 ⋅ QB2

Pérdidas de carga primarias en el tramo II DII = 5 [m];

εII = 0,1 [mm];

LeII = 450 [m]

La rugosidad relativa εII´ = εII / DII = 0,00002 [-] La sección de la tubería SII = 0,25 ⋅ π ⋅ DII2 = 19,64 [m2] En bombeo (QB = 40 [m3/s]), la velocidad en la tubería: vIIB = QB/SII = 2,04 [m/s]

con lo que el número de Reynolds resulta ser: ReIIB = vIIB ⋅ DII/ν = 10,2 ⋅ 106 [-]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 133

y leyendo la f en el ábaco de Moody: 1 Como antes: hRII = f IIB

Operando se tiene que: •

fIIB ≈ 0,010 [-]

2 LeII vIIB 8 ⋅ f IIB LeII 2 = ⋅ QB = K IIB ⋅ QB2 DII 2 ⋅ g g ⋅ π 2 DII5 1 hRII = 1,19 ⋅ 10 −4 ⋅ QB2

Pérdidas de carga secundarias, entrada a tubería

La pérdida de carga que se produce en la conexión “depósito-entrada a tubería” viene caracterizada con el coeficiente ξT = 0,5 [-], por lo que asociando dicho coeficiente al término cinético de la tubería del tramo I, se tiene que: 2 = ξT ⋅ hRT

Operando se tiene que: •

2 vIB 8 ⋅ξT = ⋅ QB2 2 4 2 ⋅ g g ⋅ π ⋅ DI

2 hRT = 1,72 ⋅ 10 −5 ⋅ QB2

Pérdidas de carga secundarias, codo

En este caso la pérdida de carga se caracteriza con el coeficiente ξC = 0,05 [-] asociado al término cinético del tramo II: 2 hRC = ξC ⋅

Operando se tiene que: •

2 8 ⋅ξC vIIB = ⋅ QB2 2 4 2 ⋅ g g ⋅ π ⋅ DII

2 hRC = 6,61 ⋅ 10 −6 ⋅ QB2

Pérdidas de carga secundarias, entrada a depósito

En este caso se tiene que ξD = 1 [-], por lo que asociando dicho coeficiente al término cinético de la tubería II: 2 hRD = ξD ⋅

Operando se tiene que:

2 vIIB 8 ⋅ξD = ⋅ QB2 2 4 2 ⋅ g g ⋅ π ⋅ DII

2 hRD = 1,32 ⋅ 10 −4 ⋅ QB2

Las pérdidas de carga totales para la situación de bombeo quedan: 1 1 2 2 2 hR12 = hRI + hRII + hRT + hRC + hRD = 2,85 ⋅10 −4 ⋅ QB2

Y para el caudal nominal de bombeo resultan ser: hR12 = 2,85 ⋅10 −4 ⋅ QB2 = 2,85 ⋅10 −4 ⋅ 40 2 = 0,456

[m C.A.]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 134

Y la curva resistente de la instalación para el caso de bombeo queda, en definitiva: hB = ∆z + 2,85 ⋅10 −4 ⋅ QB2 Los niveles de los embalses oscilan según los ciclos estacionales entre los siguientes límites que delimitan los desniveles geométricos, ∆z: Embalse superior Máximo Mínimo 684 [m] (s.n.m.) 664 [m] (s.n.m.) Máximo, 616 [m] (s.n.m.) 68 48 Embalse inferior Mínimo, 602 [m] (s.n.m.) 82 62

Gráficamente, las cuatro curvas: bombeo 1G 110 100

H [m C.A.]

90 80 70 60 50 40 0

40

80

120

160

200

240

280

320

3

Q [m /s]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 135

Se calcula a continuación la curva resistente para el caso de TURBINADO. Se aplica para ello la ecuación de Bernoulli en el sentido del flujo, entre la superficie libre del embalse superior y la superficie libre del inferior:

z2 +

v22 p v2 p + 2 = z1 + 1 + 1 + hT + hR21 2⋅ g γ 2⋅ g γ

[m C.A.]

hT = ∆z − hR21

Simplificando, se tiene que:

[m C.A.]

Para obtener la curva resistente, se deben calcular las pérdidas de carga en función del caudal circulante. Se consideran siguientes pérdidas de carga: pérdidas de carga primarias en los tramos depósito superior-turbina y turbina-depósito inferior y las pérdidas de carga secundarias de entrada a tubería, codo y entrada a depósito: 1 1 2 2 2 hR 21 = hRII + hRI + hRT + hRC + hRD

•

Pérdidas de carga primarias en el tramo II DII = 5 [m];

εII = 0,1 [mm];

LeII = 450 [m]

La rugosidad relativa εII´ = εII / DII = 0,00002 [-] La sección de la tubería SII = 0,25 ⋅ π ⋅ DII2 = 19,64 [m2] En turbinado (QT = 49 [m3/s]), la velocidad en la tubería: vIIT = QT/SII = 2,50 [m/s]

con lo que el número de Reynolds resulta ser: ReIIT = vIIT ⋅ DII/ν = 12,5 ⋅ 106 [-] y leyendo la f en el ábaco de Moody:

2 LeII vIIT 8 ⋅ f IIT LeII 2 = ⋅ QT = K IIT ⋅ QT2 2 5 DII 2 ⋅ g g ⋅ π DII

1 Como antes: hRII = f IIT

Operando se tiene que:

•

fIIT ≈ 0,010 [-]

1 hRII = 1,19 ⋅ 10 −4 ⋅ QT

Pérdidas de carga primarias en el tramo I DI = 7 [m];

εI = 1 [mm]; LeI = 150 [m]

La rugosidad relativa εI´ = εI / DI = 0,00014 [-] La sección de la tubería SI = 0,25 ⋅ π ⋅ DI2 = 38,49 [m2] En turbinado (QT = 49 [m3/s]), la velocidad en la tubería: vIT = QT/SI = 1,27 [m/s]

con lo que el número de Reynolds resulta ser: ReIT = vIT ⋅ DI/ν = 8,9 ⋅ 106 [-] y leyendo la f en el ábaco de Moody:

fIT ≈ 0,013 [-]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 136

Como antes: 1 hRI = f IT

Operando se tiene que:

LeI vIT2 8 ⋅ f IT LeI = ⋅ QB2 = K IT ⋅ QT2 DI 2 ⋅ g g ⋅ π 2 DI5

1 hRI = 9,59 ⋅10 −6 ⋅ QT2

Nota.- al ser régimen turbulento completamente desarrollado la f en ambos tramos es la misma para los caudales de bombeo y de turbinado (fB ≈ fT). Por ello, se puede caracterizar cada tramo por medio de una única constante para cada tramo (KB ≈ KT): KI = 9,59 ⋅ 10–6 [m C.A./(m3/s)2] y KII = 1,19 ⋅ 10–4 [m C.A./(m3/s)2].

•

Pérdidas de carga secundarias, entrada a tubería

La pérdida de carga que se produce en la conexión “depósito-entrada a tubería” viene caracterizada con el coeficiente ξT = 0,5 [-], pero en este caso se debe asociar dicho coeficiente al término cinético de la tubería del tramo II: 2 = ξT ⋅ hRT

Operando se tiene que: •

2 vIIB 8 ⋅ξT = ⋅ QT2 2 4 2 ⋅ g g ⋅ π ⋅ DII

2 hRT = 6,61⋅10 −5 ⋅ QT2

Pérdidas de carga secundarias, codo

En este caso la pérdida de carga se caracteriza con el coeficiente ξC = 0,05 [-] asociado al término cinético del tramo II: 2 = ξC ⋅ hRC

Operando se tiene que: •

2 8 ⋅ξC vIIT = ⋅ QT2 2 ⋅ g g ⋅ π 2 ⋅ DII4

2 hRC = 6,61 ⋅ 10 −6 ⋅ QT2

Pérdidas de carga secundarias, entrada a depósito

En este caso se tiene que ξD = 1 [-], pero dicho coeficiente se debe asociar al término cinético de la tubería I: 2 hRD = ξD ⋅

Operando se tiene que:

vIT2 8 ⋅ξD = ⋅ QT2 2 4 2 ⋅ g g ⋅ π ⋅ DI

2 hRD = 3,44 ⋅10 −5 ⋅ QT2

Las pérdidas de carga totales para la situación de turbinado quedan:

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 137 1 1 2 2 2 hR21 = hRI + hRII + hRT + hRC + hRD = 2,36 ⋅10 −4 ⋅ QT2

Y para el caudal nominal de turbinado resultan ser: hR21 = 2,36 ⋅10 −4 ⋅ QT2 = 2,36 ⋅10 −4 ⋅ 49 2 = 0,567

[m C.A.]

Y la curva resistente de la instalación para el caso de turbinado queda, en definitiva: hT = ∆z − 2,36 ⋅10 −4 ⋅ QT2 Los niveles de los embalses oscilan según los ciclos estacionales entre los siguientes límites que delimitan los desniveles geométricos, ∆z: Embalse superior Máximo Mínimo 684 [m] (s.n.m.) 664 [m] (s.n.m.) Máximo, 616 [m] (s.n.m.) 68 48 Embalse inferior Mínimo, 602 [m] (s.n.m.) 82 62 Gráficamente, las cuatro curvas:

turbinado 1G 90 80

H [m C.A.]

70 60 50 40 30 20 0

40

80

120

160

200

240

280

3

Q [m /s]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

320

Ejercicios resueltos - 138

EJERCICIO 1.6.

Como se conoce el rendimiento del motor la potencia eléctrica absorbida de la red eléctrica se puede expresar en función de la potencia mecánica a través de la siguiente expresión:

ηmot = Pm / Pe ⇒

Pe = Pm / ηmot [W]

⇒

Pe = Pm / 0,8 [W]

(1)

A su vez, como se conoce el rendimiento de la bomba, la potencia mecánica se puede expresar en función de la potencia hidráulica:

η = PH / Pm ⇒ ⇒

Pm = PH / η

[W]

Pm = PH / 0,7 [W]

(2)

A su vez, la potencia hidráulica: PH = ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ Q ⋅ H [W]

(3)

Por lo tanto, se deben calcular el caudal y la altura aportados por la bomba en las condiciones de funcionamiento descritas. Aplicando la ecuación de continuidad a la salida de la boquilla: Q=v⋅S

Q = 9,8 ⋅ 3,6 ⋅ 10-4 = 3,528 ⋅ 10-3

⇒

[m3/s]

Por otra parte, se plantea la ecuación de conservación de la energía (Bernoulli) entre la superficie libre del depósito y la salida de la boquilla: z1 +

v12 p1 v2 p + + H b = z 2 + 2 + 2 + hR12 [m C.A.] 2g γ 2g γ

En este caso, z2 = z1 v1 ≈ 0 [m/s] (suponiendo que el nivel del depósito apenas varía) p1 = p2 = 0 [Pa] (presión atmosférica en ambos casos) v2 = 9,8 [m/s] g = 9,81 [m/s2] hR12 ≈ 0 [m C.A.] (pérdidas de carga despreciables) Es decir que la energía que proporciona la bomba se emplea íntegramente para comunicarle energía cinética al fluido. Despejando se tiene que Hb = 4,895 [m C.A.] Sustituyendo los valores de caudal y energía obtenidos en (3):

PH = 169,4

[W]

Llevando a (2) se tiene la potencia mecánica:

Pm = 242,0

[W]

Y finalmente, en (3):

Pe = 302,5

[W]

⇒

Pe = 302,5

[W]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 139

EJERCICIO 2.1.

Q = 2,4 [L/s]

∑hf = 5 w22 /2g

Hm = 27 [m C.A.]

D2 = 0,2 [m]

ηman = 75 [%]

S2 = 0,2 D22

Euler sin pérdidas de carga → no coincide con β2 sería Hm real

en este caso β2 coincide con el ángulo del álabe. Si

HmT= u2 cu2 /g

(sin prerrotación ⇒ u1cu1 = 0) cm2 c2

w2

α2

β2 cu2 Q = cm2 ⋅ S2

⇒

u2 cm2 = 0,300 [m/s]

cm2 = w2 ⋅ senβ2 w2 ⋅ cosβ2 = u2 – cu2 HmT = u2 ⋅ cu2 /g → 36 = u2 ⋅ cu2 /g

ηman = 27/36 = 0,75 [-] → ok

HmR = 27 [m C.A.] ∑hf = HmT – HmR = 36 – 27 = 9 [m C.A.] = 5 w22 /2g 9 = 5 w22 /2g 36 = u2 ⋅ cu2 /g 0,3 = w2 ⋅ senβ2 w2 ⋅ cosβ2 = u2 – cu2

[1] [2] [3] [4]

4 ecuaciones con 4 incógnitas: w2, u2, cu2, β2 [1][3] [2] [4] ⇒

w2 = 5,93 [m/s]; 352’8 = u2 ⋅ cu2 u2 – cu2 = 5,922

β2 = 2,89 [º]

cu2 =16,054 [m/s] u2 = 21,98 [m/s] = (2 ⋅ π ⋅ N /60) ⋅ (D2 /2)

⇒

N = 2099 [r.p.m.]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 140

EJERCICIO 2.2.

Turbina Francis donde se supone que no existe variación en el entrehierro, de manera que α1 ≅ α 2d . u1

w1 c1

2 ⋅ π ⋅ N 2 ⋅ π ⋅ 600 ω= = 20 ⋅ π = 60 60

[rad/s]

u1 = ω ⋅ R1 = 20 ⋅ π ⋅ 0,5 = 10 ⋅ π

u 2 = ω ⋅ R2 = 20 ⋅ π ⋅

[m/s]

0,45 = 4,5 ⋅ π 2

[m/s]

Q1 = c1m ⋅ S1 Æ 1 = c1m ⋅ 0,14 Æ c1m = 7,14

[m/s]

Q2 = c2 m ⋅ S 2 Æ 1 = c2 m ⋅ 0,09 Æ c2 m = 11,11

sin α 1 =

c1m 7,14 Æ sin 15 = Æ c1 = 27,59 c1 c1

Con respecto al triángulo de salida.

[m/s] [m/s]

u2

w2 c2 sin β 2 = sin 45 = tan 45 =

c2 m Æ w2 = 15,71 w2

c2 m 11,11 = = 1 Æ C 2u = 3,03 u 2 − C 2u 4,5 ⋅ π − c2u

[m/s] [m/s]

E E = u1 ⋅ c1 ⋅ cos α1 − u 2 ⋅ c 2 ⋅ cos α 2 E E = 10 ⋅ π ⋅ 27,60 ⋅ cos15 − 4,5 ⋅ π ⋅ 3,03 = 794,69

η man =

E EE 794,69 Æ E= E = = 1018,84 E η man 0,78

PH = ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H = ρ ⋅ Q ⋅ E = 1000 ⋅1⋅1018,84 = 1,02 ⋅10 3 [W] = 1,02

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

[J/kg] [J/kg] [MW]

Ejercicios resueltos - 141

EJERCICIO 2.3.

Q = 0,56 [m3/s];

N = 750 [r.p.m.];

cm2 = 2,7 [m/s]

S2 = Q /cm2 = 0,207 [m2]

EEuler = 120 [J/kg]

⇒ HEuler = EEuler/g = 120/9,8 = 12,25 [m C.A.]

ηman = 0,8 [-] Σh f totales = 0,54 c22/2g EEuler = u2cu2 – u1cu1 cu1 = 0 HE =

(sin prerrotación) u 2 c2 g

(1)

η man = 0,8 =

H Euler

=

12,25 − Σhf 12,25 − Σhf ; 0,8 = 12,25 12,25

c22 2g

(3)

2πN D2 ⋅ 60 2

(4)

Σhf = 0,54

u2 =

H Euler − Σh f

(2)

u2 – cu2 = w2cosβ2 cm2 = w2senβ2

⇒ tan β 2 =

cm2 = c2 senα 2

(6)

c u 2 = c 2 cos α 2

cm 2 u 2 − cu 2

(5)

(7)

7 ecuaciones con 7 incógnitas. u2 = 13,287 [m/s];

R2 = 0,169 [m]

cu2 = 9,035 [m/s];

c2 = 9,43 [m/s]

Σhf T = 2,45 [m C.A.];

β2 = 32,42 [º]

α2 = 16,64 [º]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 142

EJERCICIO 2.4.

Se deben calcular los triángulos de velocidades tanto a la entrada como a la salida del rodete. Se deben calcular, por tanto c1, u1, w1, α1, β1 y c2, u2, w2, α2, β2. Triángulo de velocidades a la entrada del rodete Conocida la velocidad de rotación y el radio de entrada del rodete se calcula la velocidad tangencial u1: ω= N⋅

2⋅π 2⋅π = 1470 ⋅ = 153,94 [rad/s] 60 60

⇒

u1 = ω ⋅ R1 = 153,94 ⋅ (0,2/2) = 15,39 [m/s]

Si se asume la inexistencia de rotación a la entrada del rodete, tal y como indica el enunciado, directamente α1 = 90 [º]. Por la misma razón, la velocidad absoluta a la entrada no tiene componente tangencial. Es decir que la velocidad absoluta a la entrada sólo tiene componente en el plano meridiano y, en consecuencia, es la velocidad relacionada con el cálculo del caudal: ⇒

cu1 = 0

⇒

c1 = cm1

[m3/s],

Q = c1 ⋅ S1

En este caso, despreciando el espesor ocupado por los álabes, se tiene que: S1 = 2 ⋅ π ⋅ (0,2/2) ⋅ 0,03 = 18,85 ⋅ 10 –3 [m2]. Y como el caudal es conocido, Q = 0,1 [m3/s], se obtiene directamente c1 = 5,31 [m/s]. Una vez conocidos c1, u1, y α1, β1 y w1 se obtienen por trigonometría: •

tan β1 = c1/u1

⇒

β1 = 19,02 [º]

•

sen β1 = c1/w1

⇒

w1 = 16,28 [m/s]

Gráficamente:

w1 = 16,28 [m/s] c1 = 5,31 [m/s]

α1 = 15,39 [º]

β1 = 15,39 [º] u1 = 15,39 [m/s]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 143

Triángulo de velocidades a la salida del rodete Como antes, conocida la velocidad de rotación y el radio de salida del rodete se calcula la velocidad tangencial u2: ω = 153,94 [rad/s]

u2 = ω ⋅ R2 = 153,94 ⋅ (0,37/2) = 28,48 [m/s]

⇒

A la salida del rodete la velocidad absoluta tiene componente tangencial y meridiana. La componente meridiana proporciona información relacionada con el cálculo del caudal: Q = cm2 ⋅ S2 En este caso, despreciando el espesor ocupado por los álabes a la salida del rodete, se tiene que: S2 = 2 ⋅ π ⋅ (0,37/2) ⋅ 0,03 = 34,87 ⋅ 10 –3 [m2]. Y como el caudal es conocido, Q = 0,1 [m3/s], se obtiene cm2 = 2,87 [m/s]. Por otra parte, de acuerdo con la ecuación de Euler para bombas: EE = u2 ⋅ c2 ⋅ cosα2 – u1 ⋅ c1 ⋅ cosα1 [J/kg] Teniendo en cuenta que α1 = 90 [º] y que c2 ⋅ cosα2 = cu2, se tiene en este caso: EE = u2 ⋅ cu2

[J/kg]

En este caso u2 = 28,48 [m/s] y la energía específica ganada por el fluido al atravesar ÚNICAMENTE el rodete (Euler) se calcula a través del rendimiento manométrico:

η man =

E EE

[-]

⇒

0,78 =

400 [-] EE

⇒

EE = 512,82 [J/kg]

Por lo que se puede calcular la componente periférica de la velocidad absoluta: cu2 = 18,01 [m/s].

Una vez conocidas las componentes tangencial y meridiana de la velocidad absoluta, se calculan por trigonometría la propia velocidad absoluta c2 y el ángulo α2: ⇒

•

2 2 c2 = cu2 + cm2

•

tan α2 = cm2/cu2

c2 = 18,23 [º]

⇒

α2 = 9,05 [º]

Una vez conocidos c2, u2, y α2, β2 y w2 se obtienen por trigonometría. •

tan β2 = cm2/(u2 – cu2)

⇒

β2 = 15,32 [º]

•

sin β2 = cm2/w2

⇒

w2 = 10,86 [º]

Gráficamente:

c2 = 18,23 [m/s]

α2 = 9,05 [º]

w2 = 10,86 [m/s] c2m = 2,87 [m/s]

β2 = 15,32 [º] u2 = 28,48 [m/s]

c2u = 18,08 [m/s]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 144

EJERCICIO 2.5.

ω = 45 [rad/s];

E = 120 [J/kg];

Dmedio = 1050 [mm] = 1,05 [m]

Para el caso de funcionamiento en BOMBA: c1

cm1 = c1 = 12 [m/s] u1 = u2 = 45 ⋅ 1,05/2 = 23,625 [m/s]

w1

β1

Entrada sin prerrotación:

α1 = 90 [º];

cu1 = 0 [m/s]

u1

w1 = (c12 + u12)1/2 = 26,50 [m/s]

β1 = arctan (c1 / u1) = 26,93 [º]

cm2

c2

u2 cu2 cm2 = 12 [m/s]

EE = u2 · cu2 – u1 · cu1 = u2 · cu2 141,17 = u2·cu2

→

β2

α2

ηB = 0,85 [-]; E = 120/ ηB = 141,17 [J/kg] →

w2

cu2 = 5,975 [m/s]

y

c2 = (cm22 + cu22)1/2 = 13,41 [m/s] tanβ2 = cm2 / (u2 – cu2) sinβ2 = cm2 / w2

β2 = 33’29 [º] →

w2 = 21,86 [m/s]

Para el caso de funcionamiento en TURBINA: c2

cm2 = c2 = 12 [m/s] u1 = u2 = 45 ⋅ 1,05/2 = 23,625 [m/s]

w2

β2

Salida sin torbellino:

α2 = 90 [º];

cu2 = 0 [m/s]

u2

w2 = (c22 + u22)1/2 = 26,50 [m/s]

β2 = arctan (c2 / u2) = 26,93 [º]

cm1

c1

w1

α1 ηT = 0,87 [-]; EE = u1 · cu1 – u2 · cu2 cu2 = 0

(sin prerrotación) →

E = 120 [J/kg];

cu1

EE = u1 · cu1

EE = 120 ⋅ ηT = 104,4 [J/kg] u1 = 23,625 [m/s]

→

cm1 = 12 [m/s];

c1 = (cm12 + cu12)1/2 = 12,79 [m/s]

cu1 = c1 ⋅ cosα1

→

tanβ1 = cm1 / (u1–cu1) → cm1 = w1 sinβ1 →

cu1 = 4,42 [m/s]

α1 = 69,79 [º] β1 = 32,0 [º]

w1 = 22,65 [m/s]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

β1 u1

Ejercicios resueltos - 145

EJERCICIO 2.6.

Turbina Pelton Se supone que β2 ≈ 0 [º] y que no hay pérdidas de carga.

Inyector

1 E Aplicando Bernoulli en el inyector entre la entrada (E) y la salida (1) v2 p v2 E + E +z = 1 + 1 +z +h RE −1 E γ γ 2⋅ g 1 2⋅ g

p

y aplicando las siguientes simplificaciones P v2 E + E =H; 2⋅ g γ

z = z =0; E 1

P 1 = 0;

γ

hRE −1 = 0

Sustituyendo en la ecuación se obtiene: v12 c12 H= = Æ c1 = 750 ⋅ 2 ⋅ 9,81 = 121,31 2⋅ g 2⋅ g

Q = v⋅ A = c⋅ A = c⋅

π⋅d 2 π ⋅ 0,18 2 = 121,31⋅ = 3,09 4 4

m& = ρ ⋅ Q = 3086,86 r v v F = m& ⋅ (w2 − w1 ) u=

[m/s] [m3/s] [kg/s]

c1 Æ c1 = 2u 2

w2 =

c1 = w1 2

 2 ⋅ c1  F = m& ⋅   = 3086,8 ⋅121,31 = 374465,34  2 

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

[N]

Ejercicios resueltos - 146

EJERCICIO 2.7.

N = 3000 [r.p.m.];

8 rodetes

Dext = 0,4 [m];

Dint = 0,2 [m];

|w2| = |c2|; u2 =

2 π ⋅ N D2 = 62,83 60 2

HE = u1 =

entrada sin prerrotación:

ηman = 0,9 [-]

[m/s]

u 2 ⋅ cu2 − u1 ⋅ cu1 g

2 π ⋅ N D1 = 31,42 60 2

[m/s]

w2 ⋅ sinβ2 = c2 ⋅ sinα2 |w2| = |c2|

β2 = α2

⇒

c2 ⋅ cosα2 = u2 – w2 ⋅ cosα2 2 cosα2 = u2 2 cu2 = u2

→

cu1 = 0

(sin prerrotación)

HE =

u 2 ⋅ cu2 31,42 ⋅ 62,85 = = 201,21 [m C.A.] g 9,81

HEuler Total HE =

cu2 = u2/2 = 31,42 [m/s]

(8 etapas)

Hm

ηm

(1 etapa)

= HE ⋅8 = 1609,67 [m C.A.]

⇒ Hm = 1448,71 [m C.A.]

B = 0,02 [m] S 2 = 2π ⋅

D2 ⋅ B ⋅ 0,9 (álabes ocupan un 10 [%] de la sección de salida) 2

S2 = 0,022609 [m2] tanα2 = cm2/cu2 c2 ⋅ cosα2 = cu2 = 31,42 [m/s]; w2 ⋅ sinα2 = cm2

w2 ⋅ cosα2 = 31,42 [m/s]

⇒ cm2 = 31,42 tanα2

Q = cm2 ⋅ S2; Q = 0,71 tanα2 Ph = 9,81 ⋅ 0,716 tanθ ⋅1448,71 = 10080,07 tanα2

ηman = ηbomba = 0,9 [-] Pm = Ph/ηbomba = 11,2 tanα2 [MW]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 147

EJERCICIO 3.1.

Se plantean uno por uno todos los acoplamientos posibles con las tres bombas centrífugas disponibles para, a continuación verificar el punto de funcionamiento requerido: Q = 19,2 [m3/h] y H = 50 [m C.A.]. Los acoplamientos posibles son: a. Una única bomba

En este caso la curva característica resulta ser: H1 = 71,0 – 0,3501 ⋅ Q12

[m C.A.]

Si Q1 = 19,2 [m3/h] entonces, la bomba proporciona H1 = – 58,06 [m C.A.]

#

Es decir, una única bomba NO es capaz de proporcionar ese caudal a esa altura. b. Dos bombas en serie

En este caso la curva característica resulta ser: H2s = 2 ⋅ H = 142 – 0,7002 ⋅ Q2s2 [m C.A.] Si Q2s = 19,2 [m3/h] entonces, el acoplamiento proporciona H2s = – 116,12 [m C.A.]

#

Es decir, el acoplamiento de dos bombas en serie NO es capaz de proporcionar ese caudal a esa altura. c. Dos bombas en paralelo

En este caso la curva característica resulta ser: H2// = H (Q/2) = 71,0 – 0,08725 ⋅ Q2// 2 [m C.A.] Si Q2// = 19,2 [m3/h] entonces, el acoplamiento proporciona H2// = 38,74 [m C.A.]

<

50 [m C.A.]

Es decir, el acoplamiento de dos bombas en paralelo NO es capaz de proporcionar ese caudal a esa altura. d. Tres bombas en serie

En este caso la curva característica resulta ser: H3s = 3 ⋅ H = 213 – 1,0503 ⋅ Q3s 2 [m C.A.] Si Q3s = 19,2 [m3/h] entonces, el acoplamiento proporciona H3s = – 174,18 [m C.A.]

#

Es decir, el acoplamiento de tres bombas en serie NO es capaz de proporcionar ese caudal a esa altura.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 148

e. Tres bombas en paralelo

En este caso la curva característica resulta ser: H3// = H (Q/3) = 71,0 – 0,0389 ⋅ Q3// 2 [m C.A.] Si Q3// = 19,2 [m3/h] entonces, el acoplamiento proporciona H3// = 56,66 [m C.A.]

>

50 [m C.A.]

Es decir, el acoplamiento de tres bombas en paralelo SÍ es capaz de proporcionar ese caudal a esa altura, aunque el punto de funcionamiento difiere ligeramente del deseado. f. Dos bombas en serie + una en paralelo

En este caso se deben acoplar en paralelo una rama con una única bomba con otra rama con dos bombas acopladas en serie. Las curvas características resultan ser: H1 = 71,0 – 0,3501 ⋅ Q12 H2s = 2 ⋅ H = 142 – 0,7002 ⋅ Q2s2 [m C.A.] Ahora se tiene que Q = Q1 + Q2s = 19,2 [m3/h] y H = H1 = H2s. Dado que H1 = H2s, igualando las expresiones anteriores: 71,0 – 0,3501 ⋅ Q12 = 142 – 0,7002 ⋅ Q2s2 [m C.A.] Como Q2s = 19,2 – Q1 [m3/h], se tiene que: 71,0 – 0,3501 ⋅ Q12 = 142 – 0,7002 ⋅ (19,2 – Q1)2 [m C.A.] Operando se obtiene el siguiente polinomio de segundo grado: 0,3501 ⋅ Q12 – 26,88768 ⋅ Q1 + 187,121728 = 0 Resolviendo: Q1 = 69,07 [m3/h] # (Q1 > 19,2 [m3/h] implica Q2s negativo (¿turbina?)) Q1 = 7,74 [m3/h] Y en consecuencia, Q2s = 19,2 – Q1 = 11,46 [m3/h] y el caudal total Q = 19,2 [m3/h] Con estos caudales H = H1 = H2s = 50,03 [m C.A.] Es decir, el acoplamiento de dos bombas en serie con una en paralelo es capaz de proporcionar ese caudal a esa altura, siendo el punto de funcionamiento prácticamente el deseado. Además se cumple que la bomba acoplada en paralelo con las otras dos es capaz de bombear por sí misma a la altura requerida, pues tiene la limitación de HMAX = 71,0 [m C.A.]. g. Dos bombas en paralelo + una en serie

En este caso se debe acoplar una única bomba en serie con un acoplamiento de dos bombas en paralelo. Las curvas características resultan ser: H1 = 71,0 – 0,3501 ⋅ Q12 H2// = H (Q/2) = 71,0 – 0,08725 ⋅ Q2// 2 [m C.A.] Ahora se tiene que Q = Q1 = Q2s = 19,2 [m3/h] y H = H1 + H2s. Así:

H = 71,0 – 0,3501 ⋅ Q2 + 71,0 – 0,08725 ⋅ Q2 = 141 – 0,43735 ⋅ Q 2 [m C.A.]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 149

Como Q = 19,2 [m3/h], sustituyendo, H = – 20,22142 [m C.A.]

#

Es decir, el acoplamiento de dos bombas en paralelo con otra en serie NO es capaz de proporcionar ese caudal a esa altura. Además se debería cumplir que la bomba acoplada en serie con las otras dos es capaz de bombear por sí misma el caudal requerido, pues tiene la limitación de QMAX = 14,24 [m3/h].

0

50

100

150

200

0

10 H [m C.A.] Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Q [m3/h]

20

30

H-Q

40

H1 H2S H2// H3S H3// H2//S H2S// punto de funcionamiento

⇒ El acoplamiento que permite trabajar más cerca del punto de funcionamiento deseado es el de dos bombas en serie + una en paralelo

Ejercicios resueltos - 150

EJERCICIO 3.2.

p = 1,26 [kg/cm2] H = 6 [m] 25 [m] B

Ф = 16 [m]

ρ = 850 [kg/m3] Se debe llenar en 2 horas 1) Volumen = π · D2 · h /4 = π · 162 · 6/4 = 1206,37 [m3] Q = 1206,37 / (3600 · 2) = 0,1676 [m3/s] 2) ∑hf = K · Q2 = 1800 · 0,16762 = 50,53 [m C.L.] Curva resistente:

H = 25 + 1800 · Q2 + (1,26 · 9,8 · 104)/ (9,8 · 850) H = 39,82 + 1800 · Q2

Punto de funcionamiento:

Hm = 39,82 + 1800 · 0,16762

→ Hm = 90,36 [m C.L.]

Potencia efectiva = γ Q Hm = 126,24 [kW] Potencia en el eje = Potencia efectiva/η = 157,80 [kW] 3) Nuevo caudal:

Q = 0,1676 · 2 = 0,3351 [m3/s]

HR = 39,82 + 1800 · Q2 = 241,95 [m C.L.] Nuevo punto de funcionamiento con los nuevos HR y Q H = 45 – 80 · Q – 508 ·Q2 Acoplamiento en serie: H = n · (45 – 80 · Q – 508 · Q2) → n es negativo, no hay acoplamiento en serie posible Acoplamiento en paralelo: H = 45 – 80 · Q/n – 508·Q2/n2

→

no llega

Acoplamiento 1º 2 en paralelo: H = 45 – 80 · Q/2 – 508 · Q2/22 = 45 – 40 ⋅ Q – 127 · Q2 2º en serie n: H = n · (45 – 40 · Q – 127 · Q2) 241,95 = n · (45 – 40 · 0,3351 – 127 · 0,33512)

→

n = 13,96 → n = 14

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 151

H = 14 · (45 – 40 · Q – 127 · Q2) Por lo tanto, el punto de funcionamiento obtenido más cercano al objetivo: H = 630 – 560 · Q – 1778 · Q2 H = 39,82 + 1800 · Q2 ⇒

Q = 0,33535 [m3/s]; H = 242,25 [m C.L.]

x 14

x 14

(…)

(…)

4) Cada bomba impulsa Qi = 0,33535/2 = 0,1677 [m3/s] Cada bomba aporta 1/14 de la altura total Hi = 17,30 [m C.L.] Potencia efectiva de cada bomba = 9,8 · 850 · Qi · Hmi = 24,19 [kW] Potencia en el eje de cada bomba = Pefectiva / η = Pefectiva / 0,8 = 30,24 [kW] Potencia absorbida por cada motor = Pefectiva / ηmot = Pefectiva / 0,85 = 35,58 [kW] 5) Hay que llegar por cambio en N a Q = 0,3351 [m3/s]; H = 241,95 [m C.L.] H = 45 – 80 · Q – 508 · Q2 Q/Q’ = N/N’ ;

Q = (N/N’) · Q’

H/H’ = (N/N’)2 ;

H = (N/N’)2 · H’

Sustituyendo nos queda: H’· (740/N’)2 = 45 – 80 · (740/N’) · Q’ – 508 · (740/N’)2 · Q’2 H’ = 45 · (N’/740)2 – 80 · (N’/740) · Q’ – 508 · Q’2 Nos queda una ecuación con una incógnita al sustituir Q’ y H’ por 0,3351 [m3/s] y 241,95 [m C.L.] respectivamente, que son los valores del punto de funcionamiento deseado. Así: N’ = 2166,03 [r.p.m.] Potencia efectiva total = 9,8 · 850 · 0,3351 ·241,95= 676,06 [kW] Potencia en el eje total = Pefect / η = 866’75 [kW]

(siendo el rendimiento 0,78 [-])

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 152

EJERCICIO 3.3.

Rugosidad relativa εA´ = εA/DA = 4 ⋅ 10-4 Rugosidad relativa εB ´ = εB/DB = 4 ⋅ 10-4 Rugosidad relativa εC´ = εC/DC = 4 ⋅ 10-4

Tramo A Tramo B Tramo C

Reynolds turbulento desarrollado. Entrando en Moody (Ábacos, pag. 26) con ε´ = 4 ⋅ 10-4, f = 0,016 (cte) Le [m] Tramo A Tramo B Tramo C

20 100 40

D [m] 0,8 0,8 0,4

S = 0,25 ⋅ π ⋅ D2 [m2] 0,50 0,50 0,13

Σhf tramo = f ⋅ Le ⋅ (D ⋅ 2g ⋅ S2)-1 ⋅ Q2 [m C.A.] 0,08 ⋅ Q2 0,40 ⋅ Q2 5,17 ⋅ Q2

1ª Pregunta Válvula A parcialmente abierta. By-pass cerrado. QC = 0 [m3/s]; QA = QB = 0,7 [m3/s]

Aplicando la ecuación de la energía entre I y II, HI + Hm(Q = 0,7 [m3/s]) - Σhf válvula A - Σhf tramo A - Σhf tramo B = HII HII - HI =4 [m C.A.] Hm(Q = 0,7 [m3/s]) =15,63 [m C.A.] Σhf tramo A + Σhf tramo B =0,48 ⋅ 0,72 = 0,2352 [m C.A.] Despejando Σhf válvula A =11,39 [m C.A.] Por otra parte, Σ hf válvula A = ξ ⋅ CA2 ⋅(2g)-1 CA= QA ⋅ SA-1; CA= 1,926 [m/s] ==Î ξ = 115,11 [-] Entrando en la gráfica (Ábacos, pag. 35, figura 4) de válvulas de compuerta con ξ = 115,11 [-], se corresponde con un grado de apertura de la válvula A 0,07 [-], es decir un 7 [%] de apertura.

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Ejercicios resueltos - 153

2ª Pregunta Válvula A 100 [%] abierta. By-pass habilitado. QC = ? QA = ? QB = 0,7 [m3/s]

Se puede plantear un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. 2 ecuaciones se corresponden con sendas líneas de corriente entre HI - HI y HI - HII sobre las que se aplicará la ecuación de la energía. HI + Hm(QA) - Σhf tramo A (QA) - Σhf tramo B (QB = 0,7 [m3/s]) = HII HI + Hm(QA) - Σhf tramo A (QA) - Σhf tramo C (QC) - Σhf válvula C (QC) = HI QA = QB + QC

(1) (2) (3)

Σhf valvula C (QC); QA; QC

INCOGNITAS

QA= 1,34815 [m3/s]; Hm(QA)= 4,34 [m C.A.] QC = 0,64815 [m3/s] Σhf válvula C (QC)= 2,024 [m C.A.]

Resuelto el sistema

3ª Pregunta Grado de apertura de válvula C

Σhf válvula C = 2,024 = ξ ⋅ CC2 ⋅ (2g)-1

CC = QC ⋅ SC-1; CC = 5,15 [m/s] ==Î ξ = 1,488 [-]

Entrando en la gráfica (figura 4) de válvulas de compuerta con ξ = 1,488 [-], se corresponde con un grado de apertura de la válvula C 0,55 [-], es decir un 55 [%] de apertura. 4ª Pregunta. Costes de operación

1er caso 2º caso

Q [m3/s] 0,70 1,35

H [m C.A.] 15,63 4,34

η [-] 0,68 0,62

Ph [kW] 107,22 57,37

Pm [kW] 157,68 92,61

eu [kW-h/m3] 0,063 0,019

Coste operación [€] 0,063 ⋅ P / ηm 0,019 ⋅ P / ηm

Supongo que el rendimiento del motor es ηm y el [kW-h] cuesta P euros. Obviamente, el segundo caso (regulación por by-pass) tiene menos costes de regulación.

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Ejercicios resueltos - 154

EJERCICIO 3.4.

Respuesta 1

Figura 1. Sección de una bomba de cámara partida de doble aspiración

Figura 2. Fotografía de una bomba de doble aspiración. Aspecto exterior

La metodología básica de solución consiste en: ‰ determinar en primer lugar la expresión de las pérdidas de carga en el circuito hidráulico para un caudal del orden del nominal y establecer el correspondiente punto hipotético en la curva resistente. Dicho punto será, en general cercano a uno de los puntos de funcionamiento (intersección de una de las curvas resistentes y de la característica de la bomba prototipo) y ‰ establecer la curva característica de la bomba prototipo en función de la velocidad de rotación, partiendo de la curva característica modelo y de las relaciones de semejanza pertinentes. Se tiene un caudal de 7 [m3/s] y una altura resistente que será suma de las pérdidas de carga y diferencia de cotas a salvar por el bombeo. Es decir: H r nom = ∆z + ∆H

[m C.A.]

Para ∆z, se elige el desnivel medio de los valores límite en ambos embalses, como valor de tanteo, sea: ∆z = 250

[m]

La pérdida de carga total se compondrá de la pérdida de carga en la aspiración y de la pérdida de carga en la impulsión:

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 155

∆H = ∆H asp + ∆H imp

[m C.A.]

El cálculo de la pérdida de carga en cada tramo se realiza como sigue: aspiración D = 1500 [mm] Tuberías: = 100 [m] Leq ε = 0,3 [mm] impulsión D = 1200 [mm] = 800 [m] Leq ε = 0,3 [mm] Caudal de cálculo, velocidad y número de Reynolds. Se considera el caudal nominal de 7,0 [m3/s] y las velocidades y Re, se calculan de acuerdo a las expresiones siguientes:

v=

Q π ⋅ D2 4

[m/s]

Re =

v⋅D

ν

[-]

aspiración:

v = 3,961

[m/s]

Re ≈ 6 ⋅ 10 6

[-]

impulsión:

v = 6,189

[m/s]

Re ≈ 7,4 ⋅ 10 6

[-]

Rugosidad relativa de la tubería:

ε=

ε

[-]

D

aspiración:

ε = 2 ⋅ 10 −4

[-]

impulsión:

ε = 2,5 ⋅ 10 −4

[-]

Coeficiente de fricción en cada tubería: Con el fin de simplificar el problema se considera un valor único del coeficiente de fricción en ambos casos, que tenga en cuenta las variaciones de rugosidad relativa en cada tubería y la gama de números de Reynolds previstos en los rangos de caudales entre 6 [m3/s] y 8 [m3/s]. Entrando en el ábaco de Moody, se tiene: f = 0,014

(para todos los casos)

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

[-]

Ejercicios resueltos - 156

Con los datos anteriores, ya se puede determinar la pérdida de carga en el circuito, para cada tramo: Pérdida de carga. La expresión de la pérdida de carga por fricción ó uniformemente repartida en una tubería se puede enunciar según la fórmula clásica. ∆H = f ⋅

L v2 ⋅ D 2⋅ g

[m C.A.]

Por otro lado, en el presente problema, y para simplificar se asume (es dato) que la pérdida de carga del conjunto de singularidades ó accesorios, se asimila a la correspondiente a una longitud dada de tubería. Entre las pérdidas de carga singulares se consideran las de puesta en carga del flujo y las de frenado a la llegada al embalse superior. La longitud total resultante se denomina como longitud equivalente. ∆H = f ⋅

Aspiración:

Leq

v2 D 2⋅ g ⋅

∆H asp = 0,014 ⋅

100 3,9612 ⋅ = 0,746 1,5 2 ⋅ 9,81

[mC.A.]

[m C.A.]

800 6,189 2 = 0,014 ⋅ ⋅ = 18,221 1,2 2 ⋅ 9,81

Impulsión:

∆H imp

Total:

∆H total = 18,967

[m C.A.]

[m C.A.]

El punto (de tanteo) de la curva resistente correspondiente al caudal nominal será, para el desnivel hipotético asignado de 250 [m], del orden de: H r ( ∆Z =250) ≈ 268,967

[m C.A.]

Atención: dicho valor va ser ayuda a la hora de definir la velocidad de rotación pero no tiene por que coincidir con el punto nominal de funcionamiento de la bomba. Lo importante es que el punto hipotético de la curva resistente esté situado entre los límites de funcionamiento de la máquina. Desde luego que, para evitar dudas en el proceso de cálculo es deseable que dichos valores sean cercanos pero, en general: H nom (bomba) ≠ H r ( ∆z=250) ( tanteo)

Por su parte los coeficientes de pérdida de carga en función del caudal para el tramo de aspiración y el total del circuito serán:

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 157

Aspiración:

K asp =

Impulsión:

K total =

∆H asp Q

2

[m C.A. ⋅ s2/m6]

= 0,0152245

∆H = 0,3870816 Q2

[m C.A. ⋅ s2/m6]

En este punto del problema se aprovecha la situación para calcular los tres puntos (Hr, Q) que definen la parábola de pérdidas de carga del circuito hidráulico y de la aspiración, según la tabla siguiente: ∆H asp [m C.A.]

Q = 0 [m3/s] 0,0

Q = 4 [m3/s] 0,244

Q = 8 [m3/s] 0,974

∆H total [m C.A.]

0,0

6,193

24,773

Tabla 2 Hasta ahora se ha calculado un hipotético punto de la curva resistente para ∆z = 250 [m], que será bastante aproximado a algún punto de funcionamiento en la curva característica. Dicho punto va a servir de guía para poder establecer la velocidad de rotación necesaria para una correcta operación de la bomba.

Para determinar dicha velocidad de rotación se parte de la ecuación característica de la bomba modelo, que tiene la forma: H M = A + B ⋅ Q + C ⋅ Q 2 + D ⋅ Q3 + E ⋅ Q 4

[m C.A.]

Como el caudal a considerar tenía unidades de [m3/h], debe pasarse a la unidad empleada en prototipo [m3/s]. Además y como dato importante debe tenerse en cuenta que la máquina prototipo tiene doble aspiración, lo que equivale a implementar dos bombas en paralelo (ver figuras 1 y 2). La ecuación a considerar para poder aplicar la semejanza tendrá, entonces, la forma siguiente: H M (d.a.)

3600 3600 2 2 36003 3 3600 4 4 = A + B⋅ ⋅Q + C⋅ ⋅Q + D⋅ ⋅Q + E ⋅ ⋅Q 2 4 8 16

[m C.A.] (1)

o en general: H M(d.a.) = A + B'⋅Q + C'⋅Q 2 + D'⋅Q 3 + E'⋅Q 4

[m C.A.]

Las expresiones que relacionan las alturas de impulsión y caudales en dos máquinas homólogas funcionando en puntos homólogos son:

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 158

N H M = H P ⋅ λ ⋅  M  NP 2 L

  

2

QM = QP ⋅ λ3L ⋅

[m C.A.] (2)

NM NP

[m3/s] (3)

En las expresiones (2) y (3) son conocidos λ L = 0,3 [-] y NM = 1480 [r.p.m.]. Sustituyendo (2) y (3) en (1): 1 N H P(d.a.) = A ⋅ 2 ⋅  P λL  N M [m C.A.] (4)

2

 λ3 N λ6 λ9  + B'⋅ 2L ⋅ P ⋅ QP + C '⋅ 2L ⋅ QP2 + D'⋅ 2L λL N M λL λL 

N ⋅  M  NP

 3 λ12  ⋅ QP + E '⋅ L2 λL 

N ⋅  M  NP

2

 4  QP 

Sustituyendo:

H P ( d .a.) = 0,000337726 ⋅ N P2 − 0,054047432 ⋅ N P ⋅ QP + 23,820367 ⋅ QP2 − 3725,144618 ⋅ + 175179,4006 ⋅

1 ⋅ QP4 N P2

1 ⋅ QP3 + NP

[m C.A.] (5)

La velocidad de rotación se establece por tanteo, considerando las siguientes velocidades síncronas: N P = 1500

[r.p.m.]

N P = 750

[r.p.m.]

N P = 1000

[r.p.m.]

De forma que la velocidad que se elija correctamente propiciará una altura de impulsión cercana al valor obtenido para la curva resistente cuando el caudal circulante sea del orden de 7 [m3/s]. Sustituyendo los valores de caudal y velocidad de rotación prototipo en la expresión (5), se tiene: Q P = 7 ,0

[m3/s] y

N P = 1500

[r.p.m.]

H P = 694,703 [m C.A.]

Q P = 7 ,0

[m3/s] y

N P = 750

[r.p.m.]

H P = 117,531 [m C.A.]

Q P = 7 ,0

[m3/s] y

N P = 1000

[r.p.m.]

H P = 269,473 [m C.A.]

Respuesta: La velocidad de rotación síncrona, adecuada, es de 1000 [r.p.m.]

Aunque no la pidan, la expresión de la curva característica de la bomba en prototipo será:

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 159

H P = 337,726 − 54,0474 ⋅ QP + 23,82037 ⋅ QP2 − 3,725145 ⋅ QP3 + 0,1751794 ⋅ QP4 [m C.A.] (6) Otra forma de resolver esta pregunta, consiste en introducir en la expresión (5) el caudal nominal considerado y la altura de impulsión correspondiente a ∆z = 250 [m], y despejar Np de la citada expresión. El valor resultante será diferente, aunque cercano a 1000 [r.p.m.], debiendo adoptarse este valor como el de velocidad de rotación síncrona. Volviendo a introducir ésta en la expresión (5) se podrá recalcular el valor de Hp Comentarios: ‰ ‰

‰

Las alturas de impulsión para velocidades de rotación diferentes a 1000 [r.p.m.] se alejan bastante del valor obtenido previamente para la curva resistente. La altura de impulsión obtenida a partir de la característica de la bomba, para el caudal nominal difiere del valor calculado para el circuito resistente con ∆z = 250 m, siendo algo mayor. Esto quiere decir que el punto de funcionamiento obtenido como intersección de ambas características corresponderá a un caudal algo mayor y a una altura de impulsión algo inferior a la obtenida aquí. A su vez, y es obvio, siempre existirá un punto de funcionamiento para el caudal nominal, siempre y cuando ∆z sea algo superior a 250 [m].

Respuesta 2

La expresión de la velocidad específica en cada caso será: ns = N ⋅ P 2 ⋅ H − 1

5

[*] (7)

4

nq = N ⋅ Q 2 ⋅ H − 1

3

[*] (8)

4

En primer lugar se calculan los valores de ns y nq para el punto de funcionamiento nominal, es decir para un caudal nominal de 7 [m3/s]: Entrando a la expresión (8) con los datos del punto nominal, se tiene:

(n )

q nom

= 1000 ⋅ (7 ) 2 ⋅ (269,473)

− 34

1

= 39,77979

(n )

q nom

≈ 39,78

[*]

Aunque no lo pidan, nq por rodete será:

(n )

q r nom

= 1000 ⋅ (3,5) 2 ⋅ (269,473) 1

− 34

= 28,128565 ≈ 28,13

[*]

El punto de máximo rendimiento en modelo se puede obtener bien por tanteo, bien derivando la expresión del rendimiento respecto del caudal e igualando a cero (condición de máximo). Si se elige esta segunda opción, se tiene:

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 160

dη = 4,133 ⋅10 −3 − 1,1326 ⋅10 −5 ⋅ Q + 3,942 ⋅10 −9 ⋅ Q 2 = 0 dQ

Despejando se obtiene los valores de máximo en modelo: [m3/h]

QM^ = 428,955

η M^ = 0,8346

[-]

El punto de funcionamiento homólogo en prototipo, se obtendrá aplicando la expresión (3) El caudal así obtenido corresponde al caso de rodete simple: [m3/s]

Q' P^ = 2,982

y para rodete doble, lógicamente: [m3/s]

QP^ = 5,964

A su vez la altura de impulsión se puede determinar a partir de la curva característica de prototipo, expresión (6). H P^ = 294,006

[m C.A.]

Llevando estos valores a la expresión (8), se tiene:

(n )

q ^

= 1000 ⋅ (5,964) 2 ⋅ (294,066)

− 34

1

= 34,389

(n )

q ^

≈ 34,39

[*]

y por rodete:

(n )

qr ^

= 1000 ⋅ (2,982) 2 ⋅ (294,066) 1

− 34

= 24,318 ≈ 24,32

[*]

Para determinar la velocidad específica basada en la potencia (mecánica) se debe determinar el rendimiento en prototipo lo que implica a su vez, determinar en primer lugar el rendimiento en modelo para un punto de funcionamiento homólogo. En el caso de máximo rendimiento ya se ha determinado dicho punto en modelo. Para el punto de funcionamiento nominal, se calcula de modo más sencillo a través de la expresión dato en el problema, resultando:

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 161

η M nom = 0,8131

[-]

A la hora de terminar los rendimientos de prototipo se aplicará la expresión dato pero se debe tener en cuenta que el caudal de prototipo indicado en dicha expresión corresponde al caso de rodete simple: η P nom = 0,8131 + 0,004 ⋅ 0,8131 ⋅

η P ^ = 0,8346 + 0,004 ⋅ 0,8346 ⋅

3,5 = 0,8945 0,1399

[-]

2,982 = 0,9181 0,1192

[-]

Las potencias mecánicas respectivas se determinarán a partir de la potencia hidráulica transmitida al agua y del rendimiento en cada punto de funcionamiento:

(Pm )P nom =

(Ph )P nom η p nom

=

ρ ⋅Q ⋅ g ⋅ H = 20687,2 η p nom

[kW]

Para el óptimo, de modo análogo:

(Pm )P ^ =

(Ph )P ^ ηp ^

[kW]

= 18735,82

Llevando ahora los valores obtenidos a la expresión (7), se tiene:

(ns )nom = 1000 ⋅ (20687.2) ⋅ (269,473)− 1

y por rodete:

2

4

= 131,74

(ns )nom ≈ 131,74

(ns r )nom ≈ 93,16

(ns )^ = 1000 ⋅ (18735.82) ⋅ (294,066)− 1

y por rodete:

5

2

5

4

[*] [*]

= 112.43

(ns )^ ≈ 112,43

(ns r )^ ≈ 79,5

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

[*] [*]

Ejercicios resueltos - 162

Respuesta 3

Se debe representar en el papel milimetrado adjunto, las gráficas de las curvas características y puntos de funcionamiento. Para los puntos de las curvas resistentes del circuito se dispone ya de los valores de pérdida de carga (calculados en el apartado 1) para 3 caudales, incluyendo caudal nulo. Por dichos puntos se puede trazar la parábola correspondiente por medio de plantillas. Los desniveles a superar para cada pareja límite de condición de embalses y las expresiones de las curvas resistentes correspondientes, se resumen en la tabla 3.

Lleno 285,0

H r [m C.A.] Q=4 Expresión [m3/s] 285 + 0,3870816 ⋅ Q 2 291,19

Q=8 [m3/s] 315.97

Lleno 255,0

255 + 0,3870816 ⋅ Q 2

261,19

285.97

Vacío 244,0

244 + 0,3870816 ⋅ Q

2

250,19

274.97

Vacío 214,0

214 + 0,3870816 ⋅ Q

2

220,19

244.97

Embalse Inferior Embalse Superior

Vacío Condición

Lleno Vacío

Condición

Lleno

∆z [m]

Tabla 3 A la hora de representar la curva característica (H-Q) de la bomba se debe observar la existencia de una zona con pendiente positiva, es decir inestable. En el caso estándar de una curva cuadrática hubiera bastado con considerar 3 puntos para definir la media parábola pero aquí, un mínimo de prudencia aconseja añadir varios más. A modo de ejemplo, se consideran los correspondientes a los caudales modelo de 100, 200,.. [m3/h]. Además de los anteriores se van a añadir los de máximo rendimiento y nominal. Las parejas de puntos (H,Q) y (η ,Q) se indican en la Tabla 4. Nota. El hecho de considerar los puntos de modelo no es fruto del azar, sino que permite elegir los que mejora se adaptan a las variaciones de pendiente.

QM

QM

3

3

[m /h] 0 100 200 300 400 500 600 320 428,96

[m /s] 0 0,0278 0,0556 0,0833 0,1111 0,1389 0,1667

ηM [-] 0 0,3580 0,6106 0,7657 0,8312 0,8150 0,7249 0,8346

QP (1 rodete) [m C.A.] [m3/s] 0 0,695 1,390 2,085 1,793 2,781 3,049 3,476 5,015 4,171 1,301

(NPSHr)M

QP

HP

3

[m /s] 0 1,390 2,781 4,171 5,561 6,951 8,342

[m C.A.] 337,726 299,271 302,000 309,411 300,716 270,818 230,257

5,964 7

294,006 269,473

Tabla 4 Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

ηP

(NPSHr)P

[-] [m C.A.] 0 0,3938 0,6717 0,8423 0,9144 9,095 0,8966 15,466 0,7975 25,439 6,600 0,9181 0,8945

Ejercicios resueltos - 163

También se deben calcular los valores de NPSH disponible y cruzarlos con los de NPSH requerido de forma que pueda chequearse la condición de funcionamiento en cavitación. Se recuerda que para un funcionamiento apropiado se debe dar que: NPSH d ≥ NPSH r La expresión del NPSH disponible es: NPSH d = H b − H v − H s

[m C.A.] (9)

Donde: ‰

Hb representa la presión atmosférica (en general, ambiente) expresada en [m C.A.]. Dicha presión depende de la altitud. En nuestro caso, la altitud del eje de la bomba es de 1000,0 [m]. Por tanto, y consultando la figura de los ábacos, se tiene que: H b = 9,1

[m C.A.]

También se podía haber aplicado la expresión citada en dichos ábacos. ‰ ‰

Hv representa la presión de vapor del agua, que es dato e igual 0,24 [m C.A.] Hs es la altura de aspiración que tendrá en cuenta la diferencia de cotas entre el nivel de embalse inferior y plano de referencia de la bomba (eje) y además las pérdidas de carga en el circuito hidráulico de aspiración. H s = (z emb inf − z eje ) − ∆H asp = (z emb inf − z eje ) − 0,0152245 ⋅ Q 2

[m C.A.]

Llevando estos valores a la expresión (9):

[

NPSH d = 8,86 − (z emb inf − z eje ) − 0,0152245 ⋅ Q 2

]

[m C.A.]

Los valores límite se recogen en la Tabla 5.

Embalse Inferior Condición Vacío Lleno

z embinf − z eje [m] - 9,5 - 39,5

NPSH d [m C.A.] Q=0 Q=4 Q=8 3 3 [m /s] [m /s] [m3/s] 18,36 18,12 17,39 48,36 48,12 37,39

Tabla 5 Queda por último por calcular el NPSHr en la máquina prototipo. Se obtiene dicho valor como función del caudal aplicando la expresión (2), que corresponde a las energías ó

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Ejercicios resueltos - 164

alturas, a puntos homólogos de funcionamiento. El NPSH también se puede determinar a partir del coeficiente de cavitación de Thoma σ, en modelo; dicho coeficiente será idéntico en prototipo. 1 N NPSH P = NPSH M ⋅ 2 ⋅  P λL  N M

  

2

[m C.A.] (2)

Tampoco conviene olvidar los caudales asociados a cada NPSHr corresponden al caso de rodete simple por lo que los caudales a considerar en prototipo serán dobles de los de modelo. Ver Tabla 4. Con todos estos valores numéricos se trazan las curvas correspondientes, observando que el funcionamiento es correcto tanto en lo concerniente a la curva (H – Q) como a la curva (NPSH – Q).

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Ejercicios resueltos - 165

Fi

20 3 (

3)

Figura 3 Los puntos de funcionamiento en las curvas H-Q, η -Q y NPSH-Q aparecen marcados en negro en la Figura 3.

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Ejercicios resueltos - 166

Respuesta 4

Ahora se produce un desplazamiento de los valores límite en los niveles de embalse, de forma que se reduce el nivel inferior (condición de vacío) en el embalse inferior y del nivel superior (condición de lleno) en el embalse superior. Estas variaciones repercuten sobre la altura geométrica pero no modifican la curvatura de las curvas resistentes. Se tienen los nuevos valores siguientes de la curva resistente y de la curva de NPSHd.

Vacío

H r [m C.A.] Variación Q=4 Q=8 ¿? Expresión [m3/s] [m3/s] Lleno 300,0 300 + 0,3870816 ⋅ Q 2 305,950 323,799 SI

Lleno

Lleno 265,0 265 + 0,3870816 ⋅ Q 2 270,950 288,799

SI

Vacío 249,0 249 + 0,3870816 ⋅ Q

254,950 271,799

SI

Vacío 214,0 214 + 0,3870816 ⋅ Q 2 219,950 237,799

NO

Embalse Inferior

Condición

Vacío

∆z [m]

Embalse Superior

Condición

Lleno

2

Tabla 6

Embalse Inferior Condición

Vacío Lleno

z embinf − z eje [m] -4,5 -39,5

NPSH d [m C.A.] Q=0 Q=4 Q=8 3 3 [m /s] [m /s] [m3/s] 13,36 13,12 12,39 48,36 48,12 37,39

Variación ¿?

SI NO

Tabla 7 Se llevan las nuevas curvas límite a la gráfica anterior (Figura 4), con las curvas marcadas a trazo – punto. Las nuevas curvas resistentes (marcadas con 2) se producen en las condiciones Vacio – Lleno Lleno – Lleno Vacío – Vacío Sin embargo permanece constante la curva lleno – vacío.

Ahora se observa la presencia de dos anomalías: 1. Cuando el desnivel a vencer es máximo (condición vacío – lleno) el punto de funcionamiento se puede situar en tres posiciones diferentes (x’, x’’ y x’’’) ya que la curva resistente atraviesa una zona inestable en la bomba. Trabajar en dicha zona de inestabilidad es altamente indeseable por la imposibilidad práctica de conocer donde se va a situar el referido punto de funcionamiento: ‰ Sólo será posible trabajar en x’’’ si el arranque de la bomba se ha producido con desnivel inferior a dicho extremo y se va achicando progresivamente el embalse inferior y rellenado el superior. ‰ Por el contrario si se produce el arranque en dicha condición será imposible alcanzar el lado de la curva de pendiente negativa en zona útil.

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Ejercicios resueltos - 167

Por otro lado el rendimiento en dichos puntos de operación (x’ y x’’) va a ser muy bajo. 2. En condición de embalse inferior vacío y superior vacío, se tiene que el NPSH disponible resulta inferior al requerido por lo que la bomba está funcionando en dicha situación, en condiciones de cavitación desarrollada, con pérdida de rendimiento y riesgo elevado de erosión.

Figura 4 (respuesta 4)

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Ejercicios resueltos - 168

EJERCICIO 3.5.

Realizando el dibujo de la instalación:

MODELO N m = 3000 [r.p.m.]

PROTOTIPO

Qm = 0,014 [m3/s]

Qp = 0,7 [m3/s]

Em = 240,4 [J/kg] Pm m = 5,145 [MW]

Respuesta 1

Utilizando las relaciones de semenjanza Ep Q E Qm y 2 m 2 = 2 = 3 p D ⋅ Nm Dp ⋅ N p Dm ⋅ N m D p ⋅ N 2p 3 m

3

2

D  N  Qm  Dm  N m E y m =  m  ⋅ m  ⋅ = Q p  D p  N p E p  D p   N p  E m  Dm = E p  D p

2   Qm  ⋅   Qp  

240,4  0,014  = 54 ⋅   Ep  0,7 

 Dp   ⋅   Dm 

3 2

2

4  =  Dp  ⋅  Qm D  Q   m  p 

   

2

2

E p = 961,6

[J/kg]

Por otro lado, aplicando Bernoulli entre 1 y 2 P1 v12 P2 v 22 + + z1 ⋅ g + E B = + + z2 ⋅ g + K ⋅ Q 2 ρ ρ 2 2

E B = z 2 ⋅ g + K ⋅ Q 2 = 88,2 ⋅ 9,81 + 196,2 ⋅ 0,7 2 = 961,38 2

240,4  0,014  = λ4 ⋅   Æ λ ≈ 5 como se quería comprobar. 961,38  0,7 

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

[J/kg]

Ejercicios resueltos - 169

Respuesta 2 PH = ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H

PH = 9810 ⋅ 0,014 ⋅

ηH =

240,4 = 3365,6 9,81

[W]

PH 3365,6 = = 0,6542 Æ η H = 65,42 Pm 5145

[%]

Respuesta 3 961,38 672966 9,81 = = 1,029 ⋅ 10 6 W = 1,03 0,6542 0,6542

9810 ⋅ 0,014 ⋅ Pm =

[MW]

3

3 Qm  Dm  N m 0,014  1  3000 =  ⋅ Æ Æ N p = 1200 [r.p.m.] ⋅ = Q p  D p  N p 0,7 5 Np

Respuesta 4

H = A + B⋅Q + C ⋅Q2 dH = 0 = B + 2 ⋅ C ⋅ Q y cuando Q = 0 entonces B = 0 , dQ de manera que la ecuación queda: H = A + C ⋅ Q 2 funcionando en los siguientes puntos: 1) H = 98 [m C.A.] y Q = 0,7 [m3/s] 2) H = (1,5 x 98) = 147 [m C.A.] y Q = 0 [m3/s] Para calcular el caudal máximo

Resolviendo la ecuación: A = 147 y C = −100

H = 147 − 100 ⋅ Q 2

160 140 120

80 60 40 20

1, 2

1, 1

1

0, 9

0, 8

0, 7

0, 6

0, 5

0, 4

0, 3

0, 2

0, 1

0

0

H

100

Q

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Ejercicios resueltos - 170

Respuesta 5

H = 147 − 100 ⋅ Q 2 = 73 + 100 ⋅ Q' 2 H = 147 − 100 ⋅ Q 2 = 92 + 150 ⋅ Q' ' 2

Q = Q'+Q' ' Cuando Q = 0,7 [m3/s] H = 147 − 100 ⋅ 0,7 2 = 98 [m C.A.] De manera que Q' = 0,5 [m3/s]

Q' ' = 0,2 [m3/s] Respuesta 6 H = 147 − 100 ⋅ Q 2 = 47 + (50 + 100 + 150) ⋅ Q' 2 100 = 400 ⋅ Q' 2

De manera que Q' = 0,5 [m3/s]

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Ejercicios resueltos - 171

EJERCICIO 3.6.

Las curvas características de la bomba que realiza el bombeo entre los 2 depósitos son:

H = A + B ⋅Q2 = 60 – 2000 ⋅ Q2

η = E ⋅ Q + F ⋅ Q2 = 18,476 ⋅ Q – 106,6 ⋅ Q2 Las bases de los depósitos son:

A1 = 10 [m2] y A2 = 20 [m2]

En todo momento se cumple que el volumen extraído del depósito 1 es el mismo que entra al 2:

Vdesalojado del depósito 1 = Vtrasvasado al depósito 2

⇒

Q1 = Q2 = Q de bombeo

El desnivel geométrico Hg no es constante sino que varía con el tiempo, por lo que Hg = Hg (t). Este desnivel es la diferencia entre lo que asciende el depósito en 2 z2(t) y lo que desciende el depósito 1 a lo largo del tiempo z1(t). Por tanto:

Hg(t) = z2(t) – (– z1(t)) = z2(t) + z1(t) A su vez el caudal tampoco es constante según avanza el bombeo por lo que:

Q = Q(t) En un intervalo incremental de tiempo ∆t con un caudal medio Q el nivel en 2 aumenta: ∆z2 = Q ⋅ ∆t/A2 ∆z1 = Q ⋅ ∆t/A1

Y en 1 disminuye: Con lo cual en un intervalo ∆t:

∆Hg(t) = ∆z2(t) – (–∆z1(t)) ∆Hg(t) = Q ⋅ ∆t ⋅ [(1/A2) + (1/A1)] (1) Por otra parte, en todo momento deberá cumplirse que curva motora es igual a curva resistente: A + B Q(t)2 = Hg (t) + K ⋅ Q(t)2 De aquí, despejando:

Q(t) = [(Hg (t) – A) ⋅ (B – K)–1 ]0,5

(2)

Y sustituyendo en (1) ∆Hg(t) = ∆t ⋅[(1/A2) + (1/A1)] ⋅ [(Hg (t) – A) ⋅ (B – K)–1 ]0,5 Realizando los cambios sugeridos en el enunciado: C0 = (B – K)–1 C1= – A ⋅ (B – K)–1 Y pasando a ecuaciones diferenciales la ecuación (3) queda en [(C0 ⋅ Hg + C1)]–0,5 ⋅ dHg = [(1/A2) + (1/A1)] ⋅ dt

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(3)

Ejercicios resueltos - 172

Integrando (por ejemplo empleando el modelo de integral proporcionado en el enunciado), resulta ser 2 ⋅ C ⋅ (C0 ⋅ H g + C1 )

]

1/ 2 H g

−1 0

0

t

 1 1   =  +  ⋅ t   A1 A2   0

Operando:

Hg (t) = – 8,03571 ⋅ 10–7 ⋅ t2 + 13,887301 ⋅ 10–3 ⋅ t

(4)

Para los distintos instantes t = 600, 1200 y 1800 segundos entrando en la ecuación (4) se pueden calcular los desniveles existentes. Por otra parte, en cada instante, conocida Hg (t) a través de la ecuación (3), se puede calcular Q y con las curvas motoras y de rendimiento (datos), alturas manométricas y rendimientos en los tres instantes señalados. Las potencias hidráulicas se calcularán como:

PH = γ ⋅ Q ⋅ Hm Pm = PH /η.

y potencias mecánicas como:

Las potencias eléctricas absorbidas de red serán:

Pe = Pm /0,8 (rendimiento motor)

Finalmente, la energía específica de la instalación a cada instante:

eu [kW-h/m3] = Pe [kW]/Q [m3/h] Todo ello queda calculado en la Tabla 3.6.1. t [s] 600 1200 1800

Hg [m] 8,04 15,51 22,39

Q [m3/s] 8,62E-02 7,97E-02 7,33E-02

Hm[m C,A,] 45,16 47,29 49,26

η 0,801 0,795 0,782

PH [kW] 38,12 36,95 35,38

Pm [kW] 47,62 46,45 45,27

Pe [kW] 59,53 58,06 56,59

Tabla 3.6.1. Resultados.

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eu [kW-h/m3] 0,19 0,20 0,21

Ejercicios resueltos - 173

EJERCICIO 3.7.

Conocida la expresión general de la curva característica del modelo y conocidos 3 puntos de funcionamiento del mismo, se plantean tres ecuaciones que permiten obtener las tres constantes A, B y C en las unidades requeridas ([Pa] y [m3/s]): 0,1 ⋅ 9810 = A – B ⋅ 0,035 – C ⋅ 0,0352 0,15 ⋅ 9810 = A – B ⋅ 0 – C ⋅ 02 0 = A – B ⋅ 0,1 – C ⋅ 0,12 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen las constantes, quedando la curva característica del modelo: HM = 1471,5 – 13636,98 ⋅ QM – 10780,22 QM2

[Pa] (con QM en [m3/s])

Respuesta 2

En el prototipo se desea conseguir el punto de funcionamiento correspondiente al caudal QP = 3,1 [m3/s]. Aplicando la relación de semejanza correspondiente al caudal se puede obtener el punto de funcionamiento homólogo para el modelo:

QM QP = 3 N M ⋅ DM N P ⋅ DP3 En este caso: QP = 3,1 [m3/s] NP = 900 [r.p.m.]; DP = 500 [mm];

NM = 2810 [r.p.m.] DM = 250 [mm]

Operando se obtiene QM = 1,210 [m3/s], caudal correspondiente al punto de funcionamiento homólogo al que se desea obtener en el prototipo. Sustituyendo dicho valor en la curva característica obtenida en el apartado anterior, se obtiene la altura correspondiente a dicho caudal: HM = – 30807,05 [Pa]

⇒

QM = 1,210 [m3/s],

HM = – 30807,05 [Pa]

Respuesta 3

El resultado de la pregunta anterior indica que para el caudal del modelo homólogo al que se desea obtener en el prototipo el ventilador modelo “aporta” una “altura negativa” al aire. El signo negativo debe interpretarse como una imposibilidad de la máquina modelo para operar en las condiciones descritas. La “altura negativa” implicaría que el ventilador “roba” energía al fluido en lugar de aportársela, que es lo que debe hacer el ventilador. Luego NO puede funcionar como ventilador en el punto de funcionamiento indicado.

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Ejercicios resueltos - 174

Respuesta 4

Para encontrar puntos de funcionamiento homólogos entre el modelo y el prototipo se utilizan directamente las relaciones de semejanza:

QM QP = 3 N M ⋅ DM N P ⋅ DP3

y

HM H = 2 P 2 2 N ⋅ DM N P ⋅ DP 2 M

En este caso: QM = 0,035 [m3/s] HM = 981 [Pa] NM = 2810 [r.p.m.]; NP = 900 [r.p.m.] DM = 250 [mm]; DP = 500 [mm] Operando se obtiene el punto homólogo en el prototipo:

⇒ QP = 0,08968 [m3/s]; HP = 402,53 [Pa] Nota.- Se puede obtener la curva característica genérica para el prototipo sin más que sustituir QM en función de QP y HM en función de HP en la expresión del modelo obtenida en el primer apartado: HM = 1471,5 – 13636,98 ⋅ QM – 10780,22 QM2 N ⋅ D3 2810 ⋅ 2503 QM = M M3 ⋅ QP = ⋅ QP = 0,39028 ⋅ QP N P ⋅ DP 900 ⋅ 500 3

[Pa] (con QM en [m3/s])

2810 2 ⋅ 250 2 N M2 ⋅ DM2 HM = 2 2 ⋅ HP = ⋅ H P = 2,43707 ⋅ H P N P ⋅ DP 900 2 ⋅ 500 2 La expresión resultante se puede emplear para relacionar alturas y caudales del prototipo: HP = 603,80 – 2185,09 ⋅ QP – 1337,91 QP2

[Pa] (con QP en [m3/s])

Respuesta 5

Para obtener la potencia mecánica se calcula previamente la potencia hidráulica: PHP = ρ ⋅ g ⋅ QP ⋅HP = 1,2 ⋅ 9,81 ⋅ 0,08968 ⋅ [402,53 / (1,2 ⋅ 9,81)] = 36,10 [W] Asumiendo que el rendimiento global es el mismo en modelo y en prototipo para puntos de funcionamiento homólogos se tiene que, para el punto descrito:

ηM = ηP = 0,80 [-] Y en consecuencia la potencia mecánica:

PMP = PHP / ηP = 45,12 [W]

Respuesta 6

El rendimiento es mayor para la máquina de mayor tamaño debido a la aparición de efectos de escala. Así el rendimiento de la máquina prototipo será algo mayor (2 [%] ÷ 3 [%]) que el de la máquina modelo en puntos homólogos (ηP > ηM = 0,80 [-]). Esta revalorización se debe fundamentalmente a la dependencia de las pérdidas por fricción con el número de Reynolds. Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 175

EJERCICIO 3.8. Respuesta 1

Nota. Para abordar esta pregunta se debe tener en cuenta la información recibida hasta la realización de la pregunta.

¾ ¾ ¾ ¾ ¾

La metodología básica de solución consiste en: Dibujar la curva característica (H – Q) de la bomba. Dibujar las curvas resistentes del circuito para sus 4 estados límite. Dibujar la curva característica de (NPSHr – Q) de la bomba. Dibujar las curvas (NPSHd – Q) correspondientes al circuito en la aspiración. Verificar la bondad de los puntos de funcionamiento, tanto en lo que respecta a H – Q como NPSH – Q

Nota. Se deben considerar cuatro estados límite de funcionamiento que corresponden a las combinaciones de niveles de embalse lleno y vacío tanto para el superior o de impulsión como para el inferior o de aspiración. Desde el punto de vista curva H –Q sólo haría falta considerar los dos extremos (embalse inferior vacío y superior lleno) y (embalse inferior lleno y superior vacío). No obstante, desde el punto de vista NPSH –Q se deben considerar las cuatro combinaciones posibles, como es sabido y quedará patente en la solución de esta pregunta. Para realizar la construcción gráfica se deben analizar los límites de trabajo y elegir la escala adecuada. Por ejemplo se tendrá, en la curva H – Q de la bomba: ™ Para Q = 0 [m3/s] ™ Para Q = 5,5 [m3/s]

H = 83 [m C.A.] H = 4,88 [m C.A.]

Nota. El segundo punto se realiza por tanteo, pues es más sencillo que despejar el caudal en la curva H – Q. Para un caudal de 6 [m3/s], H resulta negativo, fuera del cuadrante de operación normal. En cuanto a las curvas NPSH – Q para fijar la escala de caudales se seguirá la misma pauta que para la curva H – Q por razones obvias. Para establecer el NPSH de trabajo se debe calcular el disponible, aproximadamente (a nivel de definir la escala, por ejemplo, sin considerar las pérdidas de carga): ™ Para embalse inferior lleno, aprox. NPSHd = 40 [m C.A.] para Q = 0 ™ Para embalse inferior vacío, aprox. NPSHd = 30 [m C.A:] para Q = 0 Con estas premisas se define una escala de la siguiente forma: ¾ Q, 2 [cm] por cada [m3/s] ¾ H, 1 [cm] por cada 10 [m C.A.] ¾ NPSH, 2 [cm] por cada 10 [m C.A.] Se aprovecha para agrandar la escala de NPSH para evitar confusiones con una escala más pequeña.

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Ejercicios resueltos - 176

Una vez establecida la escala se procede a dibujar la curva característica de la bomba, H – Q. Para ello se hace una tabla con parejas de valores. La pregunta es ¿cuántas parejas y cuáles se ponen? Se dan los consejos siguientes: 1) La curva es de 4º orden, luego se recomienda al menos 6 puntos para definirla. 2) ¿Cuáles? Pues comenzando desde caudales altos hacia bajos, por ejemplo de 1 en 1 [m3/s], salvo el primero; se tendrá: Q = 5,5 [m3/s], Q = 5 [m3/s], Q = 4 [m3/s], Q = 3 [m3/s], Q = 2 [m3/s] y Q = 1 [m3/s]. 3) Según se vaya realizando la curva se podrá observar la necesidad de añadir puntos nuevos; ¿dónde?; en este caso se observa la existencia de una inestabilidad para caudales inferiores a 2,5 [m3/s]. Por tanto de ser necesario, se añadirán puntos para Q = 2,5 [m3/s], Q = 1,5 [m3/s] y Q = 0,5 [m3/s]. Se tiene, entonces, la siguiente tabla 3.8.1: Puntos curva H –Q Puntos básicos Puntos adicionales H Q H Q 3 [m C.A.] [m /s] [m C.A.] [m3/s] 4,05 5,5 75,88 2,5 25,25 5,0 74,76 1,5 57,32 4,0 76,01 0,5 73,31 3,0 75,92 2,0 74,09 1,0

Tabla 3.8.1 Ahora se procede a dibujar la curva resistente del circuito en las 4 circunstancias extremas, según las expresiones bien conocidas: [m C.A.] H r = ∆z condicion + ∆H ∆H = (∑ K )⋅ Q 2

[m C.A.]

Se puede confeccionar la tabla 3.8.2 con las diversas condiciones (límites de funcionamiento y pérdidas de carga). Para definir cada parábola bastarán 3 puntos y el manejo de la plantilla de curvas. Para evitar que se deformen mucho se pueden considerar 4 puntos. Curvas resistentes del circuito (extremos) Condición 1 2 3 Niveles embalses V - LL LL - V LL - LL +35,00 +5,00 +25,00 Altura geométrica ∆z [m] Q ∆H Hr1 Hr2 Hr3 3 [m C.A.] [m /s] [m C.A.] [m C.A.] [m C.A.] 0 0 35,0 5,0 25,0 2,0 6,00 41,0 11,0 31,0 4,0 24,00 59,0 29,0 49,0 5,5 45,38 80,4 50,4 70,4

Tabla 3.8.2

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4 V-V +15,00 Hr4 [m C.A.] 15,0 21,0 39,0 60,4

Ejercicios resueltos - 177

Figura 3.8.1

A continuación se procede a trazar las curvas y se determinan gráficamente los puntos de funcionamiento en la figura 3.8.1. Resultan los siguientes (ver tabla 3.8.3): Puntos de funcionamiento pedidos: curva H - Q Condición 1 2 3 4 Niveles V - LL LL - V LL - LL V-V 3 3,95 4,67 4,22 4,45 Q [m /s] 58,44 37,66 51,68 44,74 H [m C.A.]

Tabla 3.8.3 Ahora se vuelve a realizar una operación análoga con el NPSH. Se representará tanto el disponible (dependiente de la instalación) como el requerido, propiedad intrínseca de la bomba instalada. La tradicional expresión del NPSHd sin pérdidas de carga en la aspiración es: NPSH d = H b − H v − (H s )

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[m C.A.]

Ejercicios resueltos - 178

y ahora con dichas pérdidas de carga NPSH d = H b − H v − (H s ) − ∆H asp

[m C.A.]

La expresión de las pérdidas de carga será: ∆H asp = K asp ⋅ Q 2

[m C.A.]

Como datos se tiene: H b − H v = 10,33 − 0,24 = 10,09

[m C.A.]

Aquí todos los puntos tienen sumergencia positiva, es decir altura de aspiración negativa. Las dos condiciones límite son nivel de aspiración lleno o vacío. Se consideran, por otro lado, los caudales antes contemplados para las curvas resistentes: 2 [m3/s], 4 [m3/s] y 5,5 [m3/s]. La información relevante se agrupa en la tabla 3.8.4. NPSHd (extremos) Condición 1-4 Nivel embalse inferior LL – 30,0 Altura aspiración Hs [m] Q ∆Hasp NPSHd - LL [m3/s] [m C.A.] [m C.A.] 0 0 40,0 2,0 2,0 38,0 4,0 8,0 32,0 5,5 15,13 24,87

2-3 V – 20,0 NPSHd - V [m C.A.] 30,0 28,0 22,0 14,87

Tabla 3.8.4 En cuanto al NPSHr se determina la curva correspondiente. En primer lugar se calcula el mínimo, derivando la expresión dato, respecto al caudal. Se tiene: Q = 3,21 [m3/s] NPSH r = 4,29 [m C.A.] Por otro lado, sólo interesa la curva en el primer cuadrante, por lo que se realiza el cálculo de parejas de valores para las caudales que estamos manejando, por ejemplo Q = 5,5 [m3/s], Q = 4 [m3/s], Q = 3 [m3/s], Q = 2,5 [m3/s], Q = 2 [m3/s] y Q = 1 [m3/s]. En realidad hubiera bastado con ver la zona de funcionamiento en la curva H – Q. Se tiene la tabla 3.8.5. Puntos curva NPSHr – Q Puntos básicos NPSHr [m C.A.] Q [m3/s] 55,3 5,5 35,5 5,0 10,4 4,0 4,5 3,0 18,4 2,0 51,5 1,0 Tabla 3.8.5

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Ejercicios resueltos - 179

Ahora, con los puntos obtenidos en las tablas 3.8.4 y 3.8.5 se elabora la gráfica correspondiente (figura 3.8.2). El siguiente paso consiste en realizar la intersección de las verticales correspondientes a puntos de operación dados (las cuatro condiciones límites) para su caudal correspondiente, con la curva de NPSHd para la condición considerada. Se opera, en la práctica, de esta manera: un punto que corresponda a condición de embalse inferior vacío irá sobre la curva NPSHd mínima y si se corresponde con la condición de embalse inferior lleno irá sobre la curva de NPSHd máxima. A su vez para los mismos caudales de operación se pueden calcular numéricamente los valores de NPSHr, aunque la determinación gráfica hubiera bastado. Con ambas series de datos se confecciona, además de la gráfica citada, la tabla 3.8.6. Puntos de funcionamiento pedidos: curvas NPSH - Q Condición 1 2 3 4 Niveles V - LL LL - V LL - LL V-V 3,95 4,67 4,22 4,45 Q [m3/s] 22,28 29,20 31,20 20,18 NPSHd - [m C.A.] 9,69 24,96 14,21 19,35 NPSHr - [m C.A.] Tabla 3.8.6 Como conclusiones del análisis se tiene: ¾ El funcionamiento en curva H – Q es correcto, alejado de la zona de inestabilidad presente para caudales inferiores a 3 [m3/s]. ¾ El funcionamiento en cavitación es, a priori, correcto teniéndose que todos los NPSHd de los puntos posibles de funcionamiento (representados en el romboide de la figura) se encuentran, para su caudal correspondiente por encima del NPSHr.

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Ejercicios resueltos - 180

Figura 3.8.2

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Ejercicios resueltos - 181

Respuesta 2

A modo de ejemplo se realiza la figura 3.8.3, representando las líneas de energía y piezométricas (en este caso, cargas) del bombeo, tanto para presión relativa, como absoluta, para un punto de funcionamiento dado (p.e.: condición 3). También se representa la línea del terreno.

Figura 3.8.3

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Ejercicios resueltos - 182

La energía asociada a la línea del terreno, corresponderá al límite energético a no ser sobrepasado (en sentido descendente) por la línea piezométrica absoluta. En ese caso el funcionamiento sería imposible. Como se puede apreciar, para una condición de funcionamiento como la 3, en principio de las menos desfavorables, se cruzan ambas líneas hacia, aproximadamente, el nivel energético correspondiente a 50 [m C.A.] (abs). En ese momento se produciría la rotura de columna de agua de agua (en realidad algo antes si se tiene en cuenta la presión de vapor). El punto de funcionamiento real se situará a una altura de impulsión superior: se modificará la curva resistente de modo que el bombeo trabaje a menos caudal y más altura de impulsión. La readaptación entre el punto hipotético y el real se producirá con riesgo de golpes de ariete parciales en la conducción. ¿Dónde se situaría el punto de funcionamiento? Para poder determinarlo se debe recordar como se desplaza el punto de funcionamiento H-Q desde el 0,0 hasta el punto de régimen, durante el transitorio de arranque (figura 3.8.4). Se supone la existencia de una válvula en la impulsión, habitual en bombas centrífugas, inmediatamente después de la máquina y que permanece cerrada hasta que se haya alcanzado la velocidad de régimen. 1. Al inicio hasta llegar a la velocidad de régimen se alcanzará el punto H = 83 [m]; Q = 0 [m3/s]. 2. Luego, al ir abriendo válvula el punto se comenzará a desplazar dentro de la curva de la bomba, aumentando gradualmente el caudal. 3. Se llegará a un punto de funcionamiento a caudal inferior al que le correspondería por la configuración de embalses y de circuitos. 4. En este punto las condiciones de funcionamiento serían sumamente inestables, pues un pequeño aumento de la presión local (normal en el transitorio) implicaría un aumento del caudal. 5. Justamente entonces se alcanzaría la presión de vapor en el punto alto (+70), provocando la rotura de la columna, lo que inmediatamente redundaría en situar el punto de funcionamiento, de nuevo a H = 83 [m]; Q = 0 [m3/s], pero antes de llegar se pasaría de nuevo a fase líquido, intentado llegar otra vez al caudal citado en el apartado anterior. 6. Esto daría lugar primero a un transitorio y luego a una oscilación de presión, ambos perjudiciales para el buen funcionamiento de la bomba. El punto de funcionamiento se desplazaría a su vez dependiendo de que el nivel en el embalse inferior corresponda a lleno o vacío. La curva resistente se habrá modificado, con dos posibilidades: 9 en el sentido de aumentar z (ya que el punto zII podría pasar a ser el eje de la conducción en el punto más alto: +70 [m] (s.n.m.), si se estableciera un nivel libre en la tubería (que a su vez se eliminaría en el descenso hacia el depósito: al ponerse en carga, se volvería a iniciar el transitorio) 9 o, lo más normal, por aumento de pérdidas de carga al ocupar gruesas bolsas de vapor de agua toda la tubería en dicha zona, reduciendo la sección útil de paso de agua.

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Ejercicios resueltos - 183

Figura 3.8.4

Figura 3.8.5

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Ejercicios resueltos - 184

Gráficamente se han representado en la figura 3.8.6 dos hipotéticas líneas de energía que cumplen la condición de que el líquido posea siempre más línea piezométrica (absoluta) que la correspondiente a la tubería (terreno). Los puntos de funcionamiento en el diagrama H-Q, corresponden al H = 68 [m C.A.] y H = 58 [m C.A.]. En el primer caso se observa que existe margen para superar el punto más peligroso, al final del tramo horizontal, marcado con (*). Ambas líneas son hipotéticas, pues en el momento de rotura de carga, al llegar al embalse superior, existe un remanente de energía apreciable, del orden de 23 [m C.A.] y 15 [m C.A.], respectivamente, y marcadas con (+) y (++), en lugar del nivel II que correspondería al embalse. Si se hubiese continuado descendiendo en el punto H-Q, al llegar al punto peligroso, se produciría la vaporización del agua, con riesgo de rotura de la columna, en cuyo caso el caudal recularía hacia atrás provocándose una situación de inestabilidad de funcionamiento generalmente difícil de solucionar. En tal situación, un acontecimiento esperable será el de producirse la intensa pérdida de carga en la tubería, citada en la página anterior, de modo que la línea de energía y piezométrica caigan abruptamente y de modo localizado (figura 3.8.6, representando solamente, el funcionamiento para H = 58 [m C.A.]). En este caso, podría producirse un episodio del mismo tipo, más adelante, antes de llegar al embalse superior. Nota: una válvula de regulación inmediatamente dispuesta en la impulsión de la bomba, no hubiera servido para nada. Sólo será posible trabajar sin problemas situando la válvula al final del circuito, disipando localmente toda la energía excedentaria hasta llegar a la correspondiente al nivel libre. Esto, sin embargo, puede generar a su vez, problemas de transitorios de otros tipos (mal purgado, presencia de aire, etc.).

Figura 3.8.6

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Ejercicios resueltos - 185

Respuesta 3

En primer lugar se deben calcular las curvas características para la nueva velocidad de rotación. (H – Q) y (NPSHr – Q). H 500

N  = H 600 ⋅  500   N 600 

2

Q500 = Q600 ⋅

[m C.A.]

N 500 N 600

H 500 = A ⋅ Q 4 + B ⋅ Q 3 + C ⋅ Q 2 + D ⋅ Q + E

[m C.A.] 3

4

2

[m3/s]

2

N  N  N  N  N  2 3 4 ⋅  500  + D ⋅ Q600 ⋅  500  + E ⋅  500  + C ⋅ Q600 ⋅  500  + B ⋅ Q600 H 600 ⋅  500  = A ⋅ Q600  N 600   N 600   N 600   N 600   N 600  [m C.A.] Despejando: −1

2

H 600 = A ⋅ Q

4 600

N  N  N  N  3 2 + D ⋅ Q600 ⋅  500  + E ⋅  500  ⋅  500  + C ⋅ Q600 ⋅  500  + B ⋅ Q600  N 600   N 600   N 600   N 600  [m C.A.]

Resultando: 4 3 2 H 600 = 0,181 ⋅ Q600 − 3,41 ⋅ Q600 + 15,82 ⋅ Q600 − 25,08 ⋅ Q600 + 119,52

[m C.A.]

Análogamente para el NPSH, pues no deja de tratarse de una energía: −1

NPSH r 600 = F ⋅ Q

2 600

N  N  + G ⋅ Q600 ⋅  500  + I ⋅  500   N 600   N 600 

−2

2 NPSH r 600 = 9,7 ⋅ Q600 − 74,64 ⋅ Q600 + 149,76

Puntos curva H –Q (600 [r.p.m.]) Puntos básicos Puntos adicionales H Q H Q 3 [m C.A.] [m /s] [m C.A.] [m3/s] 5,82 6,6 36,36 6,0 82,54 4,8 105,57 3,6 109,33 2,4 106,69 1,2

Tabla 3.8.7

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[m C.A.] [m C.A.]

−2

Ejercicios resueltos - 186

Notas:

Se incluyen los caudales homólogos de los anteriores. En principio no hacen falta puntos adicionales Puntos curva NPSHr – Q Puntos básicos NPSHr Q [m C.A.] [m3/s] 79,67 6,6 51,12 6,0 14,98 4,8 6,78 3,6 26,50 2,4 74,16 1,2 6,17 3,85

Tabla 3.8.8 El nuevo mínimo corresponde a Q = 3,85 [m3/s] Ahora se procede, al igual que antes a trazar las nuevas curvas características y a buscar las intersecciones con las curvas resistentes y de NPSHd que permanecen invariables. Se obtienen los siguientes puntos de operación: Puntos de funcionamiento pedidos: curva H - Q Condición 1 2 3 4 Niveles V - LL LL - V LL - LL V-V 3 5,08 5,64 5,28 5,46 Q [m /s] 73,74 52,66 66,68 59,77 H [m C.A.]

Tabla 3.8.9 Puntos de funcionamiento pedidos: curvas NPSH - Q Condición 1 2 3 4 Niveles V - LL LL - V LL - LL V-V 3 5,08 5,64 5,28 5,46 Q [m /s] 17,18 24,20 26,05 15,17 NPSHd - [m C.A.] 20,95 37,23 26,16 31,49 NPSHr - [m C.A.]

Tabla 3.8.10 Conclusiones: ¾ Desde el punto de vista de la curva H – Q el funcionamiento sería correcto, siempre trabajando bien a la derecha de la zona de inestabilidad. Lógicamente aumentan caudales y alturas de impulsión. ¾ Sin embargo, en cavitación todos los puntos de funcionamiento (romboide en azul) aparece dentro y a la izquierda de la curva NPSHr – Q: de ellos un único punto se sitúa sobre la misma curva.

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Ejercicios resueltos - 187

Figura 3.8.7

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Ejercicios resueltos - 188

Otra cuestión es evaluar el impacto que va a suponer el trabajar en condiciones de cavitación: en el texto del problema no se indica a criterio de admisibilidad se ha aplicado a la hora de establecer la curva NPSHr, puede tratarse de: ‰ NPSHadmisible (desde el punto de vista erosión por cavitación). ‰ NPSH3[%] variación del 3 [%] sobre (posibilidades H, Q o η). ‰ NPSHestándar (variación nula de prestaciones o muy pequeña variación). Esa ambigüedad no se rompe ya que no se ha fijado un límite de validez para la expresión del NPSHr, de lo que hubiera podido deducirse que se trataba de NPSH3[%]. En resumen: En el primer caso el funcionamiento puede ser posible pero se van a producir severas erosiones, se supone que sobre el lado intradós del rodete (aunque no se sabe: esto se podría haber conocido a partir de la colina de rendimiento). Aún así, el punto de funcionamiento para condición 4, se encuentra alejadísimo de la curva de NPSHr por lo que se podría temer un descenso en las prestaciones. En el segundo caso el funcionamiento es totalmente inaceptable siendo inviable el bombeo en su configuración actual. Las consecuencias serán el trabajo en condiciones de caudal inferior al actual. Esto será cierto para prácticamente todo el romboide que expresa el funcionamiento en NPSH. En el tercer caso la situación será prácticamente igual al segundo caso pero, con quizás, algo más de caudal.

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Ejercicios resueltos - 189

EJERCICIO 3.9.

punto 2

p = 0,1 [bar]

30 [m]

B

punto 1

∆e = 98100 · Q2

[J/kg]

∆h = 10000 · Q2

[m C.A.],

siendo Q = 0,06 [m3/s]

HR = 30 + 10000 · Q2 + p2 / γ Hm(Q) – ∑hf = H2 Hm(Q) – 10000 · Q2 = p2 / γ + z2 – z1 Hm (Q) = 30 + 10000 · Q2 + 0’1 · 105 /9810 = 31,02 + 10000 · Q2 HR = 31,02 + 10000 · Q2 Q [m3/s] 0,06 0 0,3

H [m C.A.] 67,02 (= 31,02 + 10000 ⋅ 0,062) 70 (= 686,7/9,81) 0

La curva característica de la bomba 1) 70 = c0 2) 67,02 = c0 + c1 · 0,06 + c2 · 0,062 3) 0 = c0 + c1 · 0,3 + c2 · 0,32 Nos queda: ⇒

H [m C.A.] 70 67,02 31,02

c0 = 70; c1 = – 3,75; c2 = – 765,28 H = 70 – 3,75 · Q – 765,28 · Q2

Por la misma tubería si Q = 0,06 [m3/s] en 2 horas el volumen será: V = 0,06 · 7200 = 432 [m3] El nuevo punto de funcionamiento para llenarlo en media hora será: •

Q = 432 / 1800 = 0,24 [m3/s]

•

H = 31,02 + 10000 · Q2 = 607,02 [m C.A.]

Probamos disposiciones en paralelo: H = 70 – 3,75 · Q/n – 765,28 · Q2/n2

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0,06 0,3

Q [m3/s]

Ejercicios resueltos - 190

Para el punto de funcionamiento necesario n no es real, por lo que no es posible con este tipo de acoplamiento. Probamos disposiciones en serie: H = n · (70 – 3,75 · Q – 765,28 · Q2) nos queda n = 24,26

⇒

n = 25 en serie

acoplamiento en serie 607 H [m C.A.] acoplamiento en paralelo

70

0,24 0,3

Q [m3/s]

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Ejercicios resueltos - 191

EJERCICIO 3.10. Respuesta 1

La altura de impulsión (manométrica) o energía hidráulica en la bomba se puede determinar a partir de las mediciones realizadas. Se tiene: pL = (ρ w ⋅ g ⋅ z2 + p2 ) − (ρ w ⋅ g ⋅ z1 + p1 )

[Pa]

Es decir:

E=

p L c 22 − c12 g ⋅ (ρ Hg − ρ w ) ⋅ (∆L Hg ) c 22 − c12 + = + ρ 2 2 ρ

[J/kg]

Como comentario previo se debe indicar que es habitual disponer el manómetro de columna alejado “térmicamente” de las tomas depresión de forma que la temperatura en el manómetro será bastante más fría que la del agua que circula por la bomba. La temperatura fría será del orden de 30 [ºC]. Por tanto, en los ábacos se considera el mercurio Labein. No obstante, la temperatura del agua en la bomba es de 90 [ºC], luego la densidad a considerar del agua en el denominador (que corresponde a las presiones p2 y p1 citadas en la expresión de arriba) será: ρ Hg = 13468,2 [kg/m3]

ρ w = 995,7 [kg/m3] ρ = 965,4 [kg/m3]

Los valores numéricos se han determinado en los ábacos. El caudal es de 600 [m3/h] o, 0,16667 [m3/s]. Se tiene entonces:

E=

9,81 ⋅ (13468,2 − 995,7 ) ⋅ (1,587 ) 1,7322 2 − 1,3263 2 + 965,4 2

E = 201,758 [J/kg]

H = 20,567

[J/kg]

[m C.L.]

Nota: Comparar el resultado si se hubiera considerado agua fría: E = 195,637 [J/kg].

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Ejercicios resueltos - 192

Respuesta 2 Ph = ρ ⋅ Q ⋅ E

Pm =

Ph ηg

Pa =

Pm ηa

[W]

Ph = 965,4 ⋅ 0,1667 ⋅ 201,758 = 32.463,5

[W]

Pm =

32463,5 = 40.579,4 0,8

[W]

Pa =

40.579,4 = 46.643,0 0,87

[W]

Respuesta 3

La expresión de la curva resistente es la siguiente: E r = g ⋅ ∆z +

∆p + ∆e tot ρ

[J/kg]

Aplicada entre los puntos extremos del circuito (depósito de aspiración y llegada a la caldera), se tiene: E r = g ⋅ (z II − z I ) +

p II − p I + ∆e tot ρ

[J/kg]

Ahora, la energía resistente es igual a la de la bomba (en el punto de funcionamiento) y, sustituyendo el resto de datos: 201,758 = 9,81 ⋅ [6 − (− 1)] +

106.000 − 95.000 + ∆e tot 965,4

[J/kg]

Resultando las pérdidas de carga totales: ∆e tot = 121,694

[J/kg]

∆h tot = 12,4051

[m C.A.]

No obstante se pedía, también, las pérdidas de carga en la impulsión. Se realiza la diferencia con el dato: ∆e imp = ∆e tot − ∆e asp

[J/kg]

∆e imp = 121,694 − 4,9

[J/kg]

∆e imp = 116,794

[J/kg]

∆h imp = 11,9056

[m C.A.]

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Ejercicios resueltos - 193

Respuesta 4

La condición de funcionamiento sin problemas de cavitación debe cumplir que el NPSE disponible (o de instalación) sea superior al NPSE requerido (característica de la máquina definida por medio de ensayos de laboratorio), que, en este caso, es dato: NPSE d ≥ NPSE r

[J/kg]

Planteando la expresión de NPSEd en función de las condiciones de instalación: NPSE d = E b − E v − E s − ∆e asp

[J/kg]

La presión ambiente en la aspiración, Eb, que es dato, es inferior a la atmosférica. La presión de vapor del agua, Ev, es función de la temperatura, que también es dato, y se consulta en los ábacos. La altura de aspiración Es, también es dato, así como la pérdida de carga en la aspiración, ∆easp. Notas: 1. Lógicamente, los conceptos de presión de vapor, presión barométrica, etc. Vendrán indicados en forma de energía específica. Se ha incluido la denominación tradicional por costumbre, aunque se trata en cada caso de energías específicas en [J/kg] 2. El concepto de energía de aspiración, referido a la altura de aspiración se considera a veces, como aquí, como simple desnivel geométrico con las pérdidas separadas ó bien con éstas incluidas. 3. Se incluyen expresiones equivalentes, de modo que se pueden consultar directamente con los ábacos NPSE d = g ⋅ NPSH d

[J/kg]

g ⋅ NPSH d = g ⋅ (H b − H v − H s − ∆hasp )

[J/kg]

NPSE d =

pb

ρ

−

pv

ρ

− g ⋅ H s − ∆easp

[J/kg]

Sustituyendo, pues, los datos: 9,81 =

95.000 71.500 − − 9,81 ⋅ (z eje − z asp ) − 4,9 965,4 965,4 z eje − z asp = 0,982

[J/kg]

[m]

Para alturas superiores se producirá una cavitación excesiva. Concretamente, pues, la disposición actual con una altura del eje respecto del nivel de 1 [m], conduce a un funcionamiento incorrecto.

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Ejercicios resueltos - 194

Respuesta 5

Las bombas centrífugas siempre deben arrancar y pararse a válvula cerrada, ya que a caudal 0 los requerimientos de potencia (mecánica y eléctrica) son menores en el arranque. Justo al revés que en bombas axiales (ver figura 6.13 en el libro, página 157). Al no haber válvula de pie, además, si la válvula de bola está cerrada el circuito se descebará. Por ello, si –a pesar de no ser recomendable- se desea arrancar la bomba con válvula abierta y se tiene siempre una altura de aspiración positiva (eje de bomba por encima de nivel de aspiración), el circuito estará vacío, inicialmente, por lo que la bomba no podrá impulsar agua. Se ha producido el fenómeno de descebe; la bomba estaría trabajando como ventilador. Si la altura de aspiración fuese negativa, podría funcionar la bomba siempre que la conducción de aspiración no esté dispuesta en sifón. Remedios: ™ Válvula de pie en la aspiración y circuito auxiliar de llenado de la tubería de aspiración (para la primera vez). ™ Válvula en la impulsión con cierre automático en la parada de la bomba (para mantener la columna) y circuito auxiliar de vacío. Será útil si no se producen fugas por el sistema de estanquidad del eje (prensaestopas). ™ Otros.

Problemas: ™ Un funcionamiento prolongado con bomba descebada puede deteriorar la estopada o el cierre mecánico.

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Ejercicios resueltos - 195

EJERCICIO 3.11. Respuesta 1

Aplicando Bernoulli entre 1 y 2: hB = z 2 + K ⋅ Q 2 = 50 + 200 ⋅ Q 2

ηm =

Pm P Æ 0,9 = m Æ Pm = 147 ⋅ 0,9 = 132,3 [kW] Pelec 147

PH = γ ⋅ Q ⋅ H = 9810 ⋅ 0,2 ⋅ 58 = 113796 [W]

ηG =

PH 113,796 = = 0,8641 Æ 86,01 [%] 132,3 Pm

Respuesta 2

Si Q = 0,2 [m3/s] entonces hB = 58 [m] En el enunciado se indica que con la válvula cerrada Q = 0 [m3/s] entonces H = 62 [m] siendo la bomba estable, de manera que conociendo estos dos puntos de funcionamiento: Q [m3/s] H [m C.A.] 0 62 Estable 0,2 58 Siendo la ecuación H = A + B ⋅ Q + C ⋅ Q 2 para calcular el caudal máximo

dH = 0 = B + 2 ⋅ C ⋅ Q y cuando Q = 0 entonces B = 0 dQ

de manera que la ecuación queda: H = A + C ⋅ Q 2 funcionando en los siguientes puntos: 3) H = 58 [m C.A.] y Q = 0,2 [m3/s] 4) H = 62 [m C.A.] y Q = 0 [m3/s] Resolviendo la ecuación: ⇒

A = 62 y C = −100

H = 62 − 100 ⋅ Q 2

180 160 140

H

120 100 80 60 40 20

0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0, 35 0, 4 0, 45 0, 5 0, 55 0, 6 0, 65 0, 7 0, 75

0

Q H

hB

Respuesta 3 Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 196

Si Q' = 1,2 ⋅ 0,2 = 0,24 [m3/s] entonces h' B = 56,24 [m] y con la bomba del apartado anterior no es suficiente, de manera que hay que elevarlo hasta una altura de 60 [m]. hB = z + K ⋅ Q' 2 = 60 + 200 ⋅ Q' 2 2 Si Q'= 0,24 [m3/s] entonces h' B = 71,52 [m C.A.] Aplicando semejanza H N Q N = y =  Q' N ' H '  N ' 

2

2

2

N  400  H =   ⋅ H '=   ⋅ H'  N'  N' 

⇒

N 400 ⋅ Q' = ⋅ Q' N' N'

Q= Y sustituyendo en la ecuación 2

 400   400  ⋅ Q'    ⋅ H ' = 62 − 100 ⋅   N'   N' 

2

2

 N'  2 H ' = 62 ⋅   − 100 ⋅ Q'  400 

⇒

2

 N'  2 71,52 = 62 ⋅   − 100 ⋅ 0,24 Æ N ' = 446,58 [r.p.m.]  400  80 70 H [m C.A.]

60 50 40 30 20 10 0 0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

Q [m3/s]

H

hB

Resolviéndolo de otra manera: 2

2

2

Q H Q  Q  =   Æ H =   ⋅ H ' =   ⋅ 71,52 H '  Q'   0,24   Q' 

E igualando a H ' = 62 − 100 ⋅ Q' 2 H = 57,38 [m];

Q = 0,21497 [m3/s]

Como son puntos semejantes: 0,21497 400 = Æ N ' = 446,58 [r.p.m.] 0,24 N'

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

0,30

Ejercicios resueltos - 197

EJERCICIO 3.12.

N = 1400 [r.p.m.];

Q = 240 [L/min] = 0,004 [m3/s];

Hm = 8 [m C.L.]

Se conocen 3 puntos de funcionamiento que deben pertenecer a la curva H (Q): H = A + B ⋅ Q + C ⋅ Q2

8 = A + B ⋅ 0 + C ⋅ 02 7 = A + B ⋅ 0,005 + C ⋅ 0,0052 8 = A + B ⋅ 0,004 + C ⋅ 0,0042

Resolviendo: H [m C.L.] = 8 + 800 ⋅ Q – 2 ⋅ 105 ⋅ Q2 Lo mismo con los puntos de la curva de rendimiento η (Q):

η = E ⋅ Q + F ⋅ Q2

0 = E ⋅ 0 + F ⋅ 02 0,5 = E ⋅ 2 ⋅ 10-3 + F ⋅ (2 ⋅ 10-3)2 0,68 = E ⋅ 4 ⋅ 10-3 + F ⋅ (4 ⋅ 10-3)2

Resolviendo: η = 330 ⋅ Q – 40000 ⋅ Q2

Punto de funcionamiento: Q = 0,004 [m3/s], H = 8 [m C.L.], ya que z2 – z1 = 0 (circuito cerrado). Ph = γ ⋅ Q ⋅ H = 880 ⋅ 9,81 ⋅ 0,04 ⋅ 8 ⇒

Ph = 0,276 [kW]

Pm = Ph/η = 0,405 [kW] 8 = K ⋅ 0,0042 (curva resistente)

⇒

K = 5 ⋅ 105 [m C.L. /(m3/s)2]

Como no hay efectos de escala, las viscosidades del líquido inicial de 880 [kg/m3] y la del agua fría son suficientemente similares (νlíquido ≈ νagua fría ) por lo que las pérdidas en las mismas condiciones son las mismas. K = 5 ⋅ 105 [m C.L. /(m3/s)2] →

K = 5 ⋅ 105 [m C.A. /(m3/s)2]

Por todo ello, si se duplican las pérdidas es indiferente que se trate del agua o del líquido inicial por lo que puede escribirse que: K’ = 2K

→ K’ = 106 [m C.A. /(m3/s)2]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 198

Por tanto la altura manométrica requerida para bombear en esta nueva curva resistente un caudal de 0,004 [m3/s] es: 16 = 106 ⋅ 0,0042

(nueva curva resistente)

Por la misma razón la curva H-Q a 1400 [r.p.m.] es válida excepto que ahora vendrá expresada en metros de columna de agua. H [m C.A.] = 8 + 800 ⋅ Q – 2 ⋅ 105 ⋅ Q2

Si se cambia la velocidad de giro pasando de N = 1400 [r.p.m.] a otra velocidad desconocida N’, la expresión paramétrica: 2

2

 N'  N'  N'   N'  5 2 H = A  + B Q + CQ 2 ⇒ H = 8  + 800 Q − 2 ⋅10 Q  1400   1400  N N

Se trata de buscar el valor de N’ para que el punto Q = 0,004 [m3/s] y H = 16 [m C.A.] 2

 N'   N'  5 2 pertenezca a H = 8  + 800 Q − 2 ⋅10 Q 1400 1400    

Operando:

N’ = 1907 [r.p.m.]

Ph = γ ⋅ Q ⋅ Hm = 0,627 [kW] Razonando igual con la curva de rendimiento 2

N N η = E   Q'+ F   Q' 2 ⇒  N'  N'

2

 1400   1400  2 η = 330 Q'−40000  Q'  1907   1907 

η = 242,28 ⋅ Q – 21560,8 ⋅ Q2 η (Q = 0,004 [m3/s]) = 0,624 [-]

⇒

Pm =

Ph

η

=

0,627 ≅ 1 [kW] 0,624

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 199

EJERCICIO 3.13. Respuesta 1

Aplicando la ecuación de la energía entre las superficies libres de los depósitos inferior (1) y superior (2), se tiene que:

z1 +

c2 p c12 p + 1 + h B = z 2 + 2 + 2 + h R12 2⋅g γ 2⋅g γ

[m C.A.]

En este caso: z2 – z1 = 24 [m] c1 = c2 ≈ 0 [m/s] (suponiendo depósitos grandes) p1 = p2 ≈ 0 [Pa] (suponiendo ambos depósitos a presión atmosférica) hR12 = 0,0148 ⋅ Q2 [m C.A.] De forma que la curva resistente de la instalación queda: hB = 24 + 0,0148 ⋅ Q2

[m C.A.] (con Q en [m3/h])

Como el caudal a bombear está definido (Q = 50 [m3/h]), la bomba debe ser capaz de aportar la siguiente altura: H = 24 + 0,0148 ⋅ 502 = 61 [m C.A.] Analizando las curvas características se observa que la bomba con 5 rodetes (SV6005) aporta exactamente 50 [m3/h] y 61 [m C.A.], por lo que se elige la bomba con 5 rodetes (en general se debería seleccionar la bomba inmediatamente superior a la del punto de funcionamiento deseado y a continuación ajustar el punto de funcionamiento). El rendimiento se lee directamente en la gráfica. Para un caudal de 50 [m3/h] se tiene que: ⇒ η = 67 [%] Respuesta 2

La potencia hidráulica se calcula a partir del caudal y de la altura de la bomba: PH = ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ (50/3600) ⋅ 61 = 8311,25 [W] Respuesta 3

La potencia mecánica se calcula a partir de la potencia hidráulica y el rendimiento: Pm = PH / η = 8311,25/ 0,67 = 12,41 ⋅ 103 [W]

Se puede comprobar con el valor facilitado por el fabricante, que ofrece la potencia mecánica por cada una de las etapas. En este caso la potencia mecánica calculada para cada una de las 5 etapas sería: Pmst = Pm / 5 = 2480,97 [W], valor que coincide con el facilitado gráficamente por el fabricante ( ≈ 2,5 [kW])

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 200

Respuesta 4

Para calcular el equivalente energético de la instalación se calcula primero la potencia eléctrica consumida a partir de la potencia mecánica calculada y el rendimiento del motor: Pe = Pm / ηmotor = 12,41 / 0,8 = 15,51 ⋅ 103 [W] = 15,51 [kW] Y finalmente el equivalente energético: ⇒

e = Pe / Q = 15,51 / 50 = 0,3101 [kW-h/m3]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 201

EJERCICIO 3.14. Q1

QT

QT

Q2

Tramo 1: HA – ∑hf T1 + HmB1(Q1) + HmB2(Q1) = HB ⇒ HA – ∑hf T1 +2 · HmB1(Q1) = HB Tramo 2: HA – ∑hf T2 + HmB3(Q2) = HB ⇒ HA – ∑hf T2 + HmB3(Q2) = HB siendo HA = pA / γ + vA2/ 2·g HB = pB / γ + vB2/ 2·g vB = vA ⇒ HB – HA = 70000/9810 = 7,14 [m C.A.] ∑hf T1 = K1 · Q12 = 2 · Q12 ∑hf T2 = K2 · Q22 = 5 · Q22 Por lo tanto: – 2 · Q12 + 2 · Hm1 (Q1) = 7,14 ⇒ – 2 · Q12 + 2 ⋅ (49 – Q12) = 7,14 2 – 5 · Q2 + Hm3 (Q2) = 7,14 ⇒ – 5 · Q22 + (25 – 0,5 · Q22) = 7,14 Resolviendo: Q1 = 4,77 · 10-3 [m3/s]; Q2 = 1,80 · 10-3 [m3/s] HmB1 = 49 – 4,772 = 26,28 [m C.A.] HmB2 = 49 – 4,772 = 26,28 [m C.A.] HmB3 = 25 – 0,5 ⋅ 1,802 = 23,38 [m C.A.] Ph1 = 9,81 · 26,28 · 4,77 · 10-3 = 1,228 [kW] = Ph2 Ph3 = 9,81 · 23,38 · 1,80 · 10-3 = 0,413 [kW] -3 3 ηB1 (Q1 = 4’77 · 10 [m /s]) = 0,6388 [-] = ηB2 ηB3 (Q2 = 1,80 · 10-3 [m3/s]) = 0,8064 [-] Pejemec1 = Ph1 / ηB1 = 1,228 / 0,6382 = 1,923 [kW] = Pejemec2 Pejemec3 = Ph3 / ηB3 = 0,413 / 0,8064 = 0,513 [kW] PABS1 = Pejemec1 / ηelect1 = 1,923/0,8 = 2,40 [kW] = PABS2 PABS3 = Pejemec3 / ηelect3 = 0,513/0,8 = 0,64 [kW] Ph = ρ ⋅ g · H · Q

⇒

PABStotal = PABS1 + PABS2 + PABS3 = 5,45 [kW] QT = Q1 + Q2 = 6,57 [L/s] = 23,652 [m3/h] El equivalente energético será entonces: eu = PABS / QT = 5,45 / 23,652 = 0,23 [kW-h/m3]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 202

EJERCICIO 3.15.

h

Respuesta 1

NPSH r = A + B ⋅ Q + C ⋅ Q 2 NPSH d = H b − H v − H S = 10,33 − NPSH d = 10,33 −

2339 − H a − K ⋅ Q2 9810

2389 − H a − 2 ⋅ 10 −6 ⋅ Q 2 9810

Leyendo de la gráfica y descontando el margen de seguridad se obtiene el NPSHR que se debe entender como NPSH3%: Q [m3/h] 350 575 635 675 805 900

Ha [m C.A.] 7,8 7,7 7,6 7,5 7,0 6,5

Ha + 1 [m C.A.] 8,8 8,7 8,6 8,5 8,0 7,5

NPSH3% [m C.A.] 1,05 0,73 0,69 0,68 0,80 0,97

Y ahora ajustando por mínimos cuadrados: n

∑ NPSH

n

n

1

1

= A ⋅ n + B ⋅ ∑ Qi + C ⋅ ∑ Qi2

i

1

n

n

n

n

1

1

1

∑ (NPSH

i

∑ (NPSH

2 2 3 4 i ⋅ Qi ) = A ⋅ ∑ Qi + B ⋅ ∑ Qi + C ⋅ ∑ Qi

1

n

1

⋅ Qi ) = A ⋅ ∑ Qi + B ⋅ ∑ Qi2 + C ⋅ ∑ Qi3 n

n

n

1

1

1

⇒

NPSH = A + B ⋅ Q + C ⋅ Q 2

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 203

NPSH3% [m C.A.] 1,05 0,73 0,69 0,68 0,80 0,97

Q [m3/h] 350 575 635 675 805 900

Q2 [m6/h2] 122500 330625 403225 455625 648025 810000

Q3 [m9/h3]

Q4 [m12/h4]

NPSH3% ⋅ Q [m C.A m3/h]

NPSH3%⋅ Q2 [m C.A m6/h2]

42875000 190109375 256047875 307546875 521660125 729000000

15006250000 109312890625 162590400625 207594140625 419936400625 656100000000

367,50 419,75 438,15 459,00 644,00 873,00

128625,00 241356,25 278225,25 309825,00 518420,00 785700,00

NPSH r = 2,427335384 − 0,005391413 ⋅ Q + 4,18706 ⋅ 10 −6 ⋅ Q 2

1,1

NPSH3% [m C.A.]

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 325

425

525

625

725

825

925

Q [m /h] 3

NPSH3%-Q

Polinómica (NPSH3%-Q)

y = 4E-06x 2 - 0,0054x + 2,4273

Respuesta 2

Q = 700 [m3/h] = 0,198 [m3/s]

η mot = 0,9 [-]

φ [mm] 270 280 290 300 310 320 330

H [m C.A.] 11 12,8 15 17 20 22,8 25,5

PH [kW] 20,98 24,42 28,61 32,43 38,15 43,49 48,64

η [-] PM [kW] 0,67 0,70 0,73 0,76 0,79 0,82 0,84

31,92 34,88 39,20 42,67 48,29 53,04 57,90

η mot [-]

Pabs [kW]

0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9

54,80 38,76 43,55 47,41 53,66 58,93 64,34

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

 kWh  e 3   m  0,0497 0,0554 0,0622 0,0677 0,0767 0,0842 0,0919

Ejercicios resueltos - 204

EJERCICIO 3.16.

De la gráfica se lee que para Q = 16 [m3/h] la altura manométrica correspondiente es: Hm = 28 [m C.A.] y Hg = 15 [m] Ese punto pertenece a la curva resistente, con lo que: Hm = 28 = Hg + K ⋅ Q2 k = 0,051 [m C.A./(m3/h)2] La potencia hidráulica se calcula de manera inmediata: Ph = γ ⋅ Q ⋅ H m = 9,8 ⋅

16 ⋅ 28 = 1,22 [kW] 3600

De la gráfica en la curva de rendimiento se lee que para Q = 16 [m3/h] el ηBOMBA es 0,70 [-], por lo que se puede calcular la potencia en el eje o mecánica Pm: Pm = Ph/ηBOMBA = 1,742 [kW] Si la bomba tiene 4 etapas iguales a cada etapa se le puede atribuir una potencia mecánica: Pm etapa = Pm/4 = 0,4355 [kW] De la observación de la gráfica se puede ver que la potencia por etapa (kW/Stage) no es compatible con la potencia mecánica por etapa ya que para Q = 16 [m3/h] la lectura es de ~ 0,67 [kW]. Por tanto, se deduce que la gráfica se refiere a potencia eléctrica consumida. Para comprobarlo, se calcula la potencia eléctrica absorbida de red que debe ser compatible con la lectura de la gráfica. Si la bomba tiene 4 etapas y el rendimiento del motor es dato (η motor = 0,65 [-] y nº etapas = 4), la potencia absorbida de red Pabs total es: Pabstotal =

Pmec

η motor

= 2,68 [kW]

⇒

Pabstetapa =

Pabstotal = 0,67 [kW/etapa] 4

Lo cual confirma que el fabricante está proporcionando potencias eléctricas en su curva. A partir de aquí, se puede calcular el equivalente energético del bombeo: en =

Pabstotal 2,68 = = 0,1675 [kW-h/m3] Q 16

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 205

EJERCICIO 3.17. Respuesta 1

Para obtener la curva característica de la bomba en la segunda condición de funcionamiento, se dispone de la siguiente información: •

Q2 = 324 [m3/h] = 0,09 [m3/s]

⇒

H2 = 80 [m C.F.]

•

Q2 = 0 [m3/h]

⇒

H2MAX = 1,5 ⋅ 80 = 120 [m C.F]

En general la expresión de la curva característica de bombas centrífugas se puede ajustar a un polinomio de segundo grado: H = A + B ⋅ Q + C ⋅ Q2 En este caso particular el máximo de altura de impulsión se produce para el caudal mínimo Q = 0 [m3/h], es decir: dH/dQ = B + 2 ⋅ C ⋅Q = 0

con Q = 0

⇔

B=0

Es decir, la curva característica se puede ajustar a la expresión:

H2 = A + C ⋅ Q22

80 = A + C ⋅ 0,092

Sustituyendo los valores conocidos:

120 = A + C ⋅ 02 Despejando: A = 120 y C = - 4938,27 Por lo que la curva característica queda: H2 = 120 – 4938,27 ⋅ Q22

[m C.F] con Q2 en [m3/s]

Respuesta 2

De la primera condición de funcionamiento se conoce el caudal Q1 = 0,4 [m3/s]. La altura de impulsión correspondiente a dicho caudal se puede obtener a partir de la curva característica de la bomba en esas condiciones. Para obtenerla se aplicarán las siguientes relaciones de semejanza a partir de la curva característica obtenida en el apartado anterior (sin olvidar que g NO es constante): •

Q1 Q2 = 3 N1 ⋅ D1 N 2 ⋅ D32

•

E1 E = 2 2 2 2 N ⋅ D1 N 2 ⋅ D 2 2 1

⇒

g1 ⋅ H1 g ⋅H = 22 22 2 2 N1 ⋅ D1 N 2 ⋅ D 2

Para la bomba se tiene que: N2 = 0,25 ⋅ N1

D2 = D1

g2 = 2 ⋅g1

De forma que las relaciones de semejanza quedan: H2 = H1/32 y Q2 = Q1/4 Y finalmente, sustituyendo en la curva característica, H2 = 120 – 4938,27 ⋅ Q22, se tiene que: H1 = 3840 – 9876,54 ⋅ Q12 Como Q1 = 0,4 [m3/s], sustituyendo:

[m C.F] con Q1 en [m3/s] H1 = 2259,75 [m C.F]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 206

Respuesta 3

Aplicando la ecuación de conservación de la energía (Bernoulli) entre el depósito inferior y el depósito superior, se tiene que para cualquiera de las dos situaciones:

z1 +

v12 p12 v2 p2 + + h B = z 2 + 2 + 2 + h R12 2⋅g γ 2⋅g γ

[m C.F.]

En este caso, suponiendo depósitos grandes sin variación apreciable de nivel y a la presión atmosférica correspondiente:

h B = ∆z + h R12

[m C.F.]

Para la segunda situación se tiene que:

•

hB2 = 80 [m C.F]

•

hR122 = K2 ⋅ Q22 = 4 ⋅ 0,092 = 0,0324 [m C.F.]

Por lo tanto, el desnivel geométrico:

∆z2 ≈ 79, 97 [m]

Para la primera situación se tiene que:

•

hB1 = 2259,75 [m C.F]

•

hR121 = K1 ⋅ Q12 = K1 ⋅ 0,42 [m C.F.]

En este caso, al variar el valor de g, la curva resistente del circuito hidráulico expresada en [m C.F.] también varía (K1 ≠ K2). Para la segunda condición de funcionamiento se sabe que:

∆HR2 = 4 ⋅ Q22 [m C.F.] En ambas situaciones el parámetro que permanece constante es la “potencia de pérdidas”. Es decir, para un mismo circuito hidráulico funcionando en el mismo régimen, la potencia de pérdidas es la misma. El problema surge al expresar dicha pérdida en metros de columna de fluido, pues dicho valor varía al variar condiciones gravitatorias. Se tiene que: Si

Pp1 = ρ1 ⋅ g1⋅ Q1⋅ ∆HR1 = ρ2 ⋅ g2 ⋅ Q2 ⋅ ∆HR2 = Pp2

ρ1 = ρ2

(el fluido no varía)

g2 = 2 ⋅ g1

(el campo gravitatorio varía)

Q1 = Q2

(suponiendo mismo régimen de funcionamiento)

Entonces para que Pp1 = Pp2, se debe cumplir que:

[W]

∆HR1 = 2 ⋅ ∆HR2 [m C.F.]

Es decir, que la constante de pérdidas para la primera situación se duplica, resultando:

∆HR1 = 8 ⋅ Q22

[m C.F.]

Nota.- se puede llegar a la misma conclusión aplicando las relaciones de semejanza (sin olvidar que g NO es constante) a la INSTALACIÓN HIDRÁULICA:

•

Q1 Q2 = 3 N1 ⋅ L1 N 2 ⋅ L32

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 207

•

g ⋅ ∆H g ⋅ ∆H ∆E R1 ∆E = 2 2 2R2 = 2 R2 2 ⇒ 1 2 R1 2 2 2 N 1 ⋅ D1 N 2 ⋅ D 2 N 1 ⋅ D1 N2 ⋅ D2

Para la instalación hidráulica se tiene que:

•

N2 = N1

(ninguna gira)

•

L2 = L1

(la geometría no varía)

•

g2 = 2 ⋅g1

De forma que las relaciones de semejanza quedan: 2

Así: ∆HR2 = 4 ⋅ Q2 ⇒

∆HR2 = ∆HR1/2 y Q2 = Q1

2

∆HR1 / 2 = 4 ⋅ Q1 ⇒ ∆HR1 = 8 ⋅ Q12

[m C.F.]

Las pérdidas de carga para la primera situación por tanto:

•

hR121 = K1 ⋅ Q12 = 8 ⋅ 0,42 = 1,28 [m C.F.]

∆z1 ≈ 2258,47 [m]

Y, en consecuencia, el desnivel geométrico: Respuesta 4

La potencia eléctrica consumida por la bomba en cada una de las situaciones se calculará a partir de la potencia hidráulica ganada por el fluido y los rendimientos de la bomba y el motor. En general: PH = ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H Pm = PH / η Pe = Pm / ηa Para la primera situación se tiene que:

• • • • • •

ρ1 = 2000 [kg/m3]

g1 = 9,81 [m/s2] Q1 = 0,4 [m3/s] H1 = 2259,75 [m C.F.] η1 = 0,9 [-] ηa1 ≈ 1 [-]

Operando se obtienen los siguientes valores de las potencias: PH1 = 17,74 [MW];

Pm1 = 19,71 [MW];

Pe1 ≈ 19,71 [MW]

Para la segunda situación se tiene que:

• • • • • •

ρ2 = 2000 [kg/m3] g2 = 19,62 [m/s2] Q2 = 0,09 [m3/s] H2 = 80 [m C.F.] η2 = 0,9 [-] ηa2 ≈ 1 [-]

Operando se obtienen los siguientes valores de las potencias: PH2 = 282,53 [kW];

Pm2 = 313,92 [kW]; Pe2 ≈ 313,92 [kW]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 208

EJERCICIO 3.18.

150 [m]

B

1) 2) 3) 4)

Q = v · S = 3 · π · 0,52 / 4 = 0,589 [m3/s] ∆ = f · L · v2 / (D · 2 · g) = 0,02 · 1000 · 32 / (0,5 · 2 · g) = 18,35 [m] ∆ = k · Q2 ⇒ 18,35 = K · 0’5892 ⇒ K = 52,88 [m C.A./(m3/s)2] er 1 caso

HR = 150 + 52,88 · Q2 ⇒ Q = 0,589 [m3/s]

HR = 168,35 [m C.A.]

Hm = c0 + c1 · Q + c2 · Q2 Con los dos puntos siguientes y el del punto de funcionamiento hallamos los coeficientes de la curva motora: Q=0 [m3/s] ; H = 220 [m C.A.] Q = 1,5 [m3/s] ; H=0 [m C.A.]

⇒

Hm = 220 – 49,56 · Q – 64,73 · Q2

2º caso (con grupo en paralelo) Hm = 220 – 49,56 · Q / 2 – 64,73 · Q2 / 4 = 220 – 24,78 · Q – 16,18 · Q2 HR = 150 + 52,88 · Q2 Con 2 bombas en paralelo el nuevo punto de funcionamiento para v = 5 [m/s];: Q´ = v´ · S = 5 · π · 0,52 / 4 = 0,9817 [m3/s] La curva resistente no ha variado, por lo que, H´ = 150 + 52,88 ⋅ 0,98172= 200,97 [m C.A.]. Deberemos modificar la velocidad de rotación de las bombas: Hm = 220· (N´ / 600 )2 – 24,78 · Q´ · (N´/ 600 ) – 16,18 · Q´2 Sustituyendo en la curva motora por los valores del punto de funcionamiento deseado se obtiene: N´ = 629,38 [r.p.m.] 5)

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Ejercicios resueltos - 209

EJERCICIO 3.19.

Respuesta 1 NPSH r = 1,8 [m C.A.] NPSH d = H b − H v − H S = 10,33 − 0,2 − H a Igualando, estrictamente: 1,8 = 10,33 − 0,2 − H a ⇒ H a = 8,33 [m] Se modifica la instalación, suponiendo que se le añade 0,5 [m] de margen de seguridad, de manera que H a = 7,83 [m].

Respuesta 2

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Ejercicios resueltos - 210

Con el valor del caudal establecido Q = 190 [L/min] = 11,4 [m3/h] se plantea Bernoulli entre 1 y 2: P1 v12 P2 v22 + + z + hB = + + z 2 + hR1−2 γ 2⋅ g 1 γ 2⋅ g Y haciendo las simplificaciones pertinentes: hB = 58 + hR1− 2 = H > 58 [m C.A.] 0,19 PH = γ ⋅ Q ⋅ H = 9810 ⋅ ⋅H 60 Para 1 etapa: PH 1 = γ ⋅ Q ⋅ H = 9810 ⋅ PH 1

0,19 ⋅10 = 310,65 [W] 60

310,65 = 443,79 [W] Æ PM 1 = 0,444 [kW] 0,7 η PM 1 = 0,45 [kW] P 443,79 = 522,1 [W] Æ Pabs1 = 0,552 [kW] Pabs1 = M 1 = 0,85 η mot PM 1 =

=

y

en

la

Para todas las etapas: n (etapas)

Hm [m C.A.]

5 6 7 8

50 60 70 80

PH [kW] 1,804 2,175 2,485

PM [kW]

Pabs [kW]

No vale 2,663 3,133 3,107 3,655 3,550 4,177

Tras observar los resultados se elegiría el caso de 6 rodetes.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

 kWh  e 3   m  0,275 0,321 0,366

gráfica

es

Ejercicios resueltos - 211

EJERCICIO 3.20. Respuesta 1

En primer lugar se establece la expresión de la curva resistente para las condiciones de funcionamiento. Se tiene la expresión de la pérdida de carga, ya conocida: L c2 ∆e = f ⋅ ⋅ D 2

[J/kg]

donde: c=

Q 0,05556 = = 1,768 A 0,0314159

Re =

[m/s]

c⋅D 0,3536 = = 632 υ vc 559 ⋅ 10 −6

!!!

[-]

El flujo se encuentra en condiciones de régimen laminar. En el ábaco de Moody, se tiene f = 0,1012 [-], aunque también es posible la solución exacta, ya que en régimen laminar:

f=

64 = 0,1012 Re

[-], resultando:

∆e = 0,1012 ⋅

100 1,768 2 ⋅ = 79,08 0, 2 2

[J/kg]

Expresando ahora la relación entre pérdida de carga (energía) en función del caudal se debe tener en cuenta que la función es lineal y no cuadrática. Efectivamente, sustituyendo por sus valores respectivos se tiene:

∆e =

64 L c 2 ⋅ ⋅ Re D 2

[J/kg]

∆e =

128 ⋅ ν ⋅ L ⋅ Q = 1423,5 ⋅ Q π ⋅ D4

[J/kg] [J.s.kg-1.m-3]

K = 1423,5 La curva resistente tendrá por expresión: E r = g ⋅ ∆z + ∆e = 9,81 ⋅ 50 + 1423,5 ⋅ Q

[J/kg]

Para el caudal especificado, el punto en la curva resistente coincidiría o sería del orden de magnitud del punto en la curva característica de la bomba (aún por definir). E r = 569,58 [J/kg]

Q = 0,05556 [m3/s]

Teniendo ya, aproximadamente, el punto de funcionamiento objetivo (líquido viscoso), se plasman en la Tabla 3.20.1, las expresiones que corresponderán al punto de funcionamiento en el catálogo de bombas (agua fría).

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Ejercicios resueltos - 212

Magnitud Caudal

Unidad [m3/s]

Resina de pino [1] Q vc = 0,05556

Energía

[J/kg]

E vc = 569,58

Altura impulsión

[m C.L.]

H vc = 58,061

Altura impulsión

[m C.A.]

H vc = 61,487

Densidad

[kg/m3]

ρ vc = 1059

ρ w = 1000

[3]

Viscosidad

[m2/s]

ν vc = 559 ⋅ 10 −6

ν w = 1 ⋅ 10 −6

[4]

Agua fría Q w = Q vc c Q

H w = H vc c H [2]

[1] a 37,8 [ºC] [2] a modo de información [3], [4] Datos del fabricante (catálogo) Tabla 3.20.1 Para ello bastará con determinar las correcciones a realizar en las magnitudes H y Q, respectivamente cH y cQ. Dichas correcciones se calculan empleando el ábaco HI, de permuta de agua a líquidos viscosos. La utilización normal del ábaco es a la inversa, es decir, se entra con los datos del agua (H y Q) y se calculan los coeficientes en función de las propiedades del líquido viscoso. Obviamente cuanta más diferencia haya entre ambos más diferirán los caudales y alturas entre líquidos. Por tanto el primer resultado que se obtendría sería aproximado y habría que proceder a una iteración. No obstante la diferencia de resultados entre una doble ó triple iteración y un cálculo en una sola etapa como el que se efectúa en este texto, es pequeña.

En la Figura 3.20.1, se determina: = 0,92 = 0,90 = 0,88 = 0,83 = 0,87

[-] [-] [-] [-] [-]

c η = 0,50

[-]

cH cH cH cH cQ

para para para para

Q = 0,60 ⋅ Q ∧ Q = 0,80 ⋅ Q ∧ Q = Q∧ Q = 1,20 ⋅ Q ∧

Con lo que se puede confeccionar la Tabla 3.20.2: Magnitud Caudal

Unidad [m3/h]

Resina de pino Q vc = 200,0

Agua fría Q w = 229,89

Energía

[J/kg]

E vc = 569,58

E w = 647,25

Altura impulsión

[m C.L.] H vc = 58,061 Tabla 3.20.2

H w = 65,979

Recurriendo al catálogo para bombas a 2900 [r.p.m.], se preseleccionan tres bombas que puede cumplir con el punto de funcionamiento calculado (ver Figuras 3.20.2 y 3.20.3): 9 Bomba 80-250.bF, entre curvas de 240 y 230 [mm] de diámetro, con rendimiento η = 78 [%]. 9 Bomba 80-250.aF, curva de 251 [mm] de diámetro (prácticamente), con rendimiento η = 70 [%].

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Ejercicios resueltos - 213

9 Bomba 100-250.bF, entre curvas de 236 y 226 [mm] de diámetro, con rendimiento η = 77,75 [%].

Figura 3.20.1. Ábaco de corrección

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Ejercicios resueltos - 214

Figura 3.20.2. Curvas características de bombas preseleccionadas y rechazadas con el punto de funcionamiento en agua fría

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Ejercicios resueltos - 215

Figura 3.20.3. Curvas características de la bomba seleccionada con el punto de funcionamiento en agua fría

De las tres bombas candidatas, se desecha en primera instancia la 80-250.aF, por ser su rendimiento en el punto de servicio sensiblemente inferior al resto (del orden de un 8 [%]). Las dos bombas restantes tienen sus pros y contras, aunque se puede considerar prácticamente igual el rendimiento de ambas: ‰

La 80-250.bF será algo más barata pero se saturará un poco antes (llegará a un menor caudal) y su curva de NPSHr es más desfavorable (en el punto de diseño se sitúa entre 5,5 y 6 [m C.A]).

‰

La 100-250.bF tendrá un coste algo superior, pero alcanzará un mayor caudal y su NPSHr será más favorable: del orden de 3,5 [m C.A.]

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Ejercicios resueltos - 216

Quede claro que las hipotéticas ventajas lo serán siempre y cuando existan exigencias en dicho sentido (no expresadas en el enunciado). En caso contrario, se puede afirmar que las dos bombas serían indistinguibles salvo en el coste de las mismas con ventaja para la 80-250.bF. El asunto del NPSHr no se cerraría considerando el valor indicado por el fabricante, pues pueden existir efectos de escala (en sentido positivo ó negativo) debido al cambio del líquido de trasiego. Estos efectos de escala estarán relacionados con el contenido en aire del líquido y sobre todo con la nucleación (gérmenes) del líquido, como se comenta en el capítulo 19.

Elección para continuar el problema: entre curvas 236 y 226 [mm] de diámetro de la bomba 100-250.bF a 2970 [r.p.m.]

Respuesta 2

Aplicando las “seudo-leyes de semejanza” empleadas en el recorte en el diámetro de impulsión, para bombas centrífugas, se tendrá: H D =  H'  D' 

2

y

Q D =  Q'  D' 

2

[-]

El método para determinar el diámetro que se ajusta al punto de funcionamiento es, en el presente caso, meramente gráfico. Para ello se traza el lugar geométrico de los puntos “homólogos”, es decir aquellos que satisface las expresiones de aquí arriba (una recta): ver Figura 3.20.4. Se determinan a continuación los valores de H y Q en las curvas de diámetro conocido (para mayor certeza y detectar posibles errores se verifican tanto en relación de caudales como de alturas y tanto para la Ø236, como la Ø226). Se tienen los valores que se consignan en la Tabla 3.20.3.

Punto de funcionamiento objetivo: Q’= 229,89 [m3/h]; H’= 65,979 [m C.A.] D2 [mm] H [m C.A.] Original curva 236 67,286 D’2 según 233,70 Original curva 226 61,282 D’2 según 234,50 Media D’2 234,1

Q [m3/h] 235,60 233,12 213,40 234,57 233,85

Media D’2 [mm] 233,41 234,54 233,99

Tabla 3.20.3

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Ejercicios resueltos - 217

Este método permite para bombas del tamaño del problema, poder afirmar que las diferencias en diámetro deben ser inferiores, para valores extremos a 2 [mm] y en las medias a 1 [mm].

El diámetro de rodete después de cilindrado deberá ser de 234,00 [mm].

Respuesta 3

En principio se deberían recalcular todos los coeficientes correctores adaptados a la nueva realidad. Es decir, una vez definida la bomba y estimados el caudal y la altura en el óptimo para agua, se debería entrar de nuevo en el ábaco de corrección, obteniendo nuevos valores (esta forma de proceder conducirá, en general a coeficientes algo mayores, luego a menores correcciones). Sin embargo, a nivel docente se considera suficiente con la metodología seguida, considerando siempre los coeficientes de corrección obtenidos inicialmente. Otra cuestión que se puede plantear es que el óptimo de la máquina (refiriéndose siempre a la curva H-Q actual) no coincida con el punto de diseño (tal hubiera sido el caso, por ejemplo, si la elección hubiera recaído en la bomba 80-250.b). En general esta diferencia repercutiría sobre el valor de los coeficientes ya que se debería entrar, de nuevo, en el ábaco de corrección. Se recomienda dejar los coeficientes de corrección como están siempre que las diferencias entre el caudal de diseño y el caudal en el óptimo sean inferiores a un cierto valor. Orientativamente este valor se fija en el 15 [%].

En el caso presente no existe el problema citado en el párrafo anterior ya que el punto de diseño se sitúa en el óptimo de la curva H-Q nueva.

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Ejercicios resueltos - 218

Figura 3.20.4. Lugar geométrico de puntos homólogos para diferentes diámetros (seudo ley de semejanza del recorte de rodetes), aplicado al caso del problema.

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Ejercicios resueltos - 219

Figura 3.20.5. Construcción gráfica de la curva característica para D2e = 234 [mm].

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Ejercicios resueltos - 220

Queda pendiente, por último, antes de completar la tabla de valores 41.2, definir completa ó parcialmente la curva H-Q para el nuevo diámetro, 234 [mm]. Esto se realiza aproximadamente, de modo gráfico, fijando los caudales numéricamente (porcentajes del de diseño) y guardando proporcionalidad con las curvas anterior y posterior (ver Figura 3.20.5). Completando ahora la Tabla 3.20.2, para todos los puntos de funcionamiento se tiene la Tabla 3.20.4 y se realiza la Figura 3.20.6: Magnitud

Caudal [m3/h] Altura impuls. [m C.L.] Energía específica [J/kg] Rendimiento [%] Potencia mecánica [kW]

Resina de pino (vc) Agua fría (w) 0,6 ⋅ Qdis 0,8 ⋅ Qdis 1,0 ⋅ Qdis 1,2 ⋅ Qdis 0,6 ⋅ Qdis 0,8 ⋅ Qdis 1,0 ⋅ Qdis 1,2 ⋅ Qdis

120,0

160,0

200,0

240,0

137,93

183,91

229,89

275,87

67,160

63,000

58,061

49,029

73,000

70,000

65,979

59,071

658,84

618,03

569,58

480,97

716,13

686,70

647,25

579,49

34,0

38,0

38,9

37,6

68,0

76,0

77,80

75,2 *

68,403

76,582

86,145

90,310

40,350

46,159

53,127

59,051

Tabla 3.20.4

Notas a la Tabla 3.20.4 y a la gráfica de la Figura 3.20.6. 1. Los valores para agua (curvas H-Q y η –Q) se han obtenido confeccionando la gráfica en el catálogo. 2. Los valores para agua de la curva (P-Q) se pueden obtener de las curvas ó bien (más preciso) a partir de la potencia hidráulica y los datos obtenidos gráficamente (nota 1), es decir:

Pm w =

Ph ρ w ⋅ Q w ⋅ g ⋅ H w = ηw ηw

[W]

3. Los valores para la resina de pino (curvas H-Q y η –Q) se obtienen a partir de los correspondientes para agua y de los coeficientes de corrección aplicables en cada caso. 4. Los valores para la resina de pino de la curva (P-Q) se recomienda obtenerlos a partir de la expresión:

Pm vc =

ρ ⋅Q ⋅E Ph = vc vc vc η vc η vc

[W]

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Ejercicios resueltos - 221

Respuesta 4

Se deberán considerar dos posibles acciones: 1. Vigilar bien la robustez del eje, seguramente requerirá de un sobredimensionamiento del árbol. Ahora la potencia aumenta sensiblemente frente al funcionamiento con agua, al ser la velocidad de rotación igual, el eje estará sometido a solicitaciones superiores, pudiendo sobrepasar la tensión admisible para dimensionado estándar. 2. Intentar reducir la viscosidad del líquido es una opción interesante. Por ejemplo, en casi todas las plantas químicas disponen de vapor de agua para diversos procesos. En el caso de la resina de pino, la viscosidad baja bastante, desde 559 [cSt] a 108 [cSt] cuando la temperatura se eleva a 55,6 [ºC]. Este asunto se debe abordar en la respuesta nº5, a desarrollar por el alumno.

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Ejercicios resueltos - 222

Figura 3.20.6. Curvas características corregidas para el líquido de proceso

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Ejercicios resueltos - 223

EJERCICIO 3.21.

1)

Punto de funcionamiento, 5º aspersor:

E5 = E5B – ∑hf 5B-5

punto 5

p5 / γ + z5 + v52 / (2·g) = p5b / γ + z5b + v5b2 / (2·g) – ∑hf 5-5b 24,66 = v52 / (2·g) + 4

⇒

v5 = 20,13 [m/s]

punto 5b

Tomando la superficie libre de la acequia como referencia (o): E5b = E0 – ∑hf 0-5b p5b / γ + z5b + v5b2 / (2·g) + H = p0 / γ + z0 + v02 / (2·g) – ∑hf 0-5b 24,66 + 3 + H = – (2,05 + 0,45)

⇒

H = 30,16 [m C.A.]

De forma análoga para el resto de puntos: distancia Bernoulli 0-1 0-2 0-3 0-4 0-5 2)

pérdidas tubería

[m] 0 12 52 92 132

resto pérdidas

[m C.A.] 0 0,36 1,30 1,86 2,05

4,45 4,45 4,45 4,45 4,45

v salida [m/s] 21,11 20,94 20,50 20,23 20,13

Q salida [m3/h] 1,423 1,430 1,449 1,480 1,492

Presión a la salida de la manguera:

Em = E0 – ∑hf 0-m pm / γ + zm + vm2 / (2·g) + H = p0 / γ + z0 + v02 / (2·g) – ∑hf 0-m pm / γ = 30,16 – 2 = 28,16 [m C.A.] ⇒ 3)

pm = 276,25 [Pa]

Las curvas características a 2900 [r.p.m.] y para diámetro 125 [mm]:

H = 71,01 – 0,3501 · Q2 η = 0,148 · Q – 0,011412 · Q2

Para obtener las curvas características a cualquier velocidad y para cualquier recorte de diámetro (siendo λ = Doriginal/Drecortado): H/H’ = λ2

H/H’= (N/N’)2

Q/Q’ = λ2

Operando: H = 71,01 · N2/ (29002 · λ2) – 0,3501 · λ2 · Q2 η = 0,148 ·2900· λ2 · Q / N – 0,011412 · Q2 · λ4 · 29002 / N2

La bomba trabaja en el siguiente punto de funcionamiento: H = 30,16 [m C.A.] y

Q = ∑ Qi = 7,274 [m3/h]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

(Q/Q’) = N/N’

Ejercicios resueltos - 224

Por lo tanto: 30,16 = 71,01 · N2/ (29002 · λ2) – 0,3501 · λ2 · 7,2742 η = 0,148 ·2900· λ2 · 7,274 / N – 0,011412 · 7,2742 · λ4 · 29002 / N2

Operando para cada recorte: diámetro [mm] 125 120 115 110

λ [-] 1 1,04 1,09 1,14

N [r.p.m.] 2401,22 2541,43 2698,63 2875,92

η [-] 0,4195 0,4073 0,3935 0,3780

Con criterio de rendimiento máximo se elegirá el diámetro original de 125 [mm] con un rendimiento de 0,4195 [-] girando a 2401,22 [r.p.m.] para obtener el punto de funcionamiento correspondiente a H = 30,16 [m C.A.] y Q = 7,274 [m3/h].

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Ejercicios resueltos - 225

EJERCICIO 3.22.

Respuesta a)

Para encontrar los puntos de funcionamiento de las bombas B1 y B2 y los caudales circulantes por cada tramo se plantean las ecuaciones de Bernoulli entre la superficie libre del depósito 1 y el 3 y entre la superficie libre del depósito 2 y el 3: v32 p v12 p1 z1 + + + hB1 = z 3 + + 3 + hR13 2⋅ g γ 2⋅ g γ

z2 +

[m C.A.]

v2 p v22 p + 2 + hB 2 = z 3 + 3 + 3 + hR 23 2⋅ g γ 2⋅ g γ

[m C.A.]

Dado que se conocen las diferencias de cotas y las constantes de pérdidas de carga de cada tramo, se tiene que: 2 hB1 = 30 + 7 ⋅10 −5 ⋅ QI2 + 9 ⋅10 −5 ⋅ QIII

[m C.A.]

(1)

2 hB 2 = 80 + 7 ⋅10 −5 ⋅ QII2 + 9 ⋅10 −5 ⋅ QIII

[m C.A.]

(2)

Por otra parte, se cumple que:

QI + QII = QIII

[

(3)

Si las bombas son de TIPO A se conoce la curva característica correspondiente, de manera que: hB1 = 35,187 − 0,000916 ⋅ QI2

[m C.A.]

(4)

hB 2 = 35,187 − 0,000916 ⋅ QII2

[m C.A.]

(5)

Se tiene un sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas: hB1, hB2, QI, QII y QIII Y si las bombas son de TIPO B las ecuaciones (4) y (5) varían, tal que: hB1 = 90,78 − 0,01374 ⋅ QI2

[m C.A.]

(4)

hB 2 = 90,78 − 0,01374 ⋅ QII2

[m C.A.]

(5)

Resolviendo ambos sistemas, se tiene que:

TIPO A TIPO B

[m3/h] QII 90,83 191,27

QI 57,12 182,69

QIII 147,95 373,96

[m C.A.] hB1 hB2 32,20 27,63 44,92 40,51

η1 64,37 68,92

[%]

η2 77,49 63,81

Nota.- los rendimientos se han obtenido sustituyendo los caudales resultantes (QI, QII) en las curvas características correspondientes: TIPO A:

η = 0,01591 ⋅ Q – 0,00008124 ⋅ Q2

[-]

TIPO B:

η = 0,013068 ⋅ Q – 0,00005088 ⋅ Q2

[-]

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Ejercicios resueltos - 226

Respuesta b)

Para seleccionar los motores adecuados se debe calcular inicialmente la potencia mecánica demandada al motor para cada bomba: Pm1 =

9810 ⋅ Q1 ⋅ H1

Pm 2 =

[W]

η1

9810 ⋅ Q2 ⋅ H 2

[W]

η2

Si el valor obtenido en cada caso es mayor que 10 [kW] se sobredimensiona un 10 [%] y, a continuación, se elige el motor inmediatamente superior de la tabla. Si el valor obtenido para la potencia mecánica es menor que 10 [kW] se procede de forma análoga pero sobredimensionando un 20 [%]. Operando se tiene que: [W] Pm1 7786 32447

TIPO A TIPO B

[-] factor 1,20 1,10

[W] Pm1´ 9344 35691

[W] Pm2 8825 33089

motor 11 [kW] 37 [kW]

[-] factor 1,20 1,10

[W] Pm2´ 10590 36398

motor 11 [kW] 37 [kW]

Respuesta c)

Para calcular las potencias eléctricas consumidas se debe conocer la potencia mecánica y el rendimiento del motor en cada caso: Pe1 =

Pm1

ηM1

Pe 2 =

[W]

Pm 2

ηM 2

[W]

Las potencias mecánicas se han calculado en el apartado anterior (Pm1, Pm2). Los rendimientos de los motores se obtienen por interpolación de los valores proporcionados en la tabla. Para ello se calcula el factor de carga de cada uno de los motores en los puntos de funcionamiento correspondientes: F .C.1 =

Pm1 Pmotor 1

F .C.2 =

[-]

Pm 2 Pmotor 2

[-]

Operando:

TIPO A TIPO B

[-] F.C.1 0,7078 0,8770

[%]

ηM1 84,66 88,51

[W] Pe1 9196,80 36660,08

[-] F.C.2 0,8023 0,8943

[%]

[W] Pe2 ηM2 85,21 10357,25 88,58 37356,44

Para calcular las horas de funcionamiento diarias se divide el volumen objetivo de la instalación, 3000 [m3], entre el caudal que abastece al depósito superior (tramo III). Operando: [m3] V TIPO A TIPO B

3000

[m3/h] QIII 147,95 373,96

[h/día] n 20,28 8,02

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Ejercicios resueltos - 227

Respuesta d)

Para calcular el equivalente energético de la instalación en cada caso se calcula en primer lugar la potencia eléctrica total consumida:

Pe = Pe1 + Pe 2

[W]

El valor obtenido dividido entre el caudal que abastece al depósito superior (tramo III) indicará la energía consumida por cada unidad de volumen bombeada al depósito superior. Operando:

TIPO A TIPO B

[kW] Pe1 9,20 36,66

[kW] Pe2 10,36 37,36

[kW] Pe 19,56 74,02

[m3/h] QIII 147,95 373,96

[kW-h/ m3] e 0,132 0,198

Respuesta d)

En este caso las bombas de TIPO A resultan más baratas (1510 [€]< 6200 [€]) y, a su vez, más eficientes (0,132 [kW-h/ m3] < 0,198 [kW-h/ m3]).

⇒

se eligen bombas TIPO A

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 228

EJERCICIO 3.23.

Pozo Iturrieta:

z1 = – 50 [m] y

Q1 = 100 [L/s] (Bomba 1)

Pozo Amantegi:

z2 = – 50 [m] y

Q2 = 190 [L/s] (Bomba 2)

Qtot = 290 [L/s]; D1 = 0,25 [m] y D2 = 0,4 [m]

∆H = LQ 2 ⋅10 (15, 784116−5, 2429092 log D )

siendo

∆H: pérdida de carga [m C.A.]; L ≡ longitud [km]; Q ≡ caudal [m3/s], D ≡ diámetro [mm]

H = A + B ⋅ Q + C ⋅ Q2

η = G ⋅ Q + H ⋅ Q2 Planteando la ecuación de la energía entre los dos pozos y la entrada a depuradora (punto 3): H 1 + H B1 (Q = 0,1) − ∑ h f 1 − ∑ h f 2 = H 3 (1) H 2 + H B 2 (Q = 0,19) − ∑ hf 2 = H 3

Siendo,

(2)

H1= – 50 [m]; H2 = – 50 [m]

H3 = 19,3 + c32/2g (en conducciones de suministro de agua con velocidades típicas del orden de 1 [m/s] se puede considerar el término cinético despreciable) por lo que: H3 ≈ 19,3 [m C.A.] Por su parte, las pérdidas se pueden calcular a partir de la expresión empírica de pérdidas: Σhf1= Σhf1(Q = 0,1, L = 0,85, D = 0,25) Σhf2= Σhf2(Q = 0,29, L = 0,842, D = 0,29) En el sistema de ecuaciones (1)-(2) hay dos ecuaciones con dos incógnitas, que son las alturas manométricas de la bomba B1 y B2 cuando impulsan respectivamente Q1 = 0,1 [m3/s] y Q2 = 0,19 [m3/s] que resuelto da: HB1(Q1 = 0,1 [m3/s]) = 92,96 [m C.A.] HB2 (Q2 = 0,19 [m3/s]) = 79,11 [m C.A.] Definidos caudal y altura de cada bomba se trata de buscar la combinación de 1) Tipo de bomba (rodetes tipo N - L -G -A) 2) Número de etapas del rodete (hasta un máximo de 4) 3) Velocidad de giro (O2950 [r.p.m.]) que dé el mejor rendimiento para cada bomba trabajando en los puntos de funcionamiento para B1 y B2 identificados más arriba.

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Ejercicios resueltos - 229

En primer lugar, se calculará a partir de la tabla 3.23, los puntos de las curvas η-Q correspondientes a una etapa de los distintos rodetes a 2950 [r.p.m.]. CAUDAL ALTURA 1- ALTURA 1- ALTURA 1- ALTURA 1Q N L G A [L/s] [m C.A.] [m C.A.] [m C.A.] [m C.A.] 117 28 33 39 45 133 25 31 37 42 167 21 27 32 38 183 16 23 29 35 200 11 18 25 31 CAUDAL Pot. eje 1-N Pot. eje 1-L Pot. eje 1-G Pot. eje 1-A Q [L/s] [kW] [kW] [kW] [kW] 117 46 56 68 78 133 47 57 69 80 167 46 60 72 85 183 45 58 72 86 200 39 55 70 85 CAUDAL REND. 1-N REND. 1-L REND. 1-G REND. 1-A Q [L/s] [%] [%] [%] [%] 117 69,79 67,57 65,76 66,15 133 69,33 70,89 69,89 68,43 167 74,71 73,65 72,74 73,17 183 63,77 71,12 72,23 72,99 200 55,28 64,15 70,00 71,48 Tabla 3.23.2

Ajustando por mínimos cuadrados las curvas de H-Q y η-Q a las expresiones genéricas: H = A + B ⋅ Q + C ⋅ Q2

η = G ⋅ Q + H ⋅ Q2 Los coeficientes resultan ser según tabla 3.23.3: COEFICIENTES A 2950 [r,p,m.] y 1 RODETE A B C 1,38E+01 3,00E-01 –1,57E-03 H-N 1,46E+01 3,46E-01 –1,64E-03 H-L 3,84E+01 1,04E-01 –8,54E-04 H-G 4,72E+01 5,86E-02 –6,91E-04 H-A G H 1,05E-02 –3,80E-05 η-N 9,47E-03 –3,09E-05 η-L 8,66E-03 –2,58E-05 η-G 8,45E-03 –2,44E-05 η-A Tabla 3.23.3

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Ejercicios resueltos - 230

Conocidas las curvas H (Q) y η (Q) a 2950 [r.p.m.] y una etapa se pueden calcular las curvas a cualquier velocidad genérica N y número de etapas Ns para los 4 tipos de rodete N-L-G-A H = H(Q, N, Ns)

y

η (Q)= η (Q, N, Ns))

Se trata de buscar los valores combinados de N y Ns que permitan trabajar en los puntos de funcionamiento identificados para B1 y B2. HB1 (Q1 = 0,1 [m3/s]) = 92,96 [m C.A.] HB2 (Q2 = 0,19 [m3/s]) = 79,11 [m C.A.] Los resultados pueden verse en la tabla 3.23.4: TIPO N L G A N L G A N L G A N L G A

BOMBA 1 BOMBA 2 1 RODETE N [r,p,m,] η [-] N [r,p,m,] η [-] 5665,72 0,44 4982,05 0,70 5297,43 0,43 4606,69 0,70 4412,14 0,46 4288,46 0,69 4112,66 0,48 4046,96 0,70 2 RODETES 3825,31 0,58 3793,13 0,72 3551,74 0,69 3506,67 0,72 3153,30 0,63 3305,09 0,73 2960,32 0,60 3119,03 0,73 3 RODETES 3093,34 0,65 3363,62 0,69 2864,18 0,65 3112,44 0,70 2619,21 0,65 2919,35 0,71 2467,11 0,66 2748,53 0,71 4 RODETES 2693,35 0,69 3141,36 0,66 2490,84 0,69 2909,22 0,68 2313,02 0,69 2710,43 0,69 2545,55 0,68 2182,25 0,70 Tabla 3.23.4

De todas las soluciones, la que simultáneamente cumple la condición de mejor rendimiento a N < 2950 [r.p.m.] es: 1. Para la bomba 1, una tipo A con 4 rodetes con rendimiento 0,70 [-] y N = 2182,25 [r.p.m.]. 2. Para la bomba 2, cabría una de 3 etapas bien tipo G (N = 2919,35 [r.p.m.]) o bien tipo A (N = 2748,53 [r.p.m.]) con prácticamente el mismo rendimiento de 0,71 [-].

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Ejercicios resueltos - 231

EJERCICIO 3.24.

Comentarios previos: ™ Al no indicar ningún dato en sentido contrario, se asume que la curva de NPSHr de la máquina corresponde a la definición más habitual, es decir, NPSH3%, o pérdida de altura de impulsión del 3 [%] ™ La curva de NPSHr que indica el fabricante ha sido obtenida de modo experimental. ™ Se supone que el rodete es de función gris o nodular y no de otros materiales (aceros inoxidables, por ejemplo). Respuesta 1

El punto de óptimo rendimiento de la bomba tiene por valores característicos: H ∧ = 52,8

Q ∧ = 0,3264 [m3/s]

[m C.A.]

nq ∧ = 43,32 NPSH r ∧ = 9,25 [m C.A.]

Q ∧ = 1175

[m3/h]

S^ = 160

[*]

[*]

σ 3% = 0,1752 [-]

(Ábacos, pag. 20) Además se ha previsto trabajar a caudales diferentes, por lo que también se deberán tener en cuenta: H max = 45,5 [m C.A.]

Q max = 1400 [m3/h] NPSH max = 11,9

H min = 58,2

Q min = 800

[m C.A.]

[m3/h] NPSH min = 6,5

[m C.A.]

[m C.A.]

El fabricante propone determinar la cota de implantación de la máquina considerando una cobertura de seguridad de 0,5 [m] en el NPSHd sobre el NPSHr. Valor a adoptar según el fabricante.

Los NPSHd para los tres puntos principales de funcionamiento serán como mínimo, según el fabricante (con margen de seguridad constante de 0,5 [m C.A.]): Q max = 1400 [m3/h]

NPSH d _ max = 11,9 + 0,5 = 12,4

[m C.A.]

Q min = 800

[m3/h]

NPSH d _ min = 6,5 + 0,5 = 7,0 [m C.A.]

Q ^ = 1175

[m3/h]

NPSH d _^ = 9,25 + 0,5 = 9,75 [m C.A.]

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Ejercicios resueltos - 232

Valor a adoptar según estadísticas diversas de bombas industriales.

Se determinan los valores para bombas industriales que postulan diversos autores (ver pág. 41 ábacos). Las estadísticas se refieren a NPSHd = σd H ∧ σd =c nq ∧ d nq ∧ d =43,32

Autor

c [-] Von Widdern 0,001203 Wislicenus 0,001034 Graeser (*) 0,001308 Rütschi 0,001195 Stépanoff 0,001224 (*) para bombas industriales

d [-] 4/3 4/3 4/3 4/3 4/3

σd [-] 0,1830 0,1573 0,1990 0,1818 0,1862

NPSHd [m C.A.] 9,664 8,306 10,507 9,600 9,833

Tabla 3.24.1

Valor a adoptar según estadísticas SULZER y el empleo de su margen de seguridad

Para aplicar la estadística de Sulzer obtenido (Ábacos, pag. 42) se debe considerar el ábaco para S00 = 160 (Ábacos, pag. 20), entrando con el caudal en el óptimo, que es de 1175 [m3/h] y la velocidad de 1485 [r.p.m.]: resulta un valor aproximado del NPSH3% en el óptimo de 9 [m C.A.] similar al del fabricante. Entrando en la curva de márgenes de seguridad (Ábacos, pag.43), con el valor resultan los siguientes valores de disponible: M seg = 1,36

[-]

9 ⋅ 1,36 = NPSH d = 12,24

[m C.A.]

M seg = 1,66

[-]

9 ⋅ 1,66 = NPSH d = 14,94

[m C.A.]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 233

Respuesta 2

Este estudio (riesgo de erosión) se debería realizar con datos de ensayos efectuados en laboratorio, de modo que se conozca la extensión de las imágenes de cavitación en los álabes y se puedan relacionar dichas imágenes con los correspondientes valores de σ. De modo experimental se tendría entonces el σad (admisible). En el problema presente esta información no se da, por lo que no se puede establecer de modo fidedigno la cota de implantación. En el problema 3.25 sí se aporta dicha información. Valor a adoptar según estadísticas de máquinas hidroeléctricas

Otra posibilidad, en el plano teórico, consiste en analizar la máquina frente a las estadísticas de Graeser en los ábacos. Se debe tener en cuenta que la máquina del presente problema es una bomba industrial y la estadística prevista se refiere a máquinas hidroeléctricas con un diseño y ejecución mucho más cuidados. Además otro factor importante tiene que ver con la variación de alturas de impulsión que se comportan de diferente manera en máquinas hidroeléctricas (con un patrón más estrecho) que en bombas industriales. En primer lugar se determina la velocidad específica científica. Se tiene en el óptimo: 12 ( Q π) ν = ω⋅ (2 ⋅ E )3 4

ν ∧ = 0,275

[-]

Se determina ahora el coeficiente de cavitación de Thoma requerido de la máquina según el fabricante:

σr =

NPSH r ∧ = 0,1752 H∧

[-]

Y a continuación el valor del coeficiente de cavitación, estadístico (a partir de los ábacos) en el óptimo, que se ajusta a la siguiente expresión: σ planta = a ⋅ ν b

Se tiene la tabla 3.24.2.

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[-]

Ejercicios resueltos - 234

Ábaco página 47

Autor

Ábaco página 48

Guli Knapp y otros Vevey Sulzer Gerber y otros Graeser (poco δH) Graeser (mucho δH)

a [-] 1,05 0,597 0,689 0,641 1,37 0,819

b [-] 4/3 4/3 1,20 1,22 4/3 1,23

σpl [-] 0,188 0,107 0,146 0,133 0,245 0,167 0,200

NPSHpl [m C.A.] 9,914 5,650 7,728 7,006 12,936 8,837 10,560

Tabla 3.24.2

Graeser en su ábaco para bombas-turbina nº1, curva 6 aporta datos estadísticos únicamente para el punto de rendimiento óptimo y suponiendo que la variación de altura de impulsión es inferior al 5 [%] de la del óptimo. La estadística de Guli, tiene un criterio similar, en tanto que la de Gerber y Sutherland incorporan la variación de altura de impulsión. Por otro lado, considerando el ábaco de Graeser para bombas-turbina, nº2, correspondiente a variaciones de altura de impulsión se tiene el último valor de la tabla (empleando la curva superior del ábaco), ya que, en el caso presente, la variación de altura de impulsión es de: δ(H ) =

H max − H min = 0,2415 H∧

[-]

Por tanto, se adopta la curva superior, resultando:

σ pl = 0,200

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

[-]

Ejercicios resueltos - 235

Respuesta 3

Instrucciones del fabricante

La cota de implantación de acuerdo a las instrucciones del fabricante (margen de 0,5 [m C.A.]) se define para el punto más desfavorable que corresponde al caudal de 1400 [m3/h], a partir de la conocida expresión: NPSH d = H b − H v − H s

[m C.A.]

Al no aportarse ningún dato específico, se suponen los siguientes: ™ atmósfera estándar al nivel del mar, es decir: pb = 101 300 [Pa] ™ densidad del agua y presión de vapor del agua a 20 [ºC], en los ábacos:

ρ = 998,2 [kg/m3] pv = 2339 [Pa] ™ aceleración de la gravedad: g = 9,81

[m/s2]

Tampoco se aporta ningún dato sobre el circuito hidráulico, por lo que se asume como nula la pérdida de carga en la aspiración. Se tiene entonces: 12,4 =

101.300 − 2339 − Hs 998,2 ⋅ 9,81

H s = −2,294

[m C.A.]

Lo que comporta una altura de aspiración negativa (bomba a cota inferior al nivel de aspiración). Estadísticas: aplicando la misma metodología se determinan las alturas de aspiración resultantes de considerar cada fórmula, obteniéndose la tabla 3.24.3

Fuente

Fabricante Von Widdern Wislicenus Graeser (*) Rütschi Stépanoff Sulzer, Mseg=1,36 Sulzer, Mseg=1,66 Guli Gerber y otros Graeser

NPSHpl Hs Criterio [m C.A.] [m C.A.] 12,4 -2,294 evitar 3% 9,664 +0,442 “ 8,306 +1.8 “ 10,507 -0,401 “ 9,600 +0,506 “ 9,833 +0,273 “ 12,24 -2,135 “ 14,94 -4,834 erosión? 9,914 +0,192 erosión 12,936 -2,830 “ 10,560 -0,454 “

δH

Aplicación

elevado bajo bajo “ “ “ elevado “ bajo elevado “

BOMBAS INDUSTRIALES

Tabla 3.24.3

ANÁLISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

SULZER BOMBATURBINA

Ejercicios resueltos - 236

La primera constatación al observar los resultados radica en la gran dispersión de éstos fruto de las experiencias propias de cada uno, orientadas hacia aplicaciones concretas y parciales. Los motivos concretos se citan más adelante. 1. Las estadísticas para bombas industriales (al margen de las de Sulzer) presentan dispersión entre autores pero menos que las de bombas y bombas-turbina (generación eléctrica). 2. En general casi todas las estadísticas están referidas al punto de diseño, que suele coincidir, aunque no siempre con el de óptimo rendimiento. 3. Los valores de implantación más elevados corresponden a la estadística y metodología de Sulzer. Sólo superan al dato aconsejado por el fabricante dicha metodología con Mseg=1,66 y la estadística de Gerber. 4. Resulta chocante que algunas estadísticas de bombas industriales conduzcan a valores más conservadores de implantación que algunas de las estadísticas de bombas de generación eléctrica, a pesar de que, en el plano teórico, el criterio de erosión es más restrictivo que el de pérdida de prestaciones. Una explicación para los bajos valores de las estadísticas hidroeléctricas puede ser la mayor calidad de diseño y fabricación de estos tipos de máquinas, lo que conduce a menores valores en los coeficientes de cavitación, tipo σs o similares (prestaciones). En paralelo, el empleo de aceros inoxidables en este tipo de realizaciones es práctica habitual. Al tratarse de materiales mucho más resistentes es posible bajar el σad

Otro aspecto no tratado, tiene que ver con los criterios de diseño que siga cada fabricante, para cada aplicación: de este modo resultan muy diferentes velocidades específicas de aspiración, es decir diferentes NPSHr, dependiendo del ángulo β1 que se elija para la entrada y del número de álabes. En concreto se recuerdan las cifras citadas en el capítulo 17.4.2: 9 Diseño normal: NPSH r ⇔

β1 = 17

[º]

S = 174

9 Bombas caldera: NPSH r ⇑

β1 = 24

[º]

S = 232 ÷ 348 [*]

9 Bombas pequeñas: NPSH r ⇓

β1 = 14 ÷ 15

[º]

S = 97 ÷ 136 [*]

[*]

Esto supone que el diseñador modifica el NPSHr a voluntad (dentro de un cierto margen) en función de que desee una máquina más compacta ó más apta para alturas de aspiración elevadas. Cada fabricante tiene sus propios diseño que pueden variar frente a sus competidores y también frente a otras gamas de su propio producto, modificando los ángulos de los álabes a la entrada. Pero…… …desde el punto de vista análisis, supone que, para poder comparar una máquina dada con estadísticas se debería tener en cuenta la banda de velocidades específicas de aspiración tanto de éstas como de la propia. Además, en el caso de la bomba actual, se tiene una velocidad específica de aspiración baja (S=160), para rodete simple (simple aspiración). Se ha comparado con la estadística Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 237

Sulzer para máquinas de doble aspiración con el mismo S. En tanto que la otra estadística de Sulzer, para rodetes de simple aspiración considera un S=200.

Teniendo en cuneta estas consideraciones y a la vista de los resultados, se pueden establecer algunas CONCLUSIONES, que para cada caso pueden ser matizables, por lo que no se puede considerar lo siguiente como una regla, ó serie de reglas, de aplicación fija y universal. 1. Las estadísticas se deben utilizar como una guía comparativa aproximada. Su empleo se asume para una velocidad específica de aspiración concreta, por lo que se debería conocer la aplicación concreta que se ha previsto en cada caso. 2. Por tanto, PREVALECERÁ, de partida la información que facilita el fabricante (NPSHr), aunque no, en el caso presente su margen de seguridad propuesto, por estimarse muy escaso tanto frente al riesgo de pérdidas de prestaciones como, con mayor razón, de erosión 3. No conviene, en principio aplicar las estadísticas de máquinas de generación eléctrica a bombas industriales. 4. Las estadísticas para bombas industriales se refieren casi exclusivamente al caso de máquinas trabajando en el óptimo ó muy cerca de él y adoptando el criterio de evitar la pérdida de prestaciones. Por tanto, no se pueden considerar válidas para fuertes variaciones en la altura de impulsión y evitar el riesgo de erosión. De dichas estadísticas se emplearán preferentemente las correspondientes a Graeser y Stépanoff. 5. Se intuye, por otro lado, que la metodología que aplica Sulzer es la más lógica por coherente: manejar en primer lugar el dato objetivo (en este caso el NPSHr) y proponer un coeficiente se seguridad. Por su interés se trata a parte. 6. La implantación que permita garantizar la ausencia de erosión en la bomba sólo se puede lograr a partir de los ensayos de laboratorio y de haber fijado los valores admisibles de σ y NPSH. Se recuerda que estos serán función del diseñó concreto realizado (y de su bondad objetiva) y pero también del criterio que aplique el experto de cada Empresa fabricante que puede diferir del otros expertos (subjetividad). METODOLOGÍA SULZER

Incluso si parece la metodología más fiable, su aplicación plantea ciertos aspectos que deben ser aclarados: • La estadística de partida de NPSHr se refiere a dos tipos muy concretos, con velocidades específicas de aspiración S dadas. Para ser de uso universal haría falta tener una base de datos con valores de S, comprendidos entre 100 y 350 en escalones de 25. • No queda claro en el Hanbook de Sulzer el empleo de las bandas de margen de seguridad Mseg: se trata de considerar como criterio el de pérdida de prestaciones y aceptar variaciones de la altura de impulsión del 30%, por ejemplo? Ó bien, se trata de aplicar el coeficiente inferior par a la pérdida de prestaciones y el superior para evitar la erosión, pero en ambos casos para puntos de funcionamiento cercanos al óptimo? Queda claro, en cualquier caso, que el margen de seguridad adoptado en el caso de la bomba actual, resulta pequeño para el punto de máximo caudal, si se quiere evitar la erosión. Una alternativa novedosa, que se propone aquí consiste en aplicar las curvas Mseg a los datos concretos de la bomba actual. En concreto, se tendría, para NPSHr=9,25 [m C.A.]: Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 238

9 Margen inferior

M seg = 1,4

[-]

NPSH d = 12,95

[m

M seg = 1,7

[-]

NPSH d = 15,725

[m

C.A.] 9 Margen superior

C.A.] La curva con menor margen se aplicaría a implantaciones con criterio de pérdida de prestaciones y la curva superior a implantaciones con criterio de evitar la erosión.

No obstante, para valores de NPSHr bajos, los NPSHd resultantes son incluso inferiores a los que se obtienen con un margen lineal de 0,5 [m C.A.]. Para estos casos parece prudente aplicar un primer valor de seguridad en función del citado NPSHr. Por ejemplo, se tendría: 9 NPSH 'r = 1 − 3

ℵ =1

NPSH r = 2 − 4

[m C.A.]

9 NPSH 'r = 3,5

ℵ = 0,75

NPSH r = 4,25

[m C.A.]

9 NPSH 'r = 4

ℵ = 0,5

NPSH r = 4,5

[m C.A.]

Con: NPSH 'r valor leído en la gráfica del fabricante y NPSH r valor a mayorar con Mseg. Resumen. Sirva pues, el presente problema para llamar la atención sobre lo complejo de proceder al diseño de una instalación de bombeo de cierto tamaño, sin llegar a ser un aprovechamiento hidroeléctrico, sobre todo a la hora de decidir una implantación con ausencia de erosión. Sin ser una solución definitiva, una variante interesante es la propuesta aquí arriba.

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Ejercicios resueltos - 239

EJERCICIO 3.25. Respuesta 1

A partir de los resultados de los ensayos de laboratorio, analizando la gráfica facilitada por el fabricante, se puede confeccionar una tabla que recoja los NPSH requerido (criterio pérdida de prestaciones) o admisible (criterio erosión). H Q [m C.A.] [m3/h] 58,5 800 57,5 900 56,5 1000 54,5 1100 52,75 1175 52,25 1200 49,5 1300 45,75 1400

σad [-] 0,29 0,245 0,21 0,199 0,195 0,200 0,240 0,31

NPSHad [m C.A.] 16,97 14,09 11,87 10,85 10,29 10,45 11,88 14,18

σ3% [-] 0,111 0,122 0,137 0,156 0,175 0,182 0,212 0,260

NPSH3% [m C.A.] 6,5 7,0 7,75 8,5 9,25 9,50 10,5 11,9

Tabla 3.25.1

Como se puede apreciar la columna de NPSH3% coincide con los datos de la gráfica de las curvas características de la bomba (en el problema 3.24). A partir de la tabla 3.25.1 se observa que los puntos más peligrosos, son ™ Para el criterio de erosión el de caudal 800 [m3/h] ™ Para el criterio de pérdidas de prestaciones, el de caudal 1400 [m3/h] Para cada uno de ellos, se debe cumplir, respectivamente, que: NPSH planta ≥ NPSH ad

NPSH d ≥ NPSH r

[m C.A.]

En el primer caso, se tiene: NPSH planta = H b − H v − H s

[m C.A.]

Aplicando las mismas premisas que en el problema anterior, respecto de presión barométrica, densidad, presión de vapor y aceleración de la gravedad, se tiene:

16,97 =

• •

101.300 − 2339 − H s = 10,106 − H s 998,2 ⋅ 9,81

Criterio erosión: Criterio pérdidas de prestaciones:

H s ≤ −6,864

ver problema 3.24

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[m C.A.]

[m C.A.] [m C.A.]

Ejercicios resueltos - 240

Notas a los resultados: 1. La sumergencia mayor (más profunda implantación de la máquina) se requiere en el caso de aplicar el criterio de protección frente a la erosión. Los valores de NPSH en este caso son del orden del doble de los necesarios al aplicar el criterio de evitar la pérdida de prestaciones, pero en general, no hay regla fija, pudiendo llegarse a valores cuádruples. 2. El punto más peligroso al aplicar el criterio de erosión ha resultado el de menor caudal, pero bien puede producirse en el de caudal máximo, ya que, en general, el rango de funcionamiento (margen de caudales) juega un importante papel. 3. El punto más peligroso al aplicar el criterio de pérdida de prestaciones es siempre el de caudal máximo. Respuesta 2

La elección de la cota de implantación de una bomba no es una cuestión sencilla pues interviene múltiples factores. Simplificando los aspectos positivos y negativos, se tiene, en general: 1. Para una máquina concreta, una implantación más profunda es casi siempre una solución más cara (excavación de obra civil, etc.). 2. Para la misma máquina, una implantación elevada supondrá un riesgo de erosión mayor. 3. En cualquier caso no se puede admitir un funcionamiento con pérdida de prestaciones 4. En los casos en que una implantación más profunda no suponga un coste adicional, sin dudar se debe optar por ello. Si se aplica el criterio de evitar la erosión en la bomba, se debe realizar los siguientes comentarios: 1. No existe una fórmula mágica para determinar el valor de σ o NPSHplanta a partir del valor correspondiente de NPSH3%; el único método válido consiste en conocer previamente, mediante ensayos en modelo, la curva de σad en función del caudal como en el caso del presente problema. 2. Empleando por ejemplo el método Sulzer (curva superior), se obtienen en el presente caso valores cercanos a los de laboratorio pero aún inferiores. 3. El establecimiento de un coeficiente de seguridad tipo margen d e1 o 2 [m C.A.] es claramente insuficiente frente a la erosión. Basta con revisar la figura 8.91 del libro de teoría para comprender que con valores superiores de NPSHd, si bien se evita la pérdida de prestaciones, está muy presente el riesgo de erosión. 4. Se puede observar que la relación coeficientes de cavitación σad / σ3% es del orden de 4 veces cuando se va a trabajar en cargas parciales (del óptimo a la izquierda). Como criterio general cuando se opere en sobrecargas (del óptimo a al derecha), se deberá emplear relaciones de coeficientes de cavitación del orden de 1,5 veces. De todas formas la decisión última dependerá del rango de funcionamiento.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 241

EJERCICIO 3.26.

BOMBA MODELO

N = 1450 [r.p.m.] Hm = A + C ⋅ Qm2

[1]

A = 0,078125 C = - 2,9127 ⋅ 10-6 H [m C.A.]; Q [m3/h] EFECTO CAMBIO VELOCIDAD Y DIAMETRO

Qm ⋅ Nm-1 ⋅ Dm-3 = Qp ⋅ Np-1 ⋅ Dp-3

[2]

Hm ⋅ Nm-2 ⋅ Dm-2 = Hp ⋅ Np-2 ⋅ Dp-2

[3]

Ratio de diámetros modelo/prototipo: Rd = Dm ⋅ Dp-1 Ratio de velocidades modelo/prototipo: Rn = Nm ⋅ Np-1 Sustituyendo en [2] y [3] Qm = Rn ⋅ Rd 3 ⋅ Qp

[4]

Hm = Rn2 ⋅ Rd 2 ⋅ Hp

[5]

Sustituyendo [4] y [5] en [1] Hp = (A ⋅ Rn-2 ⋅ Rd-2) + (C ⋅ Rd4) ⋅ Qp2

[6]

+ EFECTO RECORTE (Sin primas representan situación de la bomba con diámetro original. Con prima recortado)

Ratio de diámetro original a diámetro recortado: Rr = Dp ⋅ Dp’ -1 Qp ⋅ Qp’-1 = Rr2

[7]

Qp = Qp’ ⋅ Rr2

[8]

Hp ⋅ Hp’-1 = Rr2

[9]

Hp = Hp’ ⋅ Rr2

[10]

Sustituyendo [8] y [10] en [6] Hp’ = (A ⋅ Rn-2 ⋅ Rd-2 ⋅ Rr-2)+ (C ⋅ Rd4 ⋅ Rr2) ⋅ Qp’2

[11]

+EFECTO DE Np BOMBAS EN PARALELO

Hp’= (A ⋅ Rn-2 ⋅ Rd-2 ⋅ Rr-2) + (C ⋅Rd4 ⋅ Rr2 ⋅ Np-2) ⋅Qp’2

[12]

+EFECTO DE Ns BOMBAS EN SERIE

Hp’= Ns ⋅ [(A ⋅ Rn-2 ⋅ Rd-2 ⋅ Rr-2) + (C ⋅ Rd4 ⋅ Rr2 ⋅ Np-2) ⋅ Qp’2]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

[13]

Nº HORAS (nocturno)

Hm [m C.A]

Q [m3/h]

Rd

Rn

Rr

Ns

Np

γ [N/m3]

Ph=γQH [kW]

Pele = Ph/ηm [kW]

16

8

1

18750

0,25

1

1

¿?

¿?

10045

52,31

74,74

BOMBA 1

TOTAL

Coste [є/dia]

Nº HORAS (diurno)

Ejercicios resueltos - 242

DIURNO 107,63 137,52

NOCTUR 29,89

Nº HORAS (nocturno)

Hm [m C.A]

Q [m3/h]

Rd

Rn

Rr

Ns

Np

γ [N/m3]

Ph=γQH [kW]

Pele = Ph/ηm [kW]

0

8

60

56250

0,0625

¿?

1

1

1

10045

9417

13453

BOMBA 2

Coste [є/dia]

Nº HORAS (diurno)

El acoplamiento BOMBA 1 podría tener Ns bombas en serie o Np en paralelo. Entrando en [13] con los valores de Q y H, se ve que sólo es posible un acoplamiento de Np = 4 bombas en paralelo

NOCTUR 5381,3 5381,3

0 TOTAL

Np

γ [N/m3]

Ph=γQH [kW]

Pele = Ph/ηm [kW]

0,5

¿?

10

1

9800

44444,5

63492,2 TOTAL

Coste [є/dia]

Ns

25312,5 0,0625

Rr

645

Rn

8

Rd

Hm [m C.A]

0

Q [m3/h]

Nº HORAS (nocturno)

BOMBA 3

Nº HORAS (diurno)

Entrando en [13] con los valores de Hm y Q y despejando, Rn vale 3 0,5 y la velocidad pedida de la BOMBA 2 es N = 2514,42 [r.p.m.].

DIURNO

NOCTUR

0

25396,9 25396,9

Entrando en [13] con los valores de Hm y Q y despejando, Rr vale 1,11 y el porcentaje de recorte de la BOMBA 3 es 10,2 [%]. COSTE DIARIO 30915,66 [є]; VOLUMEN DIARIO AGUA DULCE PRODUCIDO: 202500 [m3]; COSTE DEL [m3] AGUA DULCE PRODUCIDO = 0,1527 [є/m3]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 243

EJERCICIO 3.27. Aplicando Bernoulli entre 1 y 2:

hB = z + K ⋅ Q 2 = 10 + 0,2 ⋅ Q 2 2 3 Si Q = 6 [m /s] entonces hB = 17,2 [m C.A.]

Partiendo de la ecuación H = 20 + Q − Q 2 , si se instalan 2 bombas en paralelo: H2p

Q Q = 20 + −   2 2

2

2

Q Q −   Æ 0,45 ⋅ Q 2 − 0,5 ⋅ Q − 10 = 0 2 2 3 Resolviendo: Q = 5,3 [m /s] entonces hB = 15,6 [m]

Igualando:

10 + 0, 2 ⋅ Q 2 = 20 +

Si se instalan 2 bombas en serie que están en paralelo con la restante: 2 2 H = 40 + 2 ⋅ Q1 − 2 ⋅ Q1 H = 20 + Q2 − Q2 Q = Q1 + Q2 2

2

Q = Q1 + Q2 E igualando: 40 + 2 ⋅ Q1 − 2 ⋅ Q1 = 20 + Q 2 − Q 2 3 3 Resolviendo: Q = 6,15 [m /s], Q1 = 3,913 [m /s] y Q2 = 2,246 [m3/s]

Si se instalan 2 bombas en paralelo con la restante en serie: 2

Q Q H 2 = 20 + Q − Q 2 −  2 2 Resolviendo: Q = 6 [m3/s] y hB = 4 [m] H 1 = 20 +

H = H1 + H 2

Si se instalan 3 bombas en paralelo: H2p

Q Q = 20 + −   3 3

2

2

Q Q E igualando: 10 + 0,2 ⋅ Q = 20 + −   Æ 2,8 ⋅ Q 2 − 3 ⋅ Q − 90 = 0 3 3 3 Resolviendo: Q = 6,23 [m /s] entonces hB = 17,76 [m] Para el caso a resolver ( Q = 6 [m3/s] y hB = 17,2 [m C.A.]) se podrían instalar: 3 bombas en paralelo ó 2 en serie con la otra en paralelo. 2

erresistente

H-Q

1

H [m U.Z.]

60

2s

50 40

2//

30 2//+s

20 10

3s

0 0

5

10 Q [m 3/s]

15

3// 2s+//

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 244

EJERCICIO 3.28.

Se plasma el croquis del bombeo y los datos de partida: Tubería: DN 500 Dext = 508 [mm] e = 7,92 [mm] Leq = 50 [m] ε = 0,1 [mm] Fluidos de proceso:

* aceite

densidad viscosidad * bromuro de etileno densidad viscosidad

ρ = 915 ν = 43,2 ρ = 2180 ν = 0,778

[kg/m3] [cSt] = 43,2 ⋅ 10–6 [m2/s] [kg/m3] [cSt] = 0,788 ⋅ 10–6 [m2/s]

Caudal de proceso:

caudal másico

qm = 1250

[kg/s]

Nota: el caudal másico es un invariante, no así los caudales volumétricos. Datos de los ensayos de la bomba modelo (a escala):

* Fluido de ensayo: agua fría

ρ = 998,5 densidad velocidad de rotación N = 2365 gravedad g = 9,81

[kg/m3] [r.p.m.] [m/s2]

Nota: la aceleración de la gravedad se supone constante tanto en modelo como en proceso (dato del problema) Croquis de funcionamiento: Se confecciona la Figura 3.28.1

Figura 3.28.1

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 245

Aspecto de las curvas características: Se adjunta la Figura 3.28.2, con las gráficas de las curvas características de bomba modelo y prototipo funcionando a diferentes velocidades de rotación. Se adjuntan diversos puntos homólogos de funcionamiento en ambas situaciones.

E [J/kg]

Curva característica E-Q de la bomba en modelo y en prototipo 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

Modelo Prototipo N=606,02 rpm Protototipo N=918,2 rpm (sin E.E.)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

Q [m3/s]

Figura 3.28.2. Curvas de modelo y prototipo, sin efectos de escala

a) Para determinar el punto de funcionamiento de la bomba con cada fluido de proceso se determina, en primer lugar, el caudal volumétrico y la pérdida de carga en la tubería. Diámetro interior:

Dint = Dext − 2 ⋅ e = 0,49216

[m]

Caudal volumétrico y velocidad, de acuerdo a las expresiones siguientes: qm

Q 2 π ⋅ Dint 4

[m3/s]

v=

aceite:

Q = 1,3661

[m3/s]

v = 7,181

[m/s]

bromuro de etileno:

Q = 0,5734

[m3/s]

v = 3,014

[m/s]

Q=

ρ proceso

[m/s]

Resultando:

Número de Reynolds en cada proceso, de acuerdo a la expresión ya conocida: Re =

v ⋅ Dint

ν proceso

[-]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 246

Resultando: aceite:

Re ≈ 81810 ≈ 8,2 ⋅10 4

[-]

bromuro de etileno:

Re ≈ 1882500 ≈ 1,9 ⋅10 6

[-]

Rugosidad relativa de la tubería:

ε ´= Resultando:

ε

[-]

Dint

ε ´= 2 ⋅10 −4

[-]

Coeficiente de fricción en cada proceso:

Entrando en el ábaco de Moody, con la rugosidad relativa por la ordenada en el origen de la derecha (constante) y con el número de Reynolds por la abscisa (variable para cada fluido), se tienen los siguientes coeficientes de fricción (redondeados a 3 decimales): aceite:

f = 0,020

[-]

bromuro de etileno:

f = 0,014

[-]

Con los datos anteriores, ya se puede determinar la pérdida de carga en el circuito, para cada fluido: Pérdida de carga. La expresión de la pérdida de carga por fricción o uniformemente repartida en una tubería se puede enunciar según la fórmula clásica que, en el caso presente, como se va a ver, resulta bastante engorrosa. ∆H = f ⋅

L v2 ⋅ D 2⋅ g

[?]

Por otro lado, en el presente problema, y para simplificar se asume (es dato) que el conjunto de singularidades o accesorios, se ha considerado en la forma de tramo equivalente de tubería, de modo que, se debe tener en cuenta la longitud equivalente de tubería, resultante de la suma de la longitud real y del equivalente en [m] de tubería, que supone la pérdida de carga (de energía o de presión) en los citados accesorios o singularidades: ∆H = f ⋅

Leq

v2 D 2⋅ g

⋅

[?]

En las expresiones citadas se plantea la cuestión de cuáles son las unidades: [m C.L.] en lugar de [m C.A.].

Por tanto, es más sencillo y didáctico calcular la pérdida de presión o pérdida de energía en lugar de la pérdida de carga en [m], aunque como se sabe los tres conceptos son equivalentes. Se tiene, entonces:

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 247

∆p = ρ proceso ⋅ f ⋅

Leq v 2 ⋅ D 2

[Pa]

o bien:

∆E = f ⋅

Leq v 2 ⋅ D 2

[J/kg]

o, aún, expresado en [m C.A.]:

∆H =

ρ proceso Leq v 2 ⋅f⋅ ⋅ ρw D 2⋅ g

[m C.A.]

Resultando: Bromuro:

∆p = 14083,8 [Pa] ∆E = 6,461

∆p = 47935,5 [Pa]

Aceite:

∆E = 52,389 [J/kg]

[J/kg]

∆H * = 0,659 [m C.L.]

∆H * = 5,340 [m C.L.]

∆H = 1,438

∆H = 4,894

[m C.A.]

[m C.A.]

Como se deduce fácilmente, el concepto de pérdida de carga, expresado en metros puede ser objeto fácil de confusión. Altura de impulsión en el punto de funcionamiento. Para mayor claridad se determinará siguiendo la metodología citada de balances energéticos en el sistema.

Una posible forma de resolución radica en considerar la diferencia de energía entre el depósito inferior y el superior: E II = EI + Eb − ∆E

[J/kg]

Donde Eb representa la energía de impulsión aportada por la bomba y ∆E las pérdidas de energía (carga) en el circuito hidráulico, ya calculadas para el caudal correspondiente en cada caso. Por otro lado en los puntos I y II el término cinético es nulo. Se puede escribir, entonces: E II − E I = g ⋅ ∆z +

pII − pI

[J/kg]

ρ proceso

Sustituyendo: E b = 9,81 ⋅ 23 +

65000 − 101300

ρ proceso

+ ∆E

[J/kg]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 248

Resultando en cada caso los siguientes valores (se citan todas las formas posibles) y recuadrando las respuestas que se demandaban en la pregunta: Bromuro:

Aceite:

pbomba = 469658,4

[Pa]

Eb = 215,44 [J/kg]

pbomba = 218087,4

[Pa]

E b = 238,35

[J/kg]

* H bomba = 21,98

[m C.L.]

* H bomba = 24,30

[m C.L.]

H bomba = 47,95

[m C.A.]

H bomba = 22,27

[m C.A.]

b)

Se tienen los siguientes datos: el punto de funcionamiento en proceso de la máquina prototipo y la curva característica de la bomba en modelo, con su velocidad de rotación. También es dato el diámetro de referencia de la máquina, tanto en modelo como en prototipo. Además como dato adicional se indica la inexistencia de efectos de escala. Una forma de resolución consiste en emplear, por ejemplo, los coeficientes unitarios (seudo-adimensionales) de la máquina, estableciendo que en puntos homólogos de funcionamiento los coeficientes de caudal y de energía de modelo y de prototipo en proceso, son iguales. Además se dispone de la curva característica del modelo: Q11 =

Q N ⋅ D3

[*]

E11 =

E N ⋅ D2

[*]

0,5734 N ⋅ 0,6003

[*]

E11 =

215,44 N ⋅ 0,600 2

[*]

Q' 2365 ⋅ 0,1963

[*]

E11 =

E' [*] 2365 ⋅ 0,196 2

2

De forma que: en prototipo se tiene: Q11 = y en modelo:

Q11 =

2

2

Además se tiene la expresión analítica de la característica de la bomba en modelo, en forma de [m C.A.], lo que se puede convertir a energía específica: H ' = 46,1 − 1710,94 ⋅ (Q')

2

[m C.A.]

E ' = 452,24 − 16784,321⋅ (Q')

2

[J/kg]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 249

Realizando la igualdad de coeficiente de caudal y coeficiente de energía en modelo y en prototipo y considerando la curva característica del modelo se tienen 3 ecuaciones con 3 incógnitas: H’, Q’ (modelo) y N (prototipo), resultando la velocidad de rotación en prototipo, para bromuro de etileno: N = 606,2

[r.p.m.]

Curva característica E-Q de la bomba en prototipo a diferentes velocidades 700

Prototipo N=606,02 rpm

650

Prototipo ficticio N= 918,27 rpm (sin E.E.)

600

Prototipo N=918,2 rpm (con E.E.)

550 500

Er (bromuro)

E [J/kg]

450

Er (aceite)

400 350 300 250 200 150 100 50 0 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

Q [m3/s]

Figura 3.28.3. Puntos de funcionamiento con y sin efectos de escala

c)

Se tienen los mismos datos que en el apartado anterior: el punto de funcionamiento en proceso de la máquina prototipo y la curva característica de la bomba en modelo, con su velocidad de rotación y los diámetros de referencia de la máquina tanto en modelo como en prototipo. Ahora, sin embargo, existen efectos de escala. Estos se cifran en una merma de caudal de 3,75 [%] y de la altura de impulsión de 6,94 [%]. El efecto de escala, es debido al diferente peso de las pérdidas por fricción en la bomba por la mayor viscosidad del líquido de proceso respecto del líquido de ensayo en modelo (agua). De un modo práctico para la resolución del problema, el efecto de escala implica la necesidad de hacer funcionar la bomba a una mayor velocidad de rotación que la hubiera correspondido en ausencia de tal efecto de escala. En el presente problema el cálculo es bastante sencillo pues se aportan datos porcentuales en caudal y altura de impulsión. A la nueva velocidad de rotación (real) le hubiera correspondido una altura de impulsión y un caudal (ficticios) ponderados por el valor del efecto de escala. Es decir: Qficticio = Q ⋅ (1 + 0,0375) = 1,4173

[m3/s]

Eficticio = E ⋅ (1 + 0,0694) = 254,884 [J/kg]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 250

Resolviendo de modo análogo a la respuesta del apartado b), a partir de los coeficientes unitarios, se tiene: en prototipo: Q11 =

1,4173 N ⋅ 0,6003

[*]

E11 =

254,884 N 2 ⋅ 0,600 2

y en modelo: Q11 =

Q' ' 2365 ⋅ 0,1963

[*]

E11 =

E' ' [*] 2365 ⋅ 0,196 2

E ' = 452,24 − 16784,321⋅ (Q')

2

[*]

2

[J/kg]

Al igual que en el caso anterior, se tienen 3 ecuaciones con 3 incógnitas: E’’, Q’’ (modelo) y N (prototipo), resultando la velocidad de rotación en prototipo, para aceite de oliva: N = 918,3

[r.p.m.]

d)

La formulación a emplear es la siguiente: Potencia hidráulica:

Ph = E ⋅ qm

Potencia mecánica:

Pm =

Potencia eléctrica:

Pa =

[W]

Ph

[W]

ηh Pm

ηa

=

Ph η h ⋅η a

[W]

La potencia hidráulica puede calcularse, entonces, a partir de los datos conocidos y de los calculados: * aceite:

Ph = 297,93

[kW]

* bromuro de etileno:

Ph = 269,47

[kW]

Nota.- Otra forma de calcular la potencia hidráulica sería aplicando la expresión ya conocida Ph = ( g ⋅ H ) ⋅ ( ρ ⋅ Q )

[W]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 251

Nota.- Pero aquí se debe tener cuidado tanto con el valor H como con el de ρ dependiendo de las unidades. A modo de ejemplo, en el caso del bromuro de etileno se tendrían las siguientes posibilidades: Considerando la altura de impulsión en [m C.L.]: Ph = (9,81 ⋅ 21,975) ⋅ (2180 ⋅ 0,5734 )

[W]

Considerando la altura de impulsión en [m C.A.]: Ph = (9,81 ⋅ 47,95) ⋅ (1000 ⋅ 0,5734 )

[W]

El rendimiento hidráulico se determina, en el caso del bromuro de etileno, a partir de la curva de rendimiento del ensayo en modelo ya que se indica que no existen efectos de escala. Es decir a puntos homólogos de funcionamiento corresponden rendimientos iguales. A partir de la expresión establecida en la respuesta del apartado b), se tiene, para funcionamiento en modelo: Q' =

47,27193 47,27193 = = 0,07798 ≈ 0,078 606,2 N

[m3/s]

Llevando a la expresión del rendimiento en modelo, en función del caudal:

η h = 22,7 ⋅ Q'−151,1⋅ Q'2 = 0,8514

[-]

Para el caso del aceite de oliva, se debe tener en cuenta la existencia, de nuevo, de efectos de escala en rendimiento, que se superponen a los efectos de escala descritos anteriormente. En primer lugar se calcula el rendimiento ficticio sin efecto de escala, del mismo modo que para el bromuro de etileno, pero con las expresiones de la respuesta del apartado c). Q' ' =

112,625 112,625 = = 0,122645 ≈ 0,1227 918,3 N

[m3/s]

Llevando a la expresión del rendimiento en modelo, en función del caudal, se obtiene un rendimiento ficticio (sin afectar por el efecto de escala):

η hficticio = 0,5112

[-]

A la hora de determinar el rendimiento real en proceso con aceite de oliva, y al no concretar más los datos aportados, se puede entender (y resolver), el 8 [%] de menos en rendimiento de dos formas. La más normal, consiste en suponer que el rendimiento es un 8 [%] inferior al que hubiera tenido en caso de no existir efectos:

η h = η hficticio − 0,080 = 0,4312

[-]

En variante se podía suponer que el rendimiento era inferior al ficticio en un 8 [%] de su valor actual:

ηh =

η hficticio 1 + 0,08

= 0,4733

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

[-]

Ejercicios resueltos - 252

En lo que sigue se adopta como respuesta la primera (aunque también son admisibles los cálculos con la segunda). La potencia mecánica resulta entonces, en [kW]: * aceite:

Pm =

297,93 = 690,98 0,4312

[kW]

* bromuro de etileno:

Pm =

269,47 = 316,51 0,8514

[kW]

El rendimiento eléctrico en el motor es función de la potencia mecánica, según la expresión (dato):

η a = 0,7882 + 0,25 ⋅ Pm − 0,138 ⋅ Pm2

[-]

* aceite:

η a = 0,8951

[-]

* bromuro de etileno:

η a = 0,8535

[-]

Y en definitiva, las potencias eléctricas resultan: * aceite:

Pa = 772,00

[kW]

* bromuro de etileno:

Pa = 370,84

[kW]

e)

El equivalente energético en función de la energía consumida en [kW-h] o [W-h] por cada unidad bombeada (de volumen o de masa) tiene la siguiente expresión: EeqV =

Energía consumida Pa = Volumen bombeado Q

[kW-h/m3]

Eeqm =

Energía consumida Pa = Masa bombeada qm

[W-h/kg]

Nótese: 1) La relación energía/volumen, que puede expresarse también como potencia/ caudal, pero es necesario adoptar múltiplos de las unidades SI. 2) El [kW-h], que es la unidad utilizada a la hora facturar la energía eléctrica consumida. 3) El equivalente energético másico, que expresa mucho mejor el coste de bombear un producto u otro.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 253

[kW-h/m3]

Eeqm = 0,1716

[W-h/kg]

* bromuro de etileno: EeqV = 0,1798 [kW-h/m3]

Eeqm = 0,0824

[W-h/kg]

EeqV = 0,1570

* aceite:

f)

Se realiza el cálculo a partir del equivalente energético másico, aunque también puede hacerse con el volumétrico. El caudal másico horario resulta ser: qm = 4500000

* ambos líquidos:

[kg/h]

La expresión del coste para una tarifa dada, será: C = (precio unitario ) ⋅

nº h 1 nº días ⋅ qm ⋅ Eeqm ⋅ 6 ⋅ día 10 semana

[€]

Resultando:

•

•

aceite, tarifa 1:

C1 = 8010,26 [€]

total:

C = 9128,00 [€]

tarifa 2:

C 2 = 1117,73 [€]

tarifa 2:

C2 = 536,91 [€]

bromuro de etileno: tarifa 1:

C1 = 3846,17 [€]

total:

C = 4383,08 [€]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 254

EJERCICIO 3.29.

Nota: Como metodología para abordar este problema, se recomienda al alumno realizar una primera lectura rápida del enunciado y proceder de inmediato a la resolución: en cada pregunta concreta, será el momento de repasar en detalle los datos que se aportan para cada cuestión. Croquis de la instalación (no incluido en el texto del problema)

Figura 3.28.1. Croquis de la instalación

Figura 3.28.2. Sección del tipo de bomba utilizada

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Ejercicios resueltos - 255

Respuesta 1A

Bomba HE-380, resolución gráfica. El caudal leído para el ensayo de dicha bomba, es de 300 [l/s], lo que coincide con 1/8 del caudal total de especificación que era de 2,4 [m3/s] para el conjunto del bombeo. Considerando en la gráfica el corte de la curva nº 4 (ver figura 3.28.3), con la vertical de caudal 0,3 [m3/s], se tiene:

H=3

[m C.A.]

Figura 3.28.3. Curva característica y punto de funcionamiento con la bomba HE·380.

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Ejercicios resueltos - 256

Respuesta 1B

Resolución numérica. Se disponen de todos los datos de las medidas realizadas en el ensayo de dicha bomba. La energía hidráulica másica suministrada por la bomba al agua tendrá por expresión:

p 2 − p1 c 22 − c12 + g ⋅ (z 2 − z1 ) + E = e 2 − e1 = 2 ρw

[J/kg]

Con el subíndice 2 para el lado de alta presión y subíndice 1 para el lado de baja Nota: En el tipo de bomba utilizado, con boca de aspiración directamente sumergida en el agua, es muy difícil determinar la energía en la aspiración en la misma boca, por lo que se define por convención (asumida en la normativa relevante de ensayos) que la sección 1 de entrada en bomba corresponde en realidad al nivel de agua en la cántara, siempre y cuando el flujo en la cántara no sea irregular y esté exento de vórtices.

En la cántara o foso de aspiración de la bomba, se tendrá: c1 = 0

p1 = 0

[m/s]

z1 = z solera + calado = 450,0 + 3,0

[Pa] [m]

En la sección 2, o de alta presión, se conoce el término cinético al conocer el caudal y el diámetro de la sección de las tomas de presión, se conoce el término de posición (cota de las tomas, que es dato). No se conoce directamente la presión en la sección 2 sino en la cota donde se ha emplazado el manómetro de lectura de la presión. c2 =

Q bomba 4 ⋅ 0,3 = = 2,3837 2 π⋅D π ⋅ 0,4 2 4

[m/s]

z 2 = z tomas = 452,69

[m]

p 2 = p 2 L + (z L − z tomas ) ⋅ ρ ⋅ g = p 2 L + (1,5 + z piso − z tomas ) ⋅ ρ ⋅ g

[Pa]

p 2 = 2.055 + (1,5 + 454,0 − 452,69 ) ⋅ 1000 ⋅ 9,81 = 29.611,1

[Pa]

Resultando:

Sustituyendo en la expresión de la energía, se tiene:

E = 29,4297

[J/kg]

Es decir, el punto de funcionamiento resulta ser:

H = 2,999969 ≈ 3,0

[m C.A.]

Q = 0,3

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[m3/s]

Ejercicios resueltos - 257

Otra forma de resolución directa consiste en sustituir las energías parciales a nivel de lecturas en la expresión de la energía:

E=

p 2L c2 + g ⋅ (z 2 L − z1 ) + 2 2 ρw

[J/kg]

Como se puede apreciar, no es necesario determinar la expresión analítica de la curva característica para determinar el punto de funcionamiento!!! Respuesta 2

Se conoce el desnivel que debe vencer la bomba (altura de impulsión bruta) y la altura de impulsión (neta). Se tiene: H b = ∆z = (z canal − z1 ) = (z labio + 0,2 − z1 ) = 1

[m C.A.]

∆H = H − H b = 3,0 − 1,0 = 2,0

[m C.A.]

Aplicando la expresión de la pérdida de carga uniformemente repartida menos la pérdida singular en la válvula (que no se debe tener en cuenta según el enunciado), se tiene que: ∆H = λ ⋅

L eq c 2tub c2 ⋅ + ξ ⋅ valv D 2⋅g 2⋅g

[m C.A.]

Nota: se recuerda que el diámetro de la tubería es 400 [mm] y el diámetro de la válvula de mariposa 300 [mm].

La pérdida de carga de la válvula se puede determinar, considerando el coeficiente de pérdidas para plena apertura. ∆H valv = 0,19 ⋅

4,24412 = 0,1744 2 ⋅ 9,81

[m C.A.]

Por su parte de la tubería se dispone de los datos de velocidad, diámetro, rugosidad y por cálculo se obtiene el numero de Reynolds y el coeficiente de fricción, quedando como incógnita la longitud (equivalente): D = 0,4

ε=

[m]

c tub = 2,3873 [m/s] Re ≈ 796.000

[-]

ε [-] En el ábaco de Moody: = 6.10 − 4 D λ = f (Re, ε ) = 0,018 [-]

Luego, la longitud equivalente de tubería, resulta despejando:

∆H tub = ∆H − ∆H valv = 2,000 − 0,1744 = 1,8256 L eq =

1,8256 ⋅ 0,4 ⋅ 2 ⋅ 9,81 = 139,66 0,018 ⋅ 2,3873 2

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[m C.A.] [m]

Ejercicios resueltos - 258

Respuesta 3A

Ahora se trata de determinar el punto de funcionamiento de la bomba HE-300. Se debe considerar, como punto de partida, que dicha bomba se ha ensayado sobre el mismo circuito hidráulico que la anterior HE-380, por tanto, la curva resistente ó de pérdidas de carga en el circuito es la misma. La obtención del punto de funcionamiento se realizará a partir de la intersección de la curva resistente con la curva característica nº5 de la bomba Un primer método de cálculo, aproximado consiste en el trazado gráfico: sobre la gráfica de la familia de bombas se dibuja la curva del circuito resistente (pérdida de carga y ∆z). Teniendo el cuidado debido, la precisión puede ser suficientemente buena. Ver figura 3.28.4. El segundo método, analítico y más exacto precisa de conocer previamente la expresión de la curva característica, que en el problema presente no es dato. Es necesario, entonces, determinar la expresión de la curva resistente a partir de la gráfica de la figura 3.28.4, tomando 3 o 4 parejas de valores Q-H. En realidad, con esta acción, se está cometiendo un error cuyo orden magnitud es similar al del primer método. La expresión de la pérdida de carga en función del caudal será: H r = ∆z + K ⋅ Q 2

[m C.A.]

donde:

∆z = 1,00

[m]

y

H = 3,000

[m C.A.]

si

Q = 0,300

[m3/s]

Resultando: K = 22,2222 [s2/m5]

H r = 1 + 22,2222 ⋅ Q 2

[mC.A.]

Por su parte, la característica hidráulica de la bomba HE-300 se obtendrá a partir de la conocida expresión general:

H = C 0 + C1 ⋅ Q + C 2 ⋅ Q 2

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[m C.A.]

Ejercicios resueltos - 259

Figura 3.28.4. Curva característica y punto de funcionamiento de la bomba HE300

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Ejercicios resueltos - 260

Para determinar los coeficientes se consideran, por ejemplo, tres puntos de funcionamiento dados. Se dispone de toda la curva en forma gráfica. Con el fin de homogeneizar resultados, se propone en el enunciado determinar tres puntos de funcionamiento para alturas de impulsión concretas; estos son:

H = 6,5

[m C.A.]

→

Q = 0,2364

[m3/s]

H = 4,5

[m C.A.]

→

Q = 0,2938

[m3/s]

H = 2,5

[m C.A.]

→

Q = 0,3246

[m3/s]

Sustituyendo estos tres puntos de funcionamiento en la expresión general se tiene 3 ecuaciones con 3 incógnitas, resultando la siguiente expresión: H = −8,30223 + 141,23 ⋅ Q − 334,46 ⋅ Q 2

[m C.A.]

La intersección de la curva característica de la bomba con la curva resistente (característica del circuito), se obtiene el punto de funcionamiento: H = 3,20366 ≈ 3,204

[m C.A.]

Q = 0,3149

[m3/s]

Nota importante. La expresión de la parábola que intenta definir la curva característica de la bomba HE300, llama poderosamente la atención por el hecho de tener una ordenada en el origen negativa, lo cual es absurdo, pues la altura de impulsión a válvula cerrada siempre es positiva. No obstante la curva se considerará válida para la zona de trabajo considerada, es decir, hasta alturas de impulsión no superiores a 6,5 [m C.A.] En realidad se debería: ‰

‰

haber realizado una curva de grado 3 que se ajusta mejor al tipo de máquinas axiales (no obstante con las parejas de puntos citados en el enunciado, sigue obteniéndose un absurdo a caudal nulo, esta vez por exceso). haber tenido en cuenta varios puntos de funcionamiento en la zona de caudales bajos, para obtener una curva más fiel, pero estos datos no son aportados por el fabricante.

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Ejercicios resueltos - 261

Respuesta 3B

Queda por determinar la presión que se está leyendo en el manómetro de ensayo. Este apartado es el caso opuesto del planteado en la primera pregunta. Retomando la expresión de la energía hidráulica, E = e 2 − e1 =

p 2 − p1 c 2 − c12 + g ⋅ (z 2 − z1 ) + 2 ρw 2

[J/kg]

donde: E = g ⋅ H = 9,81 ⋅ 3,204 = 31,43

[J/kg]

y, además: c1 = 0

[m/s]

p1 = 0

z 1 = 453,0

[Pa] [m]

siendo, ahora, diferentes: c 2 = 3,2730

[m/s]

z 2 = z tomas = 452,50

[m]

Llevando estos datos a la expresión general y despejando, se obtiene la presión estática en la sección 2 (ó de tomas de presión): p 2 = 1000 ⋅ 31,43 + 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 0,5 − 1000 ⋅

3,2732 = 30.978,74 2

[Pa]

y por último: p 2 L = p 2 − (z L − z tomas ) ⋅ ρ ⋅ g

[Pa]

p 2 L = 1548,74 ≈ 1549

[Pa]

Resultando:

Otro modo de resolución, más directo relaciona la energía hidráulica másica con la presión leída en el manómetro, por medio de la expresión:

E=

p 2L c2 + g ⋅ (z L − z1 ) + 2 2 ρw

[J/kg]

Despejando: p 2 L = 1000 ⋅ 31,43 − 1000 ⋅ 9,81 ⋅ (455,5 − 453,0) − 1000 ⋅

3,2732 ≈ 1549 2

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[Pa]

Ejercicios resueltos - 262

Respuesta 4

El rendimiento de cada bomba se determina en las gráficas respectivas, resultando:

η HE 380 = 0,80

η HE 300 ≈ 0,675

[-]

[-]

La potencia mecánica, numéricamente, se determina a partir de la expresión: Pm =

Ph η

[W]

En cada caso, resultan los siguientes valores: PmHE 380 = 11036

[W]

PmHE 300 = 14772,68 ≈ 14773

[W]

Respuesta 5

El análisis del coste de cada bomba (precio de compra) se realiza a partir del diámetro del rodete, que es de 380 [mm] en el caso de la HE380, y de 300 [mm] en el caso de la bomba HE 300, de acuerdo al dato que se proporciona en el enunciado. En consecuencia, si el coste del motor eléctrico es similar, por hipótesis, y que las bombas son del mismo fabricante, se deduce que será más barata la bomba de menor diámetro, es decir la HE 300. La hipótesis del coste del motor es bastante real ya que si bien la potencia demandada en el caso de la HE300 es mayor, el motor gira a una velocidad de rotación mayor, luego es proporcionalmente más pequeño.

Queda por último el análisis del coste de operación por factura eléctrica. Asumiendo que el rendimiento del motor sea similar en los puntos de operación respectivos, se deduce que la factura eléctrica con la bomba HE300 será bastante mayor que con la HE380, al absorber una potencia mecánica bien superior. Se puede demostrar, aunque ello escape a la pregunta concreta del examen, que el coste de la factura eléctrica puede superar en el transcurso de 1 año (funcionando en continuo) a la diferencia de precio entre las bombas.

Otro error de concepto que se puede cometer al analizar el coste de la factura eléctrica viene dado por el hecho de considerar únicamente el equivalente energético ó energía específica por unidad de volumen bombeada. Aunque éste hubiera resultado inferior (cosa que no sucede en el caso actual) en la bomba HE300, el hecho de tener desplazado por exceso el caudal de funcionamiento podría suponer un consumo total superior.

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Ejercicios resueltos - 263

Respuesta 6

Para lograr reducir el caudal en la bomba HE300 existen 3 soluciones inmediatas: ‰ ‰

‰

Actuar sobre la válvula de mariposa cerrando parcialmente ésta. Proceder a sustituir el rodete actual por otro con un ángulo de calado diferente. Se recuerda que en el caso de máquinas axiales el recorte de rodete no tiene sentido. Instalar un variador de velocidad, reduciendo ésta.

Desde el sentido común se deben desechar otras soluciones como: 9 Incrementar la pérdida de carga en el circuito por reducción del diámetro de la tubería (coste de reemplazar más de 100 [m] de tubería) 9 Incrementar la pérdida de carga por medio de un diafragma o restrictor por el mayor coste que cualquiera de las otras dos (aunque en bombas más pequeñas, por ejemplo de grupos óleo, suele ser muy utilizada).

Al margen de lo demandado en el examen, se pueden añadir los siguientes comentarios:

‰

‰

‰

La actuación sobre la válvula es sencilla, de coste nulo e inmediata, pero puede tener sus riesgos: cavitación, vibraciones e incluso que el actuador no pueda retener la posición en ciertas posiciones de cierre, salvo que se haya dimensionado adecuadamente. Además, energéticamente, es más desfavorable que cualquiera de las otras, puesto que en bombas axiales el consumo del motor crece a medida que se reduce el caudal. Por tanto, se debe considerar como una actuación provisional. La sustitución del rodete por otro con el mismo diámetro pero diferente ángulo de calado, es interesante pues, normalmente, el coste deberá ser asumido por el fabricante, al no cumplir especificaciones. Energéticamente es mejor que la actuación sobre la válvula pero faltaría comprobar si es peor ó mejor que el variador. Además se debe tener en cuenta que el NPSH requerido por la bomba puede modificarse respecto al diseño original. El variador suele ser una solución eficiente, garantizando unas buenas condiciones de funcionamiento, pero se debe chequear el rendimiento de éste, debido a las pérdidas eléctricas que tiene. Además, suele suponer un coste mayor.

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Ejercicios resueltos - 264

Respuesta 7

En primer lugar se determina el nuevo punto de funcionamiento en la bomba HE300, que debe tener un caudal de 0,3 [m3/s]. Considerando la curva característica determina en la respuesta 3, se tiene: H = 4,14534 ≈ 4,145

[m C.A.]

[m3/s]

Q = 0,300

En el actual punto de funcionamiento la expresión de la curva resistente será ahora: Hr = 1+ λ ⋅

L eq c 2tub c2 ⋅ + ξ ⋅ valv D 2⋅g 2⋅g

[m C.A.]

Despejando: Hr −1− λ ⋅ ξ=

L eq c 2tub ⋅ D 2⋅g

c 2valv

⋅2⋅g

[m C.A.]

Donde: c tub = 2,3873 [m/s]

c valv = 4,2441 [m/s]

L eq = 139,66 [m]

D = 0,400

[m]

λ ≈ 0,018

[-]

Resultando:

ξ = 1,4372 [-] luego: Posición de válvula entre 15 y 20º Respuesta 8

Se parte de la expresión de la curva característica de la bomba 1450 [r.p.m.], es decir: H = −8,30223 + 141,23 ⋅ Q − 334,46 ⋅ Q 2

[mC.A.]

Se puede, ahora, obtener la expresión que corresponderá a la velocidad de rotación buscada sin más que considerar el caudal objetivo de 0,3 [m3/s]. Por otro lado se considerará la característica del circuito ó curva resistente, teniendo 2 ecuaciones con dos incógnitas: 2

 N'   N'  2 H' = −8,30223 ⋅   − 334,46 ⋅ 0,3  + 141,23 ⋅ 0,3 ⋅   1450   1450 

[m C.A.]

H' = H r = 1 + 22,2222 ⋅ 0,3 2

[m C.A.]

N' = 1386,46 ≈ 1386,5

[r.p.m.]

Resultando:

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Ejercicios resueltos - 265

EJERCICIO 3.30. Respuesta 1

En primer lugar se determina la diferencia de alturas geométricas a vencer por las bombas. Se tienen dos situaciones: dique lleno y dique vacío:

∆z = z tubería − z dique

[m]

dique lleno:

∆z = 8 − 7 = 1

[m]

dique vacío:

∆z = 8 − (− 7,5) = 15,5

[m]

(1)

La pérdida de carga en el conjunto de cada tubería resulta se determina de acuerdo a la expresión: L v2 ∆H = f ⋅ ⋅ D 2⋅g

[m C.A.]

(2)

En la expresión (2) son conocidas todas las variables salvo el caudal y, por tanto la velocidad. No obstante, lo que se desea obtener es, precisamente, la expresión de la curva de pérdidas de carga en función del caudal.

f = 0,013

[-]

g = 9,81

[m/s2]

L = 122

D = 0,700

[m]

[m]

Para parametrizar la curva de pérdidas de carga en función del caudal se supone un caudal de, por ejemplo, 2,0 [m3/s], obteniendo:

v = 5,196896 ≈ 5,197

[m/s] ∆H = 3,118972 ≈ 3,119

[m C.A.]

y el coeficiente de pérdidas en función del caudal será: [s2/m5]

K = 0,77975

La expresión de la curva de pérdidas de carga y de las curvas resistentes, por tanto, resultan:

∆H = 0,77975 ⋅ Q 2

[m C.A.]

H r = ∆z + ∆H

[m C.A.]

para dique lleno:

H r = 1 + 0,77975 ⋅ Q 2

[m C.A.]

para dique vacío:

H r = 15,5 + 0,77975 ⋅ Q 2

[m C.A.]

Para trazar las curvas en la gráfica de características de las bombas, se calculan varios valores de Hr como función de Q, según, por ejemplo, la tabla adjunta:

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Ejercicios resueltos - 266

Q [m3/s] 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

Hr (dique lleno) --1,780 2,754 4,119 5,873

Hr (dique vacío) 15,695 16,280 17,254 -----

A continuación se dibujan ambas curvas resistentes sobre la gráfica de curvas de las bombas (figura 3.30.3).

Figura 3.30.3. Puntos de funcionamiento a dique lleno y vacío

Por construcción gráfica se determinan los caudales de operación en las situaciones, resultado de la intersección de las curvas: dique lleno:

Q = 2,37

[m3/s]

H = 5,40

[m C.A.]

dique vacío:

Q = 1,22

[m3/s]

H = 16,80

[m C.A.]

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Ejercicios resueltos - 267

Respuesta 2

El caudal medio de cada bomba durante el achique resulta ser: Q med = Q lleno + Q vacío Q med =

2,37 + 1,22 = 1,795 2

[m3/s] [m3/s]

Par el total de 3 bombas se tendrá:

(Q med )3bombas = 5,385

[m3/s]

Por otro lado el volumen útil del dique seco será: Vdique = h util ⋅ L dique ⋅ b

[m3]

Vdique = 14 ,5 ⋅ 80 ⋅ 20 = 23.200

[m3]

Y el tiempo medio de achique será: t med =

Vdique

(Q med )3bombas

t med = 4.308 ,26

[s] [s]

Respuesta 3

Antes de proceder a ningún cálculo conviene repasar la descripción de los circuitos de bombeo. La configuración del circuito en su primera versión (disposición nº1) es bastante habitual en las realizaciones de éste tipo: ™ ™ ™ ™

Bomba Codos Tubería Descarga a la atmósfera.

EN NINGÚN CASO SE CITA LA PRESENCIA DE VÁLVULAS CUYA FUNCIÓN SERÍA EVITAR EL PASO DEL FLUJO. Al no disponer de válvula, la configuración en su versión 2 (disposición nº2) conecta directamente dos “depósitos”, el propio dique y la ría en este caso, con niveles energéticos diferentes).

En el momento de proceder a la parada de las bombas, cuando se haya alcanzado la cota – 7,5 [m] en el dique, la situación energética en el nivel libre de ambos depósitos será la siguiente: Energía en el nivel libre dique:

E dique = g ⋅ z niveldique +

pb v2 + 1 ρ 2⋅g

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[J/kg]

Ejercicios resueltos - 268

E ria = g ⋅ z nivelria +

Energía en el nivel libre ría:

pb v2 + 2 ρ 2⋅g

[J/kg]

Aquí se tiene que la presión barométrica es igual en ambos caso y que las velocidades v1 y v2 son nulas. Además en el momento de la parada los valores de z en los niveles libres son: z nivel _ dique = −7,5

[m]

z nivel _ ria = +5

[m]

Se observa con claridad que el nivel energético en la ría es bien superior al nivel en el dique. Por tanto hay un incremento de energía entre ambos. Al no existir ningún impedimento (válvulas) y estar la tubería completamente llena (después de haber estado funcionando la bomba) dicho incremento de energías provoca un flujo de agua en el sentido ría – dique. Por tanto inmediatamente después de parar las bombas se invierte el flujo y se comienza a llenar de nuevo el dique. El llenado se detendrá en el momento que los niveles se igualen ó bien cuando se proceda al nuevo arranque de las bombas Solución, por tanto:

t med = ∞

[s]

Notas: 1) En el problema que nos ocupa el nivel energético en pleamar hubiese sido aún mayor y en bajamar menor, pero en cualquiera de los casos se hubiese producido este fenómeno que se denomina vulgarmente “sifón”. 2) Es bastante habitual encontrarse con problemas de este tipo en numerosas instalaciones por desconocimiento ó inexperiencia del personal de diseño ó explotación.

Respuesta 4

Análisis crítico: 9 La principal crítica negativa respecto de la solución adoptada reside en la incapacidad de ésta para cumplir la función deseada: es decir proceder al achique del dique. Más adelante se analizan algunas soluciones sencillas.

Si se implementan las soluciones propuestas el sistema, en su disposición nº2, se tendrían las siguientes ventajas frente al anterior: 9 Aumento en el caudal, lo que supone que se puede tardar menos en achicar el dique. Sin embargo, esta ventaja debería confirmarse con las especificaciones del dique: es decir, si realmente se valora como positiva la reducción en el tiempo de achique; normalmente sí lo es.

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Ejercicios resueltos - 269

Y las siguientes dudas (para el caso que nos ocupa): 9 No estaría claro el mayor o menor consumo energético, pues la curva P-Q, pasa por un máximo a 1700 [l/s] y después desciende. Esto, de acuerdo a la información que facilita el fabricante pero, no se debe olvidar que si el rodete de la bomba es centrífugo era de esperar una mayor potencia a medida que aumente el caudal.

El tema de la potencia, pues, se debe analizar caso a caso, confirmando la tendencia de consumo con el fabricante. Si, por ejemplo, la bomba del problema hubiese sido axial, no habría habido lugar a dudas: consumo menor a mayor caudal. Nota: Por otro lado, en el caso que nos ocupa, y a la vista de la forma de las gráficas, podrían darse problemas de cavitación ó de límite de potencia en el motor.

Soluciones: 1) Incorporar una válvula antirretorno a la salida de la boca de impulsión de cada bomba (tipo clapeta simple ó doble). Esta solución es sencilla y fiable, si las válvulas instaladas son de buena calidad. No se necesita de personal para su operación. En el debe se considerará el incremento de pérdida de carga en la válvula, aunque nunca superará la ganancia energética obtenida por la inmersión de la tubería en la ría y el fuerte impacto que se producirá en el cierre de la clapeta (recordar: diámetro 700 [mm]). 2) Incorporar una válvula (que normalmente se denomina de rotura de carga), en el punto más alto de la tubería en paralelo con ésta. Dicha válvula que podría ser de tipo bola ó compuerta por ejemplo, en ejecuciones de DN100 ó DN200, al ser abierta pondría en comunicación con la atmósfera la columna de líquido alojada en la tubería, con lo cual destruiría el sifón, quedando los niveles libres en cada lado de la tubería igualados a los de los “depósitos” respectivos (dique y ría). La maniobra de ésta válvula implica emplear personal ó bien un incremento de coste al motorizar y automatizar el sistema. En caso de automatización se deberá tener en cuenta el par máximo de cierre y apertura. Nota: Siempre hay que diseñar con cuidado los sistemas de rotura de carga.

3) Variante del primero: instalar una válvula de cierre en la propia tubería en el punto más alto. El tipo preferible a emplear sería el de mariposa (una de bola ó de compuerta sería, en este caso mucho más cara). En todo caso, se trataría de la solución más cara de todas, exigiría de personal de maniobra, ó bien de incremento de precio al automatizar el sistema. También se debería tener en cuenta la pérdida de carga.

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Ejercicios resueltos - 270

Respuesta 5

Con la disposición nº3 sucede que es imposible vaciar el dique, pero esta vez se produce una problemática mucho más grave que en el caso anterior, y es debida a la cavitación. El funcionamiento de la bomba desde el arranque con dique lleno sería el hipotéticamente el indicado en la figura 3.30.4, siguiendo una metodología análoga a la de la figura 3.30.3:

Figura 3.30.4

El nuevo punto de funcionamiento para caudal máximo, se tendrá para una diferencia de cotas zII-zI = (3-7) = -4 [m]. Las curvas de pérdida de carga y la resistente, siguen siendo paralelas a las anteriores condiciones (disposición nº1). Este punto se sale de la escala de la gráfica, por lo que no se ha representado. En su lugar se procede al estudio del

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Ejercicios resueltos - 271

punto correspondiente a la diferencia de cotas –2 [m], con nivel medio en la ría y dique lleno (cotas zII = +5 y zI =+7), como se aprecia en la figura 3.30.4. Para poder determinar el punto de funcionamiento se ha extrapolado en parte la curva característica de la bomba (continuando la característica documentada con una curva a puntos). El punto se ha marcado con un asterisco. En estas condiciones se tendría, hipotéticamente una situación similar a la comentada en la respuesta 4: desde el punto de vista exclusivo de característica hidráulica H-Q, el resultado es positivo (se bombea más caudal). Un primer aspecto negativo tiene que ver con el menor rendimiento en esta zona de operación y dudas sobre la curva P-Q. El segundo y definitivo tiene que ver con la presencia de un flujo cavitante en la bomba. Fijando la atención sobre la curva de NPSHr de la bomba (la situada más hacia la derecha), se aprecia la necesidad de extrapolación a partir de 2400 [l/s] de caudal, por lo que se ha marcado dicha curva también a puntos. Si ya era arriesgada la extrapolación H-Q, ahora dicha operación es temeraria pues es conocida la fuerte pendiente que alcanza el NPSH a caudales alejados del óptimo.

Con todo, de la figura 56.4, se deduce el valor de NPSHr (que corresponde al 3% de H):

(NPSH r )actual = 10,4

[m C.A.]

Q actual = 2,5

para

[m3/s]

Mientras tanto, el NPSHd resulta ser, haciendo abstracción de las pérdidas de carga (que existen) en la aspiración: NPSH d = H b − H v − H s = 10,13 − 0,23 − 2 = 7,9

(NPSH r )actual f (NPSH d )actual

[m C.A.]

[mC.A.]

para

Q actual = 2,5

[m3/s]

Resulta pues, un valor bastante inferior al requerido, lo que supone que la altura de impulsión se habrá mermado bastante y la máquina estará funcionando en condiciones lamentables. El punto real de funcionamiento estará situado hacia la izquierda del que se presumía teóricamente. Esto se puede apreciar recurriendo a la figura 3.30.5, variante de una presentada en el capítulo 19 del libro. Cuando el NPSHd es muy inferior al requerido (en nuestro caso del 3 [%]), se ha producido la caída total de prestaciones en la máquina, como se desprende de una curva de “break” típica que se muestra en el mismo capítulo 19. Por tanto, funcionar en el punto hipotéticamente calculado es imposible. En su lugar la máquina intentará trabajar a menor caudal hasta lograr un equilibrio entre los NPSHd y NPSHr. No se debe olvidar, que en el momento del arranque, si se ha realizado a válvula cerrada, se pasa por el punto H=max; Q=0 y se produce un desplazamiento a través de la curva característica de la bomba. Los posibles estados de equilibrio se muestran, esquemáticamente, en la figura 56.5. Se representan varios posibles NPSHd (como en el caso del presente problema) y tres curvas de NPSHr, representando cada una de ellas, el lugar geométrico de los NPSH de máquina, como función del caudal ¾ en el caso en que todavía no se ha producido el descenso de prestaciones (0%), ¾ cuando se produce un descenso “controlado” (del 3%) en la altura de impulsión y ¾ cuando se está en funcionando a plena cavitación.

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Ejercicios resueltos - 272

Figura 3.30.5

Obviamente si se ha producido un descenso del 3%, la altura de impulsión actual se “caerá” de un 3%, separándose algo de la característica H-Q, cosa que se aprecia en la figura. Si el NPSHd es algo inferior, se producirá un brusco descenso, cuasi-vertical de la curva H-Q, alejándose bastante de la situación si cavitación. La nueva forma de la curva H-Q se cortará con la curva resistente en el punto de funcionamiento actual. Por tanto, para poder determinar el punto de funcionamiento en condiciones de cavitación desarrollada (o “plena cavitación”), es preferible proceder a establecer este, a partir de la intersección entre NPSHd y NPSHr. Para la actual condición de operación, NPSHd es una recta horizontal que pasa por 7,9 y la intersección se produce para un caudal de aproximadamente 2175 [L/s]: ver figura 3.30.6. Se traza entonces una recta vertical que arranque con cierta curvatura desde la característica H-Q sin cavitación, y buscando la intersección con la curva resistente se tiene el punto de funcionamiento en condiciones de cavitación desarrollada para la cota zI = +7 en la aspiración. Esto no es riguroso, pues el punto de funcionamiento estaría situado algo más a la derecha, de acuerdo a la figura 56.5, pero se puede considerar suficientemente aproximado. Se recuerda que la forma de la caída de la curva característica de la bomba depende de la velocidad específica de esta (más brusca cuanto menor sea y más suave, pero empezando más a la izquierda, a velocidades específicas elevadas) y del punto de funcionamiento: a caudales inferiores al óptimo será más brusca que a caudales superiores.

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Ejercicios resueltos - 273

Figura 3.30.6

A medida que descienda el nivel en el dique, se irá reduciendo el NPSHd y los puntos de intersección con el requerido se irán desplazando hacia la izquierda. En la figura 3.30.7 se representa las condiciones de funcionamiento para:

zI = +6 [m] zI = +3 [m]

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Ejercicios resueltos - 274

Figura 3.30.7

A partir del NPSHr = 4,0 [m], que corresponde a una cota en el dique de aproximadamente +3 [m], no se dispone de información en el gráfico presentado por el fabricante. Se presume, no obstante, que dicha magnitud desciende poco, siendo prácticamente asintótica con la horizontal. La bomba continuará trabajando en condiciones cada vez más precarias, aumentando el tamaño de las láminas y bolsas cavitantes a media que el NPSHd sea cada vez más bajo. Llegará un momento, bastante antes de que se alcance la presión de vapor (valor límite: nivel a la cota –1,0 [m]), que las láminas cavitantes cerrarán completamente la sección de paso entre álabes, produciéndose el descebado de la bomba.

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Ejercicios resueltos - 275

EJERCICIO 3.31.

Respuesta 1

A 2900 [r.p.m.] todas las bombas presentan características H-Q con elevada altura de impulsión. Se va, por tanto, al catálogo con velocidad a 1450 [r.p.m.]. Se seleccionan, para análisis, los siguientes tipos de bomba: ¾ IN 125-250 bF, con diámetro D2 comprendido entre 251 [mm] y 241 [mm]. Rendimiento del orden de 85 [%]. ¾ IN 150-250 bF, con diámetro D2 entre 216 [mm] y 226 [mm]. Rendimiento del orden del 75 [%]. La primera es claramente la mejor opción, por su mayor rendimiento y menor tamaño (lo que indicará, para la misma gama de producto y de presiones un coste inferior). Notas: 1. El mejor rendimiento se debe producir en la zona de funcionamiento previsto para la máquina. 2. No se indicaba ningún requisito especial respecto al riesgo de cavitación. Respuesta 2

El diámetro definitivo se determinará empleando la seudo-semejanza en recorte de rodetes centrífugos, a partir de las dos curvas de catálogo de la bomba IN 125-250 bF. Por construcción gráfica, se parte del origen H-Q, trazando una recta que pase por el punto de funcionamiento deseado. Se anotan los dos puntos, inferior y superior, sobre cada curva (241 [mm] y a 251 [mm]). Las leyes de recorte tiene por expresiones. H D =  H'  D' 

2

Q D =  Q'  D' 

2

[-]

Por ejemplo, partiendo de la curva a 251 [mm], se tiene: Diámetro 251 ?

Altura 16,14 15,5

Caudal 245 234

Para tener la solución es suficiente con considerar un solo diámetro y una sola de las magnitudes hidráulicas: bien el caudal, bien la altura de impulsión. No obstante, es altamente recomendable proceder al cálculo realizando la media de las 4 operaciones: para las 2 curvas (2 diámetros) y para las 2 magnitudes (H y Q). Los valores obtenidos en cada caso deberán diferir muy poco entre sí: para diámetros del orden del considerado (inferior a 0,5 [mm]). En caso contrario se habrá operado mal.

En el presente caso, resultan: Se adopta el valor medio:

según H: según Q.

245,97 [mm] 245,30 [mm]

245,6 [mm]

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Ejercicios resueltos - 276

Respuesta 3

En este caso el óptimo se sitúa muy cerca del punto de funcionamiento; se considera, por tanto el punto de diseño como el valor del caudal para 100 [%]. Ahora se determinan los puntos H-Q, para caudales 120 [%], 80 [%] y 60 [%] del de diseño. Los caudales de modo numérico y las alturas de impulsión a partir de la curva para 245,6 [mm] y de la ley de recorte (ver tabla). En la misma gráfica se determinan los rendimientos correspondientes. La potencia mecánica se prefiere determinar por cálculo. Pm =

ρw ⋅ Q ⋅ E η

[W]

Una vez determinados dichos valores (para agua), se deberán establecer las correcciones correspondientes al efecto de escala que producen en la máquina, cosa que se efectúa por medio del ábaco empírico del Hydraulic Institute (capítulo 5 de los ábacos). Entrando con la viscosidad, el caudal (100 %) y la altura de impulsión correspondiente, es decir: ν = 65

Q = 234

[cSt]

[m3/h]

H = 15,5

c Q = 0,985

[-]

[m C.L.]

se tiene: c η = 0,793

[-]

c H _ 100 = 0,944

[-]

c H _ 120 = 0,931

[-]

c H _ 80 = 0,958

[-]

c H _ 60 = 0,972

[-]

Se confecciona entonces la tabla 3.31.1, donde conviene destacar el cálculo de la potencia mecánica que se realizará, para la densidad del nuevo líquido. Las expresiones de cálculo serán las ya conocidas. Por ejemplo para el caudal 100 [%]:

η VC = η w ⋅ c η

[-]

Q VC = Q w ⋅ c Q

[m3/h]

H VC _ 100 = H w _ 100 ⋅ c H _ 100 PmVC _ 100 =

ρ VC ⋅ Q VC ⋅ g ⋅ H VC η VC

[m C.L.] [W]

La gráfica correspondiente se muestra en la figura 3.31.2.

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Ejercicios resueltos - 277

[%] Agua Relativo H Q Η del Punto [m C.A.] [m3/h] [-] 100 15,5 234 0,855 120 12,8 280,8 0,830 80 17,3 187,2 0,830 60 18,6 140,4 0,750

Correcciones cH

Pm [kW] 11,560 11,800 10,633 9,488

cQ

cη

Líquido viscoso H

[-] [-] [-] [m C.L.] 0,944 0,985 0,793 14,63 0,931 “ “ 11,92 0,958 “ “ 16,57 0,972 “ “ 18,08

Tabla 3.31.1

Figura 3.31.2

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Q

η

Pm

[m3/h] 230,5 276,6 184,4 138,3

[-] 0,678 0,658 0,658 0,595

[kW] 12,876 12,972 12,021 10,879

Ejercicios resueltos - 278

Respuesta 4

Si se admite por hipótesis, que no hay pérdidas hasta el manómetro, se tendrá, designando con “II” la sección correspondiente al manómetro y con “I” al nivel del depósito de aspiración: E (bomba) = E II − E I

[J/kg]

Es decir: E (bomba) =

p II c2 p c2 + g ⋅ z II + II − I + g ⋅ z I + I 2 ρ VC 2 ρ VC

[J/kg]

En el punto de funcionamiento para el 100 [%], se tiene: 143,52 =

p II 5,054 2 + 950 2

luego:

p II = 124.211 [Pa]

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Ejercicios resueltos - 279

EJERCICIO 3.32.

H-Q Pe-Q Pu-Q

80 60 40 20 0 0

0.05

0.1

0.15

Caudal (m3/s)

Figura 3.32.1. CC de una bomba

RENDIMIENTO 1 Altura (m.c.a)

Altura (m.c.a)

100

0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

0.05

0.1

0.15

Caudal (m3/s)

Figura 3.32.2. Curva de rendimiento de una bomba

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Ejercicios resueltos - 280

CURVAS DE ISORRENDIMIENTO 140 120 H (m.c.a.)

100 80 60 40 20 0 0

0.05

0.1

0.15

Caudal (m3/s)

Figura 3.32.3. Curvas de isorrendimiento.

En la tabla siguiente se pueden ver todas las combinaciones de bombas en serie y paralelo. La mejor opción resulta ser 2 bombas en paralelo h serie 1 2 3 4 5

paralelo 1 22,4 44,8 67,2 89,6 112

2 65,6 131,2 196,8 262,4 328

3 73,6 147,2 220,8 294,4 368

4 76,4 152,8 229,2 305,6 382

5 77,696 155,392 233,088 310,784 388,48

paralelo 1 0,454512 0,454512 0,454512 0,454512 0,454512

2 0,863628 0,863628 0,863628 0,863628 0,863628

3 0,717168 0,717168 0,717168 0,717168 0,717168

4 0,590907 0,590907 0,590907 0,590907 0,590907

5 0,49818048 0,49818048 0,49818048 0,49818048 0,49818048

η serie 1 2 3 4 5

Tabla 3.32.1. Resultados.

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Ejercicios resueltos - 281

EJERCICIO 3.33.

En primer lugar se localizan las curvas características de la bomba IN-80-250.aF para las dos velocidades en los Ábacos y se identifican las propiedades del punto de funcionamiento óptimo en ambos casos:

•

•

1450 [r.p.m.]:

pág 68

HΛ = 21 [m C.A.]

QΛ = 92 [m3/h]

2970 [r.p.m.]:

pág 99

HΛ = 88,3 [m C.A.]

QΛ = 197 [m3/h]

ηΛ = 72 [%]

ηΛ = 76 [%]

Al tratarse de bombas semejantes funcionando en puntos de funcionamiento semejantes se deben verificar las relaciones de semejanza: Q1 Q = 3 2 D ⋅ N1 D2 ⋅ N 2

H1 H = 2 2 2 2 D ⋅ N1 D2 ⋅ N 2 2 1

3 1

En ambos casos el diámetro de rodete es el mismo (271 [mm]), por lo que D1 = D2, de forma que las relaciones se simplifican: H1 H 2 = N12 N 22

Q1 Q2 = N1 N 2

Operando se tiene que: 21 88,3 = 9,988 ⋅10 −6 ≈ 1 ⋅10 −5 = 2 1450 2970 2

⇒

92 197 = 0,06345 ≈ 0,06633 = 1450 2970

Se verifican por tanto las relaciones de semejanza hidráulica.

Nota.- al tratarse de bombas semejantes funcionando en puntos de funcionamiento semejantes se debería obtener, en principio, el mismo rendimiento en ambos casos; los efectos de escala pueden explicar las diferencias entre “modelo” (1450 [r.p.m.]) y “prototipo” (2970 [r.p.m.]). Si se realizan los cálculos de revalorización a partir del rendimiento en modelo (ηMΛ = 72 [%]) se obtienen los siguientes valores para el rendimiento en prototipo:

•

Sulzer (Ábacos, pag 21): ηPΛ = 75 [%]

(revalorización del 3 [%])

•

Hutton (Ábacos, pag 21): ηPΛ = 77 [%]

(revalorización del 5 [%])

•

CEI (Ábacos, pag 22):

ηPΛ = 80 [%] (revalorización del 8 [%], ¿excesiva?)

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Ejercicios resueltos - 282

EJERCICIO 3.34.

En la figura 3.34.1 puede verse el esquema de la bañera de hidromasaje.

Figura 3.34.1

La bomba impulsa un caudal Q y a cada boquilla le llega un caudal Q/2. Por cada boquilla donde la constante de pérdidas vale KB = 624021,2 [m C.A./(m3/s)2] sale el agua a una velocidad c y profundidad 0,7 [m]. Aplicando la ecuación de la energía entre la piscina y cualquiera de las boquillas: H (Q) – KB (Q/2)2 = 0,7 + 0,3 + c2/2g

(1)

Por otra parte, conocido el diámetro de la boquilla D = 0,01 [m] se puede calcular la [m2] sección A de la misma: A = 0,25 ⋅ π ⋅ D2 Y expresando c en función del caudal que circula por la boquilla (Q/2): c = (Q/2)/A Que sustituido en (1):

H (Q)= 1 + [(KB /4) + (1/(8 ⋅ g ⋅ A2))] Q2

(2)

Esta ecuación (2) es la expresión genérica del circuito donde para Hm (Q) hay tres expresiones correspondientes a las tres bombas candidatas TIPER 30-50-75 De los datos tabulados del problema se pueden ajustar las curvas características a las expresiones de H = H (Q) y Pm = Pm (Q)

TIPER 30 TIPER 50 TIPER 75

A 11,60 12,53 13,46

C – 1,67E-04 – 1,46E-04 – 1,28E-04

D 3,51E-01 3,80E-01 3,91E-01

E 1,30E-03 1,89E-03 2,30E-03

F – 2,47E-06 – 3,70E-06 – 2,47E-06

Tabla 3.34.1

Con los coeficientes A y C para la curva H (Q) de las distintas bombas y entrando en la ecuación 2, se pueden calcular Q y H de funcionamiento, potencias mecánicas potencias hidráulicas y rendimientos de la bombas candidatas (Tabla 3.34.2).

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Ejercicios resueltos - 283

Q [m3/s] 1,94E-03 2,05E-03 2,15E-03

TIPER 30 TIPER 50 TIPER 75

Q [L/min] 116,25 122,83 129,28

H [m C.A.] 9,35 10,32 11,32

Pm [kW] 0,47 0,56 0,65

PH [kW] 0,18 0,21 0,24

ηB [-] 0,38 0,37 0,37

Tabla 3.34.2

A partir de las potencias mecánicas en relación a la potencia nominal de los motores de accionamiento se calculan las fracciones de carga a la que trabajan y con las mismas se interpola el rendimiento eléctrico del motor. Con él se puede calcular la potencia eléctrica absorbida de red y en función del número de horas de trabajo anuales se calcula la energía total [kW-h] consumidos en un año. Conocido el coste del [kW-h] (0,09 [€]) se puede calcular el coste de la energía consumida en un año con cada una de las opciones. (Tabla 3.34.3).

TIPER 30 TIPER 50 TIPER 75

FACTOR CARGA 0,85 0,74 0,86

ηM 0,67 0,67 0,68

PABS [kW]) 0,70 0,83 0,95

Nº HORAS

1080 1080 1080

Eabs [kW-h/año] 757,20 897,36 1028,67

Coste energía anual [€] 68,15 80,76 92,58

Tabla 3.34.3

Por otra parte, el coste de inversión de comprar cada tipo de bomba debe repartirse a lo largo de su vida útil estimada. El factor de amortización (A.F.) sirve para calcular cuánto se debe atribuir al primer año (amortización). Con los datos del problema A.F. = 0,15472181. Multiplicando el coste total de cada bomba por A.F. se calcula el coste de inversión atribuible al primer año. Sumándole el coste de la energía en un año, da el coste total (amortización + energía) permitiendo la selección de la opción globalmente más económica a pesar de ser la bomba más cara (TIPER 30) (Tabla 3.34.4). precio [€]

TIPER 30 TIPER 50 TIPER 75

202,00 198,00 190,00

1er año coste inv. 31,25 30,63 29,40

1er año coste energ

68,15 80,76 92,58

Tabla 3.34.4.

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1er año coste total 99,40 111,40 121,98

Ejercicios resueltos - 284

EJERCICIO 4.1. N = 500 [r.p.m.] Æ ω = 52,36 [rad/s]

En el periodo 1965 – 1969 la fórmula para obtener el nq es: n q = 1087,8 ⋅ H −0,625

Y los coeficientes científicos son: Q [-], ϕ= π ⋅ R5 ⋅ω

2⋅ E ψ = 2 2 R ⋅ω

[-]

ν=

y

ϕ

1

ψ

3

2

[-]

4

Respuesta 1

En el caso presente es dato la curva de salto neto nominal, y las de máximo y mínimo. Se aprecia que éste varía con el caudal por las pérdidas de carga. Si se desea trabajar con un valor invariable se debería considerar el Salto Bruto Nominal. En el punto óptimo los valores son:

ϕη = 0,27

[-];

ψ η = 4,40

ηη = 88,5

[-];

[%];

ν = 0,171

[-]

Conocida la relación, nq = 169,208 ⋅ν (nom a opt), se puede calcular nqnom = 169,208 ⋅ν Λ = 28,93 [*]

Mirando en tablas se observa que corresponde a una turbina FRANCIS. Si el salto neto varía con el caudal,

ϕ nom ≈ 1,15 ⋅ ϕ Λ = 0,3105 [-] Con este valor se entrará en la gráfica para leer el valor

ψ nom = 4,26 [-];

ν nom = 0,188 [-];

n q = 1087,8 ⋅ H −0,625 [*]

⇒

nqnom = 29,65 [*];

H nom = 318,6 [m C.A.]

Como se puede apreciar hay cierta diferencia entre los valores en este caso concreto. Para continuar se sigue con estos últimos valores calculados. Una vez conocidos estos valores, empleando ahora los coeficientes de caudal y energía, se puede determinar el diámetro de referencia del rodete, en función de las condiciones del punto nominal.

ψ 2e =

2⋅ E 2 ⋅ 9,81⋅ 318,4 ⇒ 4,26 = 2 ⇒ R2 e = 0,7316 [m] ⇒ D2e = 1,463 [m] 2 2 R ⋅ω R2 e ⋅ 52,36 2

A partir de este punto se podría proceder: - al dimensionamiento completo de la turbina, a partir de los valores de las diferentes magnitudes geométricas obtenidas estadísticamente por De Siervo y De Leva. - a la obtención de los valores de salto y caudal de toda la colina. - a la determinación estadística de la cota de implantación de la turbina para evitar una cavitación excesiva.

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Ejercicios resueltos - 285

Los puntos seleccionados resultantes son: Magnitud Caudal [m3/s] Salto Neto [m C.A.] Coeficiente del caudal (ϕ) [-] Coeficiente de Altura (ψ) [-]

Óptimo 17,39 329,1 0,27 4,40

Nominal 20,00 318,6 0,3105 4,26

Respuesta 2

Estadísticas ⇒ Francis ⇒ σ = a ⋅ν b con ν Λ = 0,171 [-] AUTOR Creager Knapp Vivier De Siervo

a 1,024 0,634 0,530 0,436

b 1,990 1,665 1,742 1,388

σ [-] 0,0305 0,0335 0,0244 0,0376

NPSHest [m C.A.] 10,037 11,024 8,030 12,373

Ha [m C.A.] + 0,055 – 0,933 + 2,062 – 2,280

Respuesta 3

En la figura de colina se determinan gráficamente los diferentes coeficientes adimensionales de energía. Dichos valores se llevan a la expresión del coeficiente y se despeja el salto bruto.

ψ [-] Máximo Nominal Mínimo

5 4,75 4,2

Salto Bruto [m] 379,94 355,25 314,11

El coeficiente de pérdidas se determina por ejemplo para el nominal, ya que se dispone de datos: H b = H n + ∆H Æ 355,25 = 318,6 + ∆H

∆H = K ⋅ Q 2 Æ 36,65 = K ⋅ 20,00 2 Æ K = 91,62 ⋅10 −3 [m C.A. ⋅ (m3/s)2] Respuesta 4

Utilizando las ecuaciones de dimensionado de las turbinas Francis se obtiene: k u 2 = 0,293 + 0,0081⋅ nq = 0,533 [-] u 2 = k u 2 2 g ⋅ H n = 42,11 [m/s] u2 =

2 ⋅ π ⋅ N D2 ⋅ Æ D2 = 1,61 [m] 60 2

D1 = 2,18 [m] Æ D1e = 1,612 [m]

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Ejercicios resueltos - 286

EJERCICIO 4.2.

Respuesta 1

El caudal para distribuidor a plena apertura (nominal) y en el óptimo para cada grupo será: Qnom = Q∧ =

Qtot 690 = = 115,0 6 6

Qnom = 92,0 1,25

[m3/s] [m3/s]

El correspondiente grado de apertura en el distribuidor estará comprendido entre 60 [%] y 70 [%]; aunque se ha tomado como hipótesis el valor de 70 [%] (colina nº1 H – Q). A = 70

[%]

Figura 4.2.1. Determinación del caudal óptimo y apertura de distribuidor correspondiente en colina (Q-H)

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Ejercicios resueltos - 287

Respuesta 2

El rendimiento óptimo se supone como del 92 [%] (en la colina) de acuerdo a la nota al fin del enunciado (en realidad es algo superior). En cuanto al resto, todo es dato salvo el salto neto. Pm ∧ = Ph ⋅η h^ = ρ ⋅ Q∧ ⋅ g ⋅ H ∧ ⋅η h^

H ∧ ≡ H nom = 126,327

[MW] [m C.A]

Respuesta 3

Consultando ahora la colina nº2 P – H, se tendrá que la potencia a plena apertura de distribuidor para salto neto nominal (de diseño) será del 100 [%], cuando en el óptimo será del 85 [%]: Pm_nom = Pm_ ∧ ⋅

100 100 = 104,892 ⋅ = 123,40 85 85

[MW]

A su vez la potencia eléctrica resulta: Pa_nom = Pm_nom ⋅η a = 116,70

[MW]

Para los 6 grupos resultará: Pa_nom (central) = 6 ⋅ Pa_nom = 718,20

[MW]

Figura 4.2.2. Determinación de la potencia nominal en la colina (P-H).

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Ejercicios resueltos - 288

La potencia máxima se situará en el punto extremo de la colina P-H, es decir para el mayor salto neto posible (125 [%] del nominal) y máxima apertura de distribuidor (100 [%]). Se tiene: H MAX ≡ 1,25 ⋅ H nom = 157,91

[m C.A]

Pm_MAX ≡ 1,42 ⋅ Pm_nom = 175,23

[MW]

Pa_MAX ≡ 0,97 ⋅ Pm_MAX = 169,97

[MW]

Y para los 6 grupos: Pa_MAX (central) ≡ 6 ⋅ Pa_MAX = 1019,84

[MW]

Figura 4.2.3. Determinación de la potencia máxima en la colina (P-H).

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Ejercicios resueltos - 289

Notas: 1. Para determinar el punto extremo en la colina ha sido necesario salirse de la escala (terminaba en 140 [%] y se ha pasado a 142 [%]) 2. La potencia máxima se ha determinado en el supuesto de que la potencia de diseño del alternador no supone ningún límite. Normalmente se suele introducir una cierta limitación por cuestiones económicas. Si tal límite existiera se representaría por medio de una recta en la colina P-H. 3. Un caso típico de limitación se suele dar en las máquinas Kaplan y bulbo que trabajan con pequeños saltos. Siendo dado que el nivel en la captación (azud o represa de agua fluyente,…) es prácticamente constante, el nivel aguas abajo condiciona el salto neto, y resulta ser muy función del caudal. En consecuencia es difícil que se dé simultáneamente un gran caudal y un gran salto. 4. En turbinas Francis, como el caso del problema se puede presentar una situación similar pero en menor medida. Podría aceptarse un dimensionamiento del alternador como el calculado aquí arriba si se prevén situaciones repetitivas de estiaje, de modo que funcionen pocos grupos a mucho salto y plena carga.

Respuesta 4

La velocidad específica se determina a partir de la expresión estadística dato. No obstante se debe tener en cuenta que dicho valor se refiere al nominal y no al óptimo. En el presente caso se debe asumir que el nominal corresponde al punto de diseño (100 [%] de Q y 100 [%] de H). −0,625 ns = 2959 ⋅ H nom = 143,78

[*]

Llevando ahora el valor estadístico, obtenido, a la expresión de la velocidad específica: ns = N ⋅

12 Pm_nom

[*]

54 H nom

Despejando, teniendo en cuenta que la potencia se introduce en [kW], se obtiene un valor tentativa de la velocidad de rotación N y el número de pares de polos aproximado. Para el presente caso se supone que la frecuencia de la red es la europea, con 50 [Hz]. Se tiene:

N = 173,34 N=

[r.p.m.]

60 ⋅ f n. p.

n. p. =

[r.p.m.]

60 ⋅ 50 = 17,41 172,32

[p.p]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 290

Se elige, entonces, un número de pares de polos superior (si se desea ser conservador). En este caso: n. p. = 18

[p.p.]

N = 166,6667

[r.p.m.]

Resultando, entonces la velocidad específica definitiva: ns = 138,24

[*]

La opción elegida corresponde a una estrategia conservadora en el supuesto de que se disponga de poca sumergencia, o en el límite, de una excesiva altura de aspiración y por consiguiente bajo σplanta. Ahora bien, también puede resultar el caso contrario, en que sea posible y económicamente viable enterrar algo más el plano de referencia de rodetes. En dicha situación se puede ir a un número de pares de polos inferior, teniéndose: n. p. = 17

[p.p.]

N = 176,47

[r.p.m.]

Resultando, entonces la velocidad específica definitiva: ns = 145,80

[*]

Como no se daban datos adicionales relativos a la cavitación, cualquiera de las dos respuestas es válida, pero convenientemente razonada.

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Ejercicios resueltos - 291

EJERCICIO 4.3.

Respuesta 1

En primer lugar se determinan las zonas de funcionamiento marcando los saltos netos (en este caso coinciden con los brutos) para el nominal, el máximo y el mínimo. Se tiene: (Ábacos, pag. 17. Expresiones 3.43-3.44): Q11 =

Q D ⋅ H1 2

[m0,5*s-2]

n 11 =

N⋅D H1 2

[m0,5*r.p.m.]

2

Nota: Se puede observar que las unidades que se asignan en las gráficas, por tradición indican [m3/s] y [r.p.m.]: nada más lejos de la estricta realidad!!!!

Al ser igual salto bruto y neto (no hay pérdidas de carga) se tienen para los principales valores de salto bruto ó altura de impulsión bruta (prototipo):

Nominal Máximo Mínimo

H [m.C.A.] Turbina 137,8 145 126

n11 [*] 65,75 64,11 68,77

Tabla 4.3.1.

H [m C.A.]

n11 [*]

137,8 145 112 122 135

65,75 64,11 72,95 69,89 66,44

Bomba Nominal Vacioinf (183) –LLenosup (328) (max) LLinf (206)-Vsup (318) (mín) LLinf (206)-LLsup (328) Vinf (183)-Vsup (318)

Tabla 4.3.2.

Se marcan ahora los valores de n11 en cada gráfica aportada en el examen. En principio los confines de funcionamiento en bomba estarán perfectamente definidos por los valores de n11. En turbina conviene marcar además, las aperturas de distribuidor admitidas. Queda por último verificar con la potencia (del alternador) si existe algún limite solapado a los anteriores. Esto es fácil de ver en el caso de funcionamiento en bomba pues se aporta la curva P11 función de n11. En turbina el cálculo debe ser indirecto. El punto más desfavorable será: mínimo n11, máxima apertura a máximo salto neto. Es decir, sobre la colina: n 11 = 64,11

Q 11 = 0,995 Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

[*]

Ejercicios resueltos - 292

H = 145

[m.C.A.]

Q = 178,518

[m3/s]

Teniéndose: Pa = Ph ⋅ η g ⋅ η a

[W]

Pero el rendimiento de turbina a considerar será el de prototipo. Siendo conservador, este rendimiento se supone, por ahora, igual al de modelo pero con una revalorización del 3,5 [%]: Se tiene, en el punto considerado: Pa = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 145 ⋅ 178,518 ⋅ (0,875 + 0,035) ⋅ 0,985 Pa= 227,61

[W] [MW]

Se estaría, pues, dentro de lo admisible. Los límites para cada modalidad de funcionamiento (turbina y bomba) se indican en las figuras 4.3.3 y 4.3.4.

Figura 4.3.3. Límites de funcionamiento en turbina.

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Ejercicios resueltos - 293

Figura 4.3.4. Limites de funcionamiento en bomba. Se han marcado también los niveles intermedios correspondientes a depósito lleno ó vacío. Esto es necesario para definir el funcionamiento favorable en cavitación

Respuesta 2

Se trata ahora de obtener la colina parcial de rendimientos para el salto neto nominal (turbina). Se procede acotar la colina global por la línea n11 = constante, para valores enteros del rendimiento. Se anotan los valores en una tabla previa a realizar cualquier gráfica. En cuanto al número de puntos se comienza espaciando algo los valores. Si posteriormente fuera necesario se procedería a añadir puntos. El valor de máximo rendimiento es difícil de evaluar exactamente pero se supone que será muy cercano al 90,50 [%]. Este valor es necesario para aplicar una de las modalidades de revalorización. Para definir el extremo de funcionamiento se ha considerado el punto a plena apertura que corresponde aproximadamente a un rendimiento de 87,4 [%]. En cuanto a la revalorización de rendimientos la expresión a aplicar es la de Hutton para bombas turbina funcionado en turbina y turbinas Francis de baja velocidad específica (Ábacos: página 23, expresión 3.91).

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 294

  Re ∆η = (1 − η M ) ⋅ 0,6 ⋅ 1 −  M   Re P

  

0, 2

  

[-]

El número de Reynolds tiene por expresión Re =

D⋅ 2⋅g⋅H ν

[-]

Para el modelo Rem se calculará con Hnm = 20 [m C.A.] y Dm = 0,25 [m] Para el prototipo Rep se calculará con Hnp = 137,8 [m C.A.] y Dp = 3,86 [m] Rem = 4,94 ⋅ 106 Rep = 200,6 ⋅ 106 La fórmula de Hutton se aplica normalmente punto a punto. Es decir el incremento de rendimiento resulta diferente dependiendo del propio rendimiento de cada punto en modelo. Por otro lado las fórmulas modernas consideran la revalorización como constante e igual al resultado de aplicar la fórmula al máximo. En el caso del problema se asume dicho valor como el máximo para la colina parcial actual (a n11 = 65,75), aunque también se podría haber considerado el máximo de toda la colina aunque está vedada a su empleo en la presente aplicación.

ηM [%] 78 84 88 90 90,5 90 88 87,4

n11 [*] 65,75

Q11 [*] 0,445 0,54 2 1/2 0,655 Qp=Q11*Dp *Hnp 0,7175 0,76 0,825 0,965 0,995

QP [m3/s] 77,8 94,4 114,6 125,5 132,9 144,3 168,0 174,0

∆η [-] 6,90 5,02 3,77 3,14 2,98 3,14 3,77 3,95

Tabla 4.3.3. (1): Rendimiento revalorizado punto a punto (2): Rendimiento revalorizado constante a partir del óptimo

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

ηP (1) [-] 84,90 89,02 91,77 93,14 93,48 93,14 91,77 91,35

ηP (2) [-] 80,98 86,98 90,98 92,98 93,48 92,98 90,98 90,38

Ejercicios resueltos - 295

Revalorización de Hutton (Turbina) n11= 65.75 (Hnp nominal=137.8 m.c.a)

Rend (%)

95 90 85 80 75 0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

Qp (m3/s) ηmodelo [%]

ηprototipo (1) Pto. a pto

ηprototipo (2): ηm + 2.98(%)

Figura 4.3.5. Revalorización de Hutton. Modo turbina.

Respuesta 3

Para el funcionamiento en bomba se procede de modo análogo. La única salvedad ahora consiste en que varían simultáneamente caudal y altura de impulsión. Del mismo modo que en el caso anterior se consideran una serie de puntos reducida, ampliándose posteriormente si se viera la necesidad. En principio los puntos elegidos corresponden a las 4 situaciones de embalse superior e inferior más el nominal. Como punto adicional se elige el correspondiente al máximo rendimiento. En cuanto a la revalorización de rendimientos la expresión a aplicar es la de Ackeret (Ábacos, pag. 2. Expresion 3.89), de la misma estructura que la de Hutton pero con coeficiente de pérdidas diferente.   Re ∆η = (1 − η M ) ⋅ 0,5 ⋅ 1 −  M   Re P

  

0, 2

  

[-]

El número de Reynolds es igual al anterior según Re =

D⋅ 2⋅g⋅H ν

Para el modelo, ahora la altura manométrica es 25 [m C.A.] con lo Rem = 5,53 ⋅ 106 [-]

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Ejercicios resueltos - 296

Respecto a la revalorización punto a punto o constante se realiza el mismo comentario que la respuesta anterior.

Qp=Q11*Dp2*Hnp1/2

Nominal Optimo

ηM [%] 86,80 88,50 89,80 89,95 89,40 90,00

n11 HP Q11 [*] [m.C.A,] [*] 72,95 112 1,02 69,89 122 0,905 66,44 135 0,77 65,75 137,8 0,74 64,11 145 0,665 65,5 138,9 0,725

Rem=5,53 106

QP [m3/s] 160,05 148,94 133,30 129,43 119,31 127,31

Rep 180944679 188849884 198656917 200706490 205883151 201505975 180944679

ηM +2,56(cte) ∆η [-] 3,31 2,91 2,61 2,57 2,73 2,56

ηP (1) [-] 90,11 91,41 92,41 92,52 92,13 92,56

ηP (2) [-] 89,36 91,06 92,36 92,51 91,96 92,56

Tabla 4.3.4. (1): Rendimiento revalorizado punto a punto (2): Rendimiento revalorizado constante a partir del óptimo

Curva H-Q del prototipo 160 140 Hmp (m.c.a.)

120 100 80 60 40 20 0 0

50

100

150

200

Qp (m3/s)

. Figura 4.3.6. Curva H-Q prototipo

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Ejercicios resueltos - 297

Revalorizacion de Ackeret (Bomba) 93 92

Rend (%)

91 90 89 88 87 86 0

50

100

150

200

Qp m3/s ηmodelo [%]

ηprototipo (1) Pto. a pto

ηprototipo (2): ηm + 2.56(%)

Figura 4.3.7. Revalorización de Ackeret. Modo bomba.

Respuesta 4

Se conocen tanto las cotas de niveles máximos y mínimos en los embalses como las curvas de σ en cada modalidad de funcionamiento. En las gráficas se incluyen los σadm de turbina y bomba y el σ3% de bomba. Por otro lado el valor de σadm en turbina es bastante inferior al de bomba en todos los puntos por lo que no merece la pena realizar ningún cálculo. Va a ser el valor de σ en bomba el que obligue a establecer la cota de implantación. La diferencia de alturas de impulsión en las distintas cotas de embalse es bastante elevada por lo que el valor de σ no permite a priori hacerse una idea rápida de las sumergencias y, por tanto, de la cota de implantación necesaria. Las expresiones a emplear serán para el NPSH admisible y 3 [%] (intrínsecos): NPSH xx = H ⋅ σ xx

[m C.A.]

Y para el cálculo del NPSH disponible o de planta con una altura de succión Hs

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 298

NPSHd = [(pb-pv).γ-1]-Hs

(No hay pérdidas en la aspiración:KQ2=0) [m C.A.]

Si Hb = pb.γ-1 Hv = pv.γ-1

Los valores de Hb y Hv se determinan en los ábacos considerando en primera aproximación, y al no especificar el enunciado más detalles, que: ™ Densidad del agua: 1000 [kg/m3] ™ Cota a considerar (altitud): 183 [m] (s.n.m.) (la del nivel inferior del embalse inferior aunque podría cogerse con embalse lleno o bien un punto intermedio: en cualquiera de los tres casos los valores serían prácticamente iguales) ™ Temperatura del agua: 20 [ºC] (para el sitio, conservador) ™ Aceleración gravedad: 9,81 [m/s2]

Se tiene que para turbina (Ábacos, pag.5. Expresión 2.3): 5,256

pb = pb0 (1-2,2558e-05 z)

p b = 99030

[Pa]

H b = 10,095 [m C.A.]

(Ábacos pag. 8, Tabla 2.1):

p vw = 2339

[Pa]

H v = 0,238

[m C.A.]

Luego: NPSHdisponible o de planta = 9,857- Hs

[m C.A.]

Aquí los criterios de protección serán dos posibles: 1. frente al criterio de pérdida de prestaciones del 3 [%]. En este caso la condición será que: NPSHdisponible o de planta >= NPSH 3%

2. frente al riesgo de erosión. En este caso la condición será que: Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 299

NPSHdisponible o de planta >= NPSH adm

Ambos criterios deberán cumplirse en todo el rango de caudales de funcionamiento en bomba que oscila entre 119,31 y 160,05 m3/s. Para ello habrá que identificar en ambos casos en el rango de caudales de funcionamiento cuál es el valor requerido más alto de NPSH 3% (NPSH adm). Calculando la altura de succión necesaria que da la condición de que la NPSHdisponible o de planta>= NPSH 3% ( >= NPSH adm ) en esos puntos más desfavorables, para el resto de puntos el funcionamiento será sin cavitación. A continuación se confecciona una tabla con el conjunto de valores resultantes para los puntos básicos de operación en bomba: Condición Embalse inferior

embalse superior

LL(206)-V(318) LL(206)- LL(328) V(183)- V(318) nominal V(183) - LL(328)

n11

Q11

Qp

HP

σ3%

NPSH3%

σadm

NPSHadm

[*]

[*]

(m3/s)

[m.C.A.]

[-]

[m.C.A.]

[-]

[m.C.A.]

72.95 69,89 66,44 65,75 64,11

1,02 0,91 0,77 0,74 0,67

160,05 148,94 133,30 129,43 119,31

112 122 135 137,8 145

0,475 0,215 0,09 0,09 0,12

53,20 26,23 12,15 12,40 17,40

0,785 0,38 0,145 0,14 0,18

87,92 46,36 19,58 19,29 26,10

Tabla 4.3.5.

La protección 3 [%] requiere que en el rango de caudales de la bomba, el NPSH disponible o de planta sea en todos los puntos mayor o igual que 53,20. NPSHdisponible o de planta = 9,857- Hs >=53,20. Esto significa que la altura de succión para protección 3% deberá de ser Hsplanta para 3% =< 9,857- 53,20 Hsplanta para 3% =< -43,34 [m] Es decir, la bomba deberá encontrarse al menos 43,34 m por debajo del nivel del embalse inferior. Puesto que esta condición se corresponde con la situación de embalse inferior lleno –Z=206 -(y superior vacío) la cota máxima de la bomba para protección 3% será Zplanta para 3%= NPSHr. Se calcula, por un lado el NPSHd de la instalación: NPSHd = pasp/γ – hasp – raspQ2 – Tv Si se establece el depósito inferior como punto de aspiración, el valor de la NPSHd para el caudal de funcionamiento calculado: NPSHd = 0 – 0,5 – (8 · 0,02 · 14)/(π2 g · 0,085) · 0,0242 – (–10) = 5,42 [m C.A.] Por otro lado, en el enunciado se proporciona la expresión de la NPSHr de la bomba. Sustituyendo el caudal de funcionamiento en ella: NPSHr = 5 – 600 · 0,024 + 30208 · 0,0242 = 8 [m C.A.] > 5,42 [m C.A.] Luego la bomba se encuentra cavitando y el supuesto realizado no era correcto. El máximo caudal que se puede trasegar en la instalación se obtiene para la igualdad de la condición de cavitación: NPSHd = NPSHr, formuladas ambas expresiones en función del caudal y despejando su valor en la ecuación que resulta. NPSHd = 0 – 0,5 – (8 · 0,02 · 14)/(π2 g · 0,085) · Q2 – (–10) = NPSHr NPSHd = 5 – 600Q + 30208Q2 = NPSHr Q = 0,0216 [m3/s]

Para conocer la altura de bombeo se tiene en cuenta que el punto es de funcionamiento luego estará sobre la curva resistente de la instalación. Así, para un valor del caudal de 0,0216 [m3/s] la altura resistente de la instalación es: Hr (Q = 0,0216 [m3/s]) = 52 + 1609,3 · 0,02162 + 7060,4 · 0,02162 Hr (Q=0,0216 [m3/s]) = 56 [m C.A.]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 401

b) Grado de cierre de la válvula para que no exista cavitación.

Al ir cerrando la válvula de regulación se va a generar una pérdida de carga adicional que va a provocar la disminución del caudal que circula por la instalación, lo que favorece que no aparezca cavitación. Ahora bien, al estar ubicada la válvula en la aspiración de la bomba, un aumento en las pérdidas de la válvula va a disminuir la NPSHd de la instalación, lo que favorece que aparezca la cavitación. Por tanto, cualquier grado de cierre no sirve para evitar la cavitación y hay que calcularlo. Se plantean dos ecuaciones, la condición de funcionamiento de la instalación y la condición de cavitación, teniendo como incógnitas el caudal de funcionamiento y el coeficiente de pérdidas de la válvula. Hb = 60 – 5208 ⋅ Q2 = 52 + 1609,3 ⋅ Q2 + 7060,4 ⋅ Q2 + hv ⋅ Q2 = Hr NPSHd = 10,33 – 0,5 – (7060,4 ⋅ Q2 + hv Q2) – 0,33 = 5 – 600 ⋅ Q + 30208 ⋅ Q2 = NPSHr Para resolver, se despeja en la segunda ecuación el valor de hv ⋅ Q2 = 4,5 + 600 ⋅ Q – 37268,4 ⋅ Q2 y se sustituye en la primera, quedando una ecuación de 2º grado en función exclusivamente de Q. Se resuelve obteniendo dos soluciones para hv y Q: Q1 = 0,0897 [m3/s] y hv1 = 85549 [m/(m3/s)2] Q2 = 0,0166 [m3/s] y hv2 = 15205 [m/(m3/s)2] c) Diámetro del tubo de aspiración para que no se produzca cavitación.

El planteamiento es similar al caso anterior. Las pérdidas de carga que introducía en aquel caso la válvula, son generadas ahora por la disminución del diámetro de la tubería de aspiración. Las pérdidas de carga en la aspiración anteriormente calculadas eran: rasp = rtub + hv Como quiera que existen dos soluciones: SOLUCIÓN 1 rasp1 = rtub + hv1 = 7060,4 + 85549 = 92609,4 [m/(m3/s)2] Estas pérdidas deben ser producidas sólo por el nuevo tubo, luego 92609,4 [m/(m3/s)2] = (8 · f · Lasp · Q2)/(π2 g · Dasp15) D1 = 47,81 [mm]

SOLUCIÓN 2 rasp2 = rtub + hv2 = 7060,4 + 15205,4 = 22265,4 [m/(m3/s)2] Estas pérdidas deben ser producidas sólo por l nuevo tubo, luego 22265,4 [m/(m3/s)2] = (8 · f · Lasp · Q2)/(π2 g · Dasp25) D2 = 63,58 [mm]

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Ejercicios resueltos - 402

07-08-JUN-3.

a) H n = H B − hR = 270 − 24 = 246 [m] N=

50 ⋅ 60 = 600 [r.pm.] 5

NS =

N ⋅ W& Hn

5

2

N ⋅H Æ W& = S 2 N N

4

Nº Máquinas =

5

2

38 2 ⋅ 246 = 600 2

5

2

= 3807,17 [C.V.]

18000 = 4,73 Æ Por tanto hay que instalar 5 TURBINAS PELTON 3807,17

Por tanto la velocidad específica será: 18000 5

600 ⋅ NS =

246

5

= 36,95 [*]

4

b) vch = cv ⋅ 2 ⋅ g ⋅ H n = 0,97 ⋅ 2 ⋅ 9,81⋅ 246 = 67,35 [m/s] u = 0,46 ⋅ vch = 30,99 [m/s] u=

2 ⋅π ⋅ N D π ⋅ N ⋅ D ⋅ = Æ D = 0,99 [m] de diámetro de la rueda 60 2 60

18000 ⋅ 735 c) W& = = 2646 [kW] 5 2646 ⋅10 3 W&T = = 3041,4 [kW] 0,87

3041,4 ⋅10 3 = ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H T Æ 3041,4 ⋅10 3 = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ Q ⋅ 246 Æ Q = 1,26 [m/s] Q = vch ⋅

π ⋅ d ch 2 4

Æ d ch =

4⋅Q 4 ⋅1,26 = = 0,154 [m] de diámetro del chorro π ⋅ vch π ⋅ 67,35

d) Qtotal = Q ⋅ 6 = 1,05 ⋅ 6 = 6,3 [m3/s] Qtubería = hr = f ⋅

6,3 = 2,1 [m3/s] 3

L v2 8 ⋅ f ⋅ L ⋅ Q 2 8 ⋅ 0,006 ⋅ 2400 ⋅ 2,12 ⋅ = 2 = = 24 [m C.A.] D 2 ⋅ g π ⋅ g ⋅ D5 π 2 ⋅ 9,81 ⋅ D 5

⇒ D = 0,738 [m] de diámetro de las tuberías de suministro

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 403

07-08-SEP-1. a) Aplicando la ecuación de la energía entre la superficie libre del pozo y el punto de conexión a la red general, se obtiene la curva resistente de la instalación:

z1 +

v12 p v2 p + 1 + hB = z2 + 2 + 2 + hR12 2⋅ g γ 2⋅ g γ

[m C.A.]

En este caso los términos cinéticos son despreciables y la ecuación queda: hB = 50 +

49050 + 3500 ⋅ Q 2 [m C.A.] 9810

hB = 55 + 3500 ⋅ Q 2

[m C.A.]

(1)

En esta ecuación el caudal hace referencia al caudal total bombeado en [m3/s]. Por otra parte se tienen las ecuaciones características de cada una de las bombas: H = 100 – 6 ⋅ 104 ⋅ Q2

[m C.A.]

η = 73,49 ⋅ Q – 1800 ⋅ Q2

[-]

Si se acoplan 3 bombas en paralelo, las ecuaciones quedan: H3// = 100 – (6 ⋅ 104 / 9) ⋅ Q2

[m C.A.]

η3// = (73,49 / 3) ⋅ Q – (1800 / 9) ⋅ Q2

[-]

(2) (3)

Buscando la intersección de la curva resistente (1) y la curva característica del acoplamiento (2), se obtiene el punto de funcionamiento: H = 70,49 [m C.A.]

y

Por lo tanto el caudal total bombeado es:

Q = 0,06653 [m3/s] Q = 0,06653 [m3/s] (0,02218 [m3/s] por cada bomba)

b) Una vez calculado el caudal y la altura se puede calcular el rendimiento a través de la ecuación (3) con el caudal total (o bien con la ecuación η-Q de una de las bombas con el caudal correspondiente, un tercio del total) de forma que:

η = 0,7445 [-]

⇒

η = 74,45 [%]

Sabiendo que el rendimiento del motor es 0,9 [-] y que permanece constante, se calcula la potencia eléctrica consumida en el bombeo: Pe =

ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H 1000 ⋅ 9,81⋅ 0,06653 ⋅ 70,49 = 68,66 ⋅103 = η ⋅η m 0,7445 ⋅ 0,9

[W]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 404

Con este valor y el caudal bombeado se obtiene el equivalente energético de la instalación que, operando en las unidades adecuadas, resulta ser: e=

Pe 68,66 = = 0,2867 Q 0,06653 ⋅ 3600

[kW-h/m3]

c) Ahora se tienen dos bombas funcionando en paralelo en lugar de tres, por lo que la curvas características del bombeo con las bombas girando a 2900 [r.p.m.] resultan ser:

H2// = 100 – (6 ⋅ 104 / 4) ⋅ Q2

[m C.A.]

η2// = (73,49 / 2) ⋅ Q – (1800 / 4) ⋅ Q2

[-]

Aplicando las relaciones de semejanza, se obtienen las ecuaciones características de las dos bombas a cualquier velocidad de giro: H N =  H ´  N´ 

2

Q N = Q´ N ´

Operando, se tiene: H 2´ // = 100 ⋅

η

´ 2 //

N ´2 6 ⋅10 4 ´2 − ⋅Q 2900 2 4

(4)

73,94 2900 1800 2900 2 ´2 = ⋅ ⋅Q − ⋅ ⋅Q 2 N´ 4 N ´2

(5)

El punto de funcionamiento debe ser el mismo que en el caso anterior: H´ = 70,49 [m C.A.]

y

Q´ = 0,06653 [m3/s]

Sustituyendo en (4) y (5), se tiene: N´ = 3392,94 [r.p.m.] y

η´ = 0,6344 [-]

d) Como antes, se calcula la potencia eléctrica absorbida y el equivalente energético del bombeo:

Pe = e=

ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H 1000 ⋅ 9,81⋅ 0,06653 ⋅ 70,49 = 80,58 ⋅10 3 [W] = η ⋅η m 0,6344 ⋅ 0,9

Pe 80,58 = = 0,3364 Q 0,06653 ⋅ 3600

[kW-h/m3]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 405

07-08-SEP-2.

Velocidad específica ns ns = (N · Pe* 1/2)/(H* 5/4) = (450 · 600001/2)/(6845/4) = 31,5 [*] Con cuatro inyectores, la potencia correspondiente a cada uno se divide por cuatro, en cuyo caso la velocidad específica ns por inyector sería, ns (por inyector) = 31,5/2 = 15,75 Velocidad absoluta c1 y velocidad tangencial u* c1 = C1 (2 · g · H)1/2 = 0,98 (2 · g · 684) = 113,5 [m/s] u* = 0,46 · c1 = 0,46 · 113,5 = 52,2 [m/s] Caudal Q* de diseño Pe* = γ · Q* · H · η 60000 · 735,5 = 9,81 · 1000 · Q* · 684 · 0,86 Q* = 7,65 [m3/s] (1,91 [m3/s] por inyector) Diámetro d del chorro Q*/4 = c1 · π · d2/4 7,65 = 113,5 · π · d2 d = 0,146 [m] = 14,6 [cm] Dimensiones de la cuchara y paso t L = 2,1 · d = 2,1 · 14,6 = 30,7 [cm] B = 2,5 · d = 2,5 · 14,6 = 36,5 [cm] T = 0,85 · d = 0,85 · 14,6 = 12,4 [cm] t = 2 · d = 2 · 14,6 = 29,2 [cm] Diámetro D del rodete D = (60 · u*)/(π · n) = (60 · 52,2)/(π · 450) = 2,22 [m] Número z de cucharas z = π · D/t = π · 2,22 / 0,292 = 24 cucharas Relación D/d D/d = 2,22 / 0,146 = 15,2 [-]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 406

07-08-SEP-3.

1) La altura manométrica de la bomba se invierte en las pérdidas del circuito de tubos de refrigeración y en las pérdidas de la tubería de unión. H m = ∆H int ercambiador + ∆H tubería −unión Para el intercambiador L v2 = f⋅ ⋅ D 2⋅ g

∆H int ercambiador

Re =

ε D

=

v⋅D

υ

=

4 ⋅ 0,01 = 4 ⋅ 10 4 [-] −6 10

0,04 = 0,004 [-] 10

Mirando en el ábaco de Moody Æ f ≈ 0,031 [-] ∆H int ercambiador = 0,031 ⋅ ∆H int ercambiador = 0,031 ⋅

2 42 ⋅ = 5,056. [m C.A.] 0,01 2 ⋅ 9,81

2 42 ⋅ = 5,056 = K int ercambiador ⋅ Q 2 = K int ercambiador ⋅ ( 4,7123 ⋅ 10 − 2 ) 2 Æ 0,01 2 ⋅ 9,81

K int ercambiador = 2276,88 [m C.A./(m3/s)2] Por conservación de la masa Qint ercambiador = Qtubería −unión Qint ercambiador = Qint ercambiador =

π ⋅ D2 4

π ⋅ D2 4

⋅150 ⋅ v = ⋅150 ⋅ v =

π ⋅ 0,012 4

⋅150 ⋅ 4 = 0,04712 [m3/s]

π ⋅ Dtubería−unión 2 4

⋅3

Dtubería −unión = 0,1414 [m] Para la tubería de unión ∆H tubería −unión

Re =

ε D

=

v⋅D

υ

=

L v2 = f⋅ ⋅ D 2⋅ g

3 ⋅ 0,1414 = 4,24 ⋅ 10 5 [-] −6 10

0,04 = 0,000283 [-] 141,4

Mirando en el ábaco de Moody Æ f ≈ 0,017 [-]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 407

∆H tubería −unión = 0,017 ⋅

200 32 ⋅ = 11,03 [m C.A.] 0,1414 2 ⋅ 9,81

200 32 ∆H tubería −unión = 0,017 ⋅ ⋅ = 11,03 = K tubería −unión ⋅ Q 2 = K tubería −unión ⋅ (4,7123 ⋅10 −2 ) 2 0,1414 2 ⋅ 9,81 Æ K tubería −unión = 4967,18 [m C.A./(m3/s)2]

H m = ∆H int ercambiador + ∆H tubería −unión = 5,06 + 11,03 = 16,09 [m C.A.] P=

ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H m 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 4,7123 ⋅10 −2 ⋅16,09 = = 10259,35 [W] 0,725 η

2) H m = ∆H = 16,09m.C. A. = K ⋅ Q 2 = K ⋅ (4,7123 ⋅ 10 −2 ) 2 Æ K = 7245,86 [m C.A./(m3/s)2]

3) Ahora con 2 circuitos en paralelo alimentados por la misma bomba, se duplica el caudal que trasiega por la bomba y por la tubería de unión Q' = 2 ⋅ 4,7123 ⋅10 −2 = 0,09424 [m3/s] H 'm = ∆H int ercambiador + ∆H tubería−unión = 5,06 + K tubería−unión ⋅ Q'2 H ' m = 5,06 + 4967,18 ⋅ 0,09424 2 = 49,17 [m C.A.] La ecuación de la bomba será: H = 58,8 + C ⋅ Q 2 Y con los valores del punto de funcionamiento se obtiene el valor de C 16,09 = 58,8 + C ⋅ (4,7124 ⋅ 10 −2 ) 2 Æ C = −19232,92 H = 58,8 − 19232,92 ⋅ Q 2 H Q2 = H ' Q' 2 H Q2 Æ H = 5537,55 ⋅ Q 2 = 49,18 (0,09424) 2 5537,55 ⋅ Q 2 = 58,8 − 19232,92 ⋅ Q 2

Q = 0,04872 [m3/s] Q N = Q' N ' 0,04872 500 = Æ N '= 967,16 [r.p.m.] 0,09424 N' 4) mirando en la gráfica V. Efectos de Escala en Bombas industriales con líquidos viscosos, los resultados obtenidos son: cη = 0,9

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 408

cQ = 0,99 c H = 0,99

H m = ∆H int ercambiador + ∆H tubería −unión Para el intercambiador ∆H int ercambiador = f ⋅

Re =

ε D

=

v⋅D

υ

=

L v2 ⋅ D 2⋅ g

4 ⋅ 0,01 = 3333,33 [-] 12 ⋅ 10 −6

0,04 = 0,004 [-] 10

Mirando en el ábaco de Moody Æ f ≈ 0,045 [-] ∆H int ercambiador = 0,045 ⋅

2 42 ⋅ = 7,34 [m C.Aceite] 0,01 2 ⋅ 9,81

Por conservación de la masa Qint ercambiador = Qtubería −unión Qint ercambiador = Qint ercambiador =

π ⋅ D2 4

π ⋅ D2 4

⋅150 ⋅ v = ⋅150 ⋅ v =

π ⋅ 0,012 4

⋅150 ⋅ 4 = 0,04712 [m3/s]

π ⋅ Dtubería−unión 2 4

⋅3

Dtubería −unión = 0,1414 [m] Para la tubería de unión ∆H

tubería −unión

Re =

ε D

=

v⋅D

υ

=

L v2 = f⋅ ⋅ D 2⋅ g

3 ⋅ 0,1414 = 3,54 ⋅ 10 4 [-] −6 12 ⋅ 10

0,04 = 0,000283 [-] 141,4

Mirando en el ábaco de Moody Æ f ≈ 0,0245 [-] ∆H tubería −unión = 0,0245 ⋅

200 32 ⋅ = 15,90 [m C.Aceite] 0,1414 2 ⋅ 9,81

H m = ∆H int ercambiador + ∆H tubería −unión = 7,34 + 15,90 = 23,24 [m C.Aceite]

ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H m 850 ⋅ 9,81 ⋅ 4,7123 ⋅10 −2 ⋅ 23,24 = = 13995,12 [W] P= 0,725 ⋅ 0,9 η Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 409

08-09-FEB-1.

1. 5 pares de polos se corresponde con N = 600 [r.p.m.]; ω =2 ⋅ π ⋅ N/60 = 62,83 [s –1] La potencia es: P = 9,81 ⋅ Q ⋅ Hn ⋅ η = 38268,653 [kW] Cammerer:

Ns = N ⋅ P0,5 ⋅ Hn–1,25

Ns = 94 [*]

Brauer:

Nq = N ⋅ Q0,5 ⋅ Hn–0,75

Nq = 31,29 [*]

Científica:

ν = ω (Q/π)0,5(2 ⋅ g ⋅ Hn)–0,75

ν = 0,19832 [-]

2. En la gráfica el punto con grado de apertura 75 [%] a Hn de diseño (o nominal u óptimo = 300 [m C.A.] es en términos porcentuales de potencia de valor 88 [%] y el correspondiente a apertura del 85 [%] es de 101 [%]. Este será también el ratio de sus valores absolutos. P (85 [% ] GATE) = 38268,653 ⋅ 101 / 88 = 43921,98 [kW] En este punto, el rendimiento también vale 92 [%] con lo que el caudal correspondiente a 85 [%] GATE será Q (85 [%] GATE) = P (85 [%] GATE) ⋅ (9,81 ⋅ Hn ⋅ η) –1 Q (85% GATE) = 16,22 [m3/s] R = D/2 = 0,95 [m] Coeficiente de caudal:

φ (85 [%] GATE) = Q/(π ⋅ R3 ⋅ ω) = 0,0958 [-]

Coeficiente de energía:

ψ (85 [%] GATE) = 2 ⋅ g ⋅ Hn/(R2 ⋅ ω2) = 1,6521 [-]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 410

08-09-FEB-2.

1. En la Tierra, los puntos de funcionamiento ensayados son: Q [m3/h] 1,8 2,4 3 3,6 4,2 4,8 5,4 6 6,6 7,2 7,8 8,4 9

H. [m C.L.] 55 54,5 53,5 52 51 49,5 48 46 44,5 42,5 40,5 38,5 36

El ajuste por mínimos cuadrados de esta nube de puntos es la curva H-Q de esta bomba modelo en la Tierra a 2900 [r.p.m.]: Hm = 57,145 – 0,7468 ⋅ Qm – 0,1776 ⋅ Qm2

[1]

Que juntamente a [2] representan las 2 CC del modelo en la Tierra: ηm = 0,1956 ⋅ Qm – 0,0123 ⋅ Qm2

[2]

Denominando a las relaciones entre modelo (subíndice m) y prototipo (subíndice p): Ratio de diámetros:

Rd = Dm/Dp

Ratio de velocidades:

Rn = Nm/Np

Ratio de campos gravitatorios:

Rg = gm/gp

Y aplicando las leyes de la semejanza entre modelo y prototipo deberán cumplirse simultáneamente [3] y [4]: Qm = Qp ⋅ Rd3 ⋅ Rn

[3]

Hm = Hp ⋅ Rd2 ⋅ Rn2 ⋅ Rg–1

[4]

Despejando Rn de [3] y sustituyendo en [4] : Hm = Hp ⋅ Qm2 ⋅ Rd–4 ⋅ Rg–1 ⋅ Qp–2

[5]

Para las condiciones del problema el prototipo tiene un diámetro triple que el modelo y funciona en un campo gravitatorio de valor la sexta parte de en el que se han hecho los ensayos, por lo que Rd = 0,333 [-] y Rg = 6 [-]. Sustituyendo, la ecuación [5] queda,

H = 0,49693 ⋅ Q2

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

[6]

Ejercicios resueltos - 411

Que es la curva de congruencia o lugar geométrico de los puntos semejantes al punto de funcionamiento lunar. El punto semejante también pertenece a la curva H-Q del modelo [1]. Las ecuaciones [1] y [6] representan un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas que resuelto da el punto de funcionamiento semejante: H = 37,3 [m C.L.] Q = 8,667 [m3/h] 2. Sustituyendo [3] y [4] en [1] y [2] se llega a la expresiones paramétricas [7] y [8], CC de un prototipo construido a en base al mismo diseño, girando a cualquier velocidad y funcionando en cualquier campo gravitatorio: Hp = (57,145 ⋅ Rd–2 ⋅ Rn–2 ⋅ Rg) – (0,7468 ⋅ Rd ⋅ Rn–1 ⋅ Rg) ⋅Qp – (0,1776 ⋅ Rd4 ⋅ Rg) ⋅Qp2 [7] ηp = (0,1956 ⋅ Rd3 ⋅ Rn) ⋅ Qp – (0,0123 Rd6 ⋅ Rn2) ⋅ Qp2

[8]

El acoplamiento en serie de NS bombas iguales a este prototipo genérico tendrá por CC las siguientes: Hp = NS ⋅ (57,145 ⋅ Rd–2 ⋅ Rn–2 ⋅ Rg) – (0,7468 ⋅ Rd ⋅ Rn–1 ⋅ Rg)⋅Qp – (0,1776 ⋅ Rd4 ⋅ Rg)⋅Qp2 [9] ηp = (0,1956 ⋅ Rd3 ⋅ Rn) ⋅ Qp – (0,0123 Rd6 ⋅ Rn2) ⋅ Qp2

[10]

Igual que antes, para las condiciones del problema el prototipo tiene un diámetro triple que el modelo y funciona en un campo gravitatorio de valor la sexta parte de en el que se han hecho los ensayos, por lo que por lo que Rd = 0,333 [-] y Rg = 6 [-]. Por su parte, la velocidad de giro del prototipo es 990 [r.p.m.] con lo que Rn = 2,93 [-] Si el nuevo punto de funcionamiento lunar es Q = 72 [m3/h] y H = 764,14 [m C.L.], la ecuación [7] tiene una sola incógnita NS, que resuelta es NS = 3 [-] Entrando con estos valores en la ecuación [8] el rendimiento resulta ser: ηp = 0,777 [-]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 412

SOLUCIÓN ALTERNATIVA 1. El punto de funcionamiento en la Luna está definido: HL = 234,64 [m C.L.] QL = 80 [m3/h] Aplicando directamente las leyes de semejanza, se obtiene el punto de funcionamiento homólogo al dado en la Tierra: QL QT = ⇒ DL3 ⋅ N L DT3 ⋅ N T

QT 80 = 600 3 ⋅ 990 200 3 ⋅ 2900

gL ⋅ H L g ⋅H = T2 T2 ⇒ 2 2 D L ⋅ N L DT ⋅ N T

gT ⋅ 234,64 gT ⋅ H T 6 = ⇒ 2 2 600 ⋅ 990 200 2 ⋅ 2900 2

⇒

2. El nuevo punto de funcionamiento en la Luna está definido:

QT = 8,68 [m3/h]

HT = 37,29 [m C.L.]

HL = 764,13 [m C.L.] QL = 72 [m3/h]

Aplicando directamente las leyes de semejanza, se obtiene el punto de funcionamiento homólogo al dado en la Tierra: QL Q = 3 T ⇒ D ⋅ N L DT ⋅ N T

QT 72 = 3 3 600 ⋅ 990 200 ⋅ 2900

gL ⋅ H L g ⋅H = T2 T2 ⇒ 2 2 D L ⋅ N L DT ⋅ N T

gT ⋅ 764,13 gT ⋅ H T 6 = ⇒ 2 2 600 ⋅ 990 200 2 ⋅ 2900 2

3 L

⇒

QT = 7,81 [m3/s]

HT = 121,42 [m C.L.]

Mirando en la tabla que contiene los puntos de funcionamiento del modelo en la tierra se observa que para QT = 7,8 [m3/s] se tiene HT = 40,5 [m C.L.]. Si hubiera 3 bombas acopladas en serie para el mismo valor del caudal se tendría que HT = 3 ⋅ 40,5 = 121,5 [m C.L.], valor que prácticamente coincide con el nuevo punto de funcionamiento deseado. ⇒

3 bombas en serie

Para evaluar el rendimiento del acoplamiento se sustituye el valor del caudal homólogo en la Tierra (7,81 [m3/s]) en la ecuación de la bomba en la Tierra:

ηL = ηT (QT = 7,81 [m3/s]) = 0,7774 [-]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 413

08-09-FEB-3.

a) Triángulo de velocidades a la entrada del rodete: c

α1

c

c

w1

β1 u

Despreciando la distorsión producida en el entrehierro existente entre el distribuidor y el rodete se tiene que el ángulo de salida del distribuidor coincide con α1. Por lo tanto,

α1 = 12 [º]

⇒

Además, se conocen la velocidad de giro y el diámetro, por lo que se puede calcular la velocidad tangencial u1:

ω=N⋅

2⋅ π 2⋅ π = 600 ⋅ = 62,83 [rad s] 60 60

u1 = ω ⋅ R1 = 62,83 ⋅ 0,5 = 31,42 [m s ]

⇒

u1 = 31,42 [m/s]

Por otra parte, dado que se conocen el caudal y la sección de paso entre los álabes se puede calcular la componente meridiana de la velocidad absoluta cm1: cm1 = Q S1 = 1 0,14 = 7,14 [m s]

Y como α1 es conocido: Por trigonometría: cos α 1 =

tan α 1 =

c m1 7,14 ⇒ tan(12) = c u1 cu 1

c u1 33,61 ⇒ cos(12) = c1 c1

⇒ cu1 = 33,61 [m/s]

⇒

c1 = 34,36 [m/s]

Se observa que la proyección de la velocidad tangencial en la dirección de u, cu1, es mayor que u1, por lo que el triángulo de velocidades realmente tiene el siguiente aspecto:

c

α1

w1 u

c

β1 c

Por lo tanto,

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 414

tan(180 − β1 ) =

cm1 7,14 ⇒ tan(180 − β1 ) = cu1 − u1 33,61 − 31,42

Y finalmente, sin (180 − β1 ) =

β1 = 107,04 [º]

⇒

cm1 7,14 ⇒ sin (180 − 107,04) = w1 w1

⇒ w1 = 7,47 [m/s]

Triángulo de velocidades a la salida del rodete: c

α2

c

c

Se conoce de partida el ángulo β2:

⇒

w2

β2 u

β2 = 45 [º]

Como se conocen la velocidad de giro y el diámetro, se puede calcular la velocidad tangencial u2: u 2 = ω ⋅ R2 = 62,83 ⋅ 0,225 = 14,14 [m s]

⇒

u2 = 14,14 [m/s]

Por otra parte, dado que se conocen el caudal y la sección de paso entre los álabes se puede calcular la componente meridiana de la velocidad absoluta cm2: cm2 = Q S 2 = 1 0,09 = 11,11 [m s]

Y como β2 es conocido:

sin β 2 =

cm 2 11,11 ⇒ sin(45) = w2 w2

⇒ w2 = 15,71 [m/s]

Por otra parte, se tiene que: cu 2 = u 2 − w2 ⋅ cos β 2 = 14,14 − 15,71 ⋅ cos(45) = 3,03 [m/s] c2 = c u22 + cm2 2 = 3,032 + 11,112 = 11,52 [m/s]

Así, el vector velocidad absoluta:

⇒ c2 = 11,52 [m/s] Y finalmente, por trigonometría: tan α 2 =

cm 2 11,11 ⇒ tan α 2 = cu2 3,03

⇒

α2 = 74,77 [º]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 415

b) Para calcular el salto neto se utilizará la relación entre el rendimiento manométrico, E H que es dato, y la altura de Euler (salto efectivo) para turbinas: η man = E = E E H Se calcula la energía de Euler para turbinas a través del segundo teorema de Euler: E E = u1 ⋅ cu1 − u 2 ⋅ cu 2 Sustituyendo los valores obtenidos en el apartado anterior, se tiene que: E E = 31,42 ⋅ 33,61 − 14,14 ⋅ 3,03 = 1012,94 [J/kg]

η man =

Por lo tanto,

EE 1012,94 ⇒ 0,85 = E 9,81 ⋅ H ⇒

H = 121,48 [m C.A.]

c) Para calcular la potencia en el eje: Pm = ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H E = 9,81⋅1000 ⋅1⋅103,25 = 1,013 ⋅10 6 [ W ] ⇒ [MW]

Pe = 1,013

Y el par, una vez conocida la potencia y la velocidad angular: T=

Pe

ω

=

1,013 ⋅10 6 = 16121,39 [ N ⋅ m] 62,83

⇒

T = 16121,39 [N ⋅ m]

d) Se calcula la velocidad específica de Brauer a través de la expresión: 11 / 2 Q1 / 2 nq = N ⋅ 3 / 4 = 600 ⋅ = 16,40 [*] 121,483 / 4 H

⇒

nq = 16,40 [*]

Se observa que es una velocidad específica relativamente baja para tratarse de una turbina Francis. Las turbinas Francis trabajan bien dentro del rango de velocidades específicas comprendido entre 20 [*] y 120 [*] (Ábacos, página 117). Además dentro de ese rango se observa que para velocidades específicas bajas las turbinas se ajustan bien con saltos sensiblemente más elevados (>500 [m C.A.]) que el de este aprovechamiento (121,48 [m C.A.]). A falta de más datos, se deduce que la elección no es del todo correcta. Las características del aprovechamiento indican que una turbina Pelton de 4 inyectores posiblemente se hubiese ajustado mejor (Ábacos, página 107). e) Para estimar el rendimiento del modelo se emplean las expresiones propuestas por CEI (Ábacos, páginas 22 y 23):

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 416

(∆η h )M→P = δ ref

 Re ⋅  ref  Re M

  

0 ,16

 Re −  ref  Re P

  

0 ,16

  

con

δ ref =

1 − (η h ∧ )M  Re ref   Re ∧M

  

0 ,16

+

1 − Vref Vref

Se tienen los siguientes valores: ⇒

λ = DP/DM = 4 [-]

DM = 0,45 / 4 = 0,1125 [m]

NM = 3000 [r.p.m.] u M = ω M ⋅ RM = 3000 ⋅ Re M = Re P =

u M ⋅ DM

ν

u P ⋅ DP

ν

=

=

2 ⋅ π 0,1125 ⋅ = 17,67 [m/s] 60 2

17,67 ⋅ 0,1125 = 1,99 ⋅10 6 [-] −6 1⋅10

14,14 ⋅ 0,45 = 6,36 ⋅10 6 [-] −6 1 ⋅10

Vref = 0,7 [-] y Reref = 7 ⋅ 106 [-] Operando, se obtiene: 0,85 – ηM = (1 – ηM) ⋅ 0,12575 ⇒

ηM = 0,8284 [-]

⇒

ηM = 82,84 [%]

Es decir, la revalorización para el rendimiento: ∆ηM-P = 0,85 – 0,8284 = 0, 0216 [-]

⇒ ∆ηM-P = 2,16 [%]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 417

08-09-JUN-1.

Aplicando la ecuación de Bernoulli (conservación de la energía) entre los niveles inferior y superior de los depósitos se tiene que:

z1 +

v12 p v2 p + 1 + hB = z 2 + 2 + 2 + hR12 2⋅ g γ 2⋅ g γ

[m C.A.]

Al tratarse de depósitos grandes a presión atmosférica los términos cinéticos y de presión pueden considerarse nulos, resultando la curva resistente de la instalación, en este caso:

hB = ∆z + 1000 ⋅ Q 2 [m C.A.] La diferencia de cotas ∆z puede variar dependiendo de los niveles de los embalses. Para los casos extremos: Embalse inferior Embalse superior ∆z [m] z1 [m] z2 [m] Vacío, 100 Lleno, 145 45 Vacío, 100 Vacío, 130 30 Lleno, 115 Lleno, 145 30 Lleno, 115 Vacío, 130 15 El punto de funcionamiento se obtiene como la intersección de la curva característica de la bomba ( H = 60 − 1500 ⋅ Q 2 ) con la curva resistente de la instalación. 70 60

H [m C.A.]

50 40 30 20 10 0 0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

3

Q [m /s]

Sustituyendo los valores de altura y caudal obtenidos en las curvas características correspondientes (η = 16 ⋅ Q − 80 ⋅ Q 2 y NPSH R = 5 − 140 ⋅ Q + 1000 ⋅ Q 2 ) se obtienen el rendimiento y el valor del NPSHR, resultando: • Si ∆z = 45 [m] H = 51 [m C.A.], Q = 0,07746 [m3/s], η = 0,7594 [-], NPSHR = 0,156 [m C.A.]

• Si ∆z = 30 [m]: H = 42 [m C.A.], Q = 0,10955 [m3/s], η = 0,7927 [-], NPSHR = 1,664 [m C.A.]

• Si ∆z = 15 [m]:

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 418

H = 33 [m C.A.], Q = 0,13416 [m3/s], η = 0,7066 [-], NPSHR = 4,217 [m C.A.] a) En principio, de acuerdo con la información facilitada con el fabricante la situación más desfavorable en términos de cavitación se produce, para el último punto de funcionamiento calculado, en el que el NPSH máximo requerido por la bomba se da para caudal máximo (NPSHR = 4,217 [m C.A.], Q = 0,13416 [m3/s]). Sin embargo, hay que tener en cuenta que esta en esta situación el embalse inferior está lleno, z1 = 115 [m]. Si la cota de implantación de la bomba se fija para ese nivel de referencia, cuando el embalse inferior se encuentre vacío, z1 = 100 [m], se dispondría de 15 [m] menos de columna de agua (Ha), por lo que aumentaría el riesgo de cavitación. Por lo tanto, se calculará la cota de implantación para ambas situaciones (embalse inferior lleno y vacío) en las condiciones más desfavorables y se elegirá la implantación más restrictiva. Así se podrá garantizar que no se produce cavitación en ningún punto de funcionamiento dentro del rango de operación.

En general, el NPSH disponible en la instalación: NPSH d = H b − H v − H a − H Rasp Con el embalse inferior lleno en la situación más desfavorable, z1 = 115 [m], se calcula la presión barométrica en [Pa] mediante la fórmula:

(

pb = pb 0 ⋅ 1 − 2,2558 ⋅10 −5 ⋅ z1

)

5, 256

(

= 101325 ⋅ 1 − 2,2558 ⋅10 −5 ⋅115

)

5, 256

= 99951,04

Tomando un valor habitual (T = 20 [ºC]) para la presión la presión de vapor, se tiene que: NPSH d =

99951,04 2339 − − H a − 200 ⋅ 0,13416 2 9810 9810

[m C.A.]

Igualando las expresiones de NPSH disponible y requerido, se obtiene la cota de implantación teórica. 4,217 = 9,95 − H a − 200 ⋅ 0,13416 2

⇒

Ha = 2,13 [m]

Añadiendo el margen de seguridad recomendado, la bomba debería implantarse, en esta situación y de acuerdo con las indicaciones facilitadas por el fabricante, 1,63 [m] por encima de la superficie libre del depósito inferior. Para que no se produzca cavitación en estas condiciones, la bomba debe implantarse en la cota za = 115 + 1,63 = 116,63 [m]. Con el embalse inferior vacío en la situación más desfavorable (z1 = 100 [m], NPSHR = 1,664 [m C.A.], Q = 0,10955 [m3/s]), se calcula la presión barométrica en [Pa] mediante la fórmula:

(

pb = pb 0 ⋅ 1 − 2,2558 ⋅10 −5 ⋅ z1

)

5, 256

(

= 101325 ⋅ 1 − 2,2558 ⋅10 −5 ⋅100

)

5, 256

= 100010,47

Tomando un valor habitual (T = 20 [ºC]) para la presión la presión de vapor, se tiene que: NPSH d =

100010,47 2339 − − H a − 200 ⋅ 0,10955 2 9810 9810

[m C.A.]

Igualando las expresiones de NPSH disponible y requerido, se obtiene la cota de implantación teórica. Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 419

1,664 = 9,95 − H a − 200 ⋅ 0,10955 2

⇒

Ha = 5,89 [m]

Añadiendo el margen de seguridad recomendado, la bomba debería implantarse, en esta situación y de acuerdo con las indicaciones facilitadas por el fabricante, 5,39 [m] por encima de la superficie libre del depósito inferior. En este caso la cota de implantación resulta ser inferior a la calculada anteriormente. Para garantizar la no cavitación en todo el rango, la bomba debe implantarse a la cota: za = 100 + 5,39 = 105,39 [m].

Se analiza a continuación la cota de implantación de la bomba dada de acuerdo con las estadísticas disponibles. Para ello se toma el punto óptimo de funcionamiento como valor de referencia:

dη = 0 ⇒ 16 − 160 ⋅ Qη MAX = 0 ⇒ QηMAX = 0,1 [m3/s] dQ Por lo tanto el punto óptimo de funcionamiento, para N = 1400 [r.p.m.]: HΛ = 45 [m C.A.], QΛ = 0,1 [m3/s], ηΛ = 0,8 [-], NPSHRΛ = 1 [m C.A.] En dicho punto, se calcula la velocidad específica de Brauer. A continuación, se calcula el coeficiente de cavitación mediante valores estadísticos y el NPSH resultante en cada caso, que determinará la cota de implantación “estadística”: nqΛ = N ⋅

Q1 2 0,11 2 = 1400 ⋅ = 25,48 [*] H34 453 4

σ = c ⋅ nqd [-] ⇒ NPSH = 9,95 −

NPSH = σ ⋅ H Λ [m C.A.]

2339 − H a − 200 ⋅ 0,12 9810

Operando con los valores estadísticos correspondientes: Fuente Von Widern Wislicenus Graeser, bombas industriales Rustchi para η=0,85 Stépanoff

c 12,03 ⋅ 10-4 10,34 ⋅ 10-4

d

σ [-]

NPSH [m C.A.]

Ha [m]

4/3 4/3

0,090 0,078

4,06 3,49

3,89 4,46

13,08 ⋅ 10-4

4/3

0,098

4,41

3,54

11,95 ⋅ 10-4 12,24 ⋅ 10-4

4/3 4/3

0,090 0,092

4,03 4,13

3.92 3,82

Para emplear las estadísticas de Sulzer, se calcula el valor de la velocidad específica de aspiración en notación tradicional para el punto de funcionamiento óptimo: N ⋅ (QΛ ) 1400 ⋅ (0,1) = 34 13 4 NPSH RΛ 12

SΛ =

12

= 442,72[*]

Dado que no se dispone de gráficas de Sulzer para SΛ = 442,72 [*] se tomará la que más se aproxime de entre las gráficas disponibles, en este caso la correspondiente a SΛ = 200 [*] (la diferencia es demasiado elevada como para que los resultados que se obtengan sean realmente comparables, pero se plantea la resolución con fines Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 420

didácticos). Así, para N = 1400 [r.p.m.] y Q = 0,1 [m3/s] = 360 [m3/h] se tiene que NPSH3%

y

2,5 [m C.A.]. Para dicho valor los márgenes de seguridad propuestos por

Sulzer varían entre Mseg = 1,28 [-] y Mseg = 1,56 [-], por lo que se tiene que: NPSHRSULZER-PRESTACIONES = 1,28 ⋅ 2,5 = 3,2 [m C.A.] NPSHRSULZER-EROSIÓN = 1,56 ⋅ 2,5 = 3,9 [m C.A.] Y, en consecuencia, HaSULZER-PRESTACIONES = 4,75 [m] HaSULZER-EROSIÓN = 4,05 [m]

Teniendo en cuenta que en el punto de funcionamiento óptimo la superficie libre del embalse se encontrará en una posición intermedia entre las cotas límite, las recomendaciones del fabricante resultan ser conservadoras a la vista de los datos obtenidos a través de las estadísticas, por lo que parece sensato hacer caso a dichas recomendaciones. b) Para que se puedan producir problemas de inestabilidad de bombeo la curva característica de la bomba debe alcanzar el máximo de energía específica a un caudal que no sea nulo, de forma que puedan existir dos puntos de funcionamiento posibles para la misma curva resistente. En este caso la pendiente de la curva característica ( H = 60 − 1500 ⋅ Q 2 ) es siempre negativa y el máximo de energía específica se alcanza para caudal nulo, por lo que NO se producirán problemas de inestabilidad.

c) Con el embalse inferior lleno y el superior vacío se tiene la mínima diferencia de cotas, ∆z = 15 [m]. En esta situación la curva característica de la instalación resulta ser:

hB = 15 + 1000 ⋅ Q 2 En el caso de la OPCIÓN A se tienen dos bombas iguales en paralelo girando a la misma velocidad. Siendo las curvas características para una única bomba, H = 60 − 1500 ⋅ Q 2

[m C.A.]

η = 16 ⋅ Q − 80 ⋅ Q 2

[-]

NPSH R = 5 − 140 ⋅ Q + 1000 ⋅ Q 2

[m C.A.]

Se tiene que, para el caso del acoplamiento de dos bombas en paralelo: H 2 // = 60 − 375 ⋅ Q 2

[m C.A.]

η 2 // = 8 ⋅ Q − 20 ⋅ Q 2

[-]

NPSH R 2 // = 5 − 70 ⋅ Q + 250 ⋅ Q 2

[m C.A.]

El nuevo punto de funcionamiento se obtiene encontrando la intersección entre la curva característica del acoplamiento y la curva resistente de la instalación: 15 + 1000 ⋅ Q 2 = 60 − 375 ⋅ Q 2 Resultando: HA = 47,73 [m C.A.], QA = 0,18091 [m3/s], ηA = 0,7927 [-], NPSHRA = 0,518 [m C.A.]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 421

Para obtener el mismo punto de funcionamiento (HA, QA) en la OPCIÓN B, con una única bomba girando a la velocidad NB se aplican las relaciones de semejanza con la velocidad de giro como única variable: QA N A = QB N B

H A  NA   = H B  N B 

y

2

Sustituyendo en las ecuaciones características, se tiene, en general para cualquier velocidad de giro NB: H B = 60 ⋅

η B = 16 ⋅

N B2 − 1500 ⋅ QB2 2 1400

[m C.A.]

1400 1400 2 2 ⋅ QB − 80 ⋅ ⋅ QB NB N B2

NPSH RB = 5 ⋅

[-]

N B2 N − 140 ⋅ B ⋅ QB + 1000 ⋅ QB2 2 1400 1400

[m C.A.]

Dado que HB = HA= 47,73 [m C.A.] y QB = QA = 0,18091 [m3/s], se tiene que la velocidad de giro para la OPCIÓN B debe ser NB = 1778, 41 [r.p.m.], de forma que el punto de funcionamiento resulta ser: HB = 47,73 [m C.A.], QB = 0,18091 [m3/s], ηB = 0,6561 [-], NPSHRB = 8,623 [m C.A.]

100 90 80

H [m C.A.]

70

1 bomba, 1400 [r.p.m.] curva resistente

60 50 40 30 20 10 0 0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

2 bombas //, 1400 [r.p.m.] 1 bomba, 1778,41 [r.p.m.]

3

Q [m /s]

d)

OPCIÓN A:

PeA =

γ ⋅ QA ⋅ H A 9810 ⋅ 0,18091⋅ 47,73 = = 152,64 ⋅10 3 [W] η A ⋅η MA 0,7927 ⋅ 0,7

eA =

PeA 152,64  kW - h  = = 0,2344  3 QA 0,18091 ⋅ 3600  m 

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 422

OPCIÓN B:

PeB =

γ ⋅ QB ⋅ H B 9810 ⋅ 0,18091⋅ 47,73 = = 143,45 ⋅10 3 [W] η B ⋅η MB 0,6561⋅ 0,9

eB =

PeB 143,45  kW - h  = = 0,2203  3 QB 0,18091 ⋅ 3600  m 

e) Suponiendo que la cota de implantación es la establecida en el apartado b) (za = 105,39 [m]), se tiene que la instalación dispone en las nuevas condiciones de funcionamiento de: NPSH D = 9,95 − (105,39 − 115) − 200 ⋅ 0,1809 2 = 13,02

[m C.A.]

Para el caso de dos bombas en paralelo girando a 1400 [r.p.m.], OPCIÓN A, se tiene que NPSHRA = 0,518 [m C.A.]. En este caso NPSHD > NPSHRA, por lo que no existe, en principio riesgo de cavitación. Para el caso de una única bomba girando a 1778,41 [r.p.m.], OPCIÓN B, se tiene que NPSHRB = 8,623 [m C.A.]. En este caso NPSHD > NPSHRB, por lo que tampoco se producirá, en estas condiciones, el fenómeno de cavitación. f) Se tiene que la instalación resulta a priori más eficiente con una única bomba funcionando a 1778,41 [r.p.m.]. En principio esta opción es más económica, puesto que un variador de frecuencia resulta más barato que una segunda bomba y, además, esta opción es más eficiente. En la situación tomada como referencia (∆z = 15 [m]) no existe riesgo de cavitación por lo que parece razonable optar por la OPCIÓN B. g) Nota.- Tal y como se ha comentado en el apartado b) la situación más desfavorable en lo referente a cavitación puede producirse con el depósito inferior en su nivel mínimo, por lo que sería conveniente analizar el riesgo de cavitación en dicha situación, siempre que este caso sea factible en la realidad.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 423

08-09-JUN-2.

Bernoulli Pozo – Fuente 2

P1

2

P v v + z1 + 1 + hB = F + z F + F + hRasp + hRimp γ γ 2⋅ g 2⋅ g

− 5 + hB = 5 +

Q = v⋅

22 + 2000 ⋅ Q 2 + 8000 ⋅ Q 2 2⋅ g

Π ⋅ D2 Π ⋅ 0,15 2 = 2⋅ = 0,035m 3 / s 4 4

hB = 5 + 5 +

22 + 10000 ⋅ Q 2 = 10,2039 + 10000 ⋅ Q 2 = 22,4539m 2⋅ g

50 45 40 35 30

H

25

H1

20

H2

15 10 5 0 0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

Como se observa en la gráfica la bomba adecuada es la H1, cuya ecuación es: H 1 = 32 − 200 ⋅ Q − 2000 ⋅ Q 2 NOTA: en caso de arrastrar todos los decimales al calcular el caudal la altura resulta ser 22,7 m, un poco superior a la altura de la que se obtendría al instalar la bomba H1, cuya altura sería 22,6 m. Sin embargo, como la bomba H2 dista más de ese punto de funcionamiento la bomba seleccionada seguiría siendo la H1. Planteando la nueva situación: Bernoulli Pozo – Fuente P1

γ

2

+ z1 +

2

P v1 v + hB = F + z F + F + hRasp + hRimp γ 2⋅ g 2⋅ g 2

v 2 2 2 − 5 + hB = 5 + F + 2000 ⋅ QB + 4000 ⋅ QB + 4000 ⋅ QF 2⋅ g

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 424

 4 ⋅ QF  2 π⋅D hB = 5 + 5 + 2⋅ g

  

2

2

2

+ 2000 ⋅ Q B + 4000 ⋅ Q B + 4000 ⋅ Q F

2

2

2

hB = 10 + 163,21⋅ QF + 2000 ⋅ QB + 4000 ⋅ QB + 4000 ⋅ QF 2

hB = 10 + 4163,21⋅ QF + 6000 ⋅ QB

2

2

2

Bernoulli Pozo – Nueva Fuente 2

2

v P v + z1 + 1 + hB = NF + z NF + NF + hRasp + hRimp γ γ 2⋅ g 2⋅ g

P1

2

− 5 + hB = z NF +

vF 2 2 2 + 2000 ⋅ QB + 4000 ⋅ QB + 4000 ⋅ QNF 2⋅ g 2

hB = z NF

 4 ⋅ QF    Π ⋅ D2  2 2 2  +5+ + 2000 ⋅ QB + 4000 ⋅ QB + 4000 ⋅ QNF 2⋅ g 2

2

2

hB = z NF + 5 + 163,21 ⋅ QF + 2000 ⋅ QB + 4000 ⋅ QB + 4000 ⋅ QNF 2

hB = z NF + 5 + 4163,21 ⋅ QNF + 6000 ⋅ QB

2

2

Aplicándose conservación de la masa QB = QF + QNF QNF =

QF 3

Q B = QF +

QF 4 = QF 3 3 2

Sustituyendo en (1)

3  2 2 hB = 10 + 4163,21⋅  QB  + 6000 ⋅ QB = 10 + 8341,80 ⋅ QB 4  2

hB = 32 − 200 ⋅ QB − 2000 ⋅ QB = 10 + 8341,80 ⋅ QB 2

2

2

22 − 200 ⋅ QB − 10341,80 ⋅ QB = 0 Æ QB ⋅ +0,019QB − 2,12 ⋅10 −3 = 0 QB = 0,0375m 3 / s hB = 21,79mCA

QF = 0,028m 3 / s QNF = 9,375 ⋅10 −3 m 3 / s Calculando en (2):

(

)

2

21,79 = z NF + 5 + 4163,21⋅ 9.375 ⋅10 −3 + 6000 ⋅ 0,0375 2

z NF = 7,99m = 8mCA

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 425

08-09-SEP-1.

Como el caudal no es muy grande, fijaremos ya de entrada 2 turbinas, que es el mínimo que nos indica el enunciado. Tomaremos, a efectos de determinación de las velocidades específicas, un rendimiento estimado del 90 [%]. De igual forma se estiman las pérdidas de carga en el conducto de alimentación a la turbina en un 8 [%], dando lugar a un salto neto de 120 [m] aproximadamente. Bajo estos supuestos, la potencia aproximada por turbina: Pe* = γ · Q* · H · η = 9,81 · (16 / 2) · 120 · 0,9 = 8476 [kW] Velocidad específica ns (Pe = 8476 [kW] = 115241 [C.V.]): a) ns = (N · Pe* 1/2) / (H* 5/4) = (125 · 115241/2) / (1205/4) = 33,8 [*] (Pelton) b) ns = (N · Pe*1/2) / (H* 5/4) = (750 · 115241/2) / (1205/4) = 202,7 [*] (Francis)

Caso a) Conviene la turbina Pelton con 3 ó 4 inyectores (ns = 19,5 [*] ó 16,9 [*]). Escogemos 4 inyectores. Velocidad absoluta c1 y velocidad tangencial u* c1 = C1 · (2 · g · H)1/2 = 0,98 · (2 · g · 120)1/2 = 47,6 [m/s] u* ≈ 0,46 · c1 = 0,46 · 47,6 = 21,9 [m/s] Diámetro d del chorro: Q/4 = c1 · π · d2/4 8/4 = 47,4 · π · d2/4 d = 0,231 [m] Dimensiones de la cuchara:

L ≈ 2,1 · d = 2,1 · 23,1 = 48,5 [cm] B ≈ 2,5 · d = 2,5 · 23,1 = 57,8 [cm] T ≈ 0,85 · d = 0,85 · 23,1 = 19,6 [cm] t ≈ 2 · d = 2 · 23,1 = 46,2 [cm]

Diámetro D del rodete: D = (60 · u*) / (π · N) = (60 · 21,9) / (π · 125) = 3,35 [m] Número z de cucharas: z = π · D/t = π · 3,35 / 0,462 = 23 cucharas Relación D/d:

D/d = 3,35 / 0, 231 = 14,5 [-]

Resultan un rodete y unas cucharas demasiado grandes. Tendríamos que pensar en un alternador con más revoluciones, en cuyo caso iríamos a más inyectores, e incluso a la solución Francis.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 426

Caso b) Velocidad absoluta c1 (C1 = 0,66 [-]): c1 = C1 · (2 · g · H)1/2 = 0,66 (2 · g · 120)1/2 = 32 [m/s] Velocidad tangencial: u1* = U1* · (2 · g · H)1/2 = 0,77 · (2 · g · 120)1/2 = 37,4 [m/s] Diámetro D1 del rodete: D1 = (60 · u1*) / (π · N) = (60 · 37,4) / (π · 750) = 0,952 [m] Rendimiento hidráulico ηh (α1* = 20 [º]): ηh * = 2 · U1* · C1 · cos α1* = 2 · 0,77 · 0,66 · cos 20 = 0,955 [-] Ángulo β1 a la entrada del rodete: tan β1 = (C1 · sen α1*) / (U1* - C1 · cos α1*) = = (0,66 · sen 20) / (0,77 - 0,66 · cos 20) = 1,507 β1 = 56 [º] Dimensiones D2 Dt B Dd D2 / D1 ≈ 0,72 ; D2 = 0,72 · 0,952 = 0,68 [m] Dt / D1 ≈ 1,05 ; Dt = 1,05 · 0,952 = 1,00 [m] B / D1 ≈ 0,27 ; B = 0,27 · 0,952 = 0,26 [m] B / Dd ≈ 0,25 ; Dd = 0,26 / 0,25 = 1,04 [m] Número z de álabes:

z = 15 ó 16 álabes

Rendimiento óptimo:

η* = 0,948 [-]

Potencia de la turbina: Pe* = γ · Q* · H · η* = 9,81 · 8 · 120 · 0,948 = 8930 [kW] = 12140 [C.V.] Parece claro que las características del salto son más propicias para resolverlo con una turbina Francis que con Pelton.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 427

08-09-SEP-2.

1.-

Al ser circuito cerrado, la curva resistente resulta ser: H = 19110 ⋅ Q2 Con Q = 0,050 [m3/s] se tiene que H = 47,78 [m C.L.] La potencia hidráulica será: Ph = γ ⋅ Q ⋅ H = 9,81 ⋅ 870 ⋅ 0,05 ⋅ 47,78 = 20,4 [kW] Y la potencia mecánica:

Pm = Ph / η = 30,2 [kW]

Y siendo el rendimiento del motor de valor 0,7 [-]: Pabs = Pm / 0,7 = 43,15 [kW] A partir de aquí, e = Pabs [kW] / Q [m3/h] Operando, e = 0,24 [kW-h/m3] 2.Al ser el circuito cerrado, la curva resistente coincide con la curva de congruencia por lo que el nuevo punto será semejante al anterior. Por tanto, la relación de velocidades permite a través de las relaciones de semejanza calcular el nuevo punto de funcionamiento: (N/N’) = 1/0,9 Así: Q/Q’ = N/N’ = 1/0,9 H/H’ = (N/N’)2 = 1/0,81 Con ello, H’ = 38,70 [m C.L.] y Q’ = 0,045 [m3/s] y al ser puntos semejantes, el rendimiento es el mismo de valor η = 0,675 [-]. De esta forma,

Ph = 14,86 [kW] Pm = 22,02 [kW] Pabs = 31,45 [kW] e = 0,194 [kW-h/m3]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 428

08-09-SEP-3.

hT = h − hR = h − K ⋅ Q 2

a)

(

We = η ⋅ ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ h − K ⋅ Q 2

(

)

(

))

dWe d η ⋅ ρ ⋅ g ⋅Q ⋅ h − K ⋅Q2 =0= = η ⋅ ρ ⋅ g ⋅ h − K ⋅ Q 2 − η ⋅ ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ (2 ⋅ K ⋅ Q ) dQ dQ

b)

(

(

)

) (

dWe = 0 =η ⋅ ρ ⋅ g ⋅ h − K ⋅Q2 − 2 ⋅ K ⋅Q2 = h − 3⋅ K ⋅Q2 dQ h = 3 ⋅ K ⋅ Q 2 = 100 [m] Æ K ⋅ Q 2 =

)

h 3

100  h   We = η ⋅ ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅  h −  = 0,813 ⋅1000 ⋅ 9,81⋅ Q ⋅ 100 −  = 531702 ⋅ Q 3 3    Q=

800 ⋅10 3 = 1,5 [m 3 /s] 531702

 100 h m = = 14,815  K= 2 2 3 3⋅Q 3 ⋅1,5  m s

  2 

( )

hT = h − hR = h − K ⋅ Q 2 = 100 − 14,815 ⋅1,5 2 = 66,66 [m] NS =

N ⋅ We H

5

=

1500 ⋅ 800 66,66

4

(

5

= 222,74 [*]

4

)

We = η ⋅ ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ h − K ⋅ Q 2 = 799515 ⋅ Q − 118448,15 ⋅ Q 3

c)

900000 800000 700000

W

600000 500000 400000 300000 200000 100000 0 0

0,5

1

1,5

2

3

Q (m /s)

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

2,5

Ejercicios resueltos - 429

d)

La velocidad a la entrada de la turbina:

c1 = 36,15 [m/s] = cm1

Triángulo 1

Triángulo 2

Q = 2 ⋅ π ⋅ R ⋅ b ⋅ k ⋅ cm1 = 1,5 = 2 ⋅ π ⋅ R ⋅ 0,05 ⋅ 0,96 ⋅ 36,15

Æ R = 0,1375 [m] Æ D = 0,275 [m]

u1 =

2 ⋅ π ⋅ N D1 2 ⋅ π ⋅1500 0,275 ⋅ = ⋅ = 21,60 [m/s] 60 2 60 2

tan β1 =

c1 36,16 = Æ β1 = 59,15 [º ] 21,6 u1

D2 = 1,2 ⋅ D1 = 1,2 ⋅ 0,275 = 0,33 [m]

Q = 2 ⋅ π ⋅ R2 ⋅ b ⋅ k ⋅ cm 2 = 1,5 = 2 ⋅ π ⋅ u2 =

0,33 ⋅ 0,05 ⋅ 0,96 ⋅ cm 2 Æ cm 2 = 30,14 [m/s] 2

2 ⋅ π ⋅ N D2 2 ⋅ π ⋅1500 0,33 ⋅ = ⋅ = 25,92 [m/s] 60 2 60 2

tan β 2 =

c2 30,14 = Æ β 2 = 49,31 [º ] u 2 25,92

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 430

09-10-FEB-1.

1. Realizando una lectura de la gráfica para agua y pulpa se obtiene la siguiente tabla. La columna de Peje se obtiene como Pe = (γ ⋅ Q ⋅ Hm / η) ⋅ (factores de conversión unidades para obtener [kW]) =

= (γ ⋅ Q ⋅ Hm / η) ⋅ (0,001 ⋅ 0,001 / 0,01)

Q [L/s]

Hm [m C.L.]

η [%]

Peje [kW]

Agua

12

33

28

13,86

Agua

80

26,5

80

25,97

Q [L/s]

Hm [m C.L.]

η [%]

Peje [kW]

Pulpa

12

32,5

28

14,21

Pulpa

80

22

63

28,50

Dos puntos (Peje, Q) permiten el ajuste de una recta que resulta ser, para el agua: Peje = 11,7 + 0,1781 ⋅ Q

[kW], con Q en [L/s]

Y para la pulpa Peje = 11,7 + 0,2101 ⋅ Q

[kW], con Q en [L/s]

Al tener la bomba a válvula cerrada (Q = 0) el mismo valor para ambos fluidos, el ratio de pendientes permite predecir la Peje de la pulpa a partir de la Peje con agua (o viceversa): Peje con pulpa [kW] = 11,7 + (0,2101/0,1781) Peje con agua [kW] Como es lógico, trasegar un caudal de pulpa, más viscoso y con mayor densidad, requiere más Peje que el mismo caudal de agua. 2. La curva de potencia presenta un mínimo a caudal 0 creciendo a partir de ahí, por lo que se trata de una bomba centrífuga.

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 431

09-10-FEB-2.

1.

Nq =

600 ⋅ 6 = 172,21[*] 17,44 3/4

Se corresponde con valores típicos de turbinas tipo Kaplan. 2.

PH = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 17,44 ⋅ 6 = 1,02 ⋅10 6 [W]

3.

Pm = 1,02 ⋅ 10 6 ⋅ 0,8 = 816 ⋅ 10 3 [W]

4.

  Re  0, 2  ∆η = η p − η m = (1 − η m ) ⋅ 0,7 ⋅ 1 −  m     Re p    

Re =

con

D⋅ 2⋅ g ⋅ H

0, 2     H D m m   = (1 − η ) ⋅ 0,7 ⋅ 1 − 0,5 ⋅ 0,25 0,8 − η m = (1 − η m ) ⋅ 0,7 ⋅ 1 −  ⋅ m      Dp H p     0,8 − 0,17 = η m ⋅ (1 − 0,17 )

(

ηM = 0,76 [-]

5.

u=

2 ⋅ π ⋅ N D π ⋅ 600 ⋅1 ⋅ = = 10π = 31,42 [m/s] 60 2 60

tan 45 =

7 Æ cu 2 = 24,41 [m/s] 31,42 − cu 2

tan α 2 =

7 Æ α 2 = 16 [º] 24,41

α1 = 3 ⋅ α 2 = 48 [º] tan 48 =

7 c u1

cu1 = 6,30 [m/s] tan β1 =

7 Æ β1 = 15,57 [º] 31,42 − 6,3

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

ν

)

0, 2

 = 0,17 ⋅ (1 − η ) m 

Ejercicios resueltos - 432

09-10-FEB-3. 1. Se tiene que en el tramo a, Qa = 0,528 [m3/s]. Éste es el caudal de las dos primeras bombas y del tramo b:

Qa = Qb = QB1 = QB2 = 0,528 [m3/s].

Conocido el caudal que atraviesa una bomba, la curva característica nos indica la altura proporcionada por la misma. En nuestro caso: HB1 = HB2 = 70 – 120 ⋅ 0,5282 = 36,55 [m C.A.].

Aplicando la ecuación de conservación de la energía (Bernoulli) entre la superficie libre del depósito de aspiración y el depósito situado a 30 [m], se tiene que: z1 +

p1

γ

+

p 2 v22 v12 + hB1 + hB 2 = z 2 + + + hR12 2⋅ g γ 2⋅ g

Despreciando los términos cinéticos por tratarse de depósitos de grandes dimensiones y tomando como referencia altimétrica la cota de la superficie libre del depósito de aspiración, se tiene que: − 0,03 ⋅10 6 + 36,55 + 36,55 = 30 + (12 + 80) ⋅ 0,528 2 + 250 ⋅ Qd2 9810

Despejando el caudal del tramo d: Qd = 0,240 [m3/s]. Y como la masa del sistema se conserva: Qc = Qb – Qd = 0,288 [m3/s]. Conocido el caudal que circula por la tercera bomba y mediante la curva característica de la misma, se tiene que: HB3 = 70 – 120 ⋅ 0,2882 = 60,04 [m C.A.].

Finalmente, aplicando la ecuación de conservación de la energía (Bernoulli) entre la superficie libre del depósito de aspiración y el depósito situado a 100 [m], y con las mismas hipótesis que anteriormente: p3 v32 v12 z1 + + + hB1 + hB 2 + hB3 = z 3 + + + hR13 γ 2⋅ g γ 2⋅ g p1

− 0,03 ⋅10 6 + 36,55 + 36,55 + 60,04 = 100 + (12 + 80) ⋅ 0,528 2 + K c ⋅ 0,288 2 9810

Despejando la constate de pérdidas del tramo c: Kc = 53,29 [m C.A./ (m3/s)2]. 2. Conocidos los caudales que circulan por cada una de las bombas se calculan los rendimientos de cada una de ellas mediante la correspondiente curva característica:

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 433

η1 = η2 = 4 · 0,528– 5,5 · 0,5282 = 0,5787 [-] η3 = 4 · 0,288– 5,5 · 0,2882 = 0,6958 [-] Una vez conocidos los rendimientos de las bombas se calculan las potencias eléctricas consumidas teniendo en cuenta que el rendimiento de los motores se puede considerar constante de valor 0,8 [-]: Pe1 = ρ ⋅ g ⋅ Q1 ⋅ H1 / (η1⋅ ηmot) = 408,9 [kW] Pe2 = Pe1 = 189,3 [kW] Pe3 = ρ ⋅ g ⋅ Q3 ⋅ H3 / (η3⋅ ηmot) = 304,9 [kW] e = PeT / Q1 = (Pe1+ Pe2 + Pe3) / Q1 = 0,5906 [kW-h/m3]

3. La primera bomba es la que presenta mayor riesgo de cavitación. En el acoplamiento en serie la segunda bomba no corre ningún riesgo. Cabría plantearse posible riesgo de cavitación en la tercera bomba si las pérdidas de carga del tramo b fueran suficientemente elevadas como para hacer disminuir la presión de forma significativa en el punto en el que se bifurca el conducto. Sin embargo, aplicando la ecuación de la energía entre el depósito de aspiración y la citada unión se tiene que la energía en dicho punto es aproximadamente 42,4 [m C.A.], muy superior al límite fijado por la presión de vapor del agua a temperatura ambiente, por lo que tampoco se contempla cavitación en la tercera bomba. Para la primera bomba, por tanto, se deben comparar el NPSHR por la bomba facilitado por el fabricante y el NPSHd de la instalación: NPSHR = 2 – 3 ⋅ 0,528 + 16 ⋅ 0,5282 = 4,877 [m C.A.] Añadiendo el margen de seguridad de 0,5 [m C.A.] sugerido por el fabricante: NPSHR = 5,377 [m C.A.] Por otra parte, en la instalación se tiene que: NPSHd = Hb – Hv – Ha – hRa En nuestro caso:

NPSHd = (10,33 – 0,03 ⋅ 106/9810) – 0,24 – 2 – 12 ⋅ 0,5282 NPSHd = 1,687 [m C.A.]

Se cumple que NPSHd < NPSHR, por lo que el riesgo de cavitación es más que evidente. La bomba en estas condiciones se encontrará cavitando casi con total seguridad, por lo que se proponen estas soluciones: a. Nueva cota de implantación. En este caso: NPSHd = (10,33 – 0,03 ⋅ 106/9810) – 0,24 – Ha – 12 ⋅ 0,5282 = 3,687 – Ha NPSHR = 5,377 [m C.A.] Se debe cumplir que NPSHd > NPSHR. En el límite, NPSHd = NPSHR, por lo que despejando la nueva cota de implantación se tiene que: Ha = – 1,69 [m]. Es decir, de Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 434

acuerdo con las indicaciones del fabricante, habría que implantar la bomba al menos 1,69 [m] por debajo de la superficie libre del depósito de aspiración (cuanto más abajo menor riesgo) para evitar problemas de cavitación en la misma. b. Nueva presión del depósito de aspiración. En este caso: NPSHd = (10,33 + p/9810) – 0,24 – 2 – 12 ⋅ 0,5282 = 4,745 + p/9810 NPSHR = 5,377 [m C.A.] Se debe cumplir que NPSHd > NPSHR. En el límite, NPSHd = NPSHR, por lo que despejando la nueva presión del depósito de aspiración, se tiene que: p = 6203,9 [Pa]. Es decir, de acuerdo con las indicaciones del fabricante, habría que presurizar el depósito de aspiración con una sobrepresión de al menos 6203,9 [Pa] (mayor presión del depósito de aspiración implica menor riesgo) para evitar problemas de cavitación en la misma. c. Nueva velocidad de rotación. En este caso aplicamos las relaciones de semejanza teniendo en cuenta que la única variable es la velocidad de giro: NPSH / NPSH´ = (N / N´)2 y Q / Q´ = N / N´ Sustituyendo estas relaciones en la ecuación facilitada por el fabricante para N = 1500 [r.p.m.] se obtiene una expresión del NPSHR´ para cualquier velocidad de giro N´: NPSHR´ = 2 (N´/1500)2 – 3 · (N´/1500) Q´ + 16 · Q´ 2

[m C.A.]

Asumiendo que se desea obtener el mismo caudal (0,528 [m3/s]): NPSHR´ = 2 (N´/1500)2 – 3 · (N´/1500) 0,528 + 16 · 0,5282

[m C.A.]

Suponiendo que la instalación no ha variado, NPSHd´ = 1,687 [m C.A.], y teniendo en cuenta el coeficiente de seguridad de 0,5 [m C.A.] sugerido por el fabricante, 1,687 – 0,5 = 2 (N´/1500)2 – 3 · (N´/1500) 0,528 + 16 · 0,5282 Se observa que no hay solución real posible para N´. Es decir, la bomba, tal cual está dispuesta la instalación, no es capaz de proporcionar el caudal objetivo sin que entre en cavitación simplemente variando la velocidad de giro. 4. En primer lugar se calcula el rendimiento óptimo de la bomba. Para ello: dη / dQ = 0 → 4 – 11 ⋅ QΛ = 0 → QΛ = 0,3636 [m3/s] Sustituyendo en las curvas características:

ηMAX = 0,7273 [-]

y

HΛ = 54,13 [m C.A.]

Finalmente, se calcula la velocidad específica en el punto óptimo de nQΛ = N ⋅ QΛ0,5 ⋅ HΛ– 0 ,75 = 45,33 [*] funcionamiento:

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 435

09-10-JUN-1.

Velocidad específica: ns = (N · Pe*1/2)/(H*5/4) = (600 · 78001/2)/(402,55/4) = 92,9 [*] Velocidad absoluta con Kc1 = 0,66 [-]: c1 = Kc1 · (2 · g ⋅ H)1/2 = 0,66 (2 · g · 402,5)1/2 = 59 [m/s] Velocidad tangencial con Ku1 = 0,72 [-]: u1 = Ku1* (2 · g · H)1/2 = 0,72 · (2 · g · 402,5)1/2 = 64 [m/s] Diámetro D1 del rodete:

D1 = 60 · u1* / (π · 600) = 2,04 [m]

Rendimiento hidráulico con α1* = 13 [º]:

ηh* = 2 · Ku1* · Kc1 · cos α1 = 0,926 [-]

Ángulo β1 a la entrada del rodete: tan β1 = Kc1 · sen α1 * / (Ku1* – Kc1 · cos α1) = 1,930

⇒

Dimensiones D2, Dd y B: D2 / D1 ≈ 0,44

⇒ D2 = 0,90 [m]

B / D1 ≈ 0,11

⇒ B = 0,22 [m]

B / Dd ≈ 0,15

⇒ Dd = 1,47 [m]

Número de álabes: Caudal Q* de diseño: ⇒

z = 17 álabes Pe* = γ · Q* · H · η*

Q* = 15,8 [m3/s]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

β1 = 63 [º]

Ejercicios resueltos - 436

09-10-JUN-2.

Para el punto de funcionamiento: hm = 50 + 1,4 · 10–5 · Q2 = hB = 75 – 3,5 · 10–4 · Q2 25 = 3,64 · 10–4 · Q2 Q = 262,07 [m3/h] = 0,0728 [m3/s] hm = 50,95 [m C.A.]

NPSHR = 0,5 + 4,1 10–5 · Q2 NPSHd = 10,33 – 0,21 – 2 – 5 ⋅ 10–6 ⋅ Q2 = 8,12 – 5 ⋅ 10–6 ⋅ Q2 Sustituyendo el caudal Q = 262,07 [m3/h] = 0,0728 [m3/s] NPSHR = 3,32 [m C.A.] NPSHd = 7,78 [m C.A.] 7,78 > 3,32 · 1,3 = 4,316

H N =  H'  N'

2

⇒

NO CAVITA

Q N =  Q'  N ' 

2

N N H’   = 75 – 3,5 · 10–4 Q’2    N'  N'

2

2

 N' H’ = 75   – 3,5 · 10–4 Q’2 N H’ = 75 (1600/1500)2 – 3,5 · 10–4 Q’2 = 85,33 – 3,5·10–4 Q’2

2

N N NPSH’R   = 0,5 + 4,1 ⋅ 10–5 ⋅ Q’2    N'  N'

2

2

 N' NPSH’R = 0,5   + 4,1 ⋅ 10–5 ⋅ Q’2= 0,57 + 4,1 ⋅ 10–5 ⋅ Q’2 N

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 437

hm = 50 + 1,4 · 10–5 ⋅ Q2+ 2,5 · 10–6 ⋅ Q2 = 50 + 1,65 · 10–5 ⋅ Q2 NPSHd = 10,33 – 0,21 – 5 – 7,5 ⋅ 10–6 ⋅ Q2 = 5,12 – 7,5 ·10–6 ⋅ Q2

En principio, 85,33 – 3,5 ⋅ 10–4 ⋅ Q’2 = 50 + 1,65 · 10–5 ⋅ Q2 Q = 310,5 [m3/h] = 0,0862 [m3/s] hm = 51,59 [m C.A.]

NPSH’R = 0,57 + 4,1 ⋅ 10–5 ⋅ Q’2 = 4,53 [m C.A.] NPSHd = 5,12 – 7,5 ⋅ 10–6 ⋅ Q2 = 4,40 [m C.A.]

4,40 < 4,53

⇒

CAVITA

Nuevo punto de funcionamiento, el límite antes de que se produzca cavitación: NPSHd = 5,12 – 7,5 ⋅ 10–6 ⋅ Q2 = NPSH’r = 0,57 + 4,1 ⋅ 10–5 ⋅ Q2 Q = 306,33 [m3/h] = 0,0851 [m3/s] hm = 52,49 [m C.A.]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 438

09-10-JUN-3.

a) Triángulo de velocidades a la entrada del rodete:

α1 ≈ 0 [º];

β1 ≈ 0 [º]

c1 = 110 [m/s] u1 = 0,48 ⋅ c1 = 52,8 [m/s] w1 = c1 – u1 = 57,2 [m/s]

Triángulo de velocidades a la salida del rodete:

β2 = 180 – 165 = 15 [º] u2 = u1 = 52,8 [m/s] w2 = 0,90 ⋅ w1 = 51,48 [m/s]

sin β 2 =

cm2 w2

⇒

cm2 = 13,32 [m/s];

cos β 2 =

u 2 − cu 2 w2

⇒

cu2 = 3,07 [m/s]

2 2 c 2 = c u2 + cm2 = 13,67 [m/s] ⇒

tan α 2 =

cm 2 cu 2

⇒

c2 = 13,67 [m/s]

α2 = 77,01 [º]

b) Diámetro medio del rodete 3000 p.p.

⇒

N = 1000 [r.p.m.]

2π 60

⇒

ω = 104,72 [rad/s]

u=ω⋅R

⇒

R = 0,5042 [m]

N=

ω=N

⇒

D = 2⋅R = 1,01 [m]

c) Potencia desarrollada por la turbina y par motor EE = u1 ⋅ c1 ⋅ cos α1 − u2 ⋅ c2 ⋅ cos α 2 π⋅d 2 4

⇒

EE = 5645,69 [J/kg]

⇒

Q = 0,6242 [m3/s]

PE = ρ ⋅ Q ⋅ E E

⇒

PE = 3,524 [MW]

PE

⇒

TE = 33651,81 [N/m]

Q = c1

TE =

ω

d) Altura neta y rendimiento manométrico Hn =

c12 110 2 + hRiny = + 0,03 ⋅ H n ⇒ 2g 2 ⋅ 9,81

Hn = 635,79 [m C.A.]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 439

η man =

HE Hn

⇒

ηman = 90,52 [%]

e) Comprobación Pelton nq = N

Q1 / 2 ⇒ H 3/ 4

nq = 6,24 [*] ⇒

PELTON

Dimensionamiento cucharas, Ábacos página 111, Vivier: L = 2,5⋅ d = 212,5 [mm] B = 2,8 ⋅ d = 238,0 [mm] e = 1,2 ⋅ d = 102,0 [mm] T = 0,9 ⋅ d = 76,5 [mm]

f) Altura neta y el caudal de ensayo con el modelo QP Q = 3 M D ⋅ N P DM ⋅ N M

⇒

QM = 0,2341 [m3/s]

HP H = 2 M 2 2 D ⋅ N P DM ⋅ N M

⇒

HM = 1430,53 [m C.A.]

⇒

nqM = 6,24 [*]

3 P

2 P

nqM = N M

1/ 2 QM H M3/4

Evidentemente, nqM = nqP, ya que modelo y prototipo son máquinas semejantes g) Rendimiento en el modelo Re M = Re P =

BM ⋅ 2 ⋅ E M

νM BP ⋅ 2 ⋅ E P

νP

=

=

(0,238 / 2) ⋅ 2 ⋅1430,53 ⋅ 9,81 = 19,94 ⋅10 −6 [-] −6 1 ⋅10

0,238 ⋅ 2 ⋅ 635,79 ⋅ 9,81 = 26,58 ⋅10 −6 [-] −6 1 ⋅10

  Re ∆η = (1 − η M ) ⋅ 0,6 ⋅ 1 −  M   Re P

  

0, 2

  

⇒

  19,94 ⋅10 −6  0, 2    0,9052 − η M = (1 − η M ) ⋅ 0,6 ⋅ 1 −  −6    26,58 ⋅10  

⇒

ηM = 90,19 [%]

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 440

09-10-SEP-1. a. Tipo de acoplamiento a utilizar: Si Q = 0 [m3/s] → H = 40 [m] Si H = 0 [m] → Q = 0,613 [m3/s] Los requerimientos del sistema son los siguientes:

Altura que debe proporcionar la bomba :   p u2 p1 u12 + + z1 + H r = 2 + 2 + z 2 + ∆H 12   H r = z 2 − z1 + ∆H 12 γ 2g γ 2g ⇒  2 3   H r = 30 + 60 ⋅ Q = Q = 1 [m s] = 90 [m] p1 = p2 = patm  u1 = u 2 = 0 (depósitos) 

{

}

CURVAS CARACTERÍSTICAS 90 80 70

1 BOMBA

H(m)

60

2 BOMBAS EN PARALELO

50

2 BOMBAS EN SERIE

40 2 CONJUNTOS DE 2 BOMBAS EN PARALELO COLOCADOS EN SERIE

30 20 10 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Q(m 3/s)

Esta altura no se facilitará con dos bombas en paralelo, aunque sí existe la posibilidad de trasegar el Q requerido. Será por tanto necesario un acoplamiento mixto, cuya ecuación característica es la siguiente:

4 100   H B = m ⋅ 40 − Q − 2 Q 2  n n  

Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas

Ejercicios resueltos - 441 b. Número mínimo de bombas: Únicamente con bombas en paralelo no se alcanzará nunca la altura requerida, por lo que el número mínimo de bombas en serie a colocar será el siguiente:

En base a la altura requerida (H r = 90 = H B ) :

4 100  200   8 Si m = 2 ⇒ H B = 2 × 40 − Q − 2 Q 2  ⇒ H B (∀n > 2) = 2 × 40 −  Q + 2 Q 2  < 90 [m] n n n   n  ⇒ m ha de ser mayor que 2 4 100  200   8 m = 3 ⇒ H B = 3 × 40 − Q − 2 Q 2  ⇒ H B (∀n > 2) = 3 × 40 −  Q + 2 Q 2  > 90 [m] n n n   n  ⇒ m podrí a ser 3 El nº mínimo de bombas en paralelo : 4 100   m = 3 ⇒ H B = 3 × 40 − − 2  = 90 ⇒ n = 3,15 → n = 4 n n   12 bombas colocadas en serie y en paralelo. En base al caudal bombeado (Q = 1[m 3 s]) : Con una bomba QMAX = 0,613[m 3 s] ⇒ será necesario un mínimo de 2 bombas en paralelo. 4 100   Si n = 2 ⇒ H B = m × 40 − − 2  = m ×13 ⇒ m = 6,92 ⇒ m = 7 2 2   Sistema de 14 bombas colocadas en serie y en paralelo. Los acoplamientos válidos son por tanto: a. 3 bombas en serie → 4 en paralelo → 12 bombas en total. (se puede comprobar que 4 en serie y 3 en paralelo también cumple) b. 2 bombas en paralelo → 7 en serie → 14 bombas en total.

c. Si el suministro sólo se puede efectuar con 2 bombas acopladas en paralelo, cuál debe ser la nueva velocidad de rotación de las mismas si la actual es de 500 [r.p.m.].

4 100 H B = 40 − Q − 2 Q 2 = 40 − 2Q − 25Q 2 n n Para obtener el mismo punto de funcionamiento ( H = 90 [m] y Q = 1 [m 3 s]) a una velocidad N′distinta de N = 500 [r.p.m.] : 2

2

N′ N′  N′   N′  − 25 ⇒ N ′ = 860,38 [r.p.m.] − 25Q 2 ⇒ 90 = 40 H B = 40  − 2Q  −2 500 N  500  N

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Ejercicios resueltos - 442

09-10-SEP-2.

1. A la salida del rodete (entrada tubo de aspiración), el diámetro es de 2,589 [m], lo cual se corresponde con una sección: S2 = 0,25 ⋅ π ⋅ D22 = 5,26 [m2] Y la sección del núcleo central es:

S1 = 0,25 ⋅ π ⋅ D12 = 1,02 [m2]

Por ello, la sección efectiva de paso es:

Sefect = 5,26 – 1,02 = 4,24 [m2]

El caudal en el punto óptimo (ηMAX = 93,53 [%]) es (aproximadamente, leído de la gráfica) de valor Q = 43,82 [m3/s]. Por tanto la componente meridiana de la velocidad absoluta del agua: cm2 = Q / S2 =10,33 [m/s] Si la Ec de la componente tangencial es 0,05 [m C.A.], se puede deducir cu2 como: cu22 / 2g = 0,05 [m C.A.] ⇒ cu2 = 0,989 [m/s] Finalmente, de acuerdo con el triángulo de velocidades: cm2 / cu2 = tan α2 ⇒

α2 = 84,53 [º]

2. Al ser rectangular, la sección de salida del tubo de aspiración es: S3 = 2,85 ⋅ 7,3 = 20,81 [m2] La velocidad media c3 a la salida del tubo de aspiración es: c3 = Q / S3 = 43,82 / 20,81 = 2,106 [m/s] La energía cinética asociada es la que se disipará como pérdidas de ensanchamiento brusco de Borda-Carnott: c32 / 2g = 0,226 [m C.A.]

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Ejercicios resueltos - 443

09-10-SEP-3.

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Ejercicios resueltos - 444

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