Ejercicios de logica I

Problemas de Lógica

Índice general 1 Lógica de conectivas 1.1. Semántica de conectivas . . . . . . . . . . . . 1.2. Deducción con conectivas . . . . . . . . . . . 1.2.1. Deducción de algunas reglas derivadas 1.2.2. Problemas deductivos . . . . . . . . . 1.3. Problemas de argumentación y soluciones . .

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5 5 12 12 18 28

2 Reglas 43 2.1. Cálculo de deducción natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.1. Reglas Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.2. Algunas Reglas Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3

Capítulo 1

Lógica de conectivas 1.1.

Semántica de conectivas

I. Evaluar las siguientes fórmulas: Sea: p, q, r = V y s, t, w = F I. 1 (p ∧ q) ∧ r Sustituimos cada símbolo no lógico por su valor de verdad: (V ∧ V ) ∧ r. Aplicamos criterios, primero en las subfórmulas y finalmente en la fórmula: (V ) ∧ V = V I. 2 ¬q ¬V = F I. 3 (p ∨ w) ∧ r (V ∨ F ) ∧ r (V ) ∧ V = V I. 4 r ∨ t V ∨F = V I. 5 [(p ∧ q) ∧ r] ∨ [s ∧ (t ∨ t)] [(V ∧ V ) ∧ r] ∨ [s ∧ (F ∨ F )] [V ∧ r] ∨ [s ∧ F ] [V ∧ V ] ∨ [F ∧ F ] [V ] ∨ [F ] = V I. 6 (q ∧ r) ↔ (r ↔ w) (V ∧ V ) ↔ (V ↔ F ) (V ) ↔ (F ) = F II. Hacer las tablas de verdad de las siguientes fórmulas: II. 1 p ∧ ¬p p v f

¬p f v 5

p ∧ ¬p f f

CAPÍTULO 1. LÓGICA DE CONECTIVAS

6 II. 2 q ∧ (q ∧ ¬p) q v v f f

p v f v f

¬p f v f v

(q ∧ ¬p) f v f f

q ∧ (q ∧ ¬p) f v f f

II. 3 ¬(p ∧ q) p v v f f

q v f v f

(p ∧ q) v f f f

¬(p ∧ q) f v v v

II. 4 (p ∧ q) ∧ ¬(r ∧ s) p v v v v v v v v f f f f f f f f

q v v v v f f f f v v v v f f f f

r v v f f v v f f v v f f v v f f

s v f v f v f v f v f v f v f v f

(p ∧ q) v v v v f f f f f f f f f f f f

(r ∧ s) v f f f v f f f v f f f v f f f

¬(r ∧ s) f v v v f v v v f v v v f v v v

(p ∧ q) ∧ ¬(r ∧ s) f v v v f f f f f f f f f f f f

(p ∨ q) v v v f

(p ∨ q) ↔ p v v f v

II. 5 (p ∨ q) ↔ p p v v f f II. 6 (p → q) → [p → (q ∨ r)]

q v f v f

1.1. SEMÁNTICA DE CONECTIVAS

p v v v v f f f f

q v v f f v v f f

r v f v f v f v f

(p → q) v v f f v v v v

7

(q ∨ r) v v v f v v v f

[p → (q ∨ r)] v v v f v v v v

(p → q) → [p → (q ∨ r)] v v v v v v v v

III. Clasificar las siguientes fórmulas: III. 1 ¬p → p p v f

¬p f v

¬p → p v f

Contingente porque, según la tabla de verdad, existe una interpretación en que el condicional es verdadero y otra en que es falso. III. 2 p → (q → p) i1 i2 i3 i4

p v v f f

q v f v f

(q → p) v v f v

p → (q → p) v v v v

Tautología porque, según la tabla de verdad, en toda interpretación (i1 , i2 , i3 e i4 ) el condicional es verdadero. III. 3 p → (q → ¬p) i1 i2 i3 i4

p v v f f

q v f v f

¬p f f v v

(q → ¬p) f v v v

p → (q → ¬p) f v v v

Contingente porque, según la tabla de verdad, existe al menos una interpretación (i2 , i3 e i4 ) en que el condicional es verdadero y otra (i1 ) en que es falso. III. 4 (p → q) ∧ ¬(p ∨ q) i1 i2 i3 i4

p v v f f

q v f v f

p→q v f v v

p∨q v v v f

¬(p ∨ q) f f f v

(p → q) ∧ ¬(p ∨ q) f f f v

CAPÍTULO 1. LÓGICA DE CONECTIVAS

8

Contingente porque, según la tabla de verdad, existe al menos una interpretación (i4 ) en que el condicional es verdadero y otra (i1 , i2 , i3 ) en que es falso. III. 5 p ↔ (¬q ↔ p) i1 i2 i3 i4

p v v f f

q v f v f

¬q ↔ p f v v f

¬q f v f v

p ↔ (¬q ↔ p) f v f v

Contingente porque, según la tabla de verdad, existe al menos una interpretación (i2 e i4 ) en que el bicondicional es verdadero y otra (i1 e i3 ) en que es falso. III. 6 (p ∨ ¬q) ↔ ¬(¬p ∧ q) i1 i2 i3 i4

p v v f f

q v f v f

¬p f f v v

p ∨ ¬q v v f v

¬q f v f v

¬p ∧ q f f v f

¬(¬p ∧ q) v v f v

↔ v v v v

Tautología porque, según la tabla de verdad, el bicondicional es verdadero en cada interpretación. III. 7 (¬p ∧ ¬q) ↔ ¬(p ↔ q) i1 i2 i3 i4

p v v f f

q v f v f

¬p f f v v

¬q f v f v

p↔q v f f v

¬(p ↔ q) f v v f

¬p ∧ ¬q f f f v

↔ v f f f

Contingente porque, según la tabla de verdad, existe al menos una interpretación (i1 ) en que el bicondicional es verdadero y otras (i2 , i3 e i4 ) en que es falso. III. 8 ¬(p ↔ q) 6≡ (¬p ↔ q) i1 i2 i3 i4

p v v f f

q v f v f

¬p f f v v

p↔q v f f v

¬(p ↔ q) f v v f

¬p ↔ q f v v f

6≡ f f f f

La disyunción exclusiva, según la tabla de verdad, es insatisfacible (contradicción) porque es falsa en cada interpretación. III. 9 (p → ¬(q 6≡ r)) ∧ (p ∧ (¬q → r))

1.1. SEMÁNTICA DE CONECTIVAS

i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8

p v v v v f f f f

q v v f f v v f f

r v f v f v f v f

¬q f f v v f f v v

q 6≡ r f v v f f v v f

¬(q ≡ 6 r) v f f v v f f v

9

¬q → r v v v f v v v f

p → ¬(q 6≡ r) v f f v v v v v

p ∧ (¬q → r) v v v f f f f f

∧ v f f f f f f f

III. 10 (p ↔ (¬q ∨ r)) ↔ ¬((p ∧ q) → r)

i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8

p v v v v f f f f

q v v f f v v f f

r v f v f v f v f

¬q f f v v f f v v

p∧q v v f f f f f f

¬q ∨ r v f v v v f v v

(p ↔ (¬q ∨ r)) v f v v f v f f

(p ∧ q) → r v f v v v v v v

¬((p ∧ q) → r) f v f f f f f f

IV. Por qué las siguientes fórmulas son tautologías. Justifíquelo sin hacer uso de tablas de verdad: IV. 1 ((p → q) ∧ (p → ¬q)) → ¬p En aquellas interpretaciones en que p = falso, ¬p = verdadero y, por ello, el condicional será verdadero. En aquellas interpretaciones en que p = verdadero • si q = es verdadero el condicional (p → q) será verdadero y el condicional (p → ¬q) será falso, ¬q = falso. La conjunción, por tanto, será falsa. • si q = es falso el condicional (p → q) será falso y el condicional (p → ¬q) será verdadero, ¬q = verdadro. La conjunción, por tanto, será falsa. Por tanto, en las interpretaciones en que p = verdadero, el antecedente del condicional será falso y, por ello, verdadero el condicional. Dado que no hay más interpretaciones posibles, la fórmula dada será verdadera en toda interpretación posible de la misma, lo que corresponde a la definición de tautología. IV. 2 (p → q) ∨ (r → p) En aquellas interpretaciones en que p = verdadero, la fórmula r → p será verdadera. Por ello, la disyunción será verdadera.

↔ f f f f v f v v

CAPÍTULO 1. LÓGICA DE CONECTIVAS

10

En aquellas interpretaciones en que p = falso, la fórmula p → q será verdadera. Por ello, la disyunción será verdadera. Dado que no hay más interpretaciones posibles, la fórmula dada será verdadera en toda interpretación posible de la misma, lo que corresponde a la definición de tautología. IV. 3 p ↔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)) En aquellas interpretaciones en que p = verdadero y • q = verdadero, la fórmula p ∧ q será verdadera y la disyunción (p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) también será verdadera. • q = falso, la fórmula p ∧ ¬q será verdadera y la disyunción (p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) también será verdadera. El bicondicional será verdadero en estas interpretaciones. En aquellas interpretaciones en que p = falso, las fórmulas p ∧ q y p ∧ ¬q serán falsas y la disyunción (p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) también será falsa. Y, por ello, el bicondicional será verdadero. Dado que no hay más interpretaciones posibles, la fórmula dada será verdadera en toda interpretación posible de la misma, lo que corresponde a la definición de tautología. IV. 4 (p → (q → r)) ↔ ((p ∧ q) → r) En las interpretaciones en que p es verdadero • si q es verdadero y ◦ si r es verdadero, la fórmula (p → (q → r)) es verdadera y la fórmula ((p ∧ q) → r) también es verdadera. En estas interpretaciones el bicondicional es verdadero. ◦ si r es falso, las fórmulas (p → (q → r)) y ((p ∧ q) → r) son falsas. En estas interpretaciones el bicondicional es verdadero. Por tanto, en estas interpretaciones el bicondicional es verdadero. • si q es falso, las fórmulas (p → (q → r)) y ((p ∧ q) → r) son verdaderas. En estas interpretaciones el bicondicional es verdadero. Por tanto, en todas las interpretaciones en que p es verdadero el bicondicional es verdadero. En las interpretaciones en que p es falso, las fórmulas (p → (q → r)) y ((p∧q) → r) son verdaderas. En estas interpretaciones el bicondicional es verdadero. En cualquier interpretación posible, por tanto, el bicondicional es verdadero. IV. 5 ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r) En las interpretaciones en que p es verdadero • si q es verdadero y ◦ si r es verdadero, las fórmulas ((p → q) ∧ (q → r)) y (p → r) son verdaderas. Por tanto, en estas interpretaciones el condicional es verdadero.

1.1. SEMÁNTICA DE CONECTIVAS

11

• si q es falso, la fórmula (p → q) es falsa y, por esto, la fórmula ((p → q) ∧ (q → r)) será falsa. El condicional, por tanto, será verdadero. En cualquiera de estas interpretaciones, pues, el condicional es verdadero. En las interpretaciones en que p es falso, la fórmula p → r será verdadera. Por ello, el condicional será verdadero en cada una de estas interpretaciones. Entonces, el condicional es verdadero en cualquier interpretación posible. V. Diga por qué los enunciados siguientes son verdaderos o falsos para cualesquiera fórmulas X e Y : V. 1 Si X e Y son satisfacibles, entonces X ∨ Y es satisfacible. Es verdadero. Si X es satisfacible, existirá una interpretación al menos en que es verdadero. En esa interpretación X ∨ Y será verdadera por definición semántica de la disyunción. Luego, porque existe al menos una interpretación en que X ∨ Y es verdadera, esta fórmula es satisfacible. V. 2 Si X e Y son satisfacibles, entonces X ∧ Y es satisfacible. Es indeterminable. Si X ∧ Y fuera satisfacible, habría de existir una interpretación al menos en que tanto X como Y son verdaderas. Ahora bien, si X e Y son satisfacibles existirá un interpretación al menos en que X es verdadero y existirá otra al menos en que Y es verdadero. Ambas interpretaciones no tienen necesariamente que ser la misma. Por tanto, no sabemos a partir de que X e Y sean satisfacibles que exista una interpretación en que ambas son verdaderas. Y tampoco sabemos que no exista dicha interpretación. V. 3 Si X e Y son satisfacibles, entonces X → Y es satisfacible. Es verdadero Porque existirá una interpretación en que Y sea verdadero. En esa interpretación X → Y no puede ser falsa. Por tanto, existe una interpretación en que X → Y es verdadera. V. 4 Si X e Y son contradicciones, entonces X ↔ Y es una tautología. Es verdadero. Porque en cualquier interpretación posible de X ↔ Y tendrán igual valor de verdad, falso. V. 5 Si X es una tautología, entonces Y → X es una tautología. Es verdadero. Porque el consecuente de Y → X será verdadero en cualquier interpretación posible de dicha fórmula. VI. Diga qué tipo de fórmula es Y teniendo en cuenta las siguientes condiciones: VI. 1 X es una tautología y X ↔ Y es una contradicción. Si X es una tautología en toda interpretación posible es verdadera.

CAPÍTULO 1. LÓGICA DE CONECTIVAS

12

Si X ↔ Y es una contradicción en toda interpretación posible es falsa. Lo cual implica, por def↔ que en cada una de redichas interpretaciones Y tendrá un valor de verdad contrario al de X, y como X es verdadero en cualquier interpretación, Y será falsa en toda interpretación posible. VI. 2 X es una tautología y X ∧ Y es satisfacible. Si X es una tautología en toda interpretación posible es verdadera. Si X ∧ Y es satisfacible existe al menos una interpretación en que tanto X como Y son verdaderas. Por tanto, Y es satisfacible. VI. 3 X es una tautología y X ∧ Y es una contradicción. Si X es una tautología en toda interpretación posible de X ∧ Y es verdadera. Y si X ∧ Y es una contradicción ha de ser falsa en cada interpretación posible de la misma. Por definición semántica de la conjunción, Y ha de ser falsa en cada interpretación y, por ello, insatisfacible, una contradicción. VI. 4 X es una tautología y X → Y es satisfacible. Si X es una tautología en toda interpretación posible de X → Y es verdadera. Si X → Y es satisfacible existirá al menos una interpretación en que es verdadera. En esa misma interpretación Y ha de ser verdadera. Por tanto, Y es satisfacible. VI. 5 X es una contradicción y X ∨ Y es una contradicción. Si X es una contradicción y X ∨ Y también es una contradicción, en toda interpretación posible de esta última Y ha de ser falsa. Por tanto, Y es insatisfacible, una contradicción. VI. 6 X es satisfacible y X → Y es satisfacible. Si X → Y es satisfacible, existirá al menos una interpretación en que es verdadera. En esa interpretación Y ha de ser verdadera si también es verdadera X. Pero el enunciado no exige que X y X → Y sean verdaderas en la misma interpretación. Por tanto, con los datos plateados no es posible determinar qué es Y .

1.2. 1.2.1.

Deducción con conectivas Deducción de algunas reglas derivadas

Transitividad del condicional (Tr→): Esquema: 1

(x → y)

2

(y → z)

3

...

4

(x → z)

1.2. DEDUCCIÓN CON CONECTIVAS Deducción: 1

x→y

premisa

2

y→z

premisa

3

x

hipótesis

4

y

Elim→, 1, 3

5

z

Elim→, 2, 4

6

(x → z)

Intro→, 3–5

Modus Tollens (MT): Esquema: 1

(x → y)

2

¬y

3

...

4

¬x

Deducción: 1

x→y

premisa

2

¬y

premisa

3

x

hipótesis. Hipótesis Reducción Absurdo

4

y

Elim→, 1, 3

5

y ∧ ¬y

Intro∧, entre 4, 2

6

¬x

Intro¬, 3–5

Contraposición (Ctrp): Esquema: 1

(x → y)

2

...

3

(¬y → ¬x)

Deducción: 1

x→y

premisa

2

¬y

hipótesis intro→

3

¬x

MT, 1, 2

4

(¬y → ¬x)

Intro→, 2–3

13

CAPÍTULO 1. LÓGICA DE CONECTIVAS

14 Reiteración o identidad (Reit): Esquema:

1

x

2

...

3

x

Deducción: 1

premisa

x

2

¬x

Hip. Red. Abs.

3

x ∧ ¬x

Intro∧, 1, 2

4

Intro¬, 2–3

x

Ex contradictione quodlibet (Ecq): Esquema:

1

(x ∧ ¬x)

2

...

3

y

Deducción: 1

x ∧ ¬x

2

¬y

hipótesis. Podría ser cualquier expresión

3

x ∧ ¬x

Reit, 1

4

y

premisa

Intro¬, 2–3

Silogismo disyuntivo (SD): Esquema:

1

(x ∨ y)

2

¬x

3

...

4

y

1.2. DEDUCCIÓN CON CONECTIVAS

15

Deducción:

1

x∨y

premisa

2

¬x

premisa

3

¬y

Hip. Red. Abs.

4

x

sub-hipótesis. Elim∨ en 1

5

x ∧ ¬x

Intro∧, 4, 2

6

y

sub-hipótesis. Elim∨ en 1

7

y ∧ ¬y

Intro∧, 6, 3

8

x ∧ ¬x

Ecq, 7

9

x ∧ ¬x

Elim∨, 1, 4–5 y 6–8

10

¬¬y

Intro¬, 3–9

11

y

Elim¬, 10

Es importante advertir que, tal como justificamos deductivamente una regla derivada, ésta queda inmediatamente incorporada al conjunto de reglas de derivación y, por ello, puede ser aplicada en cualquier deducción posterior. Definición del → (Def1 →): Esquema:

1

(x → y)

1

¬(x ∧ ¬y)

2

...

2

...

3

¬(x ∧ ¬y)

3

(x → y)

CAPÍTULO 1. LÓGICA DE CONECTIVAS

16 Deducción: 1

x→y

premisa

2

x ∧ ¬y

Hip. Red. Abs.

3

x

Elim∧, 2

4

y

Elim→, 1 y 3

5

¬y

Elim∧, 2

6

y ∧ ¬y

Intro∧, 4 y 5

7

¬(x ∧ ¬y)

8

¬(x ∧ ¬y)

9

premisa hipótesis construcción →

x

10

¬y

Hip. Red. Abs.

11

x ∧ ¬y

Intro∧ 9 y 10,

12

(x ∧ ¬y) ∧ ¬(x ∧ ¬y)

Intro∧ 11 y 8,

13

y

Intro¬, 10–12

14

x→y

Intro→, 9–13

De Morgan (DM1 ): Esquema:

1

¬(x ∧ y)

1

¬x ∨ ¬y

2

...

2

...

3

¬x ∨ ¬y

3

¬(x ∧ y)

Deducción: 1 2

¬(x ∧ y) ¬(¬x ∨ ¬y)

premisa hipótesis reducción absurdo

3

¬x

sub-hipótesis

4

¬x ∨ ¬y

Intro∨, 3

1.2. DEDUCCIÓN CON CONECTIVAS

5 6

⊥

17

Intro∧ 4 y 2 Intro¬, 3–5

x

7

¬y

sub-hipótesis

8

¬x ∨ ¬y

Intro∨, 7

9

⊥

Intro∧ 8 y 2

10

y

Intro¬, 7–9

11

x∧y

Intro∧, 6 y 10

12

⊥

Intro∧, 11 y 1

13

¬x ∨ ¬y

14

¬x ∨ ¬y

15

x∧y

hipótesis reducción absurdo

16

x

Elim∧, 15

17

¬y

SD, 14 y 16

18

y

Elim∧, 15

19

⊥

Intro∧, 18 y 17

20

¬(x ∧ y)

Intro¬, 2–12

premisa

Intro¬, 15–19

De Morgan (DM2 ): Esquema:

1

¬(x ∨ y)

1

¬x ∧ ¬y

2

...

2

...

3

¬x ∧ ¬y

3

¬(x ∨ y)

CAPÍTULO 1. LÓGICA DE CONECTIVAS

18 Deducción: 1

premisa

¬(x ∨ y)

2

¬(¬x ∧ ¬y)

hipótesis reducción absurdo

3

x

sub-hipótesis

4

x∨y

Intro∨, 3

5

⊥

Intro∧, 4 y 1 Intro¬, 3–5

6

¬x

7

y

sub-hipótesis

8

x∨y

Intro∨, 7

9

⊥

Intro∧, 8 y 1

10

¬y

Intro¬, 7–9

11

¬x ∧ ¬y

Intro∧, 6 y 10

12

⊥

Intro∧, 11 y 2 Intro¬, 2–12

13

¬x ∧ ¬y

14

¬x ∧ ¬y

15

x∨y

hipótesis reducción absurdo

16

¬x

Elim∧, 14

17

y

SD, 15 y 16

18

¬y

Elim∧, 14

19

⊥

Intro∧, 17 y 18

20

¬(x ∨ y)

1.2.2.

premisa

Intro¬, 15–19

Problemas deductivos

1. p → q; p ∧ r ⊢ q

1

p→q

premisa

2

p∧r

premisa

3

p

elim∧ 2

4

q

elim→ entre 1 y 3

1.2. DEDUCCIÓN CON CONECTIVAS 2. (p ∧ q) → r; r → s ⊢ (p ∧ q) → s

1

(p ∧ q) → r

premisa

2

r→s

premisa

3

p∧q

Hip. intro→

4

r

elim→ entre 1 y 3

5

s

elim→ entre 2 y 4

6

(p ∧ q) → s

intro→ 3–5

3. (p ∨ q) → r; s → (t ∧ w) ⊢ (p → r) ∧ (s → w)

1

(p ∨ q) → r

premisa

2

s → (t ∧ w)

premisa

3

p

Hip. intro→: p → r

4

p∨q

intro∨ en 3

5

r

elim→ entre 1 y 4

6

p→r

7

s

Hip. intro→: s → w

8

t∧w

elim→ entre 2 y 7

9

w

elim∧ 8

10

s→w

intro→ 7–9

11

(p → r) ∧ (s → w)

intro∧ 6 y 10

intro→ 3–5

19

CAPÍTULO 1. LÓGICA DE CONECTIVAS

20

4. (p → q) ∧ (r → s); p ∨ r; (q → r) ∧ (s → t) ⊢ r ∨ t 1

(p → q) ∧ (r → s)

premisa

2

p∨r

premisa

3

(q → r) ∧ (s → t)

premisa

4

p→q

elim∧ 1

5

q→r

elim∧ 3

6

p→r

trans→ 4 y 5

7

r→s

elim∧ 1

8

p→s

trans→ 6 y 7

9

s→t

elim∧ 3

10

p→t

trans→ 8 y 9

11

p

hip. elim∨ en 2

12

t

elim→ 10 y 11

13

r∨t

intro∨ en 12

14

r

hip. elim∨ en 2

15

r→t

trans→ 7 y 9

16

t

elim→ 15 y 14

17

r∨t

intro∨ en 16

18

r∨t

elim∨ en 2, 11–13 y 14–17

1.2. DEDUCCIÓN CON CONECTIVAS 5. p → (q ∨ r); q → r; r → s ⊢ p → s

1

p → (q ∨ r)

premisa

2

q→r

premisa

3

r→s

premisa

4

q→s

trans→ 2 y 3

5

p

hip. intro→

6

q∨r

elim→ 1 y 5

7

q

hip. elim∨ en 6

8

s

elim→ 4 y 7

9

r

hip. elim∨ en 6

10

s

elim→ 3 y 9

11

s

12

p→s

elim∨ en 6, 7–8 y 9–10 intro→ 5–11

6. p → ¬q; r → q ⊢ ¬(p ∧ r)

1

p → ¬q

premisa

2

r→q

premisa

3

p∧r

Hip. Red. Abs

4

p

elim∧ en 3

5

r

elim∧ en 3

6

¬q

elim→ entre 1 y 4

7

q

elim→ entre 2 y 5

8

q ∧ ¬q

intro∧ 7 y 6

9

¬(p ∧ r)

intro¬ 3–8

21

CAPÍTULO 1. LÓGICA DE CONECTIVAS

22

7. p → q; (p ∧ q) → r; ¬(p ∧ r) ⊢ ¬p 1

p→q

premisa

2

(p ∧ q) → r

premisa

3

¬(p ∧ r)

premisa

4

p

Hip. Red. Abs.

5

q

elim→ 1 y 4

6

p∧q

intro∧ 4 y 5

7

r

elim→ 2 y 6

8

p∧r

intro∧ 4 y 7

9

(p ∧ r) ∧ ¬(p ∧ r)

intro∧ 8 y 3

10

¬p

intro¬ 4–9

1.2. DEDUCCIÓN CON CONECTIVAS

23

8. ⊢ [(p ∧ q) → r] ↔ [(p ∧ ¬r) → ¬q] 1

[(p ∧ q) → r]

Hip. intro→

2

¬[(p ∧ ¬r) → ¬q]

Consecuente por Red. Abs.

3

(p ∧ ¬r) ∧ ¬¬q

Def→ en 2

4

p ∧ ¬r

elim∧ en 3

5

¬¬q

elim∧ en 3

6

q

elim¬ en 5

7

p

elim∧ en 4

8

¬r

elim∧ en 4

9

p∧q

intro∧ 7 y 6

10

r

elim→ 1 y 9

11

r ∧ ¬r

intro∧ 10 y 8

12 13 14

(p ∧ ¬r) → ¬q [(p ∧ q) → r] → [(p ∧ ¬r) → ¬q] [(p ∧ ¬r) → ¬q]

intro¬ 2–11 intro→ 1–12 Hip. intro→

15

¬[(p ∧ q) → r]

Consecuente por Red. Abs.

16

(p ∧ q) ∧ ¬r

Def→ en 15

17

p∧q

elim∧ en 16

18

¬r

elim∧ en 16

19

p

elim∧ en 17

20

q

elim∧ en 17

21

p ∧ ¬r

intro∧ 19 y 18

22

¬q

elim→ 14 y 21

23

q ∧ ¬q

intro∧ 20 y 22

24

[(p ∧ q) → r]

intro¬ 15–23

25

[(p ∧ ¬r) → ¬q] → [(p ∧ q) → r]

intro→ 14–24

26

línea 13 ∧ línea 25

intro∧ 13 y 25

27

[(p ∧ q) → r] ↔ [(p ∧ ¬r) → ¬q]

Def↔ en 26

CAPÍTULO 1. LÓGICA DE CONECTIVAS

24

9. ⊢ [(p → r) ∧ (q → s)] → [(p ∧ q) → (r ∧ s)] 1

Hip. intro→

[(p → r) ∧ (q → s)]

2

¬[(p ∧ q) → (r ∧ s)]

Consecuente por Red. Abs.

3

p→r

elim∧ en 1

4

q→s

elim∧ en 1

5

(p ∧ q) ∧ ¬(r ∧ s)

Def→ en 2

6

p∧q

elim∧ en 5

7

¬(r ∧ s)

elim∧ en 5

8

p

elim∧ en 6

9

q

elim∧ en 6

10

r

elim→ 3 y 8

11

s

elim→ 4 y 9

12

(r ∧ s)

intro∧ 10 y 11

13

(r ∧ s) ∧ ¬(r ∧ s)

intro∧ 12 y 7

14 15

intro¬ 2–13

[(p ∧ q) → (r ∧ s)] [(p → r) ∧ (q → s)] → [(p ∧ q) → (r ∧ s)]

intro→ 1–14

10. ⊢ (p → q) → [(r ∨ p) → (r ∨ q)] 1

(p → q)

Hip. intro→

2

¬[(r ∨ p) → (r ∨ q)]

Consecuente por Red. Abs.

3

(r ∨ p) ∧ ¬(r ∨ q)

Def→ en 2

4

r∨p

elim∧ en 3

5

¬(r ∨ q)

elim∧ en 3

6

¬r ∧ ¬q

DeMorgan en 5

7

¬q

elim∧ en 6

8

¬p

MT 1 y 7

9

r

SD 4 y 8

10

¬r

elim∧ en 6

11

r ∧ ¬r

intro∧ 9 y 10

12 13

[(r ∨ p) → (r ∨ q)] (p → q) → [(r ∨ p) → (r ∨ q)]

intro¬ 2–11 intro→ 1–12

1.2. DEDUCCIÓN CON CONECTIVAS

25

11. (t ∧ r) ↔ ¬s; ¬s → t; ¬r → ¬s ⊢ r

1

(t ∧ r) ↔ ¬s

premisa

2

¬s → t

premisa

3

¬r → ¬s

premisa

4

¬r

Hip. Red. Abs.

5

[(t ∧ r) → ¬s] ∧ [¬s → (t ∧ r)]

Def↔ en 1

6

(t ∧ r) → ¬s

elim∧ en 5

7

¬s → (t ∧ r)

elim∧ en 5

8

¬s

elim→ 3 y 4

9

t∧r

elim→ 7 y 8

10

r

elim∧ en 9

11

r ∧ ¬r

intro∧ 10 y 4

12

intro¬ 4–11

r

12. p → r; q → s ⊢ (p ∨ q) → (r ∨ s)

1

p→r

premisa

2

q→s

premisa Hip. intro→

3

(p ∨ q)

4

p

Hip. elim∨ en 3

5

r

elim→ 1 y 4

6

r∨s

intro∨ en 5

7

q

Hip. elim∨ en 3

8

s

elim→ 2 y 7

9

r∨s

intro∨ en 8

10

(r ∨ s)

11

(p ∨ q) → (r ∨ s)

elim∨ en 3, 4–6 y 7–9 intro→ 3–10

CAPÍTULO 1. LÓGICA DE CONECTIVAS

26 13. (p ∨ q) → r ⊢ q → r 1

(p ∨ q) → r

premisa

2

q

Hip. intro→

3

p∨q

intro∨ en 2

4

r

elim→ 1 y 3

5

q→r

intro→ 2–4

1.2. DEDUCCIÓN CON CONECTIVAS

27

14. ⊢ [p → (q → r)] ↔ [(p ∧ q) → r] 1

[p → (q → r)]

Hip. intro→

2

¬[(p ∧ q) → r]

Consecuente por Red. ABs.

3

(p ∧ q) ∧ ¬r

Def→ en 2

4

(p ∧ q)

elim∧ en 3

5

¬r

elim∧ en 3

6

p

elim∧ en 4

7

q

elim∧ en 4

8

q→r

elim→ 1 y 6

9

r

elim→ 8 y 7

r ∧ ¬r

introland 9 y 5

10 11 12 13

[(p ∧ q) → r] [p → (q → r)] → [(p ∧ q) → r] [(p ∧ q) → r]

intro¬ 2–10 intro→ 1–11 Hip. intro→

14

¬[p → (q → r)]

Consecuente por Red. Abs.

15

p ∧ ¬(q → r)

Def→ en 14

16

p

elim∧ en 15

17

¬(q → r)

elim∧ en 15

18

q ∧ ¬r

Def→ en 17

19

q

elim∧ en 18

20

¬r

elim∧ en 18

21

(p ∧ q)

intro∧ 16 y 19

22

r

elim→ 13 y 21

23

r ∧ ¬r

intro∧ 22 y 20

24

[p → (q → r)]

intro¬ 14–23

25

[(p ∧ q) → r] → [p → (q → r)]

intro→ 13–24

26

línea 12 ∧ línea 25

intro∧ 12 y 25

27

[p → (q → r)] ↔ [(p ∧ q) → r]

Def.↔ en 26

CAPÍTULO 1. LÓGICA DE CONECTIVAS

28 15. ⊢ (p ∧ ¬q) → ¬(p → q)

1

Hip. intro→

2

(p → q)

Consecuente por Red. Abs.

3

p

elim∧ en 1

4

¬q

elim∧ en 1

5

q

elim→ 2 y 3

6

q ∧ ¬q

intro∧ 5 y 4

7

¬(p → q)

8

1.3.

(p ∧ ¬q)

(p ∧ ¬q) → ¬(p → q)

intro¬ 2–6 intro→ 1–7

Problemas de argumentación y soluciones

1. Aristóteles nació en Estagira y fue tutor de Alejandro Magno. Pero si nació en Estagira fue de nacionalidad macedónica. Por tanto, Aristóteles fue de nacionalidad macedónica. Diccionario: p = Aristóteles nació en Estagira; q = Aristóteles fue tutor de Alejandro Magno; r = Aristóteles fue de nacionalidad macedónica.

1

p∧q

premisa

2

p→r

premisa

3

p

elim∧, 1

4

r

elim→, 2 y 3

2. Si continúa la investigación, surgirán nuevas evidencias. Si surgen nuevas evidencias, entonces varios dirigentes se verán implicados. Si varios dirigentes están implicados, los periódicos dejarán de hablar del caso. Si la continuación de la investigación implica que los periódicos dejen de hablar del caso, entonces el surgimiento de nuevas evidencias implica que la investigación continúa. La investigación no continúa. Por tanto, no surgirán nuevas evidencias. Diccionario: p = continuar la investigación; q = surgir nuevas evidencias; r =

1.3. PROBLEMAS DE ARGUMENTACIÓN Y SOLUCIONES

29

varios dirigentes se verán implicados; s = los periódicos dejarán de hablar del caso. 1

p→q

premisa

2

q→r

premisa

3

r→s

premisa

4

(p → s) → (q → p)

premisa

5

¬p

premisa

6

p→r

Tran→, 1 y 2

7

p→s

Tran→, 6 y 3

8

q→p

Elim→, 4 y 7

9

¬q

MT, 8 y 5

3. Sócrates no cometería una mala acción. Si devuelve mal por mal, estará cometiendo una mala acción. Si rompe un acuerdo con el Estado porque ha sido injustamente condenado, está devolviendo mal por mal. Por tanto, si el huir de la prisión significa romper un acuerdo por haber sido injustamente castigado, Sócrates no huirá de la prisión. Diccionario: p = Sócrates cometería una mala acción; q = Sócrates devuelve mal por mal; r = Sócrates rompe un acuerdo con el Estado porque ha sido injustamente condenado; s = Sócrates huirá de la prisión 1

¬p

premisa

2

q→p

premisa

3

r→q

premisa

4

(s → r)

hip. cons. →

5

s

hip. red. abs. (consecuente)

6

r

elim→, 4 y 5

7

q

elim→, 3 y 6

8

p

elim→, 2 y 7

9

p ∧ ¬p

intro∧, 8 y 1

10 11

¬s (s → r) → ¬s

intro¬, 5–9 intro→, 4–10

4. Si el primer miembro de una disyunción es verdadero, la disyunción total es verdadera. Luego, si tanto el primer miembro como el segundo son verdaderos, la disyunción total es verdadera. Diccionario: p = el primer miembro de una disyunción es verdadero; q = la

CAPÍTULO 1. LÓGICA DE CONECTIVAS

30

disyunción total es verdadera; r = el segundo miembro de una disyunción es verdadero. 1

p→q

premisa

2

p∧r

hip. cons →

3

p

elim∧, 2

4

q

elim→, 1 y 3

5

(p ∧ r) → q

intro→, 2–4

5. Si el cajero hubiera apretado el botón de alarma, la caja se habría cerrado automáticamente y la policía habría llegado en tres minutos. Si la policía hubiera llegado en tres minutos, habría alcanzado el vehículo de los ladrones. Pero no pudo alcanzarlo. Luego el cajero no apretó la alarma. Diccionario: p = el cajero hubiera apretado el botón de alarma; q = la caja se habría cerrado automáticamente; r = la policía habría llegado en tres minutos; s = la policía habría alcanzado el vehículo de los ladrones.

1

p → (q ∧ r)

premisa

2

r→s

premisa

3

¬s

premisa

4

p

hip. red. abs.

5

q∧r

elim→, 1 y 4

6

r

elim∧ 5

7

s

elim→ 2 y 6

8

s ∧ ¬s

intro∧, 7 y 3

9

¬p

intro¬, 4–8

6. Si los lingüistas están en lo cierto, entonces, en caso de que haya habido muchos dialectos en la antigua Grecia, diferentes tribus tuvieron que descender hasta ella desde el norte. Si tribus diferentes descendieron desde el norte, tuvieron que venir del valle del Danubio. Pero las excavaciones arqueológicas hubieran revelado allí rastros de tribus diferentes si vinieron desde el norte. Y no se han encontrado tales rastros. Por consiguiente, si en la antigua Grecia había más de un dialecto, los lingüistas están equivocados. Diccionario: p = los lingüistas están en lo cierto; q = en caso de que haya habido muchos dialectos en la antigua Grecia; r = diferentes tribus tuvieron

1.3. PROBLEMAS DE ARGUMENTACIÓN Y SOLUCIONES

31

que descender hasta ella desde el norte; s = venir del valle del Danubio; w = las excavaciones arqueológicas hubieran revelado allí rastros de tribus diferentes. 1

p → (q → r)

premisa

2

r→s

premisa*

3

r→w

premisa

4

¬w

premisa

5

q

hip. cons. →

6

p

hip. red. abs. (consecuente)

7

q→r

elim→, 1 y 6

8

r

elim→, 7 y 5

9

¬r

MT, 3 y 4

r ∧ ¬r

intro∧, 8 y 9

10 11

¬p

intro¬, 6–10

12

q → ¬p

intro→, 5–11

7. Si el número n es positivo, entonces n al cuadrado es positivo. Si n es negativo, entonces n al cuadrado es positivo. n es positivo o negativo. En consecuencia, n al cuadrado es positivo. Diccionario: p = el número n es positivo; q = n al cuadrado es positivo; r = n es negativo. 1

p→q

premisa

2

r→q

premisa

3

p∨r

premisa

4

p

hip. elim∨ 3

5

q

elim→, 1 y 4

6

r

hip. elim∨ 3

7

q

elim→, 2 y 6

8

q

elim∨ en 3, 4–5 y 6–7

El dilema del Califa Ornar: Cuando las huestes árabes alcanzaron la ciudad de Alejandría, su caudillo, el Califa Ornar, tuvo que enfrentarse con el siguiente problema: 8. O los libros de la Biblioteca de Alejandría contienen las enseñanzas del Corán o no las contienen. Si contienen las enseñanzas del Corán son superfluos. Y si son superfluos deben ser quemados. Si no contienen las enseñanzas del Corán son nocivos. Y si son nocivos deben ser quemados. Por consiguiente, los libros

CAPÍTULO 1. LÓGICA DE CONECTIVAS

32

de la Biblioteca de Alejandría deben ser quemados. Diccionario: p = los libros de la Biblioteca de Alejandría contienen las enseñanzas del Corán; q = los libros de la Biblioteca de Alejandría son superfluos; r = los libros de la Biblioteca de Alejandría son nocivos; s = los libros de la Biblioteca de Alejandría deben ser quemados. 1

p ∨ ¬p

premisa

2

p→q

premisa

3

q→s

premisa

4

¬p → r

premisa

5

r→s

premisa

6

p→s

Tran→, 2 y 3

7

¬p → s

Tran→, 4 y 5

8

p

hip. elim∨ en 1

9

s

elim→ 6 y 8

10

¬p

hip. elim∨ en 1

11

s

elim→ 7 y 10

12

elim∨ en 1, 8–9 y 10–11

s

9. Si dices la verdad, los hombres te odiarán, y si mientes Dios te odiará. Pero dirás la verdad o mentirás. Luego los hombres te odiarán o Dios te odiará. Diccionario: p = dices la verdad; q = los hombres te odiarán; r = Dios te odiará. 1

p→q

premisa

2

¬p → r

premisa

3

p ∨ ¬p

premisa

4

p

hip. elim∨ en 3

5

q

elim→, 1 y 4

6

q∨r

intro∨, 5

7

¬p

hip. elim∨ en 3

8

r

elim→, 2 y 7

9

q∨r

intro∨, 8

10

q∨r

elim∨ en 3, 4–6 y 7–9

10. Juan es culpable por robo o por evasión de impuestos. Si lo primero es el caso, tendrá que ir a la cárcel, pero, si es cierto lo segundo, tendrá que pagar una multa. Así Juan tendrá que ir a la cárcel o pagará una multa.

1.3. PROBLEMAS DE ARGUMENTACIÓN Y SOLUCIONES

33

Diccionario: p = Juan es culpable por robo; q = Juan es culpable por evasión de impuestos; r = tendrá que ir a la cárcel; s = tendrá que pagar una multa. 1

p∨q

premisa

2

p→r

premisa

3

q→s

premisa

4

p

hip. elim∨ en 1

5

r

elim→, 2 y 4

6

r∨s

intro∨, 5

7

q

hip. elim∨ en 1

8

s

elim→, 3 y 7

9

r∨s

intro∨, 8

10

elim∨ en 1, 4–6 y 7–9

r∨s

11. Si me dices que nunca has sido malo, mientes; y si mientes, eres malo. Si me dices que has sido malo, eres malo; y si eres malo, debes ser castigado por haber sido malo. Digas lo que digas, debes ser castigado. Diccionario: p = dices que nunca has sido malo; q = mentir; r = eres malo; s = dices que has sido malo; w = debes ser castigado por haber sido malo. («digas lo que digas» = dices que nunca has sido malo o dices que has sido malo) 1

p→q

premisa

2

q→r

premisa

3

s→r

premisa

4

r→w

premisa

5

p→r

Trans→, 1 y 2

6

p→w

Trans→, 5 y 4

7

s→w

Trans→, 3 y 4 Hip. cons. →

8

(p ∨ s)

9

p

hip. elim. ∨ en 8

10

w

elim→, 6 y 9

11

s

hip. elim. ∨ en 8

12

w

elim→, 7 y 11

13 14

w (p ∨ s) → w

elim∨ en 8, 9–10 y 11–12 intro→, 8–13

CAPÍTULO 1. LÓGICA DE CONECTIVAS

34

12. Si trabajo ganaré dinero, pero si estoy ocioso lo pasaré muy bien. O trabajo o estoy ocioso. Sin embargo, si trabajo no lo pasaré bien, mientras que si estoy ocioso no ganaré dinero. En consecuencia, lo pasaré muy bien si, y sólo si, no gano dinero. Diccionario: p = trabajar; q = ganar dinero; r = estar ocioso; s = pasarlo muy bien. (La conclusión (s ↔ ¬q) es un bicondicional. Hay que probar: (s → ¬q) y también (¬q → s))

1

(p → q) ∧ (r → s)

premisa

2

p∨r

premisa

3

(p → ¬s) ∧ (r → ¬q)

premisa

4

p→q

elim∧, 1

5

r→s

elim∧, 1

6

p → ¬s

elim∧, 3

7

r → ¬q

elim∧, 3

8

p

hip. elim∨ en 2

9

q

elim→, 4 y 8

10

q∨s

intro∨, 9

11

r

hip. elim∨ en 2

12

s

elim→, 5 y 11

13

q∨s

intro∨, 12

14

q∨s

elim∨ en 2, 8–10 y 11–13

15

¬q → s

Def2 →, 14

16

p

hip. elim∨ en 2

17

¬s

elim→, 6 y 16

18

¬s ∨ ¬q

intro∨, 17

19

r

hip. elim∨ en 2

20

¬q

elim→, 7 y 19

21

¬s ∨ ¬q

intro∨, 20

22

¬s ∨ ¬q

elim∨ en 2, 16–18 y 19–21

23

s → ¬q

Def2 →, 22

24

(s → ¬q) ∧ (¬q → s)

intro∧, 23 y 15

25

(s ↔ ¬q)

Intro↔, 24

1.3. PROBLEMAS DE ARGUMENTACIÓN Y SOLUCIONES

35

13. O el ladrón atravesó la puerta, o el delito fue cometido desde dentro y uno de los sirvientes debe estar implicado en él. El ladrón pudo atravesar la puerta si, y sólo si, el cerrojo fue descorrido desde dentro. Pero uno de los sirvientes está con seguridad implicado si el cerrojo fue descorrido desde el interior. Luego uno de los sirvientes se halla implicado en el delito. Diccionario: p = el ladrón atravesó la puerta; q = el delito fue cometido desde dentro; r = uno de los sirvientes debe estar implicado en él; s = el cerrojo fue descorrido desde dentro. 1

p ∨ (q ∧ r)

premisa

2

p↔s

premisa

3

s→r

premisa

4

p→s

elim↔, 2

5

p→r

Tran→, 4 y 3

6

p

hip. elim∨ en 1

7

r

elim→, 5 y 6

8

(q ∧ r)

hip. elim∨ en 1

9

r

elim∧, 8

10

elim∨ en 1, 6–7 y 8–9

r

14. O n no es menor que m o n no es mayor que m. n es igual a m si, y sólo si, n no es mayor que m y no es menor que m. Por tanto, si n es menor que m, no es ni mayor que, ni igual a m. Diccionario: p = n > m; q = n < m; r = n = m 1

¬q ∨ ¬p

premisa

2

r ↔ (¬p ∧ ¬q)

premisa

3

q

hip. cons →

4

¬p

SD, 1 y 3

5

r → (¬p ∧ ¬q)

elim↔, 2

6

¬(¬p ∧ ¬r)

hip. red. abs. consecuente

7

¬r

MT, 5 y 6

8

(¬p ∧ ¬r)

intro∧, 4 y 7

9

(¬p ∧ ¬r) ∧ ¬(¬p ∧ ¬r)

intro∧ 8 y 6

10

(¬p ∧ ¬r)

11

q → (¬p ∧ ¬r)

intro¬, 6–9 intro→, 3–10

CAPÍTULO 1. LÓGICA DE CONECTIVAS

36

15. Si las cosas participan de las Formas, entonces o bien las cosas reciben la Forma total o bien reciben parte de la Forma. Si reciben parte de la Forma, entonces la Forma es dividida. Si reciben la Forma total, entonces la Forma es separada de sí misma (por existir en diferentes tiempos y lugares). Las Formas no pueden ser ni divididas ni separadas de sí mismas. Por tanto, las cosas no participan de las Formas. Diccionario: p = las cosas participan de las Formas; q = las cosas reciben la Forma total; r = las cosas reciben parte de la Forma; s = la Forma es dividida; w = la Forma es separada de sí misma 1

p → (q ∨ r)

premisa

2

r→s

premisa

3

q→w

premisa

4

¬(s ∨ w)

premisa

5

p

hip. red. abs.

6

q∨r

elim→, 1 y 5

7

q

hip. elim∨ en 6

8

w

elim→, 3 y 7

9

s∨w

intro∨, 8

10

r

hip. elim∨ en 6

11

s

elim→, 2 y 10

12

s∨w

intro∨, 11

13

s∨w

elim∨ en 6, 7–9 y 10–12

14

(s ∨ w) ∧ ¬(s ∨ w)

intro∧, 13 y 4

15

¬p

intro¬, 5–14

1.3. PROBLEMAS DE ARGUMENTACIÓN Y SOLUCIONES

37

16. Si un gobernante que comprende que sus anteriores opiniones eran erróneas no cambia su política, se hace culpable de engañar a la gente; y si cambia su política se expone a que lo acusen de contradecirse. O bien cambia su política o no lo hace. Luego o bien es culpable de engañar a la gente, o bien se expone a que se le acuse de contradecirse. Diccionario: p = un gobernante que comprende que sus anteriores opiniones eran erróneas cambia su política; q = se hace culpable de engañar a la gente; r = cambia su política se expone a que lo acusen de contradecirse 1

¬p → q

premisa

2

p→r

premisa

3

p ∨ ¬p

premisa

4

p

hip. elim∨ en 3

5

r

elim→, 2 y 4

6

q∨r

intro∨, 5

7

¬p

hip. elim∨ en 3

8

q

elim→, 1 y 7

9

q∨r

intro∨, 8

10

q∨r

elim∨ en 3, 4–6 y 7–9

CAPÍTULO 1. LÓGICA DE CONECTIVAS

38

17. Si ABC es un triángulo, entonces el lado AB es igual al lado AC si, y sólo si, el ángulo CBA es igual al ángulo BCA. Si no es el caso de que AB sea igual a CB si BC es el lado desigual, entonces ABC no es un triángulo isósceles. Por tanto, si o AB es desigual a AC o el ángulo CBA es desigual al ángulo BCA, entonces o ABC no es un triángulo isósceles, o en caso contrario BC no es el lado desigual. Diccionario: p = ABC es un triángulo; q = el lado AB es igual al lado AC; r = el ángulo CBA es igual al ángulo BCA; s = BC es el lado desigual; w = ABC es (un triángulo) isósceles

1

p → (q ↔ r)

premisa

2

¬(s → q) → ¬(p ∧ w)

premisa

3

¬q ∨ ¬r

hip. cons. →

4

¬(¬(p ∧ w) ∨ ¬s)

hip. red. abs. consecuente

5

(p ∧ w) ∧ s

DeMorgan, 4

6

p∧w

elim∧, 5

7

s

elim∧, 5

8

p

elim∧, 6

9

q↔r

elim→, 1 y 8

10

q→r

elim↔, 9

11

¬q

hip. elim∨ en 3

12

s ∧ ¬q

intro∧, 7 y 11

13

¬(s → q)

Def→, 12

14

¬(p ∧ w)

elim→, 2 y 13

15

(p ∧ w) ∧ ¬(p ∧ w)

intro∧, 6 y 14

16

¬r

hip. elim∨ en 3

17

¬q

MT, 10 y 17

18

s ∧ ¬q

intro∧, 7 y 17

19

¬(s → q)

Def→, 18

20

¬(p ∧ w)

elim→, 2 y 19

21

(p ∧ w) ∧ ¬(p ∧ w)

intro∧, 6 y 20

22 23 24

(p ∧ w) ∧ ¬(p ∧ w) (¬(p ∧ w) ∨ ¬s) (¬q ∨ ¬r) → (¬(p ∧ w) ∨ ¬s)

elim∨ en 3, 11–15 y 16–21 intro¬, 4–22 intro→, 3–23

1.3. PROBLEMAS DE ARGUMENTACIÓN Y SOLUCIONES

39

18. A, B y C, tres presuntos culpables de un importante robo, fueron conducidos a la comisaría de policía y en el interrogatorio se establecieron los siguientes hechos: 1. Nadie, fuera de A, B, C, está implicado. 2. A no trabaja nunca sin contar al menos con un cómplice. 3. C es inocente. ¿Es B inocente o culpable? Diccionario: p = A es culpable; q = B es culpable; r = C es culpable 1

p ∨ (q ∨ r)

premisa

2

p → (q ∨ r)

premisa

3

¬r

premisa

4

¬(p ∨ ¬p)

hip. red. abs.

5

¬p ∧ p

DeMorgan, 4 intro¬ 4–5

6

p ∨ ¬p

7

p

hip. elim∨ en 6

8

q∨r

elim→, 2 y 7

9

q

SD, 8 y 3

10

¬p

hip. elim∨ en 6

11

q∨r

SD, 1 y 10

12

q

SD, 11 y 3

13

q

elim∨ en 6, 7–9 y 10–12

CAPÍTULO 1. LÓGICA DE CONECTIVAS

40

19. Si pago al sastre me quedaré sin dinero. No puedo llevar a mi novia al baile si no tengo dinero. Si no la llevo al baile irá con otro. Pero si no le pago al sastre no me entregará el traje, y sin traje no puedo ir al baile. O le pago al sastre o no le pago. Luego mi novia irá con otro. Diccionario: p = pago al sastre; q = tener dinero; r = puedo llevar a mi novia al baile; s = tengo dinero; w = irá con otro; z = me entregará el traje 1

p → ¬q

premisa

2

¬q → ¬r

premisa

3

¬r → w

premisa

4

(¬p → ¬z) ∧ (¬z → ¬r)

premisa

5

p ∨ ¬p

premisa

6

p → ¬r

Tran→, 1 y 2

7

p→w

Tran→, 6 y 3

8

¬p → ¬z

elim∧, 4

9

¬z → ¬r

elim∧, 4

10

¬p → ¬r

Tran→, 8 y 9

11

¬p → w

Tran→, 10 y 3

12

p

hip. elim∨ en 5

13

w

elim→, 7 y 12

14

¬p

hip. elim∨ en 5

15

w

elim→, 11 y 14

16

w

elim∨ en 5, 12–13 y 14–15

20. Tenemos tres chicas, Ana, Luisa y Diana. Supóngase que se dan los siguientes hechos: 1. Amo al menos a una de las tres chicas. 2. Si amo a Ana pero no a Diana, entonces amo también a Luisa. 3. O bien amo a Diana y a Luisa, o bien no amo a ninguna de las dos. 4. Si amo a Diana, entonces amo también a Ana. ¿A cuál de las chicas amo? Diccionario: p = amo a Ana; q = amo a Diana; r = amo a Luisa 1

p ∨ (q ∨ r)

premisa

2

(p ∧ ¬q) → r

premisa

3

(q ∧ r) ∨ (¬q ∧ ¬r)

premisa

4

q→p

premisa

1.3. PROBLEMAS DE ARGUMENTACIÓN Y SOLUCIONES

5

q∧r

hip. elim∨ en 3

6

q

elim∧, 5

7

p

elim→, 4 y 6

8

r

elim∧, 5

9

p∧q∧r

intro∧, 7, 6 y 8

10

(¬q ∧ ¬r)

hip. elim∨ en 3

11

¬q

elim∧, 10

12

¬r

elim∧, 10

13

¬(q ∨ r)

DeMorgan, 10

14

p

SD, 1 y 13

15

¬(p ∧ ¬q)

MT, 2 y 12

16

p→q

Def→, 15

17

q

elim→, 16 y 14

18

p ∧ ¬q

intro∧, 14 y 11

19

r

elim→, 2 y 18

20

p∧q∧r

intro∧, 14, 17 y 19

21

p∧q∧r

elim∨ en 3, 5–9 y 10–20

41

Capítulo 2

Reglas 2.1. 2.1.1.

Cálculo de deducción natural Reglas Básicas Introducción de la negación:

Eliminación de la negación:

1

1

¬¬x

2

x

(x ∧ y)

2

x/y

Elim∧, 1

Eliminación del condicional:

1

(x → y)

2

x

3

y

x

3

...

4

(y ∧ ¬y) ¬x

hipótesis

una contradicción Intro¬, entre 2–4

Introducción de la conjunción:

Eliminación de la conjunción: 1

2

5

Elim¬, 1

...

1

x

2

y

3

(x ∧ y)

Intro∧, 1 y 2

Introducción del condicional: ... 1

Elim→, 1 y 2

2

x

3

...

4

y

5 43

(x → y)

hipótesis

Intro→, entre 2–4

CAPÍTULO 2. REGLAS

44

Eliminación de la disyunción: 1

(x ∨ y)

2

x

3

...

4

z

5

y

6

...

7

z

8

Introducción de la disyunción: 1

x

2

(x ∨ y)

Intro∨, 1

hipótesis

hipótesis

Elim∨, en 1 entre 2–4 y 5–7

z

Eliminación del generalizador:

Introducción del generalizador: 1

...

2

a

[a no puede

1

∀x(P (x))

3

...

existir fuera

2

...

4

...

del supuesto]

3

P (a)

5

S(a)

4

...

6

∀x(S(x))

Elim∀, 1

Eliminación del particularizador: 1 2

∃x(P (x))

Introducción del particularizador: 1

P (a)

P (a)

[a no puede

2

...

3

...

existir fuera

3

∃x(P (x))

4

...

del supuesto]

4

...

5

E

no contiene a

6

a

E

Elim∃, 1, 2–5

Intro∀, 2–4

Intro∃, 1

2.1. CÁLCULO DE DEDUCCIÓN NATURAL

2.1.2.

45

Algunas Reglas Derivadas

Transitividad del condicional (Tr→) Esquema:

Reiteración o identidad (Reit): Esquema:

1

(x → y)

1

x

2

(y → z)

2

...

3

...

3

x

4

(x → z)

Modus Tollens (MT): Esquema: 1

(x → y)

2

¬y

3

...

4

¬x

Ex contradictione quodlibet (Ecq): Esquema: 1

(x ∧ ¬x)

2

...

3

y

Silogismo disyuntivo (SD): Esquema:

Contraposición (Ctrp): Esquema: 1

(x ∨ y)

1

(x → y)

2

¬x

2

...

3

...

3

(¬y → ¬x)

4

y

Definición del → (Def1 →): Esquema: 1

(x → y)

1

¬(x ∧ ¬y)

2

...

2

...

3

¬(x ∧ ¬y)

3

(x → y)

Definición del → (Def2 →): Esquema: 1

(x → y)

1

¬x ∨ y

2

...

2

...

3

¬x ∨ y

3

(x → y)

CAPÍTULO 2. REGLAS

46 Definición de ∧ (Def1 ∧): Esquema: 1

(x ∧ y)

1

¬(x → ¬y)

2

...

2

...

3

¬(x → ¬y)

3

(x ∧ y)

Definición del ∨ (Def1 ∨): Esquema: 1

x∨y

1

¬x → y

2

...

2

...

3

¬x → y

3

x∨y

Definición del ∧ (Def2 ∧): Esquema: 1

(x ∧ y)

1

¬(¬x ∨ ¬y)

2

...

2

...

3

¬(¬x ∨ ¬y)

3

(x ∧ y)

Definición del ∨ (Def2 ∨): Esquema: 1

x∨y

1

¬(¬x ∧ ¬y)

2

...

2

...

3

¬(¬x ∧ ¬y)

3

x∨y

De Morgan (DM1 ): Esquema: 1

¬(x ∧ y)

1

¬x ∨ ¬y

2

...

2

...

3

¬x ∨ ¬y

3

¬(x ∧ y)

De Morgan (DM2 ): Esquema: 1

¬(x ∨ y)

1

¬x ∧ ¬y

2

...

2

...

3

¬x ∧ ¬y

3

¬(x ∨ y)