Ejercicios de La Unidad 2
December 1, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Facultad de Ciencias de la Electrónica
En este reporte se encuentran las soluciones a los ejercicios planteados para la segunda unidad.
CONTROL CLÁSICO Ejercicios de la segunda unidad
JOAN ANTONIO SERRANO LARA ID: 201746110 ALFREDO FRANKI SANTIAGO PÉREZ ID: 201744384 GUSTAVO TELLEZ RAMOS ID: 201760019 NAYELLI TORRES DAMIÁN ID: 201836392
Control de Sistemas Lineales Profesor: Esteban Molina Flores NRC: 24658 01 de Octubre de 2021
Respuestas de los sistemas de Control: instrumentos de análisis en el dominio del tiempo y del plano complejo “s”. 1. Descri Descri ba cuáles cuáles y en qué consist en los errores en en estado estacionario en los sis temas de contr ol con realimentación unitaria. Los sistemas de control se clasifican de acuerdo con su capacidad de seguir entradas escalón, rampa, parábola, etc. Estas se clasifican en: Constante de error de posición estática Kp: El error en estado estacionario
▪
del sistema para una entrada escalón unitario es
1 1 lim → 1 10
La constante de error de posición estática Kp se define mediante
→ 0 lim 1 1
Por ende, el error en estado estacionario en términos de la constante de error de posición estática Kp se obtiene mediante
Para un sistema de tipo 0
1 1 1 1 … lim → 1 1 1 1 …
Para un sistema de tipo 1 o mayor
1 … ∞ 1 1 lim → 1 1 1 …
≥ 1
De este modo, para un sistema de tipo 0, la constante de error de posición estática
es finita, mientras que, para un sistema de tipo 1 o mayor,
una entrada escalón unitario, el error en estado estacionario
es infinita. Para
se resume como
sigue:
+K,
para sistemas de tipo 0
0,
para sistemas de tipo 1 o mayor
Se puede observar que la respuesta de un sistema de control de realimentación para una entrada escalón aplica un error en estado estacionario si no existe un integrador en la trayectoria directa. Es posible tolerar errores pequeños para entradas escalón, es permisible un sistema de tipo 0, siempre y cuando la ganancia K sea suficientemente grande, sin embargo, si la ganancia k, es demasiado grande, es difícil obtener una estabilidad relativa razonable. Constante de error de velocidad estática Kv: El error en estado estacionario
▪
del sistema con una entrada rampa unitaria se obtiene mediante
1 lim lim → 1 →
La constante de error de velocidad estática Kv se define mediante
→ lim
Así, el error en estado estacionario en función de la constante constante de error de velocidad estática Kv se obtiene mediante
1 1
Aquí se usa el término error de velocidad velocidad para expresar expresar el error en estado estacionario para una entrada rampa. La dimensión del error de velocidad es igual que la del error del sistema. Es decir, el error de velocidad no es un error en la velocidad, sino si no un error en la posición debi debido do a una entrada rampa. Para un sistema de tipo 0,
1 1 1 … 0 lim → 1 1 1 …
Para un sistema de tipo 1,
1 1 1 1 … lim → 1 1 1 1 … Para un sistema de tipo 2 o mayor
1 1 1 1 … ∞ lim → 1 1 1 …
El error en estado estacionario
≥ 2
para la entrada rampa unitaria se resume
del modo siguiente:
∞ , 0
para sistemas de tipo 0 para sistemas de tipo 1 para sistemas de tipo 2 o mayor
Esto indica que el s istema de tipo “0” es incapaz de seguir una entrada rampa en el estado unitario, El sistema de tipo 1 con realimentación unitaria sigue la entrada rampa con un error finito. Operando Ope rando en estado estacionario, la velocid velocidad ad de salida es igual a la velocidad de la entrada y es inversamente proporcional a la ganancia k. Constante de error de aceleración estática Ka. El error en estado estacionario
▪
del sistema con una entrada parábola unitaria (entrada de aceleración), que se define mediante
rt , 0,0,
≥0 1
En el plano complejo, este compensador tiene un cero en polo en
y un
. El polo está a la derecha del cero.
Compensadores de adelanto
•
La compensación de adelanto produce, en esencia, un mejoramiento razonable en el tiempo de la respuesta transitoria y un cambio pequeño en la precisión en estado estable. Un inconveniente de este esquema es que puede acentuar los efectos del ruido de alta frecuencia. Por su parte, la compensación de atraso produce un mejoramiento notable en la precisión en estado estable a costa de aumentar el tiempo de respuesta transitoria. Suprime los efectos de las señales de ruido a altas frecuencias. La compensación de atraso-adelanto combina las características de la compensación de adelanto con las de la compensación de atraso. El uso de un compensador de atraso o de adelanto aumenta el orden del sistema en 1. El uso de un compensador de atraso-adelanto eleva el orden del sistema en 2, lo que complica más el análisis y diseño. Previo al diseño de compensadores, definamos una clasificación usual que se hace a sistemas
∈
LIT en función del valor N {0,1,2,3,..} del exponente del polo simple para la siguiente función de transferencia siguiente:
2 ······ 1 1 2 ···
Por ejemplo, se dice que el sistema es de tipo cero si N = 0. Será de tipo 1 si N = 1 y así sucesivamente. Compensadores de adelanto-atraso adelanto-atras o
•
El compensador de atraso-adelanto es una combinación de los dos previos. El uso de un compensador de atraso-adelanto eleva el orden del sistema en 2, lo que complica más el análisis y diseño. . b. Describir cuándo se deben aplicar cada uno. Atraso
•
Un margen de fase
o
≥ 40° ≥ 12
Un margen de ganancia
o
Una constante de error de velocidad estática Adelanto o
•
Para valores de frecuencia mayores a
o
≥ 4−
se introducirá un
incremento en la magnitud y fase de GTD. Para valores de frecuencia mayores a
o
se tendrá un
incremento en la magnitud de GTD de 20 log(b) y no se tendrá ningún efecto en la fase. Adelanto-Atraso
•
El coeficiente estático de error de velocidad o Un margen de fase o Margen de Ganancia de
o
50° ≥ 10
10 ⁻¹
3. Simular mediante Matlab Matlab las respuestas respuestas al impulso y escalón uni tarios de los sistemas de primero, segundo y tercer Orden. Establezca un criterio por inspección basada en la curva 5-8 para distinguir que señales de las salidas de los tres órd enes enes anteriores c orresponden a si stemas ESTABLES ESTABLES y cu áles áles no.
Las especificaciones en el dominio del tiempo que se han proporcionado son muy importantes, ya que casi todos los sistemas de control son sistemas en el dominio del tiempo: es decir,
Figura 1. Curva de respuesta a escalón unitario con
, , ,
Figura 2. Respuestas al escalón unitario del sistema de primer orden.
Figura 3. Respuestas al impulso unita unitario rio del sistema de primer orden.
Figura 4. Respuestas al escalón unitario del sistema de segundo orden.
Figura 5. Respuestas al impulso u unitario nitario del sistema de segundo orde orden. n.
Figura 6. Respuestas al escalón unitario del sistema de tercer orden orden..
Figura 7. Respuestas al impulso u unitario nitario del sistema de tercer orden.
En la graficas de respuestas al escalón unitario del sistema de primer orden, respuestas al escalón unitario del sistema de segundo orden, respuestas al escalón unitario del sistema de tercer orden se puede observar como el sistema es estable ya que refiriéndose a la Figura 1. Curva de respuesta a escalón unitario con
, , ,
, se puede notar que el margue de error se encuentra de 0.02 a 0.05.
4. Describa en qué consiste cada uno de los métodos de análisis de estabilidad siguientes: a. Margen de Magnitud y Fase (basada en la respuesta en frecuencia del sistema). Es un diagrama de la magnitud logarítmica en decibelios con respecto al ángulo de fase o margen de fase para pa ra un rango de frecuencia de interés. El margen de fase es la
diferencia entre el ángulo de fase real y -180°; es decir,
1 18080°° 18180°0° ϕ.ϕ.
La curva se gradúa en función
de la frecuencia
.
El diagrama de la magnitud logarítmica l ogarítmica con respecto a la fase se construye fácilmente si se leen los valores de la Figura 8 Diagrama magnitud/fase
magnitud logarítmica y del ángulo de fase de los diagramas de Bode, ya que, en este diagrama las dos curvas de los diagramas de Bode se combinan en una.
b. Método de Nyquist (basada en el análisis análisis del lugar de las raíces de la Ec. Característica de la función de transferencia). Este tipo de representación se basa en el hecho de colocar sobre un mismo plano el módulo y la fase de la función de transferencia a partir de sus dos gráficas separadas. Se usa mucho sí los diseños y cálculos se realizan a mano, pero en la actualidad, debido al uso de ordenadores, este tipo de diagrama está perdiendo importancia
Figura 9. Transformación conforme de las retículas en el plano s dentro de F(S) donde F(s)=(s+1)(s-1)
Ejercicios: Simulación de los sistemas en Matlab 4.
Resol Resol ver los ejercic ios del B.7-1 al B-7-3 B-7-31 1 utili uti lizando zando MatLab MatLab (base (base para el examen).
B.7-1. Considere el sistema con realimentación unitaria cuya función de B.7-1. transferencia en lazo abierto es
101 1
Obtenga la salida en estado estacionario del sistema cuando está sujeto sujet o a cada una de las entradas siguientes:
a) r(t)=sen(t-30°) b) r(t)=2cos(2t-45°) c) r(t)=sen(t+30°)-2cos(2t-45°) d) Sustituyendo “s” por “jw”
101 1 Entonces
| || √10 1 10 1 10 1 1 1 1 ta tann−
Para a) r(t)=sen(t-30°) donde ω=1 y
css(t)=
√+
30°
tan−1
* sen(t-30°-
) = 7.07*sen(t-15)
b) r(t)=2cos(2t-45°) donde ω=2 y
css(t)=
√+
15°
tan−2
* cos(1t-45°-
) = 8.94*cos(2t-108.4°)
c) r(t)=sen(t+30°)-2cos(2t-45°) Sumando los resultados del inciso a y b css(t)= 7.07*sen(t-15)- 8.94*cos(2t-108.4°) B.7-2.. Considere el sistema cuya función de transferencia en lazo abierto es B.7-2
1 1 1
Obtenga la salida en estado estacionario del sistema cuando está sujeto a la entrada r(t) =R sen ωt.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
se tiene que
1 || √ 1 ∠ ∠ tan− tan tan
por lo tanto, la salida en el estado estacionario es
√ 1 tan− tan
B.7-3. Utilizando B.7-3. Utilizando MATLAB, dibuje los diagramas de Bode de G1(s) y G2(s):
1 12 1 12
G1(s) es un sistema de fase mínima y G2(s) es un sistema de fase no mínima.
Figura 10. Diagrama de bode del ejercicio B.7-3
Figura 11. Diagrama de bode del ejercicio B.7-3
B.7-4. Dibuje B.7-4. Dibuje el diagrama de Bode de:
10 0.08.4.491 91
Figura 11. Diagrama de bode del ejercicio B.7-4
B.7-5. Dado B.7-5. Dado
demuestre que
2
| || 21
sustituyendo a “s” por jω en G(s), señalando que
se tiene que
= = −+ − + − +
| || 1 21 1 21
B.7-6. Considere un sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia en lazo abierto:
0.5 1
Este es un sistema de fase no mínima. Dos de los tres polos en lazo abierto se localizan en el semiplano derecho del plano s del modo siguiente: Polos en lazo abierto en s= -1.4656 s=0.2328+ j 0.7926 s=0.2328- jj 0.7926
Dibuje el diagrama de Bode de G(s) con MATLAB. Explique por qué la curva del ángulo de fase comienza en 0° y tiende a +180°. La curva de fase comienza en 0° y termina en 180°
Figura 12. Diagrama de bode del ejercicio B.7-6
Verificando por qué el ángulo de fase comienza en 0° y termina en 180° se procede a calcular los ángulos G(j0) y G(∞)
0.5 1. 1.4656 4656 0.22328 328 0.0.7929266 0.0.22328 328 0.0.7929266 0 0.5 1.44656 656 0.23280. 7 926 0. 2 3280. 7 926 − 0.7926 0° tan 0° 0° tan− 0.0.72926 328 0.2328 ∞ 9090° 90°° tan− 0. 2∞328 tan− 0. 2∞328 9090° 9090°° 9090°° 9090°° 11880°
se tiene
y para
B.7-7 Dibuje los diagramas polares de la función de transferencia en lazo abierto
para los casos
> > 0 > > 0 > > 0 > > 0 , ,
11 1 1
Figura 13. Diagrama de Nyquist del ejercicio B.7-7
B.7-8 Dibuje el diagrama de Nyquist para el sistema de control de realimentación B.7-8 Dibuje unitaria con la siguiente función de transferencia en lazo abierto.
111
Utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist, determine la estabilidad del sistema en lazo cerrado. El requisito de estabilidad del sistema de control de retroalimentación unitaria viene dado por:
1 1
con en ceros= 1 y polos en =-1 La ganancia -K se mayor que -1 o K0, la condición de estabilidad es 1>K>0
Figura 14. Diagrama de Nyquist del ejercicio B.7-8
desde que H(s)=1 tenemos que la variación de amplitud es:
1 |= 1 1 1 1 1 |= 1 1 ∠ |= ta tann− tatann− 0
Y el ángulo de variación es:
∠ |= ta ∠ tann− tatann− 90° 90° 180°
como en el primer diagrama podemos ver que solo hay un cero y no hay polos en la mitad derecha del plano s, por lo que , por lo tanto, en los criterios de Nyquist:
0 ⇒
Para que el sistema de circuito cerrado sea estable, no debe haber un cerco en sentido antihorario del punto (-1, 0), por lo que N debe ser 0. Para que la condición anterior sea válida, se tiene en cuenta que:
< 1
O bien:
Desde que asumimos que estar entre 0 y 1:
>0
>1
tenemos que para que exista estabilidad
0
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