Ejercicios de Io 1

PROBLEMA

3

La compañía Tejas Ltda., es un contratista grande que realiza trabajos de techos. Puesto que el precio de las tejas varía con las estaciones del año, la compañía trata de acumular existencias cuando los precios están bajos y almacenarlas para su uso posterior. La compañía cobra el precio corriente en el mercado por las tejas que instala, sin importar cuando las haya adquirido. La tabla que aparece al final refleja lo que la compañía ha proyectado como costo, precio y demanda para las tejas durante las próximas cuatro temporadas. Cuando las tejas se compran en una temporada y se almacenan para su uso posterior, se incurre en un costo de manejo de $6 por millar de piezas, así como también en un costo de almacenamiento de $12 por millar de piezas por cada temporada en la que se almacena. Lo máximo que se puede guardar en el almacén son 220.000 piezas, esto incluye el material que se compra para utilizarlo en el mismo período. La compañía ha fijado como política no conservar materiales más de cuatro temporadas. Plantee un modelo para el problema que permita a Tejas Ltda. Maximizar sus utilidades para un período de cuatro temporadas.

SOLUCIÓN Se asignó cuatro variables para representar el problema. T1: Cantidad de piezas en la Temporada 1. T2: Cantidad de piezas en la Temporada 2. T3: Cantidad de piezas en la Temporada 3. T4: Cantidad de piezas en la Temporada 4. Como en el enunciado nos pide maximizar las utilidades para un periodo de cuatro temporadas, entonces la función objetiva seria la siguiente. La suma de las temporadas. Maximizar Z = ((21.00 T1– 22.00 T1)+ (22.00 T2 - 23.25 T2)+ (26.00 T3 -28.50 T3)+ (24.00 T3 25.50 T3))

Y las restricciones serán las siguientes: s.a.: RESTRICCION Nº 01 Se pierde $6 dólares por millar de piezas, por motivos de devaluación. 1 (100 - T1)+1.25 (140 - T2)+ 2.5 (200 - T3)+ 1.5 (160 - T4)= - 6 ((100 - T1)+ (140 - T2 )+ (200 T3)+ (160 - T4 ))≥ 0 RESTRICCION Nº 02 Se pierde $ 12 dólares por millar de piezas, por motivos de costo de almacenamiento. 1 (100 - T1)+ 1.25 (140 - T2 )+ 2.5 (200 - T3)+ 1.5 (160 - T4 ) = - 12 ((100 - T1)+ (140 - T2 )+ (200 - T3)+ (160 - T4 ))≥ 0 RESTRICCION Nº 03 Lo máximo que se puede guardar en el almacén son 220 piezas, esto incluye el material que se compra para utilizarlo en el mismo período. (100 - T1) + (140 - T2)+(200 - T3)+(160 - T4) ≤ 220 NO NEGATIVIDAD T1,T2,T3,T4≥ 0

PROBLEMA

13

Una cooperativa agrícola grande del sureste mexicano opera cuatro granjas. La producción de cada granja está limitada por la cantidad de agua disponible para irrigación y por el número de acres disponibles para cultivo. Los datos de la tabla 10 describen las granjas. Normalmente, la cooperativa cultiva 3 tipos de productos, aunque cada una de las granjas no necesariamente cultiva todo sellos. Debido a la limitación en la disponibilidad de equipo para cosechar, existen restricciones sobre el número de acres de cada producto que se cultivan en cada granja. Los datos de la tabla 11 reflejan el máximo de acres de cada cultivo que pueden producirse en cada granja. El agua que se requiere (expresada en millares de pies cúbicos por acre) para los respectivos cultivos son: 6, 5, y 4. Las utilidades que se proyectan por acre para cada uno de los

tres

cultivos

son

$500,

$350

y

$200,

respectivamente.

Para mantener una carga de trabajo equilibrada entre las 4 granjas, la cooperativa ha adoptado la política de hacer que en cada granja se cultive un porcentaje igual de terreno disponible. Plantee un modelo de PL, para el problema, que permita a la cooperativa determinar la cantidad (acres) de cada cultivo que deben plantarse en cada granja para que se maximicen las utilidades totales esperadas para la cooperativa.

SOLUCIÓN Se asignó Tres variables para representar el problema. Variables: Cultivos A, B Y C X1= CULTIVO A X2= CULTIVO B X3= CULTIVO C Como en el enunciado nos pide maximizar la cantidad de acres para cada cultivo en cada granja, entonces la función objetiva seria la siguiente Maximizar Z = 500X1 + 350X2 + 200X3 s.a.: RESTRICCION Nº 01 Para la granja 1: 200X1 + 150X2 + 500X3 = 0 RESTRICCION Nº 02 Para la granja 2: 300X1 + 200X2 + 350X3 = 0 RESTRICCION Nº 03 Para la granja 3: 100X1 + 150X2 + 200X3 = 0 RESTRICCION Nº 01 Para la granja 4: 250X1 + 100X2 + 300X3 = 0 NO NEGATIVIDAD X1,X2, X3≥ 0

PROBLEMA 23 Una refinería puede comprar dos tipos de petróleo: petróleo crudo ligero y petróleo crudo pesado. El costo por barril de estos tipos de petróleo es $ 11 y $9 respectivamente. De cada tipo de petróleo se producen por barril las siguientes cantidades de gasolina, kerosene, y combustible para reactores:

Obsérvese que durante el proceso de refinamiento se pierden el 5% y el 8% del crudo, respectivamente. La refinería tiene un contrato para entregar un millón de barriles de gasolina, 400.000 barriles de kerosene, y 250.000 barriles de combustible para reactores. Formular como un programa lineal el problema de encontrar el número de barriles de cada tipo de petróleo crudo que satisfacen la demanda y minimizan el costo total. SOLUCIÓN Se asignó dos variables para representar el problema. X1: Número de barriles de petróleo crudo de tipo ligero. X2: Número de barriles de petróleo crudo de tipo pesado. Como en el enunciado nos pide minimizar el costo total, entonces la función objetiva seria la siguiente. La suma de costo por barril de los tipos de petróleo. Minimizar Z = 11X1 + 9X2 Y las restricciones serán las siguientes:

s.a.: RESTRICCION Nº 01 Se tiene que entregar 1 000 000 barriles de gasolina, por un contrato, ya establecido con la refinería. 0.40X1 + 0.32X2 ≥ 1 000 000 RESTRICCION Nº 02 Se tiene que entregar 400 barriles de kerosone, por un contrato, ya establecido con la refinería. 0.20X1 + 0.40X2 ≥ 400 RESTRICCION Nº 03 Se tiene que entregar 250 barriles de combustible para reactores, por un contrato, ya establecido con la refinería. 0.35X1 + 0.20X2 ≥250 RESTRICCION Nº 04 En el proceso del refinamiento se pierde 5% y 8% del crudo del Petróleo. 0.05X1 + 0.08X2 = 1 NO NEGATIVIDAD X1,X2≥ 0

PROBLEMA 25 Una firma de café produce dos tipos de mezclas: suave y suavísimo. En la planta se cuenta con:

Los productos que salen al mercado son:

Como se obtiene la máxima ganancia en ventas? SOLUCIÓN Se asignó 6 variables para representar el problema. : Cantidad de café Colombiano que se utiliza para producir mezcla Suave. Cantidad de café Colombiano que se utiliza para producir mezcla Suavísimo. Cantidad de café Brasileño que se utiliza para producir mezcla Suave. Cantidad de café Brasileño que se utiliza para producir mezcla Suavísimo. Cantidad de café Mexicano que se utiliza para producir mezcla Suave. Cantidad de café Mexicano que se utiliza para producir mezcla Suavísimo. Como en el enunciado nos pide maximizar la ganancia en ventas, entonces la función objetivo seria la siguiente: Max Z = 72

+ 72

+ 72

+ 75

+ 75 + 75

- 52

- 52

- 50

- 50

- 48

- 48

Y las restricciones serán las siguientes: s.a.: RESTRICCION Nº 01 La mezcla suave (las variedades del % de Cafeína - las variedades del % máximo de cafeína). 0

RESTRICCION Nº 02 La mezcla suavísimo (las variedades del % de Cafeína - las variedades del % máximo de cafeína). 0

RESTRICCION Nº 03

La cantidad disponible de café colombiano es de 20000. =20000

RESTRICCION Nº 04 La cantidad disponible de café brasileño es de 25000. =25000

RESTRICCION Nº 05 La cantidad disponible de café mexicano es de 15000. =15000

RESTRICCION Nº 06 La demanda para la mezcla suave es de 35000. = 35000

RESTRICCION Nº 07 La demanda (libras) para la mezcla suavísimo es de 25000. = 25000 NO NEGATIVIDAD X1,X2, X3,X4,X5,X6≥ 0

PROBLEMA 53 Sofía, Susana y Sandra salen a un compromiso con Daniel, Guillermo y Andrés. A Sofía le gusta Guillermo dos veces más que Daniel y tres veces más que Andrés. A Susana le gusta Guillermo tres veces más que Daniel y cinco veces más que Andrés (Andrés es un perdedor!). A Sandra le gusta tanto Daniel como Guillermo, y ambos le gustan aproximadamente cinco veces más que Andrés. ¿Cómo es posible formar las parejas de modo que las chicas estén lo más contentas posible? Si una chica desea permanecer en casa, ¿cuál debe ser? ¿Qué chico perderá el compromiso? SOLUCIÓN Se asignó tres variables para representar el problema. X1: Número de veces que le gusta Sofía. X2: Número de veces que le gusta Susana. X3: Número de veces que le gusta Sandra. GUILLERMO DANIEL ANDRÉS 6X1 3X1 2X1 15X2 5X2 3X2 5X3 5X3 X3 Como en el enunciado nos pregunta. ¿Cómo es posible formar las parejas de modo que las chicas estén lo más contentas posible?, entonces la función objetiva seria la siguiente: Maximizar Z = 11X1 + 23X2+ 11X3 Si una chica desea permanecer en casa, ¿cuál debe ser?

RESTRICCION Nº 01 Para Sofía: 6X1 + 3X1 + 2X1 ≥ 0 RESTRICCION Nº 02 Para Susana: 15X2 + 5X2 + 3X2 ≥ 0 RESTRICCION Nº 03 Para Sandra: 5X3 + 5X3+ 1X3≥ 0 ¿Qué chico perderá el compromiso? RESTRICCION Nº 04 Para Guillermo: 6X1 + 15X2+ 5X3 ≥ 0 RESTRICCION Nº 05 Para Daniel: 3X1 + 5X2 + 5X3 ≥ 0 RESTRICCION Nº 06 Para Andrés: 2X1 + 3X2 + 1X3 ≥ 0 NO NEGATIVIDAD X1,X2, X3≥ 0