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Ejercicios Propuestos de Investigación de operaciones Resueltos 1. Con motivo del 5º centenario del nacimiento de un célebre pintor, un importante museo ha decidido restaurar cinco de sus obras, para lo cual ha contratado tres equipos de restauración. Cada equipo ha presentado el presupuesto de restauración para cada una de las obras, como se recoge en el siguiente cuadro, en miles de euros.
O1
O2
O3
O4
O5
R1
60
--
90
--
120
R2
70
90
80
100
80
R3
--
70
120
90
100
(Donde “--“ significa que dicho equipo no restaurará en ningún caso la obra
correspondiente) E l primer equipo rrestaurador estaurador e está stá compuesto por seis personas, el segundo por cuatro y el tercero por tres. En la restauración de cada una de las obras son necesarias dos personas. Cada persona de un equipo sólo restaura una obra. a)
¿A qué qué ta tabla bla sse e debe aplicar el Mé Método todo Húngaro para realizar las las cinco restauraciones, con el menor coste posible, teniendo en cuenta que cada una de ellas debe ser realizada por un único equipo restaurador, y que los tres equipos deben participar en dichas restauracione restauraciones? s?
b)
Dado que el coste de restauración de las cinco obras es muy elevado, la directiva del museo decide restaurar únicamente tres, asignando una única obra a cada equipo. Determinar, aplicando el Método Húngaro, todas las posibles asignaciones que minimicen el coste total.
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Solución:
a)
Aplicaremos el Método Método Húngaro a la siguiente tabla: tabla:
O1
O2
O3
O4
O5
F
R1
60
M
90
M
120
0
R1
60
M
90
M
120
0
R1
60
M
90
M
120
0
R2
70
90
80
100
80
0
R2
70
90
80
100
80
0
90
100
M
M 70 R3 120 Con M positivo p ositivo suficientemente gra grande. nde.
b) Aplicamos el Método Método Húngaro a la siguiente tabla:
O1
O2
O3
O4
O5
R1
60
M
90
M
120
R2
70
90
80
100
80
R3
M
70
120
90
100
F1
0
0
0
0
0
F2
0
0
0
0
0
Con M positivo p ositivo suficientemente gra grande. nde.
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2. La compañía Ordenata S.A. desea planificar el ensamblaje de dos nuevos modelos de ordenador
el Core Duo KS500 y el Core Duo KS600. Ambos
modelos precisan del mismo tipo de carcasa y lector óptico. En el modelo KS500 se ensambla la carcasa con 2 lectores ópticos. En el modelo KS600 se ensambla la carcasa con un lector óptico y además se añade un lector de tarjetas. Se dispone semanalmente de 1000 lectores ópticos, 500 lectores de tarjetas y de 600 carcasas. El ensamblaje de un KS500 lleva una 1 hora de trabajo y proporciona un beneficio de 200 euros y el del KS600 lleva 1.5 horas de trabajo y su beneficio es de 500 euros. Teniendo en cuenta las restricciones anteriores, el director de la compañía desea alcanzar las siguientes metas en orden de prioridad: Prioridad 1. Producir semanalmente al menos 200 ordenadores KS500. Prioridad 2. Ensamblar al menos 500 ordenadores en total a la semana. Prioridad 3. Igualar el número de h horas oras totales de trabajo dedicadas al
ensamblaje de los dos tipos de ordenador. Prioridad 4. Obtener un beneficio semanal de al menos 250000 euros.
Obtener e interpretar la solución óptima del problema relajado, planteando y resolviendo gráficamente cada una de las metas.
Solución:
Definimos las variables de decisión siguientes: x1 = unidades ensambladas sema semanalmente nalmente del ordenador Core Duo KS500
x2 = unidades ensambladas sema semanalmente nalmente del ordenador Core Duo KS600
La modelización queda como sigue:
Min L( y1 , y2 , y3
y3 , y4 )
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2 x1 x2 11000 00 0 x
(1)
500
(2)
2 x1 x2 600
x1 y1 s.a
(3)
y1 200
x1 x2 y2
y2 500
(5)
y3 0
(6)
1.5xx2 y3 x1 1.5
200 x1 500x2 y4
x1 0, yi 0,
(4)
y4 250000
(7)
x2 0 y enteras yi
0
i 1, 2, 3,4
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3. Roperos S.AC produce dos tipos de roperos: roperos modelo A y y,, roperos modelo B.lo máximo a vender de escritorios modelo A son 600 unidades y modelo B son 400 unidades .Fabricar un escritorio modelo A requiere 1 hora y fabricar un escritorio modelo B requiere 2 horas. la capacidad de producción es 1300 horas en total por los dos modelos, cabe resaltar que no es posible trabajar horas extras. Cada ropero modelo A entrega una utilidad de $15.Todo lo que se fabrica se vende. La gerencia, además, ha establecido las siguientes metas Meta 1: Alcanzar una utilidad semanal por lo menos de $11000. Meta 2: Que no exista capacidad de producción ociosa. Meta 3: Que se produzcan 600 de 2 cajones. Meta 4: Que se produzcan 400 escritorios de 3 cajones. La meta 1 es de primera prioridad; la meta 2, de segunda; la 3, de tercera y la meta 4 tiene la última prioridad de cumplimiento. 1) Defina las variables de decisión y formule el modelo de programación lineal por metas correspondiente. 2) Presentar un informe administrativo de la solución óptima, indicando que metas metas se cumplen o no, es necesario realizar la gráfica.
Solución: Parte 1: X: Numero Numero de roperos Modelos Modelos “A” a producir producir
Y: Numero de roperos Modelos “B” a producir
Metas: 1)Min Z=P1(d1) 10X+15Y+d1-e1=11000(>=)
2) Min Z=P2(d2) 1X+2Y+d1=1300(=)
3) Min Z=P3(d3) 1X+d3=600(=)
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4) Min Z=P4(d4) Y+d4=400(=) NO HAY RESTRICCIONES DURAS DURAS Objetivo: Min Z=P1d1+P2+d2+P3d3+P4d4
Parte 2: Gráfica:
Puntos de interseccion: A(500,400) B(600,350) C(600,333.33)
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Metas: 1) P1d1 =La R Región egión ABC Cumple 2) P2d2 =Recta AB 3) P3d3 =Punto B 4) P4d4 =No Cumple Se Toma el punto B(600,350)
Metas 1 2 3 4
X=600 Y=350 d1=0 e1=250 d2=0 d3=0 d4=50
¿Cumplen? si si si NO
Se debe producir 600 roperos A y 350 roperos B Para que se llegue a una utilidad de $ 11,250, Donde se cumplen las metas 1,2 y 3.
4. En un hospital comarcal se pueden realizar operaciones de riñón, de corazón y
de vesícula. Por problemas de personal cada día se realizan operaciones como mucho de dos clases. Debido al gran número de operaciones pendientes se deben realizar al menos tantas operaciones de vesícula como de riñón. Por otra parte, no se pueden realizar
más
de
50
operaciones
de
vesícula
diarias.
Cada
operación de riñón requiere la presencia de dos médicos y se realiza en una hora. Las operaciones de corazón requieren 3 médicos y se realizan en 5 horas. Cada operación de vesícula sólo requiere un médico y se realiza en una hora Para estos tipos de operaciones el hospital tiene asignados 20 médicos y cuenta con 60 horas diarias de quirófano.
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a)
(6 puntos) Modelizar el problema como un problema de programación lineal entera para maximizar el número de operaciones diarias.
b)
(4 p puntos) untos) El hospital recibe una ssubvención ubvención y se plantea o bien modernizar el hospital y, así, poder realizar también operaciones de cataratas, o bien contratar dos nuevos médicos. Las operaciones de cataratas requieren un médico y una hora de quirófano, además, si se opera de cataratas se deben realizar como mínimo 5 operaciones al día y no más de 10. Modelizar el problema como un problema de programació programación n lineal entera para maximizar el número de operaciones.
Solución:
a)
Definimos las variables de decisión siguientes: x1 = número de operaciones de riñón al día
x2 = número de operaciones de corazón al día x3 = número de operaciones de vesícula al día
si se realizan operaciones de riñón
y1
1
si se realizan operaciones de corazón
y2
1
0
0
en caso contrario
en caso contrario
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y3
1
si se realizan operaciones de vesícula en caso contrario
0
La modelización queda como sigue:
Max ( x1 x2 x3 )
2 x1 3x 2 x3 20
x1 5x 2 x3 60 y y y 2 1
2
3
x1 x3 x1 My1 s.a
x 2 My 2
x3 50 y3 xi 0 i 1, 2, 3 y enteras yi 0, 1 i 1, 2, 3
Con M positivo suficientemente grande. b) Sea definen además de las variables del apartad apartado o anterior:
1 z 0
si se decide realizar operaciones de cataratas en caso contrario
x4 = número de operaciones de cataratas al día
La modelización queda como sigue:
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Max ( x1 x2 x3 x4 )
2x1 3x 2 x3 x4 20 2(1 2(1 z)
x1 5x 2 x3 x4 60 y y y z 2 1
2
3
x1 x3 x1 My1 x2 My2 s.a
x
50 y
3
3
0 z 5z x4 110z
x 0 i
i 1, 2, 3,4 y entera
z 0, 1
Con M positivo suficientemente grande. 0, 1 i 1, 2
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a yuntamiento ti tiene ene previsto construir cuatro instalaciones deportivas 5. Un ayuntamiento diferentes dentro del municipio. El ayuntamiento se compone de cuatro distritos A, B, C y D y quiere asegurar la construcción de un polideportivo en los distritos más grandes: A y B. Además, cabría la posibilidad de construir dos polideportivos en el distrito B. La siguiente tabla muestra el número de usuarios semanales (en centenas) que se estiman para cada tipo de instalación deportiva según en el distrito en que se construya.
po or tivo Polide p P1
P2
P3
P4
A
12
14
17
19
B
16
19
24
17
C
10
12
18
15
D
13
9
20
17
Resolver mediante el Método Húngaro el problema de dónde se deben construir los 4 polideportivos si el ayuntamiento desea maximizar el número de usuarios semanales.
Solución:
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Aplicamos el Método Húngaro a la siguiente tabla:
P1
P2
P3
P4
F1
A
-12
-14
-17
-19
M
B B
-16 -16
-19 -19
-24 -24
-17 -17
M 0
C
-10
-12
-18
-15
0
D
-13
-9
-20
-17
0
Con M positivo suficientemente grande.
P1
P2
P3
P4
F1
A
-12
-14
-17
-19
M
B
-16
-19
-24
-17
M
B
-16
-19
-24
-17
0
C
-10
-12
-18
-15
0
D
-13
-9
-20
-17
0
+16
+19
+24
+19
Con M positivo suficientemente grande.
P1
P2
P3
P4
F1
A
4
5
7
0
M
B
0
0
0
2
M
B
0
0
0
2
0
C
6
7
6
4
0
D
3
10
4
2
0
Con M positivo suficientemente grande.
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P1
P2
P3
P4
F1
A
5
7
0
M
B B C o C n D
0
0
2
M
0
0
2
0
7
6
4
0
-3
10
4
2
0
-3
-3 +3 +3
M positivo suficientemente grande.
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P1
P2
P3
P4
F1
A
1
2
4
0
M
B
0
0
0
5
M
B
0
0
0
5
3
C
3
4
3
4
0
2
0
0 7 1 D Con M positivo suficientemente grande.
Se obtiene la siguiente asignación óptima: A Polideportivos 2 y 3, D
Polideportivo 4, B
Polideportivo 1.
Valor óptimo, 7500 usuarios semanales.
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6. Una empresa realiza dos tipos de bombones, de calidad excelente y de primera calidad. Para producirlos utiliza cacao y almendras, de los que dispone semanalmente de 48 kilos y 4.5 kilos respectivamente. Para realizar una caja de bombones de calidad excelente se necesita 600 gramos de cacao y 50 gramos de almendras mientras que para una caja de primera calidad se necesita 400 gramos de cacao y 50 gramos de almendras. Por cada caja de calidad excelente se obtiene un beneficio de 70
€ y
por cada una de primera calidad de 40
€ y
además se vende sin problemas todo lo que se produce. a)
Determinar, resolviendo resolviendo el problema relajado, relajado, las producciones semanales eficientes de cajas de bombones de modo que la empresa maximice sus beneficios y el volumen de ventas.
b) Si la empresa considera cada venta como 10
€
de beneficio, modelizar el
problema relajado correspondiente. c) Si la empresa necesita 7 horas de producción para obte obtener ner una caja de de calidad excelente y 4 horas para una caja de primera calidad, determinar al menos dos producciones semanales eficientes del problema relajado de modo que la empresa maximice sus beneficios, y el volumen de ventas y minimice las horas de producción.
Solución:
a)
Definimos las variables de decisión siguientes:
x1 = cajas de bombones de calidad excelente producidas sem semanalmente analmente
x2 = cajas de d e bombones de primera calidad producidas semanalmente
La modelización queda como sigue:
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Max (70x1 40 x2 ,
x1 x2 )
600x1 400x2 48000
50 x1 5 50 0 x2 4500
s.a
x1 0,
x2 0 y enteras
Resolveremos el problema relajado:
Max (70x1 40 x2 ,
x1 x2 )
600x1 400x2 48000
s.a
50 x1 5 50 0 x2 4500
(1) (2)
x 0, x 0 1 2
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Vértices
Vértices
X
f( X )
(0, 0)
(0, 0)
(80, 0)
(5600,80)
(60, 30)
(5400, 90)
Soluciones eficientes: 80, 0 60, 3 30 0
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b) La modelización queda como sigue: Max
70x1 40x2
10 x1 x2
c)
La modelización queda como sigue: sigue: Max 70x1 s.a
40x2 , x1
x2 , 7 x1
4 x2
X
Por el teorema de Zadeh si damos pesos positivos a las funciones objetivo, la solución óptima del problema ponderado será una solución eficiente del problema multiobjetivo Asignando: l1 =1, l2 =1, l3 =10 el modelo lineal ponderado tiene como Soluciones óptimas(0,90)(60,30) . Estas serán soluciones eficientes del modelo multiobjetivo.
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