EJERCICIOS DE GEOESTADÍSTICA

EJERCICIO DE KRIGEAGE Dado el siguiente modelo; Modelo Variograma: ( )

(

)

Leyes: x1= 1,5; x2= 1,7; x3=2,8 Resuelva el ejercicio mediante: a) Kriging de la media, b) Kriging ordinario, c) Varianza de estimación Solución letra a) Mediante el método del Kriging de la media, se tienen las ecuaciones que debemos resolver: I. II. III. IV.

∑ ∑

( ⁄ ) ∑ (

( ) )

Las distancias h x1 x2 x3

x1 0 8,49 16,97

x2 8,49 0 8,49

x3 16,97 8,49 0

1

Para el cálculo del Variograma, se tiene el modelo ( )

(

)

Que nos indica lo siguiente:   

Meseta (C) = 3 Pepa (C0) = 0 Alcance (a) = 10

El esquema esférico se define como: ( )

[ ( )

{

( ) ]

Entonces el valor de γ(h) dependerá si h es mayor o menor que el alcance, en este caso a =10, para ello evaluamos: 

Como h = 0 < 10

=> ( )



Como h = 8,49 < 10

=> (



Como h = 16,97 ≥ 10

=> (

)

[ (

)

(

) ]

)

Finalmente la tabla con los valores del Variograma: ( ) x1 x2 x3

x1 0 2,90 3

x2 2,90 0 2,90

x3 3 2,90 0

Para el cálculo del Covariograma, utilizamos los valores del variograma y la definición de covariograma: ( ) ( ) Donde C0 es el efecto pepita o simplemente “pepa”, en este caso, C0 = 3.   

Como h = 0 Como h = 8,49 Como h = 16,97

=> C(0) = 3 – 0 = 3 => C(8,49) = 3 – 2,90 = 0,10 => C(16,97) = 3 – 3 = 0

La tabla con los valores del Covariograma; C(h) x1 x2 x3

x1 3 0,10 0

x2 0,10 3 0,10

x3 0 0,10 3

2

De acuerdo con la ecuación (I) y la tabla de los covariogramas, podemos armar el sistema con (I) y (II);

Al resolver el sistema, se obtiene los ponderadores;

Luego, de acuerdo a la ecuación (III), obtenemos la ley media; ∑

( )

(

)

(

)

(

)

También, con la ecuación (IV), obtenemos la varianza; (

)

3

Solución letra b) Mediante el método del Kriging Ordinario, se tienen las ecuaciones que debemos resolver: I. II. III. IV.

∑ ∑

( ⁄ ) ∑ ∑

( ) ( ⁄ )

( ⁄ )

(

)

Entonces, dividimos en 4 volúmenes;

Resolvemos para V:

( ⁄ )

∫ ̅( ⁄ )

∑ ∫ ̅( ⁄ )

( ⁄

)

Los términos 4v y 1/V son iguales por lo tanto se eliminan; ( ⁄ ) ( ⁄ )

( ⁄ (

) )

Utilizando el esquema esférico de Matheron, para la función H y las coordenadas (0.6; 0.6), se obtiene aproximadamente el valor 0,630. Luego: ( ⁄ ) (

⁄ ) 4

( ⁄ )

(

)

( ⁄ ) (

( ⁄

)

( ⁄ )

( ⁄ )

⁄ )

( ⁄ )

( ⁄ )

( ⁄ )

( ⁄ ( ⁄

) )

( ⁄ ( ⁄

) )

Entonces; ( ⁄

)

(

)

( ⁄ )

(

)

( ⁄

)

(

)

( ⁄

)

(

)

( ⁄ )

[

] ( ⁄ ) (

⁄ )

Por otro lado; ( ⁄ )

(

)

( ⁄ )

5

La matriz por variograma;

1  1  1,39  1 2  2,64  1 3   3      0     1 

 0 2,9 3 2,9 0 2,9   3 2,9 0  1 1 1 Los ponderadores;

Entonces calculamos la ley según la ecuación III) ;

La varianza, según la ecuación IV) ;

Solución letra c) La matriz por Covariograma; ( )

 3 0,1 0 0,1 3 0,1   0 0,1 3  1 1 1

( )

( )

1  1   1,11  1 2  0,36  1 3   0      0     1 

Los ponderadores;

6

La ley se calcula como sigue;

La varianza; ( ⁄ ) ( )[

∑

( ⁄ ) ]

(

)

7