Ejercicios de Estadística Descriptiva

 

Univers idad Polit´e Universidad ecnica cni ca de Cart Cartagena agena Dpto. Mate Matem´ m´ a atica tic a Aplic Aplicada ada y Esta Estad d´ısti ıstica ca M´ e eto to do doss es esta tad d´ısti ıs tico coss de la inge ingeni nier´ er´ıa, ıa , Es Esta tad d´ıs ısti tica ca Problemas de examenes:

M´etodo doss esta tad d´ısti ticcos de la inge ngenier´ıa Inge In geni nieer´ıa T´eecni c nicca Indu Indust stri rial al,, todas especialidades Estad´ıstica Inge In geni nier er´ ´ıa T´ecnic cnica a Tel elec ecomu omuni nica caci cion ones es,, Telem´ a atica tica Problemas de examenes

 

 

Estad Esta d´ıstica ıst ica descri des cripti ptiva  va 

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Univers idad Polit´e Universidad ecnica cni ca de C Cartag artagena ena Dpto.. Mat Dpto Matem´ em´ a atica tic a A Aplic plicada ada y E Estad´ stad´ııstica sti ca M´ e eto t odo doss es esta tad d´ısti ıs tico coss de la in inge geni nier´ er´ıa, ıa, Es Esta tad d´ıs ısti tica ca Problemas de examenes:   Est Estad´ ad´ıstica ısti ca descriptiv descri ptiva  a 

Problema 1 I.1  Un ingeniero estudia la relaci´oon n entre dos variables variables   X  X    e   Y . Y . Dis Dispone pone de los v valo alores res de de   Y  para 15 valores de X  de  X ,, y sabe que la media y la varianza de los valores de  X   X  valen  valen x  x =  = 20, 2 n y encuentra la ecuaci´oon n siguiente: sx  = 4. Decide ajustar una recta de regresi´oon y  = 32 − x 1. ¿Cu´aall es el signo de la correlaci´oon n entre entre X   X    e  Y   Y ?? Justifica tu respuesta. 2. Calcular la covarianza de X  de  X    e  Y . 3. ¿Cu´aanto nto vale vale   y?

I.2  La siguiente tabla muestra la puntuaci´oon n de los 20 equipos de segunda divisi´oon n B (d (desp espu´ u´es es de 25 partidos jugados). Construir un diagrama de caja y bigotes para las puntuaciones de los equipos y comentar sus aspectos m´aass relevantes: 16 23 24 24 27 28 28 29 30 31 31 34 39 40 42 43 45 45 48 49

Problema 2 I.1   El Instituto Nacional de Estad´ Estad´ıstica prop proporciona orciona los datos siguientes sobre el crecimien crecimiento to vegetativo, es decir la diferencia entre el n´u umero mero de nacimientos y defunciones, en las comunidades aut´onomas: onomas: Comun omunid idad ad cre reci cimi mieento Galicia -9865 Castilla y Le´on -8825 Asturias -5915 Arag´on -3853 Pa´ıs Vasco -2040 Cantabria -1332 Cast.-La Mancha -837 Extremadura -553 La Rio ja -384 Navarra 136

Com Comun unid idad ad cre crecimi cimieento Ceuta 455 Valencia 543 Melilla 599 Catalun ˜a 779 Baleares 1230 Murcia 3730 Canarias 5668 Madrid 11152 Andaluc´ıa 15489

1. Calcu Calcular lar la mediana y los cuart cuartiles iles de estos datos.

 

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2. Re Reali alizar zar el dia diagra grama ma de cajas y big bigote otess par paraa est estos os dat datos. os. ¿P ¿Para ara qu´e sirve sirve este diagrama? diagra ma? ¿Hay d datos atos at´ at´ıpicos? ¿Qu´e rrepresentan epresentan estos u ultimos? ´ltimos?

I.2  Se ha comprobado que las aleaciones amorfas tienen una excelente resistencia a la corrosi´oon. n. 0 En un estudio se recocieron cinco espec espec´´ımenes de la aleaci´oon n a 700 cada uno durante un intervalo de tiempo tiemp o distinto (x, en mi minutos). nutos). Despue´eess se midi midi´´o el potencial de pasivaci´on on (y, en mV)- una medida de resistividad de la aleaci´on on crist cristalizad alizadaa- para cada especim especimen. en. Los datos experimen experimentales tales son los siguie siguiente ntes: s: x 10 20 45 90 120 y -408 -400 -392 -379 -385 1. Supo Suponie niendo ndo que la mej mejor or forma de des descri cribir bir la rel relaci aci´´oon n entre las variables es lineal, 2 ajustar una recta de regresi´oon n a los datos. Calcular Calcular   r e interpretar el resultado. 2. ¿Cu´aall es el potencial de pasivaci´oon n cuando el tiempo de recocido es de 30 minutos?

Problema 3 1. Con el fin de determinar la profundidad de un lago subterr´aaneo, neo, se midi´o el contenido de ox ox´´ıgeno, en miligramos/litro, a distintas profundidades, en metros, obteni´eendose ndose los siguientes resultados: profundidad ( m ) 15 20 30 40 50 60 70 ox´ıgeno ( mg/l ) 6.5 5.6 5.4 6.0 4.6 1.4 0.1 Se pide: (a) Ajustar una recta a los datos obtenidos p por or el m´eetodo todo de los m´ınimos cuadrados. (b) Estudiar la bondad del ajuste. (c) ¿A qu´e profundidad es previsible que nos encontre encontremos mos si el contenido en ox ox´´ıgeno medido es de 3.2 mg/l?.

Problema 4 I.1   En la direcci´oon n http://dataservice.eea.eu.int/dataservice/, se pueden encontrar los datos de emisi´oon n de CO2 por fuentes f´oosiles siles para los distintos paises europeos entre los a˜n nos os 1985 y 1997. Se indican a conti continua nuaci´ ci´ oon n los datos de emisi´oon n total de este contaminante para Espa˜ n naa entre los a˜n nos os 1990 y 1997. A˜n noo (X ) 90 91 92 93 94 95 96 97 Emisi´oon n total ((Y  Y )) 203.8 215.5 225.1 211.5 222.8 237.5 226.6 242.8 ( Megatoneladas) Se pueden pued en util utilizar izar llas as ca cantidades ntidades num´eericas ricas siguientes siguientes::



xi  = 748;



2

xi  = 69980;



yi  = 1785. 1785.6;



2

yi   = 399722;



xi yi  = 167142

1. Real Realizar izar el ajuste lineal de la emisi emisi´´oon n total en funci´oon n del a˜ n no. o. Calcular el valor de 2

R y comentar la bondad del ajuste.

 

 

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2. Seg´ u un n nuestro modelo, ¿se est´a produciendo un aument aumentoo o un descenso de la emisi´ on on de CO2? 3. Seg´ u un n nuestro modelo, ¿cu´aall ser ser´´ıa la cantidad de CO2 emitida en 1998 p por or Espa Espa˜ n na? ˜a?

I.2   A continuaci´on on se presentan los diagramas de caja-bigotes para la emisi´oon n total de cuatro paises de la Uni´oon n eur europe opeaa entr entree 1990 1990 y 19 1997. 97. ( ES ES=” =”Es Espa˜ pa˜ n na”, a”, FR=”F FR=”Francia”, rancia”, GB=”Gran Breta˜ n na”, a”, y IT=”Italia”).

1. ¿C´oomo mo se construye un diagrama de caja-bigotes? 2. ¿C´oomo mo clasificar clasificar´´ıa estos cuatro paises en cuanto a contaminaci´ oon n por CO2? 3. ¿Cu´al al es el pa pa´´ıs que presenta mayor dispersi´oon n entre sus datos de contaminaci´oon? n? ¿Qu´e quie quiere re deci decir? r? 4. Si se reali realiza za un ajuste lineal de la em emisi´ isi´ on on de CO2 en funci´oon n del a˜n noo para cada uno de los paises, obtenemos las rectas siguientes: Espa˜ na Emision= ´on= −196 196..4 + 4. 4.48 a˜ no no Francia Emision= ´on= 403. 403.2 − 0.51 a˜ no no Gran Breta˜ na Emi misi si´´oon= n= 1126 1126..2 − 6.15 a˜ no no Italia Emision= ´on= 192. 192.9 + 2. 2.143 a˜ no no ¿Qu´ e paises han ido reduciendo sus emisiones entre 1990 y 1997? ¿Qu´e paises las han increm incremen entad tado? o? Cu´ aall es el pa´ pa´ıs que m´aass ha reducido sus emisiones de CO2? ¿Cu´al al es el pa pa´´ıs que m´as as las han incrementado?

Problema 5

 

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I.1   En la siguiente tabla est´aan n representados los datos referidos al alquiler pagado mensualmente por 45 familias que habitan pisos de alquiler en una determinada ciudad: Alquil Alq uiler er een n mil miles es d dee pt ptas. as. N´ u umero mero de familias (0 − 15] 5 (15 − 30] 12 (30 − 60] 16 (60 − 90] 10 (90 − 120] 2 Se pide: 1. Repr Represen esentar tar gr´aaficament ficamentee la variab ariable le median mediante te un histog histograma. rama. ¿Cu´ aales les son las caracter´´ısticas de dicho histog acter histograma? rama? ¿Qu´e m medidas edidas de centralizaci centralizaci´´oon n y dispersi´oon n son m´aass adecuadas para resumir los datos? Razonar la respuesta. 2. Calc Calcular ular el alquil alquiler er medio pagado por las familias analizadas. ¿En qu´e int interv ervalo alo se sit´u uaa la mediana? ¿Cu´aall es el intervalo modal? 3. ¿Cu´aall es la proporci´on on de familias que pagan un alquiler menor o igual a sesenta mil ptas.? siguientes datos se refieren al crecimiento de una colonia de bacterias en un medio de I.2.  Los cultivo: x 3 6 9 12 15 18 y 11500 0000 14700 0000 2390 90000 3560 60000 5790 90000 864 640000 siendo x siendo  x  los d´ıas desde la inoc inoculaci´ ulaci´oon n e  y  el n´u umero mero de bacte bacterias. rias. 1. Repre Represen sentar tar   y   en funci´oon n de   x  para verificar que es razonable ajustar una curva exponencial. 2. Ajust Ajustar ar una curv curvaa exponencia exponenciall a los datos. 3. Estima Estimar, modelo ajustado en el apartad apartadoo anter anterior, ior, el n´u umero mero de bacterias al t´eermin rmr, inoousando de 20 el d´ıa ıas. s.

Problema 6 I.1-   Seg´u un n el principio de la termodin´aamica, mica, la presi´on P  on  P  y  y el volumen V  volumen  V    de una determinada masa de gas est´aan n relacionados por la siguiente f´oormula rmula : P V γ  = C  donde   γ   γ   y   C   C   son dos const constan antes tes.. Supo Supongam ngamos os que dispon disponemo emoss de de   n   mediciones de la presi´oon n y del volumen, (( p  p1 , v1 ), . . . , ( pn , vn ) ¿cu´aall es la manera de obtener valores de las dos constantes γ  constantes  γ    y  C ?  C ? (pensar en una transformaci´oon n de los datos).

 

 

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I.2-  La comisi´oon n de comercio federal americana midi´o el n´u umero mero de miligramos de tar ((X  X ) y monoxido de carbono (C0) (Y  (Y )) por cigarrillo en las distintas marcas comerciales disponibles. Se tomo una muestra de 12 marcas, obteniendo para cada una: X    9 4 14 12 10 5 3 17 6 7 8 15 Y    6 6 14 12 12 7 4 18 8 8 13 13 a) Calcula el porcentaje de marcas con un nivel de C0 inferior a 8. Calcula los cuartiles de la distribuci´oon n de de X   X .. b) Ajusta de Y  sobre  X  y  y discute la bondad  Y    sobre X    2 del ajuste.   una recta deregresi´oonn de 2 (Ayuda: x = 110; y  = 121; xy xy =  = 1294 x = 1234; y = 1411)

I.3-   Se realizaron investigaciones con el fin de estudiar la relaci´oon n entre la elevaci´oon n de la o temperatura de las celdas solares en C por encima de la temperatura ambiente (y) y la cantidad de aislamiento en megaw megawatts atts por centimetr centimetroo cuadrado (x), obteni´eendose ndose los siguientes datos: x 9 25 20 12 15 22 14 16 24 25 15 12 10 y 25 70 50 30 45 60 28 50 68 68 20 21 20 1. Se quiere desarrollar un modelo que explique la evoluci´oon n de   y   en funci´oon n de la variable x. variable  x.  LLevar a cabo el ajuste correspondiente y comentar su bondad. 2. Para un aislamiento de 62 ¿qu´e temperatura cabe esperar?

Problema 7 I.1.-   Describir las caracter caracter´´ısticas globales del histograma siguiente. En tu opini´oon, n, para ese conjunto de datos, ¿cu´aales les son las medidas de centralizaci´oon n y de dispersi´oon n m´aass representativas? Justifica tu respuesta.

 

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I.2-  Una f´abrica abrica de refrescos ha tomado aleatoriamente 6 semanas del a˜ n noo observando la  Temperatura per atura media  correspondiente a cada una de ellas, y la   Cantidad de ref refresc rescos os pedidos  pedidos  durante cada una de estas semanas. Los datos obtenidos son los siguientes: Temperatura emperatura media   ( C ) 28 12 30 24 5 15 Cantidad de refrescos refrescos pedidos   (miles de litros ) 65 19 75 67 11 24 o

(a)  Calcular la media y la varianza de cada variable. de refrescos pedidos   reajuste por m´ınimos cuadrados de la   Cantidad (b)   Realizar specto deun la  Temperatura media.  Comentar la bondad del ajuste .

(c) Si el modelo lineal es correcto, ¿cu´aall ser ser´´ıa la cantidad de refrescos pedidos para una semana donde la temperatura media sea igual a 20 o C?

Problema 8 I.2.-   En un estudio sobre la rapidez de combusti´oon n del grafito artificial en un flujo de aire h´u umedo, medo, se llev´o a cabo un experi experimen mento to para inv investig estigar ar la difus difusividad ividad del Ox Ox´´ıgeno a trav´´eess de una mezcla de vapor de agua. Para ello se prepararon muestras de Nitr´oogeno trav geno y Ox´´ıge Ox ıgeno no con una frac fracci´ ci´oon n molar de agua de 0.017 a 9 temperaturas distintas, midi´eendose ndose la difusivi difusividad dad del Ox Ox´´ıgeno en cada una, obteni´eendose: ndose: Temperatura   1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 DifusividadO2   1.69 1.99 2.31 2.65 3.01 3.39 3.79 4.21 4.64 (a) Reali Realice ce el diagram diagramaa de dispersi´ oon n correspondiente. ¿Es posible el ajuste de un modelo de regresi´oon n lineal simple, que relacione la difusividad del   O2   en funci´oon n de la temperatura temper atura?? ¿C´ oomo mo debe salir el coeficiente de correlaci´oon? n? (¿posit (¿positivo ivo,, negativo negativo,, cerca de 0?). (b) En caso afirmativo, obtener la correspondiente rect rectaa de regresi´ oon n uti utiliza lizando ndo la t´eecnica cni ca de los m´ınimos cuadrad cuadrados. os. (c) Hallar el coeficien coeficiente te de dete determinac rminaci´ i´on r on  r 2 e interpretar su valor. (d) ¿Cu´al al ser´ıa ıa la pred predicci icci´´oon n sobre la difusividad del del O  O 2 , para una temperatura de 3o a partirr del modelo const parti construido ruido?. ?.

Problema 9 I.3 La tabla siguiente repre representa senta los datos correspondiente correspondientess a 9 pruebas donde se ha estudiado el volumen de desgaste de una pieza (Y  (Y )) dependiendo de la viscosidad del aceite (X  (X ) X (aceite aceite)) 1.6 9.4 15 15..5 20 20..0 22 22..0 35 35..5 43 43..0 40 40..5 33 33..0 Y  Y ((desg. desg.)) 240 11881 193 155 172 110 113 75 94 (a) Const Construy ruyee un gr´aafico fico de dispersi´oon n ( es decir nube de puntos) de los datos. ¿Parece plausible el uso de un modelo de regresi´oon n lineal simple? ¿C´oomo mo debe salir el coeficiente de correlaci´oon?. n?.

 

 

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(b) Ajusta una recta de regresi´oon n utilizan utilizando do la t´eecnica cnica de llos os m´ınimos cuadrad cuadrados. os. Comentar la bondad del ajuste. (c) ¿Cu´al al ser ser´´ıa la predicci´oon n sob sobre re el des desgast gastee par paraa una visco viscosid sidad ad de 45? 45?.. Obt Obtene enerr el valor ajustado de y para x = 22 y calcular el residuo correspondiente.

Problema 10 I.3.- Con el fin de estudiar la relaci´oon n existente entre la densidad la  densidad de tr´ tr afico, a ´ fico, representada en n´u umero mero de autom´ooviles viles por kil´oometro, metro, y la   velocidad  velocidad   a la que se circula en una determinada avenida de una ciudad, el ayuntamiento decide tomar una muestra durante un mes selec seleccionan cionando do aleat aleatoriam oriament entee 10 d´ıas laborable laborabless del mismo. Los resul resultados tados que se obtuvieron obtuv ieron vienen refle reflejados jados en la siguie siguiente nte tabla: Densidad de tr´ trafico a ´ fico   69 56 62 119 84 74 73 90 38 22 V eloc elocida idad d   25 25..4 32 32..5 28 28..6 11 11..3 21 21..3 22 22..1 22 22..3 18 18..56 37.2 44 44..6 (a) Calc Calcular ular la media y varianz arianzaa asociada a cada una de las variabl ariables. es. (b) Calcular la cov covarianza arianza existente entre ambas var variables iables as´ı como el co coeficiente eficiente de correlaci´ oon. n. (c) Realiz Realizar ar un ajuste por m´ınimos cuadrados de la la Densidad  Densidad de tr´ tr afico respeto a ´ fico  respeto a la V eloc elocida idad d. (d) Deducir, suponiendo que la relaci´oon n proporcionada por las rectas de regresi´oon n es v´aalida, lida, (d.1) ¿A qu´e velocidad se estima que se circular´ aa,, si la densidad de tr´aafico fico es de 85 autom´ autom o´viles/km?. oviles/km?. (d.2) Si se desea regular la velocidad modificando los sem´aaforos foros que dan acceso a la avenida, calcular a partir de la recta de regresi´oon n correspondiente, cual debe de ser la densidad de tr´aafico fico para que la velocidad sea de 30 Km/h.

Problema 11 1. Una empresa encarga a su departamento de recursos humanos un estudio con el fin de determinar si existe relaci´oon n entre el tiempo que llevan en la empresa sus empleados y el absentismo laboral (faltas al trabajo). Con el fin de realizar dicho estudio se seleccionan al azar 10 empleados obteni´eendose ndose los siguientes resultados: Antig¨ uedad en la empresa 25 13 19 12 6 33 4 40 16 20 D´ıas per perdid didos os (a (a˜ n ˜o) 1 6 6 9 12 4 4 2 5 3 (a) ¿Pue ¿Puede de afirmarse que los emplead empleados os de may mayor or antig¨ u uedad edad faltan con mas frecuenc frecuencia ia al trabajo?. Razona tu respuesta utilizando el coeficiente de correlaci´oon. n. (b) ¿Que podemos afirmar de un empleado con una antig¨uedad uedad de 15 a˜n nos? os?

 

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Problema 12 1. En un lag lago, o, se ha medido, para diversos valores de la profundidad, el contenido en ox´ ox´ıgeno, en miligramos/litro, obteni´eendose ndose los siguientes datos . Profundidad   15 15 20 30 40 50 60 70 Contenido. O   6. 6.5 5.6 5.4 6.0 4.6 1.4 0.1 (a) Calc Calcular ular la media y la varianz arianzaa asociada a cada va variable riable.. (b) Calc Calcular ular la cov covarianz arianzaa de las dos variabl ariables es as as´´ı como el coeficie coeficiente nte de corre correlaci´ laci´ oon. n. Interpretar los resultados obtenidos. (c) Realiza Realizarr el aajuste juste de m´ınimos cuadrad cuadrados os del contenido respec respecto to de la Profund Profundidad idad aass´ı como el ajuste de la profundidad respecto del contenido. Si la relaci´oon n proporcionada por las rectas de regresi´oon n es v´aalida, lida, ¿cu´aall ser ser´´ıa el valor del contenido de ox ox´´ıgeno a una profundidad de 45m.

Problema 13 I.3.- Con el fin de determ determinar inar si exist existee relaci relaci´´oon n entre la ccantidad antidad de p pol ol´´ımeros de l´aatex tex incluida durante el proceso de mezclado de cemento Portland y su resistencia adhesiva a tensi´oon, n, una empresa encargada de realizar certificaciones de obras toma una muestra de tama˜n noo 10, obteniendo los siguientes resultados: P ol ol´´ımeros ımeros latex ( latex  (mgr/kg mgr/kg)) 13 13..5 11 11..0 13 13..0 11 11..2 12 12..0 13 13..2 12 12..0 13 13..5 11 11..2 13 13..0 2 Resistencia ( Resistencia  (kgf/cm kgf/cm ) 17 17..5 16 16..6 17 17..2 16 16..6 17 17..0 17 17..3 16 16..9 17 17..3 16 16..8 17 17..1 (a) Calc Calcular ular la media y varianz arianzaa asociada a cada una de las variabl ariables. es. (b) Calcular la cov covarianza arianza existente entre ambas var variables iables as´ı como el co coeficiente eficiente de correlaci´ oon. n. (c) Realizar un aajuste juste por m´ınimos cuadrados de la resistencia respeto a la cantidad de pol po l´ım ımero eross a˜n nadida adida en la mezcla. (d) Deducir, suponiendo que la relaci´oon n proporcionada por las rectas de regresi´oon n es v´aalida, lida, (d.1) El valor estimado para la resis resistenc tencia ia si la can cantidad tidad de pol pol´´ımero agregado es de 11. 11.5mgr/kg. (d.2) Si un determinado constructor desea que la argamasa tenga una resistencia de 16. 16.5kgf/cm2 , calcular a partir de la recta de regresi´oon n correspondiente, cual debe de ser la cantidad de pol pol´´ımero de l´aatex tex que se debe a˜ nadir. nadir.

Problema 14

 

 

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1. Se quie quiere re estu estudiar diar la rel relaci´ aci´ on on entre la proliferaci´oon n de una cierta especie de planta silvestre y la can cantidad tidad de lluvi lluviaa ca ca´´ıda. Par Paraa ello, se define en varias comunid comunidades ades aut´oonomas nomas un coto de prueba de 1 hect´aarea rea y se rea realiz lizaa el rec recuen uento to de ejemp ejemplar lares es en el cot coto. o. En la tabla siguiente siguiente se han recogido los resul resultados tados obtenido obtenidoss jun junto to con la prec precipita ipitaci´ ci´ oon n acuosa registrada ese a˜n no. o. Com Co mun unid idad ad Ma Madr drid id Ex Extr trem emad adur uraa An Anda dalu lucc´ıa Ca Cast stil illa la-L -Le´ e´ oon n Mur urci ciaa Precipitaci´ on (mm) 429.8 628.6 224.7 484.9 320.5 o N de ejemplares: 1250 1702 720 1301 830 (a) Calcular, para esos datos, la media, la varianza as as´´ı como el co coeficiente eficiente de variaci´ on on asociada a cada variable. (b) Calc Calcular ular la cov covarianz arianzaa exis existen tente te entre entre amb ambas as variabl ariables es as´ as´ı como el coeficie coeficiente nte de correlaci´ oon. n. Inte Interpre rpretar tar los resul resultados tados obtenidos obtenidos.. (c) Realiz Realizar ar un ajuste por m´ınimos cuadrados del n´u umero mero de ejemplares respecto a la precipitaci´ oon, n, y de la precipitaci´oon n respecto al n´u umero mero de ejempl ejemplares. ares. Comen Comentar tar la calidad calid ad del a juste juste.. Si las relac relaciones iones proporc proporcionada ionadass p por or las rect rectas as de regre regresi´ si´ oon n son v´alidas ali das,, ¿qu´e n´u umero mero de ejemplares se asociar asociar´´ıa a una precipitaci´ oon n de 500mm?

Problema 15 1. Con el fin de estudiar la relaci´on on existente entre la fuerza de torsi´oon n aplicada a un tipo de ace acero ro (en mil miles es de lib libras ras)) y su alar alargami gamien ento to med medido ido en mil mil´´eesimas simas de pul pulgad gadas, as, se seleccionaron aleatoriamente 6 probetas de prueba de longitud dada y se sometieron a distinta disti ntass cargas cargas.. Los resultado resultadoss que se obtuv obtuvieron ieron vienen refleja reflejados dos en la siguie siguiente nte tabla: Torsi´on aplicada 1 2 3 4 5 6 Alargamiento 14 33 40 63 76 85 (a) A la vis vista ta de los res result ultados ados,, resul resulta ta evi eviden dente te que una ma mayo yorr Fuer uerza za de Tors orsi´ i´ on on produce un mayor alargamiento de la probeta. Desde un punto de vista estad estad´´ıstico, ¿en qu´e se s e traduce t raduce esta informa informaci´ ci´on? on? (b) Realizar un aajuste juste por m´ınimos cuadrados que nos permita predecir el alargamiento de la probeta para distintas Fuerzas de Torsi´oon n aplicables. (c) Deducir, a pa partir rtir del aajuste juste que nos proporciona el criterio de m m´´ınimos correspondiente, alargamiento que debe producirse alsiaplicar una fuerza de torsi´oon n de 3500 libras.el¿Podr ¿Podr´ ´ıamos predecir el alargamiento aplicamos 10000 libras?. Razona tu respuesta.

Problema 16 1. Con el fin de estudiar la congesti´oon n de tr´aafico fico que se produce en una determinada v´ııa, a, se decide tomar una muestra seleccionando 10 d´ııas as lab laborables orables en una determinada hora y se anotan tanto el n´u umero mero de veh veh´´ıculos que se encuentran en la v´ıa en ese momento como la velocidad promedio de los veh veh´´ıculos que se encuentran en ese momento en la v´ıa. Los resultados que se obtuvieron vienen reflejados en la siguiente tabla: Num veh´ıculos

69

56

62

119

84

74

73

90

38

22

Veloci ocidad (km/h) 25.4 32.5 26.8 11.3 21.3 22.1 22.3 18.6 37.2 44.6

 

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(a) Deducir, en funci´oon n de los valores que se presentan, el signo de la covarianza entre estass ca esta caract racter er´´ısti ısticas cas.¿C´ .¿C´oomo mo podemos int interpr erpretar etar esta infor informaci´ maci´ oon? n? (b) Si llamamos X=”N´ u um. m. de veh veh´´ıculos” y Y=”V Y=”Velocidad elocidad promedio”, sabiendo que:



xi  = 687

 

x2i  = 53791

 

yi  = 262. 262.1

 

yi2 = 7705. 7705.7

 

xi yi  = 15700

realizar un ajuste por m´ınimos cuadrados de la ”V ”Velocidad elocidad promedio” en funci´oon n del ”N´u umero mero de veh veh´´ıculos” y comentar la bondad del ajuste. (c) Deducir, a pa partir rtir del aajuste juste que nos proporciona el criterio de m m´´ınimos correspondiente: i. ¿Cu´aall ser´a la velocidad promedio estimada si nos encontramos con 80 veh veh´´ıculos en la avenida? ii. Si des deseam eamos os reg regula ularr la ve veloci locidad dad pro promed medio io modi modifica ficando ndo la sec secuen uencia cia de los sem´aaforos, foros, ¿cu´aantos ntos veh veh´´ıculos deben encontrarse en la avenida para que la velocidad promedio sea de 30 km/h.?

Problema 17 1. Con el fin de analizar el tie tiempo mpo de respuest respuestaa de una base de datos de consulta se tomaron tomaron 15 datos corresp co rrespondientes ondientes a 3 se semanas manas con consecutivas secutivas obteni´eendose ndose lo loss siguie siguientes ntes resultad resultados: os:

Lun Ma Lun Mart rt Mi Mi´ ´ e erc rc Ju Juev ev Vi Vier ern n 7.14 9.21 9.71 15.39 Semana 1   4.32 Semana 2   5. 5.2 8.37 9.34 10 10.46 18.9 Semana 3   6.39 8.97 9.51 10.53 21.25 (a) Calcular la media, mediana, cuartiles y desviaci´oon n t´ıpica correspondiente a estos datos. (b) En funci´oon n de los valores observados, ¿entre que valores podemos decir que se encuentran los datos no aatt´ıpicos? ıpicos?,, ¿exi ¿existen sten datos que pu puedan edan consid considerarse erarse at at´´ıpicos ıpicos?? (c) ¿Qu´e med medida ida de dis dispersi persi´´oon n uti utilizar´ lizar´ııas? as? Razona tu resp respuesta. uesta. (d) Con el fin   de la usuarios relaci´oon n entre el   tiempo deaneamente respuesta deobtenci´ la base de datos y eldeterminar   n´ u umero mero de  se midieron simult´ aneamente a la on on del tiempo de respuesta, el n´u umero mero d dee usua usuarios rios aactivos ctivos en ese ins instante, tante, oobteni´ bteni´eendose ndose un conjunto de 15 datos cuyo valor medio era 30. 30 .73 y cuya varianza era 79. 79 .40 40.. El estudio concluy´o con la siguiente relaci´oon n lineal entre ambas caracter´ıısticas: sticas : Tiempo = Tiempo  = 0.51 · Usuarios − 5.42 i. Dete Determinar rminar el coeficien coeficiente te de deter determinac minaci´ i´oon n asociado al ajuste. ii. Dete Determinar rminar el n´ umero umero de usuarios activos, si el tiempo de respuesta de servidor es de 32. 32.

Problema 18

 

 

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I.1 Sea Sea   x1 , x2 , .... ...... ..,, xn   una realizaci´oon n muestral de una M.A.S. de tama˜n noo n. Jus Justifi tifica ca como queda afectada la media y la varianza muestral en los siguientes casos: (a) A todas las obser observ vacion aciones es se les suma una constan constante te k  k.. (b) Todas las observ observacion aciones es se multipli multiplican can por una constan constante te k  k..

Problema 19 1. Des Despu pu´´eess de la jor jornad nadaa 22 en la lig ligaa 02/0 02/03, 3, los pun puntos tos de la cla clasifi sificac caci´ i´ oon n quedan como sigue: Punt Pu ntos os 44 42 4422 39 36 3366 32 29 28 2288 27 27 2277 27 27 2266 26 22 2222 15 (a) Calc Calcular ular la mediana y los dos cuartil cuartiles es asociados a este conjun conjunto to de datos. (b) Realizar un diagrama de caja-bigotes ca ja-bigotes de los datos. ¿Aparecen datos at at´´ıpicos? (c) ¿C´oomo mo interpreta el hecho de que el primer cuartil est´a muy pr´ooximo ximo a la mediana? ¿Quien va a ganar la liga? 2. Un ingeni ingeniero ero estu estudia dia la relaci relaci´´oon n entre una variable variable Y   Y  y  y otra variable X  variable  X .. Para ello dispone de los valores de  de   Y  Y    para 15 valores de  de   X  X  y  y sabe que la varianza de   X  X    vale 3. 3.4. Dec Decide ide ajustar una recta de regresi´on on y encuentra la ecuaci´oon n siguiente: y  = 2.3x + 5. 5. (a) ¿Cu´aall es el signo de la correlaci´oon n entre entre X   X    e   Y  Y ?? Justifica tu respuesta. (b) ¿Cu´aanto nto vale la covarianza de de   X   y de Y  de  Y ?? (c) Si x¯  = 5.3, ¿cuanto vale y¯? (d) ¿Qu´ e medida debe el ingeniero calcular para cuantificar la bondad del ajuste? Cuando se considera que el ajuste es bueno?

Problema 20 Se mide el tiempo que tienen que esperar los usuarios para que llegue el ascensor B en la planta baja ba ja del ho hospital spital de Marina. Despu´es es de var varios ios d´ıas de recogida de datos, los resultados obtenidos (en segundos) se presentan en la tabla siguiente: Tiem Tiempos pos de es esper peraa No de usuarios [0 [0,, 125] 66 [125,, 250] [125 21 [250,, 375] [250 10 [375,, 500] [375 3

I.1   1. ¿¿De De cu cu´´aantos ntos datos disponemo disponemos? s? Repr Represen esentar tar gr´ aaficamente ficamente la variable mediante un histograma.

 

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2. De los modelos de variables aleatorias vistos en clase, escoge uno que pueda describir aproximadamente la distribuci´oon n de los valores de esta tabla.   Justificar la respuesta. 3. Utili Utilizando zando las marcas de clases (es decir el pun punto to medio de cada inte interv rvalo alo en la tabla de frecuencias) calcula la media y la varianza del conjunto de datos.

Problema 21 I.1   Par Paraa tener una buena image imagen n de la pantall pantallaa del orden ordenador ador es necesario que la tensi tensi´´oon n de la rejilla met´aalica lica situada detr´aass de la pantalla no sea ni demasiado alta ni demasiado baja. Por este motivo, durante la producci´oon n el fabricante controla la tensi´oon n de dicha rejilla. Los siguientes resultados corresponden a estas mediciones sobre 20 rejillas: Mediciones de la tensi´ tension o´n N o de rejillas 257 ≤ X