Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Segunda Parte

EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Sección 1.1 En los problemas 1 a 12, damos una ecuación diferencial junto con el campo o área donde surge. Clasifíquelas como una ecuación diferencial ordinaria (EDO) o una ecuación diferencial parcial (EDP), proporcione el orden e indique las variables independientes y dependientes. Si la ecuación es una ecuación diferencial ordinaria, indique si la ecuación es lineal o no lineal.

1. (vibraciones mecánicas, circuitos eléctricos, sismología). 

Esta ecuación implica sólo las derivadas ordinarias de x con respecto a t, y la más alta derivada tiene el segundo orden. Por lo tanto, es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden con variable independiente t y variable dependiente x. Esta es lineal porque x, dx/dt, y d 2x/dt2 aparecen en la combinación aditiva (incluso con coeficientes constantes) de sus primeras potencias.

3.   (competencia entre dos especies, ecología). 

Es una ecuación diferencial ordinaria ya que no contiene derivadas parciales. Puesto que la derivada de orden más alto es dy / dx, la ecuación es una ecuación de primer orden. Este mismo término también muestra que la variable independiente es x y la variable dependiente es y. Esta ecuación no es lineal a causa de la y en el denominador de la expresión: [ y (2−3 x)]/ [x (1−3 y )]

Sección 1.2 En los problemas 3 a 8, determine si la función dada es una solución de la ecuación diferencial correspondiente.

5.

x=cos 2 t

dx +tx=sen 2t dt

dx d = ( cos 2 t )=(−sin 2t )( 2 ) =−2sin 2 t dt dt dx +tx=−2 sin 2 t+t cos 2t  dt

sin 2t

en cualquier intervalo. Por lo tanto, x (t) no es una solución a la ecuación diferencial dada.

20. Determine los valores de m para los que la función (x) = emx es una solución de la ecuación dada.

a)

d2 y dy + 6 +5 y=0 2 dx dx

Sustituyendo φ (x) = emx en la ecuación dada: (e mx)' ' + 6(e mx)'+ 5(e mx)=0 e mx ( m2+6 m+5)=0 Ya que emx  0 para cualquier x, φ (x) satisface la ecuación dada si y sólo si: (m+5)(m+1) m=−5 y m=−1

d3 y d2 y dy + 3 2 +2 =0 b) 3 dx dx dx

(e mx) ' ' '+ 3(e mx)' ' + 2(e mx )'=0 e mx (m3+ 3 m2+2 m)=0

  m(m2+3 m+2)=0   m(m+ 2)(m+1) m=0 ; m=−5 ; y m=−1

Sección 1.3

5. La ecuación logística para la población de cierta especie (en miles) está dada por dp 2 =3 p−2 p dt (a) Bosqueje el campo de direcciones usando un paquete de cómputo o el método de isóclinas.(no esta el programa)

(b) Si la población inicial es 2000 [es decir, p(0) 2], ¿qué puede decir acerca de la población límite límt→+∞p(t)? (c) Si p(0) 0.5, ¿cuál es el valor de lím t→+∞p(t)? El campo de dirección indica que todas las curvas solución (aparte de p (t) ≡ 0) se acercará a la línea horizontal (asíntota) p = 1,5 cuando t → + ∞. Por lo tanto: Limt → + ∞ p (t) = 1,5. (d) ¿Podría una población de 3000 disminuir hasta 500? No ya que el campo de direcciones muestra que las poblaciones mayores de 1500

disminuirán de manera constante, pero nunca pueden llegar a 1500 o cualquier valor menor, es decir, las curvas solución no pueden cruzar la línea de p = 1,5. De hecho, la función constante p (t) ≡ 1.5 es una solución a la ecuación logística dada. 7. Considere la ecuación diferencial dp = p ( p−1 ) (2− p) dt para la población p (en miles) de cierta especie en el instante t. (a) Bosqueje el campo de direcciones usando un paquete de cómputo o el método de isóclinas. (b) Si la población inicial es 3000 [es decir, p(0) 3], ¿qué puede decir acerca de la población límite límt→ +∞ p(t)? El campo de dirección indica que todas las curvas solución con p (0)> 1 se acercarán a la línea horizontal (asíntota) p = 2 cuando t → + ∞. Por lo tanto limt → + ∞p (t) = 2 cuando p (0) = 3. (c) Si p(0) 1.5, ¿cuál es el valor de límt→ +∞ p(t)? El campo de dirección muestra que una población de entre 1000 y 2000 (es decir 1