Ejercicios de Econometria 2

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS CURSO: ECONOMETRÍA 2

Tarea - Vectores autorregresivos Lunes, 31 de Octubre de 2016 ________________________ ____________________________________ _________________________ ________________ ___ 1. Veri…que eri…que si el siguiente siguiente sistema es estaciona estacionario. rio. 0 .8y2t2 +  e1t y1t  = 0.3y1t1 + 0. 0 .4y2t1 +  e2t y2t  = 0.9y1t1 + 0. 2. Dada la forma reducida reducida de un VAR:

  0.8 0.2     yt  = zt 0.2 0.8

yt1  + 1t zt1 2t

(a) Determine Determine si la secuencia secuencia f  f yt g  es estacionaria. (b) ¿La serie serie yt  causa en el sentido de Granger a la serie zt ?¿Y viceversa? 3. Considere Considere el siguiente siguiente modelo VAR(1 VAR(1): ):

  1

   

y1t 0  = 0.4 0.7 y2t

y1t1  + 1t y2t1 2t

(a) Discuta la estructura dinámica de variables variables y la dependencia contemporánea entre entre ambas variables. (b) Evalúe Evalúe la estaciona estacionarieda riedad d del modelo. modelo. (c) Escriba Escriba cada variable ariable en términos términos de un modelo univaria univariante nte.. 4. Dado el siguiente siguiente sistema dinámico dinámico de primer primer orden:

0 1 0 0.5 @ A = @ 0.1 yt wt zt

0

0 0 0.1 0.3 0.2 0.3

10 A@

yt1 wt1 zt1

1 0 1 A+@ A e1t e2t e3t

(a) Encuentr Encuentree la solución al sistema dinámico. dinámico. (b) Determine Determine si la secuencia secuencia Y t

2 3 5 es estacionaria.  = 4 yt wt zt

5. Considere el siguiente VAR VAR bivariado: bivariado:

 y2 con  E (et et ) =  0



yt  =   yy yt1 +  ym mt1 +  eyt

(1)

mt  =   my yt1 +  mmmt1 +  emt

(2)



  :  2m

1

a. Encontrar una matriz B, la cual es triangular inferior y cumple que Bu t = et ;   luego E (et e0t ) =  D  donde D  es una matriz diagonal. b. Teniendo en cuenta la matriz B, calcular la representación estructural de este VAR. c. Encontrar la representación MA(VMA) para la forma reducidad del VAR. d. ¿Bajo qué condiciones las funciones impulso-respuesta son idénticas en la forma reducida y en la forma estructural del VAR? 6. Sean los siguientes procesos vectoriales: (i) yt

2 0.5 0 0 3  =  + 4 0.1 0.1 0.3 5 0 0.2 0.3  0.5 0.1   0

(ii) yt  =  v  +

 v

yt1 +

0.4 0.5

yt1 +  ut

0 0.25 0



yt2 +  ut

(3)

(4)

a. Halle las raíces características de ambos procesos. b. ¿Son los procesos estacionarios? c. Exprese los modelos VAR en su forma VMA. d. Halle los coe…cientes de las matrices VMA  hasta el orden 3. e. Halle los valores de la función impulso – respuesta. ¿Cómo se podrían utilizar estos valores para hacer predicciones? 7. Dado el siguiente sistema: y1t = 0.5y1t1 +  u1t y2t = 1.5 + 0.1y1t1 + 0.1y2t1 + 0.25y3t1 +  u2t y3t  = 1 + 0.2y2t1 + 0.3y3t1 +  u3t

Asimismo, se conoce que ut

2 3 5  = 4 u1t u2t u3t

; ut    iid (0; ).

(a) Exprese el sistema de ecuaciones como un VAR de forma reducida. (b) Evalue la estacionariedad del sistema. (c) Halle la expresión de medidas móviles de la forma reducida (VMA) hasta 3 rezagos. (d) Halle los valores de la función impulso respuesta hasta 2 periodos adelante. 8. Considere el siguiente modelo de vectores autorregresivos:

  0.8 0.2    yt  = zt 0.4 0.1

yt1 e + 1t zt1 e2t

(5)

a. Calcula la ecuación univariante en diferencias de la serie fyt g que correasponda al modelo en ecuación (5). b. Determina si el proceso es estacionario.

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c. Si un proceso es estable puede tener la siguiente representación: 1

X =

xt

Ai1 et ,

i=0

donde



yt , xt = zt

A1  =

0.8 0.2 0.4 0.1

 ,

et  =

 

e1t . e2t

Calcular A21 y A31  para determinar si Ai1  se aproxima a la matriz nula o no. 9. Considere el sigueinte modelo VAR(1):

    2  0.5 0.2     yt  = mt

1

+

0

0.4

yt1 e + 1t mt1 e2t

donde yt  representa la tasa de crecimiento del PBI real y mt  representa la tasa de crecimiento de la cantidad de dinero. Asimismo, se conoce que la matriz de varianzas y covarianzas de los errores es la siguiente: e  =  V ar (et ) =

 0.25 0.1

0.4



(a) Veri…que la estacionariedad del sistema. (b) Halle la forma VMA del sistema (hasta 4 rezagos). (c) Calcule y gra…que la función de impulso-respuesta de la tasa de crecimiento del PBI real ante un choque monetario. (d) Calcule y gra…que la función de impulso-respuesta del PBI real en niveles ante un choque monetario. (e) Encuentre la descomposición de varianza de las variables para los tres primeros adelantos. 10. Dada la forma reducida de un VAR:

  0.8 0.2    yt  = 0.2 0.8 zt

yt1 e + 1t zt1 e2t

(6)

a. Gra…que la forma de la función impulso respuesta de yt  ante un shock unitario en e1t y un shock unitario en e2t . b. Suponga que  e1t  =   yt +0:5zt  y que  e 2t  =   zt :  Gra…que la forma de un impulso respuesta de yt  ante un shock unitario en   yt :  Repita el análisis para un shock unitario en zt : c. Suponga que  e 1t  =   yt  y que  e 2t  = 0:5yt + zt : Gra…que la forma de un impulso respuesta de yt  ante un shock unitario en   yt :  Repita el análisis para un shock unitario en zt : d. Utilice las respuestas de las preguntas (d) y (e) para explicar por qué el ordenamiento es importante en una descomposición de Cholesky. 11. Tomando en cuenta la pregunta 10, considere e0t = (e1t ; e2t )   i:i:d:(0; ), como el vector de residuos obtenidos a partir de un VAR estimado en forma reducida. El vector de residuos estructurales está dado por 0t = (1t ; 2t )    i:i:d:(0; ), diagonal. Finalmente, la matriz





b b de efectos contemporáneos está dada por B = 11 12 con b11 = b22 = 1:  Considere la b21 b22 siguiente información: var (e1t ) = 0.75; var(e2t ) = 0.5; cov(e1t ; e2t ) = 0.25:

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a. Veri…que si es posible identi…car el VAR. b. Use la descomposición de Cholesky con b12 = 0   y halle los valores de b21 ; var(1t ); y var (2t ): c. Use la descomposición de Cholesky con b21 = 0   y halle los valores de b12 ; var(1t ); y var (2t ): d. Asuma que los primeros tres valores estimados de  e 1t  son 1,0,-1. Asimismo, los primeros tres valores estimados de e2t  son -1, 0, 1. Halle los tres primeros valores de 1t ; 2t ; y la var (1t ) y var (2t ) usando la descomposición en (b). e. Asuma que los primeros tres valores estimados de  e 1t  son 1,0,-1. Asimismo, los primeros tres valores estimados de e2t  son -1, 0, 1. Halle los tres primeros valores de 1t ; 2t ; y la var (1t ) y var (2t ) usando la descomposición en (c).

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