ejercicios de dinamica

UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERIA

ENERGIA CINETICA DE UNA PARTICULA PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGIA

DINAMICA

Julio César Serrano Tornell S13001284

Mariano Azzur Hernández Contreras

13.6 En una operación para mezclar minerales, un perol lleno de materiales está suspendido de una grúa que se traslada a lo largo de un puente estacionario. La grúa se mueve a una rapidez de 10 pies/s cuando se detiene de súbito. Determine la máxima distancia horizontal a través de la cual oscilara el perol. 1 𝑇1 = 𝑚𝑣 2 , 2

𝑇2 = 0

𝑇1 + 𝑈1→2 = 𝑇2

𝑈1→2 = −𝑊ℎ = −𝑚𝑔ℎ 1 𝑚𝑣 2 − 𝑚𝑔ℎ = 0 2

𝑓𝑡 (10 𝑠 )2 𝑣2 ℎ= = = 1.5528 𝑓𝑡 2𝑔 (2)(32.2 𝑓𝑡) 𝑠2

𝑑 = √𝐿2 − 𝑦 2 = √𝐿2 − (𝐿 − ℎ)2 = √302 − (30 − 1.5528)2 = 9.53 𝑓𝑡

13.7 Determine la máxima rapidez teórica que puede alcanzar un automóvil, en una distancia de 110 m, si éste parte desde el reposo y se supone que no sufre deslizamiento. El coeficiente de fricción estática entre las llantas y el pavimento es de 0.75 y 60% del peso del automóvil está distribuido en las llantas delanteras, mientras que 40% lo está en los neumáticos traseros. Suponga que el automóvil tiene a) tracción delantera, b) tracción trasera a) Llanta delantera W=mg

µ𝑆 = 0.75

N=0.60 W = 0.60 mg

Fuerza de fricción máxima sin deslizamiento F=µ𝑆 𝑁 = (0.75)(0.60 𝑊) = 0.45 𝑚𝑔 1 2

𝑇2 = 𝑚𝑣2 2

𝑈1→2 = 𝐹𝑑 = 0.45 𝑚𝑔𝑑

𝑇1 = 0,

Principio de trabajo y energía

𝑇1 + 𝑈1→2 = 𝑇2

𝑣22 = (2)(0.45𝑔𝑑) = (2)(0.45) (9.81 𝑣2 = 31.164

𝑚 𝑠

1

0 + 0.45 𝑚𝑔𝑑 = 2 𝑚𝑣22

𝑚 𝑚2 (110𝑚) ) = 971.19 𝑠2 𝑠2

𝑣2 = 112.2

𝑘𝑚 ℎ

b) Llanta trasera: µ𝑠 = 0.75

N= 0.4 W= 0.40 mg Fuerza de fricción máxima sin deslizamiento:

𝐹 = 𝜇𝑠 𝑁 = (0.75)(0.40 𝑊) = 0.30𝑚𝑔 𝑈1→2 = 𝐹𝑑 = 0.30𝑚𝑔𝑑

𝑇1 = 0,

1

𝑇2 = 2 𝑚𝑣22

Principio de trabajo y energía: 𝑇1 + 𝑈1→2 = 𝑇2 1 0 + 0.30𝑚𝑔𝑑 = 𝑚𝑣22 2 2 𝑣22 = (2)(0.30)𝑔𝑑 = (2)(0.30) (9.81 𝑚⁄ 2 ) (110 𝑚) = 647.46 𝑚 ⁄ 2 𝑠 𝑠

𝑣2 = 25.445 𝑚⁄𝑠

𝑣2 = 91.6 𝑘𝑚⁄ℎ

13.26 Un bloque de 3 kg descansa sobre la parte superior de un bloque de 2kg soportado pero no unido a un resorte con una constante de 40 N/m. El bloque superior se retira de manera repentina. Determine a) la rapidez máxima alcanzada por el bloque de 2 kg, b) la altura máxima alcanzada por el bloque de 2 kg. 𝑚𝐴 = 2 𝑘𝑔,

𝑚𝐵 = 3 𝑘𝑔

a) Posición 1: justo cuando el bloque B se ha movido

𝐹𝑠 = −(𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )𝑔 = −𝑘𝑥 ↑ 𝑥1 = −

(𝑚𝐴 +𝑚𝐵)𝑔 𝑘

=−

(5𝑘𝑔)(9.81 𝑚⁄ 2 ) 𝑠 40 𝑁⁄𝑚

𝑥

(𝑈1→2 )𝑒 = ∫𝑥 2 𝑘𝑥 𝑑𝑥

Trabajo de la fuerza ejercido por el salto: =−

=

= −1.22625 1

1 1 1 𝑥 𝑘𝑥 2 | 𝑥21 = 𝑘𝑥12 − 𝑘𝑥22 2 2 2

1 1 (40)(−1.22625)2 − (40)𝑥 2 = 30.074 − 20𝑥 2 2 2

Trabajo de la fuerza gravitacional:

(𝑈1→2 )𝑔 = −𝑚𝐴 𝑔(𝑥2 − 𝑥1 )

= −(2)(9.81)(𝑥2 + 1.22625) = −19.62𝑥2 − 24.059 Trabajo total:

𝑈1→2 = −20𝑥 2 + 19.62𝑥2 + 6.015

Energías cinéticas:

𝑇1 = 0,

1

1

2

2

𝑇2 = 𝑚𝐴 𝑣22 = (2)𝑣 2 = 𝑣22 𝑇1 + 𝑈1→2 = 𝑇2

Principio de trabajo y energía:

0 + 20𝑥22 − 19.62𝑥2 + 6.015 = 𝑣22 Velocidad cuadrada:

𝑣22 = −20𝑥22 − 19.62𝑥2 + 6.015… (1)

Velocidad máxima,

𝑑𝑣2 𝑑𝑥2

=0

Diferenciando ecuación (1), y ajustando la ecuación a cero 2𝑣2

𝑑𝑣2 𝑑𝑥

𝑥2 = −

= −40𝑥2 = −19.62 = 0 19.62 40

= −0.4905 𝑚

Sustituyendo en la ecuación (1), 2

𝑣22 = −(20)(−0.4905)2 − (19.62)(−0.4905) + 6.015 = 10.827 𝑚 ⁄ 2 𝑠 Velocidad máxima: 𝑣2 = 3.29 𝑚⁄𝑠 b) Trabajo ejercido por el salto

0 1 1 (𝑈1→3 )𝑒 = − ∫ 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥12 = (40)(1.22625)2 = 30.074 J 2 2 𝑥1

Trabajo de la fuerza gravitacional: Trabajo total: En la altura máxima:

(𝑈1→3 )𝑔 = −𝑚𝐴 𝑔ℎ = −(2)(9.81)ℎ = −19.62 ℎ

𝑈1→3 = 30.074 − 19.62ℎ 𝑣3 = 0,

𝑇3 = 0

Principio de trabajo y energía: 𝑇1 + 𝑈1→3 = 𝑇3 0 + 30.074 − 19.62ℎ = 0 Altura máxima:

ℎ = 1.533 𝑚

13.28 Un collarín de 8 lb se desliza sobre una varilla horizontal entre los resortes A y B. Si se empuja el collarín hacia la derecha hasta que el resorte B si se comprime 2 pulg y se suelta, determine la distancia que recorre el collarín, suponiendo a) ninguna fricción entre el collarín y la varilla, b) un coeficiente de fricción µ𝑘 = 0.35. 𝑘𝐵 = 144 𝑙𝑏⁄𝑓𝑡

a)

𝑘𝐴 = 216 𝑙𝑏⁄𝑓𝑡

𝑇𝐴 = 0

𝑇𝐵 = 0 2/12

𝑈𝐴−𝐵 = ∫0 𝑈𝐴−𝐵 = (

𝑦

𝑘𝐵 𝑥𝑑𝑥 − ∫0 𝑘𝐴 𝑥𝑑𝑥

144 𝑙𝑏⁄𝑓𝑡 2

2

2

) (12 𝑓𝑡) − (

𝑇𝐴 + 𝑈𝐴−𝐵 = 𝑇𝐵 :

216 𝑙𝑏⁄𝑓𝑡 2

) (𝑦)2

0 + 2 − 108𝑦 2 = 0

𝑦 = 0.1361𝑓𝑡 = 1.633 in. 𝑑 = 2 + 16 − (6 − 1.633)

Distancia total

𝑑 = 13.63 in

b)

N= W= 6 lb 𝐹𝑓 = (0.35)(8𝑙𝑏) = 2.80 𝑙𝑏 2/12

𝑈𝐴−𝐷 = ∫0

𝑇𝐴 = 𝑇𝐷 = 0

144 × 𝑑𝑥 − 𝐹𝑓 (𝑦) = 2 − 2.80 𝑦

𝑇𝐴 + 𝑈𝐴−𝐷 = 𝑇𝐷 0 + 2 − 2.80𝑦 = 0 𝑦 = 0.714 𝑓𝑡 = 8.57 in El collarín debe viajar 16-6+2=12 in. Antes de activar el resorte B. desde y=8.57 in., se detiene antes de activar el resorte B. Distancia total:

𝑑 = 8.57 in

13.29 Un bloque de 6 lb está unido a un cable y a un resorte. La constante del resorte es k=8 lb/pulg y la tensión en el cable es de 3 lb. Si se corta el cable, determine (a) el desplazamiento máximo del bloque, (b) la rapidez máxima del bloque.

𝑘 = 8 𝑙𝑏⁄𝑖𝑛 = 96 𝑙𝑏⁄𝑓𝑡 ∑ 𝐹𝑦 = 0: 𝑣1 = 0

(𝐹𝑆 )1 = 6 − 3 𝑙𝑏 𝐶 1

6𝑙𝑏

𝑇2 = 2 (32.2) 𝑣22 = 0.09317 𝑣22

𝑇1 = 0:

Para el peso

𝑈1−2 = (6 𝑙𝑏)𝑥 = 6𝑥

Para el resorte

𝑈1−2 = − ∫0 (3 + 96𝑥)𝑑𝑥 = −3𝑥 − 48𝑥 2

𝑥

0 + 6𝑥 − 3𝑥 − 48𝑥 2 = 0.09317 𝑣22

𝑇1 + 𝑈1−2 = 𝑇2 :

3𝑥 − 48𝑥 2 = 0.09317 𝑣22 ... (1) (a)

3𝑥 − 48𝑥 2 = 0

Para 𝑥𝑚 , 𝑣2 = 0: 𝑥 = 0,

𝑥𝑚 =

3 48

=

1 𝑓𝑡 16

𝑥𝑚 = 0.75 in

Para 𝑣𝑚 vemos máximo de 𝑈1−2 = 3𝑥 − 48𝑥 2 𝑑𝑈1−2 𝑑𝑥

Ecuación (1):

1

= 3 − 96𝑥 = 0 1

3

1

𝑥 = 96 𝑓𝑡 = 32 𝑓𝑡

2

2 3 (32 𝑓𝑡) − 48 (32 𝑓𝑡) = 0.09317 𝑣𝑚 2 𝑣𝑚 = 0.5031

𝑣𝑚 = 0.7093

𝑓𝑡⁄ 𝑠

𝑣𝑚 = 8.51 𝑖𝑛⁄𝑠 ↕

13.30 Un bloque de 10 kg se une a un resorte A y se conecta a un resorte B mediante una cuerda y una polea. El bloque se sostiene en la posición que se muestra con ambos resortes sin estirar cuando el soporte se remueve y el bloque se suelta sin velocidad inicial. Si se sabe que la constante de cada resorte es 2 kN/m, determine a) la velocidad del bloque después de que éste ha descendido 50 mm y b) la velocidad máxima alcanzada por el bloque. a)

W=10(9.81)= 98.1 N 1 2

𝑥𝐵 = 𝑥𝐴 1

1

𝑈1→2 = 𝑊(𝑥𝐴 ) − 2 𝑘𝐴 (𝑥𝐴 )2 − 2 𝑘𝐵 (𝑥𝐵 )2 (Gravedad) (Resorte A) (Resorte B) 1

1

𝑈1→2 = (98.1 𝑁)(0.05 𝑚) − 2 (2000 𝑁⁄𝑚)(0.05𝑚)2 − 2 (2000 𝑁⁄𝑚)(0.025 𝑚)2 1

1

𝑈1→2 = 2 𝑚𝑣 2 = 2 (10 𝑘𝑔)𝑣 2 1

4.905 − 2.5 − 0.625 = 2 (10)𝑣 2 𝑣 = 0.597 𝑚⁄𝑠 b)

1

𝑥 2

1

1

𝑈1→2 = 𝑊 (𝑥) − 2 𝑘𝐴 (𝑥)2 − 2 𝑘𝐵 (2) = 2 (𝑚)𝑣 2 𝑑 1 [ (𝑚)𝑣 2 ] 𝑑𝑥 2

= 0 = 𝑊 − 𝑘𝐴 (𝑥) −

0 = 98.1 − 2000(𝑥) −

2000 (2𝑥) 8

𝑘𝐵 (2𝑥) 8

= 98.1 − (2000 + 250)𝑥

𝑥 = 0.0436 𝑚(42.6 𝑚𝑚) 1

Para 𝑥 = 0.0436, 𝑈 = 4.2772 − 1.9010 − 0.4752 = 2 (10)𝑣 2 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 0.6166 𝑚⁄𝑠

𝑣𝑚𝑎𝑥 = 0.617 𝑚⁄𝑠

13.31 Un collarín A de 5kgs está en reposo en la parte superior de, pero no unido a, un resorte con una rigidez k1= 400 N/m cuando una fuerza constante de 150 N se aplica al cable. Puesto que A tiene una rapidez de 1m/s cuando el resorte superior se comprime 75 ml, determine la rigidez del resorte K2. Ignore la fricción y la masa de la polea. Usando el método de trabajo y energía aplicado al collarín A 𝑇1 + 𝑈1→2 = 𝑇2 𝑇1 = 0

Cuando el collar esta inicialmente en reposo

En la posición 2 cuando el resorte está comprimido 75 mm y 𝑣2 = 1 𝑚⁄𝑠 la energía cinética es: 1

1

𝑇2 = 2 𝑚𝑣22 = 2 (5 𝑘𝑔)(1 𝑚⁄𝑠)2 = 2.5 J (𝑈1→2 )𝑔 = −𝑚𝑔ℎ Donde m= 5 kg, g=9.8 𝑚⁄ 2 y h= 450 mm=0.45 m 𝑠 Entonces

(𝑈1→2 )𝑔 = −(5)(9.81)(0.45) = −22.0725 J 𝐹1 = 𝑚𝑔 = −(5𝑘𝑔) (9.81 𝑚⁄ 2 ) = −49.05 𝑁 𝑠 𝐹 = 𝐹1 − 𝑘1 𝑥2 𝐹

49.05 𝑁

𝑥𝑓 = 𝑘1 = 400 𝑁⁄ = 0.122625 𝑚=122.625 mm 1

𝑚

Trabajo de la fuerza a lo largo del resorte: 𝑥

(𝑈1→2 )1 = ∫0 𝑓(𝐹1 − 𝑘1 𝑥) 𝑑𝑥 1

1

1

= 𝐹1 𝑥𝑓 − 2 𝑘𝑥𝑓2 = 𝑘1 𝑥𝑓2 − 2 𝑘1 𝑥𝑓2 = 2 𝑘1 𝑥𝑓2 1 2

= (400 𝑁⁄𝑚)(0.122625)2 = 3.0074 J

1

1

(𝑈1→2 ) = − 𝑘2 𝑦 2 = − 𝑘2 (0.075)2 = −0.0028125 𝑘2 2 2

(𝑙𝐴𝐵 )1 = √(450)2 + (400)2 = 602.08 𝑚𝑚 (𝑙𝐴𝐵 )2 = 400 𝑚𝑚

𝑑 = (𝑙𝐴𝐵 )1 − (𝑙𝐴𝐵 )2 ) = 202.08 𝑚𝑚 = 0.20208 𝑚

(𝑈1→2 )𝑃 = 𝑃𝑑 = (150 𝑁)(0.20208 𝑚) = 30.312 J 𝑈1→2 = −22.0725 + 3.0074 − 0.0028125 𝑘2 + 30.312 = 11.2477 − 0.0028 𝑘2 Principio de trabajo y energía 𝑇1 + 𝑈1→2 = 𝑇2 0 + 11.247 − 0.0028125 𝑘2 = 2.5

𝑘2 = 3110 𝑁⁄𝑚

13.68 Un resorte se usa para detener un paquete de 50 kg, el cual se mueve hacia abajo sobre una pendiente de 20°. El resorte tiene una constante k=30 kN/m y se sostiene mediante cables, de manera que en un inicio esta comprimido 50 mm. Si se sabe que la velocidad del paquete es de 2 m/s cuando se encuentra a 8 m del resorte y se desprecia la fricción. Posición 1:

1

1

𝑇1 = 2 𝑚𝑣12 = 2 (50)(2)2 = 100 J 𝑣1𝑔=𝑚𝑔ℎ1 =(50)(9.81)(8𝑠𝑒𝑛20°)=1342.09 J 1

1

𝑣1𝑒 = 2 𝑘𝑒12 = 2 (30 × 103 )(0.050)2 = 37.5 J Posición 2:

1

𝑇2 = 2 𝑚𝑣 2 = 0

donde 𝑣2 = 0

𝑣2𝑔 = 𝑚𝑔ℎ2 = (50)(9.81)(−𝑥 𝑠𝑒𝑛 20°) = −167.76 𝑥 1 2

1 2

𝑣2𝑒 = 𝑘𝑒22 = (30 × 103 )(0.05 + 𝑥)2 = 37.5 + 1500𝑥 + 15000 𝑥 2 Principio de conservación de energía: 100 + 1342.09 + 37.5 = −167.61𝑥 + 37.5 + 1500𝑥 + 15000𝑥 2 15000𝑥 2 + 1332.24𝑥 − 1442.09 = 0 Resolviendo x 𝑥 = 0.26882 𝑥 = 0.269 𝑚

y

-0.35764