Ejercicios de Diferenciales

3. Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 1mm por lado.

S = x

2

dS = 2x dx

d(S)= 2·2· 0.001 = 0.004 m2

Un cuadrado tiene 2 m de lado, determínese en cuánto aumenta el áre a del cuadrado cuando su lado lo hace en un m ilímetro. Calcúlese e l error que se comete al usar diferenciales en lugar de incrementos.

Hallar la variación de volumen que experiment a un cubo, de arista 2 0 cm, cuando ésta aumenta 0.2 cm su longitud.

Calcula el error absoluto y relativ o cometido en e l cálculo del volumen de una esfera de 12.51 mm de diámetro, medido con un instrumento que aprecia milésimas de ce ntímetro.

Si

el

lugar

de

se

halla

que

aproximaciones del error absoluto y relativo?

.

¿Cuáles

son

las

Ejemplo 1: Encuentre un valor aproximado para,

utilizando la recta tangente.

Solución: Encontremos pues la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ecuación de la recta que pasa por (16 , 4) y tiene pendiente f ' (16).

f '(x) =

en (16 , 4), es decir la

y por lo tanto f '(16) = 0.125

Así pues la ecuación buscada es y = R T(x) = 4 + 0.125 (x - 16)

Como el punto 16.3 está "muy próximo" a 16, en vez de evaluar f (16.3), evaluamos R T(16.3), obteniendo:

Así pues Nótese que si comparamos con el valor que nos da la calculadora, = 4.0373 , nuestra aproximación es buena hasta dos diezmilésimas, lo cual puede resultar suficiente para cientos fines prácticos. Cuando estudiemos El Teorema de Taylor, seremos capaces de obtener la aproximación con el grado de precisión deseado.

Observación: En la ecuación de la recta tangente en el punto (xo , f(xo)) RT(x) = f (xo ) + f ' (xo ) (x-xo ) Si tomamos x = xo + h, tendremos la expresión: RT(x) = f (xo ) + f ' (xo ) h Y si sustituimos f '(xo)h = df, obtendremos: RT(x) = f (xo ) + df. Como sabemos que para valores de x cercanos a xo, f(x)  RT(x), obtenemos:

f(x)  f (xo ) + df Este resultado lo podemos expresar de la siguiente manera: Podemos estimar el valor de f en x, cercano a xo, agregándole a f (xo) el diferencial correspondiente. Observación. Nótese que es necesario conocer el valor de f y de su derivada en el punto x0. En el ejemplo anterior tendríamos los siguiente datos: a) b) xo = 16 c) x = 16.3 d) dx = 0.3

Con estos datos, df = (

|x=16) (0.3) = 0.0375, y por lo tanto: + 0.0375 = 4.0375.

Gráficamente lo que estamos haciendo es evaluar a 16.3 en la recta tangente, como se aprecia en la gráfica anterior que aquí presentamos amplificada.

Ejemplo 2. Utilizando diferenciales, encuentre un valor aproximado para Solución: Resumiendo lo anteriormente expuesto: 

+ df

donde: a) b) xo = 32 c) x = 32.8 d) dx =0.8

f ' (x) =

, por lo que f ' (32) = 1/80 = 0.0125

y por lo tanto df = (0.0125)(0.8) = 0.01. Así pues

 2.01.

Ejemplo 3. Utilizando diferenciales, encuentre un valor aproximado para sen31.5º Solución: Sen31.5º  sen30º + df Donde a) f(x) = senx

b) xo =  /6

medida en radianes de 31º

c) x =  /6 + 1.5( /180)

medida en radianes de 31.5º

d) dx = 1.5( /180)

medida en radianes de 1.5º

f '(x) = cosx, por lo que f '( /6) = cos( /6) = 0.86660254 y por lo tanto df = (0.8660254)(1.5)( /180) = (0.8660254)(0.026179) = 0.02267 Así pues sen(31.5º)  0.5 + 0.02267 = 0.52267 Sen(31.5º)  0.52267

Ejemplo 1. Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm de longitud, su lado aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó aproximadamente su área?. Solución: Con el fin de ilustrar una situación que se presentará en todos los demás problemas y por la simplicidad de éste en particular, sólo en este caso calcularemos la diferencia de áreas  A y la compararemos con dA. Nótese que originalmente teníamos una placa de 15 x 15, después de calentarla tenemos la placa de 15.04 x 15.04, como se muestra en la figura.

En este caso la función es A(L) = L2 y por lo tanto  A en L = 15 y h = 0.04 es: A(15.004) - A(15) = 226.2016 - 225 = 1.2016 Si ahora calculamos el diferencial de área para A(L) = L2 en L = 15 y dL = 0.04, obtenemos: dA = A' (L)dL = (2L)dL =(2L|L=15)(0.004) = (30)(0.004) = 1.2 En consecuencia, cuando el lado se incrementa en 0.4 cm, el área aumenta aproximadamente 1.2 cm2. (El valor exacto del incremento es 1.2016)

Generalmente este tipo de variaciones se miden en porcentajes, es decir, como 0.04 es el 0.2666% de 15 y 1.2 es el 0.5333% de 225 = (15)2, decimos que si el lado de la placa se incrementa en un 0.266%, el área se incrementará aproximadamente en un 0.5333%. Observación: Si el problema es de una placa metálica del mismo tamaño que se enfría 0.04 cm, entonces h = -0.04 y el diferencial resultaría el mismo sólo que con signo contrario, es decir dA = -1.2. Como estamos usando la recta tangente para estimar la diferencia, la linealidad hace que el cateto opuesto en ambos triángulos de la figura, sean iguales Ejemplo 2. Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm de longitud, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área?.

Solución: El 0.03% de 20 es

, por lo que en este caso:

A(L) = L2 , Lo = 20 y dL = -0.006  A  dA = 2LdL = 2(20)(-0.006) = (40)(-0.006) = -0.24 Podemos calcular que 0.24 representa el 0.06% de (20)2, por lo que, cuando el lado disminuye un 0.03%, el área disminuye aproximadamente un 0.06%, es decir se duplica porcentualmente. Este último resultado lo podemos obtener directamente de la siguiente manera:

 A  dA = 2LdL = 2(20)[

]=

que representa el 0.06% del área original (20)2. En general se da esta situación, como se aprecia en el siguiente ejemplo que se deja como ejercicio para el estudiante. Ejemplo 3. Pruebe que si al calentar (enfriar) una placa cuadrada metálica de lado L, su lado se incrementa (disminuye) un p%, entonces el área se incrementa (disminuye) un 2p%. Ejemplo 4. La pared lateral de un depósito cilíndrico de radio 50 cm y altura 1 m, debe revestirse con una capa de concreto de 3 cm de espesor. ¿Cuál es aproximadamente la cantidad de concreto que se requiere? Solución: La cantidad de concreto requerida es la diferencia  V entre el volumen del cilindro exterior y el cilindro interior.

Estimaremos  V por medio de dV, donde V(r) = 100 r2, r = 50, dr =3 dV = (200 r|r=50)(3) =30,000 = 94247.779 cm3

1 C alcu lar el incr e ment o de l área d el c uadr ado de 2 m d e la do, c uan d o au ment a mos 1 mm por l ado. R= 0. 004 m 2 2 Hallar l a v ariación d e v olu men que ex per i ment a u n cubo, d e arist a 20 c m, cuand o ést a au ment a 0. 2 c m su long it ud. R= 240 cm 3 3 Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm de longitud, su lado aumenta 0.04 cm. R= 1.2 4 Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm de longitud, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área? R= -0.24 5 La pared lateral de un depósito cilíndrico de radio 50 cm y altura 1 m, debe revestirse con una capa de concreto de 3 cm de espesor. ¿Cuál es aproximadamente la cantidad de concreto que se requiere? R= 94247.779 cm3 6 Utilizando diferenciales encuentre un valor aproximado de

R= 4.0375

7 Utilizando diferenciales, encuentre un valor aproximado de

R= 2.01

8 Utilizando diferenciales, encuentre un valor aproximado de sen 31.5º

R= 0.52267

9 Encuentra el peso aproximado de un tubo de cobre de 8 m de largo y 2 cm de diámetro interior y 2 mm de espesor. El peso específico del cobre es de 9000 kp/m2 R= 9