Descripción: Ejercicios de campo electrico...
FÍSICA II. ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA. CAPÍTULO 3: EL CAMPO ELÉCTRICO.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Junio de 2015.
Capítulo 3.
El campo eléctrico.
PRESENTACIÓN. La presente es una Guía de Ejercicios de Física II para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de Petróleo, de Sistemas y Química de reconocidas Universidades en Venezuela. El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos. Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Física II en los núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente en la literatura. Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor. Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Física, así como las sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3, correo electrónico:
[email protected] ó
[email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
ACERCA DEL AUTOR. Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas, Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística, Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.
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El campo eléctrico.
3.1.- CARGAS PUNTUALES. Campo eléctrico debido a una carga eléctrica. 1. Determine el campo eléctrico producido por una carga puntual de 4.5 C en un punto P ubicado a 14 cm de la misma. Respuesta: E 2.0663 106 N/C 2. ¿A qué distancia de una carga puntual q 50 C , el campo eléctrico posee una intensidad de 200 N/C? Respuesta: r 47.43 m 3. [RH] ¿Qué magnitud tiene una carga puntual elegida de modo que el campo eléctrico a 75.0 cm de distancia posea la magnitud 2.30 N/C? Respuesta: 144 pC 4. [TM] Una carga de 4.0 C está en el origen. ¿Cuál es el módulo y sentido del campo eléctrico sobre el eje x en a) x 6 m y b) x 10 m ? c) Hacer un esquema de la función
E x respecto a x, tanto para valores positivos como negativos de x. (Recuérdese que E x es negativo cuando E señala en el sentido negativo de las x.) Respuesta: a) E 998.61 N/C ; b) E 359.50 N/C Relación entre la fuerza eléctrica y el campo eléctrico. 5. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza eléctrica sobre un electrón en un campo eléctrico uniforme de magnitud 1920 N/C que apunta hacia el este? Respuesta: F 3.08 10 16 N i 6. [RH] El aire húmedo se divide (sus moléculas se ionizan) en un campo eléctrico de
3.0 106 N/C . ¿Qué magnitud tiene la fuerza eléctrica en a) un electrón y b) en un ión (con un solo electrón faltante) en este campo? Respuesta: E 4.8065 N/C 7. Una carga q 50 C se encuentra en una región que posee un campo eléctrico uniforme E 2.5 N/C i 4 N/C j 10 N/C k . Determine la fuerza que dicho campo ejerce sobre la carga. Respuesta: F (1.25 104 i 2 104 j 5 104 k ) N Física II. Ing. Willians Medina.
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El campo eléctrico.
8. La fuerza eléctrica sobre una carga de 4.20 C es F (7.22 104 N) j . ¿Cuál es el campo eléctrico en la posición de la carga? Respuesta: E 171.90 N/C j 9. Determine la intensidad de un campo eléctrico uniforme para que produzca una fuerza
F 1.2 104 N i 4.5 104 N j , sobre una carga q 8 C . Respuesta: E 1.5 109 N/C i 5.625 109 N/C j 10. [TM] Cuando se coloca una carga testigo q0 2 C en el origen, experimenta la acción de una fuerza de 8.010–4 N en la dirección positiva del eje de las y . a) ¿Cuál es el campo eléctrico en el origen? b) ¿Cuál sería la fuerza que se ejercería sobre una carga de 4 C situada en el origen? c) Si esta fuerza fuera debida a una carga situada en el eje y en
y 3 cm , ¿cuál sería el valor de dicha carga? Respuesta: a) E (400 N/C) j ; b) F (1.6 10 3 N) j 11. [RH] Dos grandes placas conductoras paralelas están separadas por una distancia de 12.0 cm y transportan cargas iguales pero opuestas en sus superficies frontales. Un electrón colocado en la mitad entre ellas experimenta una fuerza de 3.90 1015 N . Calcule el campo eléctrico en la posición del electrón. Respuesta: E1 2.4341104 N/C 12. [RH] Una distancia de 11.7 cm separa dos cargas puntuales de magnitud q1 2.16 C y q2 85.3 nC . a) Obtenga la magnitud del campo eléctrico que una produce en el sitio de la otra. b) Obtenga la magnitud de la fuerza en ellas. Respuesta: a) E1 1.4182 10 6 N/C , E2 5.6003 10 4 N/C ; b) F 0.1210 N Campo eléctrico debido a múltiples cargas eléctricas. 13. [RH] Las cargas +q y –2q se encuentran fijas y separadas a una distancia d como se ve en la figura. Encuentre E en los puntos A, B y C.
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d
d
q
A
B
d
2q
C
d/2 Respuesta: E A
kq 12 k q 3k q i , EB i , EB i 2 2 d d 2d 2
14. Dos cargas puntuales Q1 2 C y Q2 5 C se encuentran separadas por una distancia de 5 cm. Si Q1 se encuentra a la izquierda de Q2 , diga en qué lugar (a la derecha, a la izquierda o en el centro), el campo eléctrico producido por las dos cargas es nulo. Determine la distancia exacta con respecto a Q1 en que el campo se anula. Respuesta: A una distancia de 0.086 m de la carga de Q1 y 0.136 m de la carga Q2 15. [TM] Dos cargas puntuales, cada una de ellas de 4 C están sobre el eje x, una en el origen y la otra en x = 8 m. Hallar el campo eléctrico sobre el eje x en a) x = –2 m, b) x = 2 m, c) x = 6 m. y d) x = 10 m. e) ¿En qué punto del eje x es cero el campo eléctrico? f) Hacer un esquema de E x en función de x en el intervalo –3.0 < x < 11 m. Respuesta: a) E (9360 N/C) i , E (8000 N/C) i ; b) En el punto equidistante de las cargas 16. Tres partículas de carga qa 14 nC , qb 26 nC y qc 21 nC están dispuestas en línea recta. La partícula b está entre a y c, a una distancia de 120 mm de la a y 160 mm de la c. Determine el campo eléctrico producido por las partículas a y c en la posición de la partícula b. Determine el campo eléctrico producido por las partículas a y b en la posición de la partícula c. Respuesta: E (1365.29 N/C) i , E (390.08 N/C) i 17. Dos cargas de signos contrarios están separadas 12 cm. La magnitud de la intensidad eléctrica en el punto medio entre las cargas es de 5106 N/C. La suma algebraica de las dos cargas es de +4 µ C. Determine el valor de las cargas. Respuesta: q 1 3 10 6 C , q2 10 6 C
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
18. Dos cargas q1 y q 2 cuando se combinan dan una carga total de 6.10 –6 C. Cuando están separadas 3 m, la fuerza ejercida por una carga sobre la otra tiene un valor de 8.10–3 N. Determinar el campo eléctrico que actúa sobre cada carga. Respuesta: Si las cargas son de signos iguales: E 1 2000 N/C ; E 2 4000 N/C . Si las cargas son de signos diferentes: E 1 1182.29 N/C ; E 2 7114.60 N/C 19. [MA] Se tienen dos cargas puntuales, 5 C y 10 C , distantes 1 m. a) Encontrar el módulo y la dirección del campo eléctrico en un punto situado a 0.6 m de la primera carga y a 0.8 m de la segunda. b) Hallar el punto donde el campo eléctrico de estas dos cargas es cero. 20. Dos cargas puntuales q1 3 C y q2 9 C , están separadas una distancia de 2 m. a) ¿En qué punto el campo eléctrico es cero? b) Si q2 9 C , ¿En qué punto el campo eléctrico sería cero?
q1
q2 2m
Respuesta: a) A 2.7321 m de la carga de q1 3 C y 4.7321 m de la carga q2 9 C ; b) A 0.7321 m de la carga de q1 3 C y 1.2679 m de la carga q2 9 C 21. [RS] En la figura, determine el punto (distinto del infinito) en el cual el campo eléctrico es igual a cero. 1.00 m
2.50 C
6.00 C
Respuesta: A 1.8209 m de la carga q1 2.50 C y 2.8209 m de la carga q2 6.00 C 22. Dos cargas 3q y –7q están separadas 50 cm. Determinar: a) El punto (o puntos) donde la intensidad del campo eléctrico es cero. b) La intensidad del campo eléctrico en el punto (o puntos) donde es igual debido a cada carga. Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
q1
q2 50 cm
Respuesta: a) A 94.78 m de la carga 3q y 144.78 m de la carga –7q; b) x 19.78 cm 23. [RH] En la figura, localice el punto (o puntos) donde el campo eléctrico es cero. a
5q
2q
Respuesta: A 2.7208 a de la carga 2q y 3.7208 a de la carga –5q 24. [TM] Una carga puntual de 5 C está localizada en x 3.0 cm y una segunda carga puntual de 8 C está localizada en x 4.0 cm . ¿Dónde debe situarse una tercera carga de 6 C para que el campo eléctrico en x 0 sea cero? Respuesta: En x 2.38 cm 25. Una carga q1 de +8 µ C está ubicada en x = 0 y en x = 35 mm está ubicada otra carga
q2 . La intensidad del campo eléctrico en x = 45 mm es de 2107 N/C con la misma dirección del eje x. Determine el punto en donde la intensidad del campo eléctrico es cero. Respuesta: q2 1.7253 10 7 C , x 76.02 mm 26. Una carga q1 de +4 µ C está ubicada en x = 0 y en x = 45 mm está ubicada otra carga
q2 . La intensidad del campo eléctrico en x = 55 mm es de 3.5107 N/C con la misma dirección del eje x. Determine el punto en donde la intensidad del campo eléctrico es cero. Respuesta: q2 2.5720 10 7 C , x 9.10 mm 27. [TM] Se colocan tres cargas puntuales de –5.00, +3.00 y 5.00 C sobre el eje x en los puntos x 1.00 cm , x 0 y x 1cm , respectivamente. Calcular el campo eléctrico en el eje x para x 15 cm . ¿Hay puntos donde el módulo del campo eléctrico es cero? Si es así, ¿qué puntos son? Respuesta: E 1 1.7357 10 6 N/C , x 6.95 cm Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
28. [TM] Una carga de 3.0 C está localizada en el origen; una segunda carga de
4.0 C está localizada en x 0.2 m , y 0 , y una tercera carga Q está situada en
x 0.32 m , y 0 . La fuerza que actúa sobre la carga de 4.0 C es 240 N, en dirección x positiva. a) Determinar la carga Q. b) Con esta configuración de tres cargas, ¿en qué punto a lo largo de la dirección x el campo eléctrico es cero? Respuesta: Q 9.7312 10 5 C , x 0.0508 cm Sistemas que involucran fuerza gravitacional. 29. [RS] ¿Cuál será la magnitud y la dirección del campo eléctrico que equilibre el peso de a) un electrón y b) un protón? Respuesta: a) 55.8 pN/C abajo; b) 102 nN/C arriba 30. [RH] Una partícula alfa, el núcleo de un átomo de helio, tiene una masa de
6.64 1027 kg y una carga de 2 e . ¿Qué magnitud y dirección del campo eléctrico balancearán su peso? Respuesta: E 2.0328 10 7 N/C 31. [RH] En un campo eléctrico uniforme cerca de la superficie terrestre una fuerza eléctrica de 3.0 106 N hacia abajo actúa sobre una partícula con una carga de
2.0 109 C . a) Determine el campo eléctrico. b) ¿Qué magnitud y dirección tiene la fuerza eléctrica ejercida sobre un protón puesto en este campo? c) ¿Cuál es la fuerza gravitacional ejercida sobre el protón? d) ¿Cuál es la razón de la fuerza eléctrica a la gravitacional en este caso? Respuesta: a) E 1500 N/C ; b) Fe 2.40 10 16 N ; c) Fg 1.64 10 26 N ; d) 1.46 1010 32. [TM] La Tierra tiene un campo eléctrico cerca de su superficie que es de, aproximadamente 150 N/C y que está dirigido hacia abajo. a) Comparar la fuerza eléctrica ascendente ejercida sobre un electrón con la fuerza gravitatoria dirigida hacia abajo. b) ¿Qué carga debería tener una moneda de 3 g para que el campo eléctrico equilibrase su peso cerca de la superficie de la Tierra? Respuesta: a) Fe 2.40 10 17 N , Fg 8.94 10 30 N ; b) q 1.962 10 4 C Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
33. [RH] En el experimento de Millikan, se balancea una gota de radio 1.64 m y de una densidad 0.851 g/cm3 cuando se aplica un campo eléctrico de 1.92 105 N/C . Calcule la carga en la gota en términos de e. Respuesta: 5 e 34. [MA] ¿Cuál debe ser la carga de una partícula de masa 2 g para que permanezca en reposo en el laboratorio al colocarse donde el campo eléctrico está dirigido hacia abajo y es de intensidad 500 N/C? Respuesta: q 3.924 10 5 C 35. Una masa puntual “m” que posee una carga “q” se encuentra colgada de un hilo de masa despreciable. Si se establece un campo eléctrico uniforme en dirección horizontal tal y como se muestra en la figura y la masa se mantiene en equilibrio formando un ángulo con la vertical, determine el ángulo que adquiere el hilo con respecto a la vertical. Tómese:
m 20 g , q 2 C , E 2 104 N/C . ¿Qué pasa si se cambia el sentido del campo? ¿Qué pasa si se cambia el sentido de la carga?
E
q Respuesta: 11.52º 36. Una esfera de masa “m” que posee una carga “q” se encuentra ubicada en un plano inclinado que forma un ángulo con la horizontal como se muestra en la figura. Demuestre que para que la masa se mantenga en equilibrio se debe establecer un campo eléctrico uniforme en dirección horizontal y sentido oeste de valor E
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mg tan i . q
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
q E
37. [RS] Una pelota de corcho cargada con 1.00 g de masa está suspendida de un hilo muy ligero en un campo eléctrico uniforme, como se observa en la figura. Cuando
E (3.00 i 5.00 j ) 105 N/C , la pelota está en equilibrio en 37.0º . Determine a) la carga sobre la pelota y b) la tensión en el hilo.
E
q Respuesta: q 10.9 nC , T 5.44 nN 38. [DF] Dos esferitas idénticas de masa m y cargas iguales y opuestas de magnitud q, están suspendidas por cuerdas ligeras de longitud L. Un campo uniforme se aplica en la dirección x y las dos esferitas se ubican en equilibrio cuando los hilos forman un ángulo . Determine la magnitud del campo eléctrico.
E q Respuesta: E
q
kq m g tan 2 q 4 L sen 2
39. [RS] Una pelota de corcho de 1.00 g con una carga de 2.00 C está suspendida verticalmente de un hilo ligero de 0.500 m de largo en un campo eléctrico uniforme dirigido hacia abajo, de magnitud E 1.00 105 N/C . Si se desplaza ligeramente de la Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
vertical, la pelota oscila como un péndulo simple. a) Determine el periodo de esta oscilación. b) ¿Deberán incluirse las fuerzas de la gravedad en el cálculo del inciso a? Diga por qué. Respuesta: a) 0.307 s; b) Si 40. [TM] Se coloca un péndulo simple de 1.0 m de longitud y 5 103 kg de masa en un campo eléctrico uniforme de masa E que se dirige verticalmente hacia arriba. La “lenteja” del péndulo tiene una carga q 8.0 C . El periodo del péndulo es 1.2 s. Determinar el módulo y la dirección del campo eléctrico. Respuesta: E (2858.82 N/C) j Campo eléctrico debido a múltiples cargas eléctricas en el plano. 41. [RS] Tres partículas con carga están alineadas a lo largo del eje x, según se muestra en la figura. Determine el campo eléctrico en a) la posición ( 2.00 , 0 ) y b) ( 0 , 2.00 ) .
y 0.500 m
0.80 m
–4.00 nC 5.00 nC
x
3.00 nC
Respuesta: a) E (24.21 N/C) i ; b) E (4.21 N/C) i (8.42 N/C) j 42. Dos cargas puntuales q1 6 C y q2 6 C , están ubicadas como muestra la figura.
y q1 3 cm
P 4 cm
3 cm 6 cm
x
q2
S Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
a) ¿Cuál es la magnitud y dirección del campo eléctrico en el punto P? b) ¿Cuál es la magnitud y dirección de E en el punto S? Respuesta: a) E (2.592 107 N/C) j ; b) E (53.33 106 N/C) j 43. Tres cargas puntuales están ordenadas como se muestra en la figura. a) Encuentre el vector campo eléctrico que crean en el origen de manera conjunta las cargas de 6 nC y –3 nC. b) Encuentre el vector fuerza sobre la carga de 5 nC.
y
0.35 m 5 nC 6 nC
x
0.2 m
–3 nC Respuesta:
E (440.21 N/C) i (674.07 N/C) j ;
a)
b)
F (2.2010 10 6 i 3.3703 10 6 j ) N 44. Dos cargas eléctricas q1 4 10 5 C y q2 3 10 5 C están en los extremos de un triángulo rectángulo. Determinar la intensidad del campo eléctrico en: a) El punto C, b) El punto medio de la hipotenusa, c) Donde es nulo según la línea que une las cargas.
q1
30º
C
q2
8 cm
Respuesta:
a)
E (4.2129 10 7 i 1.6852 108 j ) N/C ;
b)
E (2.56 108 i 1.48 108 j ) N/C ; c) A 59.71 cm de la carga q 2 y 68.95 cm de la carga q1 sobre la línea que une q1 y q 2 Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
45. Tres partículas con cargas q A 35 nC , qB 25 nC y qC 40 nC , están colocadas en las esquinas de un triángulo. La partícula A está en la esquina de 90 grados, a una distancia de 18 cm de la B y a 24 cm de C. Coloque el sistema de coordenadas centrado en A, B en el eje x y C en el eje y , determine a) el campo eléctrico producido por las partículas b y c en la posición de la partícula a, b) el campo eléctrico producido por las partículas a y b en la posición de c. Respuesta: a) E A (6934.84 i 6241.36 j ) N/C ; b) E (1497.93 i 3463.95 j ) N/C 46. [RS] En los vértices de un triángulo equilátero existen tres cargas según se muestra en la figura. a) Calcule el campo eléctrico en la posición de la carga de 2.00 C debido al campo de las cargas de 7.00 C y de 4.00 C . b) Utilice la respuesta del inciso a) para determinar la fuerza ejercida sobre la carga de 2.00 C .
7.0 C
0.50 m
60º
4.0 C
2.0 C Respuesta: E (18.0 103 i 218 103 j ) N/C
47. En un triángulo equilátero de lado 6 cm se colocan tres cargas eléctricas cuyos valores son: q 1 = 4.10–6 C, q 2 = –5.10–6 C, q 3 = –3.10–6 C. Determinar la intensidad del campo eléctrico en el punto medio del lado AC.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
q2 B
q1
q3 A
C
Respuesta: 7.20.107 N/C 48. Tres partículas con cargas iguales q están en las esquinas de un triángulo equilátero de lado d , determine el campo eléctrico en a) el centro del triángulo y b) en el punto medio de uno de sus lados.
q
q
q d
Respuesta: a) 0; b) E
4k q 3d 2
49. [TM] Dos partículas puntuales con carga q cada una de ellas se colocan en la base de un triángulo equilátero de lado L (Figura). Una tercera partícula puntual de carga 2q se coloca en el otro vértice. ¿Dónde deberíamos colocar una cuarta carga puntual q para que el campo eléctrico en el centro del triángulo fuera cero? (El centro está en el plano del triángulo y equidistante de los tres vértices).
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
2q
q
q L
Respuesta: A una distancia
3 d desde el centro sobre la línea que une la carga 2 q con el
centro y del lado opuesto a la carga 2 q 50. [TM] Dos partículas puntuales con carga q cada una de ellas se colocan en la base de un triángulo equilátero de lado L (Figura). Una tercera partícula puntual de carga 2q se coloca en el otro vértice. Se coloca una cuarta carga puntual q´ en el punto medio de la base, de tal forma que el campo eléctrico en el centro del triángulo es cero. ¿Cuál es el valor de q´? (El centro está en el plano del triángulo y equidistante de los tres vértices).
2q
q
q L
Respuesta: q 13 q 51. a) Determine el campo eléctrico en el origen debido a las dos cargas en A y B. b) repita el inciso a) pero considerando ahora que la carga en B es de signo contrario.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
y A
Q
l Q
l
B
l O
Respuesta: a) E
x
kq kq ( 3 i 3 j ) ; b) E 2 ( 3 i j ) 2 2l 2l
52. [PT] Dos cargas iguales y opuestas, +q y –q, están colocadas en las esquinas de la base de un triángulo equilátero cuyos lados tienen una longitud a. Muestre que la magnitud de la intensidad del campo eléctrico en el vértice superior es la misma, con o sin la presencia de una de las cargas. ¿Cuál es el ángulo entre los dos campos producidos de esta forma? Respuesta: E
kq , 60º a2
53. Se coloca una carga de magnitud q en cada uno de los vértices de un cuadrado de arista a. Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico en el punto medio de uno de los lados. Suponga que q 8.8 C y a 0.100 m . Respuesta: E
16 k q , Dirigido hacia el centro del cuadrado. E 1.1318 10 7 N/C 2 5 5a
54. Tres partículas con cargas positivas iguales q ocupan esquinas en un cuadrado de lado
d , determine el campo eléctrico a) en el centro del cuadrado, b) en la esquina vacante y c) en el punto medio de cada uno de los lados del cuadrado.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
q
q
Respuesta:
E
a)
E
2k q (i j ) ; d2
d
b)
q
2kq E 1 (i j ) ; d2 4
4k q 4 k q 4 i 2 j E i , Lado derecho: d 2 5 5 5 5d2
c)
Lado
inferior:
j
55. [RS] En las esquinas de un cuadrado de lado a, como se muestra en la figura, existen cuatro partículas con carga. a) Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico en la ubicación de la carga q. b) ¿Cuál es la fuerza eléctrica total ejercida sobre q?
q
2q
3q
Respuesta: a)
F
E
a
kq [ (8 3 2 ) i (16 3 2 ) j ] , 4a2
4q E 5.9142
kq a2
a 58.83º; b)
k q2 k q2 [ ( 8 3 2 ) i ( 16 3 2 ) j ] , a 58.83º F 5 . 9142 4a2 a2
56. [RH] Determinar el campo eléctrico en el centro del cuadrado de la figura. Suponga que
q 11.8 nC y que a 5.20 cm . Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
2q
q
q
2q
a Respuesta: E
2 2kq j , E (1.1093 105 j ) N/C 2 a
57. [TM] Cuatro cargas del mismo valor están dispuestas en los vértices de un cuadrado de lado L , según se ve en la figura. Demostrar que el campo eléctrico debido a las cuatro cargas en el punto medio de uno de los lados del cuadrado está dirigido a lo largo de dicho lado hacia la carga negativa y que su valor E es
8 k q 1 1 . 2 L 5 5
q
q
q
q L
58. [DF] Tres cargas puntuales Q1 3 106 C , Q2 2 106 C y Q3 106 C están en las esquinas de un paralelogramo, cuyos lados son a 3 m y b 2 m , como se muestra en la figura. ¿Cuál es el campo eléctrico resultante en la esquina vacante?
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18
Capítulo 3.
El campo eléctrico.
y
Q1
a b
30º
Q3
Q2
x
Respuesta: (1276 i 2330 j ) N/C Campo eléctrico debido a múltiples cargas eléctricas en el plano cartesiano. 59. [TM] Una carga puntual 5 C está localizada en x 4 m , y 2 m . Una segunda carga puntual de 12 C está localizada en x 1 m , y 2 m . a) Determinar el módulo y la dirección del campo eléctrico en x 1 m , y 0 . b) Calcular el módulo y la dirección de la fuerza sobre un electrón situado en x 1 m , y 0 . c) Determine el punto en el cual el campo eléctrico es igual a cero. Respuesta: a) E 1.2949 10 4 N/C , 231.31º ; b) F 2.0747 10 15 N , 51.31º ; c)
x 12.2834 m , y 9.2834 m 60. [TM] Una carga puntual 5 C está localizada en x 1 m , y 3 m y otra carga de
4 C está localizada en x 2 m , y 2 m . a) Determinar el módulo y la dirección del campo eléctrico en x 3 m , y 1 m . b) Determinar el módulo y la dirección de la fuerza sobre un protón en x 3 m , y 1 m . c) Determine el punto en el cual el campo eléctrico es igual a cero. Respuesta: a) E 1938.90 N/C , 226.91º ; b) F 3.1065 10 16 N , 226.91º ; c)
x 11.4721 m , y 49.3607 m 61. Determinar el campo eléctrico resultante en el punto P ( 2 , 2 ) si se colocan dos cargas de igual magnitud 3.10–6 C en los puntos ( 2 , 0 ) y ( 2 , 0 ) en un sistema de coordenadas cartesianas. Respuesta: (1205.81i 7343.57 j ) N/C
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
62. Determinar el campo eléctrico resultante en el punto P ( 3 , 2 ) si se colocan tres cargas de igual magnitud q 10 6 C en los puntos ( 3, 0 ) , ( 2 , 0 ) y ( 0 , 2 ) en un sistema de coordenadas cartesianas. Respuesta: E (1802.49 i 3854.63 j ) N/C 63. [RH] En la figura, demuestre que, suponiendo y d , la magnitud de E en el punto P está dada por E y
1
2q . 4 0 y 2
y
y
q
q
x d 64. [TM] Dos cargas positivas iguales q están en el eje y; una está en y a y la otra en
y a . a) Demostrar que el campo eléctrico en el eje x está dirigido a lo largo de dicho eje con E x
2k q x 3
(x 2 a 2 ) 2
menor que a, E x
. b) Demostrar que en las proximidades del origen, donde x es mucho
2k q x 2k q . c) Demostrar que para x mucho mayor que a, E x 2 . 3 a x
Explicar por qué debería esperarse incluso antes de ser calculado. d) Demostrar que el campo eléctrico para la distribución de cargas tiene su máximo valor en los puntos x y x
a 2
a . 2
65. [TM] Dos cargas iguales positivas de valor q1 q2 6.0 nC están sobre el eje y en puntos y 3 cm e y 3 cm . a) ¿Cuál es el valor y sentido del campo eléctrico sobre el
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
eje x en x 4 cm . b) ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre una tercera carga q0 2 nC situada en el punto x 4 cm ? Respuesta: E (3.4512 10 4 i) N/C 66. Determine el campo eléctrico en las siguientes distribuciones. q1 2 C , q2 6 C ,
q3 6 C y q4 10 C .
y
y
q2
q2
q1
P q1
x (cm)
P
q3
x (cm)
y q1
q4 q3 Respuesta:
a)
P
q2
x (cm)
E (2.7885 10 7 i 5.1158 10 7 j ) N/C ;
b)
E (1.7975 108 i 3.3703 10 7 j ) N/C ; c) E (8.0387 10 7 i 1.7201 108 j ) N/C
67. [TM] Dos cargas de 3.0 C están localizadas en x 0 , y 2.0 m y en x 0 ,
y 2.0 m . Otras dos cargas Q están localizadas en x 4.0 m , y 2.0 m y en x 4.0 m , y 2.0 m . El campo eléctrico en x 0 , y 0 es (4.0 103 N/C) i . Determinar Q. Respuesta: Q 4.98 10 6 C
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
Interacción entre múltiples cargas eléctricas en el espacio. 68. Una partícula con carga 5.8 nC está colocada en el origen de coordenadas. a) Determine las componentes cartesianas del campo eléctrico producido en los puntos a)
(15 cm , 0 , 0 ) , b) (15 cm ,15 cm , 0 ) , c) (15 cm ,15 cm ,15 cm ) y d) (10 cm , 20 cm , 0 ) . e) Determine E en los mismos puntos. Respuesta:
a)
E (2316.79 i) N/C ,
b)
E (819.11i 819.11 j ) N/C ,
c)
E (445.87 i 445.87 j 445.87 k ) N/C , d) E (466.25 i 932.49 j ) N/C ; e) 2316.79
N/C, 1158.40 N/C, 772.26 N/C, 1042.56 N/C 69. [RS] Considere la distribución de cargas que se muestra en la figura. a) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico en el centro de cualquiera de las caras del cubo tiene un valor de
8 2kq . b) ¿Cuál es la dirección del campo eléctrico en el centro de la cara 3 3 a2
superior del cubo?
z
a A
y
x Respuesta: b) k Dipolo eléctrico. 70. [RH] Calcule el momento dipolar de un electrón y de un protón separados por una distancia de 4.30 nm. Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
Respuesta: p 6.89 10 28 C.m 71. [TM] Dos cargas puntuales q1 2 pC y q2 2 pC están separadas una distancia de 4 mm. ¿Cuál es el momento dipolar de este par de cargas? Haga un dibujo del par e indicar la dirección y sentido del momento dipolar. Respuesta: p 8 10 15 C.m dirigido de la carga negativa a la carga positiva 72. [TM] Un dipolo de momento 5e nm se coloca en el interior de un campo eléctrico uniforme de valor 4.0104 N/C. ¿Cuál es el valor del momento ejercido sobre el dipolo cuando a) el eje del dipolo es paralelo al campo eléctrico, b) el dipolo es perpendicular al campo eléctrico, y c) el dipolo forma un ángulo de 30º con el campo eléctrico. d) Determinar la energía potencial del dipolo en el campo eléctrico en cada caso. Respuesta: a) 0 ; b) 3.20 10 23 N.m ; c) 1.60 10 23 N.m ; d) 3.20 10 23 N.m ,
0 , 2.77 10 23 N.m 73. Un dipolo eléctrico de cargas q 2 10 6 C separadas 4 cm se coloca dentro de un campo eléctrico de 1.105 N/C. Determinar: a) El momento que ejerce el dipolo cuando forma un ángulo de 30º, b) ¿Qué cantidad de trabajo debe hacer un agente externo para girar el dipolo 60º? Respuesta: a) 4 10 3 J ; b) 4.10 3 J 74. Un dipolo se coloca dentro de un campo externo de 1.105 N/C. Si las cargas tienen una magnitud de 1.10–6 C y están separadas 2 cm. Determinar: a) El momento que ejerce el campo en el dipolo cuando forma un ángulo de 30°, b) La cantidad de trabajo que debe hacer un agente externo para dar al dipolo ½ vuelta a partir de la posición colineal del campo.
q E q
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
Respuesta: a) 10 3 J ; b) 2.10 3 J 75. [RH] Se mantienen a una distancia de 15.2 cm dos cargas iguales y opuestas de magnitud 1.88 107 C . a) ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de E en un punto intermedio entre las cargas? b) ¿Qué fuerza (magnitud y dirección) operaría en un electrón puesto allí? Respuesta: a) 585 kN/C, hacia la carga negativa; b) 93.6 fN, hacia la carga positiva 76. [RS] Considere el dipolo eléctrico que se ilustra en la figura.
y y q
q
x 2a a) Demuestre que el campo eléctrico en un punto sobre el eje x es E
4k qa x i. ( x2 a 2 )2
b) Demuestre que el campo eléctrico en un punto sobre el eje y es E
2k qa 3
( y2 a2 ) 2
c) Demuestre que el campo eléctrico en un punto distante sobre el eje x es E d) Demuestre que el campo eléctrico en un punto distante sobre el eje y es E
i.
4k qa . x3
2k qa . y3
77. [RH] En la configuración de carga de la figura demuestre que, suponiendo que r d .
E (r ) en los puntos del eje horizontal está dado por E
q 4d 1 4 0 r 2 r 1
r
q
q
q P
d
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d
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
[Sugerencia: la configuración de la carga puede concebirse como la suma de una carga aislada y de un dipolo] 78. Un dipolo tiene cargas de magnitud 1.10–6 C separadas una distancia de 2 cm. Determinar: a) El campo eléctrico en la línea que une las cargas a una distancia de 4 cm de la carga positiva, b) El campo eléctrico en la perpendicular bisectriz a la línea que las une a una distancia de 4 cm.
q
q 2 cm
Respuesta: a) 1.69.10 7 N/C ; b) 8.35.106 N/C 79. [MA] En un sistema de coordenadas rectangulares una carga de 25 10 9 C se coloca en el origen y otra carga de 25 10 9 C se coloca en el punto x = 6 m, y = 0. ¿Cuál es el campo eléctrico a) en x = 3 m, y = 0?, b) en x = 3 m, y = 4 m? 80. Un dipolo centrado en el origen está formado por dos partículas, una con una carga de
16 10 19 C situada en z 0.4110 10 m , y la otra con igual carga pero negativa y a la misma distancia pero de lado contrario. Determine p (momento bipolar). Determine el campo eléctrico producido por el dipolo en el plano x y a una distancia de 1 m del origen. Resuelva el inciso anterior para una distancia de 2 m . Respuesta: p 1.312 10 28 C.m , E 1.1791 N/C , E 0.1474 N/C 81. Un dipolo con momento p 2 a q k está centrado en el origen. Determine E a lo largo del eje z en puntos alejados del dipolo, z >> a. Sugerencia: Utilice el desarrollo en serie de un binomio. Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
82. [RH] Un tipo de cuadripolo eléctrico se compone de cuatro cargas ubicadas en los vértices de un cuadrado de lado 2 a . El punto P está a una distancia x del centro del cuadripolo en una línea paralela a ambos lados del cuadrado, según se aprecia en la figura. Cuando x a , demuestre que el campo eléctrico en P está dado aproximadamente por
E
3 (2 q a 2 ) . (Sugerencia: tratar el cuadripolo como dos dipolos). 2 0 x4 q
q
P
x q
q
2a 83. [RH] La figura muestra un tipo de cuadripolo eléctrico. Lo constituyen dos dipolos cuyos efectos en los puntos externos no se cancelan del todo. Demuestre que el valor de E sobre el eje del cuadripolo en los puntos a una distancia x de su centro (suponga que x >> d) está dado por E
3Q 4 0 x
4
donde Q 2 q d 2 es el momento cuadripolar de la distribución
de carga.
y
x q
q
P
x d
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d
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
Movimiento de cargas en un campo eléctrico. 84. Determine la magnitud de la aceleración que experimenta un electrón en un campo eléctrico de 576 N/C. ¿Cómo depende la dirección de la aceleración de la dirección del campo en ese punto? Respuesta: a 1.01 1014 m/s 2 85. [MA] Entre las placas de deflexión de un osciloscopio de rayos catódicos, existe un campo eléctrico de 30000 N/C. a) ¿Qué fuerza se ejerce sobre un electrón colocado en esta región? b) ¿Qué aceleración adquiere el electrón debido a esta fuerza? Compararla con la aceleración de la gravedad. Respuesta: E 4.8065 10 15 N , a 5.2764 1015 m/s 2 86. [RH] Un arma, considerada en la defensa antimisiles, utiliza haces de partículas. Por ejemplo, un haz de protones que golpea un misil enemigo podría anularla por completo. Los haces pueden producirse en “armas” que se sirven de campos eléctricos para acelerar las partículas cargadas. a) ¿Qué aceleración experimentará un protón si el campo eléctrico es 2.16 104 N/C ? b) ¿Qué velocidad alcanzará el protón si el campo actúa en una distancia de 1.22 cm? Respuesta: a) a 2.0690 1012 m/s 2 ; b) v 2.2469 105 m/s 87. [RH] Un campo eléctrico acelera un electrón hacia el este a 1.84 109 m/s 2 . Determinar la magnitud y la dirección del campo. Respuesta: E (1.0462 10 2 N/C) i 88. ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico en un punto del espacio donde un protón experimenta una aceleración de 1.8 millones de la gravedad? Respuesta: E 1.8434 10 7 N/C 89. [TM] La aceleración de una partícula en un campo eléctrico depende de la relación carga/masa de la partícula. a) Calcular e/m para un electrón. b) ¿Cuál es el módulo y dirección de la aceleración de un electrón en un campo eléctrico uniforme de valor 100 N/C. c) ¿Cuándo la velocidad de un electrón se aproxima a la velocidad de la luz c, debe utilizarse la mecánica relativista para determinar su movimiento; sin embargo, a Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
velocidades bastante menores que c puede utilizarse la mecánica newtoniana. Calcular, con la mecánica de Newton, el tiempo que tarda un electrón, partiendo del reposo en un campo eléctrico de valor 100 N/C, en alcanzar una velocidad de 0.01c . d) ¿Qué distancia recorrerá el electrón en ese tiempo? Respuesta: a) e / m 1.7588 1011 C/kg ; b) a 1.7588 1011 m/s 2 (opuesta al campo eléctrico); c) t 1.7045 10 7 s ; d) d 0.2554 m 90. [TM] La aceleración de una partícula en un campo eléctrico depende de su relación carga/masa. a) Calcular e/m para un protón y hallar su aceleración en un campo eléctrico uniforme de valor 100 N/C. b) Hallar el tiempo que tarda un protón inicialmente en reposo en dicho campo en alcanzar la velocidad de 0.01c (siendo c la velocidad de la luz). (Cuando la velocidad del protón se aproxima a la de la luz, debe usarse la cinemática relativista para calcular el movimiento, sin embargo, para una velocidad 0.01c o menor, la cinemática clásica es una suficiente aproximación. Respuesta: a) e / m 9.5788 10 7 C/kg ; a 9.5788 109 m/s 2 ; b) t 3.1297 10 4 s 91. [MA] Una carga de 2.5 108 C . Se coloca en un campo eléctrico uniforme de intensidad 5.0 10 4 N/C dirigido hacia arriba. ¿Cuál es el trabajo que la fuerza eléctrica efectúa sobre la carga cuando ésta se mueve a) 45 cm hacia la derecha? b) 80 cm hacia abajo? c) 260 cm a un ángulo de 45º por encima de la horizontal? 92. [RH] Un electrón de 115 eV se dispara hacia una gran hoja plana de plástico cuya densidad de carga superficial es de 2.08 C/m 2 . ¿De qué distancia debemos dispararlo, para que no golpee la hoja? (Prescinda de los efectos relativistas). Respuesta: d 9.79 10 4 m 93. [RS] Un campo eléctrico uniforme existe en una región entre dos placas con carga contraria. Se libera del reposo un electrón en la superficie de una placa de carga negativa y 14.7 ns más tarde golpea la superficie de la placa contraria, a 1.95 cm de distancia. a) ¿Qué velocidad lleva el electrón al chocar contra la segunda placa? b) ¿Qué magnitud tiene el campo eléctrico? Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
Respuesta: a) v f 2.6531 10 6 m/s ; b) 1026.14 N/C 94. [MA] Entre dos placas planas y paralelas cargadas con cargas iguales y de signos opuestos existe un campo eléctrico uniforme. Se libera un electrón de la superficie de la placa negativa y choca en la superficie de la placa opuesta, distante 2.0 cm de la primera, en un intervalo de 1.510–8 segundos. a) Calcular el campo eléctrico entre las placas, b) calcular la velocidad del electrón al chocar con la placa. Respuesta: a) E 1010.78 N/C ; b) v f 2.6667 106 m/s 95. [RS] Un protón es proyectado en la dirección positiva de x al interior de una región de un campo eléctrico uniforme E 6.00 105 i N/C en el instante t 0 . El protón recorre una distancia de 7.00 cm antes de llegar al reposo. Determine a) la aceleración del protón, b) su rapidez inicial y c) el intervalo de tiempo en el cual el protón queda en reposo. Respuesta: a 1.0553 1017 m/s 2 ; b) v0 1.2155 108 m/s ; c) t 1.1518 10 9 s 96. Un electrón con una velocidad inicial v0 27.5 106 m/s viaja paralelo a un campo eléctrico uniforme de magnitud E 11.4 103 N/C . a) ¿Qué distancia recorrerá el electrón antes de detenerse? b) ¿qué tiempo pasará para que regrese al punto de partida? Respuesta: a) d 0.1886 m ; b) t 1.3715 10 8 s 97. [RH] Un electrón que se desplaza con una velocidad 4.86 106 m/s se dispara paralelamente a un campo eléctrico uniforme de magnitud 1030 N/C, dispuesto de modo que retrase el movimiento. a) ¿Qué distancia recorrerá el electrón en el campo antes de detenerse (momentáneamente) y b) ¿Cuánto tiempo transcurrirá? C) Si el campo electrico termina de modo abrupto al cabo de 7.88 mm, ¿qué fracción de su energía cinética perderá el electrón al atravesarlo? Respuesta: a) 6.53 cm; b) 26.9 ns; c) 0.121 98. [TM] Un electrón partiendo del reposo, se acelera por la acción de un campo eléctrico uniforme E 1.50 1010 N/C j . Después de que ele electrón recorra 1.0 m , ¿cuál es su velocidad? Despreciar la fuerza gravitacional sobre el electrón. Respuesta: v 7.2639 10 3 m/s Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
99. [RS] Un protón se acelera a partir del reposo en un campo eléctrico uniforme de 640 N/C. Poco tiempo después su rapidez es de 1.20 Mm/s (no relativista, ya que v es mucho menor que la rapidez de la luz) a) Determine la aceleración del protón. b) ¿En qué intervalo de tiempo el protón alcanza esta rapidez? c) ¿Qué distancia recorre en ese intervalo de tiempo? d) ¿Cuál es su energía cinética al final del intervalo? Respuesta: 6.13 1013 m/s 2 ; b) 19.5 s 100. [TM] Una masa de 2 g localizada en una región de campo eléctrico uniforme
E 300 N/C i contiene una carga Q. La masa, liberada del reposo en x 0 , posee una energía cinética de 0.12 J en x 0.50 m . Determinar la carga Q. Respuesta: Q 8 10 4 C 101. [RS] Los electrones en un haz de partículas tienen cada uno una energía cinética K. ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctrico que detendrá a estos electrones en una distancia d? Respuesta: K / e d en la dirección del movimiento 102. [RS] Entre dos placas paralelas separadas 4.00 cm existe un campo eléctrico uniforme de magnitud 640 N/C. De manera simultánea se libera un protón de la placa positiva y un electrón de la negativa. a) Determine la distancia a la placa positiva en el momento en que ambos se cruzan. (Ignore la atracción eléctrica entre el protón y el electrón). b) Repita el inciso a) ahora con un ión de sodio (Na+) y con un ión de cloro (Cl–). Respuesta: a) 21.8 m ; b) 2.43 cm 103. [DF] Entre dos grandes placas metálicas paralelas separadas por una distancia
d 10 cm existe un campo eléctrico uniforme. De la placa negativa se suelta un electrón y simultáneamente de la placa positiva se suelta un protón. Se desprecia la fuerza de interacción entre las dos partículas y la fuerza de gravedad. ¿En qué lugar se cruzan las dos partículas? Respuesta: 5.45 10 5 m 104. [TM] Un electrón tiene una velocidad inicial de 2 106 m/s en la dirección del eje de las x. Entra en el interior de un campo eléctrico uniforme E 300 N/C j que tiene la Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
dirección y. a) Hallar la aceleración del electrón. b) ¿Cuánto tiempo tardará el electrón en recorrer 10 cm en la dirección x? c) ¿Cuál será el módulo y la dirección de la velocidad del electrón después de haber recorrido 10 cm en la dirección x? Respuesta:
a 7.0353 1013 m/s 2 ;
a)
b)
t 5 10 8 s ;
c)
V (2.0 106 i 3.5177 106 j ) m/s 105. Un electrón es lanzado con una velocidad inicial de 1107 m/s dentro de un campo eléctrico uniforme. El electrón entra al campo eléctrico por un punto situado a igual distancia de las placas. Si el electrón pasa por el borde de la lámina superior cuando sale del campo. Determinar la intensidad del campo eléctrico.
1 cm
v0
2 cm
Respuesta: 14218.75 N/C 106. [RS] Un protón se mueve a 4.50 105 m/s en dirección horizontal, y entra en un campo eléctrico vertical uniforme con una magnitud de 9.60 103 N/C . Si ignora cualquier efecto debido a la gravedad, determine a) el intervalo de tiempo requerido para que el protón recorra 5.00 cm horizontalmente, b) su desplazamiento vertical durante el periodo que viaja los 5.00 cm horizontalmente y c) las componentes horizontales y verticales de su velocidad después de haber recorrida dicha distancia. Respuesta: a) 111 ns; b) 5.68 mm; c) 11.7 m; d) 1.20 fJ
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
107. Un electrón entra perpendicularmente a un campo eléctrico uniforme de intensidad 1.2104 N/C con una energía de 3.210-16 J. Determinar la desviación del electrón cuando recorre 1.5 cm horizontalmente. Respuesta: y 3.375 10 4 m 108. [RS] Dos placas metálicas horizontales, cada una de 100 mm de lado, están alineadas una sobre la otra con una separación de 10.0 mm. Se les proporciona cargas de igual magnitud y de signo opuesto de manera que se genere un campo eléctrico uniforme hacia debajo de 2000 N/C entre las placas. Una partícula con masa 2.00 1016 kg y con una carga positiva de 1.00 106 C parten del centro de la placa negativa inferior con una rapidez inicial de 1.00 105 m/s en un ángulo de 37.0º sobre la horizontal. Describa la trayectoria de la partícula. ¿Contra qué placa se impactará?, ¿y dónde se impactará en relación con su punto de partida? Respuesta: La placa inferior; 9.61 10 4 m 109. [RH] Como se ve en la figura, se proyecta un electrón a una velocidad de
v0 5.83 106 m/s y en un ángulo de 39.0º ; E 1870 N/C dirigido hacia arriba,
d 1.97 cm y L 6.20 cm . ¿Golpeará a una de las placas? Si lo hace, ¿Cuál de ellas golpeará y a qué distancia del lado izquierdo?
E
v0 d
L
Respuesta: La placa superior; 4.06 cm 110. [TM] Un electrón parte de la posición indicada en la figura con una velocidad inicial
v0 5 106 m/s formando un ángulo de 45º con el eje x. El campo eléctrico tiene dirección Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
y positiva y su módulo es de 3.5 103 N/C . Sobre qué placa y en qué lugar chocará el electrón? Respuesta: La placa inferior. x 9.851 cm 111. Un electrón es lanzado dentro de un campo eléctrico uniforme de intensidad 5.10 3 N/C. Si la velocidad inicial es de 1.107 m/s y forma un ángulo de 30° con la horizontal. Determinar ¿Con cuál placa choca el electrón?
E
v0 2 cm
10 cm
112. [DF] En la región entre dos placas metálicas paralelas de longitud L y separación d se establece un campo eléctrico uniforme E. Un electrón entra por el borde de la placa inferior con una velocidad inicial v0 formando un ángulo con la placa. ¿Para cuáles valores de E el electrón no chocará con ninguna de las dos placas? (Se desprecia la acción de la fuerza de gravedad)
E
v0 d
L
Respuesta:
m v02 sen 2 m v02 sen 2 E 2ed eL
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33
Capítulo 3.
El campo eléctrico.
113. [DF] En la región entre dos placas metálicas paralelas de longitud L 0.5 m y separación
d 0.1 m
se establece un campo eléctrico uniforme de magnitud
E 8 103 N/C . Un protón entra por el borde de la placa inferior con una rapidez inicial v0 8 105 m/s en dirección formando un ángulo con la placa, como se ilustra en la figura. ¿Para cuáles valores del ángulo el protón no chocará con ninguna de las dos placas?
E
v0 d
L 1 e L E sen 1 Respuesta: 12 sen 2 m v0
2e d E m v02
114. [DF] Un haz de electrones entra en una región entre dos placas paralelas de longitud L donde existe un campo eléctrico uniforme E. El haz de electrones incide en una dirección formando un ángulo , como lo ilustra la figura. ¿Cuál es la rapidez inicial de los electrones?
d
v0
L
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34
Capítulo 3.
Respuesta: v0
El campo eléctrico.
e E L cos m cos sen ( )
115. [MA] En la figura se lanza un electrón con una velocidad inicial de 2.107 m/s en la dirección de un eje equidistante de las placas de un tubo de rayos catódicos. El campo eléctrico uniforme entre las placas, tiene una intensidad de 20000 N/C y está dirigido hacia arriba. a) ¿Qué distancia perpendicular al eje ha recorrido el electrón cuando pasa por el extremo de las placas? b) ¿Qué ángulo con el eje forma su velocidad cuando abandona las placas? c) ¿A qué distancia por debajo del eje choca con la pantalla fluorescente S?
2 cm
v0
4 cm
12 cm
Respuesta: a) 7.033.10 3 m; b) 4.22 cm 116. [MA] Se lanza un electrón en un campo eléctrico uniforme de intensidad 5000 N/C dirigido verticalmente hacía abajo. La velocidad inicial del electrón es de 107 m/s y forma un ángulo de 30° por encima de la horizontal. a) Calcular el tiempo requerido para que el electrón alcance su altura máxima. b) Calcular la elevación máxima que alcanza a partir de su posición inicial. c) ¿Que distancia horizontal recorre el electrón para alcanzar su nivel inicial? d) Dibujar la trayectoria del electrón. Respuesta: a) ymax 1.42 cm ; b) x 9.85 cm 117. [RS] Se proyectan varios protones con una rapidez inicial vi 9.55 km/s en una región donde está presente un campo eléctrico uniforme E (720 j ) N/C , como se Física II. Ing. Willians Medina.
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35
Capítulo 3.
El campo eléctrico.
muestra en la figura. Los protones deben alcanzar un objetivo que se encuentra a una distancia horizontal de 1.27 mm del punto por donde los protones atraviesan el plano y entran en el campo eléctrico. Determine a) los dos ángulos de proyección que logren el resultado esperado y b) el tiempo de vuelo (intervalo de tiempo durante el cual el protón pasa por encima del plano en la figura) para cada una de las trayectorias.
Respuesta: a) 36.9086º , 53.0914º ; b) t 1.6631 10 7 s , t 2.2144 10 7 s 118. [TM] Una partícula sale del origen con una velocidad de 3 106 m/s , formando un ángulo de 35º con el eje x. Se mueve en un campo eléctrico constante E E0 j . Determinar E0 para que la partícula cruce el eje x en x 1.5 cm si a) se trata de un electrón y b) es un protón. Respuesta: a) E 3205.65 N/C ; b) E 5.8861 10 6 N/C 119. Dos planos paralelos de largo 0.2 m tienen densidades de carga 1 6 10 8 C/m 2 y
2 6 10 8 C/m 2 C/m2 respectivamente. Se dispara un electrón en A con una velocidad v0 2 10 7 m/s m/s hacia arriba. ¿Cuál es la velocidad del electrón al salir de entre los planos?
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36
Capítulo 3.
El campo eléctrico.
1
2
0.2 m
v A
Respuesta: v 1.1919 107 m/s 120. Un electrón con una velocidad inicial v0 (9.80 104 j ) m/s . Entra en una región donde E (2.0 i 8.0 j ) 104 N/C . a) Determine el vector aceleración del electrón como función del tiempo. b) ¿A qué ángulo se está moviendo con respecto a su posición inicial en t 1.0 nS ? Respuesta: a) a (3.5176 1015 i 1.4071 1016 j ) N/C ; b) 75.87º 3.2.- DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA. Varillas. 121. [RS, RH, DF] a) Una barra de longitud L tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud y una carga total Q . Calcule el campo eléctrico en un punto P que se ubica a lo largo del eje largo de la barra y a una distancia a desde un extremo. b) Si P estuviera mucho más lejos de la varilla que L, ésta parecería una carga puntual. Demuestre que su respuesta a a) se reduce a E k
q (campo eléctrico de una carga puntual) para a x2
>> L, c) Analice el caso si la barra es infinitamente larga ( L ).
y
P
x a Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
Respuesta: a) E
kL kQ k i; E i ; c) E i a a ( L a) a ( L a)
122. [RS] A lo largo del eje x existe una línea de carga continua que se extiende desde
x x0 hasta infinito positivo. La línea tiene una densidad de carga lineal uniforme 0 . ¿Cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el origen?
y
P
x x0 Respuesta: E
k i x0
123. Una barra recta de longitud de 50 cm tiene una carga negativa uniforme por unidad de longitud de 10 C/cm. Calcule el campo eléctrico en un punto P ubicado sobre el eje de la barra a 50 mm de uno de sus extremos. Determine el campo eléctrico si la barra se extiende hasta el infinito por su extremo opuesto a P. Respuesta: E 1.6341 1014 N/C , E 1.7975 1014 N/C 124. [TM] Una carga lineal uniforme de densidad 3.5 nC/m se distribuye desde x 0 a x 5 m . Determinar el campo eléctrico que se genera sobre el eje x en a) x 6 m , b)
x 9 m y c) x 250 m . d) Hallar el campo en x 250 m usando la aproximación de que se trata de una carga puntual en el origen y comparar el resultado con el obtenido exactamente en c) ¿El resultado obtenido es mayor o menor que el exacto? Explique sus respuestas. Respuesta: a) E 26.2137 N/C ; b) E 4.3689 N/C ; c) E 2.5679 103 N/C ; d) E 2.5676 103 N/C . Es menor, puesto que se está despreciando el campo eléctrico
debido a las cargas más próximas al punto P 125. [RS] Una varilla de 14.0 cm de largo tiene una carga uniforme y su carga total de es de
22 C . Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico a lo largo del eje de la varilla en un punto a 36.0 cm de su centro. Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
Respuesta: E 1.59 10 6 N/C hacia la varilla 126. Una varilla delgada, no conductora de longitud L tiene una densidad lineal λ dada por
0 x , donde λ0 es una constante, y x una distancia variable lineal. Determinar el campo L
eléctrico en el punto P ubicado a lo largo del eje principal de la varilla y a una distancia a de uno de sus extremos. y
P
x a
L
Respuesta: E k 0 L ln 1 L i L L a
a
127. [RS] Una línea de carga se inicia en x x0 y se extiende hasta el infinito positivo. La densidad de carga lineal es
0 x 0 x
. Determine el campo eléctrico en el origen.
y
P
x0 Respuesta: E
x L
k 0 i 2 x0
128. [DF] Una línea de carga con longitud L y orientada a lo largo del eje x, tiene una carga
x por unidad de longitud que varía con la distancia de la siguiente forma: 0 1 . x0 Donde x0 es la distancia de la barra al origen y 0 una constante. Encuentre el campo eléctrico en el origen.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
y
P
x
x0
L
Respuesta: E k 0 L x0
L ln 1 i x0 L x0
129. Una varilla de longitud L localizada a lo largo del eje de las x tiene una carga total Q y una densidad de carga lineal . a) Determine el campo eléctrico en el punto P localizado en el eje de las y, a una distancia y del origen. b) Demostrar que el resultado que se obtiene de la parte a) es E
kQ para y L . Explicar el resultado, c) Analice el caso si la barra es y2
infinitamente larga ( L ).
y
P y
x L E
Respuesta:
E
kQ L 2 2 y L y ( y
L2 y 2 )
i
k y
1 i L2 y 2 y
L L2 y 2
j ;
k (i j ) j ; c) E 2 2 y L y 1
130. [RS] A lo largo de la línea y 15.0 cm está colocada una carga de densidad uniforme igual a 35.0 nC/m, entre los puntos de coordenadas x 0 y x 40 cm . Determine el campo eléctrico que produce en el origen. Física II. Ing. Willians Medina.
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40
Capítulo 3.
El campo eléctrico.
Respuesta: E (1360.75 i 1963.57 j ) N/C 131. [RH, DF] Una varilla aislante “semi-infinita” transporta una carga constante por unidad de longitud λ. Demuestre que el campo eléctrico en el punto P forma un ángulo de 45º con ella y que su intensidad es E
2
k . [Sugerencia: Aplique el resultado del R
problema 129 c) con y R ].
y
P
R
x
132. [WM] a) La varilla delgada uniformemente cargada que se muestra en la figura tiene una densidad de carga lineal . Encuentre una expresión para el campo eléctrico en el punto P. b) Demuestre que el resultado con y 0 se reduce al obtenido en el problema 121. c) Demuestre que el resultado con a 0 se reduce al obtenido en el problema 129.
y
P y
x a
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L
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Capítulo 3.
Respuesta: E
El campo eléctrico.
k y y ( a L) 2 y 2
aL i 2 2 a y (a L) 2 y 2 y
a 2 y 2 a
j
133. [RH] En una delgada varilla de longitud L sobre el eje x, con un extremo en el origen
x 0 como en la figura, está distribuida una carga por unidad de longitud dada por
0 x , donde 0 es una constante, y x es la distancia desde el origen. a) Calcule E en el punto P sobre el eje y. b) ¿A qué distancia de la varilla en el eje y el campo es igual a una mitad del valor en el extremo izquierdo de ella? y P y
x L
L Respuesta: Ex k 0 2 ln 2 L y
L2 y 2 L j 1 y
L2 y 2 y
j
134. [RS, DF] Una varilla delgada de longitud L y con una carga uniforme por unidad de longitud yace a lo largo del eje x , como se muestra en la figura. a) Demuestre que el campo eléctrico en P , a una distancia y de la varilla a lo largo de su bisectriz perpendicular, no tiene componente en x y está dado por E
2 k sen 0 . b) Utilice el y
resultado obtenido en el inciso a), demuestre que el campo de una varilla de longitud infinita es igual a E
2k . y
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
y
P
0 y
x L 135. Una varilla delgada de longitud L y con una carga uniforme por unidad de longitud yace a lo largo del eje x , como se muestra en la figura. a) Determinar el campo eléctrico a una distancia y de la varilla en un punto P sobre la perpendicular bisectriz. b) Demostrar que el resultado que se obtiene de la parte a) es E
kQ para y L . Explicar el y2
resultado, c) Analice el caso si la barra es infinitamente larga ( L ).
y
P y
x L Respuesta: a) E
2k k L j j ; c) E 2 2 y y ( 12 L) y
136. [RH] Una delgada varilla no conductora de longitud finita L transporta una densidad uniforme de carga lineal +en la mitad derecha y de una densidad en la mitad izquierda. a) Mediante el argumento de simetría determine la dirección del campo eléctrico Física II. Ing. Willians Medina.
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43
Capítulo 3.
El campo eléctrico.
en P generado por la varilla. b) Determine E en P. c) Tome el límite de esta expresión con y grande. ¿Por qué depende de y? ¿Qué nos recuerda?
y
P y
x L
Respuesta: a) La dirección es –i; b) E 2 k y
2 i ; c) E k L i (Es similar 1 y3 ( 12 L) 2 y 2
y
a un dipolo con separación 2 a L y q L ). Ver problema 76 d) 137. [DF] Un alambre de densidad lineal de carga tiene forma de cuadrado de lado L y está contenido en el plano x y con su centro en el origen. a) Calcule el campo eléctrico de este alambre en un punto del eje z que está a una distancia z del centro del cuadrado. b) Demuestre que su respuesta a a) se reduce al campo eléctrico de una carga puntual para z L .
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
P
z
L Respuesta: a) E z
4k L z ( 14 L2 z 2 )
1 2
L2 z 2
; b) Ez
4k L z2
138. Una varilla delgada no conductora de longitud L tiene una densidad lineal . a) Determinar las componentes del campo eléctrico en el punto P y a una distancia y de la varilla como indica la figura, b) Demostrar que el resultado que se obtiene de la parte a) es E
kQ para y L . Explicar el resultado, c) Demuestre que el resultado con L a se y2
reduce al obtenido en el problema 129.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
y
P y
x L
a
Respuesta: E
k y 2 y a y 2
a i 2 2 2 ( L a) y a y 2
( L a) 2 y 2 La
y
j
139. Una varilla delgada, no conductora de longitud L tiene una densidad lineal λ dada por
0 x / L , donde λ0 es una constante, y x una distancia variable lineal. Determinar el campo eléctrico en el punto P en la perpendicular bisectriz a una distancia y de la varilla.
y
P y
x L Respuesta: Ex
1 2 k 0 2 L ln L ( 12 L) 2 y 2
( 12 L) 2 y 2 12 L i y
140. [RS] Dos varillas delgadas idénticas con una longitud 2 a tienen cargas iguales +Q uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las varillas yacen a lo largo del eje Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
x, con sus centros separados por una distancia b 2 a (Figura). Demuestre que la magnitud de la fuerza ejercida por la varilla izquierda sobre la derecha está dada por
k Q2 F 2 4a
b2 ln 2 2 b 4a
y
b a
a
ba
ba x
141. Una varilla aislante uniformemente cargada de longitud L se dobla formando un semicírculo, como se muestra en la figura. La varilla tiene una carga total Q. Determine la magnitud y la dirección del campo eléctrico en O, que es el centro del semicírculo.
Respuesta: E
kQ L2
i
142. [RS] Una barra aisladora uniformemente cargada, de 14.0 cm de longitud, se dobla en la forma de un semicírculo, como se muestra en la figura. La barra tiene una carga total de
7.50 C . Encuentre la magnitud y dirección del campo eléctrico en O, el centro del semicírculo.
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47
Capítulo 3.
El campo eléctrico.
Respuesta: E (21.64 106 N/C) i 143. Una varilla delgada no conductora se dobla en forma de arco de círculo de radio a y subtiende un ángulo 0 en el centro del círculo. A lo largo de toda su longitud se distribuye uniformemente una carga total Q . Encontrar la intensidad del campo eléctrico en el centro del círculo en función de a , Q y 0 . Respuesta: E x
2 k Q sen ( 12 0 ) a2
144. [DF] Un hilo delgado tiene una densidad lineal de carga > 0 y está doblado en forma de arco circular que subtiende un ángulo 20, como muestra la figura.
R
0 O
145. [RH] Se dobla una delgada varilla de vidrio en un semicírculo de radio R. Una carga +q se distribuye uniformemente en la mitad superior, y una carga –q se distribuye uniformemente en la mitad inferior, como se observa en la figura. Calcule el campo eléctrico en P, el centro del semicírculo.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
R
Respuesta: E
P
2k j R
146. [TM, DF] Un anillo de radio a contiene una distribución de carga lineal de la forma
0sen , tal como se muestra en la figura. a) ¿Qué dirección tienen el campo generado en el centro del anillo? ¿Cuál es el módulo de dicho campo en el centro del anillo?
a
Respuesta: E
k j a
147. Una línea de cargas positivas se distribuye en un semicírculo de radio R 60.0 cm como se observa en la figura. La carga por unidad de longitud a lo largo del semicírculo queda descrita por la expresión 0 cos . La carga total del semicírculo es de 12.0 C . Calcule el campo eléctrico en el centro de curvatura.
R
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P
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49
Capítulo 3.
Respuesta: E
El campo eléctrico.
kQ 4 R2
j , E 2.3562 105 N/C
148. Un alambre con una densidad de carga uniforme λ se dobla como se muestra en la figura. Determine el campo eléctrico en el punto O.
R
2R O
Respuesta: E
2k 1 ( i j) R 3
149. [DF] Una carga positiva se distribuye con densidad uniforme , a lo largo del eje x negativo desde x hasta x a , luego se dobla en un círculo de radio a, y sigue en el eje negativo de las y desde y a hasta y . ¿Cuál es el campo eléctrico en el punto O?
y
a O
a
Respuesta: E
x
2k (i j ) a
Anillos. 150. [RS, DF] Un anillo de radio R porta una carga total Q positiva distribuida uniformemente. a) Calcule el campo eléctrico debido al anillo en un punto P que se encuentra a una distancia x de su centro, a lo largo del eje central perpendicular al plano Física II. Ing. Willians Medina.
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50
Capítulo 3.
El campo eléctrico.
del anillo. b) Demostrar que el resultado que se obtiene de la parte a) es E
kQ para x2
x L . Explicar el resultado.
R P
x
Respuesta: E
kQx 3
(x R2 ) 2 2
i
151. Imagine un anillo de radio R con una carga total Q distribuida uniformemente en su perímetro. ¿Cuál es el campo eléctrico en un punto en el eje a una distancia 2R del centro? Respuesta: E
2k Q 3
52 R2
i
152. [RS] Un anillo con un radio de 10.0 cm con carga uniforme tiene una carga total igual a 75.0 C . Determine el campo eléctrico sobre el eje del anillo a las siguientes distancias del centro del mismo: a) 1.00 cm, b) 5.00 cm, c) 30.0 cm y d) 100.0 cm. Respuesta: a) E (6.65 10 6 N/C) i ; b) E (2.41107 N/C) i ; c) E (6.40 106 N/C) i ; d) E (6.65 105 N/C) i , tomando el eje del anillo como el eje de las x 153. [TM] Una carga de 2.75 C está uniformemente distribuida sobre un anillo de radio 8.5 cm. Determinar el campo eléctrico generado sobre el eje a a) 1.2 cm, b) 3.6 cm y c) 4.0 m del centro del anillo. D) Determinar el campo a 4.0 m con la aproximación de que el anillo es una carga puntual en el origen y comparar el resultado con el obtenido en c) Explique su respuesta. Respuesta: a) E (4.69 105 N/C) i ; b) E (1.13 10 7 N/C) i ; c) E (1543.69 N/C) i ; d) E (1544.74 N/C) i
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51
Capítulo 3.
El campo eléctrico.
154. [RS, RH, TM] Demuestre que la magnitud máxima Emax del campo eléctrico existente a lo largo del eje de un anillo con carga uniforme se presenta en x
Emax
Q 6 3 0a2
a con un valor 2
.
155. [TM] Calcular el campo eléctrico a una distancia x de una lámina no conductora infinita y cargada uniformemente considerando la lámina como una serie continua de anillos circulares cargados. Respuesta: E
2 0
156. [RS, DF] Considere una envoltura cilíndrica de pared delgada uniformemente cargada con carga total Q, radio R y una altura h. Determine el campo eléctrico en un punto a una distancia d del lado derecho del cilindro, como se muestra en la figura. (Sugerencia: Use el resultado del problema 150 y considere el cilindro como si estuviera formado de un conjunto de cargas en anillo).
Respuesta: E
k Q h
1 d 2 R2
i (d h) 2 R 2 1
157. [RH, AF] Un anillo de radio a y carga q1 y q 2 están distribuidas uniformemente en cada media circunferencia, siendo q q1 q 2 . Determinar las componentes del campo eléctrico en un punto P situado en el eje del anillo.
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52
Capítulo 3.
El campo eléctrico.
a P
x
Respuesta: E
kqx (x2 a2 )
3 2
i
k (q2 q1 ) a 3
(x2 a2 ) 2
j
158. [WM] Un anillo circular de radio a con una distribución de carga lineal
0 (1 cos ) , siendo 0 una constante. Determinar: a) El campo eléctrico a una distancia x del eje del anillo, b) Demostrar que esta expresión se reduce a E k
q para x2
x a , donde q 2 0 a es la carga total del anillo (Problema 20 del capítulo 1). Explicar por qué este resultado, c) El punto del valor máximo del campo eléctrico.
a
P
x
Respuesta: a) E
2 k 0 a 3
(x2 a2 ) 2
( x i a j ) ; b) Para x a , el anillo se comporta como una
carga puntual 159. Un anillo circular de radio a con una distribución de carga lineal 0sen ( 2 ) , siendo
0 una constante. Determinar: a) El campo eléctrico a una distancia x del eje del anillo, b) Demostrar que esta expresión se reduce a E k
q para x R , donde q 4 0 a es la x2
carga total del anillo (Problema 21 del capítulo 1). Explicar por qué este resultado, c) El punto del valor máximo del campo eléctrico. Física II. Ing. Willians Medina.
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53
Capítulo 3.
El campo eléctrico.
a
P
x
Respuesta: a) E
4 k 0 a 3
(x2 a2 ) 2
( x i a j ) ; b) Para x R , el anillo se comporta como una
carga puntual 160. [RH, TM, DF] Un vaso hemisférico no conductor de radio interno R posee una carga total q distribuida uniformemente a través de la superficie interna. Calcule el campo eléctrico en el centro de curvatura. (Sugerencia: considere el vaso como un conjunto de anillos). Respuesta: E
kQ i 2 R2
Láminas planas. 161. Una hoja grande horizontal y plana de carga tiene una carga por unidad de superficie de 9.00 C/m 2 . Determine el campo eléctrico justo por encima del centro de la hoja. Respuesta: E 1.02 106 N/C 162. [RH] Una placa metálica cuadrada de 8.0 cm de lado tiene una carga total de 6.0 C . a) Usando la aproximación de placa infinita, calcule el campo eléctrico situado a 0.50 mm arriba de la superficie de la placa cerca de su centro. b) Estime el campo a una distancia de 30 m. Respuesta: a) E 1.06 108 N/C ; b) 59.92 N/C 163. [RS] Un muro no conductor tiene una densidad de carga uniforme de 8.60 C/cm 2 . ¿Cuál es el valor del campo eléctrico a 7.00 cm por delante del muro? ¿Cambia el resultado si se modifica la distancia a la pared? Respuesta: a) E 9.71 109 N/C ; b) Si Física II. Ing. Willians Medina.
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54
Capítulo 3.
El campo eléctrico.
164. [RS] Una delgada placa conductora y cuadrada de 50.0 cm de lado se encuentra sobre el plano x y. Se deposita una carga total de 4.00 10 8 C sobre la placa. Determine a) el campo eléctrico justo por encima de la placa y b) el campo eléctrico justo por debajo de la misma. Puede suponer que la densidad de carga es uniforme. Respuesta: a) E (1.807 10 4 N/C) k ; b) E (1.807 10 4 N/C) k 165. [TM] Una carga de –6 nC se coloca uniformemente en una lámina cuadrada de material no conductor de 20 cm de lado situada en el plano y z. ¿Cuál es el valor del módulo del campo eléctrico en las proximidades de la lámina y cerca de su centro? Respuesta: E 1.6941 10 4 N/C 166. [RH] Un electrón permanece estacionario en un campo eléctrico dirigido hacia abajo en el campo gravitacional de la Tierra. Si el campo se debe a la carga en dos grandes placas conductoras paralelas, con carga opuesta y separadas por una distancia de 2.3 cm, ¿cuál es la densidad de carga superficial, supuestamente uniforme, en las placas? Respuesta: 4.9385 10 22 C/m 2 167. [RS] Un trozo de Styrofoam de 10.0 g tiene una carga neta de 0.700 C y flota por encima del centro de una gran lámina horizontal de plástico que tiene una densidad de carga uniforme en su superficie. ¿Cuál es la carga por unidad de superficie presente en la lámina de plástico? Respuesta: 1.2409 10 6 C/m 2 168. [TM] Una moneda descargada está en el interior de un campo externo de valor 1.6 kN/C cuya dirección es perpendicular a sus caras. a) Hallar la densidad de carga en cada cara de la moneda suponiendo que son planas. b) Si el radio de la moneda es 1 cm, ¿cuál es la carga total de una cara? Respuesta: a) 1.4167 10 8 C/m 2 ; b) q 4.4506 10 12 C 169. [RS] Una placa cuadrada de cobre de 50.0 cm de lado tiene una carga neta igual a cero y está colocada en una región de un campo eléctrico uniforme de 80.0 kN/C dirigido perpendicularmente a la placa. Determine a) la densidad de carga en cada una de las caras de la placa y b) la carga total en cada placa. Física II. Ing. Willians Medina.
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55
Capítulo 3.
El campo eléctrico.
Respuesta: a) 7.0833 10 7 C/m 2 ; b) q 1.7708 10 7 C 170. [TM] Una estrecha lámina metálica sin carga tiene caras cuadradas de 12 cm de lado. Se coloca dentro de un campo eléctrico externo que es perpendicular a sus caras. ¿Cuál es el valor del campo eléctrico si la carga total inducida en una de las caras del bloque es 1.2 nC? Respuesta: E 9.4117 N/C 171. a) Una pequeña esferita de masa m y carga q se encuentra suspendida de un hilo de seda que forma un ángulo con una gran lámina conductora cargada (Figura). Determinar la densidad de carga superficial de la lámina. b) [RH] Una esfera pequeña, cuya masa m es de 1.12 mg, tiene una carga q 19.7 nC . En el campo gravitacional de la Tierra pende de un hilo de seda que forma un ángulo
27.4º con u na gran hoja no conductora uniformemente cargada, como se observa en la figura. Calcule la densidad uniforme de carga .
L
m Respuesta: a)
0 m g tan q
; b) 2.5597 10 6 C/m 2
172. [PT] La intensidad de campo eléctrico entre las placas de la figura es de 4000 N/C. ¿Cuál es la magnitud de la carga sobre la esfera de médula suspendida cuya masa es 3 mg?
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56
Capítulo 3.
El campo eléctrico.
30º
m Respuesta: q 4.2479 109 C 173. a) [RS, RH] Dos láminas infinitas de carga, no conductoras, se encuentran paralelas entre sí, como se observa en la figura. La lámina de la izquierda tiene una densidad de carga superficial uniforme y la de la derecha tiene una densidad de carga uniforme . Calcule el campo eléctrico i) a la izquierda de, ii) entre y iii) a la derecha de las dos láminas. b) [RS, RH] Repita el cálculo en el caso de que ambas láminas tuvieran densidades de carga superficiales uniformes positivas de valor .
(a) Respuesta: a) i) E 0 , ii) E
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(b)
i , iii) E 0 ; b) i) E i , ii) E 0 , iii) E i 0 0 0
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
174. Dos grandes placas metálicas de área 1 m 2 están colocadas frente a frente. Están separadas 5 cm y tienen cargas iguales y opuestas en sus superficies interiores. Si el campo eléctrico entre las placas es de 55 N/C. Determinar la carga de las placas.
Respuesta: Q 4.87.10 10 C 175. [DF] Dos láminas infinitas no conductoras, con carga uniforme están enfrentadas paralelamente. La lámina izquierda tiene una densidad de carga superficial 6 0 y la de la derecha tiene una densidad de carga 4 0 . Determine el campo eléctrico en las siguientes regiones: a) a la izquierda de las dos láminas, b) entre las láminas y c) a la derecha de las dos láminas.
6 0
Respuesta: a) E
4 0
0 5 0 i , b) E i , c) E 0 i 0 0 0
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
176. [TM] Dos planos no conductores infinitos de carga uniformemente distribuida son paralelos entre sí y paralelos al plano y z. Uno de ellos corresponde a x 2 m y su densidad superficial de carga es 3.5 C/m 2 . El otro corresponde a x 2 m y
6 C/m 2 . Determinar el campo eléctrico para a) x 2 m , b) 2 m x 2 m y c) x 2 m. Respuesta:
a)
E (2.8235 105 N/C) i ;
b)
E (1.0729 10 6 N/C) i ;
c)
E (2.8235 105 N/C) i 177. [TM] Una lámina conductora cuadrada con lados de 5 m es portadora de una carga neta de 80 C . a) Determinar el campo eléctrico justo en el exterior de una cara de la lámina. b) La lámina se sitúa a la derecha de un plano infinito no conductor, cargado con una densidad de 2.0 C/m 2 y de modo que las caras de la lámina son paralelas al plano. Determinar el campo eléctrico en cada cara de la lámina lejos de los bordes y la densidad de carga de cada cara. 178. [TM] Dos placas idénticas cuadradas de metal, de 500 cm 2, están paralelas y separadas 1.50 m . Inicialmente, están descargadas y, posteriormente, se transfiere una carga de 1.50 nC desde la placa de la izquierda a la de la derecha, produciéndose enseguida el equilibrio electrostático. (Despreciar los efectos de borde). a) ¿Cuánto vale el campo eléctrico entre las placas a una distancia de 0.25 cm de la placa de la derecha? b) ¿Qué valor alcanza el campo eléctrico entre las placas a una distancia de 1.00 cm de la placa de la izquierda? c) ¿Cuál es el campo eléctrico justo a la derecha de la placa de la derecha? 179. [TM] Una lámina fina e infinita colocada en el plano y 0 tiene una densidad de carga superficial uniformemente cargada 1 65 nC/m 2 . Una segunda lámina fina e infinita tiene una densidad superficial uniforme de carga 2 45 nC/m 2 . La intersección de las dos láminas se produce en el eje z formando un ángulo de 30º con el plano x z. Determinar el campo eléctrico en a) x 6.0 m , y 2.0 m y b) x 6.0 m , y 5.0 m . Respuesta:
a)
E (9882.3293i 4401.4362 j ) N/C ;
b)
E (4799.9885i 4401.4362 j ) N/C Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
180. [WM] Una lámina fina e infinita colocada en el plano y 0 tiene una densidad de carga superficial uniformemente cargada 1 65 nC/m 2 . Una segunda lámina fina e infinita tiene una densidad superficial uniforme de carga 2 45 nC/m 2 . La intersección de las dos láminas se produce en el eje z formando un ángulo de 60º con el plano x z. Una carga puntual de q 6 C se encuentra en el punto x 3.0 m , y 1.0 m . Determinar el campo eléctrico en a) x 6.0 m , y 2.0 m y b) x 6.0 m , y 5.0 m . Discos. 181. [RS, DF] Un disco de radio R tiene una densidad de carga superficial uniforme . a) Calcule el campo eléctrico en un punto P que se encuentra a lo largo del eje perpendicular central del disco y a una distancia x del centro del disco. b) Use el resultado anterior para determinar el campo eléctrico de una lámina infinita cargada uniformemente. c) Demostrar que esta expresión se reduce a E k
Q para x R , donde Q R 2 es la carga total 2 x
del disco. Explicar por qué este resultado.
P
x
R
Respuesta: a) E 2 k 1
i , b) E 2 2 20 R x x
182. [RH] Demuestre que, el campo eléctrico de un disco cargado de radio R en puntos a lo largo de su eje, se reduce a una carga puntual cuando x R . 183. [RH, TM] ¿A qué distancia en el eje de un disco cargado de radio R es la magnitud del campo eléctrico igual a la mitad del valor del campo en la superficie del disco en el centro? Respuesta: x
R 3
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
184. [WM] Calcular el campo eléctrico a una distancia x de un disco no conductor de radio R y cargado uniformemente considerando el disco como una serie continua de anillos circulares concéntricos cargados. 185. [RS] Un disco con carga uniforme con un radio de 35.0 cm tiene una densidad de carga de 7.90 10 3 C/m 2 . Calcule el campo eléctrico en el eje del disco a a) 5.00 cm, b) 10.0 cm, c) 50.0 cm y d) 200.0 cm del centro del mismo. Respuesta: a) E 3.8355 107 N/C ; b) E 3.2400 107 N/C ; c) E 8.0755 107 N/C ; d) E 6.6873 107 N/C
186. [RH] Una gran superficie conductora plana tiene una densidad de carga uniforme . Un pequeño hoyo circular de radio R se cortó en la mitad de la hoja, como se aprecia en la figura. No tenga en cuenta la fragmentación de las líneas de campo alrededor de todos los bordes y calcule el campo eléctrico en el punto P, a una distancia z del centro del orificio en el eje. (Sugerencia: aplique el principio de superposición).
Respuesta: E
2 k x R2 x2
j
187. [RH] En el cuadro anexo se incluyen los valores medidos del campo eléctrico E situado a una distancia x en el eje del disco de plástico cargado:
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x (cm)
E (N/C)
0
2.043 107
1
1.732 107
2
1.442 107
3
1.187 107 http://www.slideshare.net/asesoracademico/
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
4
0.972 107
5
0.797 107
Calcule: a) el radio del disco y b) la carga en él. Respuesta: a) 6.50 cm; b) 4.80 C 188. a) Calcule el campo eléctrico en el punto P sobre el eje del anillo que se muestra en la figura, el cual tiene una densidad de carga σ. b) Demuestre que el resultado con a 0 se reduce al obtenido en el problema 181. c) Demostrar que para x >> R, el campo eléctrico en el eje de la corona uniformemente cargada se puede aproximar a E k
q , donde x2
Q ( R 2 a 2 ) es la carga total del anillo.
R
a
P
x
Respuesta: E 2 k x
1 a2 x2
i R 2 x 2 1
189. [WM] Deducir la expresión del campo eléctrico a una distancia x de su centro debido a un anillo no conductor de radio R que porta una carga total Q distribuida uniformemente (Problema 150) considerando el anillo como un disco hueco (Problema 188) en el cual
a R y Q ( R 2 a 2 ) es la carga total del anillo. Respuesta: E
kQx 3
(R2 x2 ) 2
i
190. [RS] Considere un cilindro sólido uniformemente cargado con carga total Q, radio R y una altura h. Determine el campo eléctrico en un punto a una distancia d del lado derecho del cilindro, como se muestra en la figura. (Sugerencia: Use el resultado del problema 181 y considere el cilindro como si estuviera formado de un conjunto de cargas en discos). Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
Respuesta: E
El campo eléctrico.
2k Q [h R2h
R 2 ( d h) 2
R 2 d 2 ]
191. [DF] Sea una barra de longitud L, con carga total q uniformemente repartida. La barra se coloca en el eje de un disco circular aislante de radio R y también uniformemente cargado con carga Q tal que un extremo de la barra queda en el centro del disco. Determine la fuerza de repulsión entre la barra y el disco. (Sugerencia: Use el resultado del problema 179).
R
q L
Q Respuesta: F
2k qQ (2 a2
2)
192. Un disco de radio R posee una distribución de carga superficial dada por
0R r
.
a) Determinar el campo eléctrico en el eje del disco a una distancia x de su centro. b) Demostrar que esta expresión se reduce a E k
q para x R , donde q 2 0 R 2 es 2 x
la carga total del disco (Problema 25 del capítulo 1).
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
P
x
R
Respuesta: E
2 k 0 R 2 x R2 x2
i
193. Un disco de radio R tiene una densidad de carga superficial no uniforme
0r R
,
donde 0 es una constante y r se mide a partir del centro del disco. Determine (por integración directa) el campo eléctrico en P.
P R
2 k 0 x Respuesta: E ln R
x
R2 x2 R x
i 2 2 R x R
194. [TM] Un disco de radio R tiene una distribución de carga superficial dada por
0r 2 R2
, donde 0 es una constante y r es la distancia desde el centro del disco. a)
Obtener una expresión para el campo eléctrico a una distancia x del centro del disco en su eje perpendicular que pasa por el centro. b) Demostrar que esta expresión se reduce a Ek
q para x R , donde q 12 0 R 2 es la carga total del disco (Problema 27 del 2 x
capítulo 1). Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
P
x
R
Respuesta: E
2 k 0 x 2 x2 R2 2 x R 2 R2 x2
i
195. Un disco de radio R tiene una carga superficial por unidad de área que varía con el
2R radio como 0 1 , en donde 0 es una constante y r una distancia variable r radial. Determinar el campo eléctrico a una distancia x del plano del disco a lo largo de su eje mediante: a) Integración directa y b) Combinando los resultados de los problemas 179 y 190. c) Demostrar que esta expresión se reduce a E k
q para x2
x R , donde
q 3 0 R 2 es la carga total del disco (Problema 28 del capítulo 1).
P
x
R
Respuesta: E 2 k 0 1
x R2 x2
i 2 2 R x
2 R2
x
196. Un disco de radio R tiene un orificio de radio a cortado en su centro y lleva una carga por unidad de área que varía con el radio como
0R r
siendo 0 una constante, y r
una distancia variable radial. a) Determinar el campo eléctrico a una distancia x del plano Física II. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
del disco a lo largo de su eje. b) Demostrar que esta expresión se reduce a E k
q para x2
x a , donde q 2 0 R ( R a) es la carga total del disco (Problema 29 del capítulo 1). c) Demuestre que el resultado obtenido en a) con a 0 se reduce al obtenido en el problema 190.
R
a
P
x
Respuesta: E
2 k 0 R x
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R R2 x2
i a 2 x 2 a
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Capítulo 3.
El campo eléctrico.
BIBLIOGRAFÍA. ALONSO, M y FINN, E. Física,Volumen 2, Adisson – Wesley, 1992. FIGUEROA, D, Interacción eléctrica, Quinta Edición., Caracas, 2012. RESNICK, R, HALLIDAY, D y KRANE, K, Física, Volumen 2., 5a Edición., Grupo Editorial Patria S.A. de C.V., México, 2007. SERWAY, R y JEWETT, J, Física para Ciencias e Ingenierías,Volumen II, Sexta Edición., International Thomson Editores, S.A. de C.V., México, 2005. TIPLER, P y MOSCA, G, Física para la Ciencia y la Tecnología, Volumen 2, Sexta Edición., Editorial REVERTÉ, S.A., Barcelona, 2010. TIPPENS,
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Física.
Conceptos
y
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Edición.,
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