Ejercicios de Calidad

Ejercicio 1

Se considera una embotelladora de gaseosas, que compra botellas a un proveedor. El límite inferior de especificación para la resistencia a la presión interna es 225 lb/plg2. Supóngase que el NCA para este limite de especificación es 1%. Además considérese que se embarcan lotes de tamaño 100000. Se desea obtener un plan de muestreo por variables que use el procedimiento 2 de la MIL STD 414, admitiendo que se desconoce la desviación estándar del lote. Ejercicio 2 Un inspector de un organismo militar quiere utilizar un plan de muestreo por variables con NCA de 1.5% para lotes de tamaño 7000. Si se desconoce la desviación estándar del lote o del proceso, obtenga dos planes de muestreo utilizando el Procedimiento 1 y el procedimiento 2 de ka MIL STD 414. Ejercicio 3 Se inspecciona un lote de 500 artículos. Suponga que se desea encontrar un plan de la MIL STD 414, con un nivel II de inspección. Si el NCA es 4%, encuentre los planes de muestreo con el procedimiento 1 y con el procedimiento 2, a partir de la norma. Considérese la embotelladora de gaseosas, que compra botellas a un proveedor. El límite inferior de especificación para la resistencia a la presión interna es 225lb/plg2. Supóngase que el NCA para este límite de especificación es 1%. Además considérese que se embarcan lotes de tamaño 100 000. Se desea obtener un plan de muestreo por variable que use el procedimiento de la MIL STD 414, admitiendo que se desconoce la desviación estándar del lote. A partir de la tabla 11-1, utilizando el nivel de inspección IV, se obtiene la letra código para el tamaño de muestra O. En la tabla 11-2 se encuentra que la letra de código para el tamaño de muestra O implica un tamaño de muestra de n=100. A un nivel de calidad aceptable de 1%, el valor de M es 2.20% para la inspección normal. Si se aplica la inspección estricta se utiliza las mismas tablas el valor aproximado de M será 1.53%. Los valores del NCA para la normal se indican en la parte superior de la tabla, mientras los valores para la estricta se encuentran en la parte inferior de la tabla.

TEST DE HIPÓTESIS El contraste de hipótesis o test de hipótesis es una herramienta ampliamente utilizada para comparar mediciones y tomar decisiones basadas en una probabilidad. Los pasos a seguir para aplicar esta metodología son:  

Plantear unas hipótesis. Escoger un estadístico concreto.



Conocer la distribución del estadístico.

Y, a partir de ahí, decidir si, con los datos que poseemos de la muestra, tenemos caracterizada a la población. Herramientas para contrastar hipótesis

Los dos tipos de distribuciones más importantes, aunque no únicos, para el contraste de hipótesis, son las distribuciones Normal y T-Student, que hemos visto en el capítulo anterior. El contraste de hipótesis es un conjunto de reglas que nos permiten decidir cuál de entre dos hipótesis debe ser aceptada como cierta en base a los resultados obtenidos en una observación muestral. Se conocen como hipótesis nula (Ho) e hipótesis alternativa (Ha). La hipótesis nula puede mantenerse mientras los datos no indiquen su falsedad; la hipótesis nula nunca se puede afirmar , solo podremos aceptarla o rechazarla. Por lo tanto trataremos de decidir si la información muestral que poseemos está en consonancia con Ho, o bien nos permite rechazar esa creencia con lo que aceptaremos Ha. Podemos distinguir entre dos tipos de hipótesis:  

Paramétricas que se refieren a conjeturas sobre el parámetro de una distribución. No paramétricas que responden a afirmaciones acerca de la naturaleza de la distribución.

Región crítica. Tipos de errores En la práctica el Contraste de Hipótesis consiste en estudiar si un estadístico que es función de las observaciones de la muestra está dentro de una región llamada de aceptación, o se encuentra en la región de rechazo o región crítica, de tal forma que si el estadístico se encuentra en la región de aceptación se aceptará la hipótesis nula y si cae en la región de rechazo se rechazará dicha hipótesis. El estadístico muestral es un fenómeno aleatorio, por lo que pudiera pasar que aunque la Ho fuera cierta, el estadístico se encontrara en la región de rechazo, en esta situación estaríamos cometiendo un Error de Tipo I (a). Otra posible situación sería encontrar el estadístico en la región de aceptación siendo la Ho falsa, con lo que cometeríamos un Error Tipo II (b). La forma de minimizar este problema es empleando muestras de tamaño grande. Generalmente se procede fijando una probabilidad de error a. Al valor a se le denomina nivel de significación y habitualmente es del 5%. Aunque existen diversos tipos de contrastes de hipótesis, únicamente explicaremos y pondremos ejemplo de dos de ellos, que son el contraste de medias y el contraste de diferencias de medias. Contraste de medias Con la notación que habitualmente se utiliza en el contraste de hipótesis tendremos que m es la media de la población, s la desviación típica de la población, s la desviación típica de la muestra, n es el tamaño de muestra, X la media de la muestra, y Z o t es el estadístico. Con relación al contraste de medias, suelen emplearse dos tipos de pruebas, los tests unilaterales o los tests bilaterales, que tienen, respectivamente, las siguientes estructuras.

Ejemplo 1. Un laboratorio farmacéutico afirma que el antiinflamatorio fabricado por ellos elimina la inflamación en 14 minutos en los casos corrientes. Con el objeto de comprobar estadísticamente esta afirmación, eligimos al azar 18 pacientes con inflamaciones varias y tomamos como variable de respuesta el tiempo transcurrido entre la administración del antiinflamatorio y el momento en que desaparece la inflamación. Además, nos dicen que la variable tiempo transcurrido entre la administración del antiinflamatorio y el momento en que desaparece la inflamación sigue una distribución normal de media 14 y desviación 7. El tiempo medio de respuesta de la muestra fue de 19 minutos. Se pide comprobar la afirmación del laboratorio a un nivel de significación de 0.05. Solución. Primero consideremos los datos que tenemos. X = 19, m = 14, s = 7, n = 18 Planteemos ahora las hipótesis de este test. Queremos contrastar la hipótesis nula a partir de la afirmación de la empresa que dice que la inflamación desaparece en 14 minutos; así pues, tendremos: Hipótesis nula Ho : m = 14 La hipótesis alternativa será el caso desfavorable, en esta ocasión para la empresa, y puede escribirse: Hipótesis alternativa Ha : m> 14 Procederemos aceptando de entrada la hipótesis nula (m = 14), calculando el estadístico y observando si se sitúa en la región crítica. Si así sucediera, rechazaríamos la creencia inicial de aceptación de la hipótesis nula. Sustituyendo los parámetros de la población y de la muestra en el estadístico tenemos :

Con lo que podemos observar que el estadístico se sitúa en la región crítica y ,por lo tanto no sigue el criterio de aceptación de la hipótesis nula. De ese modo, rechazaríamos la hipótesis Ho de que m = 14 y concluimos que a un nivel 0.05 el tiempo medio de eliminar la inflamación por este antiinflamatorio es superior a 14 minutos. Ejercicios Nota: Todos los ejercicios que involucren pruebas de t, deben ser resueltos en una hoja de cálculo (gnumeric, openoffice o excel) y en R. Imprimir las respuestas. 1- La compañía fabricante de focos Acme Corporation especifica que los focos duran al menos 300 días. Un investigador selecciona al azar 15 focos para probarlos. La muestra de focos

tuvieron una vida promedio de 290 días, con una desviación estándar de 50 días. ¿Cuál es la probabilidad de que las especificaciones mencionadas por el fabricante sean ciertas? 2 – En un estudio sobre las llamadas en el cortejo en una población de sapos se encontró que la duración de la nota de llamada en una muestra de 39 observaciones, fue de 189 ms y una desviación estándar de 32 ms. Calcula el intervalo de confianza al 95% para la media. 3- Se desea establecer el contenido vitamínico de un alimento balanceado para pollos. Se toma una muestra de 49 bolsas y se encuentra que el contenido promedio de vitaminas por cada 100 grs es de 12 mg y que la desviación estándar es de 2 mg Encuentra el intervalo de confianza del 95% para el verdadero promedio del contenido de vitaminas. 4- Un laboratorio farmacéutico afirma que el anti-inflamatorio fabricado por ellos elimina la inflamación en 14 minutos en los casos corrientes. Con el objeto de comprobar estadísticamente esta afirmación, elegimos al azar 18 pacientes con inflamaciones varias y tomamos como variable de respuesta el tiempo transcurrido entre la administración del anti-inflamatorio y el momento en que desaparece la inflamación. El tiempo medio de respuesta de la muestra fue de 19 minutos con una varianza muestral de 49 minutos. Se pide comprobar la afirmación del laboratorio a un nivel de significación de 0.05. 5- Supongamos que las calificaciones de una prueba están distribuidos normalmente con una media de 100. Ahora supongamos que seleccionamos 20 estudiantes y les hacemos un examen. La desviación estándar de la muestra es de 15. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio en el grupo de muestra sea cuando más 110? 6- Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta afirmación toma una muestra de 25 lotes cada mes. ¿Qué conclusión extraería de una muestra que tiene una media de 518 gramos por milímetro y una desviación estándar de 40 gramos? Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal. 7- Encuentre el valor de t 0.05 cuando v = 18 b) Encuentre el valor de t 0.01 cuando v = 9. c) Encuentre el valor de t 0.1 cuando v = 42. 8- La policía aeroportuaria revisa sistemáticamente a todos los pasajeros que llegan de países extranjeros cuando ingresan al país. Comunica que en promedio diariamente 40 personas (con una desviación estándar de 10) son descubiertas al introducir contrabando en el aeropuerto. Si se sabe que el número de pasajeros que introducen diariamente contrabando en dicho aeropuerto se puede modelar con una distribución normal. La distribución del número promedio de personas que introducen contrabando es: a)Normal b)T-student c) Ninguna de las anteriores 9- Un fabricante de fibras sintéticas desea estimar la tensión de ruptura media de una fibra. El fabricante diseña un experimento en el que se observan las tensiones de ruptura, en libras de 16 hilos del proceso seleccionados aleatoriamente. Las tensiones son: 20.8 20.6 21.0 20.9 19.9 20.2 19.8 19.6 20.9 21.1 20.4 20.6 19.7 19.6 20.3 y 20.7. Supóngase que la tensión de ruptura de una fibra se encuentra modelada por una distribución normal, cuál es la probabilidad que el valor de la tensión de ruptura promedio de la fibra sea por mucho de 21 libras? 10- Se sabe que la renta anual de los individuos de una localidad sigue una distribución normal de media desconocida y de desviación típica $2400. Se ha observado la renta anual de 16 individuos de esa localidad escogidos al azar, y se ha obtenido un valor medio de $16.000. Diga, con un nivel de significación del 5%, si la media de la distribución es de $14.500. ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa del contraste? Determina la forma de la región crítica. ¿Se acepta la hipótesis nula con el nivel de significación indicado? 11- Un productor de cables de acero quiere verificar si los cables que produce soportan una tensión de 5000 Kg. No llegar a este límite no sería adecuado, y producir cables que soporten una mayor tensión aumentaría innecesariamente los costos. El productor toma una muestra aleatoria de 64 unidades y encuentra que la tensión promedio de corte es de 5100 kg, con una desviación estándar de 480 Kg. ¿Debería aceptar la hipótesis de que sus cables de acero soportan una carga de 5000 Kg con un nivel de significación del 5%?

12- Se entregan 9 muestras a dos tecnólogos, y se desea establecer si hay diferencias entre ellos en los resultados obtenidos, considerando que trabajan con la misma máquina. # muestra Tec. A Tec. B 1 12,35 12,38 2 12,37 12,37 3 12,04 12,18 4 12,43 12,36 5 12,34 12,47 6 12,36 12,48 7 12,48 12,57 8 12,33 12,28 9 12,33 12,42 13- Se quiere saber si el calcio tiene algún efecto sobre la presión arterial, para ello se seleccionan al azar 10 voluntarios a quienes se les administra dosis regulares de calcio. A todos los pacientes seles toma la presión arterial, antes y después de aplicar el tratamiento con calcio. Pruebe la hipótesis, admitiendo un error del 5%, de que el calcio disminuye la presión arterial. (PAA: presión arterial antes, PAD: presión arterial después) Paciente PAA PAD 1 107 100 2 110 114 3 123 105 4 129 112 5 112 115 6 111 116 7 107 106 8 112 102 9 136 125 10 102 104 14- Se estudió el efecto de la exposición de flores de alfalfa a distintas intensidades de luz solar. Para ello se escogieron 10 plantas vigorosas y se colectaron las semillas producidas por dos vainas provenientes de flores ubicadas en dos lugares diferentes de cada planta: a) flores ubicadas en la parte superior de la planta (i.e., mayor exposición a la luz solar) y b) flores ubicadas en la parte interna de la planta (i.e., menor exposición a la luz solar). Probar la hipótesis de que no hay diferencias de las medias poblacionales, con la

alternativa de que las flores de la parte superior producen más semillas. 15- Para el ejercicio anterior (# 14) calcular el intervalo de confianza apropiado, de un solo lado. Errores de tipo I y tipo II El error de tipo I tambien llamado error de tipo alfa es el error que se cometecuando el investigador rechaza la hipotesis nula (Ho) siendo esta verdadera en la poblacion.el error de tipo II, tambien llamado error de tipo beta, se comete cuando elinvestigador no rechaza la hipotesis nula siendo esta falsa en la poblacion.

Ejemplo . Un laboratorio farmaceutico afirma que el antiinflamatorio fabricadopor ellos elimina la inflamacion en 14 minutos en los casos corrientes. Con el objeto de comprobar estadisticamente esta afirmacion, eligimos al azar 18pacientes con inflamaciones varias y tomamos como variable de respuesta el tiempotranscurrido entre la

administracion del antiinflamatorio y el momento en quedesaparece la inflamacion. Ademas, nos dicen que la variable tiempo transcurridoentre la administracion del antiinflamatorio y el momento en que desaparece la inflamacion sigue una distribucion normal de media 14 y desviacion 7. El tiempo medio de respuesta de la muestra fue de 19 minutos. Se pide comprobar la afirmacion del laboratorio a un nivel de significacion de 0.05. Solución. Primero consideremos los datos que tenemos. X = 19, m = 14, s = 7, n = 18 Planteemos ahora las hipotesis de este test. Queremos contrastar la hipotesis nula apartir de la afirmacion de la empresa que dice que la inflamacion desaparece en 14minutos; asi pues, tendremos: Hipotesis nula Ho : m = 14 La hipotesis alternativa sera el caso desfavorable, en esta ocasion para la empresa, y puede escribirse: Hipotesis alternativa Ha : m> 14 Procederemos aceptando de entrada la hipotesis nula (m = 14), calculando el estadistico y observando si se situa en la region critica. Si asi sucediera, rechazariamos la creencia inicial de aceptacion de la hipotesis nula. Sustituyendo los parametros de la poblacion y de la muestra en el estadístico tenemos:

Con lo que podemos observar que el estadistico se situa en la region critica y ,por lo tanto no sigue el criterio de aceptacion de la hipotesis nula. De ese modo, rechazariamos la hipotesis Ho de que m = 14 y concluimos que a un nivel 0.05 el tiempo medio de eliminar la inflamacion por este antiinflamatorio es superior a 14 minutos. (Test de diferencias de medias) Sean X1 y X2 dos medias muestrales de dos poblaciones. Los tamanos de cada una de estas muestras son n1 y n2 respectivamente. Queremos observar si la diferencia entre las medias es significativa o no, es decir, comprobar si podemos aceptar que m 1 = m2. Tenemos:

Si las desviaciones de las poblaciones son desconocidas y solo conocemos las desviaciones muestrales, tendremos que considerar la distribucion t de Student en vez de la normal. Ejercicios: Gráfico de Control por Variables 2008 Ejercicio 1 Un proceso se controla con un gráfico de control x, R, con límites 3σ . Se toman subgrupos racionales de 4 piezas cada 100 piezas. El proceso tiene una distribución normal y una desv iación estándar σ = 0.16 y su valor medio es ajustable. Las especificaciones del produc to son: LSE = 10.5 y LIE = 9.5. a) Calcular los límites de control del gráfico x . b) Cuál es la probabilidad de detectar un corrimien to en la media del proceso de 1.2 σ en el primer subgrupo racional luego del corrimiento. c) Cuál será el número de piezas producidas antes d e que se detecte una salida de control (corrimiento en la media de 1.2σ ). d) Cuál será el número promedio de piezas defectuos as producido antes de detectar una salida de control (corrimiento de 1.2 σ ).

Resultados: a) LSC = 10.24, LC = 10, LIC = 9.76; b) Pdet = 0.27425; c) En promedio 315 unidades; d) 8.54 defectuosos en promedio. Ejercicio 2 Un proceso de compresión se controla mediante un gr áfico x , R. Se desea tener una probabilidad = 0.01 de que el cambio no sea detecta do cuando la media pasa de 100 a 110. 1) Calcular el tamaño del subgrupo racional necesar io si la desviación estándar del proceso es igual a 5.

2) Para detectar cambios en la media se ha propuest o : a) hacer un gráfico de control de valores individua les tomados cada 15minutos. b) Hacer un gráfico de control de promedios con mue stras de n = 4 tomados cada 1hora. Si se produce un cambio en la media de 100 a 105 ¿c uál de los dos métodos tiene mayor probabilidad de detectarlo en la primera hora? Resultados: a) n=8, b) Pdetectar en 1h (n=1)= 0.088 y Pdetectar en 1h (n=4)=0.159. Ejercicio 3 Para controlar la resistencia a la tracción de un a lambre metálico, cuya especificación es 200 ± 10, se utilizan gráficos de control x , R con límites de control ± 3σ y n=6. El gráfico de control de x tiene una línea central de 200 y el índice de capacidad del proceso potencial es de 1.1. a) Calcular los límites de control para x y para R. b) Si la media del proceso sufre un cambio a 202 ¿c uál es la probabilidad de detectar el cambio en el 3er. subgrupo racional luego de ocurri do? c) Si la capacidad real del proceso no puede ser in ferior a 0.88, ¿en qué rango se debe mantener el valor de la media del proceso? Resultados: a) LSC x =203.7, LC x = 200, LIC x =196.3; LSCR=15.4, LCR=7.7, LICR=0; b) Prob de detectar en 3er. Subgrupo racional = 0.071; c) 202 = µ = 198. Ejercicio 4 Para controlar un proceso de envasado se lleva un g ráfico de control del peso con los siguientes límites: LSC x = 1020g ; LIC x = 980g Se sabe además que el error tipo I es del 0.6% y el intervalo de especificación es 1000 ± 50g. a) Si Cpk = 1.14 determinar el tamaño de los subgru pos racionales. Calcular los límites de control del gráfico de rangos. b) En determinado momento opera una causa asignable de variabilidad que provoca un corrimiento en el promedio del proceso a 1018g. Det erminar la probabilidad de cometer error tipo II y cuantos subgrupos racionales es en promedio necesario extraer para detectar dicho corrimiento. c) Los subgrupos racionales se extraen cada 400 uni dades. ¿cuál es el costo promedio en que se incurre desde que ocurre la causa asignable hasta que se detecta la misma si se sabe: Costo de inspeccionar una pieza = I =U$5 Costo de producir una pieza defectuosa = A = U$20. Resultados: a) n=4; LSCR = 65.5, LCR = 30.1, LICR = 0; b) ß=0.608, ARL=2.55; c) Costo promedio =279U$ Ejercicio 5 Se quiere utilizar un gráfico de control para contr olar un proceso. Se tomaron muestras de n = 9 para la construcción del mismo obteniéndose: x =610 y R medio = 17.8 a) Calcular los límites de control ± 3σ para los gráficos x , R. b) Construir dos puntos de la curva operativa para el gráfico x , asumiendo s constante para corrimientos de la media en +1 σ y +2 σ . c) Si σ aumenta en un 20 % calcular la probabilidad de que el gráfico de x no detecte ese cambio. Resultados: a) LSC x =616.0, LC x = 610.0, LIC x =604.0; LSCR=32.3, LCR=17.8,

LICR=3.3; b) β1= 0.50, β2= 0.00135; c) 0.98758 Ejercicio 6 Un proceso tiene una distribución normal y una desv iación estándar σ = 0.2 y su valor medio es ajustable. Las especificaciones del produc to son: LSE = 7.6 y LIE = 6.4. El proceso se controla con un gráfico de control x , R , con límites 3s. Se toman subgrupos racionales de 4 piezas cada 50 piezas. a) Calcular los límites de control del gráfico x . b) Cuál es la probabilidad de detectar un corrimien to en la media del proceso de 1 s en el primer subgrupo racional luego del corrimiento. c) Cuál será el número de piezas producidas antes d e que se detecte una salida de control (corrimiento en la media de 1σ ). d) Cuál será el número promedio de piezas defectuos as producido antes de detectar una salida de control (corrimiento de 1 σ ). Resultados: a) LSC = 7.3, LC = 7.0, LIC = 6.7; b) Pdet = 0.159; c) En promedio 290 piezas; d) 6.6 defectuosos en promedio Ejercicio 7 Para controlar un proceso se diseñó un gráfico de c ontrol por variables con límites de control ± 3σ y tamaño de subgrupo racional de 4 unidades. Para establecer si el proceso está fuera de control estadístico se decidió utilizar dos reglas: 1) un punto fuera de los límites de control, 2) dos de tres puntos consecutivos entre µ + 2 σ y µ + 3σ , o entre µ - 2σ y µ - 3σ a) Calcular el error α. b) Calcular el error ß para un corrimiento de µ de +1.5 σ . c) Calcular el número promedio de unidades fabricad as desde que se produce el cambio hasta que se detecta, si se sacan los subgrupos rac ionales cada 1000 unidades fabricadas. Considerar que el cambio se produce en la mitad ent re dos subgrupos racionales. Resultados: a) α=0.0054: b) ß=0.445; c) 1300 Unidades fabricadas en promedio.