EJERCICIOS de Calculo Multivariable

 

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad acul tad de Ingenier´ Inge nier´ ııa a Mec´ anica anic a y de Energ Ener g´ıa ´ EJERCICIOS DE CALCULO MULTIVARIABLE DERIVADAS PARCIALES Prof. V.Contreras T.

diferenci iferenciabilid abilidad ad de la funci´ oon n I   1. Estudie la d f (x, y) = 2. Sea f (x, y ) =



  

  x2 +y 2 x+y

  , x + y  + y    =0 x + y  + y   = 0

0, xy

,   (x, y ) = (0,, 0)  (0   (x, y ) = (0, (0, 0)

2x2 +2y 2

0,

¿Es   f  ¿Es f  diferenciable  diferenciable en (0,0)? 3. Sean Sean   f  (0, ∞), ambas derivf    y   g  dos funciones reales definidas en (0, ables en   to   = 1. Se define la funci´oon n   u   : (0 (0,, ∞) × (0 (0,, ∞)   →   R por u(x, y ) =  f   f ((xy) xy) + g +  g((y/x y/x)) Calcule si existen  existen   ux (1 (1,, 1) y   uy (1 (1,, 1) 4. El voltaje en los extremos de un conductor aumenta a una tasa de 2 volts/min y la resistencia disminuye a raz´oon n de 1 ohm/min. Emplee   I   Emplee I   =   E/R  y la regla de la cadena para calcular la tasa a la cual la corriente que circula por el conductor est´a cambiando cuando   R  = 50 ohms y  cuando y   E  =   = 60 volts. 5. La f´ormula ormula para la frialdad producida por el viento   C  (en   (en grados Fahrenheit) es C   = 35 35,, 74 + 0, 0, 6215 T   − 35 35,, 75 v 0,16 + 0, 0, 4275 T v 0,16 donde   v  es la velocidad del viento en millas por hora y   T   donde  T   es la temperatura en grados F Fahrenhei ahrenheit. t. La velocid velocidad ad del vien viento to es 23 ± 3 millas por hora y la temperatura es 8 ± 1 Utilizar Utilizar   d C  C    para estimar el posible error propagado y el error relativo m´aaximos ximos al calcular la frialdad producida por el viento. (Fuente: National Oceanic and Atmo Atmospheric spheric Administrati Administration) on) ◦

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6. En cada uno de los siguientes casos comprobar que las dos deriv derivadas adas parciales cruzadas de segundo orden de  de   f  son f  son iguales: 1

 

=   x1  cos  cos((y 2 )   , x = 0 arctan( xy ) b )   arctan(

a )   f  f ((x, y )

7. Comr Comruebe uebe que la fu funci´ nci´ oon f  n  f  definida  definida en R2 − {(a, b)} por por f   f ((x, y ) = Ln(( (x − a)2 + (y Ln (y − b)2 ) satisfaga satis faga llaa ecua ecuaci´ ci´oon n fun funciona cionall de Lap Laplace lace

 

f xx  +  f yy xx  + f  yy   = 0

on 8. Para ffunciones unciones   f   de clase  clase   C 2 , transforme la expresi´on f  de x2

 ∂ 2 f   ∂ 2 f   ∂f   ∂ f   ∂  ∂f  f  2   +  y   +  x   +  y ∂x 2 ∂y 2 ∂x ∂y

en t´eerminos rmin os de las variables   u,   v  determinadas por las relaciones  =  e u , y  = e  =  e v x  = e 9. Suponga que   z   z   =   F  F ((u,v,w u,v,w)) donde   u   =   F  F ((t1 , t2, t3 , t4 ) ,   v   = g (t1 , t2 , t3 , t4 ) y  w  = h  =  h((t1 , t2 , t3 , t4 ) . Dibuje un diagrama de ´aarbol rbol apropia apro piado do y encu encuent entre re exp expresi resiones ones para las deri deriv vadas parc parcial iales es ∂z   ∂z y ; ∂t ∂t 2

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10. En los siguiente siguientess ejercicios usando definici´ definici´ oon, n, encuentre encuentre D  D u f ( f (x, y ) dado que u que  u  forma el ´aangulo ngulo indicado con el eje positivo. =  x 2 + y 2 , θ  = 30 f ((x, y ) = 3x − y 2 , θ  = 45 b )   f 

f ((x, y ) a )   f 

◦

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11. En los problemas siguientes considere el plano que pasa por los puntos   P   P   y   Q  y que es perpendicular al plano   X Y  .   . Encuentre la pendiente de la tangente en el punto indicado a la curva de intersecci´oon n de este plano y la gr´aafica fica de la funci´oon n dada en la direcci´oon n de de   Q. = (x − y )2 , P   P   = (4 (4,, 2) 2) , , Q  = (0 (0,, 1) ; (4, (4, 2, 4) f ((x, y ) =  x 3 −5x y +y 2 , P   P   = (1 (1,, 1) 1) , , Q = (−1, 6) ; (1, (1, 1, −3) b )   f 

a )   f  f ((x, y )

12. Suponga   f  f ((x, y ) = ( 4, 4, 3). Encuentre un vector unitario   u   de manera que a )   Du f (a, b)

=0 aaximo. ximo. b )   Du f (a, b) es un m´ c ) d )   Du f (a, b) es un m´ ınimo. ıni mo. 13. Encuen Encuentre tre la(s) derivad derivada(s) a(s) direccional direccional(es) (es) de de   f (x, y ) =  x +  x  + y  y 2 en (3,4) en la direcci´ oon n de un vector tangente a la gr´aafica fica de 22x x2 +y2 = 9 en (2, 1). 2

 

14. La temperatura   T   T   en un punto (x,y,z  (x,y,z ) en el espacio es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de (x,y,z  ( x,y,z ) al origen. Sabemos que  que   T (0 T (0,, 0, 1) = 500. Encuentre la tasa de cambioaallde la temperatura T  temperatura  en(2 (2, 3, 3, 3) (2, , 3)laentemperatura  la direcci´oon n  de (3 (3,, 1, 1). ¿En cu´ direcci´ oon n a partir T  en de (2, temperatura T  aumenta T  aumenta con mayor rapidez? En (2, (2, 3, 3), ¿cu´aall es la m´aaxima xima tasa de cambio de T ? T ? 15. La temperatura   T   T   en el punto (x, (x, y) sobre una placa de metal rectangular est´a dada por por   T ( T (x, y) = 100 − 2x2 − y 2 Encuentre la trayectoria que tomar tomar´´ıa una part´ part´ıcula que busca calor, empezando en (3, 4), cuando ´eesta sta se muev muevee en la direcci direcci´´oon n en la cual la temperatura aumenta con mayor rapidez.

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