Ejercicios de Cadenas de Markov .pdf

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Nombre: Edwin Alonso Gamboa Espín Fecha: 04/02/2018 6to Electrónica Digital Nivel:  Paralelo: B

y

Telecomunicaciones

EJERCICIOS DE CADENAS DE MARKOV

1. Suponga que en el mercado se consiguen 3 tipos de gaseosas colas que son: coca cola, Pepsi Cola y Big Cola cuando una persona ha comprado coca cola existe una probabilidad de que la siga consumiendo del 75%, un 15% de que compre Pepsi cola y un 10% de que compre Big cola; cuando el comprador actualmente consume Pepsi existe una probabilidad de que la siga comprando de 60%, un 25% que compre coca cola y un 15% Big cola; si en la actualidad consuma Big cola la probabilidad de que la siga consumiendo es del 50%, un 30% que compre coca cola y 205 Pepsi cola. En la actualidad cada marca Coca Cola, Pepsi y Big Cola tienen los siguientes porcentajes en participación en el mercado respectivamente (60%, 30%, 10%)

a.- Elaborar la matriz de transición

P0

0.60

0.30

0.10

P1

0.555

0.25

0.155

P2

0.53525

0.28825

0.1765

P3

0.52645

0.2835375

0.1850125

P4

0.52247563 0.2830925

P5

0.52063941 0.28931322 0.18982738

0.18843188

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b.- Hallar la probabilidad que tiene cada marca en el periodo 5 Despejo X en (7)

2. En un país como Colombia existen 3 operadores principales de telefonía móvil como lo son Tigo, Comcel y Movistar (estados). Los porcentajes actuales que tiene cada operador en el mercado actual son para Tigo 0.4 para Comcel 0.25 y para movistar 0.35. (Estado inicial) Se tiene la siguiente información un usuario actualmente de Tigo tiene una probabilidad de permanecer en Tigo de 0.60, de pasar a Comcel 0.2 y de pasarse a movistar de 0.2; si en la actualidad el usuario es cliente de Comcel tiene una probabilidad de mantenerse en Comcel del 0.5 de que esta persona se cambie a Tigo 0.3 y que se pase a movistar de 0.2; si el usuario es cliente en la actualidad de movistar la probabilidad que permanezca en movistar es de 0.4 de que se cambie a Tigo de 0.3 y a Comcel de 0.3.

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a. Partiendo de esta información, elaborar la matriz de transición.

b. Encontrar los estados en los siguientes pasos o tiempo

P0

0.4

0.25

0.35

0.42

0.31

0.27

P1 P2

0.426

0.32

0.254

P3

0.4278

0.3214

0.2508

P4

0.42834

0.3215

0.25016

P5

0.428502

0.321466

0.250032

3. En una población de 10,000 habitantes, 5000 no fuman, 2500 fuman uno o menos de un paquete diario y 2500 fuman más de un paquete diario. En un mes hay un 5% de probabilidad de que un no fumador comience a fumar un paquete diario, o menos, y un 2% de que un no fumador pase a fumar más de un paquete diario. Para los que fuman un paquete, o menos, hay un 10% de probabilidad de que dejen el tabaco, y un 10% de que pasen a fumar más de un paquete diario. Entre los que fuman más de un paquete, hay un 5% de probabilidad de que dejen el tabaco y un 10% de que pasen a fumar un paquete, o menos. ¿Cuántos individuos habrá de cada clase el próximo mes? Realice la matriz de transición y el diagrama de estados.

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4. En un pueblo, al 90% de los días soleados le siguen días soleados, y al 80% de los días nublados le siguen días nublados. Con esta información modelar el clima del pueblo como una cadena de Markov. a. Calcular la matriz de transición de probabilidades del sistema

SOLEADO NUBLADO SOLEADO

0.9

0.1

NUBLADO

0.2

0.8

b. Dibujar el gráfico asociado.

c. ¿Cuál es la probabilidad de que esté soleado a largo plazo?

X1 X2 0.2 0.8

0.9

01 =

X1 X2

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5. El ascensor de un edificio con bajo y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso. El piso en el que finaliza el viaje n-ésimo del ascensor sigue una cadena de Markov. Se sabe que la mitad de los viajes que parten del bajo se dirigen a cada uno de los otros dos pisos, mientras que si un viaje comienza en el primer piso, sólo el 25% de las veces finaliza en el segundo. Por último, si un trayecto comienza en el segundo piso, siempre finaliza en el bajo. Se pide: a) Calcular la matriz de probabilidades de transición de la cadena

P=

0

1

2

0

0

0.5

0.5

1

0.75

0

0.25

2

1

0

0

b) Dibujar el gráfico asociado.

0

1

2

c) ¿Cuál es la probabilidad de que, a largo plazo, el ascensor se encuentre en cada uno de los tres pisos.

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X

Y

Z

1

0

0

0.5 0.75

0.5 0

0.25 = Y

0Z

0.75 Y + Z = X

0.5x + 0.25 (0.5x) = Z

0.5 X = Y Z =

0.625 X 0.5 X + 0.25 Y = 1

0.75Y

X

+ 0.625X = X

Y = 0.5X

X+0.5X + 0.625X = 1 X = 0.4705 =8/17 en el piso bajo Y = 0.2353 = 4/17 en el piso 1 Z = 0.2942 = 5/17 en el piso2 6. Suponga que toda la industria de refresco produce dos colas: Coca Cola y Pepsi Cola. Cuando una persona ha comprado Coca Cola hay una probabilidad de 90% de que siga comprándola la vez siguiente. Si una persona compró Pepsi, hay 80% de que repita la vez siguiente. Se pide: a) Si una persona actualmente es comprador de Pepsi. ¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas dos compras a partir de hoy?

b) Si en la actualidad una persona es comprador de Coca Cola. ¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas tres compras a partir de ahora?

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c) Supongamos que el 60% de toda la gente toma hoy Coca Cola y el 40% Pepsi. A tres compras a partir de ahora, ¿Qué fracción de los compradores estará tomando Coca Cola?

d) determine el estado estable del sistema

que trabajaremos con las 2 últimas, resultando x = 2/3 ; y = 1/3

7. En una comunidad hay 3 supermercados (S1, S2, S3) existe la movilidad de un cliente de uno a otro. El 1 de septiembre, ¼ de los clientes va al S1, 1/3 al S2 y 5/12 al S3

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de un total de 10.000 personas. Cada mes el S1 retiene el 90% de sus clientes y pierde el 10% que se va al S2. Se averiguó que el S2 solo retiene el 5% y pierde el 85% que va a S1 y el resto se va a S3, el S3 retiene solo el 40%, pierde el 50% que va al S1 y el 10% va al S2. a. Establecer la matriz de transición

b. ¿Cuál es la proporción de clientes para los supermercados el 1 de noviembre?

c. Hallar el vector de probabilidad estable.

8. la cervecería más importante del mundo Guiness ha contratado a un analista de investigación de operaciones para analizar su posición en el mercado. Están

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preocupados en especial por su mayor competidor Heineken. El analista piensa que el cambio de marca se puede modelar como una Cadena de Markov incluyendo 3 estados, los cliente G y H representan a los clientes que beben cerveza producidas por las mencionadas cervecerías i el estado I representa todas las demás marcas. Los datos se toman cada mes y el analista ha creado la siguiente matriz de transición de datos históricos.

¿Cuáles son los porcentajes de mercado en el estado estable para las dos cervecerías grandes?

9. Consumidores de café en el área Pontevedra usan tres marcas A, B, C. en marzo de 1995 se hizo una encuesta en la que se entrevistó a las 8450 personas que compran café y los resultados son los siguientes:

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a. Si las compras se hacen mensualmente, ¿cuál es la distribución del mercado del café en Pontevedra en el mes de junio?

b. A la larga ¿cómo se distribuirán los clientes del café?

c. En junio, ¿cuál es la proporción de clientes leales a sus marcas de café?

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10.

Una empresa está considerando utilizar Cadenas de Markov para analizar los

cambios en las preferencias de los usuarios por tres marcas distintas de un determinado  producto. El estudio ha arrojado la siguiente estimación de la matriz de probabilidades de cambiarse de una marca a otra cada mes:

Si en la actualidad la participación de mercado es de 45%, 25% y 30%, respectivamente. ¿Cuáles serán las participaciones de mercado de cada marca en dos meses más?

¿Cuál es la cuota de mercado en el largo plazo para cada una de las marcas descritas anteriormente?

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