Ejercicios Completo GUIA2-MICRO (2)

Sección II. Ejercicios y problemas (70 puntos): 1. Suponga que la fabricación de teléfonos celulares es una industria perfectamente competitiva. La demanda en el mercado de teléfonos celulares se describe por una función de demanda lineal Q D  6000  50 P . Por lo tanto, la demanda inversa se puede

9 9 calcular como: P  120  Q D Supongamos también que hay cincuenta fabricantes de 50

teléfonos celulares y cada uno tiene los mismos costos de producción, los cuales se describen por las funciones de costo total y marginal en el largo plazo CT (q)  100  q 2  10q e IMg (q)  2q  10 , respectivamente: a. Muestre que una compañía en esta industria maximiza sus utilidades al fabricar P  10 . q 2

b. Derive la curva de oferta de la industria y muestre que es Q S  25P  250 . c.

Encuentre el precio en el mercado y la cantidad agregada negociada en equilibrio.

d. ¿Cuánto es la producción de cada empresa? Muestre que cada compañía gana cero utilidades en condiciones de equilibrio. Solución: a)

𝑄=

6000 − 50𝑃 9

𝑃 = 120 −

9 𝑄 50

𝐶𝑇 𝑞 = 100 + 𝑞 2 + 10𝑞 𝐶𝑀𝑔 𝑞 = 2𝑞 + 10 𝐼𝑀𝑔 𝑞 = 2𝑞 + 10

b) 𝑄 𝑠 = 50

𝑝 − 10 2

𝑄 𝑠 = 25𝑃 − 250

 Competencia Perfecta 𝐶𝑀𝑔 = 𝑃 2𝑞 + 10 = 𝑃 2𝑞 = 𝑝 − 10 𝑞=

𝑝 − 10 2

c) 𝑄𝑑 = 𝑄 𝑆 6000 − 50𝑃 = 25𝑃 − 250 9 6000 − 50𝑃 = 9 25𝑃 − 250 6000 − 50𝑃 = 225𝑃 − 2250 6000 + 2250 = 225𝑃 + 50𝑃 8250 = 275𝑃 ∴𝑃=

8250 275

𝑃 = 30 La cantidad de equilibrio 6000 − 50 30 = 25 30 − 250 9 6000 − 1500 = 750 − 250 9 500 = 500 ∴ 𝑄 = 500 d) 𝑃 = 30𝑞 = 𝑞=

𝑝 − 10 2

30 − 10 2

𝑞 = 10 Ingreso Total 𝑃 𝑄 = 10 30 = 300 𝜋=𝐼−𝐶 𝜋 = 300 − 100 + 10

2

+ 10 10

𝜋 = 300 − 300 = 0

2. Suponga ahora que se monopoliza la fabricación de teléfonos celulares descrita en el problema anterior. La empresa monopolista tiene que manejar 50 plantas idénticas. Cada planta tiene la misma función de costos que se describió en el problema anterior. La función de costo marginal global para todas las plantas de la empresa monopolista se describe como CMg (Q)  10  Q . También suponemos que la 25

demanda de mercado es igual que en el problema anterior. Recuerde que 6000  50 P . QD  9

a. Demuestre que la función de ingreso marginal de la empresa monopolista es: IMg (Q)  120 

18Q 50

b. Demuestre que el nivel de producción que maximiza las utilidades de la empresa monopolista es: QM  275. ¿Cuál es el precio que fija esta empresa para vender a este nivel de producción? c.

¿Cuáles son las utilidades obtenidas en cada una de las plantas del monopolio?

Solución a) 𝐐=

𝟔𝟎𝟎𝟎 − 𝟓𝟎𝐏 𝟗

9Q = 6000 − 50P 9Q + 50P = 6000 9Q + 50P = 6000 50P = 6000 − 9Q 𝐏=

𝟔𝟎𝟎𝟎 − 𝟗𝐐 𝟓𝟎

Ingreso Total P∗Q =

6000Q − 9Q2 9 = 120Q − Q2 50 50

dIT 50 6000 − 18Q − (6000Q − 9Q2 ) 0 = dQ 502 50 6000 − 18Q 502

=

6000 − 18Q 18Q = 120 − 50 50

IMg = 120 −

18Q 50

b) En Equilibrio 𝐼𝑀𝑔 = 𝐶𝑀𝑔 120 −

18𝑄 𝑄 = 10 + 50 25

120 − 10 = 110 = 𝐐=

8 18𝑄 + 25 50 2𝑄 5

𝟏𝟏𝟎 𝟓 = 𝟐𝟕𝟓 𝟐

Precio 𝑃=

6000 − 9 275 6000 − 2475 = 50 50 𝑃𝑀 = 70.5

c) 𝐼𝑇 = 120 275 −

9 275 50

2

𝐼𝑇 = 33,000 − 13,612.5 = 19,387.5 𝜋 = 19,387.5 − 10𝑄 + 𝜋 = 19,387.5 − [10 275 +

𝑄2 50 275 2 ] 50

𝜋 = 19,387.5 − 4,262.5 = 15,125

3. Un monopolista enfrenta una curva de demanda representada por: y=70-p a. Si los costos marginales y medios son constantes e iguales a 6, ¿qué nivel de producción elegirá el monopolista para maximizar beneficios? ¿A qué precio venderá dicha producción? ¿cuáles son los beneficios del monopolista? b.

2

Si los costos totales fueran CT (y)=0.25y -5y+300, ¿qué nivel de producción elegirá el monopolista para maximizar beneficios? ¿A qué precio venderá dicha producción? ¿Cuáles son los beneficios del monopolista?

Solución Curva de demanda

𝑦 = 70 − 𝑃 𝐶𝑀𝑔 = 𝐶𝑀𝑒 = 6

a) 𝑃 = 70 − 𝑦 Ingreso Total 𝑃𝑦 = 70𝑦 − 𝑦 2 𝐼𝑇 = 70𝑦 − 𝑦 2 Ingreso Marginal 𝑑𝐼𝑇 = 70 − 2𝑦 𝑑𝑦 Condición de Equilibrio del Monopolista 𝐼𝑀𝑔 = 𝐶𝑀𝑔 70 − 2𝑦 = 6 70 − 6 = 2𝑦 𝑦=

70 − 6 = 32 2 𝑦 = 32

Nivel de Producción Monopolista ¿A qué precio venderá dicha producción?

𝑃 = 70 − 𝑦 𝑃 = 70 − 32 = 38 ¿Cuáles son los beneficios? 𝜋 = 38 32 − 6 32 = 1216 − 192 = 1024 b) 𝐶 𝑦 = 0.25𝑦 2 − 5𝑦 + 300 𝐶𝑀𝑔 = 0.5𝑦 − 5 𝐼𝑀𝑔 = 𝐶𝑀𝑔 70 − 2𝑦 = 0.5𝑦 − 5 70 + 5 = 0.5𝑦 + 2𝑦 75 = 2.5𝑦 𝑦=

75 = 30 2.5

Precio 𝑃 = 70 − 30 = 40

Beneficios 𝜋 = 30 40 − 0.25 30

2

− 5 30 + 300

𝜋 = 1200 − 225 + 150 − 300 = 825 4. La demanda de mercado de un producto homogéneo viene dada por: P=20–Q, donde Q es la cantidad producida por las dos empresas tal que Q=q1+q2. Estas producen la misma cantidad con una función de costos C=2q. Determine: a. La solución de Cournot, recuerde determinar primero las funciones de reacción. b. Compare el resultado obtenido con una situación de Competencia Perfecta y Monopolio. c.

Suponga que una de las empresas actúa como líder, muestre el resultado según el modelo de Stackelberg.

d. Cómo se vería alterado el equilibrio de Cournot si la empresa 1 tuviera unos costos de 1.4 y la empresa dos no los altera. Para cada inciso argumente brevemente sus resultados.

a) 𝐶𝑀𝑔 = 2 La solución de Cournot 𝜋1 = 𝑝 ∗ 𝑞 − 𝑐 ∗ 𝑞 𝜋1 = 20 − 𝑞1 − 𝑞2 𝑞1 − 2𝑞1 𝜋1 = 20𝑞1 − 𝑞12 − 𝑞1 𝑞2 − 2𝑞1 𝜋1 = 18𝑞1 − 𝑞12 − 𝑞1 𝑞2 𝑑𝜋1 = 18 − 2𝑞1 − 𝑞2 𝑑𝑞1 𝑑𝜋1 =0 𝑑𝑞1 18 − 2𝑞1 − 𝑞2 = 0 18 = 2𝑞1 + 𝑞2 18 − 𝑞2 = 2𝑞1 𝑞1 =

Función de reacción de la empresa 1

18 − 𝑞2 = 9 − 0.5𝑞2 2 𝑞1 = 9 − 0.5𝑞2

Empresa 2 𝜋2 = 20 − 𝑞1 − 𝑞2 𝑞2 − 2𝑞2 𝜋2 = 20𝑞2 − 𝑞1 𝑞2 − 𝑞22 − 2𝑞2 𝜋2 = 18𝑞2 − 𝑞1 𝑞2 − 𝑞22 𝑑𝜋2 = 18 − 𝑞1 − 2𝑞2 𝑑𝑞2 𝑑𝜋2 =0 𝑑𝑞2 18 − 𝑞1 − 2𝑞2 = 0 18 = 𝑞1 + 2𝑞2 18 − 𝑞1 = 2𝑞2 ∴ Tenemos un sistema de ecuaciones (1) 𝑞1 = 9 − 0.5𝑞2 (2) 𝑞2 = 9 − 0.5𝑞1 Sustituyendo (2) en (1) 𝑞1 = 9 − 0.5 9 − 0.5𝑞1 𝑞1 = 9 − 4.5 + 0.25𝑞1 𝑞1 − 0.25𝑞1 = 9 − 4.5 0.75𝑞1 = 4.5 𝑞1 =

4.5 =6 0.75

𝑞2 = 9 − 0.5 6 = 9 − 3 = 6

El precio 𝑃 = 20 − 𝑄 = 20 − 6 + 6 = 20 − 12 = 8 𝑄 = 𝑞1 + 𝑞2 = 6 + 6 = 12 𝜋 = 8 6 − 6 2 = 48 − 12 = 36

b) Compare el resultado de una situación de competencia perfecta y monopolio. Monopolio 𝐼𝑀𝑔 = 𝐶𝑀𝑔 𝑃 = 20 − 𝑄 𝐼𝑇 = 𝑃𝑄 = 20𝑄 − 𝑄2 𝑑𝐼𝑇 = 20 − 2𝑄 𝑑𝑄 20 − 2𝑄 = 2 20 − 2 = 2𝑄 𝑄=

18 = 9 ∴ 𝑄𝑚 = 9 2

𝑃 = 20 − 𝑄 = 20 − 9 = 11 𝜋𝑚 = 11 9 − 2 9 = 99 − 18 = 81 Competencia perfecta 𝑃 = 𝐶𝑀𝑔 20 − 𝑄 = 2 20 − 2 = 𝑄 ∴ 𝑄 = 18 Precio 𝑃 = 20 − 18 𝑃=2 𝜋 = 18 2 − 2 18 = 36 − 36 = 0 c) Stackelberg 𝑞2 = 𝑞 − 0.5𝑞1 → 𝐸𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑜𝑟𝑎 𝜋1 = 20 − 𝑞1 − 9 − 0.5𝑞1 𝑞1 − 2𝑞1 𝜋1 = 20 − 𝑞1 − 9 + 0.5𝑞1 𝑞1 − 2𝑞1 𝜋1 = 20𝑞1 − 𝑞12 − 9𝑞1 + 0.5𝑞12 − 2𝑞1 𝜋1 = 9𝑞1 + 0.5𝑞12 − 𝑞12 𝜋1 = 9𝑞1 − 0.5𝑞12

𝑑𝜋1 = 9 − 𝑞1 = 0 𝑑𝑞1 𝑞1 = 9 → 𝐸𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎 𝐿𝑖𝑑𝑒𝑟 La producción de la empresa seguidora 𝑞2 = 9 − 0.5 𝑞1 𝑞2 = 9 − 0.5 9 = 9 − 4.5 = 4.5 La producción global 𝑄 = 𝑞1 + 𝑞2 = 9 + 4.5 = 13.5 𝑝 = 20 − 𝑄 = 20 − 13.5 = 6.5 Beneficios 𝜋 = 6.5 13.5 − 13.5 2 = 87.5 − 27 = 60.75 𝜋1 = 9 6.5 − 2 9 = 58.5 − 18 = 40.5 𝜋2 = 4.5 6.5 − 2 4.5 = 29.25 − 9 = 20.25 d) 𝐶𝑀𝑔 = 1.4 𝜋1 = 20 − 𝑞1 − 𝑞2 𝑞1 − 1.4𝑞1 𝜋1 = 20𝑞1 − 𝑞12 − 𝑞1 𝑞2 − 1.4𝑞1 𝜋1 = 18.6𝑞1 − 𝑞12 − 𝑞1 𝑞2 𝑑𝜋1 = 18.6 − 2𝑞1 − 𝑞2 = 0 𝑑𝑞1 18.6 − 2𝑞1 − 𝑞2 = 0 18.6 = 2𝑞1 + 𝑞2 18.6 − 𝑞2 = 2𝑞1 𝑞1 =

18.6 − 𝑞2 2

Función de reacción de la empresa al disminuir costos Rompe la simetría

𝑞1∗ = 9.3 − 0.5𝑞2 𝑞2 = 9 − 0.5𝑞1 𝑞1 = 9.3 − 0.5 9 − 0.5𝑞1 𝑞1 = 9.3 − 4.5 + 0.25𝑞1 𝑞1 = 4.8 + 0.25𝑞1 4.8 𝑞1 = = 6.4 → 𝐸𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎 𝐿𝑖𝑑𝑒𝑟 0.75 𝑞2 = 9 − 0.5 6.4 = 5.8

Producción total 𝑄 = 𝑞1 + 𝑞2 = 6.4 + 5.8 = 12.2 𝑃 = 20 − 𝑄 = 20 − 12.2 = 7.8

𝑞1∗ = 9.3 − 0.5𝑞2

𝜋1 = 7.8 6.4 − 1.4 6.4 = 40.96 𝜋2 = 7.8 5.8 − 2 5.8 = 33.64

5. Considere un campo de prisioneros de guerra con dos individuos y funciones de utilidad tipo Cobb-Douglas como u1  x11 x12 ; u 2 Establezca la curva de contrato de intercambio. 1/ 3 1/ 2

 x121/ 2 x122/ 3 .

En una economía de intercambio puro sin producción la condición de equilibrio es:

Se tiene…

𝑻𝑴𝑺 𝑨𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝟏 = 𝑻𝑴𝑺 𝑨𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝟐 𝑹𝑴𝑺𝟐𝟏 𝟏 = 𝑹𝑴𝑺𝟐𝟏 𝟐 𝑈11 𝑈21 = 𝑈12 𝑈22

U11 = La utilidad del primer agente con respecto al bien 1. U12= La utilidad del primer agente con respecto al bien 2. U21 = La utilidad del segundo agente con respecto del bien 1. U22 = La utilidad del segundo agente con respecto del bien 2. Tenemos…

1

1

3 2 𝑈1 = 𝑋11 𝑋12 1

1

2 3 𝑈2 = 𝑋21 𝑋22

𝑑𝑈1 1 −2 12 = 𝑋113 𝑋12 𝑑𝑋11 3 𝑑𝑈1 1 13 −12 = 𝑋11 𝑋12 𝑑𝑋12 2 𝑑𝑈2 1 −1 13 = 𝑋212 𝑋22 𝑑𝑋21 2 𝑑𝑈22 1 12 −23 = 𝑋 𝑋 𝑑𝑋22 3 21 22 Dividiendo… 2

1

−

1

1 3

1

𝑋 3 𝑋2 3 11 12

1 2

−

𝑋 𝑋 2 11 12

1

=

1

−

1

𝑋 2 𝑋3 2 21 22 1

1

2

−

𝑋2 𝑋 3 3 21 22

2𝑋12 3𝑋22 = 3𝑋11 2𝑋21 2𝑋21 2𝑋12 = 3𝑋22 3𝑋11

4𝑋21 𝑋12 = 9𝑋22 𝑋11 → 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜

6. Considere una economía de intercambio puro con dos bienes (1 y 2) y dos consumidores (A y B), los consumidores tienen respectivamente, las siguientes funciones de utilidad:

u A  x1A x2A



y u B  min x1B , x2B



El consumidor A posee una dotación inicial de tres unidades del bien 1 y una unidad del bien 2; la dotación del consumidor B es de una unidad del bien 1 y tres del bien 2. a. Obtenga gráfica y analíticamente la expresión de las asignaciones eficientes de bienes Pareto-eficientes de esta economía. b. Obtenga el precio y la asignación de equilibrio walrasiano. (Considere al bien 2 como numerario, estos es, p2=1) c. Suponga que se establece que la mejor asignación para esta economía es:

xˆ A  (1,1); xˆ B  (3,3) Determine una distribución inicial de los bienes entre los individuos que conduzca a que tal asignación pueda alcanzarse como equilibrio walrasiano de esta economía. Funciones de Utilidad 𝑈 𝐴 = 𝑋1𝐴 𝑋2𝐴 𝑈 = min 𝑋1𝐵 , 𝑋2𝐵 𝐵

Dotaciones Iniciales 𝑊1𝐴 − 3, 𝑊1𝐵 = 1,

𝑊2𝐴 = 1 𝑊2𝐵 = 3

a) De acuerdo con las funciones de utilidad: Representación Gráfica

A, B, C, D. Son asignaciones eficientes en el sentido de Pareto.

b) Las asignaciones eficientes, en el caso de las funciones de utilidad o preferencias regulares y complementarios perfectos. 𝑅𝑀𝑆 𝐴 = 𝑅𝑀𝑆 𝐵 Restricciones 𝐴𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴: 𝑃1 𝑊1𝐴 + 𝑃2 𝑊2𝐴 = 𝑃1 𝑋1𝐴 + 𝑃2 𝑋2𝐴 𝐴𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐵: 𝑃1 𝑊1𝐵 + 𝑃2 𝑊2𝐵 = 𝑃1 𝑋1𝐵 + 𝑃2 𝑋2𝐵 Para el agente A… C.P.O. ℒ = 𝑋1𝐴 𝑋2𝐴 + 𝜆 𝑃1 𝑊1𝐴 + 𝑃2 𝑊2𝐴 − 𝑃1 𝑋1𝐴 − 𝑃2 𝑋2𝐴 (1) 𝑑ℒ 𝑑 𝑋1𝐴 𝑑ℒ 𝑑 𝑋2𝐴

= 𝑋2𝐴 − 𝝀𝑃1 = 0 (2) = 𝑋1𝐴 − 𝝀𝑃2 = 0 (3)

Dividiendo (2) y (3) 𝑋2𝐴 𝝀𝑃1 𝑋2𝐴 𝑃1 → 𝐴= 𝐴 = 𝑋1 𝝀𝑃2 𝑋1 𝑃2 𝑋2𝐴 = Sustituyendo (4) en la restricción

𝑃1 𝑋1𝐴 𝑃2

(4)

𝑃1 𝑊1𝐴 + 𝑃2 𝑊2𝐴 = 𝑃1 𝑋1𝐴 + 𝑃2 𝑋2𝐴 𝑃1 𝑊1𝐴 + 𝑃2 𝑊2𝐴 = 𝑃1 𝑋1𝐴 + 𝑃2

𝑃1 𝑋1𝐴 𝑃2

𝑃1 𝑊1𝐴 + 𝑃2 𝑊2𝐴 = 𝑃1 𝑋1𝐴 + 𝑃1 𝑋1𝐴 𝑃1 𝑊1𝐴 + 𝑃2 𝑊2𝐴 = 2𝑃1 𝑋1𝐴 𝑋1𝐴 =

𝑃1 𝑊1𝐴 + 𝑃2 𝑊2𝐴 5 2𝑃1

Sustituyendo (5) en la Restricción 𝑃1 𝑊1𝐴 + 𝑃2 𝑊2𝐴 = 𝑃1

𝑃1 𝑊1𝐴 + 𝑃2 𝑊2𝐴 + 𝑃2 𝑋2𝐴 2𝑃1

𝑃1 𝑊1𝐴 + 𝑃2 𝑊2𝐴 =

𝑃1 𝑊1𝐴 + 𝑃2 𝑊2𝐴 𝑃2 𝑋2𝐴 + 2 1

𝑃1 𝑊1𝐴 + 𝑃2 𝑊2𝐴 =

𝑃1 𝑊1𝐴 + 𝑃2 𝑊2𝐴 + 2𝑃2 𝑋2𝐴 2

2 𝑃1 𝑊1𝐴 + 𝑃2 𝑊2𝐴 = 𝑃1 𝑊1𝐴 + 𝑃2 𝑊2𝐴 + 2𝑃2 𝑋2𝐴 2𝑃1 𝑊1𝐴 + 2𝑃2 𝑊2𝐴 − 𝑃1 𝑊1𝐴 − 𝑃2 𝑊2𝐴 = 2𝑃2 𝑋2𝐴

𝑃1 𝑊1𝐴 + 𝑃2 𝑊2𝐴 = 2𝑃2 𝑋2𝐴 𝑋2𝐴 =

𝑋1𝐴 =

𝑃1 𝑊1𝐴 + 𝑃2 𝑊2𝐴 6 2𝑃2

𝑃1 𝑊1𝐴 + 𝑃2 𝑊2𝐴 𝐴 𝑃1 𝑊1𝐴 + 𝑃2 𝑊2𝐴 𝑋2 = 2𝑃1 2𝑃2 𝑊1𝐴 = 3

𝑋1𝐴 =

𝑊2𝐴 = 1

𝑃2 = 1

3𝑃1 + 1 3𝑃1 + 1 7 𝑋2𝐴 = 8 2𝑃1 2

Para el Agente B 𝑈 𝐵 = min 𝑋1𝐵 , 𝑋2𝐵

9

𝑃1 𝑊1𝐵 + 𝑃2 𝑊2𝐵 = 𝑃1 𝑋1𝐵 + 𝑃2 𝑋2𝐵 10 𝑋1𝐵 = 𝑋2𝐵 11 Sustituir (11) en (10) 𝑃1 𝑊1𝐵 + 𝑃2 𝑊2𝐵 = 𝑃1 𝑋2𝐵 + 𝑃2 𝑋2𝐵 𝑃1 𝑊1𝐵 + 𝑃2 𝑊2𝐵 = 𝑋2𝐵 𝑃1 + 𝑃2 𝑋2𝐵 =

∴

𝑃1 𝑊1𝐵 + 𝑃2 𝑊2𝐵 (12) 𝑃1 + 𝑃2 𝑋2𝐵 = 𝑋1𝐵

𝑃1 𝑊1𝐵 + 𝑃2 𝑊2𝐵 = 𝑃1 𝑋1𝐵 + 𝑃2 𝑋1𝐵 𝑃1 𝑊1𝐵 + 𝑃2 𝑊2𝐵 = 𝑋1𝐵 𝑃1 + 𝑃2 𝑋1𝐵 =

𝑃1 𝑊1𝐵 + 𝑃2 𝑊2𝐵 (13) 𝑃1 + 𝑃2

𝑊1𝐵 = 1,

𝑊2𝐵 = 3,

𝑋1𝐵 =

𝑃2 = 1

𝑃1 + 3 𝑃1 + 1

La función de exceso de demanda para el mercado 1 𝑍1 𝑃 =

3𝑃 + 1 𝑃1 + 3 −3+ −1 =0 2𝑃1 𝑃1 + 1 𝑃1 = 1

𝑋1𝐴 =

3𝑃1 + 1 3 1 + 1 4 = = =2 2𝑃1 21 2

𝑋2𝐴 =

3𝑃1 + 1 3 1 + 1 4 = = =2 2 2 2

𝑋1𝐵 = 𝑋2𝐵 =

𝑃1 + 3 1 + 3 4 = = =2 𝑃1 + 1 1 + 1 2

7. Sean dos consumidores, A y B, que tienen preferencias por los bienes x e y representadas por las funciones de utilidad 𝑼𝑨 = 𝟐𝒙𝑨 𝒚𝑨 y 𝑼𝑩 = 𝟒𝒙𝟐𝑩 𝒚𝑩. Si las cantidades existentes en la economía son 𝒙 = 𝟑𝟎 𝒆 𝒚 = 𝟑𝟎, que están repartidas inicialmente entre los consumidores en forma de dotaciones iniciales, (𝒙𝑨 , 𝒚𝑨 ) = 𝟏𝟎, 𝟏𝟎 y (𝒙𝑩 , 𝒚𝑩 ) = 𝟐𝟎, 𝟐𝟎 . a. b. c. d.

Obtenga la expresión de la curva de contrato y represéntela gráficamente. ¿Es la dotación inicial una asignación eficiente en sentido de Pareto? Determine los precios de equilibrio de esta economía de intercambio puro. Compruebe que la asignación de equilibrio competitivo verifica la Ley de Walras. 𝑈𝐴 = 2𝑋𝐴 𝑌𝐴 𝑈𝐵 = 4𝑋𝐵2 𝑌𝐵

Dotaciones Iniciales 𝑋𝐴 = 10

𝑌𝐴 = 10 𝑋𝐵 = 20

𝑌𝐵 = 20

𝑋 = 𝑋𝐴 + 𝑋𝐵 = 10 + 20 = 30 𝑌 = 𝑌𝐴 + 𝑌𝐵 = 10 + 20 = 30 A) Obtenga la expresión de la curva de contrato y represéntelo de forma gráficamente. 𝑅𝑀𝑆 𝐴 = 𝑅𝑀𝑆 𝐵 𝑈𝑋𝐴 𝑈𝑌𝐴 = 𝑈𝑋𝐵 𝑈𝑌𝐵 𝑌𝐴 2𝑌𝐵 = 𝑋𝐴 𝑋𝐵

…

2𝑌𝐴 8𝑌𝐵 = 2𝑋𝐴 4𝑋𝐵

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜.

B) ¿Es la dotación inicial una asignación eficiente en el sentido de Pareto? 𝐴 𝑅𝑀𝑆𝑦,𝑥 =−

𝑈𝑀𝑔𝑋 𝐴 2𝑌 𝐴 2 ∗ 10 = − =− = −1 𝐴 𝐴 𝑈𝑀𝑔𝑌 2𝑋 2 ∗ 10

𝐵 𝑅𝑀𝑆𝑦,𝑥 =−

𝑈𝑀𝑔𝑋 𝐵 2𝑌 𝐵 2 ∗ 20 = − =− = −2 𝑈𝑀𝑔𝑌𝐵 𝑋𝐵 20

−1 ≠ −2

𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑡𝑜.

c) Determine los precios de equilibrio en esta economía de intercambio puro. Las restricciones de los Agentes.

Para el agente A… C.P.O.

𝑃𝑥𝑥𝐴 + 𝑃𝑦𝑦𝐴 = 𝑃𝑥𝑥𝐴 + 𝑃𝑦𝑦𝐴 → 𝐴𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴 𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 = 𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 → 𝐴𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐵 ℒ = 2𝑥𝐴 𝑦𝐴 + 𝜆 𝑃𝑥𝑥𝐴 + 𝑃𝑦𝑦𝐴 − 𝑃𝑥𝑥𝐴 − 𝑃𝑦𝑦𝐴 1 𝑑ℒ = 2𝑦𝐴 − 𝝀𝑃𝑥 = 0 2 𝑑𝑥𝐴 𝑑ℒ = 2𝑥𝐴 − 𝝀𝑃𝑦 = 0 3 𝑑𝑦𝐴 2𝑦𝐴 𝝀𝑃𝑥 𝑃𝑥𝑥𝐴 = → 𝑦𝐴 = 4 2𝑥𝐴 𝝀𝑃𝑦 𝑃𝑦

Sustituyendo (4) en la restricción 𝑃𝑥𝑥𝐴 + 𝑃𝑦𝑦𝐴 = 𝑃𝑥𝑥𝐴 + 𝑃𝑦

𝑃𝑥𝑥𝐴 𝑃𝑦

𝑃𝑥𝑥𝐴 + 𝑃𝑦𝑦𝐴 = 𝑃𝑥𝑥𝐴 + 𝑃𝑥𝑥𝐴 𝑥𝐴 =

𝑃𝑥𝑥𝐴 + 𝑃𝑦𝑦𝐴 5 2𝑃𝑥

Sustituyendo (5) en la restricción 𝑃𝑥𝑥𝐴 + 𝑃𝑦𝑦𝐴 = 𝑃𝑥 𝑃𝑥𝑥𝐴 + 𝑃𝑦𝑦𝐴 = 𝑃𝑥𝑥𝐴 + 𝑃𝑦𝑦𝐴 =

𝑃𝑥𝑥𝐴 + 𝑃𝑦𝑦𝐴 + 𝑃𝑦𝑦𝐴 2𝑃𝑥

𝑃𝑥𝑥𝐴 + 𝑃𝑦𝑦𝐴 𝑃𝑦𝑦𝐴 + 2 1

𝑃𝑥𝑥𝐴 + 𝑃𝑦𝑦𝐴 + 2𝑃𝑦𝑦𝐴 2

2 𝑃𝑥𝑥𝐴 + 𝑃𝑦𝑦𝐴 − 𝑃𝑥𝑥𝐴 − 𝑃𝑦𝑦𝐴 = 2𝑃𝑦𝑦𝐴 𝑃𝑥𝑥𝐴 + 𝑃𝑦𝑦𝐴 = 2𝑃𝑦𝑦𝐴 𝑦𝐴 =

𝑃𝑥𝑥𝐴 + 𝑃𝑦𝑦𝐴 6 2𝑃𝑦

Para el Agente b… ℒ = 4𝑥𝐵2 𝑦𝐵 + 𝜆 𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 − 𝑃𝑥𝑥𝐵 − 𝑃𝑦𝑦𝐵 7

Dividiendo (8) y (9)

𝑑ℒ = 8𝑥𝐵 𝑦𝐵 − 𝜆𝑃𝑥 = 0 𝑑𝑥𝐵

8

𝑑ℒ = 4𝑥𝐵2 − 𝜆𝑃𝑦 = 0 𝑑𝑦𝐵

9

8𝑥𝐵 𝑦𝐵 𝜆𝑃𝑥 = 4𝑥𝐵2 𝜆𝑃𝑦 𝑦𝐵 =

→

2𝑦𝐵 𝑃𝑥 = 𝑥𝐵 𝑃𝑦

𝑃𝑥𝑥𝐵 10 2𝑃𝑦

𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 = 𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 𝑃𝑥𝑥𝐵 𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 = 𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦 2𝑃𝑦 𝑃𝑥𝑥𝐵 𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 = 𝑃𝑥𝑥𝐵 + 2 2𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑥𝑥𝐵 2 2 𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 = 3𝑃𝑥𝑥𝐵

𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 =

𝑥𝐵 =

2 𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 11 3𝑃𝑥

Sustituyendo (11) en la restricción… 𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 = 𝑃𝑥

2 𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 3𝑃𝑥

+ 𝑃𝑦𝑦𝐵

2 𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 𝑃𝑦𝑦𝐵 + 3 1 2𝑃𝑥𝑥𝐵 + 2𝑃𝑦𝑦𝐵 + 3𝑃𝑦𝑦𝐵 𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 = 3 𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 =

3 𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 = 2𝑃𝑥𝑥𝐵 + 2𝑃𝑦𝑦𝐵 + 3𝑃𝑦𝑦𝐵 3𝑃𝑥𝑥𝐵 + 3𝑃𝑦𝑦𝐵 − 2𝑃𝑥𝑥𝐵 − 2𝑃𝑦𝑦𝐵 = 3𝑃𝑦𝑦𝐵 𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 = 3𝑃𝑦𝑦𝐵

𝑦𝐵 =

𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 12 3𝑃𝑦

En Equilibrio general tenemos: (5) y (6), (11) y (12) Utilizando el mercado 1

𝑃𝑥𝑥𝐴 + 𝑃𝑦𝑦𝐴 2 𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 + = 30 2𝑃𝑥 3𝑃𝑥 𝑃𝑥10 + 𝑃𝑦10 2 𝑃𝑥20 + 𝑃𝑦20 + = 30 2𝑃𝑥 3𝑃𝑥 𝑃𝑥 𝑃𝑦10 2𝑃𝑥20 2𝑃𝑦20 + + + = 30 2𝑃𝑥 2𝑃𝑥 3𝑃𝑥 3𝑃𝑥 10 10 𝑃𝑦 40 40 𝑃𝑦 + + + = 30 2 2 𝑃𝑥 3 3 𝑃𝑥 110 𝑃𝑦 110 = 30 − 6 𝑃𝑥 6 110 𝑃𝑦 70 𝑃𝑦 70 = = 6 𝑃𝑥 6 𝑃𝑥 110 𝑃𝑥 110 = ∴ 𝑃𝑥 = 110, 𝑃𝑦 = 70 𝑃𝑦 70 𝑥𝐴∗ = 𝑦𝐴∗ =

𝑥𝐵∗ =

𝑃𝑥𝑥𝐴 + 𝑃𝑦𝑦𝐴 110 10 + 70 10 = = 8.18 2𝑃𝑥 2 110

𝑃𝑥𝑥𝐴 + 𝑃𝑦𝑦𝐴 110 10 + 70 10 = = 12.85 2𝑃𝑦 2 70

2 𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 2[110 20 + 70 20 ] = = 21.82 3𝑃𝑥 3(110)

𝑦𝐵∗ =

𝑃𝑥𝑥𝐵 + 𝑃𝑦𝑦𝐵 110 20 + 70 20 = = 17.14 3𝑃𝑦 3 70 𝑥𝐵∗ = 30 − 𝑥𝐴∗ = 30 − 8.18 = 21.82 𝑦𝐵∗ = 30 − 𝑦𝐴∗ = 30 − 12.86 = 17.14

d) Compruebe el equilibrio competitivo La ley de Walras establece que el valor total de los excesos de demanda de los bienes debe sumar cero a cualquier conjunto de precios. 𝑍𝑥 = 𝑥 − 𝑥 = 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 = 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 = 𝑍𝐴𝑥 + 𝑍𝐵 𝑥 𝑍𝑦 = 𝑦 − 𝑦 = 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 = 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 = 𝑍𝐴 𝑦 + 𝑍𝐵 𝑦 𝑍𝐴𝑥 = 8.18 − 10 = −1.82 𝑥 𝑍𝐵 = 21.82 − 20 = 1.82

𝑦

𝑍𝐴 = 12.86 − 10 = 2.86 𝑦 𝑍𝐵 = 17.14 − 20 = −2.86

𝑍𝑥 = 𝑍𝐴𝑥 + 𝑍𝐵𝑥 = −1.82 + 1.82 = 0 𝑦 𝑦 𝑍𝑦 = 𝑍𝐴 + 𝑍𝐵 = 2.86 − 2.86 = 0

8. Considere una economía de intercambio puro con dos bienes y dos agentes, cuyas dotaciones iniciales y funciones de utilidad son:

8 10  W1    ,W2     30  10 

U(X11,X21) = X11X21+ 12X11+3X21,…U(X12,X22) = X12X22+ 8X12+9X22

a. Determine los precios de equilibrio. b. Encuentre la asignación Óptima de Pareto Funciones de Utilidad 𝑈1 𝑋11 , 𝑋21 = 𝑋11 𝑋21 + 12𝑋11 + 3𝑋21 𝑠. 𝑎. 𝑃1 𝑋11 + 𝑃2 𝑋21 = 𝑚1 𝑈2 𝑋12 , 𝑋22 = 𝑋12 𝑋22 + 8𝑋12 + 9𝑋22 𝑠. 𝑎. 𝑃1 𝑋12 + 𝑃2 𝑋22 = 𝑚2 Dotacionesiniciales 𝑊1 =

8 10 , 𝑊2 = 30 10

a) Determine los precios de equilibrio Para el agente 1… C.P.O. ℒ = 𝑋11 𝑋21 + 12𝑋11 + 3𝑋21 − 𝜆 𝑃1 𝑋11 + 𝑃2 𝑋21 − 𝑚1 1 𝑑ℒ = 𝑋21 + 12 − 𝜆𝑃1 = 0 2 𝑑𝑋11 𝑑ℒ = 𝑋11 + 3 − 𝜆𝑃2 = 0 3 𝑑𝑋21 Dividiendo (2) y (3) 𝑋21 + 12 𝜆𝑃1 𝑋21 + 12 𝑃1 = → = 𝑋11 + 3 𝜆𝑃2 𝑋11 + 3 𝑃2 𝑋21 + 12 =

𝑋21 =

𝑋21 =

𝑃1 𝑋11 + 3 𝑃2

𝑃1 𝑋11 + 3 12 − 𝑃2 1

𝑃1 𝑋11 + 3 − 12𝑃2 4 𝑃2

Sustituyendo (4) en la restricción: 𝑃1 𝑋11 + 𝑃2

𝑃1 𝑋11 + 3 − 12𝑃2 = 𝑚1 𝑃2

𝑃1 𝑋11 + 𝑃1 𝑋11 + 3 − 12𝑃2 = 𝑚1 𝑃1 𝑋11 + 𝑃1 𝑋11 + 3𝑃1 − 12𝑃2 = 𝑚1 2𝑃1 𝑋11 + 3𝑃1 − 12𝑃2 = 𝑚1 2𝑃1 𝑋11 = 𝑚1 − 3𝑃1 + 12𝑃2 𝑚1 − 3𝑃1 + 12𝑃2 𝑋11 = 5 2𝑃1 Sustituyendo (5) en la restricción: 𝑚 − 3𝑃1 + 12𝑃2 𝑃1 + 𝑃2 𝑋21 = 𝑚1 2𝑃1 𝑚 − 3𝑃1 + 12𝑃2 𝑃2 𝑋21 + = 𝑚1 2 1 𝑚 − 3𝑃1 + 12𝑃2 + 2𝑃2 𝑋21 = 𝑚1 2 𝑚 − 3𝑃1 + 12𝑃2 + 2𝑃2 𝑋21 = 2𝑚1 2𝑃2 𝑋21 = 2𝑚1 − 𝑚1 + 3𝑃1 − 12𝑃2 𝑋21 =

𝑚1 + 3𝑃1 − 12𝑃2 6 2𝑃2

Para el agente 2… C.P.O. (7) ℒ = 𝑋12 𝑋22 + 8𝑋12 + 9𝑋22 − 𝜆 𝑃1 𝑋12 + 𝑃2 𝑋22 − 𝑚1 𝑑ℒ = 𝑋22 + 8 − 𝜆𝑃1 = 0 𝑑𝑋12 𝑑ℒ = 𝑋12 + 9 − 𝜆𝑃2 = 0 𝑑𝑋22

8 9

Dividiendo (8) y (9) 𝑋22 + 8 𝜆𝑃1 𝑋22 + 8 𝑃1 = → = 𝑋12 + 9 𝜆𝑃2 𝑋12 + 9 𝑃2 𝑋22 + 8 𝑃1 = 𝑋12 + 9 𝑃2 𝑋22 + 8 =

𝑋22 =

𝑋22 =

𝑃1 𝑋12 + 9 𝑃2

𝑃1 𝑋12 + 9 −8 𝑃2

𝑃1 𝑋12 + 9 − 8𝑃2 10 𝑃2

Sustituyendo (10) en la restricción: 𝑃𝑋12 + 𝑃2 𝑋22 = 𝑚2 𝑃1 𝑋12 + 9 − 8𝑃2 𝑃1 𝑋12 + 𝑃2 = 𝑚2 𝑃2 𝑃1 𝑋12 + 𝑃1 𝑋12 + 9 − 8𝑃2 = 𝑚2 𝑃1 𝑋12 + 𝑃1 𝑋12 + 9𝑃1 − 8𝑃2 = 𝑚2 2𝑃1 𝑋12 + 9𝑃1 − 8𝑃2 = 𝑚2 2𝑃1 𝑋12 = 𝑚2 − 9𝑃1 + 8𝑃2 𝑋12 =

𝑚2 − 9𝑃1 + 8𝑃2 11 2𝑃1

Sustituyendo (11) en la restricción: 𝑃1

𝑚2 − 9𝑃1 + 8𝑃2 + 𝑃2 𝑋22 = 𝑚2 2𝑃1 𝑚2 − 9𝑃1 + 8𝑃2 𝑃2 𝑋22 + = 𝑚2 2 1

𝑚2 − 9𝑃1 + 8𝑃2 + 2𝑃2 𝑋22 = 2𝑚2 2𝑃2 𝑋22 = 2𝑚2 − 𝑚2 + 9𝑃1 − 8𝑃2 2𝑃2 𝑋22 = 𝑚2 + 9𝑃1 − 8𝑃2 𝑋22 =

𝑚2 + 9𝑃1 − 8𝑃2 12 2𝑃2

En equilibrio general se tienen a las ecuaciones (5), (6), (11) y (10) Por ley de Walras se analiza uno de los dos mercados; cuidado con el nivel de ingreso hay que expresarlo en términos de precios dadas las restricciones para cada agente. Por ejemplo: 𝑃1 𝑋11 + 𝑃2 𝑋21 = 𝑚1 → 𝑃1 8 + 𝑃2 10 = 𝑚1 𝑃1 𝑋12 + 𝑃2 𝑋22 = 𝑚2 → 𝑃1 30 + 𝑃2 10 = 42 Precios relativos a partir del primer mercado: 𝑃1 8 + 𝑃2 10 − 3𝑃1 + 12𝑃2 30𝑃1 + 10𝑃2 − 9𝑃1 + 8𝑃2 + = 38 2𝑃1 2𝑃1 𝑃1 8 𝑃2 10 3𝑃1 12𝑃2 30𝑃1 10𝑃2 9𝑃1 8𝑃2 + − + + + − + = 38 2𝑃1 2𝑃1 2𝑃1 2𝑃1 2𝑃1 2𝑃1 2𝑃1 2𝑃1 8 10 𝑃2 3 12 𝑃2 30 10 𝑃2 9 8 𝑃2 + − + + + − + = 38 2 2 𝑃1 2 2 𝑃1 2 2 𝑃1 2 2 𝑃1

20𝑃2 20𝑃2 = 38 − 13 → = 25 𝑃1 𝑃1 𝑃2 25 = , 𝑝1 20

𝑃1 20 = , 𝑃2 25

𝑃1 = 20 ,

∴

𝑃2 = 25

Encuentre la asignación óptima ∗ 𝑋11 =

𝑃1 8 + 𝑃2 10 − 3𝑃1 + 12𝑃2 20 8 + 25 10 − 3 20 + 12 25 = = 16.25 2𝑃1 2 20

∗ 𝑋21 =

∗ 𝑋12 =

𝑃1 8 + 𝑃2 10 + 3𝑃1 − 12𝑃2 20 8 + 25 10 + 3 20 − 12 25 = = 3.4 2𝑃2 2 25

𝑃1 30 + 𝑃2 10 − 9𝑃1 + 8𝑃2 20 30 + 25 10 − 9 20 + 8 25 = = 21.75 2𝑃1 2 20

∗ 𝑋22 =

𝑃1 30 + 𝑃2 10 + 9𝑃1 − 8𝑃2 20 30 + 25 10 + 9 20 − 8 25 = = 16.6 2𝑃2 2 25 𝑊𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 =

8 10 16.25 3.4 𝑊∗ = 30 10 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 21.75 16.6

𝑊𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 8 + 10 + 30 + 10 = 58 Nota: se suman todos los segmentos.

9. En una economía se producen dos bienes, x e y, mediante la utilización de los factores productivos trabajo y capital, L y K, de acuerdo con las siguientes funciones de producción: 𝑥 = 𝐹 𝐿𝑥 , 𝐾𝑥 = (𝐿𝑥 𝐾𝑥 )1/4 𝑦 = 𝐺 𝐿𝑦 , 𝐾𝑦 = (𝐿𝑦 𝐾𝑦 )1/2 La dotación total de factores está limitada, disponiéndose de 25 unidades de trabajo y 25 unidades de capital (𝑳 = 𝟐𝟓, 𝑲 =25). El único consumidor que opera en esta economía tiene unas preferencias representadas por la función de utilidad 𝑼 = 𝒙𝒚. Determine: a. La curva de contrato y grafique. b. La Frontera de Posibilidades de Producción o curva de transformación. Interprete la pendiente. c.

Los niveles de producción y precios correspondientes al equilibrio general competitivo de esta economía. ¿Es óptimo de Pareto?

Breve nota: A diferencia de lo que sucedía en una economía de intercambio puro, donde la oferta de los bienes era exógena y venia dada por las dotaciones iniciales de los mismos, en una economía con producción existen diversas combinaciones posibles de los bienes (x, y) en función de cómo se asigne la oferta total de factores 𝐿, 𝐾 en la producción de ambos bienes. La curva de contrato en producción (CRP) recoge el conjunto de asignaciones eficientes desde el punto de vista de la producción, esto es, asignaciones factibles de factores de modo que no sea posible aumentar la producción de uno de los bienes si no es a costa de reducir la del otro.

La CCP recoge situaciones donde cada empresa alcanza la máxima producción dado el nivel de producción de la otra empresa y el reparto resultante de la dotación inicial de ambos factores es factible, es decir, verifica las condiciones de viabilidad: 𝐿𝑥 + 𝐿𝑦 = 𝐿 𝐾𝑥 + 𝐾𝑦 = 𝐾 Si las tecnologías de ambas empresas son regulares (las curvas de isocuantas son estrictamente convexas), las condiciones de primer orden del problema anterior establecen que para que una asignación sea eficiente desde el punto de vista de la producción: 𝑋 𝑌 𝑅𝑀𝑆𝑇𝑘𝑥 ,𝑙𝑥 = 𝑅𝑀𝑆𝑇𝑘𝑦 ,𝑙𝑦 𝑦

−

𝑥 𝑃𝑀𝑔𝑙𝑦 𝑃𝑀𝑔𝑙𝑥 𝑦 𝑥 = − 𝑃𝑀𝑔𝑘𝑥 𝑃𝑀𝑔𝑘𝑦

Problema Economía con producción dada por: 𝑋 = 𝐹 𝐿𝑥, 𝐾𝑥 = 𝐿𝑥, 𝐾𝑥 𝑦 = 𝐺 𝐿𝑦, 𝐾𝑦 = 𝐿𝑦𝐾𝑦 𝐿 = 25

1 4 1 2

1

1

= 𝐿𝑥 4 𝐾𝑥 4 1

1

= 𝐿𝑦 2 𝐾𝑦 2

𝐾 = 25

Se tiene un consumidor que opera en esta economía, tiene preferencias x, y representadas por la siguiente función de utilidad: 𝑈 = 𝑥𝑦 En el caso de una economía con dos bienes y dos factores, puede deducirse analíticamente la CCP mediante: 𝑀𝑎𝑥 𝑥 = 𝐹 𝐿𝑥, 𝐾𝑥 𝑦 = 𝐺 𝐿𝑦, 𝐾𝑦 Las condiciones de viabilidad:

(1)

𝐿𝑥 + 𝐿𝑦 = 𝐿

𝐾𝑥 + 𝐾𝑦 = 𝐾 2

𝑥 𝑅𝑀𝑆𝑇𝑘𝑥 ,𝑙𝑥

𝑋 = 𝑅𝑀𝑆𝑇𝑘𝑦 ,𝑙𝑦 3 𝑦

−

𝑥 𝑃𝑀𝑔𝑙𝑦 𝑃𝑀𝑔𝑙𝑥 𝑦 𝑥 = − 𝑃𝑀𝑔𝑘𝑥 𝑃𝑀𝑔𝑘𝑦

Por lo tanto, tomando (3) y los datos del ejercicio: 3

1

1

1

3

=1

𝐿𝑥 −4 𝐾𝑥 4 4 1

1

𝐿𝑥 4 𝐾𝑥 −4 4 3 1

1

𝐿𝑥 −4−4 𝐾𝑥 4−

3 4

−

1

1

𝐿𝑦 −2 𝐾𝑦 2 2 1

1

𝐿𝑦 2 𝐾𝑦 −2 2 1 1

1

= 𝐿𝑦 −2−2 𝐾𝑦 2−

1 2

−

𝐿𝑥 −1 𝐾𝑥1 = 𝐿𝑦 −1 𝐾𝑦 1 ∴ 𝐾𝑥

𝐾𝑦

(1) − 𝐿𝑥 = − 𝐿𝑦 → 𝐶𝑃𝑃 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑. Si 𝐿𝑥 + 𝐿𝑦 = 𝐿 Despejando 𝐿𝑦 → 𝐿𝑦 = 𝐿 − 𝐿𝑥 Si 𝐾𝑥 + 𝐾𝑦 = 𝐾 Despejando 𝐾𝑦 → 𝐾𝑦 = 𝐾 − 𝐾𝑥 Si 𝐿 = 25 𝑦 𝐾 = 25 𝐿𝑦 = 25 − 𝐿𝑥 2

𝐾𝑦 = 25 − 𝐾𝑥 3

Sustituyendo (2) y (3) en (1) 𝐾𝑥 25 − 𝐾𝑥 = 𝐿𝑥 25 − 𝐿𝑥 𝐾𝑥 25 − 𝐿𝑥 = 𝐿𝑥 25 − 𝐾𝑥 25𝐾𝑥 − 𝐿𝑥𝐾𝑥 = 25𝐿𝑥 − 𝐿𝑥𝐾𝑥 25𝐾𝑥 = 25𝐿𝑥 𝐾𝑥 =

25 𝐿𝑥 25

→ 𝐾𝑥 = 𝐿𝑥

𝑑𝐾𝑥 = 1 > 0 𝐿𝑎 𝐶𝑃𝑃 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎. 𝑑𝐿𝑥

Gráficamente, la representación de la CCP en la caja de Edgeworth sería:

𝑋 𝑌 𝐴 𝑅𝑀𝑆𝑇𝐾𝑋 ,𝐿𝑋 = 𝑅𝑀𝑆𝑇𝐾𝑌 ,𝐿𝑌

2.- La expresión de la frontera de posibilidades de producción o curva de transformación. 

Teniendo: 𝐿𝑥 = 𝐾𝑥 𝐶. 𝐶. 𝑃. 𝐾𝑦 = 𝐿𝑦



Sustituyendo: 1 4

𝐿𝑥 = 𝐾𝑥 => 𝑥 = 𝐿𝑥 𝐾𝑥 1

1

=> 𝑥 = 𝐿𝑥 𝐿𝑥

1 1

1 4

1

𝑥 = 𝐿𝑥 4 𝐿𝑥 4 = 𝐿𝑥 4+4 => 𝐿𝑥 2 ∴ 1

𝑥 = 𝐿𝑥 2 1 

Elevando (1) al cuadrado: 𝑥

2

2

1

= 𝐿𝑥 2

∴

𝐿𝑥 = 𝑥 2 2 𝐾𝑦 = 𝐿𝑦 => 𝑦 = 𝐿𝑦 𝐾𝑦 1

1

1 2

=> 𝑦 = 𝐿𝑦 𝐿𝑦

1 1

𝑦 = 𝐿𝑦 2 𝐿𝑦 2 = 𝐿𝑦 2+2 = 𝐿𝑦 ∴ 𝐿𝑦 = 𝑦



Con la restricción de factibilidad, se tiene:

3

1 2



𝐿𝑥 + 𝐿𝑦 = 𝐿 𝑥 2 + 𝑦 = 25 De donde se obtiene la expresión analítica de la FPP: 𝐹𝑃𝑃 => 𝑦 = 25 − 𝑥 2 Pendiente ′ 𝑦 = −2𝑥 < 0

𝑥 2 + 𝑦 = 25, 𝑠𝑖

𝑥 = 0 => 𝑦 = 25

𝑥 2 + 𝑦 = 25, 𝑠𝑖 𝑦 = 0 => 𝑥 2 = 25 => 𝑥 = 5

3.- La asignación correspondiente al óptimo de Pareto: Gráficamente se verifica: 𝑦 𝑥 = −2𝑥 ∴

𝑅𝑀𝑆𝑥𝑦 = − 𝑅𝑀𝑆𝑇𝑦𝑥

𝑅𝑀𝑆𝑋𝑌 = 𝑅𝑀𝑆𝑇𝑌𝑋 −

𝑌 = −2𝑋 ∴ 𝑋

𝑌 = 2𝑥 2 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐹𝑃𝑃 𝑌 = 25 − 𝑥 2 Y



Matemáticamente:

𝑀𝑎𝑥𝑥𝑦 𝑈 = 𝑥𝑦 𝑠 ∙ 𝑎 𝑦 = 25 − 𝑥 2 ℒ = 𝑥𝑦 − 𝜆 𝑦 + 𝑥 2 − 25 1 𝑑ℒ = 𝑦 − 𝜆2𝑥 = 0 2 𝑑𝑥 𝑑ℒ = 𝑥−𝜆 =0 3 𝑑𝑦 

Dividiendo (2) y (3) 𝑦 𝜆2𝑥 𝑦 = => = 2𝑥 => 𝑦 = 2𝑥 2 4 𝑥 𝜆 𝑥



Sustituyendo en la restricción: 2𝑥 2 + 𝑥 2 = 25 => 3𝑥 2 = 25 => 𝑥 2 =



25 ∴𝑥= 3

25 ≈ 2.9 3

5

Sustituyendo (5) en (4) 2

𝑦=2∙

25 3

=2

25 50 50 = ∴𝑦= ≈ 16.7 3 3 3

El equilibrio se encontrará en el punto de tangencia de la curva de indiferencia y FPP.

10. En una economía se producen dos bienes, x e y, de acuerdo con las siguientes funciones de producción:

x

Lx 2

y  Ly

1/ 2

Donde Lx y Ly son las cantidades utilizadas en la producción de cada uno de los bienes del factor trabajo, cuya dotación total de la economía está limitada a 100 unidades. a.

Determine y grafique la FPP.

b. Obtenga la Relación Marginal de Transformación.

En una economía se producen dos bienes, x e y; De acuerdo a las siguientes funciones de producción: 1 𝑥 =

𝐿𝑥 2

1

𝑦 = 𝐿𝑦 2 2 Dónde: 𝐿𝑥 + 𝐿𝑦 = 100

3

1.- Determine la expresión analítica de la FPP o curva de transformación y represéntela gráficamente: 

Despejando Lx de la ecuación:(1): 𝐿𝑥 = 2𝑥



Despejando Ly de la ecuación:(2): 1 2

1

𝑦 = 𝐿𝑦 2 => 𝑦 = 𝐿𝑦 2 

4

=> 𝐿𝑦 = 𝑦 2 (5)

Sustituyendo (4) y (5) en (3) 2𝑥 + 𝑦 2 = 100

2𝑥 + 𝑦 2 = 100 → 𝐹𝑃𝑃 𝑆𝑖 𝑥 = 0, 𝑦 2 = 100 →

𝑦 = 100 = 10

𝑆𝑖 𝑦 = 0, 2𝑥 = 100 → 𝑥 =

100 = 50 2

2.- Obtenga la relación marginal de transformación: Tomando FPP: 2𝑥 + 𝑦 2 = 100 Despejando en términos de y: 𝑦 2 = 100 − 2

→

𝑦 2 = 100 − 2𝑥

𝑦 = 100 − 2𝑥 𝑑𝑦 1 = 100 − 2𝑥 𝑑𝑥 2 Si 𝑦 = 100 − 2𝑥

1 2

1 2

−

−2 = −

1 2

2 100 − 2𝑥 2

1 2

−

=−

…Entonces: 𝑑𝑦 1 = − => 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐹𝑃𝑃. 𝑑𝑥 𝑦

1 100 − 2𝑥

1 2