Ejercicios Capitulo 12_CEC

Universidad Tecnológica de Honduras Catedrático: Ing. José Antonio Chinchilla Asignatura: Control Estadístico de la Calidad Sección: 8:30-09:20 p.m. Alumno: César Adalberto Hernández Peña, Cuenta: 221052262 Trabajo: Preguntas y ejercicios del capítulo 12: Muestreo de aceptación.

San Pedro Sula, 23 de September de 2016 Preguntas y ejercicios 1. Explique qué es el muestreo de aceptación. Es el proceso de inspección de una muestra de unidades extraídas de un lote con el propósito de aceptar o rechazar todo el lote. 2. El muestreo de aceptación es una decisión intermedia entre dos extremos: cero inspección o inspección al 100%. Explique en qué condiciones se recomienda aplicar el muestreo de aceptación.  Cuando la inspección se realiza con pruebas destructivas (como pruebas de tensión y resistencia) es indispensable la inspección por muestras, de lo contrario todos los productos serían destruidos por las pruebas.  Cuando el costo de inspección al 100% es demasiado alto en comparación con el costo de pasar unidades defectuosas.  En los casos en que la inspección al 100% es imposible en términos técnicos o económicos.  Cuando el lote está formado por la gran cantidad de artículos que se debe inspeccionar y la probabilidad de error en la inspección es suficientemente alta, de manera que la inspección al 100% podría dejar pasar más unidades defectuosas que un plan de muestreo.  En situaciones donde, históricamente, el vendedor ha tenido excelentes niveles de calidad y se desea una reducción en la cantidad de inspección, pero la capacidad del proceso no es suficientemente buena como para no inspeccionar.  Cuando es necesario asegurar la confiabilidad del producto, aunque la capacidad del proceso fabricante del lote sea satisfactoria. 3. ¿Cuáles son las ventajas del muestreo de aceptación con respecto a la inspección al 100 por ciento? a) Tiene menor costo porque se inspecciona menos, a pesar de algunos costos adicionales generados por la planificación y administración de los planes de muestreo. b) Requiere de menos personal en las actividades de inspección, con lo cual se simplifica el trabajo de coordinación y se reducen costos. c) El producto sufre menos daño porque hay menos manipulación. d) Es aplicable en pruebas destructivas. e) A menudo reduce el error de inspección y la monotonía. f) El rechazo de lotes completos por la existencia de artículos defectuosos proporciona una motivación al fabricante del lote para que mejore su calidad. 4. Comente de manera general en qué consisten los planes de muestreo por atributos y por variables.  En los planes por atributos se extrae de manera aleatoria una o más muestras de un lote y cada pieza de la muestra es clasificada de acuerdo con ciertos atributos como



aceptable o defectuosa; la cantidad de piezas defectuosas es usada para decidir si el lote es aceptado o no. En los planes por variables se toma una muestra aleatoria del lote y a cada unidad se le mide una característica de calidad de tipo continuo (longitud, peso, etc.). Con las mediciones se calcula un estadístico que por lo general está en función de la media, la desviación estándar muestral y las especificaciones, y al comparar el valor de tal estadístico frente a un valor de tablas, se aceptará o rechazará todo el lote.

5. ¿En qué consiste un muestreo doble? Es un plan por atributos en el que se pueden tomar hasta dos muestras para decidir si un lote se acepta o se rechaza. 6. Explique en forma general cómo se recomienda formar un lote que va a ser sometido a un plan de muestreo por aceptación. Se sugiere atender las siguientes recomendaciones para formar los lotes que serán sometidos a un plan de inspección: a) Los lotes deben ser homogéneos. Las unidades que forman el lote en particular deben haber sido fabricadas en condiciones similares en cuanto a máquinas, operadores, materia prima, tiempo (fechas), etc. b) Los lotes deben ser formados de manera que no compliquen su manejo durante la inspección. Todos los artículos de los lotes deben ser empaquetados y embarcados con un mínimo de riesgo y de manera que la selección de las unidades de la muestra sea relativamente fácil. c) Con las reservas del caso, los lotes deben ser tan grandes como sea posible. Esto debido a que en los lotes grandes es necesario inspeccionar, de manera proporcional, menos que en los lotes pequeños; además, los planes que resultan de tamaños de lotes grandes tienen mayor poder para detectar los lotes de mala calidad. 7. Describa qué es y cuál es la utilidad de la curva característica de operación de un plan de muestreo por atributos. La curva CO es un modelo probabilístico que muestra el desempeño de un plan de muestreo al dar la probabilidad de aceptar lotes con niveles de calidad dados. 8. Apoyándose en las propiedades de la curva CO, señale qué tanta influencia tiene el tamaño de lote en el tipo de calidad que acepta un plan de muestreo de aceptación. Al aumentar el tamaño de muestra y el número de aceptación se obtienen planes que tienen mayor potencia para distinguir la buena calidad de la mala. Esta propiedad queda en evidencia en la figura 12.5, en donde se muestran las curvas CO de tres planes de muestreo; nótese que entre mayor es n más rápido cae la curva, no obstante que el número de aceptación c se mantiene proporcional al tamaño de muestra. Entre más rápido caiga la curva, menos probabilidad se tiene de aceptar lotes de mala calidad. Por ejemplo, suponga que un lote con 4% de defectivo se considera de mala calidad, entonces con las tres curvas de la figura 12.5 se tiene que: Plan n = 60, c = 1; probabilidad de aceptación 0.302 Plan n = 120, c = 2; probabilidad de aceptación 0.137 Plan n = 240, c = 4; probabilidad de aceptación 0.035

De esta manera, el último plan sólo dejará pasar 3.5% de los lotes de referencia.

9. Algunas personas tienen la costumbre de tomar un tamaño de muestra igual a cierto porcentaje del tamaño del lote (10%). Con base en las propiedades de la curva CO, ¿es adecuada esta costumbre? No es adecuado, ya que si por ejemplo se tienen lotes de tamaño, N, igual a 300, 500 y 800, el tamaño de muestra se toma igual a cierto porcentaje del tamaño del lote, 10% por ejemplo, entonces los planes de muestreo resultantes son: N = 300 n = 30 c = 0 N = 500 n = 50 c = 0 N = 800 n = 80 c = 0 En la figura 12.6 se muestran las curvas CO para estos tres planes. De allí se observa que estos tres planes, obtenidos con el mismo criterio (no estadístico), proporcionan distintos niveles de protección para un mismo nivel de calidad en los lotes. Por ejemplo, si los lotes tienen una proporción de defectivo de 0.05 (5%), entonces la probabilidad de aceptarlo, Pa, en cada caso es la siguiente: N = 300, Pa = 0.214; N = 500, Pa = 0.0769 N = 800, Pa = 0. 0165 Así, en el primer caso se aceptará 21.4% de los lotes, en el segundo 7.69% y en el último 1.65%. Por lo anterior, obtener el tamaño de muestra igual a un porcentaje del tamaño del lote no tiene el mismo efecto y, por lo tanto, es una forma inadecuada de proceder.

10. Comente el significado de los índices NCA y NCL, así como su relación con el riesgo del productor y el riesgo del consumidor.  El índice NCA (Nivel de calidad aceptable) es el porcentaje máximo de defectuosos que el consumidor considera aceptable en un lote. La relación que existe del NCA con el riesgo del productor (α) es de que un lote se puede rechazar aun y cuando tenga un nivel de calidad aceptable ya que la probabilidad de aceptarlo esta entre 0.90 y 0.95, lo cual indica que un NCA no es igual a 1 y por ende existe un porcentaje de riesgo entre el 0.05 y 0.10 de no aceptarse. Debido a este riesgo, el NCA debe ser un nivel de calidad de referencia para el proceso de producción del productor y de ninguna manera un valor objetivo. Más aún, el productor debe buscar que su proceso opere con un mejor nivel que el NCA. 

El índice NCL (Nivel de calidad límite) es el porcentaje de defectuosos en un lote que el consumidor considera no satisfactorio y quiere que se rechace con alta probabilidad.

Si un lote tiene calidad igual al NCL entonces la probabilidad de aceptarlo debe ser muy baja (por lo general de 0.05, 0.10), y a esta probabilidad se le designa con la letra β. Nótese que la probabilidad de aceptar lotes de calidad no satisfactoria (NCL) no es cero y, por lo tanto, hay un riesgo de no rechazar este tipo de lotes. A este riesgo, que tiene probabilidad igual a β, se le conoce como riesgo del consumidor.

11. Se decide implementar un muestreo de aceptación para atributos con el propósito de regular la salida de lotes de tamaño grande, el nivel de calidad aceptable (NCA o AQL) se fija en 1.2% con α = 0.05 y el NCL = 5% con β = 0.10. a) Con base en lo anterior, bosqueje la curva CO que se requiere para el plan de muestreo.

Curva de Operación Característica (OC) n=164, c=4

Prob. de aceptación

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

2 4 6 8 Porciento defectivo verdadero

10

b) Por medio de las tablas de Cameron encuentre el plan que regulará este muestreo y explique su funcionamiento. NCA=1.2 , α =0.05, NCL=5 , β=0.10 p1=

NCA 1.2 = =0.012 100 100

p2=

NCL 5 = =0.05 100 100

Rc =

p 2 0.05 = =4.167 p 1 0.012

El valor de

R

más cercano a 4.167 es 4.06 A la izquierda de R=4.06 , en la columna de

C , se observa que

C=4

A la derecha de

R=4.06,

en la columna de

np1

se encuentra que

np1=1.97 ,

1.97 así que n= 0.012 =164 Por lo tanto, el plan simple por atributos que ayuda a garantizar los niveles de calidad acordados, es n=164 y c=4. c) Obtenga una forma más o menos exacta de la curva CO para el correspondiente plan, apoyándose en tablas o con ayuda de Excel.

d) ¿El plan encontrado no acepta lotes con 2% de artículos defectuosos? Si los lotes rechazados pueden someterse a inspección 100% y todos los ítems malos son remplazados por buenos, el porciento defectuosos promedio no será mayor del 1.33801% (el AOQL). e) En la redacción inicial del problema se supuso que los lotes eran de tamaño grande dado el tamaño de la muestra, ¿cuál debe ser el tamaño de lote para que se siga cumpliendo la suposición inicial? Este procedimiento genera un plan de muestreo para inspeccionar lotes. En este caso, el plan de muestreo ha sido especificado por el usuario. El plan establece que se deben muestrear 164 ítems de cada lote de 1,000 y que el lote se aceptará sin más

inspección, si el número de ítems malos es menor o igual que 4. Usando tal plan, un lote conteniendo 1.2% de ítems defectuosos será rechazado sólo 3.32233% de las veces, mientras que un lote conteniendo 5.0% de ítems defectuosos será aceptado sólo 6.5611% de las veces. 12. El riesgo del productor está definido por α = .05 para un NCA = 1.5% y el riesgo del consumidor está definido por β = .10 para el NCL = 4.6%. Utilizando las tablas de Cameron seleccione un plan que concuerde con el riesgo del productor y esté tan cerca como sea posible de la condición del consumidor. NCA=1.5 , α =0.05, NCL=4.6 , β=0.10 p1=

NCA 1.5 = =0.015 100 100

p2=

NCL 4.6 = =0.046 100 100

Rc =

p 2 0.046 = =3.067 p 1 0.015

El valor de

R

más cercano a 3.067 es 3.21 A la izquierda de R=3.21 , en la columna de A la derecha de

R=3.21 ,

C , se observa que C=6 en la columna de np1 se encuentra que np1=3.28 ,

3.28 así que n= 0.015 =65 

Por lo tanto, el plan simple por atributos que ayuda a garantizar los niveles de calidad acordados, es n=65 y c=6 .

13. Para medir la eficacia de un proceso en una empresa se cuantifica la proporción de artículos defectuosos. De acuerdo con los datos históricos se tiene que el porcentaje promedio de artículos defectuosos es de 3.5 por ciento. a) Un cliente de esta empresa exige que antes de enviar los embarques, inspeccione los lotes y que aplique un NCA de 2.5%. De acuerdo con esto, con las tablas de Cameron diseñe un plan apropiado suponiendo un NCL = 5% y tamaño de lote grande. 2.5 5 0.05 p1= =0.025 p2= =0.05 RC = =2 100 100 0.025 Tamaño muestra=

11.63 =465.2 ~ – 466 0.025

Muestras con aceptación c=17.

b) Obtenga la curva CO para el plan.

c

Pa =. 995

Pa =. 975

Pa =. 950

Pa = Pa = . .900 750

Pa =. 500

Pa = . 250

Pa =. 100

Pa = 0.050

Pa = 0.02 Pa = . 5 010

Pa =. 005

4 p

10.7 8.24 6 0.017 0.02 7 31

11.6 3 0.02 50

12.8 2 0.02 75

14.98 0.032 1

17.6 7 20.6 23.6 0.03 0.044 0.050 79 2 6

25.5 0.054 7

27.2 29.3 30.8 0.05 0.062 0.06 84 9 61

c) Si el lote tiene un nivel de calidad igual al promedio del proceso, ¿cuál es la probabilidad de aceptarlo? Si el nivel de calidad es de 3.21% la probabilidad será de 75% de aceptación, pero si el nivel de calidad es de 3.79% la probabilidad de aceptación será de 50%. d) ¿Qué opina de la utilidad del plan en este caso? Muy práctico y de mucha utilidad ya que nos arroja la probabilidad de aceptación del lote, y diferentes niveles de calidad para elegir. 14. ¿Cuál es el propósito de los distintos niveles de inspección en las tablas MIL STD 105E? Su propósito es permitir modificar la cantidad de inspección sin afectar el riesgo del productor pero cambiando el riesgo del consumidor, permitiéndose reducir el tamaño de la muestra cuando esto sea necesario (en el caso de los niveles especiales de inspección). 15. ¿Cuál es la finalidad de que un esquema de muestreo obtenido mediante los MIL STD 105E, tenga planes normal, reducido y severo? La finalidad es poder certificar que el proveedor cumple con los estándares de calidad requeridos y si no lo hace se debe penalizar.

16. ¿Cuáles son las diferencias entre el método de Cameron y los MIL STD 105E para obtener planes de muestreo?  El método de Cameron se obtiene suponiendo que el tamaño de lote es grande, por lo que si el tamaño de muestra es más de 10% del lote, entonces el plan obtenido será aproximado.  El método de Cameron garantiza de manera exacta el NCA, mientras que el NCL sólo lo refiere de manera aproximada (debido a que el tamaño de muestra es redondeado).  Los tamaños de muestra seleccionados para usarse en MIL STD 105E son: 2, 3, 5 , 8, 13, 20, 32, 50, 80, 125, 200, 315, 500, 1,250 y 2,000. De aquí que no todos los tamaños de muestra son posibles.  Los tamaños muestrales en MIL STD 105E están relacionados con los tamaños de los lotes. El tamaño de la muestra aumenta con el tamaño del lote y esto da como resultado un incremento de la probabilidad de aceptación para un NCA dado y, por lo tanto, una disminución del riesgo del proveedor. 17. Un proveedor de sábanas y un hotel han decidido evaluar el producto en lotes de 1,000 usando un NCA de 1% con una probabilidad de rechazo de α = 0.10. a) Use el MIL STD 105E y determine los planes de muestreo para c = 0, 1, 2. Para N=1000, según el nivel de inspección II el código es J, que para un muestreo reducido será de n=32, c=1, r=3. Para un muestreo normal será de n=80, c=2, r=3. Para un muestreo severo será de n=80, c=1, r=2. b) ¿Si usted fuera el comprador, cuál de los planes anteriores seleccionaría? ¿Por qué? Seleccionaría el muestreo normal, ya que se está queriendo iniciar con el plan, dependiendo del comportamiento del proveedor según las reglas que proporciona el método cambiara de uno al otro. 18. En una empresa se ha aplicado un muestreo de aceptación con base en MIL STD 105E, en el que usan NCA de 1.5%. Conteste lo siguiente: a) Suponiendo los lotes de 12,000 piezas y usando un nivel de inspección normal (II) encuentre los planes normal, reducido y severo que se aplicarán. Para este tamaño de lote se usara el código de letra M. muestras Aceptable rechazo

Plan normal 315 10 11

Plan reducido 125 5 8

Plan severo 315 8 9

b) De acuerdo con lo anterior, ¿este plan garantiza que no se acepten lotes con un porcentaje de defectuosos mayor a 1.5%? Explique. Recordemos que el NCA tiene una probabilidad de aceptación de los lotes que anda entre 0.89 y 0.99, no lo garantiza puesto que dependerá de otros factores como ser la persona que muestrea, el empaque del lote y su accesibilidad. c) Si el tamaño de lote en lugar de 12,000, fuera de 32,000, compruebe que de acuerdo con MIL STD 105E el tamaño de muestra y el número de aceptación serían los mismos. ¿Por qué cree usted que ocurre esto? Ocurre porque ambos tamaños de lotes se encuentran en el mismo rango.

19. Si en el problema anterior el NCL deseado es 5.0 por ciento: a) Encuentre el plan de muestreo adecuado usando las tablas de Cameron. p1=

1.5 =0.015 100

Tamaño muestra=

p2=

5 =0.05 100

3.28 =218.66 ~ – 219 0.015

RC =

0.05 =3.33 0.015

Muestras con aceptación c=6.

Pa Pa Pa Pa Pa Pa Pa Pa =. =. =. Pa = = . =. =. Pa = Pa = Pa = =. =. c 995 975 950 .900 750 500 250 .100 0.050 0.025 010 005 6 2.03 2.81 3.28 3.89 5.08 6.67 8.55 10.5 11.8 13 14.5 15.6 0.009 0.012 0.015 0.017 0.023 0.030 0.039 0.047 0.053 0.059 0.066 0.071 p 3 8 0 8 2 5 0 9 9 4 2 2 b) ¿Este plan dejará pasar con facilidad lotes que tengan un porcentaje mayor a 5% de artículos defectuosos? En este método la probabilidad de aceptación esta entre el 10% y 5%, es muy difícil que pasen los artículos defectuosos. 20. Mediante un MIL STD 105D, un inspector general de servicios de administración necesita determinar los planes de muestreo simple para la información que se presenta en el cuadro de abajo.

En la tabla siguiente se muestran los planes de muestreos requeridos. Cas o a) b) c) d)

Tamaño Muestras

Aceptable

Rechazo

K=125 D=8 Q=500 E=13

3 0 5 0-1

4 1 8 1-2