EJERCICIOS CAPITULO 11 kreizyg
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EJERCICIOS CAPITULO 11
c) U Ln x 2 y 2 2
U y
2
2 x x y 2 2 2 2 x y 2 x2 x U xx x 2 y 2 2 2 x 2 2 y 2 4 x 2 U xx x 2 y 2 2 2 2 2( y x ) U xx 2 x y 2 2
EJERCICIOS 11.1
2. Comprobar que las funciones (6) son soluciones de (3). a) U x 2 y 2
U x 2 x U xx 2 U y 2 y U yy 2
1
2 y x y 2 2 2 2 x y 2 y 2 y U yy x 2 y 2 2 2 2 2 2 x 2 y 4 y U yy x 2 y 2 2 2( x 2 y 2 ) U yy 2 x y 2 2
2 y 2 y 0 x 2 y 2 22 0 b) U e x cos y
U x e x cos y U xx e x cos y U y e x seny U yy e x cos y
2 y 2 y 0 x 2 y 2 e x cos y e x cos y 0 00
1
U x
x 2 ) 2( x 2 y 2 ) 2 y 2 2 x 2 2 y 2 2 x 2 0 x 2 y 2 2 x 2 y 2 2 x 2 y 2 2
2( y 2
Comprobar que las siguientes funciones son soluciones de la ecuación de laplace.
5. u x 4 6 x 2 y 2 y 4
u x 4 x 3 12 xy 2 u xx 12 x 2 12 y 2 u y 4 y 3 12 x 2 y
3. u 2 xy
u x 2 y u xx 0 u y 2 x u yy 0
2u 2u 0 x 2 y 2 00 0 4. u x 3 3 xy 2
u x 3 x 2 3 y 2 u xx 6 x u y 6 xy u yy 6 x
2u 2u 0 x 2 y 2 6 x 6 x 0
u yy 12 x 2 12 y 2
2 y 2 y 0 x 2 x 2 12 x 2 12 y 2 12 x 2 12 y 2 0 00 6. u e x seny
u x e x seny u xx e x seny u y e x cos y u yy e x seny
2u 2u 0 x 2 y 2 e x seny e x seny 0
7. u senxsenhy
u y
u xx senxsenhy u y senx cosh y u yy senxsenhy
u y
y x
8. u arctan
y x x 2 1 2 y y 1 u x 2 2 . 2 x y x x 2 x 2 y u x 2 2 . 2 x y x y u x 2 2 x y 0( x 2 y 2 ) ( y )(2 x) u xx x 2 y 2 2 2 xy u xx 2 2 2 x y 1
2
.
1
y 2 x 1 2 x 1
.
1
x y x x 2 x 2 1 u y 2 2 . x y x x u y 2 2 x y 0( x 2 y 2 ) x(2 y ) u yy x 2 y 2 2 2 xy u yy 2 2 2 x y 2 u 2 u 0 x 2 2 xy 2 xy 2 2 2 0 2 2 2 x y x y
2 y 2 y 0 x 2 x 2 senxsenhy senxsenhy 0
u x
1
.
2
2
Comprobar que las funciones siguientes son soluciones de la ecuación de onda (1) con un valor aproximado de c. 9. u x 2 4t 2
ut 8t utt 8 u x 2 x u xx 2 2u 2 2 u c 2 t 2 x 2 8 2c c 4 c2 10.
u x 3 3 xt 2
ut 6 xt utt 6 x u x 3 x 2 3t 2 u xx 6 x 2 u 2 2u c 2 t 2 x 2 6 x 6 xc c 1 11. u sen2ctsen2 x
utt 4c 2 sen 2ctsen 2 x u xx 4 sen2ctsen 2 x 2u 2 2 u c 2 t 2 x 2 4c sen2ctsen 2 x c 2 4 sen2ctsen 2 x 4c 2 sen2ctsen 2 x 4c 2 sen2ctsen2 x c 1 12. u cos 4tsenx
utt 16 cos 4tsenx u xx cos 4tsenx 2u 2 2 u c 2 t 2 x 16 cos 4tsenx c 2 cos 4tsenx 16 c 2 c 2 16 c 4 13. u cos ctsenx
utt c 2 cos ctsenx u xx cos ctsenx 2u 2 2u c 2 t 2 x 2 c cos ctsenx c 2 cos ctsenx c2 1 c 1
ut e t cos x u xx e t cos x u 2u c 2 t x e t cos x cu xx e t cos x c 1 16. u e 2t cos x
ut 2e 2t cos x u x e 2t senx u xx e 2t cos x u 2u c 2 t x 2e 2t cos x c e 2t cos x c2
14. u senwctsenw x
ut cos wct ( wc) senwx utt w 2c 2 senwctsenw x u x wsenwct cos wx u xx w2 senwctsenw x 2u 2 2u c 2 t 2 x w2c 2 senwctsenw x c 2 w2 senwctsenw x cc Comprobar que las siguientes funciones son soluciones de la ecuación de calor (2) para un valor adecuado de c. 15. u e t cos x
17.
u e t sen3 x ut e t sen3 x u x 3e t cos 3 x u xx 9e t sen3 x u 2u c 2 t x e t sen3 x c 9e t sen3 x c
1 9
18.
u e4t cos wx
2 2
ut w 2c 2e w c t senwx 2 2
ut 4e 4t cos wx u x e 4t wsenwx u xx e 4t w 2 senwx
u 2u c 2 t x 4e 4t cos wx c e 4t w 2 senwx 4 cw c
4
u x we w c t cos wx u xx w2e w c t senwx u 2u c 2 t x w2c 2 e w c t senwx c w 2e w c t senwx c 1 2 2
2 2
21. Demostrar que u
w
2 2
1
x y 2 z 2 2
es una solución de la
ecuación de Laplace (5).
19. u e
16 t
cos 2 x
ut 16e 16t cos 2 x u x 2e 16t sen2 x u xx 4e 16t cos 2 x u 2u c 2 t x 16e 16t cos 2 x c 4e 16t cos 2 x c4 2 2
20. u e w c t senwx
u
1
v u v x x u x 2 2 2 3 / 2 x x y z 2 x 2 y 2 z 2 2u x x 2 x x 2 y 2 z 2 3 / 2 x 2 y 2 z 2 5 / 2
u v y y y x2 y 2 z 2 3 / 2 2 y 2 x 2 z 2 2 u y 2 2 2 3 / 2 2 2 2 5 / 2 2 y y x y z x y z u v z 2 z z x y 2 z 2 3 / 2 2 z 2 x 2 y 2 2 u z z 2 z x 2 y 2 z 2 3 / 2 x 2 y 2 z 2 5 / 2 2 x 2 y 2 z 2 2 y 2 x 2 z 2 2 z 2 x 2 y 2 2u 2u 2u 2 2 2 2 2 5 / 2 2 2 2 5 / 2 2 2 2 5 / 2 2 x y z x y z x y z x y z 2 2 2 2 2 2 u u u 2 x 2 y 2 z 2 y 2 2 z 2 2 x 2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 5 / 2
2u 2u 2u 0 x 2 y 2 z 2 22. Comprobar que u ( x, y ) a ln( x 2 y 2 ) b satisface la ecuación de Laplace (3) y determinar a y b para que u satisfaga las condiciones en la frontera u=0 sobre la circunferencia x 2 y 2 1 y u=5 sobre la circunferencia x 2 y 2 9
a 2 x x 2 y 2 2a ( x 2 y 2 ) 2ax (2 x ) 2ax 2 2ay 2 4ax 2 u xx x 2 y 2 2 x 2 y 2 2 2a( x 2 y 2 ) u xx x 2 y 2 2 a 2 y u y 2 2 x y 2 a ( x 2 y 2 ) 2 ay (2 y ) 2 ax 2 2ay 2 4 ay 2 u yy x 2 y 2 2 x 2 y 2 2 u x
y 2 ) x 2 y 2 2 2a( x 2 y 2 ) 2a( x 2 y 2 ) 2 2 2 0 x 2 y 2 2 x y 2 2 2a( x y ) 2a( x 2 y 2 ) 0 x 2 y 2 2 00 u ( x, y ) aIn( x 2 y 2 ) b u yy
2a( x
2
cuando u 0 sobre x 2 y 2 0 aIn (1 y
cv(a) cw(b) 2u v a w b cv(a) cw(b) c c 2 t t a t b t c 2 v(a) c 2 w(b) c 2 v(a) w(b) u a v b w x x a x b v(a ) w(b)
1
y ) b (1)0 aIn(1) b 2
2
cuando u 5 sobre x 2 y 2 5 aIn (
1 2
5 aIn
1 2
y y ) b 2
1 2
2
b
v w v(a) w(b) x a b v ( a ) w ( b)
resolviend o 1 y 2 a 5 / ln(2) b0 tenemos : 5 u ( x, y ) ln( x 2 y 2 )
2u
en la ecuación de onda reemplazamos
c 2 v(a) w(b) c 2 v(a) w(b)
ln(2)
23. Demostrar que u ( x, t ) v( x ct ) w( x ct ) es una solución de la ecuación de onda (1) aquí v y w son funciones cualesquiera derivables dos veces.
u ( x, t ) v(a) w(b) a x ct b x ct 2u 2 2u c 2 t 2 x u a v b w t t a t b
y vemos que si se cumple la igualdad.
Si una ecuación incluye derivadas con respecto a una sola variable, esta puede resolverse como una ecuaci ón diferencial ordinaria, tratando la otra variable (o variables) como par ámetros Encontrar las soluciones u(x,y) de 24.
u x 0
u 0 x
u 0 x u g ( y )
25.
u y 0
28.
u y 2 yu 0
u 0 y
u 2 yu 0 y u 2 yu y u u 2 y y ln u y 2 C
u 0 y u f ( x) 26.
u xx 4u 0
2u 4u 0 x 2 2 4 0 2i u C 1e 2ix C 2 e 2 ix u e 0 C 1 cos 2 x C 2 sen 2 x
e ln u e y u Ce y 29.
27.
u xx 0
u 0 x
(ux) 0 x u x f ( y ) u f ( y ) x
u f ( y) x u xf ( y ) g ( y )
2
C
2
u x 2 xyu
u 2 xyu x u u 2 xy y ln u x 2 y C 2
e ln u e x y C 2
u Ce x y
Haciendo 30.
u x P resolver:
31.
u xy 0
si p es función de x P ( x) cons tan te
u xy u x
2u 0 y x u 0 y x P 0 y
u u y x x u u y x x P P x P P y ln P y c( x) e ln P e y c ( x ) 2
P e y ec ( x ) P A( x)e y u A( x)e y x u A( x)e y x u A( x) xe y C
P 0 y P v( x) u v( x) x u v( x) x u a ( x) w( y ) 32.
u xy u x 0 2u u 0 y x x u u y y x P P y P P y ln P y A( x )
u v( x) y u w( x) x
e ln P e y c ( x) P e y e A( x) P v( x)e y u v ( x)e y x u v( x)e y x
u v ( y ) y p u xw( x ) d u y p u xw d w v ( p d ) u x y 2
u v ( x)e w( y) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales parciales. 33.
u x 0
uy 0 u 0 x
u 0 y
u 0 x u 0 y u v ( y ) u v ( y ) y
u w( x) u w( x) x
2
2
u ax bx c
y
34.
u xx 0
u yy 0
u u 0 x x w 0 x w 0 x
u u 0 y y t 0 y t 0 y
w v( y)
t w( x)
u u v( y) w( x) x y u v( y) x u w( x) y u xv( y) ( y)
u yw( x) p( x)
xv( y) y u yw( x) p( x) x u xyv yd z
u xyw xp l
u xyv yd z 2u xy (v w) xp yd ( z l ) u xyw xp l u xya xb yc k 35.
u xx 0
u xy 0 u u 0 x x p 0 x
p 0 x
u u 0 y x w 0 y w 0 y
p v( y) w s ( x) u y v( y ) s( x) x x u v( y) x u s( x) x u xv( y) ( y) u xc h( y)
u xs( x) g ( x)
EJERCICIOS 11.3
Encontrar la deflexión u(x,t) de la cuerda vibrante Correspondiente a la velocidad inicial cero y deflexión inicial dada por: 1.
0.02 sen x longitud l , extremos fijos y c 2
T
1
u ( x , 0 ) f ( x ) l G ( t ) 0 B n * 0 c2
T
n
1
n 1 B n
l
2
f ( x ) sen l 0
B n B n
2
n x dx l
0 .02 senxsenxdx 0
0 . 04
sen xdx 2
0
1 x 1 sen 2 x 2 4 0 B n 0 . 02 0 0 u ( x , t ) 0 .02 cos tsenx B n
0 . 04
cn cn c 1 l
2. K sen3x
3.
k ( senx sen2 x)
2u 2u t 2 x 2 u ( x, t ) u (0, t ) 0
u ( , t ) 0
u ( x,0) f ( x ) k ( senx sen2 x) g ( x ) 0 velocid ad inicial u ( x, t ) F ( x)G (t )
2u y F G t 2 c 2 F ' ' G F G G F ' ' k 2 c G
2u F ' ' x 2
F
F ' 'kF 0
c kG 0 G 2
si k p 2 entoncesobtengola ecu cióndiferencial F ' ' p 2 F 0 La soluciónes F ( x) A cos px Bsenpx
F (0) A 0
F(l) Bsenpl 0
senpl 0
o sea
pl n
p
n
n
2
n k n 2
como k p 2
La ecuación de G(t) es
G 2G
0
si
cn
n
Gn (t ) Bn cos nt Bn* sennt Bn* 0 porque velocidad inicial nula
u ( x, t ) Bn cos nt sennx n 1
u ( x,0) Bn sennx ksenx ksen2 x n 1
u ( x,0) B1 senx B2 sen2 x ksenx ksen2 x B1 k B2 k u ( x, t ) k cos tsenx k cos 2tsen2 x 4.
n 1
n 1
u ( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen n
1n
n
n x L
B*n 0 velocidad inicial 0
n 1
n 1
n 1
n 1
u ( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen
n x
u ( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen(nx)
k x 0 x a a u ( x,0) Bn sen(nx ) f ( x) n 1 k x a x a a 2 k k x sen(nx)dx Bn xsen( nx)dx 0 a a a
Coeficientes Bn:
5.
n 1
n 1
u ( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen n
1n
n
n x L
B* n 0 velocidad inicial 0
n 1
n 1
n 1
n 1
u ( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen
n x
u ( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen( nx)
1 x 0 x 10 4 3 1 x u( x,0) Bn sen(nx) f ( x) x 4 4 n1 10 2 1 3 x x 4 10 / 4 3 / 4 2 1 1 1 Bn xsen(nx)dx x sen(nx)dx x sen(nx)dx 10 2 10 0 10 / 4 3 / 4
solución u(x,t)=
0 si . .0 x 4 4 k x 1. si. 4 x 2 f ( x) 4 k x 3 4 3 x si . . 2 . . 3 x 0 si 4 6.
Sacamos f(x) en los rangos establecidos, con la ecuación de la pendiente. obtenemos:
para n=1,2,3,… en n=4m donde m=1,2,3,…
dados los siguientes datos: n
u(x,t)=? u(x,0)=f(x)
Aplicamos las ecuacion:
u ( x, t ) Bn cos n t sen n 1
2
l
f ( x) sen l 0
n x l
n 1
u ( x, t )
Resolviendo la función con sus límites para obtener Bn: Bn
/ 2 4 4 n x dx 3 / 4 k 3 4 x sen n x dx 0 0 k x 1 sen / 2 3 4 0 / 4
2
Bn
8k
2
2 sen n sen n 2 4 n 2
7.
n x l
8 k
n 1
u ( x, t )
n x dx, l
cn 1n n l
u ( x, t ) B n cos n t sen
donde, n 1,2,... cn n l Bn
obtenemos Bn=0
2
2 sen n sen n cos nt sen nx 2 4 n 2
8 k 5
2
1 7 12 cos t senx 4 (cos 2t ) sen 2 x 72 (cos 3t ) sen 3 x ...
k ( x x 2 ) u ( x,0) 0.01 x ( x ) 2 u 2u t 2 x 2 u ( x, t ) u (0, t ) 0 u ( , t ) 0 u ( x,0) f ( x ) 0.01 x ( x ) g ( x ) 0 velocidad inicial
u ( x, t ) F ( x)G (t ) 2u 2u F G F ' ' G y 2 t x 2 F G c 2 F ' ' G G F ' ' k c 2 G F F ' ' kF 0 G c 2 kG 0 si k p 2 entonces obtengo la ecuación diferencia l F ' ' p 2 F 0 La solución es F ( x) A cos px Bsenpx F (0) A 0 F(l) Bsenpl 0 senpl 0
o sea
pl n
n
p
G 2 G 0
n
si
cn
n 1
u ( x, 0) B n sennx 0.01 x ( x )
0
Bn
0.08 n 3
para n impar
8.
f ( x) k ( 2 x x 3 )
n
n 1
0 .01 x ( x ) sennxdx
Bn 0 para n par
n 1
n 1
u( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen
u ( x, t ) B n cos nt sennx
2
n
G n (t ) B n cos nt B n * sennt B n * 0 porque velocida d inicial nula
B n
0.04 3 (1 cos n ) 3 1 cos n n n
cos tsenx 1 cos 3tsen3 x 0.08 0.08 27 u ( x, t ) 3 cos( nt ) sen(nx) 1 n 1 n cos 5tsen5 x .............. 125
n 2 k n
La ecuación de G(t) es
0.02 2
2
como k p 2
Bn
0 .02
( x x 2 ) sennxdx
0
1n
n
n x L
B*n 0 velocidad inicial 0
n 1
n 1
n 1
n 1
u( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen
n x
u( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen(nx)
1 1 9. k x 2 2 4
u ( x,0) Bn sen(nx ) f ( x) k ( 2 x x 3 ) n1
k ( 2 x x 3 ) sen(nx)dx 0 2 k Bn ( 2 x x 3 ) sen(nx)dx 0 Bn
2
12k cos n cos nt * sennx u ( x, t ) n3 n 1
4
u ( x,0) 0.01 x( 2 x 2 ) 2u 2u t 2 x 2 u ( x, t ) u (0, t ) 0 u ( , t ) 0 u ( x,0) f ( x) 0.01 x( 2 x 2 ) g ( x) 0 velocidad inicial u ( x, t ) F ( x)G (t ) 2u 2u F ' ' G F G y t 2 x 2 F G c 2 F ' ' G G F ' ' k c 2 G F F ' 'kF 0 G c 2 kG 0 si k p 2 entonces obtengo la ecuación diferencia l F ' ' p 2 F 0 La solución es F ( x) A cos px Bsenpx F (0) A 0 F(l) Bsenpl 0
senpl 0
o sea
pl n
p
n
2
como k p 2
n k n 2
La ecuación de G(t) es
G 2 G 0
si
cn
n
Gn (t ) Bn cos nt Bn * sennt Bn * 0 porque velocidad inicial nula
0.02 6 cos n
0.12
0.12
( 1)1 (1) n 3 (1) n 1 n n n 3 cos tsenx 1 cos 2tsen2 x 0.12 8 u ( x, t ) 3 ( 1) n 1 cos(nt ) sen(nx) 0.12 1 n 1 n cos 3tsen3 x ........ 27
Bn
n
10.
3
F(x)=0
g(x)= 0.1sen2x
u ( x, t ) Bn cos nt sennx
Como f(x) 0 implica que Bn
n 1
u ( x,0) Bn sennx 0.01 x( x ) 2
2
Bn
2
0.01 x( 2
0
x 2 ) sennxdx
0.02
n
n 1
x(
2
x 2 ) sennxdx
0
cn 1n n l
( x, t )
0
( x, t )
n x l
( Bn sen n t ) sen
( Bn sennt ) sennx
n 1
*
*
n 1
u n( Bn* cos nt ) sennx t n 1
u * ( x,0) n( Bn cos 0) sennx 0.1 sen2 x t n 1
n B
n
*
sennx 0.1 sen2 x
n 1
sen2 x 0.1 sen2 x B2 0.05 ( x, t ) 0.05 sen2 sen2 x 2 B2 *
*
11. f ( x) 0.1 senx, g ( x) 0.2 senx 0.08
a1
a3
12.
0.08 27
a1 0.08 27 27 0.08 a3
a
2
n
n 1
1
( f ( x)) dx 2
1
( ) ( x) sen(nx)dx xsen nx dx n 0 / 2 n u ( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos n t ) sen x L n 1 n 1 1n B * n 0 velocidad inicial 0 n n
(0.01 x( x))
a1 a3 a5 ..........
0.0001
2
0.02
/ 2
Bn *
a1 2 a3 2 a5 2 .......... 2
0.01 x 0 x 2 f 0 g ( x) 0.01( x) x 2 / 2 2 Bn * 0.01 xsen(nx)dx 0.01( x) sen(nx)dx n 0 / 2
2
2
dx
( x x ) dx 2
2
n 1
n 1
n 1
n 1
u ( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen
n x
u ( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen(nx) Como f(x) 0 implica que Bn
0.0001 30 30 2 0.08 0.0064 30 1920 4 6 6
a1 2 a 2 2 a 3 2 .......... 2
a1 a1 a 2 a 3 2 .......... 2
2
0.0001
5
4
0.0001 30
0.0001
n
0
cn 1n n l
( x, t ) ( x, t )
n x l
( Bn sen n t ) sen
( Bn sennt ) sennx
n 1 n 1
*
*
14. ¿De que manera la frecuencia del modo fundamental de la cuerda vibratoria depende de longitud de la misma, de la tensión y de la masa por unidad de longitud?
n
cn 2 L
2 modo fundamental 1 2 1
c 1
n sen 2 u ( x, t ) 3 sen(nt ) sen(nx) 25 n n 1
2 c 2 L
T
c
L
n 1
c 2 L
L longitud
T tension masa por unidad de longitud
T L
Se concluye que la frecuencia del modo fundamental es directamente proporcional a la tensi ón e inversamente proporcional a la masa por unidad de longitud y la longitud de la cuerda. Encontrar las soluciones u(x,y), de las ecuaciones siguientes, separando variables. 16. u x u y 0 El método del producto conduce a la solución de la forma.
u ( x, y) F ( x)G (t )
Obteniendo la solución:
u x F ' G u y FG ' F ' G FG ' 0
u ( x, ) F ( x )G ( ) u ( x, y ) Ke cx Ke cy u ( x, y ) Ke c x y
La ecuación de la cuerda vibrante es igual a una constante
17.
F ' G FG' c F ' c F G' c G Al integrar las variables, resolviendo con respecto a x, tenemos.
dF
F cdx ln F cx K
F Ke cx Al integrar las variables, resolviendo con respecto a y, tenemos: G'
c G dG G cdy ln G cy K G Ke cy
u ( x, y ) F ( x) G ( y) u F G u x F `G u y F G`
F `G F G` 2 xu 2 yu F `G 2 xu 2 yu F G ` Como u F G, reemplazo ese valor en la ecuación anterior : F `G 2 x( F G ) 2 y ( F G ) F G ` F `G 2 xFG 2 yFG F G` G ( F `2 xF ) F (2 yG G`) G F 2 yG G ` F `2 xF Ahora igualando a una cons tan te " c": G F c c F `2 xF 2 yG G `
G c (2 yG G `) G c ( 2 yG G`) 0 G 2cyG cG` 0 cG` 2cyG G cG` G (2cy 1) G` 2cy 1 G c Ahora int egramos : 2cydy dy ln G c c ln G y
2
y k c
y y 2 k ln G c y 2 y k c
e
e k e
G
y 2 y c
G
F c ( F `2 xF ) F c ( F `2 xF ) 0 F cF `2cxF 0 F 2cxF cF ` F (1 2cx) cF ` 1 2cx F ` c F
G k e
x u k e
x 2 x k ln F c x x 2 k ln F c x 2 x k c
e
e k e
F
x 2 x c
F
F k e
x 2 x c
2
x c
y k e
2
y c
2 2 x y x y c c
u k e u k e
2cxdx dx c c ln F
Como e k es una cons tan te, entonces se le asigna el valor de " k ": y 2 y c
Tenemos que u F G , luego :
2 2 1 x y c x y
u k e x 18.
2
y 2 c x y
xu x yu y 0 u ( x, y) F ( x) G ( y) u x F 'G u y F G ' xF ' G yFG' xF ' yG' c F G
dF c Fdx x dF c F x dx
F c ln x K 1 F e c ln x k F K 3 x c dG c Gdy y dG c G y dy ln G c ln y K 2 G e c ln y k G K 4 y c u x , y K 3 x c K 4 y u ( x , y ) Kx c y c
reemplazando :
ln
y F x G y xF x G y F x G y c xF x yG y F x xcF x dF xcdx F x x 2 LnF c
1
2
2
19.
yu x xu y 0 u u y x 0 x y
x 2
c
F x A1e 2
para G(y) entonces :
G y ycG y dG ycdy G y y 2 LnG c 2
y 2
G y A2 e 2
u ( x, y ) F x G y u F x G y x u F x G y y
c
c
u ( x, y ) F x G y x 2
y 2
c
u ( x, y ) A1e A2e 2 2
c
u ( x, y ) B1e 2
x y 2
c
2
Respuesta.
20.
u xx u yy 0 u ( x, y ) F ( x)G ( y ) u xx F ´´G u yy FG´´ F ´´G FG´´ 0 F ´´G FG´´ c F G c2 F G 2 F c F 0 G c 2G 0 F ( x) Ae cx Be cx G ( y ) C cos(cy ) Dsen(cy ) u ( Ae cx Be cx )(C cos(cy ) Dsen(cy )) u ( x, y ) e cx (C 1 cos cy C 2 sency ) e cx (C 3 cos cy C 4 sency ) 21. u x
yu y 0 u x, y F x .G y
u x F 1.G u y F .G1 F 1.G y F . .G1 0
. .G1 F 1.G y F
F 1 yG1 c F G F 1 c F dF c.dx F ln F c. x F A.e c. x F A.e c. x u x, y k .e c. x . y c
G1 c G y dG c dy G y ln G c. ln y G B.ec. ln y G B. y c
22. ux + uy = 2 (x + y) u
u ( x, y ) F ( x ) G ( y ) u F G u x F `G u y F G ` F `G F G ` 2 xu 2 yu F `G 2 xu 2 yu F G`
u ( x, y ) F ( x) G( y ) u F G u x F `G u y F G` F `G F G` 2 xu 2 yu F `G 2 xu 2 yu F G` Como u F G, reemplazo ese valor en la ecuación anterior : F `G 2 x ( F G) 2 y ( F G) F G` F `G 2 xFG 2 yFG F G` G ( F `2 xF ) F (2 yG G`) G F 2 yG G ` F `2 xF G c 2 yG G ` u ( x, ) F ( x) G( ) u F G
u x F `G u y F G` F `G F G` 2 xu 2 yu F `G 2 xu 2 yu F G` Como u F G, reemplazo ese valor en la ecuación anterior : F `G 2 x( F G ) 2 y( F G) F G` F `G 2 xFG 2 yFG F G` G ( F `2 xF ) F (2 yG G`) G F 2 yG G` F `2 xF
ln G y 2
y k c
x 2 x k ln F c x x 2 k ln F c
y y 2 k ln G c y 2 y k c
e
x 2 x k c
G
y 2 y c
e k e
e
x 2 x c
e k e
G
y 2 y c
G k e x u k e
2
x c
F
F k e
k e
y 2 y c
F
x 2 x c
x 2 y 2 x y c c
u k e u k e
x 2 y 2 1 x y c
u k e x
2
y 2 c x y
23. Uxy - U = 0 Decimos que U es un producto de dos funciones, cada una de las cuales sólo depende de una variable, en éste caso F es función de x y G será función de y, por lo que tendremos lo siguiente: U (x,y) = F (x) * G (y) Uxy - U = 0
F (x) ‘ * G (y)’ = F (x) * G (y) = C U = K e (Cx + y/C) Separando las variables tendremos dos ecuaciones diferenciales. F’/ F = C G’/G = C
y
F’ - CF = 0 dF / F = C dx ln F = Cx F = A eCx
y 2
y 2
y k ln G c
y 2 y k c
Resolviendo estas dos ecuaciones tendremos....
y k c
ln G
e
e k e
x x 2 k ln F c x x 2 k ln F c x 2 x k c
G
y 2 y c
e
e k e
G
y 2 y c
G k e x u k e
y
G / G’ = C G’ / G = 1/C dG /G = dy / C ln G = y /C G = B e y/C Recordando lo anteriormente expuesto.... U (x,y) = F (x) * G (y) U (x,y) = A eCx * B e y/C Donde podemos decir que la multiplicaci ón de las constantes A y B, dan como resultado una nueva constante que la denominaremos K.
2 x c
F k e
k e
y 2 y c
x 2 y 2 x y c c
u k e
x 2 y 2 1 x y c
u k e
u k e x
2
y 2 c x y
24.
x 2 u xy 3 y 2 u 0 u ( x , y ) F ( x ) G ( x ) u x F ' G u xy F ' G ' x 2 F ' G ' 3 y 2 FG 0 3 y 2 G x 2 F ' c F G'
F
x 2 x c
F
x 2 x c
dF c Fdx x 2 dF cdx F x 2 ln F c
1
x
dF c Fdx x 2 dF cdx F x2
K 1
ln F c c x
1
c K 1 x
F e K 3 e 3 y 2 dG Gdy c dG 3 y 2 G c dy y 3 ln G K 2 c y
3
Ge c
K 2
y
c x
u ( x, y ) K e
K 1
1
c K 1
c x
25. Demostrar que las vibraciones forzadas de una cuerda elástica se rigen 3
por u tt u xx
fuerza externa por unidad perpendicular a la cuerda .
y 3
P
de
, donde P(x,y) es la longitud
K 4 e c
y 3 c c x
K e
y 3 x c 2 cx
x u xy 3 y u 0 u ( x, y ) F ( x) G ( x) u x F ' G u xy F ' G ' 2
x
F e x K 3e 2 dG 3 y Gdy c
K 4 e c
u ( x, y ) K 3 e
1
x
T 2 sen T 1 sen P
2 y t 2
2
x 2 F ' G '3 y 2 FG 0 2 x 2 F ' 3 y G c F G'
T 2 sen T 1 sen P 2u x T 2 cos T 1 cos T T t 2 P 2u tg tg x 2 T T t 2 u P P 2u 2 2 x T T t
que
actua
T 2 u x 2
P
2u t 2
2 2u P 2 u c 2 2 t x
u tt u xx
P
26. Suponer que la fuerza externa es senoidal, por e je jemplo, P = Añ sen wt. Demostrar que
P / p Asenwt
k (t )sen n
n 1
n x L
27. Demostrar que al sustituir u P/p del problema 26 en (18) se obtiene.
G G n n n 2
n
2 A
n
1
cos n senwt
cn L
Demostrar que si n w 2 la sol ción es: 2
Gn (t ) Bn cos nt Bn * sen nt
2 A1 cos n
n n w 2
2
senwt
P n x Asenwt k n (t ) sen p L n 1 2 A 1 cos n senwt k n n n x u ( x, t ) Gn (t ) sen L n 1 n x utt Gn (t ) sen L n 1 n n x u x Gn (t ) cos L L n 1 n 2 2 n x u xx Gn (t ) 2 cos L n 1 L P 2 A n x 1 cos n sen sewt p L n 1 n
sustitiyendo en :
utt c 2u xx
P p
n 2 2 n x 2 A n x 2 n x Gn (t ) sen c Gn (t ) 2 cos 1 cos n sen sewt L L L n L 1 n 1 n 1 n
c 2 n 2 2 n x 2 A n x 1 cos n sen sewt Gn (t ) 2 cos L L n 1 n 1 n 1 n L 2 n x cn n x 2 A Gn (t ) 1 cos n sen sewt Gn (t ) sen L L L 1 n n 1 n
n x
G (t ) sen L n
2
cn 2 A Gn (t ) Gn (t ) 1 cos n sewt n L A cn 2 2 G ( 2) G 1 cos n sewt n n n n n L
Gn n 2Gn 0 r 2 n 2 0 r i n Gh Bn cos n t Bn * sen n t G p Csenwt G p Cw cos wt G p Cw2 senwt sustituyendo en (2) :
Cw2 senwt n 2Csenwt
n
2
w2 Csenwt
2 A
n
2 A
n
1 cos n sewt
1 cos n sewt
n
2
C
w2 C
2 A
n 2 A1 cos n
n
n n w 2 A1 cos n G p senwt n n 2 w2 Gn (t ) Gh (t ) G p (t ) 2
n x 2 Aw(1 cos n ) u t ( x, t ) n B n sen n t n B n * cos n t cos wt sen L n ( n 2 w 2 ) n 1 2 Aw(1 cos n ) sen n x 0 u t ( x,0) n B n * 2 L n ( n w 2 ) n 1
1 cos n
2
Gn (t ) n cos nt Bn* sen nt
2
w2
2 A1 cos n
n n 2 w2
senwt
28. Determinar B n y Bn* del problema 27 de tal modo que u satisfaga las condiciones iniciales u (x,0) = f(x), u t (x, o) = 0
u ( x, t ) Gn ( x, t ) sen n 1
n x L
Gn Bn cos n t Bn* sen nt n
*
2 Aw(1 cos n )
0 n ( n 2 w 2 ) 2 Aw(1 cos n ) B n * 2 n n ( n w 2 ) n x u ( x,0) B n sen f ( x) L n 1 L n x 2 B n f ( x ) sen dx L 0 L n Bn
29. Demostrar que en el caso de resonancia n w2 2
G n (t ) Bn cos wt Bn * senwt 2 A(1 cos n )
n ( n 2 w2 )
senwt
cn L
n x 2 A(1 cos n ) u ( x, t ) Bn cos n t Bn* sen nt senwt sen 2 2 L n ( n w ) n 1
(1)
utt c 2u xx
A 1 cos n t cos wt n w
P p
P n x Asenwt k n sen p l n 1 n x u ( x, t ) Gn (t ) sen l n 1 n x utt Gn (t ) sen l n 1
G p t C 1 senwt C 2 cos wt
2
n n x u xx Gn sen l l n 1
G p C 1 senwt C 2 cos wt t C 1 w cos wt C 2 wsenwt
sustituyendo en (1)
G p C 1w cos wt C 2 wsenwt C 1w cos wt C 2 wsenwt
n x
n
2
n x
n x
G (t ) sen l c G l sen l k sen l 2
n
n
n 1
n 1
n 2
n 1
2
n
n
n x n x k n sen l n 1 l
G (t ) c G l sen n 1
n
2 cn n x n x sen k n sen Gn (t ) Gn l l n1 l n 1
se igualan los coeficient es de seno
G
n
cn n l
n Gn k n 2
Gn n 2Gn
2 A 1 cos n senwt n
si n w Gn w2Gn
t C 1w 2 senwt C 2 w2 cos wt G p 2C 1w cos wt 2C 2 wsenwt w 2t C 1 senwt C 2 cos wt G p w2G p
2 A
n
1 cos n senwt
2C 1w cos wt 2C 2 wsenwt
2 A
n
1 cos n senwt
C 1 0 2 A 1 cos n n A 1 cos n C 2 n w
2C 2 w
A 1 cos n cos wt n w Gn (t ) Gh G p G p t
2 A
n
1 cos n senwt
Gn w2Gn 0 r 2 w2 0 r iw Gh Bn cos wt Bn* senwt
Gn (t ) Bn cos wt Bn* senwt
A 1 cos n t cos wt n w
EJERCICIOS 11.4
Aplicando 14 trazar una figura de la deflexi ón de la deflexión u(x,t) de una cuerda vibrante (longitud L=1, extremos fijos, c=1) empezando con velocidad inicial cero y la deflexión inicial f(x) que se da a continuación, donde k es pequeña. Ej. k = 0.01 1. (14)
1
u ( x, t ) f ( x ct ) f ( x ct ) 2
u(x,t)
f ( x) kx(1 x ) k ( x x 2 ) ct=0
1
u ( x, t ) k x ct x ct 2 x ct x ct 2 2 1
.
u ( x, t ) 0.01 x ct x ct 2 x ct x ct 2 2
u ( x, t ) 0.005 x ct x ct 2 x ct x ct 2
-1
1
t
u(x,t)
u(x,t)
ct=1/5
ct=3/5
t -1
1
-1
2. f ( x ) = k s x f ( k sen 2
u(x,t)
t
0 .0 1 sen 2 x
( 6 x ,, t ) f ( ( x +c ) t x -c ) t 6 ) U ( U ( x t ) = 1 / 2 ( 2 ( f t + f ( f ( t ))
ct=2/5
( x, t ) -1
1
1
t
( x, t )
1 2
0.01 sen2 x 2 ct 0.01 sen( 2 x 2 ct )
x cos 2 ct cos 2 xsen2 ct ) 1 0.01( sen 2
sen x ct xsen ct 2 cos 2 cos 2 2 ) 2 0.01(
1
0.02 sen2 x cos 2 ct 2 ( x, t ) 0.01 sen2 x cos 2 ct ( x, t )
3.
f ( x) k ( x x 3 ) 1
u ( x, t ) k x ct x ct 3 x ct x ct 3
u(x,t) 0,01 t=0
u ( x, t ) 0.005 x ct x ct 3 x ct x ct 3
u(x,t) t=1 / 8c 1 u(x,t)
0
t= 1 / 4c 1 u(x,t)
t = 3 / 8c -0,007
1
u(x,t) t = 1 / 2c 1
-0,01
u ( x, t ) 0.01 x ct x ct 3 x ct x ct 3 2
1
0,007
2 1
u(x,t) 0,01 t=1/c 1
u(x,t)
u(x,t)
ct=2/5
ct=0
t -1
-1
1
u(x,t)
u(x,t)
ct=1/5
-1
t
1
ct=3/5
1
-1
t
4.
F ( x) k x 2 x 4
1
t
(6) u ( x, t ) 1
k x ct 2
u ( x, t )
2
1 2
f x ct f x ct
x ct 4 k x ct 2 x ct 4
u ( x, t )
1
2k x ct 2 2
u ( x, t ) k ( x 2 2 xct c 2t 2 ) 2 2 1 2 1 2 1 u ( x, ) k x 2 xc c k x 2 x 3c 3c 3 9 3c
1
2 2 1 1 2 1 u ( x, ) k x 2 xc c k x 2 x 2c 2c 4 2c
1
2 3c
) k x 2
2 xc
2 c 2 3c 3c 2
2
2 4 4 k x x 3 9
2 2 1 2 1 u( x, ) k x 2 xc c k x 2 2x 1 c 3c 3c
1
L=1 G(x) = 0 K = 0,01
f ( x) u. sen2 x f( x) 0, 01 sen2 x aplicando 1
u ( x, t ) f * ( x ct ) f * ( x ct) 2
u ( x,0) kx 2
u ( x,
5. f(x) = k sen2 x
donde : f* estenciòn.. periodica.. impar.. de.. f .. con.. periodo..2 1
u ( x, t ) f ( x ct) f ( x ct)
2 se.. va.. avar iar.. valores.. ct
ct 0 1/ 2.(0, 01). sen2 ( x 0) 0,005 sen2 x f( x) (0, 01). sen2 x f'( x) 0, 02. sen2 x
t=0 u(x,0)
7. Demostrar que c es la rapidez de las dos ondas dadas por (4) ct 1/ 2 (f )x
1
(f )x
2 1
(0, 01). sen2 ( x 1/ 2)
2 1
(0, 01). sen2 ( x 1/ 2)
u ( x, t ) (0, 01).sen 2 (x 1/ 2) (0, 01).sen 2 (x 1/ 2) 2 1 1 u ( x, t ) 0, 005 sen 2 ( x ) .sen 2 ( x ) 2 2
t=1/2
Si t 0 es un parámetro digamos el tiempo, entonces las funciones h ( x ct ) representan una familia de funciones con la misma forma que h ( x ) pero recorridas más i más hacia la izquierda cuando t . Por lo tanto la funci ón h( x ct ) es una onda viajera que se mueve hacia la izquierda con velocidad c porque la variable ct representa espacio recorrido en dirección horizontal. De manera similar h ( x ct ) es una onda viajera que se mueve hacia la derecha con velocidad c. 8. 9. ¿Cuáles son las frecuencias de las eigenfunciones del problema 8?
L 2 m 6,562 pies P 0,16 lb
0,16 6,562
F n 2 F 0
0,02438
T
cn 2l
Una solución general es.
T 45 lb
c
En donde:
45 0,02438
Gn (t ) Bn cos nt Bn*sen n
42,958
En donde las funciones quedan expresadas como:
cn 42,958n n 20,56n 6,562 L
U ( x, t ) ( Bn cos nt Bn* sen nt ) sen
11. Demostrar que en virtud de la condici ón en la frontera (2) de la sección 11.3 la función f de (14) de esta sección debe ser impar y de periodo 2l Frontera (2): U(o, t)=0 U (l, t)=0 Condición: x = 0 y x = 2l.
F kF 0 F p 2 F 0 F x A cos px Bsenpx F 0 A 0 F l Bsenpx
para t.
p
n l
De la misma manera B = 1 se puede hallar las soluciones de la condición de f (6) que me pide. Ahora restringe k a los valores la ecuación toma la forma:
k p2 n / 2l 2 , entonces
n x 2l
Con
(n
1,3,5.....
Aplicando la transformación indicada resolver la siguiente ecuación: 12.
Uxy Uyy 0 ( v x, z x y ) V V x y Vx 1 Vy 0 V Z x y Zx 1 Zy 1 Ux Uv Vx Uz Zx Ux Uv Uz Uxy Uvv Vy Uvz Zy Uzv Vy Uzz Zy Uxy Uzv Uzz Uy Uv Vy Uz Zy Uy Uz Uyy Uzv Vy Uzz Zy Uyy Uzz Uvz Uzz 0 Uvz 0
Uvz
d 2u 0 dvdz
du h(u ) dv u ln( v) dv C( z) u ( x, t ) 0( x, ct) 0( x ct ) u ( x, t ) f1 ( x) f2 ( x y ) 13. x xy
y yy y
v x, z xy
xU xy yU yy U y V x 1 V y 0 Z x y Z y x U x U vV x U z Z x U v yU z U xy (U v yU z ) y (U v yU z ) z Z y 1
U xy (U vz U z yU zz ) x x U xy xU vz U z xyU zz U y U z Z y xU z 1
U yy ( xU z ) y ( xU z ) z Z y ( U z xU zz ) x y x U yy U z x 2U zz y
x x( xU vz U z xyU zz ) y ( U z x 2U zz ) xU z y 2 x U vz 0 u 0 z v u f 1 (v) v u f 1 (v) f 2 ( z ) u ( x, y) f 1 ( x) f 2 ( xy) 14.
u xx 2u xy u yy 0 v x, z x y v x 1 z x 1 Z y 1 u x uv v x u z z x u x uv u z u xx uv u z x uv u z v v x uv u z z z x
u xx uvv u zv uvz u zz u xx uvv 2u zv u zz u xy uv u z y uv u z z z y u xy uvz u zz u y uv v y u z z y u z u yy u z y u z z z y u zz en (1) :
uvv 2u zv u zz 2u zv 2u zz u zz 0 uvv 0 u 0 v v uv f 1 z
u f v 1
u vf 1 f 2 ( z ) u vf x y 1 f 2 ( x y) 15. Aplicando las transformadas indicadas resolver las ecuaciones siguientes: Uxx+2Uxy+Uyy=0
(v = x ; z = x - y )
U xx 2U xy U yy 0 V x 1 V y 0 Z x 1 Z y 1 U x U vV x U z Z x U v U z U xx (U x U z ) x (U v U z )v V x (U v U z ) z Z x U xx U vv 2U vz U zz U xy (U v U z ) y (U v U z ) z Z y U xy U vz U zz U y U z Z y U z U yy (U z ) y (U z ) z Z y U yy U zz
U vv 2U vz U zz 2(U vz U zz ) U zz 0 U vv 2U vz U zz 2U vz 2U zz U zz 0 2u U vv 0 2 0 v du f ( z ) dv 1 u f 1 ( z)v f 2 ( z ) u ( x, y ) xf 1 ( x y) f 2 ( x y) 16.
v x y, z 2 x y u xx u xy 2u yy 0 v x 1 v y 1 z x 2 Z y 1 u x uv v x u z z x u x uv 2u z u xx uv 2u z v v x uv 2u z z z x u xx uvv 2u zv 2uvz 4u zz u xx uvv 4u zv 4u zz u xy uv 2u z v v y uv 2u z z z y u xy uvv 2uvz 2uvz 2u zz u xy uvv 2u zz u y uv v y u z z y u y uv u z u yy uv u z v v y uv u z z z y u yy uvv u zv uvz u zz u yy uvv 2u zv u zz uvv 4u zv 4u zz uvv 2u zz 2uvv 4uvz 2u zz 0 8uvz 0
u 0 z v u v 0 z u f v 1 u f 1 v u vf 1 f 2 ( z ) u vf x y 1 f 2 (2 x y ) 17. Aplicando las transformadas indicadas resolver las ecuaciones siguientes:
u xx 4u xy 3u yy 0
v x y
z 3 x y
V x 1 V y 1 Z x 3 Z y 1 U x U vV x U z Z x U v 3U z U xx (U v 3U z ) x (U v 3U z ) v V x (U v 3U z ) z Z x U xx U vv 3U zv 3U vz 9U zz U vv 6U vz 9U zz U xy (U v 3U z ) y (U v 3U z ) v V y (U v 3U z ) z Z y U xy U vv 4U vz 3U zz U y U vV y U z Z y U v U z U yy (U v U z ) y (U v U z ) v V y (U v U z ) z Z y U yy U vv 2U vz U zz U vv 6U vz 9U zz 4(U vv 4U vz 3U zz ) 3(U vv 2U vz U zz ) 0 4U vz 0 2u 0 zv u f (v) v 1 u f 1 (v) f 2 ( z) u ( x, y) f 1 ( x y) f 2 (3 x y) 18. Se dice que una ecuaci ón de la forma Auxx + 2Buxy + Cuyy = F(x,y,u,ux,uy) Es elíptica si hiperbólica si
AC-B2
0, parabólica si AC – B2 = 0 e
AC – B2 0. (Aquí A,B,C pueden ser funciones de x y y, y el tipo de (15) puede ser diferente en partes diferentes del plano xy.) Demostrar que : La ecuación de Laplace uxx + uyy = 0 es el íptica. La ecuación de calor ut = c2 uxx es parabólica ut La ecuación de onda utt = c2 uxx es hiperbólica La ecuación de Tricomi yuxx + uyy = 0 es de tipo mixto (elíptica en el semiplano superior , parabólica sobre el eje x e hiperbólica en el semiplano inferior.)
* utt = c2 uxx c2 uxx - utt = 0 A = C2
B=0 AC
–
C =1 B2
=
C2
0
Hiperbólica
Solución
* yuxx + uyy = 0 Auxx + 2Buxy + Cuyy = F(x,y,u,ux,uy) A=y * uxx + uyy = 0 Si
A =1 B =0 C =1 AC - B2 = 1-0
1 0
y 0 y=0 y 0
B=0 Elíptica Parabólica Hiperbólica
19. Si la ecuaci ón A xx
Elíptica
C= Semi-plano Sup Eje x Semi- plano Inf.
2 B xy C yy F x, y, , x , y es
hiperbólica si AC B 0 , puede transformarse llev ándola a la forma normal vz F v, z , u , u v .u z , si se hace 2
2
* ut = c uxx A=C2
c2 uxx = ut B=0 2
AC – B = 0
C=0 Parabólica
v x, y , z x, y donde ctte y ctte son soluciones y y x deAy !2 2 By ! C 0 . Demostrar que en el caso de la ecuaci ón de onda:
x ct x ct
2 2u 2 u c t 2 x 2
A C 2 B 0 C 1
u tt C 2 u xx V x, t Z x, t A y ! 2 By ! C C 2 2 1 0 2
Y y x
C 2 2 1
2
1
C 2
tt h!! t xx h!! t C 2 * C ht t V x ct C x t C C x ct C 1C x ct 0 x ct
g !! t 0 g t t x ct x t C 2 C
x t C 2 C x ct E x ct
1
C 1 x C C ht Y x x x, t ht C
21. Sustituyendo u = F (x) G (y) en (16) y separando variables, demostrar que:
X g t C
x, t
x g t C
F 4 C 2 T 4 cons tan te F c C T F ( x) A cos x Bsen x C cosh x Dsenh x C T a cos c 2t bsenc 2t F 4 4 F F ( 4) F 4 F 4 F 4 4 4 0 2 2 2 2 ( )( ) 0 1, 2 3, 4 i sen x, cos x F ( x) Ae x Be x C cos x Dsen x e x cosh x senh x e x cosh x senh x F ( x) A cosh x Asenh x B cosh x C cos x Dsen x F ( x) ( A B) cosh x ( A B ) senh x C cos x Dsen x F ( x) E cosh x Fsenh x C cos x Dsen x F ( x) A cos x Bsen x C cosh x Dsenh x L.q.q.d . G kc 2G 0 k 4 G 4 c 2G 0 2 4 2 c 0 2 4 c 2 1, 2 i 2 c G (t ) e 0t a cos 2 ct bsen 2 ct
22. Encontrar las soluciones u n = Fn(x) Gn(t) de (16) correspondientes a la velocidad inicial cero y que satisfaga las condiciones en la frontera: u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 (extremos simplemente apoyados para todos los instantes t), uxx(0, t) = 0, uxx(l, t) = 0 (momentos cero, por consiguiente, curvatura cero en los extremos).
Condiciones: u(x, 0) = f(x) = x (l – x) uxx(0, t) = 0, uxx(l, t) = 0
2u 2 4u c 0 t 2 x 4
c2
EI A
E = modulo de elasticidad de Young. I = momento de Inercia de la secci ón transversal con respecto al eje Y. densidad A = área
u = F(x) G(t) IV
Demostrar :
F G 2 IV cte F cG u F ( x)G (t ) t 2u F ( x)G (t ) 2 dt u G(t ) F ( x) x 2u G(t ) F ( x) x 2 3u G(t ) F ( x) x 3 4u G(t ) F IV ( x) 4 x
(8)
2u 2 4u c 4 0 t 2 x
EI A
u F ( x) * G(t ) 4 2u 2 u c t 2 x 4
F ( 4) G 2 4 F cG
u = F(x) G(t)
c 2 G (t ) F IV ( x) F ( x)G(t ) dividido para: c 2 G (t ) F ( x) IV
c2
F G 2 4 cte F c G 23. Encontrar la solución de (16 ) que satisfaga las condiciones del problema 22 y la condici ón inicial u ( x, 0 ) = f ( x ) = x ( l – x ).
Encontrar las soluciones
un F n ( x) * Gn (t ) de ( 8 ) con las
siguientes condiciones de frontera
u (0, t ) 0 u (l , t ) 0 u xx (0, t ) 0 u xx (l , t ) 0
entonces la solución general es :
F ( 4) 4 F 0 F 1 ( x) A cos x B sen x F 2 ( x) C cosh x D senh x F ( x) F 1 ( x) F 2 ( x) F ( x) A cos x B sen x C cosh x D senh x
u xx ( 0, t ) F II (0 ) * G (t ) 0 u xx (l , t ) F II (l ) * G (t ) 0 0 F (0) A C II
0 F (0) A C Por consiguiente A = 0 y C = 0 . Al reemplazar estos valores e igualando las ecuaciones obtenemos: D=0
0 F (l ) B sen l
B sen l 0 B 0 sen l 0
n l
n 1,2,3... F n ( x) B sen(
n x) l
Para G (t) la solución general es :
G c 2 4G 0 G ( x) a cos c 2 x b sin c 2 x u 0 t t 0
ut F * G 0 0 G (0) ac 2 sin c 2t bc 2 cos c 2t b0 2 n Gn (t ) an cos c t l 2
n n un ( x, t ) an cos c t * sin x l l n 1
Para la condición inicial u ( x, 0 ) = f ( x ) = x (
l – x )
11.4 23 :
n u ( x,0) an * sin x x(l x) l n 1
u
Para 0 < x < l . Pero esto será la serie de senos de Fourier de f ( x ). l
n an x(l x) sin x dx l 0 l 2
an
2l u sin u 1 u 2 sin u du n 2 2 n 0 2l
n
an
2
2
11.3 7 :
u
8k 1 cos tsenx cos 3tsen3 x ....... 27
sin u u cos u n 1 u 2 cos u 2 cos u 2u sin u n 0 0 n a1
n par
0 8l 2
n 3
3
2 2 x 1 3 x 3 ..... cos c tsen cos c tsen L 27 L L L
25. ¿Cuáles son las condiciones en la frontera si la viga está empotrada en ambos extremos?
n
2
2
an
n x n dx , du u l l
8 L2
3
n impar
N 1,2,3
a2 a3
8l 2 3
8l 2
27 3 8l 2 125 3
24. Comparar los resultados del problema 23 y del problema 7, sección 11.3 ¿Cuál es la diferencia básica entre las frecuencias de los modos normales de la cuerda vibratoria y la viga vibratoria?
Como la viga esta empotrado en los extremos se mantiene fija, o sea sin movimiento entonces sus condiciones serian: Condiciones de frontera:
u (0, t ) 0
u x (0, t ) 0
u ( L, t ) 0
u x ( L, t ) 0
26. Demostrar que F x A cos x Bsen x C cosh x Dsenh x satisface las siguientes condiciones: 0, t 0 l , t 0 si l es una raíz de la ecuación cosh l * cos l 1 Solución:
2 2 4 c t 2 x 4 PRIMERA _ CONDICIÓN F 0 A cos 0 Bsen0 C cosh 0 Dsenh0 F 0 A 0 C 0 F 0 A C A C
SEGUNDA _ CONDICIÓN F l A cos l Bsen l C cosh l Dsenh l 1 Dsenh l F l A cos l Bsen l C cos l C Dsenh l F l A cos l Bsen l cos l A cos 2 l C F l Bsen l Dsenh l 0 cos l A cos 2 l C 0 cos l A cos 2 l C 0 C A cos 2 l A C cosh l * cos l 1 cosh l
1 cos l
l 0 cos l 1 las condiciones en los extremos son iguales F 0 F l entonces si CUMPLE
27. Determinar soluciones aproximadas de :
Cosh( l ) * Cos( l ) 1 Yp Cosh( l ) Cosh( l ) * Cos ( l ) 1 Cosh( l ) 0 Cosh( l ) 1 l 0 Cos ( l ) 0 l Cos 1 0 l
l
2
Yg Cos ( l )
Con n=3
l
2
28. Si una viga esta empotrada en el extremo izquierdo y suelta en el otro figura, las condiciones en la frontera son: U (0 , t); Ux (0 , t) = 0
Uxx (l , t) = 0
condiciones si l es una raíz de la ecuación. Coshl cosl = - 1
2
n x=1
2n 2
Con n=1
l
3
Con n=2
l
5
2
2
Uxxx (l , t) = 0
Demostrar que la F(x) del problema 8 satisface estas
x=0
l
7
F ( x ) A cos x Bsen x C cosh x Dsenh x 0 A C C A F ´( x ) A sen x B cos x C senh x D cosh x 0 B D D B
29. Hallar las soluciones aproximadas cosh( L) * cos( L) 1 Utilizando el programa WinPlot se obtiene :
F ´´( x ) A 2 sen x B 2 cos x C 2 senh x D 2 cosh x F ´´´( x ) A 3 sen x B 3 cos x C 3 senh x D 3 cosh x
L
1.875
L
4.694
3
F ´´(l ) 0 A sen l B cos l C senh l D cosh l A 2 (cos l cosh l ) B 2 ( sen l senh l ) 0 2
2
2
de
2 5 2
2
5.0
cosh(bL)*cos(bL)=-1
F ´´´( x ) 0 A 3 sen l B 3 cos l C 3 senh l D 3 cosh l A 3 ( sen l senh l ) B 3 (bos l cosh l ) 0 A(cos l cosh l ) B ( sen l senh l ) 0 A( sen l senh l ) B (cos l cosh l ) 0 B (cos l cosh l ) 2 B ( sen l senh l ) 0 A sen l senh l B (cos l 2 cos l cosh l cosh 2 l sen 2 l senh 2 l ) 0 b(cos 2 l 2 cos l cosh l cosh 2 l sen 2 l senh 2 l ) 0 1 1 2 cos l cosh l 0 2 2 cos l cosh l 0 1 cos l cosh l 0 cos l cosh l 1 L.q.q.d
y bL=x
4.0 3.0
Y= cos h(bL)*cos(bL)+1
Y= cosh(x)*cos(x)+1
2.0 1.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0 -1.0 -2.0 -3.0 -4.0 -5.0 -6.0 -7.0 -8.0 -9.0 -10.0 -11.0 -12.0 -13.0 -14.0 -15.0 -16.0 -17.0 -18.0
A( 1.875,0) 1.0
2.0
3.0
B( 4.694,0) 4.0
5.0
x
6.0
31. Demostrar que por separaci ón de variables a partir de la ll ecuación ecuaci ón de Tricomi puede obtenerse la ecuación de Airy G – yG = 0.
yu xx u yy 0 u ( x, y) F ( x)G ( y) u xx F G u yy F G y F G F G 0 y F G F G c 2 F G c2 F yG F c 2 F 0 F ( x) A cos cx Bsencx G c 2 yG 0 haciendo c 2 1 G yG 0
EJERCICIOS 11.5
1. Trazar la gráfica de u1, u2, u3, consultar con B n=1, C=1, l = ð, como funciones de x, para los valores de t = 0,1,2,3. Comparar el comportamiento de estas funciones.
u n Bn sen
n x n t e l 2
t érmica. K conductividad térmica. calor específico. específico. densidad del material.
Bn 1 C 1 l
Debido al factor exponencial, todos los t érminos de ( 9 ) tienden a cero cuando cuando t tiende al infinito. La rapidez del del decremento varía var ía con n. En este caso varía con t.
u n sennxe n t u1 senxe t u2 senxe 4 t u3 sen3 xe 9t 2
Además Además cabe cabe señalar señalar que la dirección del flujo de calor siempre va de puntos de temperaturas m ás a puntos de temperaturas temperaturas más baja.
Así Así tenemos :
3.
u0 senx u1 0.37 senx
n x n t cn e n L L está determinad o por : Amplitud de u n está
u2 0.14 senx u3 0.05 senx
2
B n e n t B1 e
1
2 ¿ De qué manera depende la rapidez del decremento de ( 9 )
e
para n fijo, del calor específico, espec ífico, la densidad, y la conductividad
1
t ?.
1
(9)
un ( x, t ) F n ( x) * Gn (t ) Bn sin n
cn l
2
u n B n sen
c2
K
n x t *e l 2
2
1
2
10
2
2
10
B1 2
1 2
Ln 1 Ln 2 Ln 2
10
10
c 2 12 2 1 L2 Ln 2 c 2 2 2 L 10 Ln 2 2 c2 L 0 .007023 L2 2 10 2
Encontrar la temperatura u(x,t) en una barra de plata (10 cm longitud, sección transversal constante con un área de o 1cm2, 10.6g / cm3 de densidad, 1.04 ca / l / cm s C o conductividad térmica, calor específico 0.056 ca / l / g C) que está perfectamente aislado en toda su superficie lateral, sus extremos se mantienen a la temperatura de 0 ºC y su temperatura inicial (en ºC) es f(x), donde:
u ( x,0) Bn Sen n1
n x 10
e 0 Sen0.4 x
u ( x,0) Bn Sen0.1n x Sen0.4 x n1
B 4 Sen0.1 4 x Sen0.4 x 1.75 4 2 2 2.764 B 4 1 4 2 100
4. f(x)=Sen0.4ðx
u ( x, t ) Sen0.4 xe
c c
k Cp
5. f(x) = ksen 0,1 x Datos: Material: plata Longitud: 2 Sección: Sección: 1cm 3 =10,6 g/cm K=1,04 cal/cm. grado s n=0,056 cal/g grado Extremos: 0C
1.04 0.056 10.6
c 1.323 Cn 1.323n n 10 L 2 2 1.75n 2 n 100
n x nt u ( x, t ) Bn Sen e L n 1 n x 0 u ( x,0) Bn Sen e n 1
2.764t
2
10
f( x) sen0,1. x k c2 k c c
1, 04cal / cm sg sg 0, 056cal / g * 10, 6 g / c m
c 1,323
3
f ( x) sen0 ,1 . x k c2
6.
x si 0 x 5 f ( x) 0 si 5 x 10
k
c
1, 0 4 c a l / c m s g
c
0 , 0 5 6 ca l /
3 g * 1 0 , 6 g / cm
c 1,323 n u ( x , t ) B n .sen . c a l c u l a m o s.. B n B n B n
2
10
2 10
f( x). sen.
0
10
x * e
n
2
Bn
nt
n . sen 0 ,1 . x. sen 10
xd x
l 0
n x
dx
1
5
n x
xsen dx 5 10 0
n mpar
n par
f ( x) sen
5
r e s o lv i e n d o..t e n e m o s.. q u e : 0 ,1 x B n 1 / 8 sen calculamos ... n : cn n 1 , 3 2 3 n
0 , 4 1 5 6n 10 S o lu ci òn .. p a ra .. n p a r
n
1
n x 10 x cos n x 100 sen 1 10 10 Bn 5 n 2 2 n 0 20 n x 10 cos n x Bn 2 2 sen n 2 n 2
xd x
0
2
Bn
B n 0 S o lu ci òn .. p a r a.. n i m pa r 0 ,1 x B n 1 / 8 sen soluciòn : nt n u ( x , t ) B n .sen . x * e u ( x , t ) 1 / 8 sen 0 ,1 x .sen ( 0 , 3 1 x ) . * e ( 0 , 4 1 n )
c2
2
u ( x , t ) sen 0 ,1 xe 1, 7 5
2
t / 1 0 0
2
t
k
10
n
n 20 n sen Bn n 2 2
cos
k = k = cond uct i iv i d da d t d t é ér r m i ca . = cal or e f i r e s pe peci ic o
= 1 .0 / cm° C .04 c 4 cal C =0 .0 / g ° .056 c 6 cal g ° C C
= d en si po si d da d d d d el m l mat er i ia l d l d el c l cuer po
=10 .6 g / cm3 .6 g
n
c2
cn
u ( x, t ) Bn sen
n 1
C
1.04
0.056 10.6 c 1.323639
n
1.3236 n
n
n
0.4158 n
10
( x, t )
n 1
( x, t )
n x
e n
n x
e ( 0.4158 n)
n
B sen 10 n
2
2
1.04
(0.56 )(10.6)
1.323
nc (1.323)( ) n 0.41n 10 l
n x dx l 10 10 2 5 n x n x n x Bn 0 xsen dx 5 10 sen dx 5 xsen dx 10 l l l 10 10 1 5 n x n x n x Bn 0 xsen dx 5 10 sen dx 5 xsen dx Bn
B sen 10
k
nx ( n t ) e l
t
2
2
l
f ( x ) sen l 0
5
t
10
1 200
10
n
40 2 2 sen n 2 2 sen 2 2 Bn 2 2 sen 5 n 2 2 n n n
n 1
20 sen x e 0.1715t 10 sen x e 0.689t 20 sen 3 x e1.55t 2 10 2 5 9 2 10 ( x, t ) 10 4 x 2.76 t e ......... sen 10 4
U ( x , t )
7.
x f ( x ) 5 x 5 10 x
10
n
x 5 5 x 10 0
1 9
100
40
2
40
( sen 0 . 1 xe
sen 0 . 3 xe
0 . 017
.3 2
t
0 . 017
..)
.1 2
t
8. f(x)= 0.1x(100-x2)
c
k Cp 1.04
c
0.056 10.6 c 1.323 Cn 1.323n n 10 L 2 2 1 . 75 n 2 0.0175n 2 2 n 100
n x nt e L n 1 n x 0 u ( x,0) Bn Sen e 0.1 x(100 x 2 ) u ( x, t ) Bn Sen n 1
2
10
u ( x,0) Bn Sen0.1n x 10 x 0.1 x 3 n 1
Bn Bn
9. f(x) = 0.01x (10 - x) Datos:
(10 x 0.1 x )Sen0.1n xdx 3
10 5
2
10
2 1
1200 cos n sen 0.1n x e 0.0175 n u ( x, t ) 3 n 3 n 1
0
10
(10 x 0.1 x )Sen0.1n xdx 3
0
k = Conductividad térmica = 1.04 cal/cm = 10.6 g/cm3 = 0.056 cal/g Varilla de plata de longitud = 10 cm 2 Sección transversal constante = 1 cm Temperatura en los extremos T = 0ºC Temperatura inicial = x (10 - x)
2
Determino “c” y “n”.
”, en este último caso para cualquier valor de
“
cal cm 1.7520215 cm 2 c cal g 10.6 3 0.056 g cm 1.04
k
2
2
cn 2 c 2 n 2 2 (1.7520215 cm 2 ) 2 n 2 2 n (10 cm) 2 l 2 l 2n 0.0175202156 (n ) 2 l 2 n x Bn f ( x) Sen dx l 0 l n 2
Bn Bn
2 10
10
0.01 x(10 x) Sen
1 500
n x
0
10
x(10 x) Sen 0
10
n x 10
dx
dx
n x nt e l 8 n x 0.0175 n t Sen e 3 3
u ( x, t ) Bn Sen n 1
u ( x, t ) n 1
2
2
n
10
2
n impar
x si 0 x 2.5 10. f ( x) 2.5 si 2.5 x 7.5 10 x si 7.5 x 10
n
( x, t ) ( x, t )
L
1
n x
7 .5
n
n x
c2
cn 1.04
0.056 10.6 c 1.323639 1.3236n n 10
n x
n 2 t
n
10
n x
20
n n 1
Bn xsen dx 2.5 sen dx (10 x) sen dx 50 10 10 10 2.5 7.5 2 .5
B sen 10 e n 1
10 n x n x 2 Bn f ( x) sen dx f ( x) sen dx l 0 L 10 0 10
2
0.4158n
2
sen 3 n sen n sen n x e ( 0.4158n) t 4 4 10 2
2
11. Suponer que la barra satisface los supuestos del texto y que sus extremos se mantienen a diferentes temperaturas constantes u (0, t ) U 1 y u ( L.t ) U 2 encontrar la temperatura u(x) de la barra despu és de un tiempo prolongado.
u 2 2 u c t x 2 u (0, t ) U 1 u (l , t ) U 2 u ( x, t ) v( x, t ) ( x) v(0, t ) (0) U 1 v(l , t ) (l ) U 2 ( x) no depende del tiempo v 2 2 u 2 c c ´´( x) t x 2 ´´( x ) 0 (0) U 1 (l ) U 2 ´( x) C 1 ( x) C 1 x C 2 U U 1 U 1 C 2 U 2 C 1l C 2 C 2 2 l U U 1 ( x) U 1 2 x l
12. Del problema 11, sea la temperatura inicial u(x,0)=f(x). Demostrar que la temperatura para cualquier tiempo t>0 es u(x, t)=u I(x)+ uII(x, t) con u I como antes y
n x ( c Ln ) t e L n 1 L 2 n x Bn f ( x ) u I ( x ) Sen dx L 0 L
2
u II Bn Sen
2
L
n x
f ( x ) Sen L L
dx
0
2
n
1n U 2 U 1
U U u I ( x) U 1 2 1 x l
u 2 2u c 2 t x u (0, t ) U 1 u (l , t ) U 2 u ( x,0) f ( x) Asumiendo que :
u ( x, t ) u I ( x) v( x, t ) el problema se transforma en :
U U v 2 2 v 2 d 2 c 2 c 2 U 1 2 1 x t x dx l v 2 2 v c 2 t x v(0, t ) 0 v(l , t ) 0 v( x,0) f ( x) u I ( x)
Aplicando (10) :
n x n t e L n 1 n x 0 v( x,0) Bn Sen e L n 1 n x f ( x) u I ( x) Bn Sen L n 1 l 2 n x Bn f ( x) u I ( x ) Sen dx l 0 L
v( x, t ) Bn Sen
l
2
l
U 2 U 1 x Sen n x dx l L 0 0 l l l 2 n x 2 n x 2 U 2 U 1 n x Bn f ( x ) Sen dx U 1Sen dx dx xSen l 0 L l 0 L l l 0 L l l n x U 2 U 1 xSen n x dx U Sen dx 0 1 L L l 0 U 1l (U U 1 )l (1 cos n ) 2 cos n n n l U U 2 cos n n 1 l U U 2 (1)n n 1 l 2 n x 2 l U U 2 (1) n Bn f ( x ) Sen dx l 0 L l n 1 Bn
2
Bn
2
n x
f ( x ) Sen l L
l
dx
2
U l 1
n x 2 U 2 ( 1)n U 1 f ( x ) Sen dx l L n 0
14. Encontrar la temperatura de la barra del problema 13 si el extremo izquierdo se mantiene a la temperatura cero, el derecho está aislado perfectamente y la temperatura inicial es U=const.
dG G c 2 2dt
G e c t 2 2
u (0, t ) 0 u x ( L, t ) 0 u ( x,0) U 0 u F ( x ) G (t ) u F ( x)G (t ) ut t u F ' ( x)G (t ) u x x 2u F ( x )G (t ) u xx x 2 F G c F ' ' G 2
G F ' ' 2 2 c G F
F ' ' 2 F F ' ' F 2 0 F ( x) A cos x Bsen x F ( x) A sen x B cos x
u (0, t ) 0 u x ( L, t ) 0 F (0) 0 F ( L) 0 F (0) A cos 0 Bsen0 0 A 0 F ( L) B cos L 0 cos L 0 n n impar 2 L
F n ( x) C n sen
Gn (t ) Dn e
Encontrar la temperatura en la varilla del problema 13, si l , c = 1 y
2 cn t 2 L
2
un Bn e
n x 2 L
15.
u x, t A0 An cos
cn t 2 L
n x sen 2 L
n 1
A0
u ( x, t ) u n n 1
u ( x, t ) Bn e
f x 1 si 0 x
2
cn t 2 L
n 1
u ( x,0) Bn sen n 1
sen
n x 2 L
n x U 0 2 L
1
n. . x c.n. / l e l 1
l
0
An
2
0
l
f x cos l
An
0
2
n. . x dx l
cosn. x dx 0
n x U 0 2 L n 1 n x U 0 Bn sen 2 L n 1 L 2 n x Bn U 0 sen dx L 0 2 L
f x dx 1dx 1 l
u ( x,0) Bn sen
u A0 1
2
t
16. f(x)=x
A0
1
L
L
0 f ( x)dx
A0
An
x Cos L L
2 2
L
0
1
n x
0 xdx
dx
2
x 2 2 0 1
x Cosnxdx 0
u x (0, t ) 0 u x (l , t ) 0 u ( x,0) f ( x) l c 1 u ( x,0) f ( x ) 0.5 cos 2 x u 2u 0 x 3 t x 2 u (0, t ) u ( , t ) u ( x,0) f ( x ) 0.5 cos 2 x
n. . x c.n. / l t e l n 1 n. . x 1.n. / t u x, t A0 An cos e u x, t A0 An cos
2
2
2
1n t
n x 2(cos n 1) u ( x , t ) e cos 2 n n 1 2(cos n 1) cosnx e n t u ( x , t ) n 2 n 1 2
17. f(x)=0.5Cos 2x
n 1
u x, t A0 An cos nxen t n 1
2
u x,0 A0 An cos nx 0.5 cos 2 x n 1
A0 A2 cos 2 x 0.5 cos 2 x A0 0 A2 0.5 u x, t 0.5 cos 2 xe 4t
18. f (x)=x2.
1
u ( x, t ) A0 An e
f ( x)dx L
Ao
1
Ao Ao
0
u ( x, t )
2
1
4
3
2
n 1
cos n e
An An
L 2
L
19. f x x si 0 x
An
2
n 1
x Cosnxdx
n2
2
x
n. . x c.n. / l e l
2
t
2
0
2 2 xCosnx
4
1
f x x si
u x, t A0 An cos
2
x 2 3 Sennx 0 2 n n n 2 2 Cosn An n2 An
n x
3
0 x Cosnxdx
cos
2
2
2 1n t
2
0
2
2
n x l
n 4 u ( x, t ) 2 cos n e n t cos nx 3 n 1 n
x dx
x3 0 3
cos
n 1
L
Ao
2 cn t l
A0
2
A0
1
/ 2
0
xdx
1
1
/ 2
Cosn
l
f x dx l 0
( x).dx
A0 An
2
l
4
f x cos l 0
mediante derive
n. . x dx l
An
2
/ 2
x cosn. x dx
0
2
/ 2
x cos n. xdx mediante derive
n. 2 2.cosn 2 .n 2 .n 2 .n 2
4. cos
An
2
9.
u cos 2t .e 4t cos 6t .e 36t ............ 4 4 36
8 1
1
20. f(x)=1 si 0
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