Ejercicios Cap 6 y 7gdfgfg (1)

ANA BEATRIZ OLAVE MONTENEGRO

MECANICA DE FLUIDOS II Docente: Ing. Dante Salazar Sánchez.

Ejercicios del Capítulo VI y VII del Libro Arturo Rocha.

2)

Un canal de 2.5 m. El de 60°. La m/s. ¿Cuál es el gasto? ¿Cuál es el radio hidráulico? Dibujar la sección transversal.

CAPIT ULO VI

tiene un ancho en el fondo tirante es 0.8 m y el talud es velocidad media es 1.80

Datos: b = 2.5 m y = 0.8 m z = 0.58 m V = 1.8 m/s

by+ z y 2 2.5 m×0.8 m+0.58 m× 0.8 m2 R= = =0.55 m b+2 y √ z 2 +1 2.5 m+2× 0.8 m √ 0.582 +1

(

Q= AV =( 2.5 m×0.8 m+0.58 m×( 0.8 m)2 ) 1.8

m m =4.27 s s

)

3

3) Un canal rectangular tiene un ancho en el fondo de 2 m y un coeficiente de rugosidad de Kutter de 0.014. El tirante es 1.20 m y la pendiente 0.0012. Calcular el gasto. Calcular el tirante con el que fluirá el mismo gasto en un canal triangular, de 90°, que tiene la misma rugosidad y la misma pendiente. CANAL RECTANGULAR:

Datos: b=2m n = 0.014 y = 1.20 m S = 0.0012 Q=?

R=

by 2 m× 1.2m = =0.55 m b+2 y 2 m+2 ×1.2 m 2

A=by=2 m×1.2 m=2.4 m

1 0.00155 1 0.00155 1 23+ + 23+ + n S 0.014 0.0012 m2 C= = =65.63 s 0.00155 n 0.00155 0.014 1+ 23+ 1+ 23+ S 0.0012 √ 0.55 m √R

(

)

(

)

V =65.63 √ 0.55 ×0.0012=1.69

m s

3

Q=1.69

m m ×2.4 m2=4.06 s s

CANAL TRIANGULAR: Datos: n = 0.014 S = 0.0012 Q = 4.06 m3/s z= 1 y=?

R=

A z y2 y = = P 2 y √ 1+ z 2 2 √2

1 0.00155 1 0.00155 23+ + 23+ + n S 0.014 0.0012 95.72 C= = = 0.00155 n 0.00155 0.014 ×2 √ 2 1+ 0.96 1+ 23+ 1+ 23+ y S 0.0012 y √R

(

V=

)

95.72 0.96 1+ y

√

y 2 √2

×0.0012=

(

)

1.91 √ y 0.96 1+ y

1.91 √ y ( 2 ) zy 0.96 1+ y

( )

4.06=

y=1.628 m

5) El canal mostrado en la figura tiene una pendiente de 0.0009. El coeficiente n de Kutter es 0.013. Calcular el gasto. ¿En cuánto aumentara el gasto si la pendiente fuera el doble?

Datos: n = 0.013 S = 0.0009 Q=? z= 1 y = 0.75 m 1).

Sección triangular

Datos: S = 0.0009 n = 0.013 y = 0.75 m z=1 T = 1.5 m



A=z y

2

2

A=1 × 0.75 =0.56 m

2

P=2 y √1+ z 2



P=2 ×0.75 √ 1+12=2.12 m

R=

A P

R=

0.56 2.12

R=0.26 m 5

Q=

1

A 3 . S2 2

η . P3 5

Q=

1

( 0.56) 3 .(0.0009) 2 (0.013).(2.12)

2 3

=0.53 m3 / s

Aumentando al doble la pendiente:

S=0.0009 × 2=0.0018

5 3

Q=

( 0.56) .(0.0018) (0.013).(2.12)

2 3

1 2

=0.75 m3 / s

El caudal aumenta en un 0.22

m3 /s

2). Sección rectangular: Datos: S = 0.0009 n = 0.013 y = 0.25 m b = T = 1.5 m z=1

A=by



A=1.5 × 0.25=0.38 m2 P=b+ 2 y



P=1.5+2 ×0.25=2.00 m R=



R=

2

A P

0.38 2.00

R=0.19m 5

Q=

1

A 3 . S2 2

η . P3 5

Q=

1

(0.38) 3 .(0.0009) 2 (0.013).(2)

2 3

=0.29m3 / s

Aumentando al doble la pendiente:

S=0.0009 × 2=0.0018

5

Q=

1

(0.38) 3 .(0.0018) 2 (0.013).(2)

2 3

=0.41m3 / s

El caudal aumenta en un 0.12

3

m /s

10) Calcular el gasto en un canal que tiene 1.80 m de tirante. La pendiente es 0.0018. La rugosidad de Kutter a considerarse es 0.018. a) para una sección rectangular de 6 m de ancho. b) para una sección triangular con un ángulo de 60° c) para una sección circular de 4 m de diámetro. d) para una sección parabólica que tiene 4 metros de ancho a la profundidad de 1m. SOLUCION: a) Sección rectangular: Datos: y = 1.80 m S = 0.0018 n = 0.018 b=6m

R=

by 6 m ×1.8 m = =1.13 m b+2 y 6 m+ 2× 1.8 m

A=by=6 m× 1.8 m=10.8 m

2

1 0.00155 1 0.00155 1 23+ + 23+ + n S 0.018 0.0018 m2 C= = =56.56 s 0.00155 n 0.00155 0.018 1+ 23+ 1+ 23+ S 0.0018 √1.13 √R

(

)

(

)

V =56.56 √ 1.13 ×0.0018=2.55

Q=2.55

m s

m m3 ×10.8 m2=27.54 s s

b) Sección triangular: Datos: y = 1.80 m S = 0.0018 n = 0.018 z = 1/ tg(60°) = 0.58

A z y2 0.58 ×1.8 2 R= = = =0.45 m P 2 y √ 1+ z 2 2 ×1.8 √ 1+ 0.582 A=z y 2=0.58 ×1.8 2=1.88 m2 1 0.00155 1 0.00155 1 23+ + 23+ + n S 0.018 0.0018 m2 C= = =48.42 s 0.00155 n 0.00155 0.018 1+ 23+ 1+ 23+ S 0.0018 √ 0.45 √R

(

)

(

V =48.52 √0.45 ×0.0018=1.38

Q=1.38

m m3 ×1.88 m2=2.59 s s

m s

)

c) Sección circular: Datos: D=4m S = 0.0018 n = 0.018 El tirante que nos dan es de y = 1.80 m pero el diámetro es de 4 m; entonces el radio de la sección es 2 m, por lo tanto el radio no puede ser mayor que el tirante. Por eso asumí el tirante a 2.80 m.

cos ∝=

0.8 2

∝=66.42 ° θ=360 ° −2α =227.16 °=1.26 π

1 1 A= ( θ−sin θ ) D2= (1.26 π −227.16° ) 4 2=9.38 m2 8 8

R=

1 sin θ 1 227.16° 1− D= 1− 4=0.81 m 4 θ 4 1.26 π

(

)

(

)

1 0.00155 1 0.00155 1 23+ + 23+ + n S 0.018 0.0018 m2 C= = =53.76 s 0.00155 n 0.00155 0.018 1+ 23+ 1+ 23+ S 0.0018 √ 0.81 √R

(

)

(

)

V =53.76 √ 0.0018 ×0.81=2.05

m s

3

Q=2.05

m m ×9.38 m2=19.23 s s

d) Sección parabólica: Datos: y=1m S = 0.0018 n = 0.018 T=4m

2 2 2 A= Ty= ( 4 m ) (1 m )=2.67 m 3 3 2T 2 y 2× 4 m2 ×1 m R= = =1.6 m 3 T + 8 y 2 3 ×4 m+ 8× 1 m2 1 0.00155 1 0.00155 1 23+ + 23+ + n S 0.018 0.0018 m2 C= = =59.29 s 0.00155 n 0.00155 0.018 1+ 23+ 1+ 23+ S 0.0018 √ 1.6 √R

(

)

(

V =59.29 √ 1.6 ×0.0018=3.18

)

m s

3

Q=3.18

m m ×2.67 m2=8.49 s s

11) Un canal de sección trapecial, en tierra sin vegetación, debe transportar un gasto de 10 m 3/s, con una velocidad no mayor a 1 m/s. El talud es de 30° (con la horizontal). La pendiente es de 8 en 10000. Calcular las dimensiones de la sección transversal. Usar la fórmula de Bazin. Datos: Q = 10 m3/s

V = 1 m/s z = 1/tg (30°) = 1.73 m S = 8/10000 = 0.0008 Según la fórmula de Bazin: G = 0.85 2

R=

C=

2

by+ z y by +1.73 y by+ 1.73 y = = 2 2 b +4 y b+2 y √ z +1 b+2 y √1.73 +1

2

87 87 = G 0.85 1+ 1+ √R by +1.73 y 2 b+4 y

√

1

m = s

1+

87 0.85

√

by +1.73 y 2 b+ 4 y

√(

2

)

by +1.73 y ( 0.0008 ) b+ 4 y

m3 m 10 =1 ( by +1.73 y 2 ) s s b=5 m y=1.36 m 12) Un canal trapecial tiene 24 ft de ancho superficial, un talud de 45° y un ancho en la base de 8 ft. El canal es de concreto frotachado. La pendiente es 0.0006. Calcular el gasto. Usar la fórmula de Ganguillet-Kutter y la de Manning (en unidades inglesas). Datos: S = 0.0006 b = 8 pies T = 24 pies z = 1/tg (45°) = 1 pie n = 0.015

b=my

y=

b 8 = =9.64 pies m 0.83 2

2

A=by+ z y =( 8 )( 9.64 ) +( 9.64) =170.05 pies

2

P=b+ 2 y √ 1+ z2 =8+2 ( 9.64 ) √ 1+ 12=35.27 pies R=

170.05 =4.82 pies 35.27

T =b+2 yz=8+ 2 ( 9.64 )=27.28 pies (170.05)5 /3 ( 0.0006 )1/ 2 pies3 Q= =792.52 s (0.015)(35.27)2 /3

13) Se tiene un canal trapecial de 8 m de ancho en la base y de 2 m de tirante. El talud es de 1.5. El canal es de tierra, sin vegetación, y varios años de uso. La pendiente es 0.0004. Calcular el gasto utilizando las fórmulas de Ganguillet-Kutter, Bazin, Manning y Chezy. Comparar resultados (la temperatura del agua es 15° C) Datos: y=2m b=8m z = 1.5 S = 0.0004 n = 0.027

R=

by+ z y 2 8 m×2 m+1.5 m× 2m2 = =1.45 m b+2 y √ z 2 +1 8 m+2× 2 m √ 1.52+ 1

A=by+ z y 2=8 m ×2 m+1.5 m ×2 m2=22 m2

a) Fórmula de Ganguillet-Kutter:

1 0.00155 1 0.00155 1 23+ + 23+ + n S 0.027 0.0004 m2 C= = =39.88 s 0.00155 n 0.00155 0.027 1+ 23+ 1+ 23+ S 0.0004 √ 1.45 √R

(

)

(

V =39.88 √ 0.0004 ×1.45=0.96

Q=22 m2 × 0.96

m s

m m3 =21.12 s s

b) Fórmula de Bazin: G= 0.85 1

87 87 m2 C= = =51 G 0.85 s 1+ 1+ √R √ 1.45 V =51 √ 0.0004 ×1.45=1.23 m/ s Q=22 m2 × 1.23

m m3 =27.06 s s

c) Fórmula de Manning: n = 0.027 1

1 6

1

R ( 1.45) 6 m2 C= = =39.40 n 0.027 s

V=

2 3

1 2

2 3

1 2

R S (1.45) (0.0004) m = =0.95 n 0.027 s

Q=0.95

m m3 ×22 m2=20.9 s s

d) Fórmula de Chezy:

)

Para→ R>1

x=1.3 √ n=1.3 √ 0.027=0.21 0.21

1

R x (1.45) m2 C= = =40.04 n 0.027 s V =40.04 √ 0.0004 ×1.45=0.96

Q=22 m2 × 0.96

m s

3

m m =21.12 s s

COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS Fórmula C V Q Ganguillet – 39.88 0.96 21.12 Kutter Bazin 51.00 1.23 27.06 Manning 39.40 0.95 20.90 Chezy 40.04 0.96 21.12 PROMEDIO 42.58 1.03 22.55

16) Se quiere construir un canal con una pendiente de 0.0035 para conducir 4 m3/s ¿Qué dimensiones debe tener el canal para que la velocidad no sea superior a 1.5 m/s. El talud es 1.5. Considerar que el coeficiente n de Kutter es 0.025. Datos: n = 0.025 z = 1.5 V = 1.5 m/s S = 0.0035 Q = 4 m3/s

A=by+ z y 2=by +1.5 y 2

2

R=

by+ z y by+ 1.5 y = 2 b+2 y √ z +1 b+3.6 y

2

1 0.00155 1 0.00155 23+ + 23+ + n S 0.025 0.0035 63.44 C= = = 0.59 0.00155 n 0.00155 0.025 1+ 1+ 23+ 1+ 23+ S 0.0035 √R by +1.5 y 2 by +1.5 y 2 b+ 3.6 y b+3.6 y

(

m 1.5 = s

4

)

1+

63.44 0.59

√

by+1.5 y 2 b+3.6 y

(

√(

)

√

√

by+1.5 y 2 ( 0.0035 ) b+3.6 y

)

m3 m =1.5 ( by+1.5 y 2 ) s s

b=2 m

y=0.825 m

17) Se tiene un canal trapecial de 5 m de ancho superficial y 3 m de ancho en el fondo, talud de 60° y coeficiente de rugosidad de Kutter de 0.030. La capacidad del canal es de 10 m3/s. Calcular: a) ¿Cuánto habría que profundizar el canal, conservando el mismo ancho superficial y taludes, para aumentar su capacidad en 50 %? b) ¿Cuánto habría que ensanchar el canal, conservando la misma profundidad y taludes, para aumentar su capacidad en 50%?

Datos: T=5m b=3m z = 1/tg (60°) = 0.58 y = tg (60°) = 1.73 m n = 0.030 Q = 10 m3/s

2

R=

3 m×1.73 m+0.58 m×(1.73 m) by+ z y 2 = =0.99 m 2 b+2 y √ z +1 3 m+2 ×1.73 m √ 0.582 +1

A=by+ z y 2=3 m× 1.73 m+ 0.58 m× ( 1.73 m )2=6.93 m2 1 0.00155 1 0.00155 23+ + 23+ + n S 0.030 S 56.33 S+ 0.00155 C= = = 1.69 S+ 0.00005 0.00155 n 0.00155 0.030 1+ 23+ 1+ 23+ S S √R √0.99

(

V=

)

(

)

56.33 S+ 0.00155 √ 0.99 S 1.69 S+ 0.00005

m3 56.33 S +0.00155 10 = √ 0.99 S ( 6.93 m2 ) s 1.69 S +0.00005

(

)

S=0.0019 a) Profundizar el canal: Datos: b=3m z = 1/tg (60°) = 0.58 y=? n = 0.030 Q’ = 10 m3/s + 50% (10 m3/s) = 15 m3/s S = 0.0019

R=

3 y +0.58 y 2 3 y +0.58 y 2 = 3+ 2.32 y 3+2 y √0.58 2+1

1 0.00155 1 0.00155 23+ + 23+ + n S 0.030 0.0019 57.15 C= = = 0.71 0.00155 n 0.00155 0.030 1+ 1+ 23+ 1+ 23+ S 0.0019 √R 3 y +0.58 y 2 3 y+ 0.58 y 2 3+ 2.32 y 3+2.32 y

(

)

57.15 0.71

V= 1+

15

√

m3 = s

3 y+ 0.58 y 2 3+2.32 y

[√ 1+

(

√(

)

√

√

3 y+ 0.58 y 2 ( 0.0019 ) 3+2.32 y

57.15 0.71 3 y+ 0.58 y 2 3+2.32 y

)

√(

]

3 y+ 0.58 y 2 ( 0.0019 ) [ 3 y +0.58 y 2 ] 3+2.32 y

)

y=2.182 m Habría que profundizar 2.182 m – 1.73 m = 0.45 m b) Para ensanchar el canal:

Datos: b=? z = 1/tg (60°) = 0.58 y = 1.73 m n = 0.030 Q’ = 10 m3/s + 50% (10 m3/s) = 15 m3/s S = 0.0019

R=

1.73 y +0.58 ×1.73 2 1.73b +1.74 = b+ 4 b+2 ×1.73 √ 0.582 +1

1 0.00155 1 0.00155 23+ + 23+ + n S 0.030 0.0019 57.15 C= = = 0.71 0.00155 n 0.00155 0.030 1+ 1+ 23+ 1+ 23+ S 0.0019 1.73 b+1.74 √R 1.73 b+1.74 b+ 4 b+4

(

)

(

)

√

√

V=

57.15 0.71 1+ 1.73 b+1.74 b +4

√

(√ 1.73bb+1.74 )( 0.0019) +4

[√

]

57.15 0.71 1+ 1.73b +1.74 b+ 4

(√ 1.73bb++1.74 ) ( 0.0019) [ 1.73 b+1.74 ] 4

b

4.4

4.43

4.45

4.47

4.48

f(b)

14.69 4

14.79 6

14.86 4

14.93 2

14.96 6

15

m3 = s

4.4 9 15

4.5 15.03 4

b=4.49 m Debe aumentar 4.49 m – 3 m = 1.49 m más para alcanzar el 50 % más del caudal real. 23) En un canal de M.E.H, el ancho en el fondo es de 3 m y el ancho superficial es 8m. La pendiente es 0.006 y el coeficiente n de rugosidad de Kutter es 0.025. Hallar el gasto.

Datos: b=3m T=8m n = 0.025 S = 0.006

3 y n= √ b 2 3 y n= √ ( 3 m )=2.6 m 2 Q×n S

1 2

yn 2

2 3

( ) ( 32 b y )

=

n

Q × ( 0.025 )

( 0.006 )

1 2

(

=

2.6 m 2

2 3

) ( 32 ( 3 m )( 2.6 m ) )

Q=43.18

24) En un canal de alimentación de una central hidroeléctrica es de 60 m 3/s. El talud es 1.25. a) Calcular las dimensiones de la sección transversal para un tirante de 2 m y una pendiente de 0.0008 (el coeficiente de rugosidad G de Bazin es 0.30). b) Conservando la velocidad del caso anterior ¿Cuáles serían las dimensiones del canal en condiciones de máxima eficiencia hidráulica? ¿Cuál deberá ser la pendiente del canal? c) ¿Cuál sería la sección de máxima eficiencia hidráulica manteniendo una pendiente 0.001? ¿Cuál será la velocidad en este caso? Datos: Q = 60 m3/s z = 1.25 a) y=2m S = 0.0008 G = 0.30

R=

C=

by+ z y 2 2 b+5 = 2 b+2 y √ z +1 b+6.4 87 87 = G 0.30 1+ 1+ √R 2 b+5 b+6.4

√

V=

87 0.30 1+ 2 b+5 b+6.4

√

(√ b+2b+6.45 ) ( 0.0008)

m3 60 = s

87 0.30 1+ 2 b+5 b+6.4

√

b f(b)

2 b+5 (√ b+6.4 ) ( 0.0008 ) × ( 2 b+5)

9

9.2

9.5

9.7

3

6

7

2

9.8

10 9.80 2 55.53 56.64 58.31 59.43 59.99 60 61.10 6

b = 9.802 m

R=

by+ z y 2 2 b+5 = =1.52m 2 b+6.4 b+2 y √ z +1 A=2b+ 5=24.6 m V =2.44

b) Datos: Q = 60 m3/s V = 2.44 m/s z = 1.25 A = 24.6 m2

A=by+ z y 2 24.6 m2=9.802 y+ 1.25 y 2 y=2 m

P=b+ 2 y √ z 2+1=9.802

m s

2

1) En un canal ancho circula Calcular el y la energía que se 25 y 7-26.

CAPIT ULO VII

Datos: b=3m Q = 7.5 m3/s yc = ? V=? E=? Que cumplan las ecuaciones:

2 y c = E … … . ( 7−25 ) 3 2

VC 1 = E … … ( 7−26 ) 2g 3

rectangular de 3 m de un caudal de 7.5 m3/s. tirante crítico, la velocidad correspondiente. Verificar cumplen las ecuaciones 7-

f ( y )=

Q2 T =1 2 g A3

A=b y c P=b+ 2 y c T =b

( 7.5 )2 (3) f ( y )= =1 3 2(9.81)(3 × y c ) y c =0.68 m V C2 E= y c + 2g V C =√ g × y c = √9.81 ×0.68=2.58

E=0.68+

m s

2.582 m−kg =1.02 2 × 9.81 kg

De la ecuación (7-25):

2 2 y c = ( E ) = ( 1.02 )=0.68 m 3 3 De la ecuación (7-26):

( 2.58 )2 1 = (1.02 ) 2 × 9.81 3 0.34=0.34 3) En un canal rectangular se tiene los siguientes datos:

Q = 12 m3/s;

b = 6 m;

S = 0.315

O

;

n=

0.0125 Calcular: a) El tirante normal. b) La energía especifica correspondiente al flujo uniforme. c) El gasto máximo que podría ser transportado con la energía calculada en b Verificar que se cumple la ecuación 7-14 Datos: Q = 12 m3/s b=6m S = 0.315 n = 0.0125

O

a) 2

1

1 Q= × R 3 × S 2 × A n 2

12

1

m3 1 = × R 3 × A ×0.000315 2 s 0.0125 2

8.45=R 3 × A

8.45=

(

6y 2 y +6

2 3

) × (6 y )

y=1.437 m

b)

1.54=

Q2 T m3 →Q=40.16 s g A3

A=by A= ( 6 m) ( 1.437 m ) A=8.62m 2

Q=VA

m3 s V= 2 8.62 m 12

V =1.39

E= y+

m s

V2 2g 2

E=1.437 +

E=1.54

c)

1.39 2 × 9.81

m−kg kg

Ac=4.44

f ( y )=

Q2 T =1 3 gA

122 ×6 =1 9.81× ( 6 y )3 4.44 ( y m )c = 6 =0.74 V C =√ g ( y m )c =2.69 2

V C dc = 2g 2 dc=

Ac =0.74 Tc

( 2.69 )2 0.74 = 2 × 9.81 2 0.37=0.37 5) Se tiene un canal rectangular de 8 m de ancho y rugosidad 65 de Strickler. ¿Cuál será la pendiente critica, el tirante normal correspondiente y la energía especifica mínima cuando el gasto sea de 6 m3/s? Si este canal tuviera una pendiente mayor que la crítica ¿Qué tipo de flujo se establecería en él? (¿rio o torrente?)¿Por qué? n = 65 Strickler =

1 1 1 k = → n= → n= =0.015 n k 65 Q = 6 m3/s b=8m

Sc=

g n2 =0.00014 b4 / 3

A=by=8 y=8 ( 1.067 )=8.54 m2 P=2 y +b=2 y + 8=10.13 m

Qn S

1 2

=

A P

7.61=

5 3 2 3

5

6 × 0.015

→

( 0.00014 )

(8 y )

1 2

=

( 8 y )3 ( 2 y+ 8 )

2 3

5 3 2

( 2 y +8 ) 3

Y f(y)

y=1.067 m

1 6.894

1.067 7.61

1.1 7.975

1.5 12.71 6

2 19.38 2

A 8.54 ( y m )c = T = 8 =1.068 m ( y m )c 2 1.0682 m−kg Emin = y c + =1.068+ =1.126 2g 2 ×9.81 kg Si en el canal aumenta su pendiente, la velocidad crítica aumenta y se convertirá en supercrítica, sino un torrente. 9) Demostrar que en un canal rectangular en condiciones críticas son aplicables, en el sistema métrico, las siguientes ecuaciones. a) qmax = 3.13 yc3/2

q max=1.704 E

3 2

2 3 ¿ y c = E → E= y c >¿ 3 2

q max=1.704

3 y 2 c

( )

3 2

3

q max=3.13 y c 2 b) VC = 3.13 yc1/2 = 2.56 Emin1/2 1 /2

V C =√ g y c =√ 9.81 y c =3.13 y c

√

V C =√ g y c = 9.81

c)

( 23 E )=2.56 E

3

Emin =0.7 √ q max2 Condiciones críticas:

A C =b y c

min

1/ 2 min

V C =√ g y c Q= A V C = ( b y c ) ( √ g y c ) 3

Q=√ g ×b × y c 2 2 Q ¿ y c = E → q= > ¿ 3 b Q 2 =√g E b 3

3 /2

( )

Qmin Emin = 1.705

(

⇒q min =1.705 E 3/ 2

2/ 3

)

=0.7 q 2/ 3

3

Emin =0.7 √ q min2

d)

3

y c =0.467 √ q max2

q max=1.704 E

3 2

3 q max=1.704 y c 2

( )

3

yc 2 =

3 2

q max q ⇒ y c = max 3.13 3.13

( )

3

y c =0.467 √ q max2 e)

V C =2.14 √q max2

Q= A V C =b × y c × V C

2 3

Q = yc V C b

( q × g )1/2 =( y c × V C × g )1/ 2 1

q √ g=V C V C 2 V C 3/ 2=3.13 q → V C =2.14 q max2 /3

12) Hallar el tirante crítico para el canal mostrado en la figura. El gasto es 8 m3/s. ¿Cuál es la energía que corresponde a las condiciones críticas? Demostrar que se cumplen las ecuaciones 714, 7-56 y 7-57. Datos: yc = ? Q = 8 m3/s E = yc +

V C2 2g

z1 = 1/ tg (45°) = 1 z2 = 1/tg (60°) = 0.58

2 b y c + z1 y c 2+ z 2 y c2 A C= 2 T C =b+ y c z1 + y c z2 2 A C2 Q2 A C = ⇒6.52= ⇒ y c =1.603 m g TC TC

√

V C= g ×

AC m =2.76 TC s

V C2 m−kg E= y c + =1.37 2g kg Demostrar que se cumpla la ecuación: - Ecuación 7-14: 2

V C dc A = ; donde : dc= C =0.78 m 2g 2 TC 0.39=0.39 - Ecuación 7-56:

V C 2 b+T = ×E 2 g 5 T +b 0.39=0.39 -

Ecuación 7-57:

yc=

4T ×E 5T +b

y c =0.98

14) Un gasto de 28 m3/s escurre en un canal trapecial (b=3 m, z=2, n=0.017). Calcular la pendiente crítica y el tirante crítico. ¿Qué porcentaje de la energía mínima corresponde a la energía cinética? Demostrar que se cumple la condición dada por el ejemplo 7.1. Datos:

Q = 12 m3/s b=6m S = 0.315 n = 0.0125

O

A=( 2 y c2 +3 y c ) T =3+2 ( 2 ) y c 2

3

Q A = … … … … ….(1) g Tc Reemplazando: 2 282 ( 2 y c +3 y c ) = 9.81 ( 3+ 4 y c )

3

3

79.92=

(2 y c 2+3 y c ) ( 3+4 y c )

fy=79.92 yc

1

1.4

1.48

1.494 76

1.5

2

f(y)

17.86

62.25

76.94

79.92

81.00

249. 45

Si f(yc) = 79.92 yc = 1.49476

≅

1.495 m

Reemplazar el A y T:

A=3 ( 1.495 ) +2(1.495)2=8.96 m2 T =3+4 ( 1.495 )=8.98 m

A 8.96 ⇒ ym = = =0.998≅ 1 m T 8.98 ⇒ V C = √9.81(1 m)=3.13

m s

V c2 3.132 m−kg Emin = y c + =1.495+ =1.994 2(9.81) 2(9.81) kg

16) Se tiene un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 4 m. El talud es de 45°. La longitud del canal entre los puntos A y B es de 1 000 m. La cota del punto A es 864.30 m y la cota del punto B es 863.70 m. El gasto es de 10 m 3/s. Considerar que el coeficiente n de Kutter es 0.020. Calcular: a) b) c) d)

El tirante normal. El tirante crítico. La pendiente critica. La pendiente critica para un tirante normal de 1 m y el gasto correspondiente. (Las cotas están medidas sobre la superficie libre). Datos: Q = 10 m3/s b=4m z = 1/tg (45°) = 1 n = 0.02 S = (864.3-863.7)/1000=0.0006 b)

Q2 A 3 = g Tc Reemplazando: 2 3

102 ( 4 y + y ) = 9.81 4+2 y

10.19=

(4 y + y2 ) 4 +2 y

3

f(y) = 10.19 y f(y)

0.8 10.11

0.802 10.19

0.85 12.29

0.9 14.787

yc = 0.802 m

a) 2

1 10= × R 3 × √ 0.0006 × A … … … … ..(1) 0.02 → P=2 √ 2 y +4 Si:

A=by+ z y 2 A= ( P+ 2 √ 2 y ) y + y

2

A=Py−1.83 y 2 … … … ( 2 ) dA =P−2 ( 1.83 ) y dy 0=P−3.66 y

P=3.66 y … … …(3) (3) en (2):

A=3.66 y 2 −1.83 y 2 A=1.83 y

2

En (1):

5

10 (0.02) ( 1.83 y 2 ) 3 = 2 √ 0.0006 (3.66 y ) 3 5 2 3

8.16=

( 1.83 y )

2

( 3.66 y ) 3 2

( 8.16 )( 3.66 ) 3 (1.83 )

5 3

=y

8 3

y=2.08 m

c)

S c =g

A n2 T 43 R 3

S c =( 9.81 )

( 4 × 0.802+ 0.8022 ) ( 4+ 2× 0.802 )

( 0.02 )2

(

4 × 0.802+0.802 4+ 2 √ 2× 0.802

2 4 3

)

=0.00002

d)

S c =( 9.81 )

( 4 × 1+ 12) ( 4+ 2×1 )

3

( 0.02 )2

(

4 × 1+12 4+ 2 √ 2× 1

)

4 3

=0.12

17) En un canal trapecial los taludes tienen una inclinación z = 4/3. El canal es de concreto (n = 0,015). La pendiente es 0,004. Si el canal está trabajando en condiciones de máxima eficiencia hidráulica, hallar a) El caudal, de forma tal que la energía especifica sea mínima y el valor de dicha energía. b) La energía específica cuando el gasto sea de 15 m3/s.

Datos: z =4/3 n=0.015 S=0.004 Q=15 m3/s. a) 2

2

A=by+ z y =by +1.33 y … …(1) P=b+ 2 y √ 1+ z2 =b+3.33 y … …(2) Sustituyendo Ec (2) en Ec (1):

A= ( P−3.33 y ) y +1.33 y 2 A=Py−2 y 2 dA =P−4 y =0 → P=4 y dy 2

2

A=4 y −2 y =2 y

2

Reemplazando: 5/ 3

2 15 m3 0.004 ( 2 y ) = s 0.015 ( 4 y )2 /3

8

3

15 m =0.336 y 3 s

y=4.16 m b)

Emin = y +

V2 2g

2

Emin =4.16+

0.22 =4.17 m 2 × 9.81

A=2 y 2=34.61 m2 P=4 y=16.64 m

V=

Q m =0.43 A s

R=

A =2.08 m P

18) Un canal trapecial revestido en concreto (C=60 m 1/2/s) conduce un gasto de 8 m3/s: a) Establecer si este flujo es un rio o un torrente. b) ¿Cuál debería ser la pendiente para que conduciendo el mismo, gasto, este sea critico? (Talud 60°; tirante 0.80 m; ancho en el fondo 3 m). Datos: C = 60 m1/2/s Q = 8 m3/s z = 1/tg (60°) = 0.58 y = 0.8 m b=3m a)

A=by+ z y 2=3 × 0.8+ 0.58 ×0.82 =2.77 m2

T =b+2 zy=3+ 2× 0.58 ×0.8=3.93 m

Q=VA → V =

F=

V

=

Q 8 m →V= → V =2.89 A 2.77 s

√

g×

√

q2 =0.9 m g

A T

√

2.89 =1.10 2.77 9.81 × 3.92

b)

yc=

3

A C =3.97 PC =5.08 T C =4.04 5/ 3

1 A ×S Q= × 2 /3 n P

1/ 2

Para que el caudal sea crítico:

S=0.00108

19) Demostrar que los resultados del ejemplo 7.6 son compatibles con la ecuación 7-60.

4 zE−3 b+ √16 z 2 E 2+16 zEb+ 9 b2 yc= 10 z z=3 b = 0.5

E = 1.39

4 ( 3 )( 1.39 )−3 ( 0.5 )+ √ 16 ( 3 ) ( 1.39 ) +16 ( 3 ) (1.39 )( 0.5 ) + Eb+ 9 ( 0.5 ) 10 ( 3 ) 2

yc=

2

y c =1.096 ≅1.1 23) Demostrar que el tirante crítico en una sección triangular es:

2 yc= g

0.2

Q z

0.4

()( )

1 A= y c T 2

V=

√

¿ q=

1 g yc 2

Q 2 →Q=qT > y c = E T 3

√

1 1 Q= AV = y c T g yc 2 2 3

1

1 1 1 1 32 2 Q=T y c gy = T yc2 g 2 2 2 c 2

(

1 qT = 2

) ()

3 2

( ) Ty

c

3 2

g

1 2

3

q=0.792 E 2 y c =0.935 q

⇒ y c=

2 g

1 5

2 3

Q z

( )( )

2 5

2 g

0.2

Q z

0.4

()( )

yc=

25) Demostrar que la velocidad critica en un canal triangular de 90° (z = 1) es:

V C =1.8883 Q0.2 Del ejercicio 23 se sabe:

2 g

0.2

Q z

0.4

()( )

yc=

Cuando z = 1, triángulo de 90°:

y c =0.7277 Q0.4

Multiplicamos por

g 2

g g y= ( 0.7277 ) Q0.4 2 c 2

()

g y 2 c

1 /2

( )

1/ 2

= ( 3.5694 Q2/ 5 )

V C =1.8883 Q0.2