Ejercicios Calculo de Estructuras I-Tema 2

 

1.   TEMA 2. CELÓSIAS PLANAS ISOSTÁTICAS 1.1   Ejercicios resueltos La verdad es que esto es tán sencillo que no hacen faltan ejemplos ¿no? Si crees que hacen falta ejemplos para entender lo que aquí se ha contado, por favor, repasa tus libros de mecánica básica. Aún así ponemos un par de ellos.

1.   Determinar los esfuerzos en las barras AB, AC y CD de la celosía de la figura cuando además de las cargas exteriores hay un asiento de 1 cm en el extremo derecho y un incremento de temperatura de 50 C en la barra AB.

10 kN

10 kN

11

2

E=2.1·10  N/m

α=1.6·10 -6 C-1 A=8 cm

2

B

 

C   m   c    0    0    9

D

A

400 cm

La celosía que se está estudiando es isostática: 8 nudos que nos permiten plantear 16 ecuaciones de equilibrio y como incognita tenemos 3 reacciones y 13 esfuerzos en barras. Por lo tanto los efectos térmicos, asientos en los apoyos y errores de montaje no afectan al valro de los esfuerzos que quedan definidos por la geometría de la celosía y las cargas exteriores. Dado que sólo nos interesa cono cer los esfuerzos en algunas barras el método más rápido y sencillo es el de las secciones. Se realiza un corte en la estructura y se plantean las ecuaciones de equilibrio.

10 kN

10 kN

∑

c

∑

 F x

B

C NAC

N AB

A

 A. Carnicero Carnicero

NCD D

= 0 ⇒ 4 N AB − 10·3 = 0 ⇒ N AB = =0 ⇒

4 5

N AC

− 10 = 0 ⇒N AC  =

30 4

50 4

kN  

kN 

 

Teoría de Estructuras I

∑

 F y

= 0 ⇒ 10 +

3 5

NAC

100

+ N AB + NCD = 0 ⇒N CD = −

4

kN 

SOLUCIÓN

7 .5 k N

12.5 kN

2.   Calcular

el

-25 kN

desplazamiento

en

el

punto

B

de

la

celosía

de

la

estructura cuando en el apoyo izquierdo hay un asiento de 1 cm hacia abajo y la barra AC tiene un incremento de temperatura temperatura de 30 C.

B

11

2

E=2.1·10  N/m

15 kN

α=1.6·10-6 C-1 A=8 cm

2

10 kN

C

A

400 cm Equilátero

Se trata de una celosía isostática. Dado que tenemos que calcular el desplazamiento del punto B, necesitaremos conocer la componenete horizontal y vertical para lo que nos hará falta empleare dos sistemas virtuales de fuerzas. Dadas las cargas que tiene la estructura, se va a resolvar ésta con dos fuerzas generalizadas X e Y que se particularizarán despues para los distintos sistemas de cargas que haya que resolver. Así, se resuelve el sistema de la figura. Se plantea el equilibrio en el nudo B

B X

 AB Y

 AB

C

A

400 cm Equilátero

2

·sen30 − N BC ·sen30 = X  

·cos 30 + N BC ·cos30 = −Y  

de donde se obtienen los esfuerzos en las barras

 

Celosías isostáticas

1 X Y    =  −   2  sen30 cos30   1 X Y     N  BC  = −  +   2  sen30 cos30    N  AB

Planteando el equilibrio en el nudo A o C, se obtiene el valor del esfuerzo que falta

 N  AC  =

1

X

 4  sen30

+

    cos30   Y 

Los esfuerzos reales que hay en la estructura es obtienen con X=15kN e Y=10kN. Los esfuerzos obtenidos se  pueden ver en la figura inferior.

B

N

9.22

A

-20.77

C

10.39

Para calcular el desplazamiento en dirección horizontal podemos emplear una fuerza virtual unitaria horizontal (X=1 e Y=0) y plantear el principio de los trabajos virtuales. Este sistema de fuerzas nos da los siguientes esfuerzos virtuales sobre las barras

B

v

N1

1

A

-1

0.5

C

Dado que hay un asiento en el apoyo A, será necesario calcular la rección ya que ésta aportará trabajo al formular el PTV. Realizando el equilibrio en este nudo se tiene que la reacción vertical es 0.866 (hacia abajo). Planteamos el PTV

 B

δ x

·1 + δ yA·RyA =

∑N i

 A. Carnicero Carnicero

v i ∆ i

l

 Nl  = ∑ Niv  + α l∆t      AE   i i

 

3

 

Teoría de Estructuras I

sustituyendo  B

δ x

·1 + ( −10 −2 )· ( −0.866 ) =

l 

( 1·9.22 + 1·20.77 + 0.5·10.39 ) + 0.5·α l∆ t  

 AE 

despejando  B

δ x

= −7.  726·10−3 m

Para calcular el desplazamiento en dirección vertical empleamos una fuerza virtual unitarial vertical (X=0 e Y=1). Los esfuerzos virtuales generados en las barras son:

B

v

N2

-0.577

-0.577

0.288

A

C

En este caso la rección que nos interesa vale 0.5 (hacia arriba).  B

δ  y

·1 + ( −10 −2 )·0.5 = 

l   AE 

( −0.577·9.22 + 0.577·20.77 +0.288·10.39 ) + 0.288·α l ∆t  

despejando  B

δ  y

= 5.2  85·10 −3 m

Por lo tanto el desplazamiento del punto B es

 B

δ x

= 7.7  26·10−3 m

34.37º  δ

4

 B

= 9. 36·10 −3 m

B  B

δ y

= 5.2  85·10−3m

 

Celosías isostáticas

1.2   Ejercicios propuestos 3.  Calcular los esfuerzos en las barras de la celosía

100 kN 50 kN    0    0    3

60 kN 400

400

400

400

Resultado

-170

-170

-100

150

16.6

-143.4

-143.4

-16.6

0

0 116.6

106.6

106.6

Valores en kN

4.  Calcular los esfuerzos en las barras señaladas en negrita 1 0 0 0

2 0 0 0

2 0 0 0

k g

k g

k g

R

O

L

S

P

M

T

Q

N

   0    8    2   x    5

2 0 0 0

k g

I

J

K 

2 0 0 0

k g

F

G

H

2 0 0 0

k g

C

D

E

   0    5    3

B

A

4 2 0

Resultado

 A. Carnicero Carnicero

5

 

Teoría de Estructuras I

-5500

10666

3500

7500

-7500

-10666

Valores en kg

5.   Calcular el desplazamiento horizontal del nudo C C

2.5 m

5000 kg

D

2

A= 5 cm6 2 E= 8·10  N/cm 2.5 m

2.5 m

B

A

Solución: 3.125 mm

6.   Calcular el desplazamiento vertical del nudo C, y el desplazamiento del

nudo

A.Datos:

Módulo

de 3m

elasticidad 2.1·1011  N/m 2. Sección de las barras 12.9 cm2.

3m

4540 kg

3m 4540 kg

4540 kg

4540 kg

C

Resultado c

δ vertical  δ

= 0.1276 cm

d  vertical  d 

60

(hacia abajo) B

0.08708 cm (hacia abajo)

= = 0.1273 cm

δ horizontal 

(hacia izquierda)

30

A

-5897.6

C

-3931.8

1134.9    0    4    5    4   -

-3931.8    0    4    5    4   -

4540    0    1    8    6   -

-5897.6 0 -3405.1 0

   0    4    5    4   -

A

6

A

30

60

B

-5897.6

 

Celosías isostáticas

7.   En la estructura de la figura las barras CE y BE tienen un error de longitud de +3 cm. AD sufre una variación de temperatura de +30

u A

apoyo A tiene unos asientos de esfuerzos dirección

= 0.5 cm y

v A

= −1 cm .

°C.

El

Determinar los

en todas las barras y el desplazamiento del nudo E en vertical. Datos: Módulo de elasticidad 2.1·10 11  N/m 2.

Sección de las barras 10 cm2 y

α=0.000012

C-1.

5000 kg

D

C

E

20000 kg

  m    5

A

B

8m

5m

Resultado D

0

C

0

452.5

-370

A

-320

B

E

320

-377

Valores en kN

δE y=-8.76 cm

8.   En la celosía de la figura, calcular el desplazamiento horizontal del nudo C debido a las cargas exteriores y a: más

corta

que

la

teórica;asiento

Datos: A= 5 cm 2, E=2.1·1011 N/m 2,

en

∆t  BC  = 60 v B

los:

o

C  ;Barra ED 1 cm

= −1 cm y

u B

= 0.5 cm .

α= 0.000012C- 1

3500 kg C

E

   6

6000 kg

A

B

4m

 A. Carnicero Carnicero

3m

3m

4m

7

 

Teoría de Estructuras I

Resultado 0 0 -69.1

-35 -23

Valores en kN δCx=3.12 mm

8

0

 

 A. Carnicero Carnicero