Ejercicios Cadenas de Markov (1)

Ejercicios Cadenas de Markov

1. Una empresa se encarga de la comercialización de computadoras en la ciudad. La empresa realiza pedidos el último día de la semana sólo si se queda sin inventario durante la semana y recibe 5 computadoras al inicio de la siguiente semana. La empresa quiere modelar el inventario final de productos como una cadena de Markov. Teniendo en cuenta la información histórica de la demanda, se determinó que la probabilidad de que en una semana la demanda sea 0 es de 10%, que sea 1 es de 15%, que sea 2 es del 20%, que sea 3 es del 30%, de que sea 4 es del 20% y que sea 5 es del 5%. a) Represente el inventario semanal de computadores como una cadena de Markov. b) Determine la probabilidad en estado estable de que la empresa se quede sin computadores en cualquier semana. c) Determine el inventario semanal esperado. 2. Una máquina NC está diseñada para que funcione adecuadamente con voltajes de 108 a 112 volts. Si el voltaje se sale de este intervalo, la máquina se apaga (automáticamente para evitar daños). El regulador de voltaje de la máquina puede detectar variaciones en incrementos de un volt. La experiencia muestra que el voltaje cambia cada 15 minutos. Dentro del intervalo permisible (108 a 112 voltios) el voltaje puede subir 1 volt, permanecer pe rmanecer igual, o bajar un volt, todos con iguales probabilidades. proba bilidades. a) Exprese la situación como una cadena de Markov. b) Determine la probabilidad de que la máquina se detenga a causa de un voltaje bajo o alto. c) ¿Cuál es el mejor voltaje para iniciar la máquina? 3. Manuel es un fiel seguidor del Liverpool FC, por lo que ha querido aprovechar y aplicar sus conocimientos en cadenas de Markov. Manuel se interesa porque su equipo juegue las ligas europeas (Champions League o Europa League), por lo que ha recopilado los datos históricos de las clasificaciones a competencias europeas en los últimos años de su equipo. La tabla se muestra a continuación: Temporada

Estado

Temporada

Estado

1992 - 93 1993 - 94 1994 - 95 1995 - 96 1996 - 97 1997 - 98 1998 - 99 1999 - 00 2000 - 01 2001 - 02 2002 - 03 2003 - 04 2004 - 05

No juega No juega No juega No juega Europa League No juega Europa League Europa League No juega Europa League Champions League Champions League Europa League

2005 - 06 2006 - 07 2007 - 08 2008 - 09 2009 - 10 2010 - 11 2011 - 12 2012 - 13 2013 - 14 2014 - 15 2015 - 16 2016 - 17

Champions League Champions League Champions League Champions League Champions League Europa League No juega Europa League No juega Champions League Europa League No juega

a) Modele la cadena de Markov con los estados {Jugar Champions League, Jugar Europa League, No  jugar en Europa} y determine la matriz de transición de un paso P. b) Este año (2016) Liverpool no jugará ninguna competencia europea, pero Manuel confía plenamente en el nuevo DT Jurgen Klopp, por lo que apuesta el salario de un mes a que Liverpool la próxima temporada jugará en Champions League. Calcule la probabilidad de que Manuel gane la apuesta. c) ¿En cuántos años Liverpool espera jugar Champions League?

d) Calcule en cuántos años Liverpool volverá a quedarse por fuera de las dos competencias europeas. e) Calcule la probabilidad de que en un año cualquiera Liverpool juegue Champions League. 4. El estado de las máquinas de manufactura que funcionan en una fábrica se clasifica en Excelente estado (E), Buen estado (B) o Mal estado (M). Al comienzo de cada semana se revisa el estado de cada máquina. De datos históricos se ha logrado estimar que, si al comienzo de una semana una máquina está en E, al comienzo de la siguiente semana está en E con probabilidad 1/4, está en B con probabilidad 1/2 y de lo contrario aparece dañada. Si al comienzo de una semana una máquina está en B entonces al comienzo de la siguiente semana está en B con probabilidad 1/4, está en M con probabilidad 1/2 y de lo contrario aparece dañada. Asimismo, si al comienzo de una semana una máquina está en M, al comienzo de la siguiente está en M con probabilidad 1/4, aparece dañada con probabilidad 3/20 o es vendida de segunda mano a un comerciante con probabilidad 3/5. Suponga que una máquina dañada no se puede reparar y es desechada y que una máquina que es vendida de segunda nunca es devuelta. Teniendo en cuenta lo anterior, modele la situación como una cadena de Markov que le permita responder las siguientes preguntas a) Si al comienzo de una semana, una máquina está en Excelente estado, ¿cuántas semanas va a durar en promedio la máquina en la fábrica? b) Calcule la probabilidad de que una máquina que está en Excelente estado eventualmente sea vendida de segunda. c) Ahora suponga que se ha tomado la decisión de que las máquinas no se pueden desechar ni se pueden vender de segunda mano. Así pues, si al comienzo de una semana una máquina aparece dañada, esta es reparada y queda instantáneamente en excelentes condiciones. De la misma forma, si una máquina iba a ser vendida, esta también se repara y queda instantáneamente en excelentes condiciones. d) Si operar una máquina que inicia en excelentes condiciones una semana cuesta $ 19, una que inicia en buenas condiciones cuesta $38 y una que inicia en malas condiciones $95. Calcula el costo promedio por semana esperado de operar las máquinas. 5. Considere el tablero en la imagen siguiente de un juego de serpientes y escaleras con 1 solo dado.

a) Modele esta situación como una cadena de Markov, definiendo las variables y el conjunto de estados. b) Calcule el número de lanzamientos esperados para ganar el juego iniciando en la casilla de inicio. NOTA: Se entra a la casilla final con el valor exacto. Es decir, si estoy en la casilla 22 gano si saco exactamente 2. Pero si saco 5 en el dado, quedaría ubicado en la casilla 21