Ejercicios Analisis de Sistemas Mineros Metodo Grafico

Una compañía nueva posee 2 minas La mina A produce 1 Ton de Hierro de alta calidad por dia, 3 Ton de Media y 5 Ton de Baja. La mina B produce 2 Ton de Cada una de las 3 calidades. La compañía necesita por lo menos 80 Ton de mineral de Alta calidad, 160 de media y 200 Ton de baja. Sabiendo que el costo diario de operación es de $2000 en cada mina. Cuantos días debe trabajar cada mina para que el costo sea minimo Variables del Modelo X  X1 dias de trabajo en A Y  Y2 dias de trabajo en B FUNCION OBJETIBO: Min Z = f(x,y) = 2000x + 2000y

MINA

DIAS

ALTA

LEYES MEDIA

BAJA

COSTO DIARIO

A B PRODUCCION

X Y

1X 2Y 80

3X 2Y 160

5X 2Y 200

2000X 2000Y

RESTRICCIONES: A) X + 2Y ≥ 80 B) 3X + 2Y ≥ 160 C) 5X + 2Y ≥ 200 SOLUCION METODO GRAFICO R2: restriccion 1 2 3

X 0 80 0 53.3333333 0 40

Y 40 0 80 0 100 0

GRAFICO DE RESTRICCIONES: 120

A

100 80

R1

60

B

R2

40

R3

C

20

D

0 0

20

40

60

80

100

CONJUNTO SOLUCION: PUNTOS

X

Y

FUNCION OBJETIVA

A B C D

0 20 40 80

100 50 20 0

200000 140000 120000 160000

CONCLUSION: SEGÚN ESTE ULTIMO CUADRO, EL PUNTO DEL CONJUNTO SOLUCION QUE CUMPLE OPTIMAMENTE CON NUESTROS REQUERIMENTOS ES EL PUNTO C.

EJEMPLO 2 FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR Z=0.1X +0.08Y

MINA

ALTA

LEYES MEDIA

BAJA

COSTO DIARIO

A B PRODUCCION

1X 1Y 210000

1X 0 130000

0 1Y 60000

0.1X 0.08Y

RESTRICCIONES: A) X+ Y ≤ 210000 B) X ≤ 130000 C) Y ≥ 60000 D) X≤ 2Y SOLUCION METODO GRAFICO R2: restriccion 1 2 3 4

X 0 210000 130000 130000 0 0 0 2

Y 210000 0 0 0 60000 60000 0 0

GRAFICO DE RESTRICCIONES: 300000 250000 200000 R1 150000

R2 R3

100000

R4 50000 0 0

100000

200000

300000

400000

500000

CONJUNTO SOLUCION: PUNTOS A B C D E

X 0 130000 130000 120000 0

Y 60000 80000 65000 60000 210000

FUNCION OBJETIVO 4800 19400 18200 16800 16800

CONCLUSION: SEGÚN ESTE ULTIMO CUADRO, EL PUNTO DEL CONJUNTO SOLUCION QUE CUMPLE OPTIMAMENTE CON NUESTROS REQUERIMENTOS ES EL PUNTO B.

EJEMPLO 3 FUNCION OBJETIVO: MINIMIZAR Z=60X + 70Y TAJO

Cu

Zn

Mo

A B PRODUCCION

50X 15Y 87500

4X 8Y 16000

1X 3Y 5000

RESTRICCIONES: A) 50X + 15Y ≥ 87500 B) 4X + 8Y ≥ 16000 C) 1X + 3Y ≥ 5000 SOLUCION METODO GRAFICO R2: restriccion 1 2 3

X 0 1750 0 4000 0 5000

Y 5833.33333 0 2000 0 1666.66667 0

GRAFICO DE RESTRICCIONES: 7000 6000 5000 4000

R1 R2

3000

R3 2000 1000 0 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

CONJUNTO SOLUCION: PUNTOS

X

Y

FUNCION OBJETIVA

A B C D

0 1352.94 2000 5000

5833.33 1323.53 1000 0

408333.3333 173823.5294 190000 300000

CONCLUSION: SEGÚN ESTE ULTIMO CUADRO, EL PUNTO DEL CONJUNTO SOLUCION QUE CUMPLE OPTIMAMENTE CON NUESTROS REQUERIMENTOS ES EL PUNTO B.

EJEMPLO 4 FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR Z= 25X + 10Y RESTRICCIONES: A) X/20 + Y/15 ≤ 14 B) X ≥ 70 C) Y ≥ 40 D) X + Y ≤ 180 E) 15X + 20Y ≤ 2500 SOLUCION METODO GRAFICO R2: restriccion 1 2 3 4 5

X 0 280 70 70 0 280 0 180 0 166.666667

Y 210 0 0 210 40 40 180 0 125 0

GRAFICO DE RESTRICCIONES: 250 200 R1

150

R2 R3

100

R4 R5

50 0 0

50

100

150

200

250

300

CONJUNTO SOLUCION: PUNTOS A B C

X 70 70 113.333

Y 40 72.5 40

FUNCION OBJETIVO 2150 2475 3233.333333

CONCLUSION: SEGÚN ESTE ULTIMO CUADRO, EL PUNTO DEL CONJUNTO SOLUCION QUE CUMPLE OPTIMAMENTE CON NUESTROS REQUERIMENTOS ES EL PUNTO C.

ANÁLISIS DE SISTEMAS MINEROS

ANÁLISIS DE SISTEMAS MINEROS Estudia los conceptos y metodología para la aplicación de técnicas de investigación operativa en el desarrollo de sistemas de información y modelos en el campo de la minería. Da conocimientos de investigación operativa de procesos mineros desarrollando modelos apropiados. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES La Investigación de Operaciones se ocupa de la resolución de problemas relacionados con la conducción y coordinación de las operaciones o actividades dentro de una organización. Su ámbito de aplicación es muy amplio, aplicándose a problemas de fabricación, transporte, construcción, telecomunicaciones, planificación y gestión financiera, ciencias de la salud, servicios públicos, etc. En general, se aplica en todos los problemas relacionados con la gestión, la planificación y el diseño. La Investigación de Operaciones incluye un conjunto muy amplio de técnicas orientadas a proporcionar una ayuda cuantitativa en la toma de decisiones. El método empleado es el método científico, y las técnicas que se utilizan son, en buena medida, técnicas matemáticas. ¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES? La construcción creativa de modelos de decisión basados en descripciones matemáticas, con el objetivo de tomar decisiones en situaciones de complejidad o incertidumbre. HISTORIA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Surge durante la Segunda Guerra Mundial, cuando había una gran necesidad de administrar los escasos recursos. La Fuerza Aérea Británica formó el primer grupo que desarrollaría métodos cuantitativos para resolver estos problemas operacionales y bautizó a sus esfuerzos como Investigación Operacional. Poco después, las fuerzas armadas estadounidenses formaron un grupo similar, compuesto por científicos físicos e ingenieros, cinco de los cuales posteriormente fueron laureados con el premio Nobel.

Después de la Segunda Guerra Mundial, los administradores de la industria reconocieron el valor de aplicar técnicas similares a sus complejos problemas de decisión. Los primeros esfuerzos se dedicaron a desarrollar modelos apropiados y procedimientos para solucionar problemas como la programación de refinerías de petróleo, distribución de productos, planeación de producción, estudio de mercados y planeación de inversiones. Procedimientos que se hicieron posibles con el advenimiento de la computadora, ya que la resolución del típico problema de investigación de operaciones requiere demasiados cálculos para ser realizados manualmente. CATEGORÍAS BÁSICAS DE PROBLEMAS PROBLEMA DETERMINÍSTICO Es un problema en el que toda la información necesaria para obtener una solución se conoce con certeza. La resolución de un problema determinístico es similar a decidir que cantidad de mineral debemos enviar desde el ore pass o cancha de almacenamiento hacia la planta de beneficio, conociendo cual es el tonelaje total almacenado el contenido y el mineral, en el momento que tomamos la decisión. PROBLEMA ESTOCÁSTICO Es un problema en el que parte de la información necesaria no se conoce con certeza, sino más bien se comporta de una manera probabilística. Decidir que cantidad de mineral debemos enviar desde el ore pass o cancha de almacenamiento hacia la planta de beneficio, desconociendo cual es el tonelaje total almacenado el contenido y el mineral, en el momento que tomamos la decisión.

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

FORMULACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO Y RECOPILACIÓN DE DATOS

RESOLUCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO

MODIFICACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO

SOLUCIÓN

NO

VALIDACIÓN

SI IMPLEMENTACIÓN

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA Este primer paso consiste en identificar, comprender y describir, en términos prácticos el problema que la empresa u organización enfrenta. En muchos casos el problema no puede estar bien definido y requerir bastantes discusiones y consenso entre los miembros del equipo de proyectos. FORMULACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO Y RECOPILACIÓN DE DATOS Es la expresión del problema en forma matemática, en función de las variables de decisión y los datos recopilados del problema. Luego haciendo uso de técnicas matemáticas disponibles obtendremos la mejor solución. RESOLUCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO La Resolución del Modelo Matemático implica obtener los mejores valores numéricos para las variables de decisión. Dicha obtención depende del tipo específico de Modelo Matemático Para elegir un método apropiado para resolverlo. MÉTODO ÓPTIMO Este método produce los mejores valores para las variables de decisión; es decir aquellos valores que satisfacen simultáneamente todas las restricciones y proporcionan el mejor valor para la Función Objetivo.

MÉTODO HEURÍSTICO Produce valores para las variables que satisfacen todas las restricciones. Aunque no necesariamente óptimos, estos valores proporcionan un valor aceptable para la Función Objetivo. VALIDACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL DE LA SOLUCIÓN Es extremadamente importante validar la solución es decir revisar cuidadosamente la solución de un modelo matemático para asegurar que los valores tengan sentido y que las decisiones resultantes puedan implementarse. Así también debe supervisarse no sólo para asegurarse que la solución trabaja según lo planeado; si no porque el problema, los datos o ambos pueden cambiar con el tiempo. MODIFICACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO Si durante la validación se encuentra que la solución no puede llevarse a cabo, se pueden identificar las restricciones que fueron omitidas durante la Formulación del Problema original o si se formularon en forma incorrecta. En estos casos debe regresarse a la etapa de Formulación del Problema y hacerse las modificaciones apropiadas. MODELO MATEMÁTICO El Modelo Matemático constituye una herramienta de la Investigación de Operaciones mediante la cual se formulan los problemas en forma matemática. CONSTRUCCIÓN DE UN DEL MODELO MATEMÁTICO IDENTIFICACIÓN DE LAS VARIABLES DE DECISIÓN Las variables de decisión son valores desconocidos, ha determinarse en la resolución del modelo matemático y que proporcionan la solución del problema. A:

Toneladas de Mineral Transportadas desde la Unidad Minera 1 a la Planta de Beneficio.

X1:

Mineral Producido por el Tajo 1 de la Mina Mónica.

X2:

Costo Unitario por Tonelada producida en la Unidad Minera San Juan.

IDENTIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO La función Objetivo constituye el objetivo global que la empresa persigue expresada en forma matemática. Esta función puede expresarse como una MAXIMIZACIÓN de mejorar u optimizar sus ganancias o rentas, aumentar la

producción, etc. o una MINIMIZACIÓN o reducción de sus costos de producción, insumos, mano de obra, etc. Ejemplo:

Min / Max

Z = 4X1 + 7X2 + 3X3 +….. + CXn

IDENTIFICACIÓN DE LAS RESTRICCIONES Es la expresión matemática de las limitaciones o consideraciones que nos impone el problema. Limitaciones: a) La capacidad instalada de la Planta de Beneficio es de 2,500 TM/día. b) La producción mensual de la Unidad Minera 1 es de 15,000 TMS. Restricciones: 1)

X1 + X2 + X3 +… + CXn >=

2)

X1

2,500 Producción Diaria TM/día.

=

(0.065) (80) TM concentrado de Zn.

2) 0.06 X1 + 0.04 X2

>=

(0.045) (80) TM concentrado de Pb.

3) X1

=

0

Restricción Lógica.

MODELO MATEMÁTICO Variables: X1 =

Tonelaje del Tajeo 1, enviado al ore-pass.

X2 =

Tonelaje del Tajeo 2, enviado al ore-pass.

Función Objetivo: Min. Z

=

4 X1

+

6 X2

Sujeto a: 1)

0.04 X1 + 0.08 X2 >=

5.20 TM concentrado de Zn.

2)

0.06 X1 + 0.04 X2 >=

3.60 TM concentrado de Pb.

3)

X1

4)

=

0

Restricción Lógica.

;

CLASIFICACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS Formulado el problema matemáticamente (Modelo Matemático) el siguiente paso es resolverlo; es decir; encontrar valores para las variables de decisión que satisfagan todas las restricciones y que, al mismo tiempo proporcionen el mejor valor posible de la función objetivo. Esta tarea se logra usando procedimientos sistemáticos, paso a paso, llamados algoritmos aplicativos ejecutados por computadoras. Los algoritmos que resuelven un Modelo Matemático pueden o no resolver otro, por lo que para elegir el más adecuado debemos identificar la clase a la que pertenece un problema en particular. 1.-

CLASIFICACIÓN BASADA EN LOS DATOS DEL PROBLEMA Si se conocen todos los datos con certeza el Modelo Matemático corresponde a un Modelo Determinístico; caso contrario estaremos frente a un Modelo Estocástico.

2.-

CLASIFICACIÓN BASADA EN LAS RESTRICCIONES Los problemas Determinísticos se clasifican primero sobre la base de la existencia de restricciones. Problemas Irrestrictos, son los que carecen de restricciones. Problemas restringidos, son los que tienen una o más restricciones. Los problemas restringidos se clasifican sobre la base de las propiedades matemáticas que las restricciones satisfacen. X1 + X2 + X3 - Xn >= 52.80 Aditividad, es una de las propiedades matemáticas fundamentales de las restricciones, en la que la contribución de cada variable a la función de restricción se suma (o sustrae) a la de cada una de las otras variables de restricción. Proporcionalidad, es la segunda propiedad matemática fundamental de las restricciones, si el valor de una variable se multiplica por cualquier constante, la contribución de la variable a la restricción se multiplica por esa misma constante. Contribución de X1:

3 X1 = 3 (50) = 150

Sobre la base de las propiedades de aditividad y proporcionalidad, existen dos clasificaciones de problemas restringidos.

Restricciones Lineales, en las que todas las restricciones satisfacen tanto la aditividad como la proporcionalidad. Restricciones no Lineales, en las que alguna restricción no satisface al menos una de las propiedades de aditividad y proporcionalidad.

3.-

CLASIFICACIÓN BASADA EN LA FUNCIÓN OBJETIVO Teniendo en cuenta las propiedades matemáticas de la Función Objetivo esta puede ser lineal o no lineal, lo que da pie a la siguiente clasificación de Modelos Determinísticos: a).-

Objetivo Lineal, en la que la función objetivo es lineal. Maximizar

b).-

+

4 X2

+

8 X3

Objetivo no Lineal, en la que la función objetivo es no lineal. Minimizar

4.-

Z = 3 X1

Z = (1.25 x 3 X1) + (0.004 x A x 4 X2) +

8 X3

CLASIFICACIÓN BASADA EN LAS VARIABLES Esta clasificación final se basa en la propiedad matemática de las variables, denominada divisibilidad, lo que significa que una variable de decisión puede, en teoría, asumir cualquier Valor Fraccional u otro, dentro de cierto intervalo. La propiedad de Divisibilidad da lugar a dos clases: 

Modelos de Variable Continua, en la que todas las variables satisfacen la divisibilidad.



Modelos de Variable Entera (o Discreta), en la que una o más variables deben tener valores enteros.

PROGRAMACIÓN LINEAL APLICACIONES Y EL ENFOQUE GRÁFICO

PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Un Problema de Programación Lineal, es un problema en el que la Función Objetivo y todas las Restricciones, son Lineales y todas las Variables son continuas. Los problemas de programación lineal tienen amplias aplicaciones prácticas en áreas tan diversas como la asignación de recursos escasos, la compra y fabricación, la planeación de dietas, administración de agencias, la combinación y la planeación de producción. A un cuando los problemas del mundo real tienen más de dos variables y no pueden resolverse geométricamente, las ideas ganadas al resolver gráficamente problemas de dos variables proporciona una clara comprensión de cómo resolver algebraicamente problemas de tres o más variables, que es el método usado con computadoras. PROGRAMACIÓN LINEAL:

EL ENFOQUE GRÁFICO

El enfoque gráfico es útil no sólo para encontrar una solución óptima, sino también para obtener información adicional sobre cuán susceptible es la solución óptima con respecto a los cambios en los datos del problema. PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL Variables: X1 = Tonelaje del Tajeo 1, enviado al ore-pass. X2 = Tonelaje del Tajeo 2, enviado al ore-pass. Función Objetivo: Mín.

Z

=

4 X1

+

6 X2

Sujeto a: 1)

0.04 X1 + 0.08 X2

>=

5.2

TM concentrado de Zn.

2)

0.06 X1 + 0.04 X2

>=

3.6

TM concentrado de Pb.

=

0

Restricción Lógica.

;

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Usted como responsable de la operación de la mina su objetivo es resolver este problema, es decir encontrar valores para las variables X1 y X2 que satisfagan las cinco restricciones y que produzcan el menor costo o menor valor de la función objetivo. GRAFICACIÓN DE LAS RESTRICCIONES DE UN PROGRAMA LINEAL El método gráfico para resolver un programa lineal con dos variables se inicia concentrándose primero en graficar las restricciones y posteriormente en la función objetivo. 

Consideramos una restricción a la vez.



Cada restricción permite ciertos valores de X1 y X2 que satisfacen la restricción.



Estos valores se denominan Valores Factibles.



Aquellos que no satisfacen la restricción se llaman Valores Infactibles.

El proceso para graficar cada restricción es el siguiente: 1)

Reemplazar el signo de desigualdad de cada restricción por un signo de igualdad.

2)

Determinar las intersecciones con los ejes X1 y X2.

3)

Dibujar la línea recta correspondiente a la ecuación de cada restricción.

4)

Identificar el lado de la línea que satisfaga la desigualdad original o restricción.

5)

Sombrear esta porción de la gráfica que satisfaga todas las restricciones formuladas hasta el momento.

Restricción 1) 0.04 X1 + 0.08 X2 >= 5.2 0.04 X1 + 0.08 X2 = 5.2 Sí X2 = 0 X1 = 130 Sí X1 = 0 X2 = 65

Restricción 3) X1 = 3.6 0.06 X1 + 0.04 X2 = 3.6 Sí X2 = 0 X1 = 60 Sí X1 = 0 X2 = 90

Restricción 4) X2 =

5.2

>=

5.2

>=

5.2

Estos valores satisfacen la restricción por tanto este lado de la recta es el Lado Factible.

X2 130 120 LADO FACTIBLE

110 100 90 80

X1 = 70 X2 = 50

70 60 50 40 30 20 10

(1) 10

30

50

70

90

110

130

150

X1

LADO INFACTIBLE DE LA RECTA DE LA RESTRICCIÓN (1)

Reemplazando los valores de X1 y X2 del lado de abajo de la recta (1): 0.04 X1 + 0.08 X2 X1 = 40

>=

5.2

>=

5.2

>=

5.2

>=

5.2

X2 = 30

0.04 (40) + 0.08 (30) 1.60 + 4.80

3.20

Estos valores no satisfacen la restricción por tanto este lado de la recta es el Lado Infactible.

X2 100 90 80 70 60 50

LADO INFACTIBLE

40 30 20 10

X1 = 40 X2 = 30

30

10

50

70

90

110

130

X1

150

GRÁFICA DE LAS LÍNEAS DE LAS RESTRICCIONES DE UN PROGRAMA LINEAL

X2

(3)

130 120 110 100 90 80 70 60 50

(4)

40 30 20 10

(1)

10

30

50

70

90

110

130 (5)

(2)

150

X1

GRÁFICA DE LAS LÍNEAS DE LAS RESTRICCIONES DE UN PROGRAMA LINEAL

X2 120 110 100 90

(3)

80 70 60 50

(4)

40 30 20 10

(1) (5)

10

30

50

70

90

110

130

150 X1

(2)

REGIÓN FACTIBLE El área final sombreada se denomina la Región Factible del programa lineal. Cualquier punto que esté dentro de la región factible es una Solución Factible y da origen a valores para X1 y X2 que satisfacen todas las restricciones. La región factible está limitada por líneas rectas que se juntan en agudos “puntos esquina” etiquetados de A a E. Estos puntos esquina se denominan puntos extremos.

(3)

C

B

D (4) REGIÓN FACTIBLE

E

(1)

A

(5) (2)

SOLUCIÓN ÓPTIMA Es el punto en la región factible que tiene el mejor valor de la Función Objetivo. El proceso para determinar la Solución Óptima del programa lineal es el siguiente: 1. Trazamos la línea de la Función Objetivo. 2. Localizamos su mejor lado. 3. Movemos la línea de la función objetivo de manera paralela así misma en la dirección de mejora hasta que esté a punto de dejar la Región Factible. Este punto final es la Solución Óptima al Programa Lineal. USO DE LA FUNCIÓN OBJETIVO PARA OBTENER UNA SOLUCIÓN ÓPTIMA Línea de Función Objetivo Línea utilizada en el método gráfico en la cual todos los puntos sobre la línea tienen el mismo valor de función objetivo. TRAZADO DE LA LÍNEA DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Min

Z = — 6X2 =

4 X1 + 6 X2 4 X1 — Z

X2 = — (4/6) X1 + (Z/6) Y = m =

m X 4/6

+

b

(3) C

B

D (4) Línea de Función Objetivo

E

(1)

A (5) (2)

LOCALIZACIÓN DEL MEJOR LADO DE LA LÍNEA DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Para localizar el mejor lado, elegimos cualquier punto que no esté en la Línea de la Función Objetivo y analizamos si el valor de X1 y X2 correspondientes satisfacen la Función Objetivo.

X2 130 120 110 100 90 80 70 60

(3)

X1 = 33 X2 = 60

C

B

D

50 40 30 20 10

E

A

X1 = 35 X2 = 52

(4) Mejor Lado de la Línea de la Función Objetivo

(1) 10

30

50

70 (2)

90

130 150

110

X1

(5)

Si así es, entonces este punto está en el Mejor Lado y por tanto hemos localizado el mejor lado; de otra manera, el punto no está en el mejor lado. Reemplazando los valores de X1 y X2 de un lado de la línea de la Función

Objetivo: Min

Z = 4 X 1 + 6 X2

a).- X1 = 33

X2 = 60

4 (33) + 6 (60) 132

+ 360 = 492 Hr-Hb

b).- X1 = 35

X2 = 52

4 (35) + 6 (52) 140

+

312 = 452 Hr-Hb

El caso b).- refleja el mínimo valor de la Función Objetivo, por tanto este es el mejor lado (lado inferior). OBTENCIÓN DE VALORES NUMÉRICOS PARA LA SOLUCIÓN ÓPTIMA Una forma de obtener los valores numéricos de las variables de decisión para la Solución Óptima es leerlas directamente de la gráfica. Este proceso visual, sin embargo, no es preciso.

(3) B

C

D

Solución Óptima

E

Región Factible

(4)

X1 = 30

(1) A

(5) (2)

Punto Extremo

X1

X2

Valor de la Función Objetivo Min Z = 4 X1 + 6 X2

A

45.00

42.50

435.00

B C D E

45.00 17.00 20.00 30.00

65.00 65.00 60.00 50.00

570.00 458.00 440.00 420.00

La Solución Óptima es: X1 = 30 Toneladas de Mineral del Tajo 1 (TM). X2 = 50 Toneladas de Mineral del Tajo 2 (TM). Valor de la Función Objetivo Z = 420 Hr – Hb. Un enfoque más exacto se basa en observar que la solución optima ocurre en el punto extremo E. Este punto extremo cae en la intersección de las dos líneas correspondientes a las restricciones (1) y (5). Estas ecuaciones son: 1) 2)

0.04 X1 + 0.08 X2 >= 5.2 X1 +

X2