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Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS
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SERIE CORONEL 01
(C) Serie Coronel, 2012 (C) 2012. Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ DEPÓSITO LEGAL: lf07620125103481 ISBN: 978-980-12-6070-7 DIAGRAMACIÓN INTERNA: Estudiográfico, 2012 DISEÑO DE PORTADA: Elkin J. Calle Cortés CORRECCIÓN DE TEXTOS Lcdo. Pedro A. Coronel L. IMPRESIÓN: Litoformas, San Cristóbal [Octubre, 2012] TIRAJE: 500 ejemplares. TIPO DE SOPORTE: Papel Bond base 20 gr/cm2 Las observaciones, sugerencias y correspondencia se r uega hacerlas llegar a los siguientes correos electrónicos:
[email protected] /
[email protected] Impreso en la República Bolivariana de Venezuela Printed in the Bolivarian Republic of Venezuela
Las publicaciones de la SERIE CORONEL gozan de protección de los derechos de propiedad intelectual en virtud del Protocolo a la Convención Universal Sobre Derechos de Autor. Sin previa autorización por escrito por parte del editor, quedan rigurosamente prohibidas, bajo las sanciones establecidas por las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía, el tratamiento informático y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público. Reservados todos los derechos.
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A mis hijos Pedro A. Coronel L. y Pablo J. Coronel L. A mis padres Ángel I. Coronel A. y María del C. Pérez de Coronel. A mis padres Pedro P. Coronel P. y Marisol López G.
“ La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles”. RENÉ D ESCARTES (1596–1560) / Filósofo y matemático francés
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ÍNDICE
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Prólogo
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Breve fundamento teórico
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Bibliografía
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Límites Algebraicos Indeterminados de la forma matemática
17
Límites Trigonométricos Indeterminados de la forma matemática
33
Límites Indeterminados de la forma matemática
51
Límites Indeterminados de la forma matemática
77
Límites Indeterminados de la forma matemática
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Ejercicios complementarios
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PRÓLOGO EL PROPÓSITO DE ESTE LIBRO, ES PRESENTAR a los alumnos que inician sus estudios universitarios una serie de problemas sobre límites, muy representativos y resueltos en forma detallada. Evidentemente será de gran utilidad para estudiantes de Ingeniería, Ciencias, Tecnología o cualquier especialidad donde el Cálculo Matemático sea un requisito indispensable dentro del pensum de estudio. Por otra parte, la gran cantidad de ejercicios, permite que el material también pueda ser utilizado como texto guía tanto por el alumno como por el profesor en el desarrollo de este importante tema de cálculo. Todos los problemas que aquí se presentan están relacionados con límites de las formas que son las indeterminaciones más frecuentes aunque también han sido cuidadosamente incluidos algunos límites que se pueden resolver en forma inmediata. Los ejercicios han sido seleccionados con el objeto de ampliar los conocimientos adquiridos en clase, así como también para que el alumno adquiera práctica en la resolución de problemas y así prevenirle ante las dificultades con que normalmente se tropieza el principiante. Los autores se han esmerado en la explicación de los procedimientos utilizados para la resolución de cada uno de los problemas. Sin embargo, de manera intencional, en algunos se ha omitido ciertos pasos explicativos, con la finalidad de “obligar” al alumno a reflexionar sobre algunos conocimientos básicos del álgebra elemental o sobre procedimientos que ya han sido utilizados en problemas previos con la única finalidad de contribuir a mejorar el proceso de aprendizaje.
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BREVE FUNDAMENTO TEÓRICO PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades: Límite de
Expresión
Una constante La función identidad El producto de una función y una constante Una suma Una resta Un producto Un cociente Una potencia Un logaritmo El número e
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INDETERMINACIONES
Productos con infinito:
Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere ∞ como el límite
Infinito por un número
que tiende a infinito y 0 al límite cuando tiende a 0; y no al número 0):
Operación
Indeterminación
Infinito por infinito Infinito por cero
Cocientes con infinito y cero: Cero partido por un número Un número partido por cero Definición del teorema del encaje o teorema del emparedado que dice: Un número partido por infinito
OPERACIONES CON INFINITO Sumas con infinito:
Infinito partido por un número
Infinito más un número
Cero partido por infinito Infinito más infinito
Infinito partido por cero Infinito menos infinito
Cero partido por cero
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Infinito partido por infinito
Potencias con infinito y cero:
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BIBLIOGRAFÍA Larson R, Hostetler R. Y Edwards B. (1995). Cálculo. Volumen 1. México. McGraw-Hill.
Un número elevado a cero
Zill G, Dennis (1985). Cálculo con Geometría Analítica. México, Grupo Editorial Iberoamérica. Cero elevado a cero
Wisniewski Piotr M. y Banegas G. Ana L. (2004). Introducción a las matemáticas universitarias. México. McGraw-Hill. Infinito elevado a cero
Pita R, Claudio. (1998). Cálculo de una variable. México, Prentice- Hall Hispanoamericana. Cero elevado a un número
Universidad Nacional Abierta (2011) Matemática II: Límites y Continuidad de Funciones Reales de Variable Real. Caracas, Autor. Un número elevado a infinito
Cero elevado a infinito Infinito elevado a infinito Uno elevado a infinito
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LÍMITES ALGEBRAICOS INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA
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001
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006
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002
SOLUCIONARIO 001
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LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA
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LÍMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA
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061
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LÍMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA 091
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LÍMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA 121
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LÍMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA 15 1 15 2 15 3
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16 1 17 6 16 2 17 7 16 3 17 8 16 4 16 5
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LÍMITES ALGEBRAICOS INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA
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19 7
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LÍMITES ALGEBRAICOS INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA 21 1
22 6
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22 7
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22 8 22 9
21 5
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EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 196 24 1
24 6
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SOLUCIONARIO 241
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(C) Serie Coronel [No. 01], 2012 La presente edición, que consta de 500 ejemplares, se imprimió en San Cristóbal, Venezuela, en los talleres gráficos de Litoformas, C.A., durante los meses de octubre-noviembre de 2012.
Impreso en la República Bolivariana de Venezuela [PRINTED IN THE BOLIVARIAN REPUBLIC OF VENEZUELA ]
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