Ejercicios 3

 

MATEMÁTICA PARA LAS FINANZAS

TASAS DE INTERÉS NOMINAL, EQUIVALENTE Y EFECTIVA   La tasa de interés anual que se capitaliza capitaliza m   veces en un año, se llama tasa de interés nominal o simplemente tasa nominal . Esta es la tasa de interés convenida en una operación financiera y que queda estipulada en los contratos; por esta razón también se llama tasa contractual. Las tasas de interés que se han utilizado hasta el momento, en todos los ejemplos han sido tasas nominales. Se dice que dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización son equivalentes , si producen el mismo monto compuesto al final de un plazo dado. Por  ejemplo, al invertir s/. 1 000 a 25% capitalizable cada trimestre, el monto obtenido al fina finall de 2 añ años os se será rá s/ s/.. 1 624. 624.17 17.. Si el dine dinero ro se in invi vier erte te a 24 24.3 .372 7277 774% 4% co con n capitalización quincenal, al final de 2 años se tendrá un monto de s/. 1 624.17. Como el monto compuesto es el mismo en ambos casos, se dice que las tasas de interés son equivalentes.

Fórmula para Hallar las Tasas Equivalentes m   q i   ie q   1    1 q  m      

…(1)

Donde: ie q

Tasa de interés anual nominal capitalizable “q  veces en un año.   i : Tasa de interés anual nominal capitalizable “m  veces en un año.  

 Ejemplo 01: Halle la tasa de interés nominal con capitalización semestral que sea equivalente a la tasa de=20% capitalizable cada mes. ¿ 20.852085% R: i eq   Una tasa equivalente equivalente muy utilizada en diversas situaciones situaciones financieras financieras es la

tasa de

interes anual efectiva o simplemente tasa efectiva, simbolizada como ie . La tasa efectiva, se define como la tasa de interés capitalizable una vez al año, que equivale a una tasa nominal i capitalizable “m   veces al año. La tasa efectiva es la tasa de rendimiento que se obtiene al cabo de un año debido a la capitalización de los intereses; esto es, la tasa efectiva refleja el efecto de la reinversión. A la tasa efectiva también se le llama rendimiento anual efectivo. Si un determinado capital se invierte a una tasa de interés capitalizable cada año, el monto compuesto al final del primer año es el mismo que el monto obtenido por  interés simple a un año de plazo. Por tal motivo, la tasa efectiva anual es la tasa de interes simple que produce el mismo interes en un año que la tasa nominal capitalizada “m” veces al año.

 

MATEMÁTICA PARA LAS FINANZAS

Fórmula para Hallar la Tasa Efectiva m

i   ie   1    1  m   …(2) Donde  i e: Tasa efectiva. i : Tasa de interés anual nominal capitalizable “m  veces en un año.

 Ejemplo 02: ¿Cuál 02: ¿Cuál es la tasa efectiva del dinero invertido a la tasa nominal de 21.4% capitalizable en forma trimestral? R: La tasa de interés ganada es de 23.1794% anual.  Ejemplo 03: ¿En cuál banco invertiría Ud. su dinero: en el banco  A que ofrece un 26% con capitalización diaria; o en el banco B banco  B que ofrece un 27.05% 27.05% capitalizable capitalizable cada 28 días? R: En el banco B banco B  Ejemplo 04:  04:  Determ Determine ine la tasa de interé interéss nomina nominall que produce produce un rendim rendimien iento to de 16.1292% anual efectivo, si el interés se capitaliza cada quincena. R: 15% anual capitalizable cada quincena.  Ejemplo 05: ¿Cuál 05: ¿Cuál será el monto de s/. 20 000 en 4 años si se invierten a una tasa efectiva de 8% anual? Los intereses se capitalizan cada mes. R: s/. 27 209.78 En ocasiones es necesario conocer la tasa efectiva para un periodo diferente a un año. En este caso, es necesario modificar la fórmula de tasa efectiva anual. Si en la ecuación (2), en lugar de elevar el binomio a la potencia m (número de periodos de capitalización en un año), se eleva a la potencia n (cualquier número de periodos de capitalización), se obtiene la fórmula para la tasa efectiva en un periodo conformado por n periodos de capitalización. Esto es:

Donde

ie p

n

i   ie p   1    1  m

 es la tasa efectiva por periodo, que consta de n periodos de capitalización.

 Ejemplo 06:  Se invierten invierten s/. 85 000 a una tasa nominal de 18% capitalizable capitalizable cada mes, durante 9 meses. Calcula: a) El m monto onto al final final de los 9 meses.  b) La tasa efectiva anual. c) La tas tasaa efectiva efectiva en el periodo periodo de 9 meses. meses. R: a) 97 188,15; b) 19,56% anual; c) 14,34% en el periodo de 9 meses

 

MATEMÁTICA PARA LAS FINANZAS  Ejemplo 07: la tasa de interés que cobra un banco en los préstamos personales es de 21% capitalizable cada mes. Calcule la tasa efectiva y la tasa efectiva por periodo semestral. R: 23,1439% ; 10,9702% por periodo semestral.

PROBLEMAS PROPUESTOS interés nomin nominal al capital capitalizable izable cada mes equivalente equivalente a 1. ¿Cuál es la tasa de interés

la tasa tasa

nominal de 38% capitalizable trimestralmente? R: 36,8564% anual

2. Obtenga la tasa nominal capitalizable cada cuatrimestre equivalente a la tasa de 27.4% capitalizable cada bimestre. R: 28,0256% anual

3. Calcu Calcule le la tasa anual de interés interés con capitalización capitalización cada 14 días equivalente equivalente a la tasa de 18% capitalizable cada 91 días. Utilice año natural. R: 17,6674% anual

4. ¿Cuál es la tasa de interés anual que, capitalizada cada semana, produce igual monto que 11% capitalizable cada mes? R: 10,9614% anual

5. Determine la tasa de interés efectiva que se recibe de un depósito bancario, si la tasa nominal es de 11.84% capitalizable cada semana. R: 12,5543% anual

6. Ca Calc lcul ulee la tasa tasa efect efectiv ivaa an anua uall co corre rresp spon ondi dien ente te a la ta tasa sa no nomi mina nall de 28 28.1 .157 57% % capitalizable cada 28 días. 32,1242% anual

7. En Encue cuentr ntree la tasa efectiva efectiva anual anual corresp correspond ondien iente te a la tasa de 1.84% 1.84% quince quincenal nal capitalizable cada quincena. R: 54,8964% anual

8. El banco del Norte ofrece 9.75% capitalizable cada día, y el banco del Sur ofrece 10.53% capitalizable cada mes. ¿Cuál escogería Ud.? R: Banco del Sur.

9. El señor Montes desea un préstamo personal a 2 años de plazo y le ofrecen las siguientes opciones: a) 26% capital capitalizab izable le cada cada trim trimestr estre. e.  b) 26.845% capitalizable cada semestre. ¿Qué oferta debe aceptar? R: Es indiferente. tasa nominal produce un rendimiento de 24.75% anual efectivo, si el 10. ¿Cuál interésesselacapitaliza cadaque bimestre?

 

MATEMÁTICA PARA LAS FINANZAS R: 22,5267% anual agiotista sta desea desea ganar ganar 80% anual efecti efectivo vo sobre sobre un préstam préstamo o con intereses intereses 11. Un agioti capitalizables cada mes. Encuentre la tasa que debe cobrar. ¿Cuál será la tasa de interés equivalente si éstos se capitalizarán cada quincena? R: 60,2420% anual; 59,5043% anual 12. Una institución bancaria que otorga una tasa efectiva de 13%. Encuentre la tasa de interés nominal si la capitalización es diaria. R: 12,2238% anual

13. ¿Cuál es la nominal que produce un rendimiento de 28.4% anual efectivo, si el interés se capitaliza cada 7 días? R: 25,0582% anual

14. Encuentre el monto y el interés compuesto de s/. 36 000 invertidos durante 8 años a una tasa efectiva de 7%, si los intereses se capitalizan cada quincena. R: 61854,70 soles; 25 854,70 soles

15. Calcule el monto de s/. 12 000 en 15 años, si se invierten a una tasa efectiva de 8% anual. R: 38 066,03 soles

16. Calcule el monto y el interés compuesto de 36 800 soles en 4 años y 6 meses, si se invierten al 10% anual efectivo y los intereses se capitalizan en forma mensual. R: 56 508,65 soles; 19 708,65 soles

17. Calcule el monto de s/. 100 000 en 9 meses, si se invierten a una tasa efectiva de 10.3813% anual y los intereses se capitalizan cada trimestre. R: 107 689,07 soles

18. El 11 de mayo se invierten 13 800 soles a una tasa efectiva del 8,5%. ¿Cuál será el monto el 22 de septiembre del mismo año? R: 14 219,56 soles

19. ¿Cuánto deberá invertirse ahora para tener s/. 600 000 en dos años, si la tasa de interés es de 15.6% anual efectivo? R: 448 988,88 soles

20. El gerente de un supermercado necesitará 140 000 soles para el 15 de diciembre del  presente año. ¿Cuánto debe depositar en este momento (9 de abril) en un banco que  paga el 11,8% de interés efectivo? R: 129 702,61 soles