Ejercicios 2 PDF
July 7, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Problemas de Ingeniería Ingeniería de Sistemas: Sistemas Sistemas Continuos. Conceptos básicos. básicos.
EJERCICIO 2.1.
Obtener la función de transferencia del siguiente diagrama de bloques: H3 _ G1
+ _
G2
+
+ _
G3
G4
H1
H2
H3/G4 _ G1
+ _
G2
+
+ _
G3
H1
G4
H2 H3/(G4·G1)
_ +
_
G1
G2
+ _
+ _
G3
H1
G4
H2 H3/(G4·G1)
_ +
G1 G 2
G3 G 4
1 G1 G 2 H1
1 G3 G 4 H2
G3 G4
G1 G 2 1
1 G 1 G 2 H1 1 G 3 G 4 H 2 G3 G4 H3 G1 G 2 1 G 1 G 2 H1 1 G 3 G 4 H 2 G 4 G 1
G1G 2G 3G 4 1 G1G 2 H1 G 3G 4 H 2 G 2G 3H 3 G1G 2G 3G 4H1H 2
1
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
EJERCICIO 2.2.
Obtener la función de transferencia global del sistema mediante el movimiento de bloques. c
H2 _ R(s) + + _ a +
G1
b
+
d
G2
C(s)
G3
H1
La señal en el punto d será: d (a b)G 1 cH 2 aG 1 bG 1 cH 2 Se mueve el bloque restador cuya salida es el punto d hasta situarlo a continuación del punto de suma a: c H2 _ R(s)
+ + _ a
+ + b
G1
d
G2
C(s)
G3
H1
Se analiza ahora de que está formada la señal que llega al punto d: d (a cH 2 b) G 1 aG 1 bG 1 cH 2 G 1 Con respecto al valor inicial de la señal se puede observar que sobra G1 en el último sumando. Para resolver esto se dividirá el bloque H 2 entre G1. c
H2/G1 _ R(s)
+ a + _
+ + b
G1
H1
2
d
G2
G3
C(s)
Problemas de Ingeniería Ingeniería de Sistemas: Sistemas Sistemas Continuos. Conceptos básicos. básicos.
Resolviendo el bucle interno: M 1 (s )
G 1G 2 1 G 1G 2 H 1
Con lo que el diagrama de bloques ahora será: H2/G1
c
_ R(s)
G 1G 2 G 3
+ a + _
C(s)
1 G 1G 2 H 1
Resolviendo el lazo interno entre a y c: G 1G 2 G 3 M 2 (s )
G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1 G 1G 2 G 3 H2 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 1 1 G 1G 2 H 1 G 1
R(s)
G 1G 2 G 3
C(s)
1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2
+ _
Y resolviendo el último lazo: G 1G 2 G 3 M 3 (s )
1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 G 3
1
(s)
1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2
G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 G 3
G1G 2 G 3
C(s)
1 G1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 G1G 2 G 3
Otra posible forma de resolver sería moviendo la señal de realimentación tomada a la salida del bloque G2 hasta la salida del bloque G 3. De esta forma modificando los bloques afectados se tendría:
3
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
H2 _ R(s) + _
+ +
+
G1
G2
G3
C(s)
H1/G3
Resolviendo el bloque más interno: M 1 (s)
R(s) + _
+ +
G 2G 3 1 G 2G 3H 2
G2G 3
G1
C(s)
1 G 2G 3H 2
H1/G3
Resolviendo el lazo más interno nuevamente: G 1G 2 G 3 M 2 (s )
1 G 2G 3H 2 G 1G 2 G 3 G 1G 2 G 3 H 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 H 1 1 1 1 G 2G 3H 2 G 3
R(s)
C(s)
G 1G 2 G 3 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 H 1
+ _
Y resolviendo el último lazo: G 1G 2 G 3 M 3 (s )
1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 H 1 G 1G 2 G 3
1
1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 H 1
4
G 1G 2 G 3 1 G 2 G 3 H 2 G 1 G 2 H 1 G 1G 2 G 3
Problemas de Ingeniería Ingeniería de Sistemas: Sistemas Sistemas Continuos. Conceptos básicos. básicos.
EJERCICIO 2.3.
Para el diagrama de bloques de la figura encontrar G eq y Heq de forma analítica y gráfica. e
R(s) r + _
u
1
K
v
2
s 10
1
s 3
z
Y(s)
s
0.1 + w +
+ +
Analíticamente:
s 1 v s s 2(s 1) K 2(s 1) s 1 2 u r 0.1 r 0.1u e u r 0.1 s ( s 3 ) s 10 s ( s 3 ) s s 3 e r z r (0.1u w ) r (0.1u v
1
v ) r 0.1u
2(s 1) K e r 0.1 e s(s 3) s 10
0.1K
s 10
e1 1
e 1
0.1K s 10
r
2 K (s 1) s(s 3)(s 10)
e
r s(s 3)(s 10) 2 K (s 1)
1
r s(s 3)(s 10) 0.1Ks(s 3) 2 K (s 1) s(s 3)(s 10)
s(s 3)(s 10) r s 3 (13 0.1K )s 2 ( 30 2.3K )s 2 K
Por otro lado, la función de transferencia de lazo directo es directa: y
2 K
s(s 3)(s 10)
G (s )
y e
e
2 K s(s 3)(s 10)
5
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Entonces, la función de transferencia de lazo cerrado es: 2 K M (s)
Y (s ) R (s)
s(s 3)(s 10)
e
s 3 (13 0.1K )s 2 ( 30 2.3K )s 2K s(s 3)(s 10)
M (s )
e
2 K s 3 (13 0.1K )s 2 ( 30 2.3K )s 2 K
Se busca ahora descomponer dicha función de lazo cerrado en las funciones correspondientes a la cadena directa, cuyo valor ya se conoce, y la realimentación. M (s)
G (s ) 1 G (s ) H (s )
Para este sistema, sustituyendo el valor de la cadena directa: 2 K M (s )
2 K 2 K s(s 3)(s 10) 3 2 2 K s(s 3)(s 10) 2 K H (s) s 13s 30s 2 K H (s) H (s ) 1 s(s 3)(s 10)
Luego igualando los denominadores de las dos expresiones obtenidas para M(s): s 3 (13 0.1K )s 2 (30 2.3K )s 2 K s 3 13s 2 30s 2 K H (s)
s 3 13s 2 30s 0.1Ks 2 2.3Ks 2K s 3 13s 2 30s 2 K H (s) 0.1Ks 2 2.3Ks 2K 2 K H (s) H eq 0.05s 2 1.15s 1
R(s) + _
2 K s( s 3)(s 10)
0.05s 2 1.15s 1
6
C(s)
Problemas de Ingeniería Ingeniería de Sistemas: Sistemas Sistemas Continuos. Conceptos básicos. básicos.
Resolviendo ahora de forma gráfica: R(s)
e
r + _
u
1
K
s 10
z
v
2
1
s 3
Y(s)
s
0.1 + w +
+ +
Pasando el último bloque delante del punto de bifurcación v:
R(s)
e
r + _
u
1
K
Y(s)
s( s 3)
s 10
z
v
2
s
0.1 + w +
+ +
Agrupando las funciones de transferencia del último sumador:
R(s)
e
u
K
2
s 10
r + _
v
Y(s)
s( s 3)
z
s+1
0.1 + w +
Moviendo el bloque
R(s) r + _
2 s( s 3)
e
delante del punto de bifurcación u:
u
2 K
v
s( s 3)( s 10) 0.1s(s 3)
z
2 + w +
7
s+1
Y(s)
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Agrupando los dos elementos del sumador: R(s)
e
Y(s)
2 K s(s 3)( s 10)
r + _ z
0.05s 2 1.15s 1
EJERCICIO 2.4.
Para el diagrama de bloques mostrado en la figura calcular las funciones de transferencia G(s) y H(s) equivalentes de forma analítica y gráfica. Calcular también la función de transferencia G(s) equivalente para que el sistema tenga realimentación unitaria. R(s)
e
v
10 s1
r + _ z
1
Y(s)
s
y
2 + +
Analíticamente:
e r z r ( 2v y) r 2 v
1 1 1 10 e v r 2 v r 2 s s s s 1
1 10 e r 2 e s s 1
2 s 1 10 r s s 1
e 1
s(s 1) s2 s r e r r 2 2 20s 10 s 21s 10 s 21s 10 1 2 s s La función de transferencia de cadena directa se obtiene de forma directa: G (s )
y
e
10
s(s 1)
8
Problemas de Ingeniería Ingeniería de Sistemas: Sistemas Sistemas Continuos. Conceptos básicos. básicos.
10
y
s(s 1)
e
Y la función de transferencia de lazo cerrado es: 10 M (s)
y r
s(s 1)
e
10
s 2 21s 10 e s(s 1)
s 2 21s 10
Sabiendo que: M (s )
G (s) 1 G (s) H (s)
10 M (s) 1
s(s 1) 10 s(s 1)
H (s )
10 s 2 s 10 H (s)
Igualando los denominadores de las dos funciones de transferencia M(s) obtenidas: s 2 21s 10 s 2 s 10 H (s) 20s 10 10 H (s) H (s) 2s 1 R(s)
Y(s)
10
+ _
s(s 1)
2s+1
Resolviendo el diagrama de bloques de forma gráfica: R(s) r + _
e
v
10 s1
z
2 + +
9
1
Y(s)
s
y
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Moviendo el último bloque delante del punto v:
e
R(s)
v
10
Y(s)
s(s 1)
r + _
y
z
2s + +
Uniendo los elementos del sumador: R(s)
Y(s)
10 s( s 1)
+ _
2s+1 Si se desea que Heq sea 1: (s)
Y(s)
G’(s)
+ _
Como la función de transferencia de lazo cerrado es: M (s)
10 s 2 21s 10
Dividiendo el numerador y denominador de M(s) entre s 2 21s se tiene: 10
10 2 s 21s M (s ) 2 s 21s 10
s 2 21s
s 2 21s
s 2 21s 10
1
R(s) + _
G ' (s ) 1 G ' (s )
s 2 21s
10 s(s 21)
10
Y(s)
Problemas de Ingeniería Ingeniería de Sistemas: Sistemas Sistemas Continuos. Conceptos básicos. básicos.
De forma gráfica partiendo de la función obtenida con G eq y Heq: R(s)
Y(s)
10 s( s 1)
+ _
2s+1 R(s)
Y(s)
10 s(s 1)
+ _
2s 1 10
10 s(s 1) 10
G ' (s)
1 s(s 1) 2s R(s)
s(s 1) s 2 s 20s
10 s 2 21s
10 s(s 21)
s(s 1) Y(s)
10
+ _
s(s 21)
EJERCICIO 2.5.
Resolver el siguiente diagrama de bloques de forma gráfica y mediante la técnica de los flujogramas. C(s)
R(s) +
-
G1
G2
G3
+ _
G4
+ +
G6
G8
11
G5
G7
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Resolviendo primero gráficamente: En primer lugar se ha ordenado el diagrama de bloques de la forma típica: R(s) + _
C(s) G3
+ _
G5
G8
G1
G2
G4
G7
+ +
G6
Ahora los bloques G5 y G2 se mueven delante del punto de bifurcación: R(s) + _
C(s) G3
+ _
G1
G 8 G 5G 2
G7 G 5G 2
+ +
G6
Se agrupan los bloques de la realimentación interna:
12
G4
Problemas de Ingeniería Ingeniería de Sistemas: Sistemas Sistemas Continuos. Conceptos básicos. básicos.
C(s)
R(s)
G3
+ _
G1
G 8G 5G 2
+ _
G 4
G 7
G 6
G G 5
2
C(s)
R(s)
G3
+ _
G1
G 8G 5G 2
+ _
G 6 (G 7 G 4 G 5G 2 G 5G 2
Agrupando en un único bloque la realimentación interna:
G ' (s)
R(s) + _
G 8G 5G 2 G 8 G 5G 2 G (G G 4 G 5 G 2 1 G 8 G 6 ( G 7 G 4 G 5 G 2 ) 1 G 8 G 5G 2 6 7 G 5G 2
G3
C(s)
G 8 G 5G 2 1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 )
G1
Agrupando finalmente los elementos restantes: G3 M (s )
G 8 G 5G 2 1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 ) G 8 G 5G 2
1 G3
G 1G 3G 8 G 5 G 2
G1
1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 )
13
G1
1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 ) G 1G 3 G 8 G 5 G 2
1
1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 )
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
M (s )
M (s )
G 1G 3 G 8 G 5 G 2 1 G 8 G 6 ( G 7 G 4 G 5 G 2 ) G 1G 3 G 8 G 5 G 2
G 1G 2 G 3G 5 G 8 1 G 6 G 7 G 8 G 2 G 4 G 5 G 6 G 8 G 1G 2 G 3 G 5 G 8
Aplicando la técnica de los flujogramas: Se construye en primer lugar el flujograma correspondiente al sistema: 1
G3
G8
G2G5
G1
1
C
G7 G4
-G6 -1 Se resuelve aplicando la regla de Mason:
La relación entre la salida C(s) y la entrada R(s), viene dada por: C(s) R (s)
T k k k M (s )
siendo:
(Determinante del flujograma.) = 1-i+ij-ijk +… Trayectos directos: "aquellos que partiendo de un nodo fuente llegan a un nodo final sin pasar dos veces por el mismo nodo"
i: ganancia de cada lazo. i igual a la suma de ganancias de los bucles que tienen algún nodo común con cualquier trayecto directo.
ij igual a la suma de productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos bucles disjuntos. TK es la ganancia del k-ésimo trayecto directo.
K se calcula igual que , pero eliminando los bucles que tienen algún nodo común
14
Problemas de Ingeniería Ingeniería de Sistemas: Sistemas Sistemas Continuos. Conceptos básicos. básicos.
con el k-ésimo trayecto directo. Trayectos directos: T1 G 3G 8 G 2 G 5 G 1 Lazos:
1 G 3 G 8 G 2 G 5 G 1 2 G 8 G 7 G 6 3 G 8 G 2 G 5 G 4 G 6
i
1 2 3 G 3G 8 G 2 G 5 G1 G 8 G 7 G 6 G 8 G 2 G 5 G 4 G 6
No existen lazos disjuntos.
1 i 1 1 2 3 1 G 3 G 8 G 2 G 5 G 1 G 8 G 7 G 6 G 8 G 2 G 5 G 4 G 6 1 1 C(s) R (s)
k Tk k
M (s )
G 3G 8 G 2 G 5 G1 1 G 3G 8 G 2 G 5 G1 G 8 G 7 G 6 G 8 G 2 G 5G 4 G 6
EJERCICIO 2.6.
Calcular la función de transferencia
C( s ) R (s)
del siguiente flujograma:
-H2 R(s) 1
1
G1 G2 G3
1
C(s)
H1 -1
Trayectos Directos:
P1 G1G 2G 3
Lazos Independientes:
L1 G1G 2 H1 L 2 G 2 G 2 H 2 L3 G1G 2G 3
Determinante:
1
La
15
L b Lc
Ld Le Lf
...
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
1 G1G 2 H1 G 2G 3H 2 G1G 2G 3 P1 G1G 2G 3
Cofactor:
1 1 Entonces: 1
k P
M (s) M (s)
k
k
G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 G 3
EJERCICIO 2.7.
Calcular la función de transferencia
Y ( s) R (s)
del siguiente flujograma:
6 R(s) 1
1
1 s+1
-4 1
-3
s s+2
3
-5
Trayectos Directos: P1
P2
3s (s 1)(s 2)
4 (s 1)
P3 6 Lazos Independientes: L1
3 (s 1)
L2
5s (s 2 )
Pares de lazos: L1 L 2
Determinante:
15s (s 1)(s 2)
1 La L b Lc Ld Le Lf ...
16
1 Y(s)
Problemas de Ingeniería Ingeniería de Sistemas: Sistemas Sistemas Continuos. Conceptos básicos. básicos.
3 5s 15s 1 (s 1) (s 2) (s 1)(s 2) Cofactores: P1
3s (s 1)(s 2)
1 1 P2 4 (s 1) 5s 2 1 (s 2) P3 6
3 5s 15s 3 1 (s 1) (s 2) (s 1)(s 2) Entonces:
1 M (s )
Pk k
k
5s 3s 4 1 1 ( s 2 ) s 1 ( s 1 )( s 2 ) M (s) 5s 15s 3 1 (s 1) (s 2) (s 1)(s 2) M (s)
3
(s 1)
61
6s 2 26s 8
EJERCICIO 2.8.
Calcular la función de transferencia del siguiente flujograma:
R(s) 1
G1
G2
H2 G3
H3 H4
G5
G4 1 C(s) G8
G6 G7
17
(s 2)
(s 1)(s 2) 15s
5s 15s 3 (s 1) (s 2) (s 1)(s 2)
1
36s 2 135s 40
H1
5s
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Trayectos Directos: P1 G1G 2G 3G 4 P2 G 5G 6G 7 G 8 Lazos Independientes: L1 G 2 H1 L 2 G 3H 2 L3 G 6 H 3 L 4 G 7 H 4 Pares de lazos: L1L 4 G 2 H1G 7 H 4 L 2 L 3 G 3H 2G 6 H 3
Determinante:
1 La L b Lc Ld L eL f ...
1 G 2 H1 G 3H 2 G 6 H 3 G 7 H 4 G 2H1G 7 H 4 G 3H 2G 6H3 Cofactores: P1 G1G 2G 3G 4
1 1 G 6 H 3 G 7 H 4 P2 G 5G 6G 7 G 8
2 1 G 2 H1 G 3H 2 Entonces: 1 M (s )
Pk k
M (s )
k
( G G G G )(1 (G H G H )) (G G G G )(1 (G H G H )) 1 2 3 4 6 3 7 4 5 6 7 8 2 1 3 2 1 ( G H G H G H G H ) (G H G H G H G H ) 2 1 3 2 6 3 7 4 2 1 7 4 3 2 6 3
EJERCICIO 2.9.
Calcular las funciones de transferencia indicadas para el siguiente flujograma:
18
Problemas de Ingeniería Ingeniería de Sistemas: Sistemas Sistemas Continuos. Conceptos básicos. básicos.
-4 R1(s) 1 R2(s) 1
1 C1(s)
1 s
s s+2 10
1 C2(s) 1 s+3
T11
T21
C 1 ( s) R 1 (s) C 1 (s ) R 2 (s)
T21
C 2 (s )
T22
C 2 (s )
R 1 (s)
R 2 (s)
1- T11 C1 (s) R 1 (s)
-4 R1(s) 1
1 C1(s)
1 s
s s+2 10 1 s+3
10 s 1 1 s 2 s ( s 3 ) T11 (s) 4s 40 1 s 2 s ( s 3 ) T11 (s)
s 3 3s 2 10s 20 5s 3 17s 2 46s 80
2- T21 C2 (s) R 1 (s)
-4 R1(s) 1 1 s
s s+2 10 1 C2(s) 1 s+3
1 1 s(s 3) T21 (s) 1 40 s4s2 s(s 3)
19
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
T21 (s)
s2 5s 3 17s 2 46s 80
3- T21 C1 (s) R 2 (s)
-4 1 C1(s) s s+2 10
1 s R2(s) 1
1 s+3 10 1 ( s 3 )
T12 (s)
4s 40 s 2 s(s 3)
1
10s 2 2s
T12 (s)
3
5s
2
17s
46s
80
4- T22 C 2 (s) R 2 (s)
-4 1 s
R2(s) 1
s s+2 10 1 C2(s) 1 s+3
1 40 1 ( s 3 ) s ( s 3 ) T22 (s) 1 4s 40 s 2 s(s 3) T22 (s)
5s 2 2s 5s 3 17s 2 46s 80
EJERCICIO 2.10.
Calcular las funciones de transferencia del siguiente flujograma:
20
Problemas de Ingeniería Ingeniería de Sistemas: Sistemas Sistemas Continuos. Conceptos básicos. básicos.
R2(s)
R3(s)
1 1 s 6 -2
R1(s) 1 1
1 1 1 Y1(s) s -3
-4
Y2(s) T11
T13
T22
Y1 (s)
T12
R 1 (s) Y1 (s) R 3 (s) Y2 (s) R 2 (s)
Y1 (s) R 2 (s)
T21
Y2 (s)
T23
Y2 (s)
R 1 (s)
R 3 (s)
1- T11 Y1 (s) R 1 (s)
1
R1(s) 1
1
s -2
T11 (s)
6
1 Y1(s)
s -3
-4
6 2 1 s 2
1
s
T11 (s)
3 s
24 s
6 s2
6 s 2 29s 6
2- T12 Y1 (s) R 2 (s)
R2(s) 1 1 s 6 -2
T11 (s)
1 s -3
-4
1 Y1(s)
6 1 s 1
2 s
3 s
24 s
6s T11 (s)
s 2 29s 6
21
6 s2
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
3- T13 Y1 (s) R 3 (s)
R3(s) 1 s -2
6
1 1 1 Y1(s) s -3
-4
2 1 1 T13 (s)
2
1
s
T13 (s)
3 s
s 24 s
6 s2
s(s 2) s 2 29s 6
4- T21 Y2 (s) R 1 (s)
1 s -2
R1(s) 1 1
1 s -3
6 -4
Y2(s) 3 24 1 1 T21 (s)
2
1
s
s
s
3 s
24 s
6 s2
s(s 27)
T21 (s)
2
s
29s
6
5- T22 Y2 (s) R 2 (s)
R2(s)
1
1 1 s 6 -2
-4
1 s -3
Y2(s) 3 2 1 T22 (s)
2
3
s 24 6
1 s s s 2 s
22
Problemas de Ingeniería Ingeniería de Sistemas: Sistemas Sistemas Continuos. Conceptos básicos. básicos.
T22 (s)
s( 2s 6) s 2 29s 6
6- T23 Y2 (s) R 3 (s)
R3(s) 1 s -2
1
6
s1 1 -3
-4
Y2(s) T23 (s)
81 2
1
s
T23 (s)
3 s
24 s
6 s2
8s 2 s 2 29s 6
EJERCICIO 2.11.
La función de transferencia G(s) viene definida por el siguiente diagrama de flujo:
Donde:
G1 = 1
G2 = 1/s
G3 = 1/s
G4 = 1/s
G5 = 4
G6 = 1
G7 = -1
G8 = -2
G9 = -3
G10 = 1
G11 = 2.
Calcular, mediante Mason, la función de transferencia de G(s).
G (s)
1
TK K K
Trayectoss directos: Trayecto 4 1 1 1 T1 G1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 1 4 1 3 s s s s 1 1 T2 G1 G 2 G10 G 6 1 1 1
s
s
23
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
1 1 2 T3 G1 G 2 G 3 G11 G 6 1 2 1 2 s s s
Determinante del sistema:
1 L a L b Lc ... 1
2
3
1 G 2 G 7 G 2 G 3 G 8 G 2 G 3 G 4 G 9 1 s s 2 s3 Cofactores:
1 1
2 1
3 1
Función de transferencia: 4
1
4 2s s 2
2
3 s s2 s3 G (s) s 3 2 1 2 3 s s 2s 3 1 2 3 s s s s3
s 2 2s 4
G (s)
3
2
s s 2s 3
EJERCICIO 2.12.
Calcular la función de trasferencia del sistema de la figura mediante la aplicación de la regla de Mason: Y(s) R(s)
+
-
G3(s)
+
G1(s)
G2(s)
G4(s)
G5(s)
+
G6(s)
+
G7(s)
G8(s)
G1 (s )
G 5 (s )
1 s2 1
s
G 2 (s ) (s 1)
G 3 (s ) 5
G 6 (s ) 1
G 7 (s)
Tn n
T ( s) Trayectos:
T1 G 3G8G5G 2G1
24
1 s 1
G 4 (s ) s
G8 (s ) s
Problemas de Ingeniería Ingeniería de Sistemas: Sistemas Sistemas Continuos. Conceptos básicos. básicos.
Lazos: L1 G 3G8G 5G 2G1 L 2 G8G 5G 2G 4G 6 L3 G8G 7G 6
1 (G 3G8G 5G 2G1 G 8G 5G 2 G 4 G 6 G 8 G 7 G 6 ) T (s )
G 3G 8 G 5G 2 G 1 1 ( G 3 G 8 G 5 G 2 G 1 G 8 G 5 G 2 G 4 G 6 G 8 G 7 G 6 )
1 1 5 s (s 1) 2 s s T (s ) 1 1 1 1 1 5 s (s 1) 2 s (s 1) s 1 s 1 s 1 s s s 5(s 1) 2
T (s)
s 5 2s 4 3s 3 6s 2 10s 5
EJERCICIO 2.13.
G(s) está definida por el diagrama de flujo: 3
U(s)
2
1/s
1
1/s
-4 -5
Obtener la función de transferencia.
Aplicando la regla de Mason:
Tn n
T
Trayectos directos: T1
T2
3 s
1 1
2
2 1
s2
Lazos independientes: L1
25
4 s
Y(s)
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
L2
1
4 s
5 s2
5 s2
3s 2 3 2 2 2 3s 2 s s s G ( s) 2 2 4 5 s 4s 5 s 4s 5 1 2 s s s2 G (s )
3(s 0.66) s 2 4s 5
EJERCICIO 2.14.
Obtener la función de transferencia de una planta que viene definida por el siguiente flujograma: 1 R'(s) 4 31 1 2 /(s+1) /(s+1) 7
6
1
5
C'(s)
La relación entre la salida C'(s) y la entrada R'(s), viene dada por: C' (s) R ' (s)
M ' (s)
k Tk k
T1 2 5 10
1 1
T2 3 6 18
2 1
T3 4 7 28
3 1
26
26
Problemas de Ingeniería Ingeniería de Sistemas: Sistemas Sistemas Continuos. Conceptos básicos. básicos.
T4 2
T5 2
1 s 1 1
6
12
4 1
s 1
1
7
s 1 s 1
14
5 1
(s 1) 2
21
1 6
6
T 3 s 1 7 s 1 Bucles:
1
No hay
Bucles disjuntos: No hay. Luego, sustituyendo:
. = 1-i+ij-ijk +… +… = 1 - 0= 1 Se tiene entonces:
k Tk k T11 T22 ... T66
M ' (s)
M' (s) 10 18 28
M ' (s )
1
12 s 1
14 (s 1)2
21 s 1
56
33 s 1
14 (s 1) 2
56 s 2 112 s 56 33 s 33 14 (s 1) 2
M ' (s)
56 s 2 145 s 103 (s 1) 2
EJERCICIO 2.15.
Para el sistema del ejercicio 1.14. hallar la función de transferencia que relaciona la altura del líquido en el depósito h(t) y la tensión de referencia u(t), mediante la técnica de flujogramas. En el ejercicio 1.14. el sistema quedó definido por el siguiente diagrama de bloques: F(s) U(s) + _
E(s)
101
0.2
s
V(s)
10
Qe(s)
1 s
+ _ Qs(s) 0.009
H(s)
27
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Obtener en primer lugar el flujograma correspondiente al diagrama de bloques mostrado en la figura. U
1
E
10 1
0.2
1
s V
Qe
10
H
s -0.009
-1
Aplicando la Regla de Mason se obtendrá la función de transferencia:
Tn n
T
1 L1 L 2 1 0.2 T1 10 1 s 10 s
1 1 1 0.2 L1 101 10 ( 1) s s 1 L 2 (0.009) s
0.2 1 1 1 101 10 (1) (0.009) T
T
H(s) U (s)
H (s) U(s)
T
s
s
s
100
1 100
H(s) U (s)
s 0.2
s2 s 0.2 s2
0.009 s
100(s 0.2) s 2 100s 20 0.009s
100(s 0.2) s 2 100.009s 20
1
H
28
Problemas de Ingeniería Ingeniería de Sistemas: Sistemas Sistemas Continuos. Conceptos básicos. básicos.
EJERCICIO 2.16.
Dado un sistema de control representado por el siguiente diagrama de bloques: R 2(s)
Y(s)
R 1(s)
G2(s)
G1(s) + -
H1(s)
H2(s)
+ + H3(s)
1.- Dibujar el flujograma correspondiente. 2.- Si se hace R 2(s) = 0, hallar mediante la regla de Mason, 3.- Si en M(s), hacemos H 2(s) = H3(s) = 1; H1(s) =
1
Y(s ) R 1 (s)
M (s) 1
. s ( s 4)( s 6) Obtener la función de transferencia G 3(s) para que M(s) sea equivalente al sistema de la figura: ; G1(s) = K y G2(s) =
C(s)
R(s) G3(s)
+ -
1 s
1. Flujograma: Flujograma: Sustituyendo Sustituyendo el diagrama diagrama de bloques bloques:: R 2(s) 1 0
1
1
2
G1(s)
R 1(s)
3
-1 -1
G2(s)
5
H2(s)
-H1(s) 4 -H3(s)
2- Ahora R 2(s) = 0. La función de transferencia global del sistema será: M(s)
Y(s) R 1 (s)
T
K
K
1
6 Y(s)
29
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Trayectos directos: 0 – 1 – 2 – 3 – 5 – 6 : G1(s)G2(s) Bucles:
B1:
1 – 2 – 3 – 5 – 1 : G1(s)G2(s)[-H3(s)]
B2:
1 – 2 – 3 – 5 – 4 – 1: G1(s)G2(s)[-H1(s)]H2(s)
B3:
2 - 3 – 5 – 4 –2 : G2(s)[-H2(s)]
Bucles disjuntos: No hay. Luego, sustituyendo:
. = 1 – [G1(s)G2(s)[-H3(s)] + G1(s)G2(s)[-H1(s)]H2(s) + G2(s)[-H2(s)]] + 0 = = 1 + G2(s)[G1(s)[-H3(s)] + G1(s)[-H1(s)]H2(s) + H2(s)]
K = 1 = 1 – 0 = 1 T1 = G1(s)G2(s) Se tiene entonces: M (s)
Y(s) R 1 (s)
TK K
3. Ahora, H 2 (s ) H 3 (s) 1;
G1 (s) G 2 (s) 1 G 2 (s) G1 (s ) H 3 (s ) G1 (s) H1 (s) H 2 (s) H 2 (s)
1 1 H1 (s) ; G1 (s) K ; G 2 (s) (s 4)(s 6) s
sustituyendo en la ecuación anterior de M(s), se tiene: K M (s)
(s 4)(s 6) Ks s(s 4)(s 6Ks 1 K ) s( K 1) K s 3 10s 2 ( 25 K )s K (K 1) 1 (s 4)(s 6) s
R 1(s)
Ks s 3 10 s 2 ( 25 K ) s K
Y(s)
R(s)
C(s) G3(s)
1 M(s)
s
30
Problemas de Ingeniería Ingeniería de Sistemas: Sistemas Sistemas Continuos. Conceptos básicos. básicos.
G 3 (s)
M (s)
1 G 3 (s)
1
s G 3 (s) s G 3 (s)
G 3 (s)
s M (s) s M (s)
K s 2 10s (25 K )
s
Luego la función de transferencia en lazo abierto del del nuevo sistema, teniendo en cuenta que K = 1000, 1000, será: 1 F.T.L.A.' K G (s) 3 s F.T.L.A.'
1000 s(s 2 10s 1025)
EJERCICIO 2.17.
G(s) es la función de transferencia de una planta, de la que se conoce su flujograma, que es el siguiente: -4
-s
4
3
1
+1
1
1
2
s 1
s2 s
s2
2
3
5
s3 +1
+10 6
1
8
s2 4
s8
1
1 9
s
s 10
8
-7
-6
Calcular la función de transferencia de la planta, aplicando la regla de Mason.
Trayectos directos:
7
31
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
1 2 3 4 9 10 6 7 P1
1 2 8 9 10 6 7 P2
1
1
s 1 s2 s 1
8
1 1
10
s s
s 2 (s 2 s)(s 1)
10 1 1
s2 4 s 8 s s
8 s 2 (s 2 4)(s 8)
Lazos disjuntos: L1
1 6 8 56 4 ; ; L 6 ; L s ; L 7 2 3 4 s s s8 s8 s2 s 1 1 3 s 30 L5 10 s s s 3 s 2 s(s 2)(s 3)
Determinante del flujograma:
1 L1 L 2 L 3 L 4 L1 L 2 L1 L 3 L1 L 4 L 2 L 3 L 2 L 4 L1 L 2 L 3 L1 L 2 L 4 56 6 4( s) 4( 56) 4( 6) 4 2 s 2 1 2 2 s 8 s s s (s s)(s 8) s(s s) s s
2 4 ( s) 6 s( 56) s( 6) 2 4 ( s) 56 s8 s s s s 8 s s s
s 5 72s 4 193s 3 450s 2 520s 192 s 2 (s 1)(s 8)
Cofactores:
1 1 L 2 1 (s) 1 s 4s s3 2s 2 5s 4 4 (s) 2 2 1 (L1 L 2 ) L1 L 2 1 2 s(s 1) s s s s Luego, G (s )
P1 1 P2 2
Y sustituyendo los valores queda: G (s )
18s 3 96s 2 80s 352 s(s 2 4)(s 5 72s 4 193s 3 450s 2 520s 192)
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