Ejercicios 2. Linealización Por Taylor

Ejercicios 2. Linealización por Taylor

Dada la relación entrada (x) salida (y) como función (f) no lineal: 𝑦 = 𝑓(𝑥) El valor de la salida respecto a un punto conocido (punto de operación), será (desarrollando en serie de Taylor): 𝑦(𝑥) = 𝑦(𝑥𝑜 ) +

𝑑𝑦 (𝑥 − 𝑥𝑜 ) 𝑑2 𝑦 (𝑥 − 𝑥𝑜 )2 + 2| +⋯ | 𝑑𝑥 𝑥𝑜 1! 𝑑𝑥 𝑥 2! 𝑜

Para pequeñas variaciones alrededor del punto de operación, los términos de orden superior se pueden despreciar y queda: 𝑦(𝑥) = 𝑦(𝑥𝑜 ) +

𝑑𝑦 | ∆𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑜

Por ejemplo, la relación entre flujo y nivel en un tanque, puede ser: 𝐹 = 𝑘√ℎ Conociendo el punto de operación (Fo y ho), aplicando Taylor se llega a: 𝐹 = 𝐹(ℎ𝑜 ) +

𝑑𝐹 | (ℎ − ℎ𝑜 ) 𝑑ℎ ℎ𝑜

Donde: 𝑑𝐹 𝑑(𝑘√ℎ) 1 1 𝑘 √ℎ 𝑘√ℎ = = 𝑘 ℎ−2 = = 𝑑ℎ 𝑑ℎ 2 2ℎ 2√ℎ √ℎ 𝑑𝐹 𝑘√ℎ𝑜 𝐹𝑜 = | = 𝑑ℎ ℎ𝑜 2ℎ𝑜 2ℎ𝑜

𝐹𝑜 = 𝐹(ℎ𝑜 ) = 𝑘√ℎ𝑜

Luego: 𝐹 = 𝐹𝑜 +

𝐹𝑜 (ℎ − ℎ𝑜 ) 2ℎ𝑜

𝐹 − 𝐹𝑜 =

𝐹𝑜 (ℎ − ℎ𝑜 ) 2ℎ𝑜

De donde:

∆𝐹 =

𝐹𝑜 ∆ℎ 2ℎ𝑜

A la ecuación anterior, lineal, pero solo válida para pequeñas variaciones alrededor del punto de operación, se le puede aplicar la transformada de Laplace, quedando: 𝐹(𝑠) = 𝑐𝐻(𝑠)

𝑐=

𝐹𝑜 2ℎ𝑜

Dada la relación entradas (x, y) salida (z) como función (f) no lineal: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) El valor de la salida respecto a un punto conocido (punto de operación), será (desarrollando en serie de Taylor): 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑧(𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 ) + +

𝜕𝑧 (𝑥 − 𝑥𝑜 ) 𝜕𝑧 (𝑦 − 𝑦𝑜 ) + | | 𝜕𝑥 𝑜 1! 𝜕𝑦 𝑜 1!

𝜕 2 𝑧 (𝑥 − 𝑥𝑜 )2 𝜕 2 𝑧 (𝑦 − 𝑦𝑜 )2 | + 2| +⋯ 𝜕𝑥 2 𝑜 2! 𝜕𝑦 𝑜 2!

Para pequeñas variaciones alrededor del punto de operación, los términos de orden superior se pueden despreciar y queda: ∆𝑧 =

𝜕𝑧 𝜕𝑧 | ∆𝑥 + | ∆𝑦 𝜕𝑥 𝑜 𝜕𝑦 𝑜

Por ejemplo, de los balances de energía se llega a ecuaciones con términos de la forma: 𝑓(𝐹, 𝑇) = 𝐹𝑇 Conociendo el punto de operación (Fo y To), aplicando Taylor se llega a: 𝑓(𝐹, 𝑇) = 𝑓(𝐹𝑜 , 𝑇𝑜 ) +

𝜕𝑓 𝜕𝑓 | (𝐹 − 𝐹𝑜 ) + | (𝑇 − 𝑇𝑜 ) 𝜕𝐹 𝑜 𝜕𝑇 𝑜

𝜕𝑓 =𝑇 𝜕𝐹

𝜕𝑓 =𝐹 𝜕𝑇

𝑓(𝐹, 𝑇) = 𝑓(𝐹𝑜 , 𝑇𝑜 ) + 𝑇𝑜 ∆𝐹 + 𝐹𝑜 ∆𝑇 De donde: ∆𝑓 = 𝑇𝑜 ∆𝐹 + 𝐹𝑜 ∆𝑇 A la ecuación anterior, lineal, pero solo válida para pequeñas variaciones alrededor del punto de operación, se le puede aplicar la transformada de Laplace, quedando: 𝑓(𝑠) = 𝑇𝑜 𝐹(𝑠) + 𝐹𝑜 𝑇(𝑠)

Ejercicios: Linealizar las siguientes funciones: a) Linealizar: 𝑓(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝜃 + 𝜑)

donde 𝜔 y 𝜑 son constantes conocidas

hasta llegar a ∆𝑓 = 𝑐𝑡𝑒 ∆𝜃, conociendo el punto de operación: 𝑓𝑜 𝜃𝑜

1

b) Linealizar: 𝑓(𝑥) = 𝑥

hasta llegar a ∆𝑓 = 𝑐𝑡𝑒 ∆𝑥, conociendo el punto de operación: 𝑓𝑜 𝑥𝑜

c) Linealizar: 𝑓(𝑣) =

𝑚𝑣 2 2

donde 𝑚 es una constante conocida

hasta llegar a ∆𝑓 = 𝑐𝑡𝑒 ∆𝑣, conociendo el punto de operación: 𝑓𝑜 y 𝑣𝑜

d) Linealizar: 𝑓(𝐹, 𝜃) = 𝐹𝑠𝑒𝑛(𝜃) hasta llegar a ∆𝑓 = 𝑐𝑡𝑒1 ∆𝐹 + 𝑐𝑡𝑒2 ∆𝜃, conociendo el punto de operación: 𝑓𝑜 𝐹𝑜 𝜃𝑜

Recordar que: 𝑑𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑑𝑓(𝑔) 𝑑𝑔(𝑥) = 𝑑𝑥 𝑑𝑔 𝑑𝑥 𝑑 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = cos(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑 (𝑚𝑥 + 𝑛) =𝑚 𝑑𝑥 𝑑 𝑘𝑓(𝑥) 𝑑 𝑓(𝑥) =𝑘 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑥𝑘 = 𝑘 𝑥 (𝑘−1) 𝑑𝑥 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑 𝑓(𝑥, 𝑦𝑜 ) = 𝜕𝑥 𝑑𝑥

Ejemplo de la primera: 𝑑 𝑠𝑒𝑛(𝑥 2 ) = cos(𝑥 2 ) 2𝑥 𝑑𝑥