EJERCICIO2 motaña rusa

PROYECTO DE CALCULO NOMBRES 19 de abril de 2016

II PARTE

CONSTRUCCIÓN DE UNA MONTAÑA RUSA

Suponga que se le solicita que diseñe el primer ascenso y descenso de una montaña rusa nueva. Después de estudiar fotografías de sus montañas rusas predilectas, decide hacer la pendiente del ascenso 0.8 y la del descenso -1.6. Opta por conectar estos dos tramos rectos y = L1 (x) y y = L2 (x) mediante parte de una parábola y = f (x) = ax2 + bx + c, donde x y f (x) se miden en pies. Para que el trayecto sea uniforme no pueden existir cambios abruptos de dirección, por lo tanto desea que los segmentos lineales L1 y L2 sean tangentes a la parábola en los puntos de transición P y Q. Para simplicar las ecuaciones decide situar el origen P. Ver la siguiente gura.

1. Resuelva los siguiente items. a ) Suponga que la distancia horizontal entre P y Q es 100 pies. Escriba ecuaciones en a, b

y c que aseguren que el trayecto es suave en los puntos de transición. b ) Resuelva la ecuación del inciso (a) para a, b y c para hallar una fórmula para f (x). c ) Dibuje L1 , f y L2 para vericar que las transiciones son uniformes. d ) Encuentre la diferencia en elevación entre P y Q.

2. La solución del problema 1 quizá parezca suave, pero es posible que no se sienta suave debido a que la pieza denida como función [consistente en L1 (x) para x < 0, f (x) para 0 ≤ x ≤ 100 y L2 (x) para x > 100] no tiene una segunda derivada continua. Por consiguiente decide mejorar el diseño aplicando una función cuadrática q(x) = ax2 + bx + c unicamente en el intervalo 10 ≤ x ≤ 90 y conectándolo con las funciones lineales por medio de dos funciones cúbicas: a ) Escriba un sistema de ecuaciones con 11 incognitas que aseguren que las funciones y sus

dos primeras derivadas coincidan en los puntos de transición.

g(x) = kx3 + lx2 + mx + n, 0 ≤ x ≤ 10 h(x) = px3 + qx2 + rx + s, 90 ≤ x ≤ 100

1

b ) Resuelva las ecuaciones del inciso (a) con un sistema de cómputo algebráico para en-

contrar las fórumlas para q(x), g(x) y h(x). c ) Dibuje L1 , g, q, h y L2 y compárelos con las grácas del problema 1 inciso (c).

DESARROLLO. 1. Resuelva los siguiente items. a ) Suponga que la distancia horizontal entre P y Q es 100 pies. Escriba ecuaciones en a, b

y c que aseguren que el trayecto es suave en los puntos de transición. Sabiendo: P(0,0) y Q(100,y2 ). L1 ⇒ m = 0,8 L2 ⇒ m = −1,6

Se puede escribir las siguientes ecuaciones: f (x) = ax2 + bx + c f (x)0 = 2ax + b

Reemplazando los puntos y pendientes anteriores obtenemos el siguiente sistema lineal     

a(0)2 + b(0) + c = 0 2a(0) + b = 0,8 2  a(100) + b(100) + c − y2 = 0    2a(100) + b = −1,6

b ) Resuelva la ecuación del inciso (a) para a, b y c para hallar una fórmula para f (x).

Resolviendo el sistema lineal obtenemos del inciso (a) obtenemos: a = −0,012 b = 0,8 c=0 y2 = −40

c ) Dibuje L1 , f y L2 para vericar que las transiciones son uniformes.

Sabiendo las siguientes ecuaciones:

y = 0,8x y = −0,012x2 + 0,8x y = −1,6 + 120

El gráco es el siguiente:

2

x 100

d ) Encuentre la diferencia en elevación entre P y Q. Sabiendo que los puntos P (0, 0) y Q(100, −40), podemos determinar. y2 − y1 ⇒ −40 − 0 = −40

Podemos determinar que la diferencia de elevación es de -40. 2. La solución del problema 1 quizá parezca suave, pero es posible que no se sienta suave debido a que la pieza denida como función [consistente en L1 (x) para x < 0, f (x) para 0 ≤ x ≤ 100 y L2 (x) para x > 100] no tiene una segunda derivada continua. Por consiguiente decide mejorar el diseño aplicando una función cuadrática q(x) = ax2 + bx + c unicamente en el intervalo 10 ≤ x ≤ 90 y conectándolo con las funciones lineales por medio de dos funciones cúbicas: a ) Escriba un sistema de ecuaciones con 11 incognitas que aseguren que las funciones y sus

dos primeras derivadas coincidan en los puntos de transición.

BIBLIOGRAFÍA.

*Li

3