Ejercicio resuerlto de ecuaciones diferenciales de segundo grado

Problema 33: Un circuito RL con una resistencia de 5 ohm y un inductor de 0.05 H tiene una corriente de 1 A en t = 0, cuando se aplica una fuente de voltaje ( ) = 5cos120t V. Determine la corriente y el voltaje subsecuentes en el inductor. Solución: Datos:      

R = 5 ohm L = 0.05 H =1A ( ) = 5cos120t V ( ) = ¿? = ¿?

Según la ley de voltajes de Kirchhoff tenemos:

dI  RI  E dt dI RI  L  V dt dI RI V   dt L L L

Según los datos:

dI 5I 5cos120t   dt 0.05 0.05 dI  100 I  100cos120t dt Aplicando la solución general de una ecuación diferencial lineal de primer orden:  100 dt 100 dt I  e  .   e .100cos120tdt  C   

I  e100t .

 e

100t

.100cos120tdt  C



Según la propiedad de las integrales notables:

e

au

 a .cos(bu)  b.sen(bu)  .cos(bu)du  eau .  C a 2  b2  

Nos resulta:

100.cos(120 t)  120.sen(120t )   I  100e100t . e100t  C 2 2 100  120   cos(120 t)  1, 2.sen(120t )   I  100e100t . e100t  C 244   Reemplazamos en ( ), I=1 cuando t es 0 para así poder hallar la constante:

 cos(0)  1, 2.sen(0)  It 0  1  100e0 . e0  C 244    1  It 0  1  100.   C  244  1 1  C 100 244 1, 44 C 244 Por lo tanto ( ) nos resulta:

cos(120 t)  1, 2.sen(120t ) 1, 44   I  100e100t . e100t  244 244    e100t cos(120 t)  e100t 1, 2.sen(120t )  1, 44  I  100e100t .   244   100 I . cos(120 t)  1, 2.sen(120t )  1, 44e100t  244  cos(120 t)  1, 2.sen(120t )  1, 44e100t  I 2, 44 Finalmente para

reemplazando nos resulta:

dI  E (t)  RI dt  cos(120 t)  1, 2.sen(120t )  1, 44e100t  EL  5cos120t  5   2, 44   EL  L

 1, 44cos120t  1, 2sen120t  1, 44e100t  EL  5   2, 44   100t 7, 2cos120t  6sen120t  7, 2e EL  2, 44