Ejercicio Resueltos de Convolucion

ENC 210

Ing Vilardell

EJERCICIOS RESUELTOS DE CONVOLUCIÓN

Ejercicio 1 Hallar la respuesta y(t) a la entrada x(t) del sistema lineal invariante en el tiempo cuya respuesta al impulso es h(t). x(t) = u(t) - 2u(t - 2) + u(t - 5) h(t) = e2tu(1 - t) SOLUCIÓN Debemos hacer la convolución entre h y x. Para eso, primero tengamos una idea de las gráficas de ambas funciones: x() 1

h() 2

5



1

-1



1 Da lo mismo hacer h*x o x*h, dado que la convolución es conmutativa. Haremos la primera, por resultar más sencilla. Para ello debemos esquematizar x(t - ): x(t-) 1 t-5

t-2

t



-1 

De esa forma, y para hacer la integral de convolución, h  x   h( ) x (t   ) , deberemos multiplicar las leyes de ambas funciones e integrarlas entre los valores de tau para los cuales el producto sea no nulo, lo cual variará de acuerdo al valor de t. Tenemos así los siguientes casos: 1) t < 1 h() , x(t - ) 2) 1  t < 3

1 t-5

t-2

t

-1

1



h() , x(t - ) 3) 3  t < 6 1 h() , x(t - ) t-2 t-5 1 t -1 1 1 t-2

t-5 -1

t

 

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4) t  6 h() , x(t - )

Aquí el producto de ambas funciones será nulo, y por lo tanto también lo será su integral de convolución.

1 t-5 -1

De esa manera tenemos que nuestra función resultará:

1

t-2

 12 e 2t (e 10  2e 4  1) , t  1 

2t 10 4 2  12 e (e  2e )  12 e , 1  t  3 y (t )   1 2( t 5) 1 2  2e , 3 t 8  2e  0, t  8

Ejercicio 2 Encontrar la respuesta y(t) a la entrada h(t) del sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t).  1  2

x (t )   (t )  2 (t  1)   (t  2) ; h(t )  

SOLUCIÓN Representemos gráficamente x() y h(t - ):

, ,

0  t 1 1 t  2

t



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x()

h(t -) 2 1

1



2



t-2 t-1 t

Para hacer la convolución utilizaremos la propiedad que expresa: 

x ( ) (  a )  x ( a ) (  a ) 

 x( ) (

 a )d 





 x( a ) (

 t )d  x ( a )



1) Si t < 0 es y(t) = 0. 2) Si 0  t < 1 es

y (t ) 

3) Si 1  t < 2 es

y (t ) 

4) Si 2  t < 3 es

y (t ) 

5) Si 3  t < 4 es

y (t ) 

6) Si t  4 es y(t) = 0.



 x( )h(t   )d

 





  ( )  1d

1



   2 (

 1)  1   ( )  2 d  2  2  0

   2 (

 1)  2   (  2)  1 d  4  1  3

 

 

  (



 2)  2 d  2