Ejercicio Resuelto Dinamica Estructural Respuesta en Sentido X
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Descripción: Respuesta dinámica en la dirección X a un sistema aporticado de 2 pisos...
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DINAMICA ESTRUCTURAL
1
Tabla de Contenido 1. INTRODUCCION INTRODU CCION ................................... .................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... .................. 3
1.1 Análisis Sísmico ................................... .................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... .................. 3 1.2 Peso De La Edificación Edificac ión ................................. ................ ................................... ................................... ................................... ................................... ........................... .......... 3 1.3 Cortante Cort ante Basal .................................. ................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ..................... ... 4 2.
OBJETIVOS OBJETIV OS .................................. ................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ........................... ......... 5
3.
EJERCICIO............. EJERCI CIO............................... ................................... .................................. ................................... ................................... ................................... ................................. ............... 6
3.1 Idealización Idealiz ación Estructural Estruct ural .................................. ................. ................................... ................................... ................................... ................................... ........................ ....... 7 3.2 Determinació Dete rminación n de las masas ................................... .................. ................................... ................................... ................................... ................................. ............... 9 3.3 Determinación de la matriz de Rigidez ..................... .............................. ................... ................... .................. .................. .................. .................. ......... 10 3.3.1
Numeración de nodos y elementos .................. ........................... ................... ................... .................. .................. .................. .................. ......... 10
3.3.2
Condensación de la Matriz para Un Pórtico.................. ............................ ................... .................. .................. .................. ............... ...... 10
3.4 Determinación de las ecuaciones de Movimiento .................. ........................... .................. .................. .................. .................. .............. ..... 12 3.5 Determinación de los Modos y las Frecuencias ................ ......................... .................. .................. .................. .................. ................... ............ 12 3.6 Normalización Normal ización de modos ................................... .................. ................................... ................................... ................................... ................................... ................... .. 14 3.7 Determinación de las ecuaciones desacopladas .................. ........................... .................. .................. .................. .................. ................. ........ 14 3.8 Determinacion de de los maximos valores de de Zi ............................................................................ 16 3.8.1
Periodos Period os Cortos y Largos ................................. ................ ................................... ................................... ................................... ............................... ............. 17
3.8.2
Valores Maximos de Zi ....................................................................................................... 18
3.9 Determinacion De Los Desplazamientos Maximos De Las Estructuras Para Cada Modo Modo ........ 18 3.9.1
Desplazamientos traslacionales: ................... ............................ .................. .................. .................. ................... ................... .................. ............. .... 18
3.9.2
Desplazamientos rotacionales o giros (Desplazamientos condensados).................. .......................... ........ 18
3.9.3
Desplazamiento Despla zamientoss Totales................ Totale s................................. ................................... ................................... ................................... ............................... ............. 19
3.10 Determinación de la Fuerzas Internas Por Elemento................................................................ Elemento................................................................ 19 4.
CONCLUSIONES CONCL USIONES ................................... .................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................. ................ 23
5.
BIBLIOGRAFIA BIBLIO GRAFIA ................................... .................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... .................... 23
2
1. INTRODUCCION 1.1
Análisis Sísmico
El análisis sísmico de la edificación tiene como objetivo encontrar las fuerzas y momentos internos debidos a la carga sísmica, en cada uno de los elementos del sistema estructural para luego proceder al diseño. 1.2
Peso De La Edificación
Las fuerzas inducidas por movimientos sísmicos en una edificación son inerciales, es decir, dependen de la aceleración inducida por el sismo y de la masa a mover, en este caso, la masa de la edificación. Como primer paso para hallar las fuerzas sísmicas necesitamos conocer la masa y donde se ubica. Consideraremos que la masa se concentra en cada piso (lo cual es cierto para un edificio de pórticos) y por lo tanto determinaremos la masa por piso y el centro de masa de cada uno de estos. Peso de cada piso: Peso de la losa por unidad de área= peso propio + peso acabados + peso divisiones. Wtotal losa = Wlosa * Área de piso Aquí se podría descontar el área de las vigas y después se determina el peso total de vigas. Esto conlleva a que la carga muerta por acabados y particiones habría que sumarla en el área ocupada por las vigas. Otra forma de calcular el peso de las vigas sería calcular el peso total de losa con el área total de piso incluyendo el área que ocupan las vigas y después el volumen de concreto en vigas se corrige pues ya en este dato se tuvo en cuenta algo de su espesor: W vigas = Volumen de concreto en vigas* g concreto= longitud*ancho*espesor*g concreto W vigas corregido =long * b * (h losa – h equivalente) * g concreto Donde h losa es el espesor real de la viga (en el caso de losas planas es el espesor de la losa)y h equivalente corresponde al espesor equivalente de losa maciza que pesa lo mismo que la losa aligerada utilizada. El espesor equivalente se halla así: W propio losa aligerada: · W loseta · W nervios · W torta 3
· W casetón · W cielo falso Luego:
Una vez determinado el espesor equivalente se puede encontrar el peso total de vigas por piso. Peso de columnas por piso:
de todas las columnas en un piso El peso total de piso es la suma de todos estos pesos mas cualquier peso adicional no corriente que se encuentre en el piso considerado como el peso de equipos permanentes, tanques y sus contenidos. En depósitos o bodegas debe incluirse además un 25% del peso debido a carga viva. 1.3
Cortante Basal
La fuerza sísmica total en la base del edificio, cortante basal, se encuentra por medio del espectro de diseño (aceleración de respuesta de la edificación según su periodo de vibración) y el peso total de la edificación. (F=m*a, segunda Ley de Newton). La forma como responde el edificio a la aceleración inducida por el sismo determina la repartición de las fuerzas sísmicas tanto en la altura como en cada uno de los elementos estructurales que la conforman. Existen varios métodos para determinar esta repartición de fuerzas e n altura, estos pueden ser simplificados, métodos estáticos equivalentes (fuerza horizontal equivalente, FHE) o mas completos como los métodos de análisis modal espectral. Independiente del método a usar se tienen también diferentes formas de considerar el modelo de la edificación.
4
2. OBJETIVOS
Realizar el ejercicio propuesto paso a paso en Excel y MatchCAD Analizar las gráficas del comportamiento de la estructura a partir de los datos obtenidos. Determinar la Rigidez del sistema. Hallar frecuencias y modos de vibración. Determinar Fuerzas para la estructura y para cada elemento
5
3. EJERCICIO
Encontrar la respuesta dinámica en la dirección X al sistema aporticado ilustrado en la figura, si se supone como acción sísmica el espectro de respuesta propuesta para el territorio colombiano (NSR -98). La edificación se encuentra en la ciudad de Bucaramanga (zona se riesgo sísmico alto). Es una edificación normal, con un coeficiente de amortiguamiento con respecto al crítico igual a 5%.
La estructura cuenta con una masa de:
Cubierta = 550 Kg/m2 Piso intermedio = 550 Kg/m 2
6
3.1 Idealización Estructural
Teniendo en cuenta la uniformidad de las propiedades estructurales lo largo del edificio, y que el mismo pórtico se repite cada 5 metros en la dirección X, con el análisis de un pórtico interior se puede representar la respuesta para todo el edificio.
3.1.1 Características estructurales de los Elementos viga Columna
b (m) 0,25 0,3
h (m) 0,3 0,3
L (m) 4 3
A (m2) 0,075 0,09
E (Kg/cm2) 20000000000 20000000000
I (m4) 0,0005625 0,000675
3.1.1.1 Matriz de Rigidez VIGA 375.000.000,00 0,00 0,00 -375.000.000,00 0,00 0,00
0,00 2.109.375,00 4.218.750,00 0,00 -2.109.375,00 4.218.750,00
0,00 4.218.750,00 11.250.000,00 0,00 -4.218.750,00 5.625.000,00
-375.000.000,00 0,00 0,00 375.000.000,00 0,00 0,00
0,00 -351.562,50 -16.875.000,00 0,00 2.109.375,00 -4.218.750,00
0,00 4.218.750,00 5.625.000,00 0,00 -4.218.750,00 11.250.000,00
7
3.1.1.2 Matriz de Rigidez COLUMNA 6.000.000,00 0,00 -9.000.000,00 -6.000.000,00 0,00 -9.000.000,00
0,00 600.000.000,00 0,00 0,00 -600.000.000,00 0,00
-9.000.000,00 0,00 18.000.000,00 9.000.000,00 0,00 9.000.000,00
-6.000.000,00 0,00 9.000.000,00 6.000.000,00 0,00 9.000.000,00
0,00 -600.000.000,00 0,00 0,00 600.000.000,00 0,00
-9.000.000,00 0,00 9.000.000,00 9.000.000,00 0,00 18.000.000,00
3.1.2 Matriz Consolidada 12 GDL u1 u1 v1 θ1 u2 v2 θ2 u3 v3 θ3 u4 v4 θ4
θ1
v1
381.000.000 0 -9.000.000 -375.000.000 0 0 -6.000.000 0 -9.000.000 0 0 0
0 602.109.375 4.218.750 0 -2.109.375 4.218.750 0 -600.000.000 0 0 0 0
u2 -9.000.000 4.218.750 29.250.000 0 -4.218.750 5.625.000 9.000.000 0 9.000.000 0 0 0
θ2
v2 -375.000.000 0 0 381.000.000 0 - 9.000.000 0 0 0 -6.000.000 0 -9.000.000
0 -351.563 -16.875.000 0 602.109.375 -4.218.750 0 0 0 0 -600.000.000 0
u3 0 4.218.750 5.625.000 -9.000.000 -4.218.750 29.250.000 0 0 0 9.000.000 0 9.000.000
θ3
v3 -6.000.000 0 9.000.000 0 0 0 387.000.000 0 0 -375.000.000 0 0
0 -600.000.000 0 0 0 0 0 1.202.109.375 4.218.750 0 -2.109.375 4.218.750
u4 -9.000.000 0 9.000.000 0 0 0 0 4.218.750 47.250.000 0 -4.218.750 5.625.000
θ4
v4 0 0 0 -6.000.000 0 9.000.000 -375.000.000 0 0 387.000.000 0 0
0 0 0 0 -600.000.000 0 0 -351.563 -16.875.000 0 1.202.109.375 -4.218.750
0 0 0 -9.000.000 0 9.000.000 0 4.218.750 5.625.000 0 -4.218.750 47.250.000
3.1.3 Matriz Consolidada 8 GDL
Se asume la losa infinitamente rígida en su propio plano, esto hace las vigas infinitamente rígidas axialmente entonces se reduce a un modelo de 8 x 8. θ1
u1 u1 θ1 u2 θ2 u3 θ3 u4 θ4
381.000.000 -9.000.000 -375.000.000 0 -6.000.000 -9.000.000 0 0
θ2
u2 -9.000.000 29.250.000 0 5.625.000 9.000.000 9.000.000 0 0
-375.000.000 0 381.000.000 -9.000.000 0 0 -6.000.000 -9.000.000
θ3
u3 0 5.625.000 -9.000.000 29.250.000 0 0 9.000.000 9.000.000
-6.000.000 9.000.000 0 0 387.000.000 0 -375.000.000 0
θ4
u4 -9.000.000 9.000.000 0 0 0 47.250.000 0 5.625.000
0 0 -6.000.000 9.000.000 -375.000.000 0 387.000.000 0
3.1.4 Matriz Consolidada 6 GDL
Al no tener gran altura la edificación con respecto a su ancho, osea, tener poca esbeltez, se pueden despreciar las deformaciones axiales en las columnas, reduciendo al modelo a uno de 6 grados de libertad
8
0 0 -9.000.000 9.000.000 0 5.625.000 0 47.250.000
u3 θ1 θ2 θ3 θ4 12.000.000 -9.000.000 -9.000.000 -12.000.000 -9.000.000 -9.000.000 -9.000.000 29.250.000 5.625.000 9.000.000 9.000.000 0 -9.000.000 5.625.000 29.250.000 9.000.000 0 9.000.000 -12.000.000 9.000.000 9.000.000 24.000.000 0 0 -9.000.000 9.000.000 0 0 47.250.000 5.625.000 -9.000.000 0 9.000.000 0 5.625.000 47.250.000
u1 u1 θ1 θ2 u3 θ3 θ4
3.1.5 Matriz consolidada 6 GDL Organizada
u1 u3 θ1 θ2 θ3 θ4 12.000.000 -12.000.000 -9.000.000 -9.000.000 -9.000.000 -9.000.000 -12.000.000 24.000.000 9.000.000 9.000.000 0 0 -9.000.000 9.000.000 29.250.000 5.625.000 9.000.000 0 -9.000.000 9.000.000 5.625.000 29.250.000 0 9.000.000 -9.000.000 0 9.000.000 0 47.250.000 5.625.000 -9.000.000 0 0 9.000.000 5.625.000 47.250.000
u1 u3 θ1 θ2 θ3 θ4
Al no existir cargas aplicadas en los grados delibertad rotacionales, estos se pueden condensar, siendo asi a matriz de rigidez de la estructurau pasa de 6 x 6 a 2x2
3.2 Determinación de las masas
Cubierta: m = Área x masa = (4) * (10) m 2 * (550) Kg/ m2 = 23000 Kg Entrepiso: m = Área x masa = (4) * (10) m 2 * (750) Kg/ m2 = 30000 Kg
Expresado en forma matricial
9
3.3 Determinación de la matriz de Rigidez 3.3.1 Numeración de nodos y elementos
Dimensiones de las Vigas: 0.25 x 0.30 m Dimensiones de las Columnas: 0.30 x 0.30 m Módulo de Elasticidad del concreto 20000 MPa
3.3.2 Condensación de la Matriz para Un Pórtico
u1
u3
θ1
θ2
θ3
θ4
u1
12.000.000
- 12.000.000
9.000.000
9.000.000
9.000.000
9.000.000
u3
-12.000.000
24.000.000
-9.000.000
-9.000.000
0
0
θ1
9.000.000
-9.000.000
29.250.000
5.625.000
9.000.000
0
θ2
9.000.000
-9.000.000
5.625.000
29.250.000
0
9.000.000
θ3
9.000.000
0
9.000.000
0
47.250.000
5.625.000
θ4
9.000.000
0
0
9.000.000
5.625.000
47.250.000
kpp kps ksp kss
La matriz mostrada se puede formalizar de la siguiente manera
10
Despejando
Concepto de Matriz condensada
Se desarrollan los pasos necesarios para su cálculo
3,80593E-08
-8,06812E-09
-7,5392E-09
2,43431E-09
-8,06812E-09
3,80593E-08
2,43431E-09
-7,5392E-09
-7,5392E-09
2,43431E-09
2,2981E-08
-3,19951E-09
2,43431E-09
-7,5392E-09
-3,19951E-09
2,2981E-08
0,223977028
0,223977028
0,132089017
0,132089017
-0,269921034
-0,269921034
0,045944006
0,045944006
6.409.189
-4.031.587
-4.031.587
4.858.579
5.590.811
-7.968.413
-7.968.413
19.141.421
16.772.434
-23.905.240
-23.905.240
57.424.264
11
3.4 Determinación de las ecuaciones de Movimiento
Siendo la ecuación de movimiento igual a
Mÿ + Kẏ My U ̈ s()
yÿ̈ + 16.772.434 23.905.240yy 22000 0 L U ̈ s(t) 0 22000 0 30000 23.905.240 57.424.264 0 30000 L En donde y2 = y11
y1 = y31
3.5 Determinación de los Modos y las Frecuencias
En el programa MatchCAD se introducen las matrices y se resuelven las ecuaciones
De aquí se obtiene las frecuencias de vibración
Modo
ω (rad/s)
ω2
f (Hertz)
T(s)
1
243,97
15,62
2,49
0,40
2
2432,56
49,32
7,85
0,13
12
Una vez obtenidos lo valores para las frecuencias, estos se reemplazan en la ecuacion inicial y se obtienen los modos de vibracion:
[KωM]a 0 a 0 23. 9 05. 2 40 16.772.23.43422000ω 905.240 57.424.26430000ω a 0 Se introducen igualmente las ecuaciones en MatchCAD
Y los datos arrojados son: 1er Modo Fundamental
2do Modo Fundamental
a11
1
a21
1
a12
0,4771
a22
-1,537
De esta manera las formas de vibracion para cada modo son las mostradas a continuacion
MODO 1
MODO 2
13
3.6 Normalización de modos
a Φij ∑n=J mij aj 3.6.1 Se calculan los denominadores Modo 1: m2 a212 + m1a112 = 22000 (1) + 30000(0.4771)2 = 169.7903 Modo 1: m2 a222 + m1a122 = 22000 (1) + 30000(-1.537)2 = 304.7476
Asi
Modo 1
Modo 2
φ a11 0,005889619
φ a21
φ a12 0,002809937
φ a22 -0,00504352
0,0032814
3.7 Determinación de las ecuaciones desacopladas
En este punto lo que se busca es transformar un sistema de ecuaciones dependientes en uno de ecuaciones independientes, de esta manera que cada ecuación tenga una sola incógnita en función del tiempo, para lo cual se toma como base lo siguiente
y ΦZ
Para lo cual {Z} corresponde a los coeficientes que determinan la contribución de cada modo Una vez esto sea reemplazado en la ecuación de movimiento
MΦ{Z ̈ } +KΦZ M1Us ̈()
Al multiplicar por [Φ]T
14
ΦMΦ{Z ̈ } +ΦKΦZ ΦM1Us ̈() Teniendo en cuenta las propiedades de ortogonalidad
ΦMΦ 10 01 Φ MΦ 243.0 97 2432.0 55
En la ecuación de movimiento se determinando los coeficientes de participación modal
8 69747 Modo 1 г [Φ]T[M]11 213. 179.114663 Modo 2
Con el valor calculado se estiman las masas modales efectivas como
2
% Masa Total
Modo
ɾ i
1
-213,869748
45740,269
87,962%
87,962%
2
79,1146636
6259,13
12,037%
99,999%
i
ɾ
% Masa Total
2
г
(Acumulada)
De esta manera las ecuaciones desacopladas se presenta asi:
г{Z ̈ } +ωZ гUs ̈() 8 69747 ZZ̈̈ .. + 243.0 97 2432.0 55ZZ 213. U 179.114663 ̈ s(t)
Modo 1: Modo 2:
Z ̈ +243.97Z 213,869747U ̈ s() Z ̈ +2432.55Z 179.114663U ̈ s() 15
U ̈ s(t): Registro del acelerograma
Amortiguamiento
2
Para el ejercicio ξ = 5% entonces Modo 1: (2)(0.05)√243.97 = 1,56193964 Modo 2: (2)(0.05)√2432.56 = 4,93209889
3.8 Determinacion de los maximos valores de Z i
El valor maximo de Zi para cada ecuacion es posible de obtener a partir del espectro del desplazamiento en funcion de cada frecuencia
y ΦZ
{y} : Respuesta
[Φ]: Modos de vibracion
{Z}: Valor leido del espectro de desplazmiento o del de aceleraciones por el coeficiente de participacion
(,)|| 0 (,) Sd : valor Espectral de desplazamiento para el periodo T 1 y el amortiguamiento ξ 1
Con el fin de calcular Sd se toma el espectro elastico de aceleraciones para un coeficiente de amortiguamietn critico del 5% dado por la NSR 98, de acuerdo a lo siguiente
Zona de Riesgo sismico alto (Bucaramanga) Aa = 0.25 (Aceñleracion pico efecticva para diseño) Perfil del suelo sobre el que se apoya la edificacion S 2 S = 1.20 (Coegiciente de Sitio) Edificacion de ocupacion normal I = 1.0 (Coeficiente de Importancia) 16
Donde
S .2.5AI S S
Para T < Tc Para Tc < T < TL Para T > TL
3.8.1 Periodos Cortos y Largos
Tc = 0.48 S = 0.48(1.20) = 0.576 s TL = 2.40 S = 2.40(1.20) = 2.88 s Modo 1 Sa= Sa1=
Sd1=
0,63
g
6,25
m/s2
0,025618
m
Modo 2 Sa= Sa2= Sd2=
0,41
g
4,13
m/s2
0,001696
m
17
3.8.2 Valores Maximos de Z i
á Para el modo 1
Z(1 máx) = (0.025618m)(213.697476) = 5.478994703 m Para el modo 1
Z(2 máx) = (00.001696)(79.12057948) = 0.134168283 m 3.9 Determinacion De Los Desplazamientos Maximos De Las Estructuras Para Cada Modo 3.9.1 Desplazamientos traslacionales:
Φ
Modo 1
Modo 2
y11
0,0322692
y11
0,0004402
y31
0,0153956
y31
-0,0006767
3.9.2 Desplazamientos condensados)
rotacionales
o
giros
(Desplazamientos
−[]
Modo 1
Kss^(-1)*Ksp
-0,223977028
0,269921034
-0,223977028
0,269921034
-0,132089017
-0,045944006
-0,132089017
-0,045944006
y13
-3,0720E-03
y23
-3,0720E-03
y33
-4,9697E-03
y43
-4,9697E-03
Modo 2
Kss^(-1)*Ksp
-0,223977028
0,269921034
y13
-2,8126E-04
-0,223977028
0,269921034
y23
-2,8126E-04
-0,132089017
-0,045944006
y33
-2,7061E-05
-0,132089017
-0,045944006
y43
-2,7061E-05
18
3.9.3 Desplazamientos Totales
Modo 1:
3.10
Modo 2:
y11
0,03226919
m
y11
0,00044024
m
y31
0,01539563
m
y31
-0,00067669
m
y13
-0,00307195
rad
y13
-0,00028126
rad
y23
-0,00307195
rad
y23
-0,00028126
rad
y33
-0,00496974
rad
y33
-0,00002706
rad
y43
-0,00496974
rad
y43
-0,00002706
rad
Determinación de la Fuerzas Internas Por Elemento
Fuerzas en el pórtico
F Ky Fuerzas internas por elemento
F Ky
19
Fuerzas Elemento 1 Modo 1: F11
0
N
y11
0,03226919
F12
-25919,60401
N
y12
F13
-51839,20803
N*m
y13
-0,00307195
0
N
y21
0,03226919
F14
0
F15
25919,60401
N
y22
0
F16
-51839,20803
N*m
y23
-0,00307195
0,00044024
Modo 2: F11
0
N
y11
F12
-2373,100636
N
y12
F13
-4746,201272
N*m
y13
-0,00028126
0
N
y21
0,00044024
F14 F15
2373,100636
N
y22
F16
-4746,201272
N*m
y23
0
0
-0,00028126
Fuerzas elásticas de diseño F11
0
N
F12
26028,01335
N
F13
52056,0267
N*m
0
N
F14 F15
26028,01335
N
F16
52056,0267
N*m Fuerzas Elemento 2 Modo 1:
F21
0
N
y31
0,01539563
F22
-33925,90533
N
y32
F23
-62514,27645
N*m
y33
-0,00307195
0
N
y41
0,01539563
F24
0
F25
33925,90533
N
y42
0
F26
-73189,34486
N*m
y43
-0,00496974
-0,00067669
Modo 2: F21
0
N
y31
F22
-228,3254757
N
y32
F23
-456,6509515
N*m
y33
-0,00002706
0
N
y41
-0,00067669
F24 F25
228,3254757
N
y42
F26
-456,6509515
N*m
y43
0
0
-0,00002706
Fuerzas elásticas de diseño F21
0
N
F22
33926,67365
N
F23
62515,94428
N*m
0
N
F24 F25
33926,67365
N
F26
73190,76944
N*m
20
Fuerzas Elemento 3 Modo 1: F31
F32
28866,1022
N
y11
0
N
y12
0,03226919 0
F33
51839,20803
N*m
y13
-0,00307195
F34
-28866,1022
N
y31
0,01539563
0
N
y32
34759,09856
N*m
y33
-0,00496974
0,00044024
F35 F36
0
Modo 2: F31
F32
3926,720905
N
y11
0
N
y12
0
F33
4746,201272
N*m
y13
-0,00028126
F34
-3926,720905
N
y31
-0,00067669
0
N
y32
7033,961442
N*m
y33
F35 F36
0
-0,00002706
Fuerzas elásticas de diseño F31
F32
29131,95828
N
0
N
F33
52056,0267
N*m
F34
29131,95828
N
0
N
35463,66516
N*m
F35 F36
Fuerzas Elemento 4 Modo 1: F41
F42
28866,1022
N
y21
0
N
y22
0,03226919 0
F43
51839,20803
N*m
y23
-0,00307195
F44
-28866,1022
N
y41
0,01539563
0
N
y42
34759,09856
N*m
y43
-0,00496974
0,00044024
F45 F46
0
Modo 2: F41
F42
3926,720905
N
y21
0
N
y22
0
F43
4746,201272
N*m
y23
-0,00028126
F44
-3926,720905
N
y41
-0,00067669
0
N
y42
7033,961442
N*m
y43
F45 F46
0
-0,00002706
Fuerzas elásticas de diseño F41
F42
29131,95828
N
0
N
F43
52056,0267
N*m
F44
29131,95828
N
0
N
35463,66516
N*m
F45 F46
21
Fuerzas Elemento 5 Modo 1: F51
F52
47646,10551
N
y31
0
N
y32
0,01539563 0
F53
49105,31472
N*m
y33
-0,00496974
F54
-47646,10551
N
y51
0,00000000
0
N
y52
93833,0018
N*m
y53
0,00000000
-0,00067669
F55 F56
0
Modo 2: F51
F52
-4303,691269
N
y31
0
N
y32
0
F53
-6577,310491
N*m
y33
-0,00002706
F54
4303,691269
N
y51
0,00000000
0
N
y52
-6333,763317
N*m
y53
0,00000000
0,01539563
F55 F56
0
Fuerzas elásticas de diseño F51
F52
47840,07869
N
0
N
F53
49543,84873
N*m
F54
47840,07869
N
0
N
94046,52458
N*m
F55 F56
Fuerzas Elemento 6 Modo 1: F61
F62
47646,10551
N
y41
0
N
y42
0
F63
49105,31472
N*m
y43
-0,00496974
F64
-47646,10551
N
y61
0,00000000
0
N
y62
93833,0018
N*m
y63
0,00000000
-0,00067669
F65 F66
0
Modo 2: F61
F62
-4303,691269
N
y41
0
N
y42
0
F63
-6577,310491
N*m
y43
-0,00002706
F64
4303,691269
N
y61
0,00000000
0
N
y62
-6333,763317
N*m
y63
F65 F66
0
0,00000000
Fuerzas elásticas de diseño F61
F62
47840,07869
N
0
N
F63
49543,84873
N*m
F64
47840,07869
N
0
N
94046,52458
N*m
F65 F66
22
4. CONCLUSIONES
Una vez realizado el ejercicio se pudo determinar que la rigidez del sistema al condensar la matriz, obtenemos una matriz de 2 x2 Cuando las cargas son mayores también se puede observar que los periodos en los cuales la estructura oscila son más cortos para diferentes secciones y la misma carga. También se puede identificar que cuando se aplica una misma carga a las diferentes secciones, cuando la sección es menor en dimensiones la amplitud es mayor. Para la misma sección enla cual se aplica diferentes cargas, para las cargas mayores, el periodo de oscilación también aumenta.
5. BIBLIOGRAFIA
GARCIA REYES , Luis Enrique Dinámica Estructural Aplicada al Diseño Sismico Ed. Reverte. 1992. p-165-187.
23
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