Ejercicio Muro en Voladizo
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Ejemplo de calculo de factores de seguridad al volcamiento, deslizamiento de un muro en voladizo de hormigón armado....
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Magíster en Ingeniería Estructural y Geotécnica Problema 1
Asuma que en una determinada faena minera se desea acoplar roca molida producida durante el proceso de explotación. Este material estará contenido entre dos muros de contención con las características y datos de la Figura 1, y el montículo que se genera presenta un ángulo de reposo máxima en condición estática. Además, en la base de los muros, existen tirantes de amarre espaciados cada 1 m en la dirección perpendicular a la imagen. Se pide determinar: a) Factor de seguridad al volcamiento del muro b) Factor de seguridad al deslizamiento del muro c) Fuerza que deben resistir los tirantes d) Factor de seguridad frente a la falla por capacidad de soporte del sue lo bajo la fundación de los muros
Figura 1: Sección transversal de muros de contención
Consideraciones realizadas en el problema
≈ = 35°
-El ángulo de reposo máximo en condición estática es aproximadamente igual al ángulo de fricción del material por lo que
.
-Se considera un ángulo de fricción suelo-muro
= 2/3
.
-Se analiza una sección de 1 m en la dirección perpendicular a la figura 1.
-Se asume que el del suelo debajo de la fundación es igual al del material contenido entre los muros.
a) Factor de seguridad al volcamiento del muro El factor de seguridad al volcamiento del muro se determina a partir de la relación entre el momento resistente (suma de los momentos de las fuerzas que se oponen al volcamiento del muro) y el
Magíster en Ingeniería Estructural y Geotécnica momento volcante (suma de los momentos de las fuerzas que generan volcamiento al muro). Ambos momentos se calculan a partir de la punta de la zapata (punto O en la figura 2).
= ∑∑
A continuación, se muestran las fuerzas actuantes en el sistema muro-suelo.
Figura 2:Fuerzas actuantes en el sistema muro-suelo
Magíster en Ingeniería Estructural y Geotécnica Donde:
= = ==
Peso del muro de contención
Peso del suelo sobre el talón de la fundación
Empuje activo del suelo
Empuje pasivo del suelo
A continuación, se obtienen las fuerzas que generan el momento resistente y el momento volcante. Fuerzas que se oponen al volcamiento del muro Las fuerzas que se oponen al volcamiento del muro son: -
Peso del muro de contención
-
Peso del suelo sobre el talón de la fundación
-
Fuerza vertical sobre el muro de 2.45 Tonf
-
Componente vertical del empuje activo Componente horizontal del empuje pasivo
-Peso del muro de contención
0.6 ×7.3 ×ℎ = 7.3 ×0.4
Para la obtención del muro de contención se divide el muro en 3 secciones, la primera es el rectángulo de
, formado desde la parte superior del muro hasta la unión con la
cimentación. La segunda sección es el triángulo formado al quitar la sección 1 del muro, con medidas de
. La última sección se forma con el rectángulo de la fundación. En la tabla
siguiente se resumen los cálculos para el peso del muro y del c álculo de las coordenadas al centroide geométrico del muro, a partir de l origen fijado en la punta de la zapata (ver figura 2). Tabla 1: Peso y coordenadas centroidales del muro de contención
Sección
Area (m2)
W (Tonf)
xc (m)
yc (m)
A*xc
A*yc
1
4.38
10.512
2.40
4.40
10.51
19.27
2
1.46
3.504
1.97
3.18
2.87
4.65
3
4.5
10.8
3.00
0.38
13.50
1.69
Total
10.34
24.816
7.37
7.96
26.88
25.61
xc (m)
2.60
yc (m)
2.48
- Peso del suelo sobre el talón de la fundación
6. 8 ×3. 3 ×ℎ = 3.3 ×3.3 tan = 35°
Se divide la masa de suelo en dos secciones. La primera el rectángulo de medidas de la segunda sección es el triángulo de medidas
y
, formado sobre la
sección anteriormente descrita. En la tabla 2 se muestra el resumen de los cálculos para determinar el peso y las coordenadas centroidales de la masa de suelo sobre el talón de la fundación.
Magíster en Ingeniería Estructural y Geotécnica Tabla 2: Peso y coordenadas centroidales de la masa de suelo sobre el talón de la fundación
Sección
Area (m2)
W (Tonf)
xc (m)
yc (m)
A*xc
A*yc
A
22.44
50.2656
4.35
4.15
97.61
93.13
B
3.8115
8.53776
4.90
8.32
18.68
31.71
Total
30.7515
68.815815
12.25
12.85
129.79
126.53
xc (m)
4.22
yc (m)
4.11
-Fuerza vertical sobre el muro de 2.45 Tonf El brazo de palanca de la fuerza vertical sobre el muro con respecto al punto “O” es de 2.40 se muestra en la figura 2.
, según
- Componente vertical del empuje activo Se utilizará enfoque de Coulomb, el cual determina el empuje activo a partir de la siguiente expresión:
Con:
= 12 cos ′ = sin′′ in +′+cos coscos +1+√ scos
Donde:
:: :: ::
Peso volumétrico del suelo Altura del muro Angulo de fricción interna del material
Angulo entre la superficie de aplicación del empuje y la vertical
Angulo de fricción entre el suelo y el muro Angulo de la parte superior de la masa de suelo
Para la configuración del muro y a partir de que la cuña de falla se forma a partir de la esquina derecha de la fundación, los parámetros para calcular e l empuje activo son los siguientes:
== 2.9.2846/ = 35°
Magíster en Ingeniería Estructural y Geotécnica
== 35°0° = 35°
(En este es igual a
porque la superficie de aplicación del empuje es también suelo)
Se tiene entonces:
cos 350 = = 0. 8 19 in35+35sin3535 cos0cos35+0 1+√ scos35+0cos3535 = 12 = 12 0.8192.249.86 = 89.19 = sin = 89.19sin35° = 51.16 1
Se obtiene la componente vertical del em puje activo:
El brazo de palanca de la componente vertical del empuje activo sobre la masa de suelo sobre el talón de la fundación con respecto al punto “O” es de 6.0
.
- Componente horizontal del empuje pasivo El empuje pasivo de Coulomb se determina a partir de la siguiente expresión:
Con:
= 12 cos + = sin ′ + in +′cos coscos 1√ scos
Los parámetros para calcular el empuje pasivo son los siguientes:
== 2.0.2745/ = 35° == 2/3 0° = 2/335° = 23.33° = 0°
(En este caso el empuje pasivo si se aplica sobre el muro por lo que se asume un valor de fricc ión entre suelo-muro)
1
Se asume que se genera el desplazamiento necesario para que se desarrolle por completo el empuje activo.
Magíster en Ingeniería Estructural y Geotécnica Se tiene entonces:
cos 35+0 = = 9. 9 6 in23.333+35si n 35+0 cos0cos23.3301√ scos23. 3+0cos00 = 12 = 12 9.962.240.75 = 6.27 = cos = 6.27cos23.33° = 5.76 2
Se obtiene la componente horizontal del empuje activo:
El brazo de palanca de la componente horizontal del empuje pasivo sobre el muro con respecto al punto “O” es de 0.25 *Nota:
.
Para un primer escenario donde la fuerza horizontal de 0.46 Tonf sobre el muro es aplicada
en la dirección positivo, sería una fuerza que se opone al volcamiento del muro. El otro e scenario se da para cuando la fuerza es aplicada en la dirección negativa por lo que es una condición más crítica, ya que genera volcamiento al muro. Debido a la razón anterior no se considera el primer escenario en el cálculo del momento re sistente. Fuerzas actuantes que aportan al volcamiento del muro Las fuerzas actuantes que aportan al volcamiento del muro son: -
Componente horizontal del empuje activo
-
Fuerza horizontal de 0.46 Tonf en la parte superior del muro, cuando su dirección es en negativo
- Componente horizontal del empuje activo La componente horizontal del empuje activo es:
= cos = 89.19cos35° = 73.06
El brazo de palanca de la componente horizontal del empuje act ivo se aproxima como con respecto al punto “O”. -Fuerza horizontal de 0.46 Tonf El brazo de palanca de la fuerza horizontal en la parte superior del muro es 8.05 punto “O”.
= 3.29
, con respecto al
Obtenidas todas las fuerzas se obtiene el factor de seguridad al volcamiento del muro.
2
,
Se asume que se genera el desplazamiento necesario para que se desarrolle por completo el empuje pasivo.
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+ 6+ 4 52. 4 0. 2 5 = ∑∑ = 2.60+4.22+2. 3.29+0.468.05 452.4468.+51.05166+5.760.25 = . = 24.822.60+68.824.73.0263.2+2.29+0. = 2.74 ≥ 1.5 ‼‼‼‼‼‼‼
Normalmente para el caso estático se t iene que
b) Factor de seguridad al deslizamiento del muro El coeficiente de seguridad al deslizamiento se calcula como el cociente entre las fuerzas resistentes al deslizamiento a lo largo de la base y la componente tangencial de la fuerza de reacción R3. (Figura 3).
Figura 3:Descomposición de la fuerza de reacción ( Fuente: Sáez, 2010)
= tan = ↓= + = + + + +2.45 = 6.27sin23.33+24.82+68.82+51.16+2.45 = 149.73 = ←= + = 0.46 = 5.76+0.46+73.06 = 68.06 = tan = 168.49.0763 tan23.33 = . = 0.95 ≥ 1.5 ‼‼‼ Donde:
Factor de seguridad al deslizamiento:
Como buena práctica se exige que para caso estático
3
Fuente: Apuntes de clases de Fundamentos de Geotecnia (ICE-1603), Sáez,2010
Magíster en Ingeniería Estructural y Geotécnica c) Fuerza que deben resistir los tirantes Del literal anterior se tiene que no se cumple con el factor de seguridad al deslizamiento, por lo que hay que implementar un sistema (Tirantes entre los muros) que ayude al muro a cumplir con este requerimiento. Para determinar la fuerza en los tirantes se obtiene a partir de exigir que el factor de seguridad al deslizamiento sea igual a 1.5.
Al incluir la fuerza de los tirantes la expresión para determinar la componente de la reacción queda de la siguiente forma:
Donde
= ←= + = + 0.46+ 2 = 1.5 = tan = 68. 149.06273 tan23.33 149. 7 3t a n23. 3 3 6 8. 0 6 1. 5 = = . 2
: es la fuerza de 1 tirante (En la ecuación se consideran 2 tirantes debido a que en la franja
seleccionada del análisis de 1
, habrían dos tirantes, uno en cada ex tremos de la franja).
Al plantear de nuevo la expresión para deter minar el factor de seguridad al deslizamiento se tiene:
Despejando se tiene:
Se tiene entonces que la fuerza en cada tirante es de 12.50 Tonf para garantizar que el factor de seguridad al deslizamiento en caso estático sea igual a 1.5. d) Factor de seguridad frente a la falla por capacidad de soporte del suelo bajo la fundación de los muros. El factor de seguridad frente a la falla por capacidad de soporte del suelo bajo la fundación es igual al cociente entre la capacidad última de soporte del suelo y la presión vertical e fectiva en el suelo.
. = 0 7 = = 149. 73 = 669.2149.3244. 73 = 2.84 = 1+ 6 = 149.673 1+ 62.684 = 95.83 /
-Presión vertical efectiva en el sue lo
De los apuntes de clase se tiene que la excentricidad
se determina a partir del momento neto y
la componente vertical de la reacción obtenida en el literal anterior.
El
se obtiene a partir de la siguiente expresión:
Magíster en Ingeniería Estructural y Geotécnica - Capacidad última de soporte del suelo
= + +0.5
El método para determinar
es el de Hansen y se expresa de la siguiente forma:
Donde:
, , ,,,, ,,, , , ,
: Cohesión del suelo : Parámetros que dependen de
: Parámetros de corrección de forma : Parámetros de corrección por profundidad
: Parámetros de corrección por inclinación de la carga : Parámetros de corrección inclinación del terreno
: Parámetros de corrección por inclinación de la base de la fundación
: Presión efectiva a nivel de sello de fundación (fuera de la fundación)
Consideraciones en la evaluación de la ecuación general
Como el material por debajo de la fundación del muro es roca molida compactada no posee cohesión por lo que el primer t érmino de la ecuación general no se evalúa.
Para el caso de evaluar los factores de formas, evaluar el escenario para la franja de 1 m sería incorrecto ya que los factores resultarían muy grandes y por lo general la dimensión
, = 1
perpendicular al plano de la figura 2 es mucho mayor que B por lo que los factores resultaría
, = 1
menor a 1. Se asume al no contarse co n la dimensión perpendicular al plano que
Los factores
, debido a que no se presenta inclinación del terreno para la
, = 1 , , = 45+ 2 = 45+ 352 = 33.30 = ( 1)cot = 33.301cot35 = 46.12 = 1.5( 1)tan = 1.533.301tan35 = 33.93 = 2 = 620.17 = 5.66 = tan−/ = tan− = 9.86/6 = 1.0 2 profundidad del sello de fundación.
Como la base de la fundación no es inclinada los factores
-Cálculo de los parámetros
Ancho efectivo
- Calculo de parámetros de correcc ión de profundidad
Magíster en Ingeniería Estructural y Geotécnica
= 1+2tan1sin = 1+2tan351 sin351.02 =1.26 = 1.0 0. 5 = 1 + cot 2 ≤ ≤ 5 0. 7 = 1 + cot 2 ≤ ≤ 5 = 2.5 = 3.5 = 0 . 0. 5 0. 5 18. 0 6 = [1 ] = [1 149.73 ] = 0.86 . 0. 7 0. 7 18. 0 6 = [1 ] = [1 149.73 ] = 0.73 Para toda profundidad
-Calculo de parámetros de corrección por inclinación de la carga
Asumiendo
y
.También para ambos casos como no existe cohesión
, por
lo que las expresiones quedarían de la siguiente forma:
-Cálculo de la presión efectiva a nivel de sello de fundación
Considerando profundidad de desplante menor, es decir esquina inferior izquierda de la fundación la presión efectiva sería:
= = 2.240.75 = 1.68 / = + 0.5′ = 1.6833.301.260.86+0.52.245.6633.9310.73 = 217.64 / . = = 295.17.8635 = . Obtenidos todos los parámetros se evalúa la ecuación generalizada de Hansen
-Factor de seguridad
Según Bowles4 para suelos granulares el factor de seguridad para falla por capacidad de soporte debe de ser mayor o igual a 2 por lo que para este caso se cumple con dicha recomendación.
4
Joseph E. Bowles, “Foundation Analysis And Desing”, Mc Graw-Hill, 1996
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