ejercicio de resonancia ecuaciones diferenciales.docx

21)traduciendo el problema al español: Vibración resonante de una máquina

La pesada base sobre la que se sitúa la chapa ene una masa M = 2000 200 0 kg

La uer!a que actúa sobre la base sigue una unci"n: # $t) = 2000 %en$10t)& en la que  t = empo en segundos'

La base est( apoada por una almohadilla el(sca con una constante constante de resorte k equi*alente equi*alent e a 2+10, - . m' /eterminar lo siguiente si la base es presionada inicialmente por un importe de 0&1 m:

La ecuaci"n dierencial para la posici"n instant(nea de la base& es decir&  x( t ) b) +aminar si esta es una situaci"n de *ibraci"n resonante con la carga aplicada c) resol*er para  x( t ) ' a)

d) /ebera ser esta una *ibraci"n resonante& cu(nto empo tomar( para el apoo a romper con un alargamiento de 0&3 m'

gr(4ca del problema:

%oluci"n: La situación puede ser modelado físicamente a un sistema masa-resorte: masa-resorte:

a) La ecuaci"n dierencial que gobierna la ecuaci"n es: 2

2000

d  x( t ) dt 

+ 2∗105 x (t )= 2000 sen ( 10 t ) … …( 1)

5on condiciones iniciales:

 x ( 0 )=0,1 y

dx( t ) dt 

∥t = o=0 66''$1a)

b) Para comprobar si se trata de una situación de vibración resonante:

7amos a calcular la recuencia natural $circular) del sistema masa8resorte mediante el uso de la cuaci"n: w 0=

√ √ k 

m

=

 2∗10 2∗10

5

3

=10

 rad s

=w

 que es la recuencia de la uer!a de e+citaci"n

Por lo tanto, es una vibración resonante porque

w 0= w

c)Solución de la ecuación diferencial en la Ecuación (1) s una ecuaci"n dierencial no homog9nea& por lo que la soluci"n consiste en dos partes: la soluci"n homog9nea  la soluci"n parcular'

 x( t )= x h ( t ) + x p ( t ) … … .. ( 2) or ahora& sabemos c"mo resol*er para la soluci"n complementaria orma:  x h ( t )=c 1 cos ( 10 t ) + c2 sen (10 t ) … … … (¿)

 x h ( t  )

en la

/ebido a que es una *ibraci"n resonante un caso especial para la soluci"n no homog9nea de 2; orden& la soluci"n parcular del x p ( t ) tendr( la orma:

 Acos (10 t ) + Bsen ( 10 t ) … … … . α    x p ( t ) =t ¿

Siguiendo el procedimiento normal de la sustitución de la x p ( t )  en la Ecuación

en la ecuaci"n dierencial $1)&  los t9rminos que se compararon en ambos lados& tendremos las constantes <   en la ecuaci"n

α  ¿

) que son: < = 81.20   = 0

α  ¿

)

¿∗¿ por lo tanto tendremos la soluci"n parcular:  x ( t ) = −t  … … ¿  p 20

%ustuendo la ecuaci"n $>)  $>>) en $2)& tendremos la soluci"n general de la ecuaci"n $1) siendo:

 x( t )= x h ( t ) + x p ( t )= c1 cos ( 10 t ) + c 2 sen ( 10 t )−

t  20

cos ( 10 t )

 Aplicar las dos condiciones iniciales especificadas en la ecuación (1a) en la solución general anterior dar lugar a los valores de las dos constantes arbitrarias!

c 1=0,1 y c2 =

1 200

La soluci"n completa de la ecuaci"n $1) es la siguiente:

 x( t )=

1 10

(

)+

cos 10 t 

1 200

sen ( 10 t )−

t  20

(

) … …. (γ )

cos 10 t 

?epresentaci"n gr(4ca de + $t) en la ecuaci"n $ γ  ) es similar a la gr(4ca de aba@o con amplitudes aumentan r(pidamente con el empo t' #sicamente& las amplitudes son el alargamiento del soporte de resorte unido

d) /eterminar el momento de romper la almohadilla de soporte el(sco'

la almohadilla el(sca se romper( en un alargamiento de 0&3 m& es posible determinar el empo para llegar a este alargamiento t f   por la siguiente e+presi"n matem(ca

0,3=

1 10

cos ( t f ) +

1 200

sen ( t f ) −

 t f  20

cos ( t f  )=cos ( t f ) +

1 200

sen ( 10 t )