Ejercicio Campo Electrico

Ejercicio CE-1 Determinar el valor del campo eléctrico en el punto A sabiendo que si se coloca un electrón en dicho punto recibe una fuerza de F=6,4 x 10-14 N. La carga del electrón es e-= -1,6 x 10-19 C

Resolución: Para calcular el valor del campo eléctrico en el punto considerado debo recurrir a la definición general de Campo Eléctrico por lo tanto nos queda que:

Como la carga del electrón es negativa, el sentido de la fuerza es opuesto al del campo, dado que es una operación donde el escalar es negativo, el resultado del campo nos da negativo lo que nos está señalando que el vector fuerza y campo son colineales pero de sentidos opuestos. Respuesta: El campo eléctrico en el punto vale 4 x 105 N/C. y además debemos indicar en un esquema gráfico las demás características del vector (dirección, sentido y punto de aplicación) tal como se indica en el esquema gráfico.

Ejercicio CE-2 Determinar el valor del campo eléctrico en el punto A sabiendo que si se coloca un protón en dicho punto recibe una fuerza de F=9,6 x 10-14 N. La carga del protón es qprotón= +1,6 x 10-19 C

Resolución: Para calcular el valor del campo eléctrico en el punto considerado debo recurrir a la definición general de Campo Eléctrico por lo tanto nos queda que:

Como la carga del protón es positiva, el sentido de la fuerza es el mismo del

campo, dado que es una operación donde el escalar es positivo, el resultado del campo nos da positivo lo que nos está señalando que el vector fuerza y campo son colineales y del mismo sentido. Respuesta: El campo eléctrico en el punto vale 6 x 105 N/C. y además debemos indicar en un esquema gráfico las demás características del vector (dirección, sentido y punto de aplicación) tal como se indica en el esquema gráfico.

Ejercicio CE-3 Dos cargas puntuales q1 y q2 de + 1,2 x 10-8 C. y - 1,2 x 10-8 C. respectivamente están separadas por una distancia de 10 cm. como se indica en la figura adjunta. Calcular los campos eléctricos debidos a estas cargas en los puntos A, B y C.

Resolución: Para calcular el valor del campo eléctrico en los puntos solicitados a, b, y c debemos recurrir a la aplicación sucesiva de la definición general de campo eléctrico de carga puntual en el punto a tendremos que:

El sentido de ambos campos es el mismo dado que el signo de más indica que se aleja de q1 y el signo de menos que apunta hacia q2 por lo tanto ambos campos tienen el mismo sentido y se deben sumar sus módulos. Respuesta a):

en el punto b tendremos que:

El sentido de ambos campos es diferente dado que el signo de más indica que se aleja de q1 y el signo de menos que apunta hacia q2 por lo tanto los campos tienen sentidos opuestos y se deben restar sus módulos. Respuesta b):

en el punto c tendremos que:

En este caso habrá que sumar los vectores en el plano, dado que no son colineales como en los casos anteriores. Respuesta c):

Las componentes verticales de los vectores Ecq1 y Ecq2 son iguales y opuestas por los tanto suman cero es decir la resultante de los ambos vectores será la suma de las componentes horizontales, pero como además se forma un triángulo equilátero, pues todos los ángulos miden 60º, el valor de Ec también valdrá 1,08 x 104 N/C al igual que los otros dos lados.

1) Una carga de -2,8 µC (microCoulomb) experimenta una fuerza horizontal y hacia la derecha de 2 N. ¿Cuál es el valor del campo eléctrico en el punto ocupado por dicha carga?

2) Una carga puntual de 2 x 10-9 C. se ubica en las coordenadas x=15 cm. e y=20 cm. Determinar el punto del plano donde el campo será de 36 N/C y señala hacia las x negativas

3) Dada una carga q de masa m = 5 x 10-11 kg. que se encuentra en equilibrio sobre un plano uniformemente cargado con σ = +9,8 x 10-11 C/m2. Determinar : a) el signo de la carga q b) su magnitud

4) Calcule el valor del campo eléctrico en el punto A producido por los planos cargados σ = +26,55 x 10-12 C/m2.σ '= - 35,4 x 10-12 C/m2 y la carga Q = +22,12π x 10-12 C

5) Dado un conductor rectilíneo con una densidad lineal de carga λ , calcular dicha carga sabiendo que el campo a 0,10 m. del mismo es de 0,5 x 10-2 N/C.

6) Dado el esquema de la figura, determinar la tensión de la cuerda que soporta la masa m cargada con q = +1,6 · 10 - 19 C.

7) Determinar el campo eléctrico en el punto A entre dos planos cargados y paralelos como indica la figura.

Electrostática Ley de Gauss

Ejercicios Problemas

Cuando tenemos un elemento de área cualquiera podemos admitir que siempre se podrá dividir en un elemento sumamente pequeño tal que ese elemento se pueda considerar plano y despreciable la variación de E. El flujo en un pequeña área ∆ Ai con un campo normal En será ∆ φ = En.∆ Ai Y para obtener el flujo total que atraviesa la superficie se debería hacer lo siguiente

Y se cumple lo mismo que en el caso de un plano con campo uniforme. Lo que normalmente interesa es calcular el flujo total o neto que atraviesa una superficie cerrada el que puede ser positivo o negativo según predomine el E saliente o entrante. Como el flujo es proporcional al número de líneas de fuerza que atraviesan una superficie cualquiera, el flujo neto es proporcional al número neto de líneas de fuerza que atraviesa a la superficie (suma y resta de líneas entrantes y salientes). Cuando la suma de infinitos términos se hace en una superficie cerrada, se indica con el símbolo

Por lo tanto el flujo neto será

APLICACIÓN Flujo Neto que atraviesa una superficie esférica

Se procederá a calcular el FLUJO NETO que atraviesa una superficie esférica de radio r que encierra una carga q. Sabemos que el campo a una distancia r de una carga puntual q es y además el campo eléctrico es normal a la superficie considerada pues tiene la dirección radial, la cual es siempre perpendicular a la superficie de la esfera

⇒ Como el valor

es constante en la integral se puede sacar de factor común fuera de la misma y por lo tanto pero

es el área total de una esfera ⇒ Por lo tanto

pero como

el flujo neto total será

El resultado se puede generalizar para cualquier superficie cerrada, que encierre una carga q dado que el número de líneas que sale de una carga es el mismo o sea que la superficie es atravesada por el mismo flujo.

Enunciado de la Ley de Gauss: El flujo neto que atraviesa una superficie que encierra totalmente una carga q es numéricamente igual a la carga q dividida por la constante de permitividad del vacío εo.

Si dentro de la superficie se encierran más de una carga la expresión de la ley de Gauss pasa a ser de la siguiente manera

Es decir que se sustituye la carga única por la suma algebraica de las cargas obteniéndose la carga neta encerrada en la superficie de Gauss.

Cálculo de E a partir de Gauss Para aplicar la Ley de Gauss debemos seguir los siguientes pasos: 1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico. 2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo. 3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada. 4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico Caso 1) Campo eléctrico debido a una carga lineal uniforme (λ ) de longitud infinita Debido a la simetría que existe en cuanto a las cargas distribuidas a lo largo del conductor respecto a un punto, el campo debe ser perpendicular a la línea cargada y solamente puede depender de r, lo cual pasaremos explicar.

Para hallar el campo en un punto a cierta distancia del conductor cargado, observamos que si trazamos la perpendicular desde el punto al conductor, nos encontraremos que a ambos lados de dicho punto sobre el conductor existirán siempre cargas iguales y simétricas respecto a dicho punto. Debido a esa simetría como se ve en la figura de la derecha, la suma de los vectores campo de puntos simétricos como el a y el b darán una resultante que siempre será perpendicular al conductor, esto se puede repetir para todos los puntos que uno desee, por lo tanto E solo puede depender de r. Llamando λ a la densidad lineal de carga definiremos un cilindro de Gauss con la generatriz paralela al conductor ( como se observa en la figura de la izquierda) y aplico a dicha superficie cerrada el Teorema de Gauss. Para ello calculo el flujo total que atraviesa la superficie total del cilindro que consta de dos caras y la superficie lateral. Siendo por lo tanto el flujo neto total la suma de los flujos netos que atraviesan las caras o bases y la superficie lateral. φ neto = φ sup. lateral + φ sup. caras como el flujo es saliente y perpendicular a la línea de carga, el φ caras = 0 dado que las líneas de fuerza resultan rasantes a las caras y no las atraviesan. ⇒ φ neto = φ sup. lateral = En . 2π . r .L y entonces de acuerdo al Teorema de Gauss

φ neto = En . 2π r L = ⇒E = = ⇒ E= Donde la Σ q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual al producto λ . L es decir el producto de la carga por unidad de longitud multiplicada por la longitud del conductor encerrada dentro del cilindro de Gauss. Si se elimina K y se sustituye por su equivalencia en función de la constante de permitividad del vacío nos quedaría que

k=

⇒

=

⇒ E=

=

o en función de k Es la fórmula que nos permite calcular dicho campo donde se observa claramente que la intensidad de campo eléctrico es directamente proporcional a la densidad lineal de carga λ e inversamente proporcional a la distancia al conductor r y desde el punto de vista vectorial por simetría como ya se explicó el vector campo es perpendicular al conductor, alejándose de él si está cargado positivamente o acercándose si la carga es negativa. Caso 2) Campo eléctrico debido a un plano infinito de distribución uniforme de carga Se define densidad superficial de carga σ al cociente entre la carga total del plano y su superficie σ = q/A y se mide en (C/m2). Por razones de simetría deducimos que el campo debido a su carga produce líneas de fuerza perpendiculares al mismo y que salen hacia ambas caras. Se aplica aquí criterio similar en cuanto a simetría que en el caso del conductor cargado, simplemente que la simetría se da en infinitas rectas que se ubican sobre el plano, pasando por el pie de la perpendicular trazada desde el punto (donde se quiere calcular el campo) al plano. Para ello hallaremos el flujo total que atraviesa un cilindro imaginario de Gauss que tenga características que hagan cómodo el cálculo del flujo total, por ello se traza con caras paralelas al plano y generatriz perpendicular al mismo. Como las líneas de fuerza son perpendiculares al plano, resultan paralelas a la generatriz del cilindro, por lo que son rasantes a la superficie lateral que no atraviesan, solamente serán atravesada las bases del cilindro. Por lo tanto el flujo total o neto será

⇒ Donde la Σ q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual al producto σ. A es decir el producto de la carga por unidad de superficie multiplicada por la superficie del plano encerrada dentro del cilindro de Gauss.

De la fórmula para calcular dicho campo donde se observa claramente que la intensidad de campo eléctrico es directamente proporcional a la densidad superficial de carga σ y es independiente de la distancia al plano cargado. El campo existe a ambos lados del plano. Si la carga del plano es positiva el vector campo se alejará del plano y se la carga es negativa, se dirigirá hacia el plano.

Caso 3) Campo eléctrico debido una corteza esférica cargada de radio r Creamos una esfera de Gauss, esta superficie se elige para envolver la carga de modo que el flujo sea siempre perpendicular en todo punto a la superficie que envuelve a la corteza cargada. Siendo R el radio de la esfero de Gauss. Para estudiar el campo en el exterior de la corteza R debe ser mayor que r por lo tanto R>r

siendo Q la carga total de la corteza

⇒ ⇒o En el interior de la corteza R < r y haciendo una esfera de Gauss interior a la corteza nos da un flujo neto

por lo tanto si el flujo es cero también será cero el campo E. El campo en el interior de la esfera es 0 debido a que el flujo neto en una superficie cerrada en dicho interior da cero. En el exterior de la corteza el campo se comporta igual que si fuera una carga puntual colocada en el centro de la corteza esférica

Siendo Q la carga total de la corteza esférica, por lo tanto el campo es directamente proporcional a la carga total Q e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del centro de la corteza al punto considerado R.

Caso 4) Campo eléctrico debido a dos planos infinitos cargados y paralelos El campo en el exterior de los planos es cero dado que son vectores campo iguales y opuestos, por lo tanto su suma es cero. Ya se vio el valor del campo creado por un plano cargado en forma uniforme.

En el interior el campo es la suma de los campos creados por los dos planos cargados por lo tanto nos queda que:

Electrostática Potencial Eléctrico

Ejercicios Problemas

Introducción Ya vimos en campo gravitatorio el concepto de energía potencial que se estudia respecto a un cero arbitrario y la existencia de una misma energía potencial para un cero fijo está basado en el hecho de que la fuerza gravitatoria es conservativa. Esta propiedad la tienen todas las fuerzas que van hacia un centro llamadas fuerzas centrales.

Alejandro Volta

Definición de diferencia de energía potencial: La diferencia de energía potencial electrostática ∆ UpAB entre dos puntos en el espacio se define como el trabajo negativo efectuado por la fuerza electrostática al transportar una carga q de la posición "A" hasta la posición "B".

T= - ∆ UpAB por lo tanto T= - (UpB - UpA)

Definición de diferencia de potencial electrostático: La diferencia de potencial electrostático VAB entre los puntos A y B es igual al cociente entre la diferencia de energía potencial electrostática ∆ UpAB debida a la carga q entre los puntos A y B y el valor de dicha

carga q.

La diferencia de potencial se debe tomar como la diferencia de potencial entre puntos los que se deben definir refiriéndolos a un punto de potencial cero arbitrario. Lo importante es la diferencia de potencial y no el valor puntual de potencial. En general se toma como potencial 0 al de un punto infinitamente alejado de la carga. El potencial obedece el principio de superposición, es decir el potencial en un punto es la suma algebraica de los potenciales superpuestos debidos a distintas cargas. Unidad: La unidad de potencial o de diferencia de potencial en el Sistema Internacional es el volt.

Definición: Entre dos puntos del campo eléctrico existirá una diferencia de potencial de un volt si para llevar una carga de un Coulomb de un punto a otro se realizará un trabajo de un Joule. ECUACIÓN DIMENSIONAL

El volt/m. resulta ser una nueva forma de unidad de campo eléctrico. Como VAB=VB-VA el potencial VA se puede definir como el trabajo para traer una carga unidad desde el infinito al punto A, el punto B estaría en el infinito y su potencial por definición es 0 (VB=0).

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Si la carga q que se mueve es + y va del potencial bajo al más alto, aumenta su energía potencial eléctrica (VB>VA). Para que esto suceda debe hacer una fuerza externa dado que de otra forma iría la carga del potencial más alto al más bajo con aumento de energía cinética y disminución de su energía potencial eléctrica. ∆ U>0 Si la carga q que se mueve es – y va del potencial más bajo al

potencial más alto disminuye su energía potencial eléctrica y q.(VB-VA)