EJERCICIO 8

EJERCICIO 8. En una empresa lechera se han tenido problemas con la viscosidad de cierta bebida de chocolate. Se cree que con tres ingredientes que se agregan en pequeñas cantidades se  puede resol ver este problema, por lo que es necesario explorar la situación; para ello ell o se corre un experimento 2   con dos réplicas. A continuación, se aprecian los resultados obtenidos:

a) Estime todos los posibles efectos y diga cuáles son significativos.  b) Realice un análisis de varianza de estos datos y obtenga conclusiones generales. c) Interprete a detalle los efectos significativos. d) ¿Hay un tratamiento ganador para minimizar? e) Verifique residuos, ¿qué considera destacado?

SOLUCIÓN MODELO ESTADÍSTICO ESTADÍSTICO  =   () ()  () ()  () ()  () ()  () ()   () ()   () ()    

HIPÓTESIS 

FACTOR A Ho: A =0 El ingrediente A no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate. H1: A ≠0 El ingrediente A si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.



FACTOR B

Ho: B =0 El ingrediente i ngrediente B no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate. H1: B ≠0 El ingrediente B si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate. 

FACTOR C

Ho: C =0 El ingrediente C no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate. H1: C ≠0 El ingrediente C si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate. 

FACTOR DE ITERACION AB



Ho: AB =0 Los ingredientes A y B no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate. H1: AB ≠0 El ingrediente A y B si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate. FACTOR DE ITERACION AC Ho: AC =0 Los ingredientes A y C no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate. H1: AC ≠0 El ingrediente A y C si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.



FACTOR DE ITERACION BC Ho: BC =0 Los ingredientes B y C no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate. H1: BC ≠0 El ingrediente B y C si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.



FACTOR DE ITERACION ABC Ho: ABC =0 Los ingredientes A, B y C no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

H1: ABC ≠0 El ingrediente A, B y C si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

A

B

C

1

-

-

-

2

+

-

-

3

-

+

-

I

II

13,3

13,9

14,7

14,4

14,6 14,3

4

+

+

-

-

+

-

17,2 15,1

7

-

+

+

8

+

+

+

18,9

EFECTOS

17,1 19,2

AC

BC

ABC

(1)

+

+

+

-

a

-

-

+

+

b

-

+

-

+

ab

+

-

-

-

c

+

-

-

+

ac

-

+

-

-

bc

-

-

+

-

abc

+

+

+

+

29,5 28,4 34,1 30,6

+ 17,4

AB

29,1

+ 15,5

6

14,1

Yates

27,2

16,9

5

14,9

TOTAL

34,5 38,1

+++

EFECTO A = ̅ +  ̅ − = ,+,+,+, 

SCA=



( ) 

()()

,+,+,+,  ,

=





SCB=

( ) 

++++ ()()

SCC=

( )   

+++ ()()

,+,+,+,

SCAB=



SCBC=



 

()()

SCABC=





( )

SCT = ∑    



()()

=



+++ ()()

=



+++ ()()

=

= 2,4806

,+,+,+,

   ..

+++

= 0,7875

EFECTO ABC = ̅  +  ̅  − = 



= 0,0875

+++

,+,+,+,

( )

,+,+,+,

=

= 0,0306

EFECTO BC = ̅ +  ̅  − = 

()()

()()





()()

= 0,5125

+++

,+,+,+,

( )

,+,+,+,

=

= 1,0506

EFECTO AC = ̅  +  ̅  − =

SCAC=

+++

()()





()()



+++

,+,+,+,



( ) 

,+,+,+,

()()

= 33,3506

,+,+,+, 

+++

= 2,8875

()()

EFECTO AB = ̅  +  ̅  − = =



= 5,6406



()()

=

= 1,1875



EFECTO C = ̅ +  ̅ − = ,+,+,+,

()()

= 0,1125

,+,+,+,



+++

=0,0506

EFECTO B = ̅+  ̅− = ,+,+,+,



+++ ()()



+++ ()()

=

= 1.2625

= 6,3756

 = 13,3  14,7  ⋯  1 9 , 2 

,  

= 49,4844

SCE = SCT - SCA - SCB  –  SCC-SCAB-SAC-SBC-SABC= 0,5050

a) ANOVA FV

SC

GL

CM

Fo

Fa

CD

A

0,0506

1

0,05062

0,80198

0,397

NS

B

5,6406

1

5,64062

89,3564

0,000

S

C

33,3506

1

33,3506

528,327

0,000

S

AB

1,0506

1

1,05062

16,6436

0,004

S

AC

0,0306

1

0,03062

0,48515

0,506

NS

BC

2,4806

1

2,48063

39,297

0,000

S

ABC

6,3756

1

6,37562

101

0,000

S

ERROR

0,5050

8

0,06313

TOTAL

49,4844

15

3,29896

b) CONCLUSIÓN: Los efectos significativos son los ingredientes B, C, AB, BC y ABC eso quiere decir que estos ingredientes si afectan a la viscosidad de la bebida.

c)

CONCLUSIÓN:

Con la ayuda de la gráfica de Daniele de normalidad podemos observar que los efectos no significativos son los ingredientes A y AC. d) Aplicando un ANOVA mejorado

FV

SC

GL

CM

Fo

Fa

CD

B

5,64062

1

5,64062

96,22

0,000

S

C

33,3506

1

33,3506

568.88

0,000

S

AB

1,05062

1

1,05062

17,92

0,002

S

BC

2,48063

1

2,48063

42,31

0,000

S

ABC

6,37562

1

6,37562

108,75

0,000

S

ERROR

0,5862

10

0,0586

TOTAL

49,4844

15

3,29896

CONCLUSIÓN: Considerando un ANOVA MEJORADO vemos que los efectos antes mencionados siguen siendo significativos, por lo tanto no hay un tratamiento para minimizar dichos efectos.

13. Se quiere aumentar el rendimiento de un proceso, y para ello se estudian tres factores con dos niveles cada uno. Se hacen tres repeticiones en cada tratamiento del diseño factorial 2 3 resultante. La variable de respuesta que se mide es rendimiento. Los datos son los siguientes:

a) ¿Cuáles efectos están activos? Hipótesis: X1 (A)

X2 (B)

X3 (C)

AB

AC

BC

ABC

Ho: Efecto.A=0 Efecto.B=0 Efecto.C=0 Efecto.AB=0 Efecto.AC=0 Efecto.BC=0 Efecto.ABC=0 Hi: Efecto.A≠0  Efecto.B≠0  Efecto.C≠0  Efecto.AB≠0 Efecto.AC≠0 Efecto.BC≠0 Efecto.ABC≠0

Análisis de Varianza Fuente

SC

GL

MC .

Fo

Valor p

Decisión

A

0,67

1

0,667

0,02

4,494

0,884

No Significativo

B

770,67

1

770,667

25,55

4,494

0,000

Significativo

C

280,17

1

280,167

9,29

4,494

0,008

Significativo

A*B

16,67

1

16,667

0,55

4,494

0,468

No Significativo

A*C

468,17

1

468,167

15,52

4,494

0,001

Significativo

B*C

48,17

1

48,167

1,60

4,494

0,224

No Significativo

Fα

28,17

1

28,167

Error

482,67

16

30,167

Total

2095,33

23

A*B*C

0,93

4,494

0,348

No Significativo

Gráfica de distribución F. df1=1. df2=16 0,9 0,8 0,7 0,6       d       a        d       i  0,5      s       n      e  0,4       D

0,3 0,2 0,1

0,05 0,0

0

4,494

X

Conclusiones: Los efectos que se encuentran activos o que afectan directamente al rendimiento, identificados gracias a la tabla ANOVA son:  El factor X2(B)  El factor X3(C)  El Efecto debido a la interacción entre X1 y X3 (Interacción AC)

X1 (A)

AB

ABC

Hi: Se Rechaza y Ho: Se Acepta

Hi: Se Rechaza y Ho: Se Acepta

Hi: Se Rechaza y Ho: Se Acepta

DECISIÓN

DECISIÓN

DECISIÓN

Efecto.A=0

Efecto.AB=0

Efecto.ABC=0

X2 (B)

AC

Hi: Se Acepta y Ho: Se Rechaza

Hi: Se Acepta y Ho: Se Rechaza

DECISIÓN

DECISIÓN

Efecto.B≠0

Efecto.AC≠0

X3 (C)

BC

Hi: Se Acepta y Ho: Se Rechaza

Hi: Se Rechaza y Ho: Se Acepta

DECISIÓN

DECISIÓN

Efecto.C≠0 

Efecto.BC=0

b) Si obtuvo una interacción importante, interprétela con detalle.

Gráfica de intervalos de rendimiento 95% IC para la media 60

50

    o        t     n     e       i     m 40      i      d      n     e     r  30

20 C A

-1

1

-1

-1

1 1

Las desviaciones estándar individuales se utilizaron para calcular los int ervalos.

Conclusión  Como podemos observar en la gráfica de intervalos d rendimiento podemos

darnos cuenta que los tratamientos, A+C- y A+C+ son iguales ya que existe un traslape entre ellos

c) Determine las condiciones de operación que maximizan el rendimiento.

Conclusión:  Considerando los efectos principales se establece el uso del factor X2 en su nivel

alto (B+) con un rendimiento del 46,5 y el factor X3 de igual manera (C+ ) con un rendimiento de 44,25, mientras que el efecto referido a X1(A) de berá considerarse en cualquier nivel ya que no afecta al rendimiento

 Considerando los efectos interacción entre X1(A) y X3(C), se debe usar el

tratamiento con el factor X1 en el nivel bajo (A-) y el factor X3 en el nivel alto (C+) que nos entrega un rendimiento de 48,5.  Debido a la interacción los factores X1 y X3 ya se encuentran establecido, a lo

que se suma el factor X2 con el nivel alto, resultando el tratamiento más idóneo:  X1 A X2 B+ C+  X3

d) ¿Cuál es la respuesta esperada en el mejor tratamiento?

Para encontrar la respuesta esperado encontraremos la media correspondiente al tratamiento: X1 (A)

X2 (B)

X3 (C)

+ +

+ +

+ + +

REPLICAS I 40,0 60,0 39,0

II 37,0 50,0 41,0

III 36,0 54,0 47,0

̅  37,667 54,667 42,333

El rendimiento esperado usando el tratamiento indicado (A-,B+,C+) es de 54.667.

e) Verifique los supuestos del modelo.

 En este grafico podemos ver que los puntos o residuos están casi alineados

con la línea recta; por tato, decimos de que no hay problemas con los supuestos de normalidad.  En esta grafica se puede ver que los puntos se distribuyen de manera aleatoria sobre la banda horizontal (sin ningún patrón claro y contundente); por lo tanto, cumple el supuesto de que los tratamientos tienen igual varianza.