Ejercicio 3

EJERCICIO 3

Dibuje unos cuantos periodos de cada una de las siguientes señales periódicas y calcule el coeficiente indicado de la serie de Fourier Tema a estudiar: Coeficientes de la serie de Fourier (Ambardar, capítulo 8):

ak para

a)

-2.5

-1.5

0.5

x ( t )=rect (t−0.5) con T=2

-0.5

0.5

|

1.5

1 1 1 1 1 a0 = ∫ x ( t ) dt= ∫ 1∙ dt= ∙ t 0.5 = ( 0.5−(−0.5 ) ) = T 2 −0.5 2 −0.5 2 2 a0 =

1 2 0.5

2 2 ak = ∫ x (t ) cos ( 2 πk f 0 t ) dt= ∫ 1∙ cos ( 2 πk f 0 t ) dt T T −0.5 0.5

ak = ∫ cos ( 2 πk f 0 t ) dt= −0.5

ak =

sen(2 πk f 0 t) 0.5 2 πk f 0 −0.5

|

sen ( 2 πk f 0 ( 0.5 ) ) sen(2 πk f 0 (0.5)) + 2 πk f 0 2 πk f 0

2.5

ak =

T=

sen ( πk f 0 ) πk f 0

1 1 1 ∴ f 0= = f0 T 2

sen ak =

( πk2 ) = 2 sen( πk2 )

πk 2

2 sen ak =

πk

( πk2 )

πk

bk para

b)

x ( t )=1+t , 0 ≤t ≤1 con T=1

2

1

0

1

a0 =

1

1

1 ∫ x ( t ) dt= 11 ∫ (1+t)∙ dt=∫ 1∙ dt+∫ t ∙ dt T 0 0 0

1

2

|

t 1 1 3 =1+ = =1.5 2 0 2 2

a0 =1+

a0 =1.5

1

2 2 bk = ∫ x (t ) sen ( 2 πk f 0 t ) dt= ∫ (1+t) sen ( 2 πk f 0 t ) dt T 10 sen ( 2 πk f 0 t ) dt ¿ sen ( 2 πk f 0 t ) dt t ∙¿ 1∙¿ 1

bk =2∫ ¿ 0

bk =

−cos ( 2 πk f 0 t ) 1 sen ( 2 πk f 0 t ) cos ( 2 πk f 0 t ) 1 + −t ∙ 2 πk f 0 πk f 0 0 0 ( 2 πk f 0 )

bk =

1 1 1 + = 2 πk f 0 2 πk f 0 πk f o

T=

|

1 1 1 ∴ f 0= = =1 f0 T 1

bk =

1 πk

(

)|