Ejercicio 2_Omar Gomez

SEÑALES Y SISTEMAS MOMENTO 2

PRESENTADO POR: OMAR GOMEZ VASQUEZ COD: 1101682891

GRUPO: 203042_61

TUTORA: TANIA LIZETH ACEVEDO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA 2016

1. Usando como guía el ejemplo 6.2 de la página 134 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución analítica), determine analíticamente la convolución entre x(t) y h(t) descritas a continuación: x ( t )=2 e−3t u ( t ) h ( t ) =e−2t u ( t ) λ

Reemplazando t por −3 λ

x ( λ )=2 ∙e

∙u ( λ )

−2 (t− λ)

h ( t−λ ) =e

∙u (t−λ)

La convolución analítica será entonces: ∞

x ( t )∗h ( t )= ∫ [ 2∙ e−3 λ ∙ u ( λ ) ] ∙ [ e−2 (t −λ ) ∙ u ( t−λ ) ] dλ −∞

Teniendo en cuenta que u ( λ )=0 para λ< 0 y u ( t −λ )=0 para t> λ t

x ( t )∗h ( t )=∫ [ 2 ∙ e−3 λ ] ∙[e−2 (t −λ ) ]∙ dλ 0

t

x ( t )∗h ( t )=2∫ [ e−3 λ ] ∙[e−2( t− λ )]∙ dλ 0 t

x ( t )∗h ( t )=2∫ [ e−3 λ ] ∙ [ e−2 t ∙ e 2 λ ] ∙ dλ 0

t −2 t

x ( t )∗h ( t )=(2∙ e

)∫ e−λ ∙ dλ 0

−2 t

x ( t )∗h ( t )=( 2 ∙ e

) ∙ [ (−e− λ )0 ] t

x ( t )∗h ( t )=( 2 ∙ e−2 t ) ∙ [−e−t + e−0 ] x ( t )∗h ( t )=( 2 ∙ e−2 t ) ∙ [−e−t +1 ] x ( t )∗h ( t )=(−2 ∙ e−3 t ) + ( 2∙ e−2t )

La convolución analítica es: x ( t )∗h ( t )=( 2 ∙ e−2 t )−( 2 ∙ e−3 t ) Para t ≥ 0. 2. Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución discreta), determine la respuesta de un filtro FIR (h[n]), a la entrada x[n] x [ n ]= [−2, 1ˇ ,3 ] h [ n ] =[ 1ˇ ,3,3,2 ] n h[n] x[n] ENTRADA

RESPUESTA

-2δ[n+1] δ[n] 3δ[n-1] suma =x[n]

-2h[n+1] h[n] 3h[n-1] suma=y[n]

Las señales quedan: x[n]

h[n]

-1 1 -2

0 3 1

1 3 3

2 2

-2

-6 1

-6 3 3 0

-4 3 9 8

-2

-5

3

4

2 9 11

6 6

La convolución x[n]*h[n]

La señal de salida es y [ n ] ={−2,−5^ , 0,8,11,6 } y [ n ] =−2δ [ n+ 1 ] −5 δ [ n ] +8 δ [ n−2 ] +11 δ [ n−3 ] +6 δ[n−4 ]

3. Dibuje unos cuantos periodos de cada una de las siguientes señales periódicas y calcule el coeficiente indicado de la serie de Fourier Tema a estudiar: Coeficientes de la serie de Fourier (Ambardar, capítulo 8): ak para

a.

ak =

x ( t )=rect (t−0.5) con T=2

2 ∫ x (t ) ∙cos (2 πk f 0 t )∙ dt T T 1

ak =∫ (1)∙ cos (πkt )∙ dt 0

1

ak =( πkSen ( πkt ) ) ¿0 ak =πkSen ( πk ) ak =0 Como el seno es cero para cualquier k, el coeficiente da cero.

bk para

b.

bk =

x ( t )=1+t , 0 ≤t ≤1 con T=1

2 ∫ x (t ) ∙ Sen(2 πk f 0 t)∙ dt T T 1

bk =2∫ ( 1+t ) ∙ Sen (2 πkt ) ∙ dt 0

[∫ 1

bk =2

Sen ( 2 πkt ) +t ∙ Sen ( 2 πkt ) dt

0

bk =2

[(

1

[

0

1

) (∫

∫ Sen ( 2 πkt ) dt +

]

t ∙ Sen ( 2 πkt ) dt

0

bk =2 (−2 πkCos ( 2 πkt ) ) ¿ 10+

(

)]

2 Sen ( 2 πkt )−2 πktCos (2 πkt ) ] ¿10 2[ ( 2 πk )

)

]

[

bk =2 (−2 πkCos ( 2 πk ) +2 πk )+

bk =4 πk −4 πkCos ( 2 πk ) − bk =

( −kπj )]

2j kπ

−2 j kπ

El coseno va a ser 1 para cualquier k, entonces queda −4 πk

se anula y queda de esa forma.