Ejercicio 2

Un filtro digital se encuentra representado por la siguiente ecuación en diferencias: y [ n ] =0.8 y [ n−1 ] + x [n ] Determine la respuesta

y [n] en estado estacionario a la entrada:

x [ n ]=1.5 cos ( 0.5 nπ +15° )+2.5 cos ( 0.4 nπ +25 ° ) Aplicando la transformada Z a ambas ecuaciones: y [ n ] −0.8 y [ n−1 ] =x [n] Y ( Z )−0.8 Y (Z) z−1=X ( Z ) H ( Z )=

Y ( z) 1 = X ( z ) 1−0.8 z −1

H p ( F )= H ( z )|z=e = jΩ

Se evalúa

1 1−0.8 e− j 2 πF

H p (F )

en las dos frecuencias de entradas

F 1=0.25 1

H p 1 ( 0.25 )=

1−0.8 e

−j2π 4

θ cos θ+ jsin ¿ z =r e jθ =r ¿

(

z=−0.8 cos

H p 1 ( 0.25 )=

2π 2π + jsin =−0.8 j 4 4

)

1 =0.780∠−38.65 ° 1+0.8 j

F 2=0.2

1

H p 2 ( 0.2 ) =

1−0.8 e

−j 2π 5

θ cos θ+ j sin ¿ jθ z =r e =r ¿

(

z=−0.8 cos

H p 2 ( 0.25 )=

2π 2π + jsin =−0.247−7.60 j 5 5

)

1 =0.129 ∠−80.68° 1.247+ 7.60 j

Entonces: Y ( s )=1.5(0.780) cos ( 0.5 nπ +15 °−38.65 ° ) +2.5 ( 0.129 ) cos ( 0.4 nπ +25 ° −80.68° ) Y ( s )=1.17 cos ( 0.5 nπ −23.65 ° )+ 0.322cos ( 0.4 nπ−55.68 )