EJERCICIO 1

EJERCICIO 1. En una encuesta realizada a 150 personas, sobre sus preferencias de tres productos A, B y C, se obtuvieron los siguientes resultados: 82 personas consumen el producto A, 54 el producto B, 50 consumen únicamente el producto A, 30 solo el producto B, el número de personas que consumen solo B y C es la mitad del número de personas que consumen solo A y C, el número de personas que consumen solo A y B es el tripe del número de las que consumen los tres productos y hay tantas personas que no consumen los productos mencionados como las que consumen solo C. Determina a) el número de personas que consumen solo dos de los productos, b) el número de personas que no consumen ninguno de los tres productos, c) el número de personas que consumen al menos uno de los tres productos. Solución: Consumen A = 82 Consumen B = 54 # que consumen solo A = 50 # que consumen solo B = 30 Consumen solo B y C = (A y C)/2 = Consumen solo A y B = 3(ABC) # de personas que no consumen los productos mencionados = # de personas que consumen sólo C. Siendo x los que consumen los tres productos, entonces los que consumen solo A y B = 3(ABC) = 3x. Siendo y los que consumen A y C, entonces los que consumen solo B y C = (A y C)/2 = (Y/2) Representando esto en un diagrama de Venn se obtiene

Con base en el diagrama anterior se tiene que los siguientes números de elementos: A = 50 B = 30 (A∩B∩C) = X A∩B = 3X A ∩C = Y B∩C = (Y/2) El número de elementos de A es: 4X + Y + 50 = 82 4X + Y = 82 - 50 4X + Y = 32 → (1) El número de elementos de B es: 4X + (Y/2) + 30 = 54 4X + (Y/2) = 54 - 30 4X + (Y/2) = 24 → (2) Resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2) se obtienen x = 4, y = 16. Luego, reemplazando: (A∩B∩C) = X = 4 (A∩B) = 3X = 12 (A∩C) = Y = 16 (B∩C) = (Y/2) = 8 Personas que consumen A y B: 82 + 30 + 8 = 120 Personas que consumen C y otro producto son: 16 + 4 + 8 = 28 Personas que no consumen ninguno de los productos son: 150 - 120 = 30 Como la cantidad de personas que no consume ninguno de los productos es igual a la cantidad de personas que solo consumen C, se divide el valor entre 2, entonces:

30/2 = 15 (En el diagrama corresponde a U y a solo C) a) La cantidad de personas que consumen sólo dos de los productos 12 + 16 + 8 = 36 personas b) La cantidad de personas que no consumen ninguno de los tres productos 15 personas (En el diagrama corresponde al valor de U) c) La cantidad de personas que consumen al menos uno de los tres productos Esto es equivalente a las personas que consumen 2 y 3 productos: 12 + 4 + 16 + 8 = 40 personas